La oss fortsette å snakke om løse ligninger. I denne artikkelen vil vi gå i detalj om rasjonelle ligninger og løsningsprinsipper rasjonelle ligninger med én variabel. La oss først finne ut hvilken type ligninger som kalles rasjonelle, gi en definisjon av hele rasjonelle og brøkformelle rasjonelle ligninger, og gi eksempler. Deretter skal vi skaffe algoritmer for å løse rasjonelle ligninger, og selvfølgelig vurdere løsninger typiske eksempler med alle nødvendige forklaringer.
Sidenavigering.
Basert på de oppgitte definisjonene gir vi flere eksempler på rasjonelle ligninger. For eksempel er x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , alle rasjonelle ligninger.
Fra de viste eksemplene er det klart at rasjonelle ligninger, så vel som ligninger av andre typer, kan være med én variabel, eller med to, tre osv. variabler. I følgende punkter vi skal snakke om å løse rasjonelle ligninger med én variabel. Løse ligninger i to variabler og dem et stort antall fortjener spesiell oppmerksomhet.
I tillegg til å dele rasjonelle ligninger med antall ukjente variabler, er de også delt inn i heltall og brøk. La oss gi de tilsvarende definisjonene.
Definisjon.
Den rasjonelle ligningen kalles hel, hvis både venstre og høyre del er heltall rasjonelle uttrykk.
Definisjon.
Hvis minst en av delene av en rasjonell ligning er et brøkuttrykk, kalles en slik ligning brøkdel rasjonell(eller brøkrasjonal).
Det er klart at hele ligninger ikke inneholder divisjon med en variabel, tvert imot inneholder rasjonelle brøklikninger nødvendigvis divisjon med en variabel (eller en variabel i nevneren). Så 3 x+2=0 og (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– dette er hele rasjonelle ligninger, begge deler er hele uttrykk. A og x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 er eksempler på rasjonelle brøklikninger.
Avsluttende dette punktet, la oss ta hensyn til det faktum at de lineære ligningene og kvadratiske ligningene kjent til dette punktet er hele rasjonelle ligninger.
Løse hele ligninger
En av hovedtilnærmingene for å løse hele ligninger er å redusere dem til likeverdige algebraiske ligninger. Dette kan alltid gjøres ved å utføre følgende ekvivalente transformasjoner av ligningen:
- først overføres uttrykket fra høyre side av den opprinnelige heltallsligningen til venstre side Med motsatt tegn for å få null på høyre side;
- etter dette, på venstre side av ligningen den resulterende standard visning.
Resultatet er algebraisk ligning, som tilsvarer den opprinnelige heltallsligningen. Så i det meste enkle sakerå løse hele ligninger reduseres til å løse lineære eller kvadratiske ligninger, og i generell sak– løse en algebraisk ligning av grad n. For klarhet, la oss se på løsningen på eksempelet.
Eksempel.
Finn røttene til hele ligningen 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.
Løsning.
La oss redusere løsningen av hele denne likningen til løsningen av en ekvivalent algebraisk likning. For å gjøre dette overfører vi først uttrykket fra høyre side til venstre, som et resultat kommer vi til ligningen 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Og for det andre transformerer vi uttrykket dannet på venstre side til et standardform polynom ved å fullføre det nødvendige: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Dermed reduseres løsning av den opprinnelige heltallsligningen til å løse andregradsligningen x 2 −5·x−6=0.
Vi beregner dens diskriminerende D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, den er positiv, noe som betyr at ligningen har to reelle røtter, som vi finner ved å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning:
For å være helt sikker, la oss gjøre det sjekke de funnet røttene til ligningen. Først sjekker vi roten 6, erstatter den i stedet for variabelen x i den opprinnelige heltallsligningen: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, som er det samme, 63=63. Dette er sant numerisk likhet, derfor er x=6 faktisk roten til ligningen. Nå sjekker vi roten −1, vi har 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, hvorfra 0=0 . Når x=−1, blir den opprinnelige ligningen også til en korrekt numerisk likhet, derfor er x=−1 også en rot av ligningen.
Svar:
6 , −1 .
Her bør det også bemerkes at begrepet "grad av hele ligningen" er assosiert med representasjonen av en hel ligning i form av en algebraisk ligning. La oss gi den tilsvarende definisjonen:
Definisjon.
Kraften til hele ligningen kalles graden av en ekvivalent algebraisk ligning.
I følge denne definisjonen har hele ligningen fra forrige eksempel andre grad.
Dette kunne vært slutten på å løse hele rasjonelle ligninger, hvis ikke for én ting... Som kjent er det å løse algebraiske ligninger med høyere grad enn den andre forbundet med betydelige vanskeligheter, og for ligninger med grader høyere enn den fjerde er det ingen generelle formler røtter Derfor, for å løse hele likninger av tredje, fjerde og mer høye grader Ofte må man ty til andre løsningsmetoder.
I slike tilfeller en tilnærming til å løse hele rasjonelle ligninger basert på faktoriseringsmetode. I dette tilfellet følges følgende algoritme:
- først sørger de for at det er en null på høyre side av ligningen for å gjøre dette, overfører de uttrykket fra høyre side av hele ligningen til venstre;
- deretter blir det resulterende uttrykket på venstre side presentert som et produkt av flere faktorer, som lar oss gå videre til et sett med flere enklere ligninger.
Den gitte algoritmen for å løse en hel ligning gjennom faktorisering krever en detaljert forklaring ved hjelp av et eksempel.
Eksempel.
Løs hele ligningen (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .
Løsning.
Først, som vanlig, overfører vi uttrykket fra høyre side til venstre side av ligningen, og ikke glemmer å endre tegnet, får vi (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Her er det ganske åpenbart at det ikke er tilrådelig å transformere venstre side av den resulterende ligningen til et polynom av standardformen, siden dette vil gi en algebraisk ligning av formens fjerde grad x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, hvis løsning er vanskelig.
På den annen side er det åpenbart at på venstre side av den resulterende ligningen kan vi x 2 −10 x+13 , og dermed presentere det som et produkt. Vi har (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Den resulterende ligningen er ekvivalent med den opprinnelige hele ligningen, og den kan på sin side erstattes av et sett med to andregradsligninger x 2 −10·x+13=0 og x 2 −2·x−1=0. Finne sine røtter ved kjente formler røtter gjennom diskriminanten er ikke vanskelig, røttene er like. De er de ønskede røttene til den opprinnelige ligningen.
Svar:
Også nyttig for å løse hele rasjonelle ligninger metode for å introdusere en ny variabel. I noen tilfeller lar den deg gå til ligninger hvis grad er lavere enn graden til den opprinnelige hele ligningen.
Eksempel.
Finn de virkelige røttene til en rasjonell ligning (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).
Løsning.
Å redusere hele denne rasjonelle ligningen til en algebraisk ligning er mildt sagt ikke en veldig god idé, siden vi i dette tilfellet kommer til behovet for å løse en fjerdegradsligning som ikke har rasjonelle røtter. Derfor må du se etter en annen løsning.
Her er det lett å se at du kan introdusere en ny variabel y og erstatte uttrykket x 2 +3·x med den. Denne erstatningen fører oss til hele ligningen (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , som, etter å ha flyttet uttrykket −2·(y−4) til venstre side og påfølgende transformasjon av uttrykket dannet der, reduseres til en andregradsligning y 2 +4·y+3=0. Røttene til denne ligningen y=−1 og y=−3 er enkle å finne, for eksempel kan de velges basert på teoremet invers til Vietas teorem.
Nå går vi videre til den andre delen av metoden for å introdusere en ny variabel, det vil si å utføre en omvendt erstatning. Etter å ha utført den omvendte substitusjonen får vi to likninger x 2 +3 x=−1 og x 2 +3 x=−3, som kan skrives om til x 2 +3 x+1=0 og x 2 +3 x+3 =0 . Ved å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning, finner vi røttene til den første ligningen. Og den andre kvadratisk ligning ikke har ekte røtter, siden dens diskriminant er negativ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).
Svar:
Generelt, når vi har å gjøre med hele ligninger av høye grader, må vi alltid være forberedt på å søke ikke-standard metode eller kunstig mottakå løse dem.
Løse rasjonelle brøklikninger
Først vil det være nyttig å forstå hvordan man løser rasjonelle brøklikninger av formen , der p(x) og q(x) er rasjonelle heltallsuttrykk. Og så vil vi vise hvordan man reduserer løsningen av andre brøkrasjonelle ligninger til løsningen av ligninger av den angitte typen.
En av tilnærmingene til å løse ligningen er basert på følgende utsagn: numerisk brøk u/v , der v er et tall som ikke er null (ellers vil vi møte , som er udefinert), er lik null hvis og bare hvis telleren lik null, det vil si hvis og bare hvis u=0. I kraft av denne setningen reduseres løsning av ligningen til å oppfylle to betingelser p(x)=0 og q(x)≠0.
Denne konklusjonen tilsvarer følgende algoritme for å løse en rasjonell brøkligning. For å løse en rasjonell brøkligning av formen trenger du
- løs hele den rasjonelle ligningen p(x)=0 ;
- og sjekk om betingelsen q(x)≠0 er oppfylt for hver rot funnet, mens
- hvis det er sant, er denne roten roten til den opprinnelige ligningen;
- hvis den ikke er oppfylt, er denne roten fremmed, det vil si at den ikke er roten til den opprinnelige ligningen.
La oss se på et eksempel på bruk av den annonserte algoritmen når vi løser en rasjonell brøkligning.
Eksempel.
Finn røttene til ligningen.
Løsning.
Dette er en rasjonell brøkligning, og av formen , hvor p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.
I henhold til algoritmen for å løse rasjonelle brøklikninger av denne typen, må vi først løse ligningen 3 x−2=0. Dette lineær ligning, hvis rot er x=2/3.
Det gjenstår å sjekke for denne roten, det vil si å sjekke om den tilfredsstiller betingelsen 5 x 2 −2≠0. Vi erstatter tallet 2/3 i uttrykket 5 x 2 −2 i stedet for x, og vi får . Betingelsen er oppfylt, så x=2/3 er roten til den opprinnelige ligningen.
Svar:
2/3 .
Du kan nærme deg å løse en rasjonell brøkligning fra en litt annen posisjon. Denne ligningen er ekvivalent med heltallsligningen p(x)=0 på variabelen x i den opprinnelige ligningen. Det vil si at du kan holde deg til dette algoritme for å løse en rasjonell brøkligning :
- løs ligningen p(x)=0 ;
- finn ODZ for variabel x;
- slå røtter som tilhører området akseptable verdier, - de er de ønskede røttene til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen.
La oss for eksempel løse en rasjonell brøkligning ved å bruke denne algoritmen.
Eksempel.
Løs ligningen.
Løsning.
Først løser vi den andregradsligningen x 2 −2·x−11=0. Røttene kan beregnes ved å bruke rotformelen for den partall andre koeffisienten vi har D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Og .
For det andre finner vi ODZ for variabelen x for den opprinnelige ligningen. Den består av alle tall for hvilke x 2 +3·x≠0, som er det samme som x·(x+3)≠0, hvorav x≠0, x≠−3.
Det gjenstår å sjekke om røttene som ble funnet i det første trinnet er inkludert i ODZ. Åpenbart ja. Derfor har den opprinnelige rasjonelle brøklikningen to røtter.
Svar:
Merk at denne tilnærmingen er mer lønnsom enn den første hvis ODZ er lett å finne, og er spesielt fordelaktig hvis røttene til ligningen p(x) = 0 er irrasjonelle, for eksempel eller rasjonelle, men med en ganske stor teller og /eller nevner, for eksempel 127/1101 og -31/59. Dette skyldes det faktum at i slike tilfeller vil kontroll av tilstanden q(x)≠0 kreve betydelig beregningsinnsats, og det er lettere å ekskludere fremmede røtter ved å bruke ODZ.
I andre tilfeller, når man løser ligningen, spesielt når røttene til ligningen p(x) = 0 er heltall, er det mer lønnsomt å bruke den første av de gitte algoritmene. Det vil si at det er tilrådelig å umiddelbart finne røttene til hele ligningen p(x)=0, og deretter sjekke om betingelsen q(x)≠0 er oppfylt for dem, i stedet for å finne ODZ, og deretter løse ligningen p(x)=0 på denne ODZ. Dette skyldes at det i slike tilfeller vanligvis er lettere å sjekke enn å finne DZ.
La oss vurdere løsningen av to eksempler for å illustrere de spesifiserte nyansene.
Eksempel.
Finn røttene til ligningen.
Løsning.
La oss først finne røttene til hele ligningen (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, komponert ved hjelp av telleren til brøken. Venstre side av denne ligningen er et produkt, og høyre side er null, derfor, i henhold til metoden for å løse ligninger gjennom faktorisering, tilsvarer denne ligningen et sett med fire ligninger 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tre av disse ligningene er lineære og en er kvadratisk vi kan løse dem. Fra den første ligningen finner vi x=1/2, fra den andre - x=6, fra den tredje - x=7, x=−2, fra den fjerde - x=−1.
Med røttene funnet, er det ganske enkelt å sjekke om nevneren til brøken på venstre side av den opprinnelige ligningen forsvinner, men å bestemme ODZ, tvert imot, er ikke så enkelt, siden for dette må du løse en algebraisk ligning av femte grad. Derfor, la oss gi opp finne ODZ til fordel for å sjekke røttene. For å gjøre dette, erstatter vi dem én etter én i stedet for variabelen x i uttrykket x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, oppnådd etter substitusjon, og sammenlign dem med null: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0
;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
Dermed er 1/2, 6 og −2 de ønskede røttene til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen, og 7 og −1 er fremmede røtter.
Svar:
1/2 , 6 , −2 .
Eksempel.
Finn røttene til en rasjonell brøkligning.
Løsning.
La oss først finne røttene til ligningen (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Denne ligningen tilsvarer et sett med to ligninger: kvadrat 5 x 2 −7 x−1=0 og lineær x−2=0. Ved å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning finner vi to røtter, og fra den andre ligningen har vi x=2.
Å sjekke om nevneren går til null ved de funnet verdiene til x er ganske ubehagelig. Og å bestemme utvalget av tillatte verdier for variabelen x i den opprinnelige ligningen er ganske enkelt. Derfor vil vi handle gjennom ODZ.
I vårt tilfelle består ODZ for variabelen x i den opprinnelige rasjonelle brøklikningen av alle tall unntatt de som betingelsen x 2 +5·x−14=0 er oppfylt for. Røttene til denne kvadratiske ligningen er x=−7 og x=2, hvorfra vi trekker en konklusjon om ODZ: den består av alle x slik at .
Det gjenstår å sjekke om de funnet røttene og x=2 tilhører utvalget av akseptable verdier. Røttene tilhører, derfor er de røttene til den opprinnelige ligningen, og x=2 hører ikke hjemme, derfor er det en fremmed rot.
Svar:
Det vil også være nyttig å dvele separat ved tilfellene når det i en rasjonell brøkligning av formen er et tall i telleren, det vil si når p(x) er representert med et tall. Hvori
- hvis dette tallet ikke er null, har ligningen ingen røtter, siden en brøk er lik null hvis og bare hvis telleren er lik null;
- hvis dette tallet er null, er roten av ligningen et hvilket som helst tall fra ODZ.
Eksempel.
Løsning.
Siden telleren til brøken på venstre side av ligningen inneholder et tall som ikke er null, kan ikke verdien av denne brøken være lik null for enhver x. Derfor har denne ligningen ingen røtter.
Svar:
ingen røtter.
Eksempel.
Løs ligningen.
Løsning.
Telleren til brøken på venstre side av denne rasjonelle brøklikningen inneholder null, så verdien av denne brøken er null for enhver x som den gir mening for. Med andre ord, løsningen på denne ligningen er en hvilken som helst verdi av x fra ODZ til denne variabelen.
Det gjenstår å bestemme dette området av akseptable verdier. Den inkluderer alle verdier av x der x 4 +5 x 3 ≠0. Løsningene til likningen x 4 +5 x 3 =0 er 0 og −5, siden denne likningen tilsvarer likningen x 3 (x+5)=0, og den igjen tilsvarer kombinasjonen av to likninger x 3 =0 og x +5=0, hvorfra disse røttene er synlige. Derfor er det ønskede området av akseptable verdier hvilken som helst x unntatt x=0 og x=−5.
Dermed har en rasjonell brøkligning uendelig mange løsninger, som er alle tall bortsett fra null og minus fem.
Svar:
Til slutt er det på tide å snakke om å løse rasjonelle brøklikninger vilkårlig type. De kan skrives som r(x)=s(x), der r(x) og s(x) er rasjonelle uttrykk, og minst ett av dem er brøk. Når vi ser fremover, la oss si at løsningen deres kommer ned til å løse ligninger av den formen som allerede er kjent for oss.
Det er kjent at overføring av et ledd fra en del av ligningen til en annen med motsatt fortegn fører til en ekvivalent ligning, derfor er ligningen r(x)=s(x) ekvivalent med ligningen r(x)−s(x) )=0.
Vi vet også at alle , identisk lik dette uttrykket, er mulig. Dermed kan vi alltid transformere det rasjonelle uttrykket på venstre side av ligningen r(x)−s(x)=0 til en identisk lik rasjonell brøkdel av formen .
Så vi går fra den opprinnelige rasjonelle brøklikningen r(x)=s(x) til ligningen, og løsningen, som vi fant ut ovenfor, reduseres til å løse ligningen p(x)=0.
Men her er det nødvendig å ta hensyn til det faktum at når du erstatter r(x)−s(x)=0 med , og deretter med p(x)=0, kan området av tillatte verdier til variabelen x utvides .
Følgelig kan den opprinnelige likningen r(x)=s(x) og likningen p(x)=0 som vi kom frem til vise seg å være ulik, og ved å løse likningen p(x)=0 kan vi få røtter som vil være fremmede røtter til den opprinnelige ligningen r(x)=s(x) . Du kan identifisere og ikke inkludere fremmede røtter i svaret enten ved å utføre en sjekk eller ved å sjekke at de tilhører ODZ-en til den opprinnelige ligningen.
La oss oppsummere denne informasjonen i algoritme for å løse rasjonell brøkligning r(x)=s(x). For å løse den rasjonelle brøkligningen r(x)=s(x), trenger du
- Få null til høyre ved å flytte uttrykket fra høyre side med motsatt fortegn.
- Utfør operasjoner med brøker og polynomer på venstre side av ligningen, og transformer den dermed til en rasjonell brøkdel av formen.
- Løs ligningen p(x)=0.
- Identifiser og eliminer fremmede røtter, noe som gjøres ved å sette dem inn i den opprinnelige ligningen eller ved å sjekke at de tilhører ODZ-en til den opprinnelige ligningen.
For større klarhet vil vi vise hele kjeden for å løse rasjonelle brøklikninger:
.
La oss se på løsningene til flere eksempler med en detaljert forklaring av løsningsprosessen for å avklare den gitte informasjonsblokken.
Eksempel.
Løs en rasjonell brøkligning.
Løsning.
Vi vil handle i samsvar med løsningsalgoritmen som nettopp er oppnådd. Og først flytter vi leddene fra høyre side av ligningen til venstre, som et resultat går vi videre til ligningen.
I det andre trinnet må vi konvertere det rasjonelle brøkuttrykket på venstre side av den resulterende ligningen til formen av en brøk. For å gjøre dette utfører vi en rollebesetning rasjonelle brøker Til fellesnevner og forenkle det resulterende uttrykket: . Så vi kommer til ligningen.
På neste nivå vi må løse ligningen −2·x−1=0. Vi finner x=−1/2.
Det gjenstår å sjekke om det funnet tallet −1/2 ikke er en ekstern rot av den opprinnelige ligningen. For å gjøre dette kan du sjekke eller finne VA til variabelen x i den opprinnelige ligningen. La oss demonstrere begge tilnærmingene.
La oss begynne med å sjekke. Vi erstatter tallet −1/2 i den opprinnelige ligningen i stedet for variabelen x, og vi får det samme, −1=−1. Substitusjonen gir riktig numerisk likhet, så x=−1/2 er roten til den opprinnelige ligningen.
Nå skal vi vise hvordan det siste punktet i algoritmen utføres gjennom ODZ. Utvalget av akseptable verdier til den opprinnelige ligningen er settet med alle tall unntatt −1 og 0 (ved x=−1 og x=0 forsvinner nevnerne til brøkene). Roten x=−1/2 funnet i forrige trinn tilhører ODZ, derfor er x=−1/2 roten til den opprinnelige ligningen.
Svar:
−1/2 .
La oss se på et annet eksempel.
Eksempel.
Finn røttene til ligningen.
Løsning.
Vi må løse en rasjonell brøkligning, la oss gå gjennom alle trinnene i algoritmen.
Først flytter vi begrepet fra høyre side til venstre, vi får .
For det andre transformerer vi uttrykket dannet på venstre side: . Som et resultat kommer vi til ligningen x=0.
Roten er åpenbar - den er null.
På det fjerde trinnet gjenstår det å finne ut om den funnet roten er fremmed for den opprinnelige rasjonelle brøklikningen. Når det er substituert inn i den opprinnelige ligningen, oppnås uttrykket. Det er åpenbart ikke fornuftig fordi det inneholder divisjon med null. Derfra konkluderer vi med at 0 er en fremmed rot. Derfor har den opprinnelige ligningen ingen røtter.
7, som fører til lign. Av dette kan vi konkludere med at uttrykket i nevneren på venstre side må være lik det på høyre side, det vil si . Nå trekker vi fra begge sider av trippelen: . I analogi, hvorfra og videre.
Kontrollen viser at begge røttene som ble funnet er røtter til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen.
Svar:
Bibliografi.
- Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Kl. 14. Del 1. Lærebok for elever utdanningsinstitusjoner/ A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra: 9. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2009. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Presentasjon og leksjon om temaet: "Rasjonelle ligninger. Algoritme og eksempler på løsning av rasjonelle ligninger"
Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.
Pedagogiske hjelpemidler og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 8
En manual for læreboken av Makarychev Yu.N. En manual for læreboken av Mordkovich A.G.
Introduksjon til irrasjonelle ligninger
Gutter, vi lærte hvordan vi løser andregradsligninger. Men matematikk er ikke bare begrenset til dem. I dag skal vi lære å løse rasjonelle ligninger. Konseptet med rasjonelle ligninger ligner på mange måter konseptet rasjonelle tall. Bare i tillegg til tall, har vi nå introdusert en variabel $x$. Og dermed får vi et uttrykk der operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og heving til en heltallspotens er tilstede.La $r(x)$ være rasjonelt uttrykk. Et slikt uttrykk kan være et enkelt polynom i variabelen $x$ eller et forhold mellom polynomer (en divisjonsoperasjon introduseres, som for rasjonelle tall).
Ligningen $r(x)=0$ kalles rasjonell ligning.
Enhver ligning av formen $p(x)=q(x)$, der $p(x)$ og $q(x)$ er rasjonelle uttrykk, vil også være rasjonell ligning.
La oss se på eksempler på løsning av rasjonelle ligninger.
Eksempel 1.Løs ligningen: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.
Løsning.
La oss flytte alle uttrykkene til venstre side: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Hvis venstre side av ligningen var representert vanlige tall, så vil vi bringe to brøker til en fellesnevner.
La oss gjøre dette: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Vi fikk ligningen: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.
En brøk er lik null hvis og bare hvis telleren til brøken er null og nevneren ikke er null. Deretter likestiller vi telleren separat til null og finner røttene til telleren.
$3(x^2+2x-3)=0$ eller $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
La oss nå sjekke nevneren til brøken: $(x-3)*x≠0$.
Produktet av to tall er lik null når minst ett av disse tallene er lik null. Deretter: $x≠0$ eller $x-3≠0$.
$x≠0$ eller $x≠3$.
Røttene oppnådd i telleren og nevneren er ikke sammenfallende. Så vi skriver ned begge røttene til telleren i svaret.
Svar: $x=1$ eller $x=-3$.
Hvis plutselig en av røttene til telleren faller sammen med roten til nevneren, bør den ekskluderes. Slike røtter kalles fremmede!
Algoritme for å løse rasjonelle ligninger:
1. Overfør alle uttrykkene i ligningen til venstre side fra likhetstegnet.2. Konverter denne delen av ligningen til algebraisk brøk: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Lik den resulterende telleren til null, det vil si løs ligningen $p(x)=0$.
4. Lik nevneren til null og løs den resulterende ligningen. Hvis røttene til nevneren faller sammen med røttene til telleren, bør de ekskluderes fra svaret.
Eksempel 2.
Løs ligningen: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.
Løsning.
La oss løse i henhold til punktene i algoritmen.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Lik telleren med null: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Lik nevneren til null:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ og $x=-1$.
En av røttene $x=1$ faller sammen med roten til telleren, da skriver vi den ikke ned i svaret.
Svar: $x=-1$.
Det er praktisk å løse rasjonelle ligninger ved å bruke metoden for endring av variabler. La oss demonstrere dette.
Eksempel 3.
Løs ligningen: $x^4+12x^2-64=0$.
Løsning.
La oss introdusere erstatningen: $t=x^2$.
Da vil ligningen vår ha formen:
$t^2+12t-64=0$ - vanlig andregradsligning.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
La oss introdusere den omvendte erstatningen: $x^2=4$ eller $x^2=-16$.
Røttene til den første ligningen er et tallpar $x=±2$. Den andre tingen er at den ikke har noen røtter.
Svar: $x=±2$.
Eksempel 4.
Løs ligningen: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Løsning.
La oss introdusere en ny variabel: $t=x^2+x+1$.
Deretter vil ligningen ha formen: $t=\frac(15)(t+2)$.
Deretter fortsetter vi i henhold til algoritmen.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - røttene er ikke sammenfallende.
La oss introdusere en omvendt substitusjon.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
La oss løse hver ligning separat:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nei røtter
Og den andre ligningen: $x^2+x-2=0$.
Røtter gitt ligning det vil være tall $x=-2$ og $x=1$.
Svar: $x=-2$ og $x=1$.
Eksempel 5.
Løs ligningen: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.
Løsning.
La oss introdusere erstatningen: $t=x+\frac(1)(x)$.
Deretter:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ eller $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Vi fikk ligningen: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Røttene til denne ligningen er paret:
$t=-3$ og $t=2$.
La oss introdusere den omvendte substitusjonen:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Vi avgjør separat.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
La oss løse den andre ligningen:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Roten til denne ligningen er tallet $x=1$.
Svar: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.
Problemer å løse selvstendig
Løs ligninger:1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.
I denne artikkelen vil jeg vise deg algoritmer for å løse syv typer rasjonelle ligninger, som kan reduseres til kvadratisk ved å endre variabler. I de fleste tilfeller er transformasjonene som fører til erstatning veldig ikke-trivielle, og det er ganske vanskelig å gjette om dem på egen hånd.
For hver type ligning vil jeg forklare hvordan du gjør en endring av variabel i den, og deretter vise en detaljert løsning i den tilsvarende videoopplæringen.
Du har mulighet til å fortsette å løse likningene selv, og deretter sjekke løsningen din med videoleksjonen.
Så la oss begynne.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Merk at på venstre side av ligningen er det et produkt av fire parenteser, og på høyre side er det et tall.
1. La oss gruppere parentesene med to slik at summen av frileddene er den samme.
2. Multipliser dem.
3. La oss introdusere en endring av variabel.
I ligningen vår vil vi gruppere den første parentesen med den tredje, og den andre med den fjerde, siden (-1)+(-4)=(-7)+2:
På dette tidspunktet blir variabelerstatningen åpenbar:
Vi får ligningen 
Svar: 
2 .
En ligning av denne typen ligner den forrige med én forskjell: på høyre side av ligningen er produktet av tallet og . Og det er løst på en helt annen måte:
1. Vi grupperer parentesene i to, slik at produktet av frivilkårene er det samme.
2. Multipliser hvert par parenteser.
3. Vi tar x ut av hver faktor.
4. Del begge sider av ligningen med .
5. Vi introduserer en endring av variabel.
I denne ligningen grupperer vi den første parentesen med den fjerde, og den andre med den tredje, siden:
Merk at i hver parentes er koeffisienten at og frileddet det samme. La oss ta en faktor ut av hver parentes:
Siden x=0 ikke er en rot av den opprinnelige ligningen, deler vi begge sider av ligningen med . Vi får:
Vi får ligningen: 
Svar: 
3
. 
Merk at nevnerne til begge brøkene er kvadratiske trinomialer, hvor ledende koeffisient og frileddet er det samme. La oss ta x ut av parentesen, som i ligningen til den andre typen. Vi får:
Del telleren og nevneren for hver brøk med x:
Nå kan vi introdusere en variabel erstatning:
Vi får en ligning for variabelen t:
4 .
Merk at koeffisientene til ligningen er symmetriske i forhold til den sentrale. Denne ligningen kalles returneres .
For å løse det,
1. Del begge sider av ligningen med (Vi kan gjøre dette siden x=0 ikke er en rot av ligningen.) Vi får:
2. La oss gruppere begrepene på denne måten:
3. La oss i hver gruppe ta den felles faktoren ut av parentes:
4. La oss introdusere erstatningen:
5. Uttrykk gjennom t uttrykket:
Herfra 
Vi får ligningen for t:
Svar:
5. Homogene ligninger.
Ligninger som har en homogen struktur kan oppstå ved løsning av eksponentiell, logaritmisk og trigonometriske ligninger, så du må kunne gjenkjenne det.
Homogene ligninger har følgende struktur:
I denne likheten er A, B og C tall, og kvadratet og sirkelen indikerer identiske uttrykk. Det vil si at på venstre side av en homogen ligning er det en sum av monomialer som har samme grad(V i dette tilfellet graden av monomialene er 2), og det er ingen fri term.
Å løse homogen ligning, del begge sider med
Merk følgende! Når du deler høyre og venstre side av en ligning med et uttrykk som inneholder en ukjent, kan du miste røtter. Derfor er det nødvendig å sjekke om røttene til uttrykket som vi deler begge sider av ligningen med er røttene til den opprinnelige ligningen.
La oss gå den første veien. Vi får ligningen:
Nå introduserer vi variabel erstatning:
La oss forenkle uttrykket og få biquadratisk ligning i forhold til t:
Svar: eller
7
. 
Denne ligningen har følgende struktur:
For å løse det, må du velge en komplett firkant på venstre side av ligningen.
For å velge en hel firkant, må du legge til eller trekke fra to ganger produktet. Da får vi kvadratet av summen eller differansen. Dette er avgjørende for vellykket utskifting av variabel.
La oss starte med å finne det dobbelte av produktet. Dette vil være nøkkelen til å erstatte variabelen. I vår ligning er to ganger produktet lik
La oss nå finne ut hva som er mer praktisk for oss å ha - kvadratet på summen eller differansen. La oss først vurdere summen av uttrykk:
Flott! Dette uttrykket er nøyaktig lik to ganger produktet. Deretter, for å få kvadratet av summen i parentes, må du legge til og trekke fra dobbeltproduktet:
Et heltallsuttrykk er et matematisk uttrykk som består av tall og bokstavelige variabler som bruker operasjonene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon. Heltall inkluderer også uttrykk som involverer divisjon med et hvilket som helst annet tall enn null.
Konseptet med et rasjonelt brøkuttrykk
Et brøkuttrykk er et matematisk uttrykk som i tillegg til operasjonene addisjon, subtraksjon og multiplikasjon utført med tall og bokstavvariabler, samt divisjon med et tall som ikke er lik null, også inneholder deling i uttrykk med bokstavvariabler.
Rasjonelle uttrykk er alle hele og brøkuttrykk. Rasjonelle ligninger er ligninger der venstre og høyre side er rasjonelle uttrykk. Hvis venstre og høyre side i en rasjonell ligning er heltallsuttrykk, kalles en slik rasjonell ligning et heltall.
Hvis i en rasjonell ligning er venstre eller høyre side brøkuttrykk, så kalles en slik rasjonell ligning brøk.
Eksempler på rasjonelle brøkuttrykk
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Opplegg for å løse en rasjonell brøkligning
1. Finn fellesnevneren for alle brøkene som inngår i ligningen.
2. Multipliser begge sider av ligningen med en fellesnevner.
3. Løs den resulterende hele ligningen.
4. Sjekk røttene og ekskluder de som får fellesnevneren til å forsvinne.
Siden vi løser rasjonelle brøklikninger, vil det være variabler i nevnerne til brøkene. Det betyr at de vil være en fellesnevner. Og i det andre punktet i algoritmen multipliserer vi med en fellesnevner, så kan det dukke opp fremmede røtter. Ved hvilken fellesnevneren vil være lik null, noe som betyr å multiplisere med det vil være meningsløst. Derfor er det på slutten nødvendig å sjekke de oppnådde røttene.
La oss se på et eksempel:
Løs den rasjonelle brøklikningen: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Vi vil holde oss til generell ordning: La oss først finne fellesnevneren for alle brøkene. Vi får x*(x-5).
Multipliser hver brøk med en fellesnevner og skriv den resulterende hele ligningen.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
La oss forenkle den resulterende ligningen. Vi får:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Vi får en enkel redusert andregradsligning. Vi løser det med noen av kjente metoder, får vi røttene x=-2 og x=5.
Nå sjekker vi de oppnådde løsningene:
Bytt inn tallene -2 og 5 i fellesnevneren. Ved x=-2 forsvinner ikke fellesnevneren x*(x-5), -2*(-2-5)=14. Dette betyr at tallet -2 vil være roten til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen.
Når x=5 blir fellesnevneren x*(x-5). lik null. Derfor er ikke dette tallet roten til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen, siden det vil være en divisjon med null.
\(\bullet\) En rasjonell ligning er en ligning representert i formen \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] hvor \(P(x), \Q(x)\ ) - polynomer (summen av "X" i forskjellige potenser, multiplisert med forskjellige tall).
Uttrykket på venstre side av ligningen kalles et rasjonelt uttrykk.
EA (spekteret av akseptable verdier) til en rasjonell ligning er alle verdiene til \(x\) der nevneren IKKE forsvinner, det vil si \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) For eksempel ligninger \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] er rasjonelle ligninger.
I det første ODZ-ligning– disse er alle \(x\) slik at \(x\ne 3\) (skriv \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); i den andre ligningen – disse er alle \(x\) slik at \(x\ne -1; x\ne 1\) (skriv \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); og i den tredje ligningen er det ingen begrensninger på ODZ, det vil si at ODZ er alle \(x\) (de skriver \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Teoremer:
1) Produktet av to faktorer er lik null hvis og bare hvis en av dem er lik null, og den andre ikke mister betydning, derfor er ligningen \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) tilsvarer systemet \[\begin(cases) \venstre[ \begin(samlet)\begin(justert) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(justert) \end(samlet) \right.\\ \ tekst(ODZ-ligninger) \end(cases)\] 2) En brøk er lik null hvis og bare hvis telleren er lik null og nevneren ikke er lik null, derfor ligningen \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) tilsvarer et ligningssystem \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) La oss se på noen få eksempler.
1) Løs ligningen \(x+1=\dfrac 2x\) . La oss finne ODZ for denne ligningen - dette er \(x\ne 0\) (siden \(x\) er i nevneren).
Dette betyr at ODZ kan skrives som følger: .
La oss flytte alle begrepene til én del og bringe dem til en fellesnevner: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( tilfeller) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cases)\] Løsningen til den første ligningen i systemet vil være \(x=-2, x=1\) . Vi ser at begge røttene er ikke-null. Derfor er svaret: \(x\in \(-2;1\)\) .
2) Løs ligningen \(\venstre(\dfrac4x - 2\høyre)\cdot (x^2-x)=0\). La oss finne ODZ for denne ligningen. Vi ser at den eneste verdien av \(x\) som venstre side ikke gir mening er \(x=0\) . Så ODZ kan skrives slik: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Dermed er denne ligningen ekvivalent med systemet:
\[\begin(cases) \venstre[ \begin(samlet)\begin(justert) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(justert) \end(samlet) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(justert) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(justert) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(samlet) \begin(justert) &x=2\\ &x=1 \end(justert) \end(samlet) \right.\] Faktisk, til tross for at \(x=0\) er roten til den andre faktoren, hvis du erstatter \(x=0\) i den opprinnelige ligningen, vil det ikke gi mening, fordi uttrykk \(\dfrac 40\) er ikke definert.
Dermed er løsningen på denne ligningen \(x\in \(1;2\)\) .
3) Løs ligningen \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] I vår ligning \(4x^2-1\ne 0\) , hvorfra \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , det vil si \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
La oss flytte alle begrepene til venstre og bringe dem til en fellesnevner:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet) \begin( justert) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(justert)\end(samlet) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Venstre-høyrepil \quad x=-3\)
Svar: \(x\i \(-3\)\) .
Kommentar. Hvis svaret består av et begrenset sett med tall, kan de skrives atskilt med semikolon i krøllete klammer, som vist i de foregående eksemplene.
Problemer som krever å løse rasjonelle ligninger, oppstår hvert år i Unified State Examination i matematikk, så når de forbereder seg på å bestå sertifiseringstesten, bør nyutdannede definitivt gjenta teorien om dette emnet på egen hånd. Nyutdannede tar både grunnleggende og profilnivå eksamen. Etter å ha mestret teorien og behandlet praktiske øvelser på emnet "Rasjonelle ligninger", vil studentene kunne løse problemer med et hvilket som helst antall handlinger og regne med å motta konkurrerende poengsummer basert på resultatene av å bestå Unified State Exam.
Hvordan forberede seg til eksamen ved å bruke Shkolkovo utdanningsportal?
Noen ganger kan du finne en kilde som fullt ut presenterer den grunnleggende teorien for løsning matematiske problemer viser seg å være ganske vanskelig. Læreboken er kanskje rett og slett ikke for hånden. Og finne nødvendige formler noen ganger kan det være ganske vanskelig selv på Internett.
Shkolkovo utdanningsportal vil avlaste deg for behovet for å søke det nødvendige materialet og vil hjelpe deg å forberede deg godt på å bestå sertifiseringstesten.
Alle nødvendig teori på emnet "rasjonelle ligninger" forberedte og presenterte spesialistene våre maksimalt tilgjengelig form. Etter å ha studert informasjonen som presenteres, vil studentene kunne fylle kunnskapshull.
Til vellykket forberedelse Til Unified State Examination for nyutdannede det er nødvendig ikke bare å friske opp det grunnleggende teoretisk materiale på temaet «Rasjonelle ligninger», men å øve seg på å fullføre oppgaver på spesifikke eksempler. Et stort utvalg av oppgaver er presentert i "Katalog"-delen.
For hver øvelse på nettstedet har ekspertene våre skrevet en løsningsalgoritme og angitt riktig svar. Elevene kan trene på å løse problemer varierende grader vanskeligheter avhengig av forberedelsesnivået. Listen over oppgaver i den tilsvarende delen blir kontinuerlig supplert og oppdatert.
Studer teoretisk materiale og finpusse problemløsningsferdigheter om emnet "rasjonelle ligninger", lik de som er inkludert i Unified State Exam tester, kan gjøres online. Om nødvendig kan alle de presenterte oppgavene legges til i "Favoritter"-delen. Gjentar igjen grunnleggende teori om emnet "rasjonelle ligninger", vil en videregående elev være i stand til å gå tilbake til problemet i fremtiden for å diskutere fremdriften til løsningen med læreren i en algebratime.