Tilbake på skolen studerte hver av oss ligninger og, mest sannsynlig, ligningssystemer. Men det er ikke mange som vet at det er flere måter å løse dem på. I dag vil vi analysere i detalj alle metodene for å løse et system med lineære algebraiske ligninger som består av mer enn to likheter.
Historie
I dag er det kjent at kunsten å løse ligninger og deres systemer oppsto i det gamle Babylon og Egypt. Imidlertid dukket likheter i sin kjente form opp etter utseendet av likhetstegnet "=", som ble introdusert i 1556 av den engelske matematikeren Record. Forresten, dette tegnet ble valgt av en grunn: det betyr to parallelle like segmenter. Det finnes faktisk ikke noe bedre eksempel på likhet.
Grunnleggeren av moderne bokstavbetegnelser for ukjente og tegn på grader er en fransk matematiker. Imidlertid var betegnelsene hans betydelig forskjellige fra i dag. For eksempel betegnet han et kvadrat med et ukjent tall med bokstaven Q (lat. «quadratus»), og en terning med bokstaven C (lat. «cubus»). Denne notasjonen virker vanskelig nå, men på den tiden var det den mest forståelige måten å skrive systemer med lineære algebraiske ligninger på.
En feil ved datidens løsningsmetode var imidlertid at matematikere kun vurderte positive røtter. Dette kan skyldes det faktum at negative verdier ikke hadde noen praktisk nytte. På en eller annen måte var det de italienske matematikerne Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano og Raphael Bombelli som var de første til å telle negative røtter på 1500-tallet. Og den moderne formen, hovedløsningsmetoden (gjennom diskriminanten) ble opprettet først på 1600-tallet takket være arbeidet til Descartes og Newton.
På midten av 1700-tallet fant den sveitsiske matematikeren Gabriel Cramer en ny måte å gjøre det lettere å løse systemer med lineære ligninger. Denne metoden ble senere oppkalt etter ham, og vi bruker den fortsatt den dag i dag. Men vi skal snakke om Cramers metode litt senere, men la oss foreløpig diskutere lineære ligninger og metoder for å løse dem separat fra systemet.
Lineære ligninger
Lineære ligninger er de enkleste ligningene med en variabel (variabler). De er klassifisert som algebraiske. skrevet i generell form som følger: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Vi må representere dem i denne formen når vi kompilerer systemer og matriser senere.
Systemer av lineære algebraiske ligninger
Definisjonen av dette begrepet er: det er et sett med ligninger som har felles ukjente størrelser og en felles løsning. Som regel løste alle på skolen systemer med to eller til og med tre ligninger. Men det finnes systemer med fire eller flere komponenter. La oss først finne ut hvordan du skriver dem ned slik at det vil være praktisk å løse i fremtiden. For det første vil systemer med lineære algebraiske ligninger se bedre ut hvis alle variabler skrives som x med riktig skrift: 1,2,3, og så videre. For det andre bør alle ligninger bringes til kanonisk form: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.
Etter alle disse trinnene kan vi begynne å snakke om hvordan vi finner løsninger på systemer med lineære ligninger. Matriser vil være svært nyttige for dette.
Matriser
En matrise er en tabell som består av rader og kolonner, og i skjæringspunktet deres er elementene. Disse kan enten være spesifikke verdier eller variabler. Oftest, for å indikere elementer, plasseres abonnenter under dem (for eksempel en 11 eller en 23). Den første indeksen betyr radnummeret, og den andre - kolonnenummeret. Ulike operasjoner kan utføres på matriser, som på alle andre matematiske elementer. Dermed kan du:
2) Multipliser en matrise med et hvilket som helst tall eller vektor.
3) Transponer: gjør matriserader til kolonner og kolonner til rader.
4) Multipliser matriser hvis antall rader i en av dem er lik antall kolonner i den andre.
La oss diskutere alle disse teknikkene mer detaljert, da de vil være nyttige for oss i fremtiden. Å trekke fra og legge til matriser er veldig enkelt. Siden vi tar matriser av samme størrelse, korrelerer hvert element i en tabell med hvert element i den andre. Dermed legger vi til (trekker fra) disse to elementene (det er viktig at de står på samme plass i matrisene sine). Når du multipliserer en matrise med et tall eller vektor, multipliserer du ganske enkelt hvert element i matrisen med det tallet (eller vektoren). Transponering er en veldig interessant prosess. Det er veldig interessant å noen ganger se det i det virkelige liv, for eksempel når du endrer retningen til et nettbrett eller en telefon. Ikonene på skrivebordet representerer en matrise, og når posisjonen endres, transponeres den og blir bredere, men avtar i høyden.
La oss se på en annen prosess som: Selv om vi ikke trenger det, vil det fortsatt være nyttig å vite det. Du kan multiplisere to matriser bare hvis antall kolonner i en tabell er lik antall rader i den andre. La oss nå ta elementene i en rad med en matrise og elementene i den tilsvarende kolonnen i en annen. La oss multiplisere dem med hverandre og deretter legge dem til (det vil si at for eksempel produktet av elementene a 11 og a 12 med b 12 og b 22 vil være lik: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Dermed oppnås ett element i tabellen, og det fylles ut videre ved hjelp av en lignende metode.
Nå kan vi begynne å vurdere hvordan et system med lineære ligninger løses.
Gauss metode
Dette emnet begynner å bli dekket på skolen. Vi kjenner konseptet "et system av to lineære ligninger" godt og vet hvordan vi skal løse dem. Men hva om antallet ligninger er mer enn to? Dette vil hjelpe oss
Selvfølgelig er denne metoden praktisk å bruke hvis du lager en matrise av systemet. Men du trenger ikke å transformere det og løse det i sin rene form.
Så hvordan løser denne metoden systemet med lineære gaussiske ligninger? Forresten, selv om denne metoden er oppkalt etter ham, ble den oppdaget i antikken. Gauss foreslår følgende: å utføre operasjoner med ligninger for til slutt å redusere hele settet til en trinnvis form. Det vil si at det er nødvendig at fra topp til bunn (hvis ordnet riktig) fra den første ligningen til den siste ukjente avtar. Med andre ord, vi må sørge for at vi får for eksempel tre ligninger: i den første er det tre ukjente, i den andre er det to, i den tredje er det en. Fra den siste ligningen finner vi den første ukjente, erstatter verdien med den andre eller første ligningen, og finner deretter de to gjenværende variablene.
Cramer metode
For å mestre denne metoden er det viktig å ha ferdighetene til å legge til og subtrahere matriser, og du må også kunne finne determinanter. Derfor, hvis du gjør alt dette dårlig eller ikke vet hvordan i det hele tatt, må du lære og øve.
Hva er essensen av denne metoden, og hvordan gjøre det slik at et system med lineære Cramer-ligninger oppnås? Alt er veldig enkelt. Vi må konstruere en matrise av numeriske (nesten alltid) koeffisienter av et system med lineære algebraiske ligninger. For å gjøre dette tar vi ganske enkelt tallene foran de ukjente og ordner dem i en tabell i den rekkefølgen de er skrevet i systemet. Hvis det er et "-"-tegn foran tallet, skriver vi ned en negativ koeffisient. Så vi har kompilert den første matrisen med koeffisienter for ukjente, ikke inkludert tallene etter likhetstegnet (naturligvis skal ligningen reduseres til kanonisk form, når bare tallet er til høyre, og alle ukjente med koeffisienter er på venstre). Deretter må du lage flere matriser - en for hver variabel. For å gjøre dette erstatter vi hver kolonne med koeffisienter i den første matrisen etter tur med en kolonne med tall etter likhetstegnet. Dermed får vi flere matriser og finner deretter deres determinanter.
Etter at vi har funnet determinantene, er det en liten sak. Vi har en startmatrise, og det er flere resulterende matriser som tilsvarer forskjellige variabler. For å få løsninger til systemet deler vi determinanten til den resulterende tabellen med determinanten til den opprinnelige tabellen. Det resulterende tallet er verdien av en av variablene. På samme måte finner vi alle de ukjente.
Andre metoder
Det finnes flere andre metoder for å få løsninger på systemer med lineære ligninger. For eksempel den såkalte Gauss-Jordan-metoden, som brukes til å finne løsninger på et system av kvadratiske ligninger og også er forbundet med bruk av matriser. Det er også Jacobi-metoden for å løse et system med lineære algebraiske ligninger. Det er det enkleste å tilpasse til en datamaskin og brukes i databehandling.
Komplekse saker
Kompleksitet oppstår vanligvis når antall ligninger er mindre enn antall variabler. Da kan vi med sikkerhet si at enten er systemet inkonsekvent (det vil si at det ikke har noen røtter), eller at antallet løsninger har en tendens til uendelig. Hvis vi har det andre tilfellet, må vi skrive ned den generelle løsningen av systemet med lineære ligninger. Den vil inneholde minst én variabel.
Konklusjon
Her kommer vi til slutten. La oss oppsummere: vi fant ut hva et system og en matrise er, og lærte hvordan vi finner en generell løsning på et system med lineære ligninger. I tillegg vurderte vi andre alternativer. Vi fant ut hvordan man løser et system med lineære ligninger: Gaussmetoden og snakket om komplekse tilfeller og andre måter å finne løsninger på.
Faktisk er dette emnet mye mer omfattende, og hvis du ønsker å forstå det bedre, anbefaler vi å lese mer spesialisert litteratur.
System av lineære algebraiske ligninger. Grunnleggende vilkår. Skjema for matriseopptak.
Definisjon av et system av lineære algebraiske ligninger. Systemløsning. Klassifisering av systemer.
Under system av lineære algebraiske ligninger(SLAE) innebærer et system
Parametrene aij kalles koeffisienter, og bi – gratis medlemmer SLAU. Noen ganger, for å understreke antall ligninger og ukjente, sier de "m×n system av lineære ligninger," og indikerer dermed at SLAE inneholder m ligninger og n ukjente.
Hvis alle frie termer bi=0, kalles SLAE homogen. Hvis det blant de gratis medlemmene er minst ett medlem som ikke er null, kalles SLAE heterogen.
Ved løsning av SLAU(1) kall en hvilken som helst ordnet samling av tall (α1,α2,...,αn) hvis elementene i denne samlingen, erstattet i en gitt rekkefølge for de ukjente x1,x2,...,xn, gjør hver SLAE-ligning til en identitet.
Enhver homogen SLAE har minst én løsning: null(i annen terminologi – trivielt), dvs. x1=x2=…=xn=0.
Hvis SLAE (1) har minst én løsning, kalles den ledd, hvis det ikke finnes løsninger - ikke-ledd. Hvis en felles SLAE har nøyaktig én løsning, kalles den sikker, hvis det er et uendelig sett med løsninger – usikker.
Matriseform for skrivesystemer av lineære algebraiske ligninger.
Flere matriser kan assosieres med hver SLAE; Dessuten kan selve SLAE skrives i form av en matriseligning. For SLAE (1), vurder følgende matriser:
Matrise A kalles matrise av systemet. Elementene i denne matrisen representerer koeffisientene til en gitt SLAE.
Matrisen A˜ kalles utvidet matrisesystem. Den oppnås ved å legge til systemmatrisen en kolonne som inneholder frie ledd b1,b2,...,bm. Vanligvis er denne kolonnen atskilt med en vertikal linje for klarhet.
Kolonnematrisen B kalles matrise av gratis medlemmer, og kolonnematrisen X er matrise av ukjente.
Ved å bruke notasjonene introdusert ovenfor, kan SLAE (1) skrives i form av en matriseligning: A⋅X=B.
Merk
Matrisene knyttet til systemet kan skrives på forskjellige måter: alt avhenger av rekkefølgen til variablene og ligningene til SLAE som vurderes. Men uansett må rekkefølgen på de ukjente i hver ligning for en gitt SLAE være den samme
Kronecker-Capelli teorem. Studie av systemer av lineære ligninger for konsistens.
Kronecker-Capelli teorem
Et system med lineære algebraiske ligninger er konsistent hvis og bare hvis rangeringen til systemmatrisen er lik rangeringen til den utvidede matrisen til systemet, dvs. rangA=rangA˜.
Et system sies å være konsistent hvis det har minst én løsning. Kronecker-Capelli-teoremet sier dette: hvis rangA=rangA˜, så er det en løsning; hvis rangA≠rangA˜, så har denne SLAE ingen løsninger (inkonsekvent). Svaret på spørsmålet om antallet av disse løsningene er gitt av en konsekvens av Kronecker-Capelli-teoremet. I formuleringen av konsekvensen brukes bokstaven n, som er lik antall variabler for den gitte SLAE.
En konsekvens av Kronecker-Capelli-teoremet
Hvis rangA≠rangA˜, så er SLAE inkonsekvent (har ingen løsninger).
Hvis rangA=rangA˜ Hvis rangA=rangA˜=n, så er SLAE bestemt (har nøyaktig én løsning).
Vær oppmerksom på at det formulerte teoremet og dets konsekvens ikke indikerer hvordan man finner en løsning på SLAE. Med deres hjelp kan du bare finne ut om disse løsningene finnes eller ikke, og om de finnes, hvor mange.
Metoder for å løse SLAEer
Cramer metode
Cramers metode er ment for å løse de systemene med lineære algebraiske ligninger (SLAE) der determinanten til systemmatrisen er forskjellig fra null. Naturligvis forutsetter dette at matrisen til systemet er kvadratisk (begrepet en determinant eksisterer bare for kvadratiske matriser). Essensen av Cramers metode kan uttrykkes i tre punkter:
Komponer determinanten til systemmatrisen (den kalles også systemets determinant), og pass på at den ikke er lik null, dvs. Δ≠0.
For hver variabel xi er det nødvendig å konstruere en determinant Δ Xi, oppnådd fra determinanten Δ ved å erstatte den i-te kolonnen med en kolonne med frie ledd av den gitte SLAE.
Finn verdiene til de ukjente ved å bruke formelen xi= Δ X i /Δ
Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av en invers matrise.
Å løse systemer med lineære algebraiske ligninger (SLAE) ved å bruke en invers matrise (noen ganger kalles denne metoden også matrisemetoden eller invers matrisemetoden) krever foreløpig kjennskap til konseptet med matriseformen for notasjon av SLAE-er. Den inverse matrisemetoden er ment for å løse de systemene med lineære algebraiske ligninger der determinanten til systemmatrisen er forskjellig fra null. Naturligvis forutsetter dette at matrisen til systemet er kvadratisk (begrepet en determinant eksisterer bare for kvadratiske matriser). Essensen av den inverse matrisemetoden kan uttrykkes i tre punkter:
Skriv ned tre matriser: matrisen til systemet A, matrisen av ukjente X, matrisen av frie ledd B.
Finn den inverse matrisen A -1 .
Ved å bruke likheten X=A -1 ⋅B, få en løsning på den gitte SLAE.
Gauss metode. Eksempler på løsning av systemer av lineære algebraiske ligninger ved bruk av Gauss-metoden.
Gauss-metoden er en av de mest visuelle og enkle måtene å løse systemer av lineære algebraiske ligninger(SLAU): både homogen og heterogen. Kort sagt, essensen av denne metoden er sekvensiell eliminering av ukjente.
Transformasjoner tillatt i Gauss-metoden:
Bytte plass av to linjer;
Multiplisere alle elementene i en streng med et tall som ikke er lik null.
Legge til elementene i en rad de tilsvarende elementene i en annen rad, multiplisert med en hvilken som helst faktor.
Krysser ut en rad der alle elementene er null.
Krysser dupliserte linjer.
Når det gjelder de to siste punktene: repeterende linjer kan krysses ut på et hvilket som helst stadium av løsningen ved hjelp av Gauss-metoden - naturlig nok, etterlater en av dem. For eksempel, hvis linje nr. 2, nr. 5, nr. 6 gjentas, kan du la en av dem stå igjen, for eksempel linje nr. 5. I dette tilfellet vil linje nr. 2 og nr. 6 bli slettet.
Nullrader fjernes fra den utvidede systemmatrisen etter hvert som de vises.
Eksempel 1. Finn en generell løsning og en spesiell løsning av systemetLøsning Vi gjør det ved hjelp av en kalkulator. La oss skrive ut de utvidede og hovedmatrisene: 
Hovedmatrisen A er atskilt med en stiplet linje. Vi skriver ukjente systemer øverst, med tanke på den mulige omorganiseringen av ledd i systemets likninger. Ved å bestemme rangeringen til den utvidede matrisen finner vi samtidig rangeringen til hovedmatrisen. I matrise B er første og andre kolonne proporsjonale. Av de to proporsjonale kolonnene kan bare én falle inn i den grunnleggende moll, så la oss for eksempel flytte den første kolonnen forbi den stiplede linjen med motsatt fortegn. For systemet betyr dette å overføre ledd fra x 1 til høyre side av ligningene. 
La oss redusere matrisen til trekantet form. Vi vil bare jobbe med rader, siden å multiplisere en matriserad med et annet tall enn null og legge den til en annen rad for systemet betyr å multiplisere ligningen med det samme tallet og legge den til med en annen ligning, som ikke endrer løsningen av system. Vi jobber med den første raden: multipliser den første raden i matrisen med (-3) og legg til den andre og tredje raden etter tur. Multipliser deretter den første linjen med (-2) og legg den til den fjerde. 
Den andre og tredje linjen er proporsjonale, derfor kan en av dem, for eksempel den andre, krysses ut. Dette tilsvarer å krysse ut den andre ligningen i systemet, siden den er en konsekvens av den tredje. 
Nå jobber vi med den andre linjen: multipliser den med (-1) og legg den til den tredje. 
Mollen sirklet med en stiplet linje har den høyeste orden (av mulige moll) og er ikke-null (den er lik produktet av elementene på hoveddiagonalen), og denne moll tilhører både hovedmatrisen og den utvidede , derfor rangA = rangB = 3.
Liten 
er grunnleggende. Den inkluderer koeffisienter for de ukjente x 2 , x 3 , x 4 , som betyr at de ukjente x 2 , x 3 , x 4 er avhengige, og x 1 , x 5 er frie.
La oss transformere matrisen, og la bare basis-moll til venstre (som tilsvarer punkt 4 i løsningsalgoritmen ovenfor). 
Systemet med koeffisientene til denne matrisen er ekvivalent med det opprinnelige systemet og har formen
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Vi oppnådde relasjoner som uttrykker de avhengige variablene x 2, x 3, x 4 gjennom de frie x 1 og x 5, det vil si at vi fant en generell løsning:
Ved å tilordne noen verdier til de gratis ukjente, får vi et hvilket som helst antall spesielle løsninger. La oss finne to spesielle løsninger:
1) la x 1 = x 5 = 0, deretter x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) sett x 1 = 1, x 5 = -1, deretter x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Dermed ble det funnet to løsninger: (0,1,-3,3,0) – en løsning, (1,4,-7,7,-1) – en annen løsning.
Eksempel 2. Utforsk kompatibilitet, finn en generell og én spesiell løsning på systemet 
Løsning. La oss omorganisere den første og andre ligningen slik at den har en i den første ligningen og skrive matrisen B. 
Vi får nuller i den fjerde kolonnen ved å operere med den første raden: 
Nå får vi nullene i den tredje kolonnen ved å bruke den andre linjen: 
Den tredje og fjerde linjen er proporsjonale, så en av dem kan krysses ut uten å endre rangeringen:
Multipliser den tredje linjen med (–2) og legg den til den fjerde: 
Vi ser at rekkene til hoved- og utvidede matriser er lik 4, og rangeringen faller sammen med antall ukjente, derfor har systemet en unik løsning:
-xl=-3 → xl=3; x 2 = 3-x 1 → x 2 = 0; x 3 = 1-2 x 1 → x 3 = 5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.
Eksempel 3. Undersøk systemet for kompatibilitet og finn en løsning hvis det finnes. 
Løsning. Vi komponerer en utvidet matrise av systemet. 
Vi omorganiserer de to første ligningene slik at det er 1 i øvre venstre hjørne:
Multipliser den første linjen med (-1), legg den til den tredje: 
Multipliser den andre linjen med (-2) og legg den til den tredje: 
Systemet er inkonsekvent, siden vi i hovedmatrisen fikk en rad bestående av nuller, som krysses ut når rangeringen er funnet, men i den utvidede matrisen forblir den siste raden, det vil si r B > r A .
Trening. Undersøk dette likningssystemet for kompatibilitet og løs det ved hjelp av matriseregning.
Løsning
Eksempel. Bevis kompatibiliteten til systemet med lineære ligninger og løs det på to måter: 1) ved Gauss-metoden; 2) Cramers metode. (skriv inn svaret på skjemaet: x1,x2,x3)
Løsning :doc :doc :xls
Svar: 2,-1,3.
Eksempel. Et system med lineære ligninger er gitt. Bevis dens kompatibilitet. Finn en generell løsning av systemet og en spesiell løsning.
Løsning
Svar: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Trening. Finn de generelle og spesielle løsningene for hvert system.
Løsning. La oss studere dette systemet ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet.
La oss skrive ut den utvidede og hovedmatrisen:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Her er matrise A uthevet med fet skrift.
La oss redusere matrisen til trekantet form. Vi vil bare jobbe med rader, siden å multiplisere en matriserad med et annet tall enn null og legge den til en annen rad for systemet betyr å multiplisere ligningen med det samme tallet og legge den til med en annen ligning, som ikke endrer løsningen av system.
La oss gange den første linjen med (3). Multipliser den andre linjen med (-1). La oss legge til den andre linjen til den første:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
La oss gange den andre linjen med (2). Multipliser den tredje linjen med (-3). La oss legge til den tredje linjen til den andre:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Multipliser den andre linjen med (-1). La oss legge til den andre linjen til den første:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Den valgte moll har den høyeste orden (av mulige moll) og er ikke-null (den er lik produktet av elementene på motsatt diagonal), og denne moll tilhører både hovedmatrisen og den utvidede, derfor rang( A) = rang(B) = 3 Siden rangeringen til hovedmatrisen er lik rangeringen til den utvidede, så systemet er samarbeidende.
Denne mindre er grunnleggende. Den inkluderer koeffisienter for de ukjente x 1 , x 2 , x 3 , som betyr at de ukjente x 1 , x 2 , x 3 er avhengige (grunnleggende), og x 4 , x 5 er frie.
La oss transformere matrisen, slik at bare basis-moll er igjen til venstre.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Ved å bruke metoden for å eliminere ukjente finner vi:
Vi oppnådde relasjoner som uttrykker de avhengige variablene x 1 , x 2 , x 3 gjennom de frie x 4 , x 5 , det vil si at vi fant felles vedtak:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
usikker, fordi har mer enn én løsning.
Trening. Løs et ligningssystem.
Svar:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Ved å tilordne noen verdier til de gratis ukjente, får vi et hvilket som helst antall spesielle løsninger. Systemet er usikker
Systemer av lineære ligninger. Forelesning 6.
Systemer av lineære ligninger.
Enkle konsepter.
Vis system
kalt system - lineære ligninger med ukjente.
Tallene , , kalles systemkoeffisienter.
Tallene kalles gratis medlemmer av systemet, – systemvariabler. Matrise
kalt hovedmatrisen til systemet, og matrisen
– utvidet matrisesystem. Matriser - kolonner
Og tilsvarende matriser av frie termer og ukjente av systemet. Så i matriseform kan ligningssystemet skrives som . Systemløsning kalles verdiene til variabler, ved substitusjon av hvilke alle likninger i systemet blir til korrekte numeriske likheter. Enhver løsning på systemet kan representeres som en matrisekolonne. Da er matriselikheten sann.
Ligningssystemet kalles ledd hvis den har minst én løsning og ikke-ledd hvis det ikke er noen løsning.
Å løse et system med lineære ligninger betyr å finne ut om det er konsistent og i så fall finne den generelle løsningen.
Systemet kalles homogen hvis alle dens frie termer er lik null. Et homogent system er alltid konsistent, siden det har en løsning
Kronecker-Copelli teorem.
Svaret på spørsmålet om eksistensen av løsninger på lineære systemer og deres unikhet lar oss oppnå følgende resultat, som kan formuleres i form av følgende utsagn om et system av lineære ligninger med ukjente
(1)
Teorem 2. System av lineære ligninger (1) er konsistent hvis og bare hvis rangeringen til hovedmatrisen er lik rangeringen til den utvidede matrisen (.
Teorem 3. Hvis rangeringen av hovedmatrisen til et simultant system av lineære ligninger er lik antall ukjente, så har systemet en unik løsning.
Teorem 4. Hvis rangeringen av hovedmatrisen til et felles system er mindre enn antall ukjente, så har systemet et uendelig antall løsninger.
Regler for løsning av systemer.
3. Finn uttrykket for hovedvariablene i form av frie og få den generelle løsningen til systemet.
4. Ved å tilordne vilkårlige verdier til frie variabler, oppnås alle verdiene til hovedvariablene.
Metoder for å løse systemer av lineære ligninger.
Invers matrisemetode.
og , det vil si at systemet har en unik løsning. La oss skrive systemet i matriseform
Hvor 
,
,
.
La oss multiplisere begge sider av matriseligningen til venstre med matrisen
Siden får vi , hvorfra vi får likheten for å finne de ukjente
Eksempel 27. Løs et system med lineære ligninger ved å bruke den inverse matrisemetoden 
Løsning. La oss betegne med hovedmatrisen til systemet
.
La, så finner vi løsningen ved hjelp av formelen.
La oss beregne.
Siden har systemet en unik løsning. La oss finne alle algebraiske komplementer
,
,
,
,
,
,
,
,
Dermed
.
La oss sjekke
.
Den inverse matrisen ble funnet riktig. Herfra finner vi matrisen av variabler ved å bruke formelen.
.
Ved å sammenligne verdiene til matrisene får vi svaret: .
Cramers metode.
La et system av lineære ligninger med ukjente gis
og , det vil si at systemet har en unik løsning. La oss skrive løsningen av systemet i matriseform eller
La oss betegne
. . . . . . . . . . . . . . ,
Dermed får vi formler for å finne verdiene til ukjente, som kalles Cramer formler.
Eksempel 28. Løs følgende system med lineære ligninger ved å bruke Cramer-metoden 
.
Løsning. La oss finne determinanten for hovedmatrisen til systemet
.
Siden har systemet en unik løsning.
La oss finne de gjenværende determinantene for Cramers formler
,
,
.
Ved å bruke Cramers formler finner vi verdiene til variablene
Gauss metode.
Metoden består av sekvensiell eliminering av variabler.
La et system av lineære ligninger med ukjente gis.
Den Gaussiske løsningsprosessen består av to stadier:
På det første trinnet reduseres den utvidede matrisen til systemet ved hjelp av elementære transformasjoner til en trinnvis form
,
hvor , som systemet tilsvarer
Etter dette variablene 
regnes som frie og overføres til høyre side i hver ligning.
På det andre trinnet uttrykkes variabelen fra den siste ligningen, og den resulterende verdien erstattes med ligningen. Fra denne ligningen
variabelen uttrykkes. Denne prosessen fortsetter til den første ligningen. Resultatet er et uttrykk for hovedvariablene gjennom frie variabler 
.
Eksempel 29. Løs følgende system ved å bruke Gauss-metoden
Løsning. La oss skrive ut den utvidede matrisen til systemet og bringe den til trinnvis form
.
Fordi 
større enn antall ukjente, så er systemet konsistent og har et uendelig antall løsninger. La oss skrive systemet for trinnmatrisen
Determinanten til den utvidede matrisen til dette systemet, sammensatt av de tre første kolonnene, er ikke lik null, så vi anser den som grunnleggende. Variabler
De vil være grunnleggende og variabelen vil være gratis. La oss flytte den i alle ligninger til venstre side
Fra den siste ligningen uttrykker vi
Ved å erstatte denne verdien i den nest siste andre ligningen, får vi
hvor 
. Ved å erstatte verdiene til variablene og inn i den første ligningen finner vi 
. La oss skrive svaret i følgende skjema
Et system med lineære ligninger er en forening av n lineære ligninger, som hver inneholder k variabler. Det er skrevet slik:
Mange, når de møter høyere algebra for første gang, tror feilaktig at antallet ligninger nødvendigvis må falle sammen med antallet variabler. I skolealgebra skjer dette vanligvis, men for høyere algebra er dette generelt ikke sant.
Løsningen til et likningssystem er en tallrekke (k 1, k 2, ..., k n), som er løsningen til hver likning i systemet, dvs. når du substituerer inn i denne ligningen i stedet for variablene x 1, x 2, ..., gir x n riktig numerisk likhet.
Følgelig betyr å løse et ligningssystem å finne settet med alle dets løsninger eller bevise at dette settet er tomt. Siden antall ligninger og antall ukjente kanskje ikke sammenfaller, er tre tilfeller mulige:
- Systemet er inkonsekvent, dvs. settet med alle løsninger er tomt. Et ganske sjeldent tilfelle som lett oppdages uansett hvilken metode som brukes for å løse systemet.
- Systemet er konsistent og bestemt, d.v.s. har akkurat én løsning. Den klassiske versjonen, velkjent siden skolen.
- Systemet er konsistent og udefinert, d.v.s. har uendelig mange løsninger. Dette er det tøffeste alternativet. Det er ikke nok å indikere at "systemet har et uendelig sett med løsninger" - det er nødvendig å beskrive hvordan dette settet er strukturert.
En variabel x i kalles tillatt hvis den er inkludert i bare én ligning i systemet, og med en koeffisient på 1. Med andre ord, i andre ligninger må koeffisienten til variabelen x i være lik null.
Hvis vi velger én tillatt variabel i hver ligning, får vi et sett med tillatte variabler for hele ligningssystemet. Selve systemet, skrevet i denne formen, vil også bli kalt løst. Generelt sett kan ett og samme opprinnelige system reduseres til forskjellige tillatte, men foreløpig er vi ikke bekymret for dette. Her er eksempler på tillatte systemer:
Begge systemene er løst med hensyn til variablene x 1 , x 3 og x 4 . Men med samme suksess kan det hevdes at det andre systemet er løst med hensyn til x 1, x 3 og x 5. Det er nok å omskrive den aller siste ligningen i formen x 5 = x 4.
La oss nå vurdere en mer generell sak. La oss ha k variabler totalt, hvorav r er tillatt. Da er to tilfeller mulig:
- Antall tillatte variabler r er lik det totale antallet variabler k: r = k. Vi får et system av k likninger der r = k tillatte variabler. Et slikt system er felles og bestemt, fordi x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
- Antall tillatte variabler r er mindre enn det totale antallet variabler k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Så i de ovennevnte systemene er variablene x 2, x 5, x 6 (for det første systemet) og x 2, x 5 (for det andre) frie. Tilfellet når det er frie variabler er bedre formulert som et teorem:
Vennligst merk: dette er et veldig viktig poeng! Avhengig av hvordan du skriver det resulterende systemet, kan den samme variabelen enten være tillatt eller fri. De fleste høyere matematikkveiledere anbefaler å skrive ut variabler i leksikografisk rekkefølge, dvs. stigende indeks. Du er imidlertid ikke forpliktet til å følge disse rådene.
Teorem. Hvis variablene x 1, x 2, ..., x r er tillatt i et system med n ligninger, og x r + 1, x r + 2, ..., x k er frie, så er:
- Hvis vi setter verdiene til de frie variablene (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), og deretter finner verdiene x 1, x 2, ..., x r, vi får en av avgjørelsene.
- Hvis verdiene til frie variabler sammenfaller i to løsninger, faller verdiene til tillatte variabler også sammen, dvs. løsninger er like.
Hva er meningen med dette teoremet? For å få alle løsninger til et løst ligningssystem er det nok å isolere de frie variablene. Deretter, ved å tilordne forskjellige verdier til de frie variablene, får vi ferdige løsninger. Det er alt - på denne måten kan du få alle løsningene til systemet. Det finnes ingen andre løsninger.
Konklusjon: det oppløste likningssystemet er alltid konsistent. Hvis antall ligninger i et løst system er lik antall variabler, vil systemet være bestemt hvis det er mindre, vil det være ubestemt.
Og alt ville være bra, men spørsmålet oppstår: hvordan få en løst en fra det opprinnelige ligningssystemet? For dette er det