La to nyttefunksjoner gis
U(x) og U* (x) = h + y U(x) med d > 0.
Beslutningstaker kommer til resultatet A i h A2 på grunnlag av den andre nyttefunksjonen ved utredning av to alternativer. Hva ville endret hvis den i stedet fokuserte på den første verktøyfunksjonen?
Hvordan ville svaret ditt sett ut hvis den andre hjelpefunksjonen hadde formen U*(x) = h - y og (i) med y > 0?
Hvordan er alternativene ordnet når U*(x) = h?
* *
"Til
1. To nyttefunksjoner fører til aksept identiske løsninger når de gjensidig kan «oversettes» til hverandre gjennom en positiv lineær transformasjon (se også s. 74 om dette emnet). Hvis vi kan vise at U(x) er en positiv lineær transformasjon av funksjonen U*(x), så vil valg av nyttefunksjon ikke ha noen innvirkning på rekkefølgen av alternativer. Vi ser etter to tall a og b for b > 0, slik at det stemmer
a + bU*(x) = U(x).
Hvis vi erstatter den andre nyttefunksjonen, så har vi det
a + b (h + gU(x)) = U(x).
På det første trinnet definerer vi 6 på en slik måte at faktoren som U(x) multipliseres med får verdien av én. Selvfølgelig må vi betegne b = 1 /d. Slik viser det seg
a + - + U (x) = U (.r). 9
Etter dette må vi velge a slik at kun U(x) blir igjen på begge sider av ligningen. Dette vil skje når a = -h/g.
Nå ser vi etter formtransformasjon
a + b(h-gU(x)) = U(x).
For å oppnå ønsket resultat, må vi betegne b = - - l/h. Dette vil være en negativ lineær transformasjon og vil reversere rangeringsrekkefølgen.
En beslutningstaker som får denne nyttefunksjonen vurderer alle alternativer med samme verdi. Når du velger mellom alternativene A\ og A.2, bør det derfor komme til resultatet A i ~
Mer om tema 2.1.5. Det unike med verktøyfunksjonen:
- 1. Forbrukerpreferanser og marginalnytte. Hjelpefunksjon.
- 2.3.2. Kvadratisk nyttefunksjon og forventet nytte
- Nytte og den rasjonelle forbruker. Total og marginal nytte. Loven om avtagende marginalnytte. Prinsippet om nyttemaksimering
- Kvantitativ nytteteori. Begreper nytte, forbrukervalg, total og marginal nytte.
Hvis en regel er spesifisert i henhold til hvilken et visst tall u er assosiert med hvert punkt M i planet (eller en del av planet), så sies det at på planet (eller på en del av planet, "en punktfunksjon er gitt” definisjonen av funksjonen uttrykkes symbolsk ved en likhet på formen u - Tallet u knyttet til et punkt M kalles verdien av denne funksjonen ved punkt M. For eksempel, hvis A er et fast punkt i fly, M er vilkårlig poeng, da er avstanden fra A til M en funksjon av punktet M.B i dette tilfellet f(M) = AM.
La noen funksjon u = f(M) gis og samtidig innføre et koordinatsystem. Da bestemmes et vilkårlig punkt M av koordinatene x, y. Følgelig er verdien av denne funksjonen i punktet M bestemt av koordinatene x, y, eller, som de også sier, u = f(M) er en funksjon av to variabler x og y. En funksjon av to variable x, y er merket med symbolet f(x, y); hvis f(M) = f(x, y) så kalles formelen u = f(x, y) uttrykket for denne funksjonen i det valgte koordinatsystemet. Så i forrige eksempel f(M)=AM; hvis du introduserer kartesisk rektangulært system koordinerer med origo i punkt A, får vi uttrykket for denne funksjonen:
u = √(x 2 + y 2)
146. Gitt to punkter P og Q er avstanden mellom dem a, og funksjonen f(M) = d 2 1 - d 2 2, hvor d 1 - MP og d 2 - MQ. Bestem uttrykket for denne funksjonen hvis punktet P tas som origo for koordinater og okseaksen er rettet langs segmentet PQ.
147. Under betingelsene i oppgave 146, bestem uttrykket for funksjonen f(M) (direkte og ved hjelp av koordinattransformasjon, ved å bruke resultatet av oppgave 146), hvis:
1) opprinnelsen til koordinatene velges i midten av segmentet PQ, Ox-aksen er rettet langs segmentet PQ.
2) opprinnelsen til koordinatene velges i punktet P, og okseaksen er rettet langs segmentet QP.
148. Gitt: kvadrat ABCD med side a og funksjon f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4, hvor d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC og d 4 = MD. Bestem uttrykket for denne funksjonen hvis diagonalene til kvadratet tas som koordinataksene (og Ox-aksen er rettet langs segmentet AC, Oy-aksen er rettet langs segmentet BD).
149. Under betingelsene i oppgave 148, bestem uttrykket for f(M) (direkte og ved hjelp av koordinattransformasjon, ved å bruke resultatet av oppgave 148), hvis opprinnelsen til koordinatene er valgt ved punkt A, og koordinataksene er rettet langs dens sider (Ox-aksen er langs segmentet AB, Oy-aksen - langs segmentet AD).
150. Gitt funksjonen f(x, y) = x 2 + y 2 - 6x + 8y. Bestem uttrykket for denne funksjonen i et nytt koordinatsystem hvis origo for koordinater flyttes (uten å endre retningen på aksene) til punktet O"(3; -4).
151. Gitt funksjonen f(x, y) = x 2 - y 2 - 16. Bestem uttrykket for denne funksjonen i det nye koordinatsystemet hvis koordinataksene roteres i en vinkel på -45°.
152. Gitt en funksjon f(x, y) = x 2 + y 2 . Bestem uttrykket for denne funksjonen i det nye koordinatsystemet hvis koordinataksene roteres med en viss vinkel α.
153. Finn et punkt slik at når origo for koordinater overføres til det, vil uttrykket for funksjonen f(x,y) = x 2 - 4y 2 - 6x + 8y + 3 etter transformasjonen ikke inneholde ledd av den første grad med hensyn til nye variabler.
154. Finn et punkt slik at når origo for koordinater overføres til det, inneholder ikke uttrykket for funksjonen f(x, y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x + y - 7 termer av første grad med hensyn til nye variabler.
155. Med hvilken vinkel skal koordinataksene roteres slik at uttrykket av funksjonen f (x, y) = x 2 - 2xy + y 2 - 6x + 3 etter transformasjonen ikke inneholder et ledd med produktet av nye variabler ?
156. Med hvilken vinkel skal koordinataksene roteres slik at uttrykket av funksjonen f(x, y) = 3x 2 + 2√3xy + y 2 etter transformasjonen ikke inneholder et ledd med produktet av nye variabler?
2. Funksjoner. De enkleste egenskapene til funksjoner 21 2.11. Bevis at hvis f (x) er en periodisk funksjon med periode T, så er funksjonen f (ax) også periodisk med periode T /a. Løsning. Faktisk, f = f (ax + T) = f (ax), dvs. T /a er en av periodene til funksjonen f (ax). 2.12. Finn perioden for funksjonen f (x) = cos2 x. 1 + cos 2x Løsning. Vi kan skrive: cos2 x = . Vi ser den perioden 2 cos-funksjoner 2 x er det samme som perioden for cos 2x-funksjonen. Siden perioden til funksjonen cos x er lik 2π, er perioden til funksjonen cos 2x i henhold til Oppgave 2.11 lik π. 2.13. Finn perioden for funksjonene: a) f (x) = sin 2πx; b) f (x) = | fordi x|. Svar: a) T = 1; b) T = π. Oppgaver for uavhengig avgjørelse 2.14. La f (x) = x2 og ϕ(x) = 2x. Finn: a) f [ϕ(x)], b) ϕ. 2.15. Finn f (x + 1) hvis f (x − 1) = x2. 1 2,16. Funksjonen f (x) = er gitt. 1−x Finn ϕ(x) = f (f ). 2.17. Gitt en funksjon f (x) = 3x2 − 4x − 2. Bevis at funksjonen f (2x + 1) kan representeres som f (2x+1) = = Ax2 + Bx + C. Finn verdiene til konstantene A, B, C 2,18. Gitt to lineære funksjoner f1 (x) = 5x + 4 og f2 (x) = 3x − 1. Bevis at funksjonen f (x) = f2 også er lineær, det vil si at den har formen f (x) = Ax + B. Finn verdier av konstanten A og B. 3x + 7 5x + 4 2.19. Gitt to funksjoner f1 (x) = og f2 (x) = , 5x + 6 2x − 8 kalt brøk lineær. Bevis at funksjonen f (x) = f1 også er brøk lineær, det vil si at den har formen Ax + B f (x) = . Oppgi verdiene til konstantene A, B, C, D. Cx + D 22 Introduksjon til matematisk analyse 2.20. For noen funksjon f: X ⊂ R → Y ⊂ R er det kjent at f (3x + 5) = 45x2 − 12x + 3. Bevis at funksjonen f (x) kan representeres som f (x) = Ax2 + Bx + C. Finn verdiene til konstantene A, B, C. 2.21. Finn definisjonsdomenet følgende funksjoner: √ 2+x a) f (x) = x + 1; b) f (x) = lg; √ 2−x c) f (x) = 2 + x − x2 ; d) f(x) = arcsin(log2x); 1 + x2 d) f (x) = cos(sin x) + arcsin. 2x 2,22. Finn definisjonsdomenet til følgende funksjoner: √ 1 a) f (x) = x2 + 33x + 270; b) f(x) = 2; x + 26x + 168 x+2 c) f (x) = log[(1 + x)(12 − x)]; d) f(x) = arcsin; x−6 d) f (x) = (x + 9)(x + 8)(x − 14); 15 f) f (x) = arcsin; x − 11 −x f) f (x) = x2 + 13x + 42 + arcsin . 13 2,23. Konstruer definisjonsdomenet for følgende funksjoner: a) f (x, y) = log2 (x + y); √ b) f (x, y) = x2 − 4 + 4 − y 2 ; x2 + y2 c) f (x, y) = arcsin; 4 √ g) f (x, y) = xy. 2.24. Finn definisjonsdomenet for følgende funksjoner: 1 − log x 3 − 2x arcsin a) f (x) = 1 ; b) f (x) = √ 5 . √ x2 − 4x 3−x 2. Funksjoner. De enkleste egenskapene til funksjoner 23 2.25. Finn og konstruer definisjonsdomenet for følgende funksjoner: 4x − y 2 a) f (x, y) = ; log(1 − x2 − y 2) x2 + 2x + y 2 b) f (x, y) = . x2 − 2x + y 2 2,26. Bevis at funksjonene 2 2x + 2−x a) f1 (x) = 2−x , f2 (x) = , 2 f3 (x) = |x + 1| + |x − 1| til og med; 2x − 2−x 3x + 1 b) ϕ1 (x) = , ϕ2 (x) = x , 2 3 −1 1+x ϕ3 (x) = lg oddetall; 1−x 2 c) ψ1 (x) = sin x − cos x, ψ2 (x) = 2x−x, ψ3 (x) = x3 + x2 − 2 av generell form. 2.27. Funksjonene er gitt: 1 a) y = sin2 x; b) y = sin x2; c) y = 1 + tan x; d) y = synd. x Hvilke av dem er periodiske? 2x 2,28. Bevis at funksjonen y = har en invers, 1 + 2x, og finn den. 2,29. Bevis at funksjonen y = x2 − 2x har to inverser: y1 = 1 + x + 1 og y2 = 1 − x + 1. 2.30. Bevis at følgende funksjoner er avgrenset nedenfra: a) f1 (x) = x6 − 6x4 + 11x2 ; b) f2 (x) = x4 − 8x3+ 22x2. 2,31. Bevis at følgende funksjoner er avgrenset ovenfra: 1 5 a) f1 (x) = √ ; b) f1 (x) = √ . 4x2 − 16x + 36 5x 2 − 10x + 55 24 Introduksjon til kalkulus 2.32. Finn den minste og følgende funksjoner: a) f1 (x) = 3 sin x + 4 cos x; b) f2 (x) = 5 sin x + 12 cos x. 2,33. Beskriv formen til grafen for følgende funksjoner: a) z = 1 − x2 − y 2 ; b) z = x2 + y2; c) z = x2 + y2; d) z = x2 − y 2 . 2,34. Tegn nivålinjer for disse funksjonene, og gir z-verdier fra -3 til +3 til 1: a) z = xy; b) z = y(x2 + 1). 2,35. Tegn grafen til funksjonen y = 2 −3(x + 1) − 0,5 s √ ved å transformere grafen til funksjonen y = x. 2,36. Plott grafen til funksjonen y = 3 sin(2x − 4) ved å transformere grafen til funksjonen y = sin x. 2,37. Bruk grunnleggende funksjonsforskning (uten å bruke deriverte), plott grafer for følgende funksjoner: 1 x a) y = 2 ; b) y = 2; x +1 x +1 1 c) y = x4 − 2x2 + 5; d) y = 2; x + 4x + 5 2x − 5 d) y = ; f) y = x2 + 6x + 9 + 10. x−3 2,38. Plott grafer for følgende funksjoner: x, hvis − ∞< x < 1;
1 1
а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;
2
2
4, если 3 < x < +∞;
б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|;
в) f (x) = |x2 − 2x + 1|;
г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π;
д) f (x) = arccos(cos x);
t+5 t+1
е) f (t) = ; ж) f (t) = .
t−7 t2 + 2t + 2
3. Предел функции 25
3. Предел функции
Рекомендуется по lærebok studie underkapitlene 1.4 og 1.5. Bør betales Spesiell oppmerksomhet til underkapittel 1.4 og kjenne alle typer nabolag, deres betegnelser og skrivemåter i form av ulikheter. Utsagnet lim f (x) = A betyr: for ethvert nabolag x→x0 av elementet A (spesielt vilkårlig lite) av elementet A er det et punktert nabolag V (x0) av elementet x0 slik at fra betingelsen x ∈ V˙ (x0) ∩ X følger, f (x) ∈ U (A), hvor X er definisjonsdomenet til funksjonen f (x), og x0 er grensepunktet for mengden X. Ofte, i stedet av et vilkårlig nabolag U (A), vurderer man symmetrisk nabolag Uε (A). I dette tilfellet kan nabolaget ˙ V (x0) vise seg å være enten symmetrisk eller asymmetrisk, men fra ethvert asymmetrisk nabolag er det mulig å velge et symmetrisk nabolag Vδ (x0). Siden nabolaget V (x0) er punktert, dvs. inneholder ikke punktet x0, da er x = x0, og ved punktet x0 kan det hende at funksjonen f (x) ikke er definert. For å bevise at lim f (x) = A, er det nok å finne x→x0 settet (x) av de verdiene av x som inkluderingen f (x) ⊂ U (A) gjelder for alle nabolag U ( EN). Hvis det funnet mengden (x) er et nabolag til x0, så er setningen lim f (x) = A sann, i ellers den x→x0 er falsk. Spesielt hvis funksjonen f (x) i punktet x0 er definert og lim f (x) = f (x0), vil settet (x) også inneholde x→x0 punktet x0. Den gitte definisjonen av en grense gjelder for alle funksjonsklasser. I denne delen skal vi hovedsakelig behandle numeriske funksjoner ett numerisk argument. 3.1. Basert på definisjonen av grensen, bevis: 1 1 a) lim x = x0 ; b) lim = ; x→x0 x→2 x 2 1 1 1 c) lim = lim = lim = 0; x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x 26 Introduksjon til matematisk analyse 1 1 d) lim = +∞; e) lim = −∞; x→0+0 x x→0−0 x 1 f) lim = 2; g) lim x2 = 4. x→1 x x→2 Løsning: a) utsagnet lim x = x0 direkte x→x0 følger av definisjonen av grensen. Hvis nabolaget Uε (x0) ˙ (|x − x0 |< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно
принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε;
1 1
б) докажем, что lim = . По определению предела
x→2 x 2
мы должны доказать, что для любой заданной окрестности
1 ˙
Uε , ε >0 er det et nabolag V (2) slik at hvis 2 ˙ 1 1 1 1 x ∈ V (2), så −< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле-
x 2 x 2
дующим двум неравенствам:
1 1
−ε < − < +ε
или x 2
1 1 1
− ε < < + ε.
2 x 2
Так как при достаточ-
но малом ε все части
этого неравенства по-
ложительны, то
2 2