Videokurset "Få en A" inneholder alle emnene du trenger vellykket gjennomføring Unified State Examination i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!
Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.
Alle nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmeligheter ved Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.
Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.
Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling romlig fantasi. Trigonometri fra bunnen til oppgave 13. Forståelse i stedet for å stappe. Visuell forklaring komplekse konsepter. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Grunnlag for løsning komplekse oppgaver 2 deler av Unified State-eksamenen.
Hvis du følger definisjonen, er den deriverte av en funksjon i et punkt grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen Δ y til argumentøkningen Δ x:
Alt ser ut til å være klart. Men prøv å bruke denne formelen til å beregne for eksempel den deriverte av funksjonen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Hvis du gjør alt per definisjon, vil du bare sovne etter et par sider med beregninger. Derfor finnes det enklere og mer effektive måter.
Til å begynne med merker vi at fra hele utvalget av funksjoner kan vi skille de såkalte elementære funksjonene. Det er relativt enkle uttrykk, hvis derivater lenge har vært beregnet og oppført i tabellen. Slike funksjoner er ganske enkle å huske - sammen med deres derivater.
Derivater av elementære funksjoner
Elementære funksjoner er alle de som er oppført nedenfor. Derivatene av disse funksjonene må være kjent utenat. Dessuten er det slett ikke vanskelig å huske dem - det er derfor de er elementære.
Så, derivater elementære funksjoner:
| Navn | Funksjon | Derivat |
| Konstant | f(x) = C, C ∈ R | 0 (ja, null!) |
| Kraft med rasjonell eksponent | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = synd x | cos x |
| Cosinus | f(x) = cos x | −synd x(minus sinus) |
| Tangent | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Cotangens | f(x) = ctg x | − 1/synd 2 x |
| Naturlig logaritme | f(x) = logg x | 1/x |
| Vilkårlig logaritme | f(x) = logg en x | 1/(x ln en) |
| Eksponentiell funksjon | f(x) = e x | e x(ingenting endret seg) |
Hvis en elementær funksjon multipliseres med en vilkårlig konstant, beregnes også den deriverte av den nye funksjonen:
(C · f)’ = C · f ’.
Generelt kan konstanter tas ut av tegnet til den deriverte. For eksempel:
(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Det er klart at elementære funksjoner kan legges til hverandre, multipliseres, deles – og mye mer. Slik vil nye funksjoner fremstå, ikke lenger spesielt elementære, men også differensierbare mht visse regler. Disse reglene er omtalt nedenfor.
Derivert av sum og differanse
La funksjonene være gitt f(x) Og g(x), hvis derivater er kjent for oss. For eksempel kan du ta de elementære funksjonene som er diskutert ovenfor. Deretter kan du finne den deriverte av summen og differansen av disse funksjonene:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Så den deriverte av summen (forskjellen) av to funksjoner er lik summen (forskjellen) av de deriverte. Det kan være flere vilkår. For eksempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Strengt tatt er det ikke noe begrep om "subtraksjon" i algebra. Det er et konsept " negativt element" Derfor forskjellen f − g kan skrives om som en sum f+ (−1) g, og da gjenstår bare én formel - den deriverte av summen.
f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Funksjon f(x) er summen av to elementære funksjoner, derfor:
f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2)’ + (synd x)’ = 2x+ cos x;
Vi resonnerer på samme måte for funksjonen g(x). Bare det er allerede tre begreper (fra algebras synspunkt):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Derivat av produktet
Matematikk er en logisk vitenskap, så mange tror at hvis den deriverte av en sum er lik summen av deriverte, så er den deriverte av produktet streik">lik produktet av derivater. Men tull! Den derivative av et produkt beregnes ved hjelp av en helt annen formel. Nemlig:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Formelen er enkel, men den blir ofte glemt. Og ikke bare skoleelever, men også studenter. Resultatet er feil løste problemer.
Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Funksjon f(x) er produktet av to elementære funksjoner, så alt er enkelt:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− synd x) = x 2 (3cos x − x synd x)
Funksjon g(x) den første faktoren er litt mer komplisert, men generell ordning dette endrer seg ikke. Åpenbart den første faktoren til funksjonen g(x) er et polynom og dens deriverte er den deriverte av summen. Vi har:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Vær oppmerksom på at i siste trinn blir den deriverte faktorisert. Formelt sett trenger ikke dette å gjøres, men de fleste derivater beregnes ikke på egen hånd, men for å undersøke funksjonen. Dette betyr at videre vil den deriverte bli likestilt til null, dens fortegn vil bli bestemt, og så videre. For et slikt tilfelle er det bedre å få et uttrykk faktorisert.
Hvis det er to funksjoner f(x) Og g(x), og g(x) ≠ 0 på settet vi er interessert i, kan vi definere en ny funksjon h(x) = f(x)/g(x). For en slik funksjon kan du også finne den deriverte:
Ikke svak, ikke sant? Hvor kom minuset fra? Hvorfor g 2? Og sånn! Dette er en av de mest komplekse formler– Du kan ikke finne ut av det uten en flaske. Derfor er det bedre å studere det på spesifikke eksempler.
Oppgave. Finn deriverte av funksjoner:
Telleren og nevneren for hver brøk inneholder elementære funksjoner, så alt vi trenger er formelen for den deriverte av kvotienten:
I følge tradisjonen, la oss faktorisere telleren - dette vil i stor grad forenkle svaret:
En kompleks funksjon er ikke nødvendigvis en halv kilometer lang formel. For eksempel er det nok å ta funksjonen f(x) = synd x og erstatte variabelen x, la oss si, på x 2 + ln x. Det ordner seg f(x) = synd ( x 2 + ln x) - dette er en kompleks funksjon. Den har også et derivat, men det vil ikke være mulig å finne det ved å bruke reglene diskutert ovenfor.
Hva burde jeg gjøre? I slike tilfeller hjelper det å erstatte variabelen og den deriverte formelen kompleks funksjon:
f ’(x) = f ’(t) · t', hvis x er erstattet av t(x).
Som regel er situasjonen med å forstå denne formelen enda mer trist enn med den deriverte av kvotienten. Derfor er det også bedre å forklare det med konkrete eksempler, med Detaljert beskrivelse hvert steg.
Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)
Merk at hvis i funksjonen f(x) i stedet for uttrykk 2 x+ 3 vil være enkelt x, så får vi en elementær funksjon f(x) = e x. Derfor gjør vi en erstatning: la 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi ser etter den deriverte av en kompleks funksjon ved å bruke formelen:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Og nå - oppmerksomhet! Vi utfører omvendt erstatning: t = 2x+ 3. Vi får:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
La oss nå se på funksjonen g(x). Det er klart at det må skiftes ut x 2 + ln x = t. Vi har:
g ’(x) = g ’(t) · t’ = (synd t)’ · t’ = cos t · t ’
Omvendt erstatning: t = x 2 + ln x. Deretter:
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
Det er alt! Som man kan se av siste uttrykk, ble hele problemet redusert til å beregne den deriverte summen.
Svar:
f ’(x) = 2 · e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) fordi ( x 2 + ln x).
Svært ofte i timene mine, i stedet for begrepet "derivat", bruker jeg ordet "prime". For eksempel en prime fra beløpet lik summen slag. Er det klarere? Vel, det er bra.
Dermed kommer beregning av derivatet ned til å bli kvitt de samme slagene i henhold til reglene diskutert ovenfor. Som siste eksempel La oss gå tilbake til den deriverte potensen med en rasjonell eksponent:
(x n)’ = n · x n − 1
De færreste vet det i rollen n kan godt prestere et brøktall. For eksempel er roten x 0,5. Hva om det er noe fancy under roten? Igjen vil resultatet bli en kompleks funksjon – de gir gjerne slike konstruksjoner til tester og eksamener.
Oppgave. Finn den deriverte av funksjonen:
La oss først omskrive roten som en potens med en rasjonell eksponent:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Nå gjør vi en erstatning: la x 2 + 8x − 7 = t. Vi finner den deriverte ved å bruke formelen:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.
La oss gjøre omvendt erstatning: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:
f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Til slutt, tilbake til røttene:
Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering.
Som et resultat av å løse problemer med å finne deriverte av de enkleste (og ikke veldig enkle) funksjonene ved å definere den deriverte som grensen for forholdet mellom økningen og økningen av argumentet, dukket det opp en tabell med deriverte og nøyaktig visse regler differensiering. De første som arbeidet med å finne derivater var Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Derfor, i vår tid, for å finne den deriverte av en funksjon, trenger du ikke å beregne den ovennevnte grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, men du trenger bare å bruke tabellen med derivater og differensieringsreglene. Følgende algoritme er egnet for å finne den deriverte.
For å finne den deriverte, trenger du et uttrykk under primtegnet demonteres i komponenter enkle funksjoner og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funksjonene er relatert. Deretter finner vi de deriverte av elementære funksjoner i tabellen over deriverte, og formlene for de deriverte av produktet, sum og kvotient - i differensieringsreglene. Den deriverte tabellen og differensieringsreglene er gitt etter de to første eksemplene.
Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Fra reglene for differensiering finner vi ut at den deriverte av en sum av funksjoner er summen av deriverte av funksjoner, dvs.
Fra tabellen over deriverte finner vi ut at den deriverte av "X" er lik en, og den deriverte av sinus er lik cosinus. Vi erstatter disse verdiene i summen av deriverte og finner den deriverte som kreves av tilstanden til problemet:
Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi differensierer som en derivert av en sum der det andre leddet har en konstant faktor den kan tas ut av tegnet til den deriverte:
Hvis det likevel dukker opp spørsmål om hvor noe kommer fra, blir de vanligvis ryddet opp etter å ha satt seg inn i tabellen over derivater og de enkleste differensieringsreglene. Vi går videre til dem akkurat nå.
Tabell over deriverte av enkle funksjoner
Regel 1. Hvis funksjonene
er differensierbare på et tidspunkt, så er funksjonene differensierbare på samme punkt
de. derivat algebraisk sum funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene.
Konsekvens. Hvis to differensierbare funksjoner er forskjellige med et konstant ledd, er deres deriverte like, dvs.
Regel 2. Hvis funksjonene
er differensierbare på et tidspunkt, så er produktet deres differensierbart på samme punkt
de. Den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre.
Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:
Konsekvens 2. Den deriverte av produktet av flere differensierbare funksjoner er lik summen av produktene av den deriverte av hver faktor og alle de andre.
For eksempel for tre multiplikatorer:
Regel 3. Hvis funksjonene
differensierbar på et tidspunkt Og , så på dette punktet er kvotienten deres også differensierbar u/v , og
de. den deriverte av kvotienten av to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere telleren.
Hvor du kan se etter ting på andre sider
Når man finner den deriverte av et produkt og kvotienten i reelle problemer Det er derfor alltid nødvendig å bruke flere differensieringsregler samtidig flere eksempler for disse derivatene - i artikkelen "Derivat av produktet og kvotient av funksjoner".
Kommentar. Du bør ikke forveksle en konstant (det vil si et tall) som et ledd i en sum og som en konstant faktor! Når det gjelder et ledd, er dens deriverte lik null, og når det gjelder en konstant faktor, tas den ut av tegnet til de deriverte. Dette typisk feil, som skjer på det første stadiet studere derivater, men ettersom de løser flere en- og todelte eksempler, gjør ikke den gjennomsnittlige eleven lenger denne feilen.
Og hvis du, når du differensierer et produkt eller kvotient, har et begrep u‘v, hvori u- et tall, for eksempel 2 eller 5, det vil si en konstant, så vil den deriverte av dette tallet være lik null, og derfor vil hele leddet være lik null (dette tilfellet er diskutert i eksempel 10).
Annen vanlig feil — mekanisk løsning derivert av en kompleks funksjon som en derivert av en enkel funksjon. Derfor avledet av en kompleks funksjon en egen artikkel er viet. Men først skal vi lære å finne deriverte av enkle funksjoner.
Underveis kan du ikke gjøre uten å transformere uttrykk. For å gjøre dette må du kanskje åpne manualen i nye vinduer. Handlinger med krefter og røtter Og Operasjoner med brøker.
Hvis du leter etter løsninger på deriverte av brøker med potenser og røtter, det vil si når funksjonen ser ut som 
, følg deretter leksjonen "Derivert av summer av brøker med potenser og røtter."
Hvis du har en oppgave som 
, deretter for leksjonen "Derivatives of simple trigonometriske funksjoner».
Steg-for-trinn eksempler - hvordan finne den deriverte
Eksempel 3. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi definerer delene av funksjonsuttrykket: hele uttrykket representerer et produkt, og dets faktorer er summer, i det andre inneholder ett av leddene en konstant faktor. Vi bruker produktdifferensieringsregelen: den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene med den deriverte av den andre:
Deretter bruker vi regelen for differensiering av summen: den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene. I vårt tilfelle har det andre leddet et minustegn i hver sum. I hver sum ser vi både en uavhengig variabel, hvis deriverte er lik én, og en konstant (tall), hvis deriverte er lik null. Så, "X" blir til en, og minus 5 blir til null. I det andre uttrykket multipliseres "x" med 2, så vi multipliserer to med samme enhet som den deriverte av "x". Vi får følgende deriverte verdier:
Vi erstatter de funnet deriverte i summen av produkter og får den deriverte av hele funksjonen som kreves av tilstanden til problemet:
Eksempel 4. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi er pålagt å finne den deriverte av kvotienten. Vi bruker formelen for å differensiere kvotienten: den deriverte av kvotienten til to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene til nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet til den tidligere telleren. Vi får:
Vi har allerede funnet den deriverte av faktorene i telleren i eksempel 2. La oss heller ikke glemme at produktet, som er den andre faktoren i telleren i gjeldende eksempel, er tatt med et minustegn:
Hvis du leter etter løsninger på problemer der du trenger å finne den deriverte av en funksjon, hvor det er en kontinuerlig haug med røtter og potenser, som f.eks. 
, så velkommen til timen "Derivat av summer av brøker med potenser og røtter".
Hvis du trenger å lære mer om deriverte av sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funksjoner, det vil si når funksjonen ser ut som , så en leksjon for deg "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner".
Eksempel 5. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. I denne funksjonen ser vi et produkt, hvor en av faktorene er kvadratroten av den uavhengige variabelen, den deriverte vi gjorde oss kjent med i tabellen over deriverte. I henhold til regelen for differensiering av produktet og tabellverdien til derivatet kvadratrot vi får:
Eksempel 6. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. I denne funksjonen ser vi en kvotient hvis utbytte er kvadratroten av den uavhengige variabelen. Ved å bruke regelen for differensiering av kvotienter, som vi gjentok og brukte i eksempel 4, og den tabulerte verdien av den deriverte av kvadratroten, får vi:
For å bli kvitt en brøk i telleren, multipliser telleren og nevneren med:
Finn derivatene selv og se deretter på løsningene
Eksempel 7. Finn den deriverte av en funksjon
Eksempel 8. Finn den deriverte av en funksjon
.
La oss fortsette å se etter derivater sammen
Eksempel 9. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Ved å bruke reglene for å beregne den deriverte av en algebraisk sum av funksjoner, plassere en konstant faktor utenfor tegnet til den deriverte og formelen for den deriverte potensen (i tabellen over deriverte - under nummer 3), får vi
.
Eksempel 10. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. La oss bruke produktdifferensieringsregelen, og deretter finne derivatene av faktorene, akkurat som i forrige oppgave, ved å bruke formel 3 fra tabellen over derivater. Så får vi
Eksempel 11. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Som i eksempel 4 og 6, bruker vi regelen om differensiering av kvotienter:
La oss nå beregne de deriverte i telleren, og vi har det nødvendige resultatet:
Eksempel 12. Finn den deriverte av en funksjon
Trinn 1. Vi bruker regelen for å skille summen:
Steg 2. La oss finne den deriverte av det første leddet. Dette er den tabellformede deriverte av kvadratroten (nummer 5 i derivertetabellen):
Trinn 3. I kvotienten er nevneren også roten, men ikke kvadratet. Derfor forvandler vi denne roten til en kraft:
Roten til en konstant, som du kanskje gjetter, er også en konstant, og den deriverte av en konstant, som vi vet fra tabellen over deriverte, er lik null:
og den deriverte som kreves i problemformuleringen:
Få en PDF-manual med 33 eksempelløsninger Finn den deriverte: en algoritme basert på eksemplet med enkle elementære funksjoner, GRATIS
Vi minner om det litt mer komplekse eksempler om den deriverte av et produkt og en kvotient - i artiklene "Derivat av et produkt og kvotient av funksjoner" og "Derivat av en sum av brøker med potenser og røtter."
Regler for differensiering. Avledet av produktet av funksjoner.
Differensiering– bestemmelse av derivater og differensialer av alle ordener fra en funksjon av én variabel og partielle derivater og differensialer, i tillegg, fulle differensialer på funksjonene til de fleste variabler.
Bevis for regelen for å skille produktet av 2 funksjoner:
Vi skriver ned grensen for forholdet mellom økningen av et produkt av funksjoner og økningen av argumentet. Vi tar hensyn til at:
(økningen av funksjonen har en tendens til 0 når økningen av argumentet har en tendens til 0).
La oss nå se på regelen ovenfor ved å bruke flere eksempler.
.
I dette eksemplet. La oss bruke produktderivatregelen:
Vi ser på tabellen over derivater av de viktigste elementære funksjonene og finner løsningen:
La oss finne den deriverte av funksjonen:
I i dette eksemplet 
. Midler:
La oss nå se på muligheten for å bestemme den deriverte av produktet av 3 funksjoner. Ved å bruke dette systemet blir produktet av 4, 5 og 25 funksjoner differensiert.
Vi går ut fra regelen om differensiering av produktet av 2 funksjoner. Funksjon f(x) telle produktet (1+x)sinx, og funksjonen g(x) la oss ta lnx:
Å bestemme 
Vi bruker produktderivatregelen igjen:
La oss bruke den deriverte sumregelen og den deriverte tabellen:
La oss erstatte resultatet vi fikk:
Av det som er beskrevet ovenfor er det klart at noen ganger er det nødvendig å bruke mer enn bare én differensieringsregel i ett eksempel. Det er viktig å gjøre alt konsekvent og nøye.
Funksjonen er forskjellen mellom uttrykkene og , som betyr:
I det første uttrykket tar vi det 2. ut av det deriverte tegnet, og i det andre uttrykket bruker vi regelen for å differensiere produktet:
Hva er et derivat?
Derivat er et av hovedbegrepene høyere matematikk. I denne leksjonen vil vi introdusere dette konseptet. La oss bli kjent med hverandre, uten strenge matematiske formuleringer og bevis.
Dette bekjentskapet vil tillate deg å:
— forstå essensen av enkle oppgaver med derivater;
- lykkes med å løse disse veldig Ikke vanskelige oppgaver;
— Forbered deg på mer seriøse leksjoner om derivater.
Først - en hyggelig overraskelse.)
Den strenge definisjonen av derivatet er basert på teorien om grenser, og saken er ganske komplisert. Dette er opprørende. Men den praktiske anvendelsen av derivater krever som regel ikke så omfattende og dyp kunnskap!
Til vellykket implementering det er nok å kunne de fleste oppgaver på skole og universitet bare noen få termer- å forstå oppgaven, og bare noen få regler- å løse det. Det er alt. Dette gjør meg glad.
La oss begynne å bli kjent?)
Vilkår og betegnelser.
Det er mange ting i elementær matematikk matematiske operasjoner. Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, eksponentiering, logaritme, etc. Hvis vi legger til én til disse operasjonene, elementær matematikk blir den høyeste. Denne nye operasjonen kalles differensiering. Definisjonen og betydningen av denne operasjonen vil bli diskutert i separate leksjoner.
Det er viktig å forstå her at differensiering ganske enkelt er en matematisk operasjon på en funksjon. Vi tar hvilken som helst funksjon og transformerer den i henhold til visse regler. Resultatet blir ny funksjon. Denne nye funksjonen heter: derivat.
Differensiering— handling på en funksjon.
Derivat- resultatet av denne handlingen.
Akkurat som for eksempel sum er et resultat av tillegg. Eller privat- resultatet av divisjon.
Når du kjenner begrepene, kan du i det minste forstå oppgavene.) Formuleringene er som følger: finne den deriverte av en funksjon; ta den deriverte; differensiere funksjonen; beregne derivater og så videre. Dette er alt samme. Selvfølgelig er det også mer komplekse oppgaver, hvor det å finne den deriverte (differensiering) bare vil være ett av trinnene for å løse problemet.
Den deriverte er indikert med en strek øverst til høyre i funksjonen. Som dette: y' eller f"(x) eller S"(t) og så videre.
Lesning igrek slag, ef slag fra x, es slag fra te, vel, du forstår.)
Et primtall kan også indikere den deriverte av en bestemt funksjon, for eksempel: (2x+3)’, (x 3 )’ , (sinx)' etc. Ofte er derivater betegnet ved hjelp av differensialer, men vi vil ikke vurdere slik notasjon i denne leksjonen.
La oss anta at vi har lært å forstå oppgavene. Alt som gjenstår er å lære hvordan du løser dem.) La meg minne deg nok en gang: Å finne den deriverte er transformasjon av en funksjon i henhold til visse regler. Overraskende nok er det svært få av disse reglene.
For å finne den deriverte av en funksjon trenger du bare å vite tre ting. Tre søyler som all differensiering står på. Dette er de tre pilarene:
1. Tabell over derivater (differensieringsformler).
3. Derivat av en kompleks funksjon.
La oss starte i rekkefølge. I denne leksjonen skal vi se på tabellen over derivater.
Tabell over derivater.
I verden - uendelig sett funksjoner. Blant denne varianten er det funksjoner som er viktigst for praktisk anvendelse. Disse funksjonene finnes i alle naturlover. Fra disse funksjonene, som fra murstein, kan du konstruere alle de andre. Denne klassen av funksjoner kalles elementære funksjoner. Det er disse funksjonene som studeres på skolen - lineær, kvadratisk, hyperbel, etc.
Differensiering av funksjoner "fra bunnen av", dvs. Basert på definisjonen av derivat og teorien om grenser, er dette en ganske arbeidskrevende ting. Og matematikere er mennesker også, ja, ja!) Så de forenklet livet deres (og oss). De beregnet de deriverte av elementære funksjoner før oss. Resultatet er en tabell med derivater, hvor alt er klart.)
Her er den, denne platen for de mest populære funksjonene. Til venstre er en elementær funksjon, til høyre er dens deriverte.
Differensieringsformler
Tabell over derivater av elementære funksjoner
Den deriverte beregningen kalles differensiering.
Angi den deriverte $y'$ eller $\frac$.
For å finne den deriverte av en funksjon, transformeres den til en annen funksjon i henhold til visse regler.
La oss vurdere tabell over derivater. La oss ta hensyn til det faktum at funksjoner, etter å ha funnet deres deriverte, transformeres til andre funksjoner.
Det eneste unntaket er $y=e^x$, som blir til seg selv.
Regler for differensiering
Oftest, når du finner en derivat, må du ikke bare se på tabellen over derivater, men først bruke differensieringsreglene, og først deretter bruke tabellen over derivater av elementære funksjoner.
1. Konstanten tas ut av det deriverte tegnet
Differensier funksjonen $y=7x^4$.
Vi finner $y'=(7x^4)'$. Ved å ta tallet $7$ ut av det deriverte tegnet får vi:
bruk tabellen og finn verdien av den deriverte av potensfunksjonen:
La oss transformere resultatet til formen som er akseptert i matematikk:
2. Den deriverte av summen (differansen) er lik summen (differansen) av de deriverte:
Differensieer funksjonen $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt +\frac -11\cot x$.
merk at når du differensierer, må alle potenser og røtter transformeres til formen $x^>$;
La oss ta alle konstanter ut av det deriverte tegnet:
Etter å ha forstått reglene, brukes noen av dem (for eksempel som de to siste) samtidig for å unngå å omskrive et langt uttrykk;
vi har fått et uttrykk fra elementære funksjoner under det deriverte tegnet; La oss bruke tabellen over derivater:
La oss transformere det til formen som er akseptert i matematikk:
$=1-25x^4+4 \cos x-\frac >+\frac +\frac $ . Vær oppmerksom på at når du finner resultatet, vilkårene med brøkkrefter konvertere til røtter, og med negative - til brøker.
Kan ikke forstå noe?
Prøv å spørre lærerne dine om hjelp
3. Formel for den deriverte av produktet av funksjoner:
Differensieer funksjonen $y=x^ \lnx$.
Først bruker vi regelen for å beregne den deriverte av et produkt av funksjoner, og deretter bruker vi tabellen med deriverte:
4. Formel for den deriverte av kvotientfunksjoner:
Differensier funksjonen $y=\frac $.
I henhold til prioriteringsreglene for matematiske operasjoner, vil vi først utføre divisjon, og deretter addisjon og subtraksjon, så vi bruker først regelen for å beregne den deriverte av en kvotient:
La oss bruke reglene for sum- og differansederivater, åpne parentesene og forenkle uttrykket:
La oss skille mellom funksjonen $y=\frac $.
Funksjonen y er kvotienten til to funksjoner, så du kan bruke regelen for å beregne den deriverte av kvotienten, men i dette tilfellet får du en tungvint funksjon. For å forenkle denne funksjonen kan du dele telleren med nevneren begrep for begrep:
La oss bruke regelen for å differensiere summen og differansen av funksjoner til en forenklet funksjon.