EN)Direkte integrasjon.
Finne integraler av funksjoner basert på direkte anvendelse av egenskapene til ubestemte integraler og en tabell med grunnleggende integrasjonsformler. La oss vurdere et eksempel på å finne integralet til en funksjon ved direkte integrasjon.
Eksempel:
∫(X–3) 2 d X= ∫(X 2 –6X+9)d X= ∫X 2d X- 6∫X d X+9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+S.
I de aller fleste tilfeller har vi å gjøre med integraler av funksjoner som ikke kan finnes ved direkte integrasjon. I dette tilfellet er det nødvendig å gjøre en substitusjon (erstatt variabelen).
b)Integrasjon ved substitusjon (variabel erstatning).
Integrasjon ved substitusjon, eller som det ofte kalles, variabel substitusjonsmetoden, er en av de mer effektive og vanlige metodene for integrering. Substitusjonsmetoden er å flytte fra en gitt integrasjonsvariabel til en annen variabel for å forenkle integranduttrykket og redusere det til en av de tabellformede typene av integraler. I dette tilfellet avgjøres valget av substitusjon av utøveren individuelt, fordi det er ingen generelle regler som angir hvilken substitusjon i i dette tilfellet ta.
Eksempel: Finn integralet ∫ e 2х+3 d X.
La oss introdusere en ny variabel t assosiert med X etter avhengighet 2 X+ 3 =t.
La oss ta differensialene til venstre og høyre side av denne likheten: 2d X=dt;d X=dt/2.
Nå i stedet for 2 X+ 3 иd X La oss erstatte deres verdier med integranden. Da får vi: ∫ e 2х+3 d X=∫e t dt= e t + C. Tilbake til forrige variabel får vi til slutt uttrykket:
∫e 2х+3 d X=e 2x+3 + C.
For å være sikker på at integralet tas riktig, trenger du en antiderivertfunksjon e 2x+ 3 skille og sjekk om det vil være Er dens deriverte lik integrandfunksjonen:
(e 2x+ 3)" =e 2x+ 3 (2 X+3)" =e 2x+ 3 .
3. Bestemt integral og dets egenskaper.
Konseptet med en bestemt integral er mye brukt i mange felt av vitenskap og teknologi. Med dens hjelp beregnes områder avgrenset av kurver, volumer av vilkårlig form, kraft og arbeid av en variabel kraft, banen til et bevegelig legeme, treghetsmomenter og mange andre mengder.
I 
I de aller fleste tilfeller introduseres konseptet med en bestemt integral når man løser problemer med å bestemme arealet til en krumlinjet trapes. La det være en kontinuerlig funksjon y =f( X) på segmentet [ a,c]. En figur avgrenset av kurven y=f( X) ordinater ENÅh, V EN P og segmentet [ a,c] x-aksen kalles en krumlinjet trapes (fig. 1).
La oss sette oss selv oppgaven: bestemme arealet S av en buet trapes EN A o A P V. For å gjøre dette deler vi segmentet [ a,c] på P ikke nødvendig like deler og angi delingspunktene som følger: EN=X O < X 1 < X 2 ‹ … ‹ X P = inn.
Fra delingspunktene gjenoppretter vi perpendikulære til skjæringspunktet med kurven y = f( X). Dermed delte vi hele området avgrenset av kurven i P elementære krumlinjede trapeser. La oss gjenopprette fra vilkårlige poeng hvert segment ∆ X Jeg ordinatef(C Jeg) til den skjærer kurven y =f( X). Deretter skal vi konstruere en trinnformet figur som består av rektangler med en grunnflate ∆ X Jeg og høyde f(C Jeg). Elementærtorg Jegth rektangelet vil være S Jeg =f(C Jeg)(X Jeg -X Jeg -1 ), og hele området S P den resulterende trinnvise figuren vil være lik summen av arealene til rektanglene:
S P=f(C o)( X 1 -X o) +f(C 1)( X 2 -X 1 ) + … +f(C P- 1)(X P -X P- 1).
For å forkorte innføringen av dette beløpet, skriv inn symbolet 
(sigma) - et tegn som betyr summering av mengder. Deretter
S P
=
.
Dette beløpet S P, som kalles integralsummen, kan enten være større eller mindre enn den sanne verdien av et gitt område. Den nærmeste verdien til den sanne verdien av området vil være grensen for summen, forutsatt at de elementære segmentene vil bli knust ( p→
), og selve lengden stort segment ∆X maks vil ha en tendens til null, dvs.:
S=
(4)
Denne kumulative sumgrensen (hvis den finnes) kalles bestemt integral fra functionf( X) på segmentet [ EN,V] og angi: 
=
(5)
(leser "bestemt integral av EN før V ef fra x de x").
Tall EN Og V kalles henholdsvis nedre og øvre grense for integrasjon, f( X) – subintegral funksjon; X– integrasjonsvariabel. Ved å bruke formlene (4) og (5) kan vi skrive. At arealet til en kurvelinjeformet trapes er numerisk lik integralet til funksjonen som begrenser trapesen, tatt over integrasjonsintervallet [EN,V]:
.
Dette faktum uttrykker den geometriske betydningen av et bestemt integral.
La oss vurdere egenskapene til det bestemte integralet.
1. Det bestemte integralet er ikke avhengig av betegnelsen på variabelen, dvs.: 
=
.
2. Det bestemte integralet av en algebraisk sum er lik den algebraiske summen av bestemte integraler for hvert ledd:
=
f 1 ( X)d x +
f 2 ( X)d X+ ….
Vi har sett at den deriverte har mange bruksområder: den deriverte er bevegelseshastigheten (eller mer generelt hastigheten til enhver prosess); derivat er skråningen tangent til grafen til en funksjon; ved å bruke den deriverte kan du undersøke en funksjon for monotonisitet og ekstrema; derivatet hjelper til med å løse optimaliseringsproblemer.
Men i det virkelige liv må bestemme og omvendte problemer: for eksempel, sammen med problemet med å finne hastighet i henhold til en kjent bevegelseslov, er det også problemet med å gjenopprette bevegelsesloven i henhold til en kjent hastighet. La oss vurdere ett av disse problemene.
Eksempel 1. Beveger seg i en rett linje materiell poeng, hastigheten på dens bevegelse på tidspunktet t er gitt av formelen u = tg. Finn bevegelsesloven.
Løsning. La s = s(t) være den ønskede bevegelsesloven. Det er kjent at s"(t) = u"(t). Dette betyr at for å løse problemet må du velge funksjon s = s(t), hvis deriverte er lik tg. Det er ikke vanskelig å gjette det
La oss umiddelbart merke at eksemplet er løst riktig, men ufullstendig. Vi fant ut at problemet faktisk har uendelig mange løsninger: hvilken som helst funksjon av formen 
en vilkårlig konstant kan tjene som en bevegelseslov, siden
For å gjøre oppgaven mer spesifikk, trengte vi å fikse startsituasjonen: angi koordinaten til et bevegelig punkt på et tidspunkt, for eksempel ved t=0. Hvis for eksempel s(0) = s 0, så får vi fra likheten s(0) = 0 + C, dvs. S 0 = C. Nå er bevegelsesloven unikt definert:
I matematikk tildeles gjensidige operasjoner forskjellige navn, kom opp med spesielle notasjoner: for eksempel kvadrating (x 2) og ekstrahering kvadratrot sine(sinх) og arcsine(arcsin x), etc. Prosessen med å finne den deriverte av en gitt funksjon kalles differensiering, og den inverse operasjonen, dvs. prosessen med å finne en funksjon fra en gitt derivert - integrasjon.
Selve begrepet "derivat" kan rettferdiggjøres "i dagligdagse termer": funksjonen y - f(x) "produserer til eksistens" ny funksjon y"= f"(x) Funksjonen y = f(x) fungerer som en "forelder", men matematikere kaller det naturligvis ikke en "forelder" eller "produsent", de sier at det er ift. funksjonen y"=f"(x), primærbildet, eller kort sagt antideriverten.
Definisjon 1. Funksjonen y = F(x) kalles antiderivert for funksjonen y = f(x) på et gitt intervall X hvis likheten F"(x)=f(x) gjelder for alle x fra X.
I praksis er intervallet X vanligvis ikke spesifisert, men underforstått (som det naturlige domene for definisjon av funksjonen).
Her er noen eksempler:
1) Funksjonen y = x 2 er antiderivert for funksjonen y = 2x, siden for alle x er likheten (x 2)" = 2x sann.
2) funksjonen y - x 3 er antiderivert for funksjonen y-3x 2, siden for alle x er likheten (x 3)" = 3x 2 sann.
3) Funksjonen y-sinх er antiderivert for funksjonen y = cosx, siden for alle x er likheten (sinx)" = cosx sann.
4) Funksjonen er antiderivert for en funksjon på intervallet siden for alle x > 0 er likheten sann
Generelt, å kjenne formlene for å finne derivater, er det ikke vanskelig å sette sammen en tabell med formler for å finne antiderivater.
Vi håper du forstår hvordan denne tabellen er kompilert: den deriverte av funksjonen, som er skrevet i den andre kolonnen, er lik funksjonen som er skrevet i den tilsvarende raden i den første kolonnen (sjekk det, ikke vær lat, det er veldig nyttig). For eksempel, for funksjonen y = x 5, er antideriverten, som du vil fastslå, funksjonen (se den fjerde raden i tabellen).
Merknader: 1. Nedenfor skal vi bevise teoremet om at hvis y = F(x) er en antideriverte for funksjonen y = f(x), så har funksjonen y = f(x) uendelig mange antideriverte og de har alle formen y = F(x ) + C. Derfor vil det være mer riktig å legge til begrepet C overalt i den andre kolonnen i tabellen, der C er et vilkårlig reelt tall.
2. For korthets skyld, noen ganger i stedet for uttrykket "funksjonen y = F(x) er en antiderivert av funksjonen y = f(x)," sier de at F(x) er en antiderivert av f(x) ."
2. Regler for å finne antiderivater
Ved å finne antiderivater, samt ved å finne derivater, brukes ikke bare formler (de er oppført i tabellen på s. 196), men også noen regler. De er direkte relatert til de tilsvarende reglene for beregning av derivater.
Vi vet at den deriverte av en sum er lik summen av dens deriverte. Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.
Regel 1. Antideriverten til en sum er lik summen av antiderivatene.
Vi henleder oppmerksomheten på den noe "lette" i denne formuleringen. Faktisk bør man formulere teoremet: hvis funksjonene y = f(x) og y = g(x) har antideriverte på intervallet X, henholdsvis y-F(x) og y-G(x), så er summen av funksjonene y = f(x)+g(x) har en antideriverte på intervallet X, og denne antideriverten er funksjonen y = F(x)+G(x). Men vanligvis, når de formulerer regler (og ikke teoremer), forlater de bare søkeord– Dette gjør det mer praktisk å anvende regelen i praksis
Eksempel 2. Finn antideriverten for funksjonen y = 2x + cos x.
Løsning. Antideriverten for 2x er x"; antideriverten for cox er sin x. Dette betyr at antideriverten for funksjonen y = 2x + cos x vil være funksjonen y = x 2 + sin x (og generelt en hvilken som helst funksjon av formen) Y = x 1 + sinx + C) .
Vi vet at konstantfaktoren kan tas ut av fortegnet til den deriverte. Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.
Regel 2. Konstant multiplikator kan tas ut som et tegn på et antiderivat.
Eksempel 3.
Løsning. a) Antiderivatet for sin x er -soz x; Dette betyr at for funksjonen y = 5 sin x vil antiderivertefunksjonen være funksjonen y = -5 cos x.
b) Antideriverten for cos x er sin x; Dette betyr at antideriverten til en funksjon er funksjonen
c) Antideriverten for x 3 er antideriverten for x er antideriverten for funksjonen y = 1 er funksjonen y = x. Ved å bruke de første og andre reglene for å finne antideriverte finner vi at antideriverten for funksjonen y = 12x 3 + 8x-1 er funksjonen
Kommentar. Som kjent er derivatet av et produkt ikke lik produktet av derivater (regelen for å differensiere et produkt er mer kompleks) og derivatet av en kvotient er ikke lik kvotienten av derivater. Derfor er det ingen regler for å finne antiderivatet til produktet eller antiderivatet til kvotienten av to funksjoner. Vær forsiktig!
La oss få en annen regel for å finne antiderivater. Vi vet at den deriverte av funksjonen y = f(kx+m) beregnes av formelen
Denne regelen genererer den tilsvarende regelen for å finne antiderivater.
Regel 3. Hvis y = F(x) er en antiderivert for funksjonen y = f(x), så er antideriverten for funksjonen y=f(kx+m) funksjonen
Faktisk,
Dette betyr at det er en antiderivert for funksjonen y = f(kx+m).
Betydningen av den tredje regelen er som følger. Hvis du vet at antideriverten til funksjonen y = f(x) er funksjonen y = F(x), og du må finne antideriverten til funksjonen y = f(kx+m), fortsett slik: ta den samme funksjonen F, men i stedet for argumentet x, erstatte uttrykket kx+m; i tillegg, ikke glem å skrive "korreksjonsfaktor" før funksjonstegnet
Eksempel 4. Finn antiderivater for gitte funksjoner:
Løsning, a) Antiderivatet for sin x er -soz x; Dette betyr at for funksjonen y = sin2x vil antideriverten være funksjonen
b) Antideriverten for cos x er sin x; Dette betyr at antideriverten til en funksjon er funksjonen
c) Antideriverten for x 7 betyr at for funksjonen y = (4-5x) 7 vil antideriverten være funksjonen
3. Ubestemt integral
Vi har allerede bemerket ovenfor at problemet med å finne en antiderivert for en gitt funksjon y = f(x) har mer enn én løsning. La oss diskutere dette problemet mer detaljert.
Bevis. 1. La y = F(x) være antideriverten for funksjonen y = f(x) på intervallet X. Dette betyr at for alle x fra X gjelder likheten x"(x) = f(x). La oss finn den deriverte av en funksjon av formen y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
Så, (F(x)+C) = f(x). Dette betyr at y = F(x) + C er en antiderivert for funksjonen y = f(x).
Dermed har vi bevist at hvis funksjonen y = f(x) har en antiderivert y=F(x), så har funksjonen (f = f(x) uendelig mange antideriverte, for eksempel en hvilken som helst funksjon av formen y = F(x) +C er et antiderivat.
2. La oss nå bevise det spesifisert type funksjoner, er hele settet med antiderivater oppbrukt.
La y=F 1 (x) og y=F(x) være to antideriverte for funksjonen Y = f(x) på intervallet X. Dette betyr at for alle x fra intervallet X gjelder følgende relasjoner: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
La oss vurdere funksjonen y = F 1 (x) -.F(x) og finne dens deriverte: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Det er kjent at dersom den deriverte av en funksjon på et intervall X er identisk lik null, så er funksjonen konstant på intervallet X (se setning 3 fra § 35). Dette betyr at F 1 (x) - F (x) = C, dvs. Fx) = F(x)+C.
Teoremet er bevist.
Eksempel 5. Loven for endring av hastighet med tiden er gitt: v = -5sin2t. Finn bevegelsesloven s = s(t), hvis det er kjent at på tidspunktet t=0 var koordinaten til punktet lik tallet 1,5 (dvs. s(t) = 1,5).
Løsning. Siden hastighet er en derivert av koordinaten som funksjon av tid, må vi først finne antideriverten av hastigheten, dvs. antiderivat for funksjonen v = -5sin2t. En av slike antiderivater er funksjonen , og settet med alle antiderivater har formen:
Å finne spesifikk betydning konstant C, la oss bruke Innledende forhold, ifølge hvilken s(0) = 1,5. Ved å erstatte verdiene t=0, S = 1,5 i formel (1), får vi:
Ved å erstatte den funnet verdien av C i formel (1), får vi bevegelsesloven som interesserer oss:
Definisjon 2. Hvis en funksjon y = f(x) har en antiderivert y = F(x) på et intervall X, vil settet av alle antideriverte, dvs. settet med funksjoner av formen y = F(x) + C kalles det ubestemte integralet av funksjonen y = f(x) og er betegnet med:
(les: "ubestemt integral ef fra x de x").
I neste avsnitt vil vi finne ut hva som er skjult mening den angitte betegnelsen.
Basert på tabellen over antiderivater tilgjengelig i denne delen, vil vi kompilere en tabell over de viktigste ubestemte integralene:
Basert på de tre ovennevnte reglene for å finne antiderivater, kan vi formulere de tilsvarende integrasjonsreglene.
Regel 1. Integral av summen av funksjoner lik summen integraler av disse funksjonene:
Regel 2. Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet:
Regel 3. Hvis
Eksempel 6. Finn ubestemte integraler:
Løsning, a) Ved å bruke de første og andre reglene for integrering får vi:
La oss nå bruke 3. og 4. integrasjonsformler:
Som et resultat får vi:
b) Ved å bruke den tredje integrasjonsregelen og formel 8 får vi:
c) For umiddelbar plassering For et gitt integral har vi verken den tilsvarende formelen eller den tilsvarende regelen. I slike tilfeller forhåndsutført identitetstransformasjoner uttrykk som ligger under integrertegnet.
La oss dra nytte trigonometrisk formel Gradreduksjon:
Så finner vi sekvensielt:
A.G. Mordkovich Algebra 10. klasse
Kalendertematisk planlegging i matematikk, video i matematikk på nett, Matematikk på skolen
Denne leksjonen er den første i en serie med videoer om integrering. I den vil vi analysere hva en antiderivat av en funksjon er, og også studere de elementære metodene for å beregne disse antiderivatene.
Faktisk er det ikke noe komplisert her: i hovedsak kommer alt ned til konseptet avledet, som du allerede burde være kjent med :)
Jeg vil merke med en gang at siden dette er den aller første leksjonen i vår nytt emne, det blir ingen i dag komplekse beregninger og formler, men det vi skal studere i dag vil danne grunnlaget for mye mer komplekse beregninger og konstruksjoner når vi regner komplekse integraler og firkanter.
I tillegg, når vi begynner å studere integrasjon og integraler spesielt, antar vi implisitt at studenten allerede er i det minste kjent med begrepene derivater og har minst grunnleggende ferdigheter i å beregne dem. Uten en klar forståelse av dette er det absolutt ingenting å gjøre i integrering.
Men her ligger et av de vanligste og mest lumske problemene. Faktum er at når de begynner å beregne sine første antiderivater, forveksler mange studenter dem med derivater. Som et resultat, i eksamener og selvstendig arbeid det gjøres dumme og støtende feil.
Derfor vil jeg nå ikke gi en klar definisjon av et antiderivat. Til gjengjeld foreslår jeg at du ser hvordan det beregnes ved å bruke et enkelt spesifikt eksempel.
Hva er et antiderivat og hvordan beregnes det?
Vi kjenner denne formelen:
\[((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Denne deriverte beregnes enkelt:
\[(f)"\venstre(x \høyre)=((\venstre(((x)^(3)) \høyre))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
La oss se nøye på det resulterende uttrykket og uttrykke $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\venstre(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]
Men vi kan skrive det på denne måten, i henhold til definisjonen av et derivat:
\[((x)^(2))=((\venstre(\frac(((x)^(3)))(3) \høyre))^(\prime ))\]
Og nå oppmerksomhet: Det vi nettopp skrev ned er definisjonen av et antiderivat. Men for å skrive det riktig, må du skrive følgende:
La oss skrive følgende uttrykk på samme måte:
Hvis vi generaliserer denne regelen, kan vi utlede følgende formel:
\[((x)^(n))\til \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Nå kan vi formulere en klar definisjon.
En antiderivert av en funksjon er en funksjon hvis deriverte er lik den opprinnelige funksjonen.
Spørsmål om antiderivatfunksjonen
Det virker som en ganske enkel og forståelig definisjon. Men etter å ha hørt det, vil den oppmerksomme studenten umiddelbart ha flere spørsmål:
- La oss si, ok, denne formelen er riktig. Men i dette tilfellet, med $n=1$, har vi problemer: "null" vises i nevneren, og vi kan ikke dele med "null".
- Formelen er begrenset til kun grader. Hvordan beregne antideriverten, for eksempel av sinus, cosinus og annen trigonometri, samt konstanter.
- Eksistensielt spørsmål: er det alltid mulig å finne et antiderivat? Hvis ja, hva med antideriverten av summen, differansen, produktet osv.?
På siste spørsmål Jeg svarer med en gang. Dessverre er antiderivatet, i motsetning til derivatet, ikke alltid vurdert. Ikke noe slikt universell formel, hvorved vi fra enhver innledende konstruksjon vil oppnå en funksjon som vil være lik denne lignende konstruksjonen. Når det gjelder krefter og konstanter, skal vi snakke om det nå.
Løse problemer med strømfunksjoner
\[((x)^(-1))\til \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Som vi ser, denne formelen for $((x)^(-1))$ fungerer ikke. Spørsmålet oppstår: hva fungerer da? Kan vi ikke telle $((x)^(-1))$? Selvfølgelig kan vi det. La oss bare huske dette først:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
La oss nå tenke: den deriverte av hvilken funksjon er lik $\frac(1)(x)$. Det er klart at enhver student som har studert dette emnet i det minste litt, vil huske at dette uttrykket er lik den deriverte av den naturlige logaritmen:
\[((\venstre(\ln x \høyre))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Derfor kan vi trygt skrive følgende:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\til \ln x\]
Du må kunne denne formelen, akkurat som den deriverte av en potensfunksjon.
Så det vi vet så langt:
- For en potensfunksjon - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- For en konstant - $=const\to \cdot x$
- Et spesialtilfelle av en potensfunksjon er $\frac(1)(x)\to \ln x$
Og hvis vi begynner å multiplisere og dele de enkleste funksjonene, hvordan kan vi da beregne antideriverten til et produkt eller en kvotient. Dessverre fungerer ikke analogier med avledet av et produkt eller kvotient her. Noen standard formel eksisterer ikke. For noen tilfeller er det vanskelige spesialformler - vi vil bli kjent med dem i fremtidige videotimer.
Husk imidlertid: generell formel, eksisterer ikke en lignende formel for å beregne den deriverte av en kvotient og et produkt.
Løse reelle problemer
Oppgave nr. 1
La oss hver strømfunksjoner La oss beregne separat:
\[((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)\]
For å gå tilbake til uttrykket vårt, skriver vi den generelle konstruksjonen:
Oppgave nr. 2
Som jeg allerede har sagt, prototyper av verk og privat "tvers igjennom" vurderes ikke. Her kan du imidlertid gjøre følgende:
Vi brøt ned brøken til summen av to brøker.
La oss regne:
Den gode nyheten er at når du kjenner formlene for å beregne antiderivater, er du allerede i stand til å beregne mer komplekse design. La oss imidlertid gå videre og utvide kunnskapen vår litt mer. Faktum er at mange konstruksjoner og uttrykk, som ved første øyekast ikke har noe med $((x)^(n))$ å gjøre, kan representeres som en potens med rasjonell indikator, nemlig:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Alle disse teknikkene kan og bør kombineres. Maktuttrykk Kan
- multiplisere (grader legge til);
- dividere (grader trekkes fra);
- multiplisere med en konstant;
- etc.
Løse kraftuttrykk med rasjonell eksponent
Eksempel nr. 1
La oss beregne hver rot separat:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\til \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\til \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Totalt kan hele konstruksjonen vår skrives slik:
Eksempel nr. 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\venstre(\sqrt(x) \høyre))^(-1))=((\venstre(((x)^(\frac( 1)(2))) \høyre))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Derfor får vi:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\til \frac(((x)^(-3+1)))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Totalt, ved å samle alt i ett uttrykk, kan vi skrive:
Eksempel nr. 3
Til å begynne med merker vi at vi allerede har beregnet $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\til \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
La oss skrive om:
Jeg håper jeg ikke vil overraske noen hvis jeg sier at det vi nettopp har studert er bare det meste enkle beregninger primitive, de mest elementære strukturene. La oss nå se litt mer komplekse eksempler, der du i tillegg til de tabellformede antiderivatene også må huske skolepensum, nemlig forkortede multiplikasjonsformler.
Løse mer komplekse eksempler
Oppgave nr. 1
La oss huske formelen for kvadratforskjellen:
\[((\venstre(a-b \høyre))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
La oss omskrive funksjonen vår:
Vi må nå finne prototypen til en slik funksjon:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\til \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\til \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
La oss sette alt sammen til et felles design:
Oppgave nr. 2
I dette tilfellet må vi utvide differansekuben. La oss huske:
\[((\venstre(a-b \høyre))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Med dette i betraktning kan vi skrive det slik:
La oss forvandle funksjonen vår litt:
Vi teller som alltid - for hvert semester separat:
\[((x)^(-3))\til \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\til \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\til \ln x\]
La oss skrive den resulterende konstruksjonen:
Oppgave nr. 3
Øverst har vi kvadratet av summen, la oss utvide det:
\[\frac(((\venstre(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\venstre(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\til \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
La oss skrive den endelige løsningen:
Nå oppmerksomhet! Veldig viktig ting, som den er koblet til brorparten feil og misforståelser. Faktum er at til nå, når vi teller antiderivater ved hjelp av derivater og bringer transformasjoner, har vi ikke tenkt på hva derivatet av en konstant er lik. Men den deriverte av en konstant er lik "null". Dette betyr at du kan skrive følgende alternativer:
- $((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Dette er veldig viktig å forstå: hvis den deriverte av en funksjon alltid er den samme, så har den samme funksjonen et uendelig antall antiderivater. Vi kan ganske enkelt legge til alle konstante tall til våre antiderivater og få nye.
Det er ikke tilfeldig at det i forklaringen av problemene vi nettopp løste ble skrevet «Skriv ned generell form primitiver." De. Det er allerede på forhånd antatt at det ikke er en av dem, men en hel mengde. Men faktisk skiller de seg bare i konstanten $C$ på slutten. Derfor vil vi i våre oppgaver rette opp det vi ikke fullførte.
Nok en gang omskriver vi konstruksjonene våre:
I slike tilfeller bør du legge til at $C$ er en konstant - $C=const$.
I vår andre funksjon får vi følgende konstruksjon:
Og den siste:
Og nå fikk vi virkelig det som ble krevd av oss i den opprinnelige tilstanden til problemet.
Løse problemer med å finne antiderivater med et gitt poeng
Nå som vi vet om konstanter og særegenhetene ved å skrive antiderivater, er det ganske logisk det neste type problemer når det, fra settet av alle antiderivater, er nødvendig å finne én enkelt som vil passere gjennom gitt poeng. Hva er denne oppgaven?
Faktum er at alle antiderivater av en gitt funksjon skiller seg bare ved at de forskyves vertikalt med et visst tall. Og dette betyr at uansett hvilket punkt på koordinatplan vi tok det ikke, ett antiderivat vil definitivt passere, og dessuten bare ett.
Så oppgavene som vi nå skal løse er formulert følgende: det er ikke lett å finne et antiderivert ved å kjenne formelen til den opprinnelige funksjonen, men å velge nøyaktig en av dem som går gjennom et gitt punkt, hvis koordinater vil bli gitt i problemformuleringen.
Eksempel nr. 1
Først, la oss bare telle hvert begrep:
\[((x)^(4))\til \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\til \frac(((x)^(4)))(4)\]
Nå erstatter vi disse uttrykkene i konstruksjonen vår:
Denne funksjonen må gå gjennom punktet $M\left(-1;4 \right)$. Hva betyr det at den går gjennom et punkt? Dette betyr at hvis vi i stedet for $x$ setter $-1$ overalt, og i stedet for $F\left(x \right)$ legger vi $-4$, så skal vi få den riktige numerisk likhet. La oss gjøre dette:
Vi ser at vi har en ligning for $C$, så la oss prøve å løse den:
La oss skrive ned selve løsningen vi lette etter:
Eksempel nr. 2
Først av alt er det nødvendig å avsløre kvadratet av forskjellen ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen:
\[((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)\]
Den opprinnelige konstruksjonen vil bli skrevet som følger:
La oss nå finne $C$: erstatte koordinatene til punktet $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Vi uttrykker $C$:
Det gjenstår å vise det endelige uttrykket:
Løse trigonometriske problemer
Som siste akkord I tillegg til det vi nettopp har diskutert, foreslår jeg å vurdere to til komplekse oppgaver, som inneholder trigonometri. I dem, på samme måte, må du finne antiderivater for alle funksjoner, og velg deretter fra dette settet den eneste som går gjennom punktet $M$ på koordinatplanet.
Når jeg ser fremover, vil jeg merke at teknikken som vi nå skal bruke for å finne antiderivater av trigonometriske funksjoner, faktisk, er en universell teknikk for selvtesting.
Oppgave nr. 1
La oss huske følgende formel:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Basert på dette kan vi skrive:
La oss erstatte koordinatene til punktet $M$ i uttrykket vårt:
\[-1=\tekst(tg)\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(4))+C\]
La oss omskrive uttrykket ved å ta hensyn til dette faktum:
Oppgave nr. 2
Dette blir litt vanskeligere. Nå skal du se hvorfor.
La oss huske denne formelen:
\[((\venstre(\tekst(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
For å bli kvitt "minus", må du gjøre følgende:
\[((\venstre(-\tekst(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Her er vårt design
La oss erstatte koordinatene til punktet $M$:
Totalt skriver vi ned den endelige konstruksjonen:
Det var alt jeg ville fortelle deg om i dag. Vi studerte selve begrepet antiderivater, hvordan man kan telle dem fra elementære funksjoner, samt hvordan finne et antiderivat som går gjennom et spesifikt punkt på koordinatplanet.
Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg i det minste litt til å forstå dette komplekst tema. Uansett er det på antiderivater at ubestemte og ubestemte integraler konstrueres, så det er helt nødvendig å beregne dem. Det var alt for meg. Ser deg igjen!