Figurene under viser hvor funksjonen kan nå sin minste og største verdi. I den venstre figuren er de minste og største verdiene fastsatt ved punktene for lokalt minimum og maksimum for funksjonen. På det høyre bildet - i enden av segmentet.
Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b] , så når den på dette segmentet minst Og høyeste verdier . Dette, som allerede nevnt, kan skje enten i ekstreme punkter, eller på slutten av segmentet. Derfor å finne minst Og de største verdiene av funksjonen , kontinuerlig på intervallet [ en, b] , må du beregne verdiene i alt kritiske punkter og i enden av segmentet, og velg deretter den minste og største fra dem.
La, for eksempel, du vil bestemme den største verdien av funksjonen f(x) på segmentet [ en, b] . For å gjøre dette, må du finne alle dens kritiske punkter som ligger på [ en, b] .
Kritisk punkt kalt punktet der funksjon definert, og henne derivat enten lik null eller eksisterer ikke. Deretter skal verdiene til funksjonen ved de kritiske punktene beregnes. Og til slutt bør man sammenligne verdiene til funksjonen på kritiske punkter og i enden av segmentet ( f(en) Og f(b)). Det største av disse tallene vil være den største verdien av funksjonen på segmentet [en, b] .
Problemer med å finne minste funksjonsverdier .
Vi ser etter de minste og største verdiene av funksjonen sammen
Eksempel 1. Finn de minste og største verdiene til en funksjon 
på segmentet [-1, 2]
.
Løsning. Finn den deriverte av denne funksjonen. La oss likestille den deriverte til null () og få to kritiske punkter: og . For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, er det nok å beregne verdiene ved enden av segmentet og ved punktet, siden punktet ikke tilhører segmentet [-1, 2]. Disse funksjonsverdiene er: , , . Det følger at minste funksjonsverdi(angitt i rødt på grafen nedenfor), lik -7, oppnås ved høyre ende av segmentet - ved punkt , og størst(også rød på grafen), tilsvarer 9,- på det kritiske punktet.
Hvis en funksjon er kontinuerlig i et visst intervall og dette intervallet ikke er et segment (men er for eksempel et intervall; forskjellen mellom et intervall og et segment: grensepunktene til intervallet er ikke inkludert i intervallet, men grensepunkter for segmentet er inkludert i segmentet), så blant verdiene til funksjonen kan det hende at det ikke er den minste og den største. Så, for eksempel, funksjonen vist i figuren nedenfor er kontinuerlig på ]-∞, +∞[ og har ikke den største verdien.
Imidlertid, for ethvert intervall (lukket, åpent eller uendelig), er følgende egenskap for kontinuerlige funksjoner sann.
For egenkontroll under beregninger kan du bruke online derivatkalkulator .
Eksempel 4. Finn de minste og største verdiene til en funksjon på segmentet [-1, 3] .
Løsning. Vi finner den deriverte av denne funksjonen som den deriverte av kvotienten:
.
Vi likestiller den deriverte til null, noe som gir oss ett kritisk punkt: . Den tilhører segmentet [-1, 3] . For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene i enden av segmentet og på det kritiske punktet:
La oss sammenligne disse verdiene. Konklusjon: lik -5/13, ved punkt og høyeste verdi lik 1 på punktet.
Vi fortsetter å lete etter de minste og største verdiene av funksjonen sammen
Det er lærere som, når det gjelder å finne de minste og største verdiene av en funksjon, ikke gir elevene eksempler å løse som er mer komplekse enn de som nettopp er diskutert, det vil si de der funksjonen er et polynom eller en brøk, hvis teller og nevner er polynomer. Men vi vil ikke begrense oss til slike eksempler, siden det blant lærere er de som liker å tvinge elevene til å tenke fullt ut (tabellen over derivater). Derfor vil logaritmen og trigonometrisk funksjon bli brukt.
Eksempel 8. Finn de minste og største verdiene til en funksjon på segmentet .
Løsning. Vi finner den deriverte av denne funksjonen som derivat av produktet :
Vi likestiller den deriverte til null, som gir ett kritisk punkt: . Den tilhører segmentet. For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene i enden av segmentet og på det kritiske punktet:
Resultat av alle handlinger: funksjonen når minimumsverdien, lik 0, ved punktet og ved punktet og høyeste verdi, lik e², på punktet.
For egenkontroll under beregninger kan du bruke online derivatkalkulator .
Eksempel 9. Finn de minste og største verdiene til en funksjon 
på segmentet .
Løsning. Finn den deriverte av denne funksjonen:
Vi likestiller den deriverte til null:
Det eneste kritiske punktet tilhører segmentet. For å finne de minste og største verdiene av en funksjon på et gitt segment, finner vi verdiene i enden av segmentet og på det kritiske punktet:
Konklusjon: funksjonen når minimumsverdien, lik , ved punktet og høyeste verdi, lik , på punktet .
I anvendte ekstreme problemer kommer det å finne de minste (maksimum) verdiene av en funksjon som regel ned til å finne minimum (maksimum). Men det er ikke selve minimums- eller maksimumsverdiene som er av større praktisk interesse, men verdiene til argumentet som de oppnås ved. Når du løser anvendte problemer, oppstår det en ekstra vanskelighet - å komponere funksjoner som beskriver fenomenet eller prosessen som vurderes.
Eksempel 10. En tank med en kapasitet på 4, med form som et parallellepipedum med firkantet bunn og åpen på toppen, må fortinnes. Hvilken størrelse bør tanken være slik at det brukes minst mulig materiale for å dekke den?
Løsning. La x- base side, h- tank høyde, S- overflaten uten dekke, V- volumet. Overflatearealet til tanken uttrykkes med formelen, dvs. er en funksjon av to variabler. Å uttrykke S som en funksjon av én variabel bruker vi det faktum at , hvorfra . Erstatter det funnet uttrykket h inn i formelen for S:
La oss undersøke denne funksjonen til det ytterste. Den er definert og differensierbar overalt i ]0, +∞[ , og
.
Vi likestiller den deriverte til null () og finner det kritiske punktet. I tillegg, når den deriverte ikke eksisterer, men denne verdien er ikke inkludert i definisjonsdomenet og kan derfor ikke være et ekstremumpunkt. Så dette er det eneste kritiske punktet. La oss sjekke det for tilstedeværelsen av et ekstremum ved å bruke det andre tilstrekkelige tegnet. La oss finne den andre deriverte. Når den andre deriverte er større enn null (). Dette betyr at når funksjonen når et minimum 
. Siden dette minimum er det eneste ytterpunktet for denne funksjonen, det er dens minste verdi. Så siden av bunnen av tanken skal være 2 m, og høyden skal være .
For egenkontroll under beregninger kan du bruke
Definisjon
La funksjonen `y=f(x)` være definert på et intervall som inneholder punktet `ainR`. Punktet `a` kalles lokalt maksimumspunkt funksjoner `f`, hvis det er `epsilon` - et nabolag av punktet `a` som for enhver `x!=a` fra dette nabolaget `f(x) Hvis ulikheten `f(x)>f(a)` er tilfredsstilt, kalles `a` lokalt minimumspunkt funksjoner 'f'. Punktene med lokalt maksimum og lokalt minimum kalles poeng lokalt ekstremum. Teorem 5.1 (Fermat) Hvis punkt `a` er et lokalt ekstremumpunkt for funksjonen `y=f(x)` og funksjonen `f` har en derivert på dette punktet, så er `f^"(a)=0`. Fysisk betydning: med en endimensjonal bevegelse med retur må det være et stopp ved punktet for maksimal fjerning. Geometrisk betydning: tangenten ved det lokale ekstremumpunktet er horisontal. Kommentar. Fra Fermats teorem følger det at hvis en funksjon har et ekstremum ved punkt `a`, så er den deriverte av funksjonen på dette tidspunktet enten null eller eksisterer ikke. For eksempel har funksjonen `y=|x|` et minimum ved punktet `x=0`, og den deriverte eksisterer ikke på dette punktet (se eksempel 4.2). Punktene der funksjonen er definert og den deriverte er lik null eller ikke eksisterer vil bli kalt kritisk.
Så hvis en funksjon har ekstremumpunkter, ligger de blant de kritiske punktene (kritiske punkter er "mistenkelige" for et ekstremum). For å formulere forholdene som sikrer tilstedeværelsen av et ekstremum på det kritiske punktet, trenger vi følgende konsept. La oss huske at med intervall mener vi et intervall (endelig eller uendelig), halvt intervall eller segment av en tallinje. Definisjon La funksjonen `y=f(x)` være definert på intervallet `I`. 1) Funksjon "y=f(x)". øker 2) Funksjon `y=f(x)` avtar til `I`, hvis for noen `x,yinI`, `x Hvis en funksjon øker eller reduseres med 'I', sies funksjonen å være det monotont på intervallet "I". Forutsetninger for monotonitet. La funksjonen "y=f(x)" være definert på intervallet "I" med endepunktene "a", "b", differensierbare på "(a, b)" og kontinuerlig ved endepunktene hvis de tilhører "I". . Deretter 1) hvis `f^"(x)>0` med `(a, b)`, så øker funksjonen med `I`; 2) hvis `f^"(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`. Ekstreme forhold. La funksjonen `y=f(x)` være definert på intervallet `(ab)`, kontinuerlig ved punktet `x_0 in(a, b)` og differensierbar på `(a,x_0) uu (x_0,b) `. Deretter 1) hvis `f^"(x)>0` til `(a;x_0)` og `f^"(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`; 2) hvis `f^"(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` til `(x_0;b)`, så er `x_0` det lokale minimumspunktet for funksjonen `f`. Eksempel 5.1 Undersøk funksjonen `y=x^3-3x` for monotonisitet og ekstrema i definisjonsdomenet. Denne funksjonen er definert på `R` og er differensierbar ved hvert punkt (se konsekvensen av setning 4.2), og `y^"=3(x^2-1)`. Siden `y^"<0` при `x in(-1,1)`; `y^">0` for `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, så øker funksjonen på strålene `(-oo,-1]` og ``. Ved tilstanden til ekstremumet `x =-1` - punktet for lokalt maksimum, og `x=1` er punktet for lokalt minimum Siden `y^"=0` bare er ved punktene `x=1` og `x=-1`. så ifølge Fermats teorem har funksjonen ingen andre ekstremumpunkter. La oss vurdere en viktig klasse av problemer som bruker konseptet avledet - problemet med å finne de største og minste verdiene av en funksjon på et segment. Eksempel 5.2 Finn den største og minste verdien av funksjonen `y=x^3-3x` på segmentet: a) `[-2;0]`; b) ``. a) Fra eksempel 5.1 følger det at funksjonen øker med `(-oo,-1]` og reduseres med `[-1,1]`. Så `y(-1)>=y(x)` for alle ` x in[-2;0]` og `y_"max"=y(-1)=2` - den største verdien av funksjonen på segmentet `[-2;0]` For å finne den minste verdien trenger du for å sammenligne verdiene til funksjonen i endene av segmentet Siden `y(-2)=-2`, og `y(0)=0`, så er `y_"max"=-2` den minste verdien. av funksjonen på segmentet `[-2;0]`. b) Siden det er `` på strålen, derfor `y_"naim"=y(1)=-2`, `y_"naib"=y(3)=18`. Kommentar Merk at en funksjon kontinuerlig på et intervall alltid har den største og minste verdien. Eksempel 5.3 Finn den største og minste verdien av funksjonen `y=x^3-12|x+1|` på segmentet `[-4;3]`. Merk at funksjonen er kontinuerlig på hele tallinjen. La oss betegne `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Deretter `y=f_1(x)` ved `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` til `(-4,-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` til `(2;3)`. La oss skrive ned alle studiene i tabellen: `y_"naib"=-1`; `y_"name"=-100`. Definisjon. Hvis funksjonen f(x) er definert på intervallet [ a, b], er kontinuerlig i hvert punkt i intervallet ( a, b), på et tidspunkt en kontinuerlig til høyre, ved punktet b er kontinuerlig til venstre, så sier vi at funksjonen f(x) kontinuerlig på segmentet
[a, b]. Med andre ord funksjonen f(x) er kontinuerlig i intervallet [ a, b], hvis tre betingelser er oppfylt: 1) "x 0 Î( a, b): f(x) = f(x 0); 2) f(x) = f(en); 3) f(x) = f(b). For funksjoner som er kontinuerlige på et intervall tar vi for oss noen egenskaper, som vi formulerer i form av følgende teoremer, uten å utføre bevis. Teorem 1. Hvis funksjonen f(x) er kontinuerlig i intervallet [ a, b], så når den sine minimums- og maksimumsverdier på dette segmentet. Denne teoremet sier (fig. 1.15) at på segmentet [ a, b] det er et slikt poeng x 1 det f(x 1) £ f(x) for noen x fra [ a, b] og at det er et poeng x 2 (x 2 О[ a, b]) slik at " xÎ[ a, b] (f(x 2)³ f(x)). Betydning f(x 1) er den største for en gitt funksjon på [ a, b], A f(x 2) – den minste. La oss betegne: f(x 1) = M, f(x 2) =m. Siden for f(x) ulikheten gjelder: " xÎ[ a, b] m£ f(x) £ M, så får vi følgende konsekvens fra setning 1. Konsekvens. Hvis funksjonen f(x) er kontinuerlig på et intervall, så er det avgrenset på dette intervallet. Teorem 2. Hvis funksjonen f(x) er kontinuerlig i intervallet [ a,b] og i enden av segmentet tar verdier av forskjellige tegn, så er det et slikt internt punkt x 0 segment [ a, b], der funksjonen blir til 0, dvs. $ x 0 Î ( a, b) (f(x 0) = 0). Denne teoremet sier at grafen til en funksjon y = f(x), kontinuerlig i intervallet [ a, b], skjærer aksen Okse minst én gang hvis verdiene f(en) Og f(b) har motsatte fortegn. Så, (fig. 1.16) f(en) > 0, f(b) < 0 и функция f(x) blir 0 ved poeng x 1 , x 2 , x 3 . Teorem 3. La funksjonen f(x) er kontinuerlig i intervallet [ a, b], f(en) = EN, f(b) = B Og EN¹ B. (Fig. 1.17). Deretter for et hvilket som helst tall C, vedlagt mellom tallene EN Og B, det er et slikt indre punkt x 0 segment [ a, b], Hva f(x 0) = C. Konsekvens. Hvis funksjonen f(x) er kontinuerlig i intervallet [ a, b], m– minste verdi f(x), M– den største verdien av funksjonen f(x) på segmentet [ a, b], så tar funksjonen (minst én gang) en hvilken som helst verdi m, konkludert mellom m Og M, og derfor segmentet [ m, M] er settet med alle funksjonsverdier f(x) på segmentet [ a, b]. Merk at hvis en funksjon er kontinuerlig på intervallet ( a, b) eller har på segmentet [ a, b] diskontinuitetspoeng, så slutter teoremene 1, 2, 3 for en slik funksjon å være sann. Avslutningsvis vurdere teoremet om eksistensen av en invers funksjon. Teorem 4. La f(x) er kontinuerlig i intervallet X, øker (eller reduseres) med X og har en rekke verdier Y. Så for funksjonen y = f(x) det er en invers funksjon x= j(y), definert på intervallet Y, kontinuerlig og økende (eller avtagende) med Y med flere betydninger X. Kommentar. La funksjonen x= j(y) er det motsatte av funksjonen f(x). Siden argumentet vanligvis er betegnet med x, og funksjonen gjennom y, så skriver vi den inverse funksjonen i skjemaet y =j(x). Eksempel 1. Funksjon y = x 2 (fig. 1.8, a) på settet X= akser Åh, deretter den inverse funksjonen på = φ
(X) er også kontinuerlig og monotont på det tilsvarende segmentet [ c;d] akser OU(ingen bevis). Funksjoner som er kontinuerlige på et intervall har en rekke viktige egenskaper. La oss formulere dem i form av teoremer uten å gi bevis. Teorem (Weierstrass). Hvis en funksjon er kontinuerlig på et segment, når den sine maksimums- og minimumsverdier på dette segmentet. Funksjonen vist i figur 5 på = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ EN; b], tar sin maksimale verdi M på punktet x 1 og den minste m- på punktet X 2. For alle X [EN; b] ulikhet holder m ≤ f(x) ≤ M. Konsekvens. Hvis en funksjon er kontinuerlig på et intervall, er den avgrenset på dette intervallet. Teorem (Bolzano - Cauchy). Hvis funksjonen på= f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en; b] og tar ulik verdi i endene f(en) = EN Og f(b) = =I, så på dette segmentet tar det alle mellomverdier mellom EN Og I. Geometrisk er teoremet åpenbart (se fig. 6). For et hvilket som helst nummer MED, konkludert mellom EN Og I, det er et poeng Med innenfor dette segmentet slik at f(Med) = MED. Rett på = MED skjærer grafen til funksjonen i minst ett punkt. Konsekvens. Hvis funksjonen på = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ EN; b] og i endene tar på seg verdier av forskjellige tegn, deretter inne i segmentet [ EN; b] det er minst ett poeng Med, der denne funksjonen f(x) går til null: f(Med) = 0. Geometrisk betydning av teoremet: hvis grafen til en kontinuerlig funksjon passerer fra den ene siden av aksen Åh til den andre, så skjærer den aksen Okse(se fig. 7). Definisjon 4. En funksjon kalles kontinuerlig på et segment hvis den er kontinuerlig på hvert punkt i dette segmentet (i punkt a er den kontinuerlig til høyre, dvs. og ved punkt b er den kontinuerlig til venstre, dvs.). Alle grunnleggende elementære funksjoner er kontinuerlige i definisjonens domene. Egenskaper for funksjoner som er kontinuerlige i et intervall: funksjon kontinuitet punkt segment Punktene der kontinuitetsbetingelsen ikke er oppfylt kalles brytepunkter for denne funksjonen. Hvis er et diskontinuitetspunkt for en funksjon, er minst én av de tre betingelsene for kontinuiteten til en funksjon spesifisert i definisjon 1, 2 ikke oppfylt, nemlig: 1) Funksjonen er definert i et nabolag til et punkt, men ikke definert i selve punktet. Så funksjonen vurdert i eksempel 2 a) har en diskontinuitet på et punkt, siden den ikke er definert på dette punktet. 2) Funksjonen er definert ved et punkt og dets omgivelser, det er ensidige grenser og, men de er ikke like med hverandre: . For eksempel er funksjonen fra eksempel 2 b) definert ved et punkt og dets nærhet, men siden a. 3) Funksjonen er definert ved punktet og dets omgivelser, det er ensidige grenser og de er lik hverandre, men ikke lik verdien av funksjonen i punktet: . For eksempel en funksjon. Her er bruddpunktet: på dette punktet er funksjonen definert, det er ensidige grenser og lik hverandre, men, dvs. Funksjonsbruddpunkter er klassifisert som følger. Definisjon 5. Et punkt kalles et diskontinuitetspunkt for den første typen funksjon hvis det på dette punktet er endelige grenser og, men de er ikke like med hverandre: . Mengden kalles funksjonens hopp i et punkt. Definisjon 6. Et punkt kalles et punkt med fjernbar diskontinuitet for en funksjon hvis det på dette punktet er endelige grenser og de er like med hverandre: , men selve funksjonen er ikke definert på punktet, eller er definert, men. Definisjon 7. Et punkt kalles et diskontinuitetspunkt for den andre typen funksjon hvis på dette tidspunktet minst en av de ensidige grensene (eller) ikke eksisterer eller er lik uendelig. Eksempel 3. Finn bruddpunktene til følgende funksjoner og bestem deres type: a) b) Løsning. a) Funksjonen er definert og kontinuerlig på intervaller, og siden den på hvert av disse intervallene er definert av kontinuerlige elementære funksjoner. Følgelig kan brytepunktene til en gitt funksjon bare være de punktene hvor funksjonen endrer sin analytiske oppgave, dvs. poeng og La oss finne de ensidige grensene for funksjonen på punktet: Siden ensidige grenser eksisterer og er endelige, men ikke er like med hverandre, er punktet et diskontinuitetspunkt av den første typen. Funksjonshopp: For poenget vi finner.
La oss huske at med intervall mener vi et segment eller et intervall, eller et halvt intervall, endelig eller uendelig.
Ris. 7.
Funksjonsbruddpunkter og deres klassifisering
