Produkt og kvotient av rasjonelle brøker. Rasjonelle brøker

Ethvert brøkuttrykk (klausul 48) kan skrives på formen , der P og Q er rasjonelle uttrykk, og Q nødvendigvis inneholder variabler. En slik brøk kalles en rasjonell brøk.

Eksempler på rasjonelle brøker:

Hovedegenskapen til en brøk er uttrykt av identiteten gyldig under betingelsene her - hele rasjonelt uttrykk. Dette betyr at telleren og nevneren til en rasjonell brøk kan multipliseres eller divideres med samme ikke-null tall, monomial eller polynom.

For eksempel kan egenskapen til en brøk brukes til å endre tegnene til medlemmer av en brøk. Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres med -1, får vi. Dermed vil ikke verdien av brøken endres dersom fortegnene til telleren og nevneren endres samtidig. Hvis du endrer tegnet for bare telleren eller bare nevneren, vil brøken endre fortegnet:

For eksempel,

60. Redusere rasjonelle brøker.

Å redusere en brøk betyr å dele telleren og nevneren til brøken med en felles faktor. Muligheten for en slik reduksjon skyldes fraksjonens grunnleggende egenskap.

For å redusere en rasjonell brøk, må du faktorisere telleren og nevneren. Hvis det viser seg at teller og nevner har felles faktorer, så kan brøken reduseres. Hvis det ikke er noen felles faktorer, er det umulig å konvertere en brøk gjennom reduksjon.

Eksempel. Reduser fraksjon

Løsning. Vi har

Reduksjonen av en fraksjon utføres under betingelsen.

61. Redusere rasjonelle brøker til en fellesnevner.

Fellesnevneren for flere rasjonelle brøker er et helt rasjonelt uttrykk som er delt på nevneren til hver brøk (se avsnitt 54).

For eksempel er fellesnevneren for brøker et polynom siden den er delelig med både og med og polynom og polynom og polynom osv. Vanligvis tar de en slik fellesnevner at enhver annen fellesnevner er delelig med Echosen. Denne enkleste nevneren kalles noen ganger den laveste fellesnevneren.

I eksemplet diskutert ovenfor er fellesnevneren Vi har

Redusere gitte brøker til fellesnevner oppnås ved å multiplisere telleren og nevneren til den første brøken med 2. og telleren og nevneren til den andre brøken med Polynomer kalles tilleggsfaktorer for henholdsvis første og andre brøk. Tilleggsfaktoren for en gitt brøk er lik kvotienten for å dele fellesnevneren med nevneren til den gitte brøken.

For å redusere flere rasjonelle brøker til en fellesnevner, trenger du:

1) faktor nevneren for hver brøk;

2) opprette en fellesnevner ved å inkludere som faktorer alle faktorene oppnådd i trinn 1) av utvidelsene; hvis en viss faktor er tilstede i flere utvidelser, tas den med en eksponent lik den største av de tilgjengelige;

3) finn tilleggsfaktorer for hver av brøkene (for dette deles fellesnevneren på brøkens nevner);

4) ved å multiplisere telleren og nevneren for hver brøk med en tilleggsfaktor, bring brøken til en fellesnevner.

Eksempel. Reduser en brøk til en fellesnevner

Løsning. La oss faktorisere nevnerne:

Følgende faktorer må inkluderes i fellesnevneren: og minste felles multiplum av tallene 12, 18, 24, dvs. Dette betyr at fellesnevneren har formen

Ytterligere faktorer: for den første brøken for den andre for den tredje Så får vi:

62. Addisjon og subtraksjon av rasjonelle brøker.

Summen av to (og generelt noen endelig antall) rasjonelle brøker med samme nevnere er identisk lik en brøk med samme nevner og teller, lik beløpet tellere av adderte brøker:

Situasjonen er lik når det gjelder å trekke fra brøker med like nevnere:

Eksempel 1: Forenkle et uttrykk

Løsning.

Å legge til eller trekke fra rasjonelle brøker med ulike nevnere Du må først redusere brøkene til en fellesnevner, og deretter utføre operasjoner på de resulterende brøkene med de samme nevnerne.

Eksempel 2: Forenkle et uttrykk

Løsning. Vi har

63. Multiplikasjon og deling av rasjonelle brøker.

Produktet av to (og generelt ethvert endelig antall) rasjonelle brøker er identisk lik brøken hvis teller lik produktet tellere, og nevneren - produktet av nevnerne til de multipliserte brøkene:

Kvoten for å dele to rasjonelle brøker er identisk lik en brøk hvis teller er lik produktet av telleren til den første brøken og nevneren til den andre brøken, og nevneren er produktet av nevneren til den første brøken og teller for den andre brøken:

De formulerte reglene for multiplikasjon og divisjon gjelder også for tilfellet med multiplikasjon eller divisjon med et polynom: det er nok å skrive dette polynomet i form av en brøk med nevneren 1.

Gitt muligheten for å redusere en rasjonell brøk oppnådd som et resultat av å multiplisere eller dele rasjonelle brøker, streber de vanligvis etter å faktorisere tellerne og nevnerne til de opprinnelige brøkene før de utfører disse operasjonene.

Eksempel 1: Utfør multiplikasjon

Løsning. Vi har

Ved å bruke regelen for å multiplisere brøker får vi:

Eksempel 2: Utfør divisjon

Løsning. Vi har

Ved å bruke delingsregelen får vi:

64. Heve en rasjonell brøk til en hel makt.

Å heve en rasjonell brøk - til naturlig grad, må du heve telleren og nevneren av brøken til denne potensen separat; det første uttrykket er telleren, og det andre uttrykket er nevneren for resultatet:

Eksempel 1: Gjør om til en brøkdel av potens 3.

Løsning Løsning.

Når du hever en brøk til et helt tall negativ grad det brukes en identitet som er gyldig for alle verdier av variablene som .

Eksempel 2: Konverter et uttrykk til en brøk

65. Transformasjon av rasjonelle uttrykk.

Å transformere et hvilket som helst rasjonelt uttrykk kommer ned til å legge til, subtrahere, multiplisere og dele rasjonelle brøker, samt å heve en brøk til en naturlig potens. Ethvert rasjonelt uttrykk kan konverteres til en brøk, hvis teller og nevner er hele rasjonelle uttrykk; Dette er som regel målet for identiske transformasjoner av rasjonelle uttrykk.

Eksempel. Forenkle et uttrykk

66. De enkleste transformasjonene av aritmetiske røtter (radikaler).

Når du konverterer aritmetiske koriaer, brukes egenskapene deres (se avsnitt 35).

La oss se på noen få eksempler på bruk av egenskaper aritmetiske røtter for de enkleste transformasjonene av radikaler. I dette tilfellet vil vi vurdere at alle variabler kun tar ikke-negative verdier.

Eksempel 1. Trekk ut roten til et produkt

Løsning. Ved å bruke 1°-egenskapen får vi:

Eksempel 2. Fjern multiplikatoren under rottegnet

Løsning.

Denne transformasjonen kalles å fjerne faktoren under rottegnet. Hensikten med transformasjonen er å forenkle det radikale uttrykket.

Eksempel 3: Forenkle.

Løsning. Ved egenskapen 3° har vi Vanligvis prøver de å forenkle det radikale uttrykket, som de tar faktorene ut av coriumtegnet. Vi har

Eksempel 4: Forenkle

Løsning. La oss transformere uttrykket ved å introdusere en faktor under rotens tegn: Ved egenskap 4° har vi

Eksempel 5: Forenkle

Løsning. Ved egenskapen 5° har vi rett til å dele eksponenten til roten og eksponenten til det radikale uttrykket i samme ting naturlig tall. Hvis vi i eksemplet under vurdering deler de angitte indikatorene med 3, får vi .

Eksempel 6. Forenkle uttrykk:

Løsning, a) Ved egenskap 1° finner vi at for å multiplisere røtter av samme grad, er det nok å multiplisere de radikale uttrykkene og trekke ut roten av samme grad fra det oppnådde resultatet. Midler,

b) Først og fremst må vi redusere radikalene til én indikator. I henhold til egenskapen til 5° kan vi multiplisere eksponenten til roten og eksponenten til det radikale uttrykket med samme naturlige tall. Derfor, Neste, har vi nå i det resulterende resultatet å dele eksponentene til roten og graden av det radikale uttrykket med 3, vi får .

Skriv emnet for leksjonen i notatboken

"Rasjonelle brøker".

Hva det er?
Dette er algebraiske uttrykk som inneholder divisjon med et uttrykk med variabler.

For eksempel:
- brøkuttrykk.

Et heltall, fordi det er lik , dvs. et helt uttrykk med rasjonelle koeffisienter.

Hele og brøkuttrykk kalles rasjonelle uttrykk.

Det er disse vi må jobbe med i fremtiden!

Hele uttrykket gir mening for alle verdier av variablene, men et brøkuttrykk... kan ikke deles på 0!

For eksempel:
definert for alle verdier av variabelen a og for alle verdier av b, bortsett fra b=3.

For hvilke verdier av variabelen gjør uttrykket
?

Huske:
For alle verdier av a, b og c, hvor og , er likheten sann

Hvis vi multipliserer en brøk med et tall (dvs. multipliserer telleren og nevneren for brøken med samme tall), får vi lik brøkdel, men med en annen nevner.

Hvis vi deler telleren og nevneren med samme tall, reduserer vi brøken.
For eksempel:
1) La oss redusere brøken til en brøk med nevneren 35у3.
La oss dele først ny nevner 35y3 til den gamle 7y og vi får en ekstra multiplikator på 5y2.
Og multipliser deretter telleren og nevneren med denne tilleggsfaktoren:
.

2) La oss redusere brøken.
Løsning:

Huske:
For å redusere en brøk, må du faktorisere telleren og nevneren og deretter dele dem med en lik faktor, dvs. redusere.

Det finnes flere metoder for å faktorisere et uttrykk.
Vi er kjent med to av dem så langt:
1 metode
Bracketing felles multiplikator.
Metode 2
Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler.

Den første og enkleste måten å faktorisere på er
å sette fellesfaktoren utenfor parentes.

Ac + bc = (a + b)c

Eksempel 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)

Regel:

Hvis alle medlemmer av et polynom har en felles faktor (eller flere felles faktorer), kan denne faktoren (disse faktorene) tas ut av parentesen,
i dette tilfellet deler vi hvert ledd med et uttrykk som vi setter i parentes: 5ab2c3: 5abc = bc2, - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 og til slutt, 15a3bc2: 5abc = 3a2c (se tegnene!!!)

Og vi må huske at graden med den nedre indeksen er tatt ut av parentes.

På egen hånd:
Ta den felles faktoren ut av parentes

Kryss av:

Noen ganger alle medlemmer algebraisk uttrykk Jeg har ikke en felles faktor, men i separate grupper av termer er det en, for eksempel,

ah + ay + bx + by.

Dette polynomet kan faktoriseres ved å kombinere dets vilkår til separate grupper

(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b).

Eksempel:

Bruk metoden for å gruppere termer, faktor uttrykket
3x + xy2 - x2y - 3y

Løsning:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).

La oss øve litt mer:
1) a3 - ab - a2b + a2 ,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x.

Løsning:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a) - b),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1).

Og nå om den andre metoden.
Hvis vilkårene i et algebraisk uttrykk ikke har repeterende faktorer, kan du prøve å bruke forkortede multiplikasjonsformler ...

Eksempler
a) Forskjell mellom kvadrater:
0,49x4 - 121y2 = (0,7x2)2 - (11y)2 = (0,7x2 - 11y)(0,7x2 + 11y),

B) Forskjell på kuber:
1 - 27s3 = 13 - (3s)3 = (1 - 3s)(1 + 3s + 9s2),

B) Kvadratforskjell:
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 eller (2a - 3b)(2a - 3b),

D) Forskjellskube:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 eller (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) t .e. tre like multiplikatorer!

Algoritme:
- først "justerer" vi utseende uttrykk" under en mulig formel...
- hvis det fungerer, går vi videre slik det (formelen) krever...
- hvis det ikke går, så begynner vi å "prøve" en annen formel ...
- og så videre til du kan dekomponere uttrykket til et produkt av faktorer!

Fra algebrakurset skolepensum La oss gå ned til detaljene. I denne artikkelen vil vi studere i detalj spesiell type rasjonelle uttrykk – rasjonelle brøker, og også vurdere hvilken karakteristikk identisk rasjonelle brøkkonverteringer ta plass.

La oss umiddelbart merke oss at rasjonelle brøker i den forstand vi definerer dem nedenfor kalles algebraiske brøker i noen algebra-lærebøker. Det vil si at vi i denne artikkelen vil forstå rasjonelle og algebraiske brøker som det samme.

Som vanlig, la oss starte med en definisjon og eksempler. Deretter skal vi snakke om å bringe en rasjonell brøk til en ny nevner og endre tegnene til medlemmene i brøken. Etter dette skal vi se på hvordan man kan redusere brøker. Til slutt, la oss se på å representere en rasjonell brøk som en sum av flere brøker. Vi vil gi all informasjon med eksempler detaljerte beskrivelser beslutninger.

Sidenavigering.

Definisjon og eksempler på rasjonelle brøker

Rasjonelle brøker studeres i 8. klasses algebratimer. Vi vil bruke definisjonen av en rasjonell brøk, som er gitt i algebra-læreboken for karakter 8 av Yu N. Makarychev et al.

I denne definisjonen det er ikke spesifisert om polynomene i telleren og nevneren til en rasjonell brøk må være polynomer standard visning eller ikke. Derfor vil vi anta at notasjonene for rasjonelle brøker kan inneholde både standard og ikke-standard polynom.

Her er noen få eksempler på rasjonelle brøker. Så, x/8 og - rasjonelle brøker. Og brøker og passer ikke til den angitte definisjonen av en rasjonell brøk, siden i den første av dem inneholder telleren ikke et polynom, og i den andre inneholder både telleren og nevneren uttrykk som ikke er polynomer.

Konvertering av teller og nevner for en rasjonell brøk

Telleren og nevneren for enhver brøk er selvforsynt matematiske uttrykk, når det gjelder rasjonelle brøker, er disse polynomer i et spesielt tilfelle, monomer og tall. Derfor kan identiske transformasjoner utføres med telleren og nevneren til en rasjonell brøk, som med ethvert uttrykk. Med andre ord kan uttrykket i telleren til en rasjonell brøk erstattes med et identisk likt uttrykk, akkurat som nevneren.

Du kan utføre identiske transformasjoner i telleren og nevneren til en rasjonell brøk. I telleren kan du for eksempel gruppere og redusere lignende vilkår, og i nevneren, erstatte produktet av flere tall med verdien. Og siden telleren og nevneren til en rasjonell brøk er polynomer, er det mulig å utføre transformasjoner som er karakteristiske for polynomer med dem, for eksempel reduksjon til en standardform eller representasjon i form av et produkt.

For klarhets skyld, la oss vurdere løsninger på flere eksempler.

Eksempel.

Konverter rasjonell brøk slik at telleren inneholder et polynom av standardform, og nevneren inneholder produktet av polynomer.

Løsning.

Å redusere rasjonelle brøker til en ny nevner brukes hovedsakelig til å addere og subtrahere rasjonelle brøker.

Endre tegn foran en brøk, så vel som i dens teller og nevner

Hovedegenskapen til en brøk kan brukes til å endre fortegnene til medlemmene i en brøk. Å multiplisere telleren og nevneren til en rasjonell brøk med -1 tilsvarer faktisk å endre fortegnene deres, og resultatet er en brøk som er identisk lik den gitte. Denne transformasjonen må brukes ganske ofte når man arbeider med rasjonelle brøker.

Dermed, hvis du samtidig endrer fortegnene til telleren og nevneren til en brøk, vil du få en brøk lik den opprinnelige. Denne uttalelsen besvares med likestilling.

La oss gi et eksempel. En rasjonell brøk kan erstattes med en identisk lik brøk med endrede fortegn på telleren og nevneren i formen.

Du kan gjøre en ting til med brøker: identitetstransformasjon, der tegnet til enten telleren eller nevneren endres. La oss angi den tilsvarende regelen. Hvis du bytter ut tegnet til en brøk sammen med tegnet til telleren eller nevneren, får du en brøk som er identisk lik den opprinnelige. Den skriftlige uttalelsen tilsvarer likestillingene og .

Å bevise disse likhetene er ikke vanskelig. Beviset er basert på egenskapene til multiplikasjon av tall. La oss bevise den første av dem: . Ved å bruke lignende transformasjoner bevises likheten.

For eksempel kan en brøk erstattes med uttrykket eller.

For å konkludere med dette punktet presenterer vi to flere nyttige likheter og . Det vil si at hvis du endrer fortegnet til bare telleren eller bare nevneren, vil brøken endre fortegn. For eksempel, Og .

De betraktede transformasjonene, som gjør det mulig å endre fortegnet til begrepene i en brøk, brukes ofte når man transformerer rasjonelle brøkuttrykk.

Redusere rasjonelle brøker

Følgende transformasjon av rasjonelle brøker, kalt reduksjon av rasjonelle brøker, er basert på den samme grunnleggende egenskapen til en brøk. Denne transformasjonen tilsvarer likheten , hvor a, b og c er noen polynomer, og b og c er ikke-null.

Fra den ovennevnte likheten blir det klart at å redusere en rasjonell brøk innebærer å bli kvitt den felles faktoren i telleren og nevneren.

Eksempel.

Avbryt en rasjonell brøk.

Løsning.

Fellesfaktor 2 er umiddelbart synlig, la oss utføre en reduksjon av den (når du skriver, er det praktisk å krysse ut de vanlige faktorene som reduseres med). Vi har . Siden x 2 =x x og y 7 = y 3 y 4 (se om nødvendig), er det klart at x er en felles faktor for telleren og nevneren til den resulterende brøken, i likhet med y 3. La oss redusere med disse faktorene: . Dette fullfører reduksjonen.

Ovenfor utførte vi reduksjonen av rasjonelle brøker sekvensielt. Eller det var mulig å utføre reduksjonen i ett trinn, umiddelbart redusere fraksjonen med 2 x y 3. I dette tilfellet vil løsningen se slik ut: .

Svar:

Når du reduserer rasjonelle brøker, er hovedproblemet at fellesfaktoren til telleren og nevneren ikke alltid er synlig. Dessuten eksisterer det ikke alltid. For å finne en felles faktor eller bekrefte fraværet, må du faktorisere telleren og nevneren til en rasjonell brøk. Hvis det ikke er noen felles faktor, trenger ikke den opprinnelige rasjonelle brøken å reduseres, i ellers- reduksjon gjennomføres.

Ulike nyanser kan oppstå i prosessen med å redusere rasjonelle brøker. De viktigste finessene er diskutert i artikkelen som reduserer algebraiske brøker ved å bruke eksempler og i detalj.

Avsluttende samtalen om reduksjon av rasjonelle brøker, merker vi at denne transformasjonen er identisk, og hovedvanskeligheten i implementeringen ligger i å faktorisere polynomene i telleren og nevneren.

Representasjon av en rasjonell brøk som en sum av brøker

Ganske spesifikk, men i noen tilfeller svært nyttig, er transformasjonen av en rasjonell brøk, som består i sin representasjon som summen av flere brøker, eller summen av et helt uttrykk og en brøk.

En rasjonell brøk, hvis teller inneholder et polynom som representerer summen av flere monomer, kan alltid skrives som en sum av brøker med samme nevnere, hvis tellere inneholder de tilsvarende monomiene. For eksempel, . Denne representasjonen forklares av regelen for å addere og subtrahere algebraiske brøker med like nevnere.

Generelt kan enhver rasjonell brøk representeres som en sum av brøker på mange forskjellige måter. For eksempel kan brøken a/b representeres som summen av to brøker - en vilkårlig brøk c/d og en brøk lik differansen mellom brøkene a/b og c/d. Dette utsagnet er sant, siden likheten gjelder . For eksempel kan en rasjonell brøk representeres som en sum av brøker forskjellige måter: La oss forestille oss den opprinnelige brøken som summen av et heltallsuttrykk og en brøk. Ved å dele telleren på nevneren med en kolonne får vi likheten . Verdien av uttrykket n 3 +4 for et hvilket som helst heltall n er et heltall. Og verdien av en brøk er et heltall hvis og bare hvis nevneren er 1, −1, 3 eller −3. Disse verdiene tilsvarer henholdsvis verdiene n=3, n=1, n=5 og n=−1.

Svar:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografi.

Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasse. Kl. 14. Del 1. Lærebok for elever utdanningsinstitusjoner/ A. G. Mordkovich. - 13. utgave, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Hun ser ut som

hvor P(x) og Q(x) er noen polynomer.

Skille mellom riktige og uekte rasjonelle brøker, analogt med vanlige brøker numeriske brøker. En rasjonell brøk kalles egen hvis rekkefølgen på nevneren er mer ordre teller, og feil hvis vice versa.

Enhver uekte rasjonell brøk kan konverteres til summen av et polynom og en riktig rasjonell brøk

Enhver rasjonell brøk av polynomer med reelle koeffisienter kan representeres som en sum av rasjonelle brøker hvis nevnere er uttrykkene (x − en) k (a er den virkelige roten av Q(x)) eller (x 2 + sx + q) k (Hvor x 2 + sx + q ikke har ekte røtter), og graden k er ikke større enn multiplisiteten tilsvarende røtter i polynomet Q(x). Basert på dette utsagnet er teoremet om integrerbarheten til rasjonelle brøker basert. Ifølge den kan enhver rasjonell brøk integreres i elementære funksjoner, som gjør klassen av rasjonelle brøker svært viktig i matematisk analyse.

se også

Wikimedia Foundation. 2010.

Se hva "rasjonell brøk" er i andre ordbøker:

En rasjonell funksjon er en brøk hvis teller og nevner er polynomer. Den har formen where, polynomer i et hvilket som helst antall variabler. Et spesialtilfelle er rasjonelle funksjoner til én variabel: , hvor... ... Wikipedia

Dette begrepet har andre betydninger, se Brøk . 8 / 13 teller teller nevner nevner To oppføringer av samme brøk En brøk i matematikk er et tall som består av en eller flere deler... ... Wikipedia

Wiktionary har en oppføring for "brøk" Navnet på symbolet "⁄" (en annen, vanlig for det meste i engelske språk, navnet på solidus-symbolet (engelsk), eller skråstrek), for eksempel i husnummer. Så husnummeret "5/17" lyder "fem... ... Wikipedia

1) R.f. funksjon w=R(z), hvor R(z) er et rasjonelt uttrykk for z, dvs. et uttrykk hentet fra den uavhengige variabelen z og et bestemt begrenset sett med tall (reelle eller komplekse) ved hjelp av et endelig antall aritmetikk . handlinger. R. f...... Matematisk leksikon

Kvarter Rasjonalt tall(lat. forhold forhold, divisjon, brøk) tall representert vanlig brøk, hvor m er et heltall og n er et naturlig tall. I dette tilfellet kalles tallet m telleren, og tallet n kalles nevneren til brøken. Taku ... Wikipedia

Kvarter Et rasjonelt tall (lat. ratio ratio, divisjon, brøk) er et tall representert med en vanlig brøk, der m er et heltall og n er et naturlig tall. I dette tilfellet kalles tallet m telleren, og tallet n kalles brøkens nevner. Taku ... Wikipedia

Dette begrepet har andre betydninger, se Brøk . Den enkleste brøken oh grad kalles rasjonell funksjon på en måte hvor han tar naturverdier, og punktene som er polene til funksjonen er ikke nødvendigvis geometrisk distinkte.... ... Wikipedia

Et tall uttrykt som en rasjonell brøk. Formell teori Det reelle tallet er konstruert ved hjelp av par med heltall. Rasjonell brøk kalles. ordnet par (a, b) av heltall a og b, kutt b#0. To rasjonelle brøker og kalt. e k v i v a l e n ... Matematisk leksikon

La oss starte med noen definisjoner. Polynom n. grad(eller n. orden) vil vi kalle et uttrykk på formen $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n) )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. For eksempel er uttrykket $4x^(14)+87x^2+4x-11$ et polynom hvis grad er $14$. Det kan betegnes som følger: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

Forholdet mellom to polynomer $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ kalles rasjonell funksjon eller rasjonell brøk. Mer presist er det en rasjonell funksjon av én variabel (dvs. variabelen $x$).

Den rasjonelle brøken kalles riktig, hvis $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, mindre grad polynom i nevneren. Ellers (hvis $n ≥ m$) kalles brøken feil.

Eksempel nr. 1

Angi hvilke av de følgende brøkene som er rasjonelle. Hvis brøken er rasjonell, så finn ut om den er riktig eller ikke.

$\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
$\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
$\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
$\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.

1) Denne brøken er ikke rasjonell fordi den inneholder $\sin x$. En rasjonell brøk tillater ikke dette.

2) Vi har forholdet mellom to polynomer: $5x^2+3x-8$ og $11x^9+25x^2-4$. Derfor, ifølge definisjonen, er uttrykket $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ en rasjonell brøk. Siden graden av polynomet i telleren er $2$, og graden av polynomet i nevneren er $9$, så gitt brøk er riktig (fordi $2< 9$).

3) Både telleren og nevneren til denne brøken inneholder polynomer (faktorert). Det spiller ingen rolle for oss i det hele tatt i hvilken form teller- og nevnerpolynomene presenteres: om de er faktorisert eller ikke. Siden vi har et forhold mellom to polynomer, så ifølge definisjonen uttrykket $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x) ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ er en rasjonell brøk.

For å svare på spørsmålet om en gitt brøk er egen, må man bestemme potensene til polynomene i teller og nevner. La oss starte med telleren, dvs. fra uttrykket $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. For å bestemme graden av dette polynomet kan du selvfølgelig åpne parentesene. Det er imidlertid mye enklere å handle rasjonelt, fordi vi kun er interessert i størst grad variabel $x$. Fra hver parentes velger vi variabelen $x$ i størst grad. Fra braketten $(2x^3+8x+4)$ tar vi $x^3$, fra parentesen $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ tar vi $(x^4) ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$, og fra parentesen $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ velger vi $x^7$. Så, etter å ha åpnet parentesene, vil den største potensen til variabelen $x$ være slik:

$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$

Graden av polynomet i telleren er $46$. La oss nå gå til nevneren, dvs. til uttrykket $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$. Graden av dette polynomet bestemmes på samme måte som for telleren, dvs.

$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$

Nevneren inneholder et polynom med grad 41. Siden graden av polynomet i telleren (dvs. 46) ikke er mindre enn graden av polynomet i nevneren (dvs. 41), så er den rasjonelle brøken $\frac((2x^3+8x+4)(8x) ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ er feil.

4) Telleren til brøken $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ inneholder tallet $3$, dvs. polynom null grader. Formelt kan telleren skrives som følger: $3x^0=3\cdot1=3$. I nevneren har vi et polynom hvis grad er lik $6\cdot 4=24$. Forholdet mellom to polynomer er en rasjonell brøk. Siden $0< 24$, то данная дробь является правильной.

Svar: 1) brøken er ikke rasjonell; 2) rasjonell brøk (egentlig); 3) rasjonell brøk (uregelmessig); 4) rasjonell brøk (egentlig).

La oss nå gå videre til begrepet elementære brøker (de kalles også de enkleste rasjonelle brøkene). Det er fire typer elementære rasjonelle brøker:

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Merk (ønskelig for en mer fullstendig forståelse av teksten): vis\skjul

Hvorfor er betingelsen $p^2-4q nødvendig?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим kvadratisk ligning$x^2+px+q=0$. Diskriminanten til denne ligningen er $D=p^2-4q$. I hovedsak er betingelsen $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

For eksempel, for uttrykket $x^2+5x+10$ får vi: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Siden $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

For denne sjekken er det forresten slett ikke nødvendig at koeffisienten før $x^2$ er lik 1. For eksempel, for $5x^2+7x-3=0$ får vi: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Siden $D > 0$, er uttrykket $5x^2+7x-3$ faktoriserbart.

Oppgaven er som følger: gitt riktig representere en rasjonell brøk som summen av elementære rasjonelle brøker. Materialet som presenteres på denne siden er viet til å løse dette problemet. Først må du forsikre deg om at du har fullført neste tilstand: polynomet i nevneren til en egen rasjonell brøk er faktorisert på en slik måte at denne utvidelsen bare inneholder parenteser av formen $(x-a)^n$ eller $(x^2+px+q)^n$ ($p) ^2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

Hver parentes av formen $(x-a)$ plassert i nevneren tilsvarer en brøk $\frac(A)(x-a)$.
Hver parentes av formen $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) plassert i nevneren tilsvarer en sum av $n$ brøker: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
Hver parentes av formen $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
Hver parentes av formen $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

Hvis brøken er feil, bør du dele den inn i summen av heltallsdelen (polynomet) og den riktige rasjonelle brøken før du bruker skjemaet ovenfor. Vi skal se nærmere på hvordan dette gjøres videre (se eksempel nr. 2, punkt 3). Noen få ord om bokstavbetegnelser i tellere (dvs. $A$, $A_1$, $C_2$ og lignende). Du kan bruke alle bokstaver for å passe din smak. Det er bare viktig at disse bokstavene er diverse i alle elementære brøker. For å finne verdiene til disse parameterne, bruk metoden usikre koeffisienter eller metoden for å erstatte delverdier (se eksempel nr. 3, nr. 4 og nr. 5).

Eksempel nr. 2

Dekomponer de gitte rasjonelle brøkene til elementære (uten å finne parameterne):

$\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
$\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
$\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.

1) Vi har en rasjonell brøk. Telleren til denne brøken inneholder et polynom av grad 4, og nevneren inneholder et polynom hvis grad er lik $17$ (hvordan man bestemmer denne graden er forklart i detalj i avsnitt nr. 3 i eksempel nr. 1). Siden graden av polynomet i telleren er mindre enn graden av polynomet i nevneren, er denne brøken riktig. La oss gå til nevneren til denne brøken. La oss starte med parentesene $(x-5)$ og $(x+2)^4$, som faller helt inn under formen $(x-a)^n$. I tillegg er det også parentes $(x^2+3x+10)$ og $(x^2+11)^5$. Uttrykket $(x^2+3x+10)$ har formen $(x^2+px+q)^n$, der $p=3$; $q=10$, $n=1$. Siden $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем neste utgang: polynomet i nevneren er faktorisert på en slik måte at denne faktoriseringen kun inneholder parenteser av formen $(x-a)^n$ eller $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$

Resultatet kan skrives som følger:

$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$

Deretter kan brøken $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ representeres i en annen form:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2) +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$

Brøken $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ er en riktig rasjonell brøk, fordi graden av polynomet i telleren (dvs. 2) er mindre enn graden av polynomet i nevneren (dvs. 3). La oss nå se på nevneren til denne brøken. Nevneren inneholder et polynom som må faktoriseres. Noen ganger er Horners opplegg nyttig for faktorisering, men i vårt tilfelle er det lettere å klare seg med standard "skole"-metoden for å gruppere termer:

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x) -2)\cdot(x^2+4)) $$

Bruker de samme metodene som i tidligere avsnitt, vi får:

$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$

Så, endelig har vi:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$

Dette emnet vil bli videreført i andre del.