Først av alt, for å lære å jobbe med rasjonelle brøker uten feil, må du lære forkortede multiplikasjonsformler. Og det er ikke lett å lære - de må gjenkjennes selv når rollene til termer er sinus, logaritmer og røtter.
Hovedverktøyet forblir imidlertid faktoriseringen av telleren og nevneren til en rasjonell brøk. Dette kan oppnås på tre forskjellige måter:
- Faktisk, i henhold til formelen for forkortet multiplikasjon: de lar deg kollapse et polynom i en eller flere faktorer;
- Bruke faktorisering av et kvadratisk trinomial gjennom en diskriminant. Den samme metoden gjør det mulig å verifisere at ethvert trinomial ikke kan faktoriseres i det hele tatt;
- Grupperingsmetoden er det mest komplekse verktøyet, men det er det den eneste måten, som fungerer hvis de to foregående ikke fungerte.
Som du kanskje har gjettet ut fra tittelen på denne videoen, vil vi igjen snakke om rasjonelle brøker. For bare noen minutter siden avsluttet jeg en leksjon med en tiendeklassing, og der analyserte vi akkurat disse uttrykkene. Derfor vil denne leksjonen være ment spesielt for elever på videregående skole.
Sikkert mange har nå et spørsmål: "Hvorfor skal elever i klasse 10-11 studere så enkle ting som rasjonelle brøker, fordi dette undervises i klasse 8?" Men problemet er at de fleste "går gjennom" dette emnet. I 10.-11. klasse husker de ikke lenger hvordan man gjør multiplikasjon, divisjon, subtraksjon og addisjon av rasjonelle brøker fra 8. klasse, og likevel disse enkel kunnskap videre bygges det flere komplekse design, som en løsning på logaritmisk, trigonometriske ligninger og mange andre komplekse uttrykk, så det er praktisk talt ingenting å gjøre på videregående uten rasjonelle brøker.
Formler for å løse problemer
La oss komme i gang. Først av alt trenger vi to fakta - to sett med formler. Først av alt må du kjenne til de forkortede multiplikasjonsformlene:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\venstre(a-b \høyre)\venstre(a+b \høyre)$ — forskjell på kvadrater;
- $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\venstre(a\pm b \høyre))^(2))$ — kvadrat av summen eller differansen;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\venstre(a+b \høyre)\venstre(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ er summen av terninger;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\venstre(a-b \høyre)\venstre(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ er forskjellen mellom kuber.
I ren form de finnes ikke i noen eksempler eller i virkelige seriøse uttrykk. Derfor er vår oppgave å lære å se mye mer komplekse strukturer under bokstavene $a$ og $b$, for eksempel logaritmer, røtter, sinus osv. Du kan lære å se dette bare med hjelp konstant praksis. Dette er grunnen til at det er helt nødvendig å løse rasjonelle brøker.
Den andre, helt åpenbare formelen er nedbrytningen kvadratisk trinomium med multiplikatorer:
$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ er røtter.
MED teoretisk del vi fant det ut. Men hvordan løse ekte rasjonelle brøker, som dekkes i 8. klasse? Nå skal vi øve.
Oppgave nr. 1
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
La oss prøve å bruke formlene ovenfor for å løse rasjonelle brøker. Først av alt vil jeg forklare hvorfor faktorisering i det hele tatt er nødvendig. Faktum er at ved første øyekast ved den første delen av oppgaven, vil du redusere kuben med kvadratet, men dette er strengt forbudt, fordi de er termer i telleren og nevneren, men ikke i noe tilfelle er faktorer.
Hva er egentlig forkortelse? Reduksjon er bruken av en grunnregel for å arbeide med slike uttrykk. Hovedegenskapen til en brøk er at vi kan multiplisere telleren og nevneren med det samme tallet annet enn "null". I i dette tilfellet, når vi reduserer, deler vi tvert imot med samme tall, forskjellig fra "null". Vi må imidlertid dele alle leddene i nevneren med samme tall. Det kan du ikke gjøre. Og vi har rett til å redusere telleren med nevneren bare når begge er faktorisert. La oss gjøre dette.
Nå må du se hvor mange termer som er i et bestemt element, og følgelig finne ut hvilken formel du skal bruke.
La oss transformere hvert uttrykk til en eksakt kube:
La oss omskrive telleren:
\[((\venstre(3a \høyre))^(3))-((\venstre(4b \høyre))^(3))=\venstre(3a-4b \høyre)\venstre(((\venstre) (3a \høyre))^(2))+3a\cdot 4b+((\venstre(4b \høyre))^(2)) \høyre)\]
La oss se på nevneren. La oss utvide det ved å bruke formelen for forskjellen mellom kvadrater:
\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\venstre(b-2 \høyre)\venstre(b+2 \ Ikke sant)\]
La oss nå se på den andre delen av uttrykket:
Teller:
Det gjenstår å finne ut nevneren:
\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\venstre(b+2 \høyre))^(2))\]
La oss omskrive hele strukturen under hensyntagen til fakta ovenfor:
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\venstre(3a \høyre))^(2))+3a\cdot 4b+((\venstre(4b \høyre))^(2))))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Nyanser ved å multiplisere rasjonelle brøker
Hovedkonklusjonen fra disse konstruksjonene er følgende:
- Ikke alle polynomer kan faktoriseres.
- Selv om den er dekomponert, må du se nøye på hva den forkortede multiplikasjonsformelen er.
For å gjøre dette må vi først estimere hvor mange ledd det er (hvis det er to, så er alt vi kan gjøre å utvide dem enten med summen av forskjellen av kvadrater, eller med summen eller forskjellen av terninger; og hvis det er tre, så dette, unikt, enten kvadratet av summen eller kvadratet av differansen). Det hender ofte at enten telleren eller nevneren ikke krever faktorisering i det hele tatt, den kan være lineær, eller dens diskriminant vil være negativ.
Oppgave nr. 2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
Generelt er ordningen for å løse dette problemet ikke forskjellig fra den forrige - det vil ganske enkelt være flere handlinger, og de vil bli mer mangfoldige.
La oss starte med den første brøken: se på telleren og gjør mulige transformasjoner:
La oss nå se på nevneren:
Med den andre brøken: ingenting kan gjøres i det hele tatt i telleren, fordi det lineært uttrykk, og det er umulig å fjerne noen faktor fra det. La oss se på nevneren:
\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\venstre(x-2 \høyre) ))^(2))\]
La oss gå til den tredje brøken. Teller:
La oss se på nevneren til den siste brøken:
La oss omskrive uttrykket under hensyntagen til fakta ovenfor:
\[\frac(3\venstre(1-2x \høyre))(2\venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre))\cdot \frac(2x+1)((( \venstre(x-2 \høyre))^(2)))\cdot \frac(\venstre(2-x \høyre)\venstre(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]
\[=\frac(-3)(2\venstre(2-x \høyre))=-\frac(3)(2\venstre(2-x \høyre))=\frac(3)(2\venstre (x-2 \høyre))\]
Nyanser av løsningen
Som du kan se, er ikke alt og ikke alltid avhengig av forkortede multiplikasjonsformler - noen ganger er det bare nok å sette en konstant eller variabel ut av parentes. Det skjer imidlertid også omvendt situasjon, når det er så mange termer eller de er konstruert på en slik måte at forkortede multiplikasjonsformler for dem vanligvis er umulige. I dette tilfellet kommer et universelt verktøy til hjelp, nemlig grupperingsmetoden. Det er akkurat dette vi nå skal bruke i neste oppgave.
Oppgave nr. 3
\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2))))\]
La oss se på den første delen:
\[((a)^(2))+ab=a\venstre(a+b \høyre)\]
\[=5\venstre(a-b \høyre)-\venstre(a-b \høyre)\venstre(a+b \høyre)=\venstre(a-b \høyre)\venstre(5-1\venstre(a+b \høyre) )\right)=\]
\[=\venstre(a-b \høyre)\venstre(5-a-b \høyre)\]
La oss omskrive det opprinnelige uttrykket:
\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2)))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]
La oss nå se på den andre parentesen:
\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \venstre(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \høyre)-((b)^(2))=\]
\[=((\venstre(a-5 \høyre))^(2))-((b)^(2))=\venstre(a-5-b \høyre)\venstre(a-5+b \Ikke sant)\]
Siden to elementer ikke kunne grupperes, grupperte vi tre. Alt som gjenstår er å finne ut nevneren til den siste brøken:
\[((a)^(2))-((b)^(2))=\venstre(a-b \høyre)\venstre(a+b \høyre)\]
La oss nå omskrive hele konstruksjonen vår:
\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \venstre(a-b \høyre))^(2)))\]
Problemet er løst, og ikke noe mer kan forenkles her.
Nyanser av løsningen
Vi sorterte ut grupperingen og fikk en annen veldig kraftig verktøy, som utvider mulighetene for faktorisering. Men problemet er at i det virkelige liv Ingen vil gi oss slike raffinerte eksempler, der det er flere brøker der du bare trenger å faktorisere telleren og nevneren, og deretter, hvis mulig, redusere dem. Virkelige uttrykk vil være mye mer komplekse.
Mest sannsynlig, i tillegg til multiplikasjon og divisjon, vil det være subtraksjoner og tillegg, alle slags parenteser - generelt må du ta hensyn til rekkefølgen av handlinger. Men det verste er at når man trekker fra og legger til brøker med ulike nevnere de må reduseres til én felles ting. For å gjøre dette, må hver av dem faktoriseres, og deretter transformere disse brøkene: gi lignende og mye mer. Hvordan gjøre dette riktig, raskt, og samtidig få et klart riktig svar? Det er akkurat dette vi skal snakke om nå ved å bruke følgende konstruksjon som eksempel.
Oppgave nr. 4
\[\venstre(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \høyre)\]
La oss skrive ut den første brøken og prøve å finne den ut separat:
\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]
\[=\frac(\venstre(x+3 \høyre)\venstre(((x)^(2))-3x+9 \høyre))(x)\]
La oss gå videre til det andre. La oss umiddelbart beregne diskriminanten til nevneren:
Det kan ikke faktoriseres, så vi skriver følgende:
\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\venstre(x+3 \høyre)\venstre(((x)^(2))-3x+9 \høyre))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\venstre(x+3 \høyre)\venstre(((x)^(2))-3x+9 \høyre)) \]
Vi vil skrive telleren separat:
\[((x)^(2))-2x+12=0\]
Følgelig kan ikke dette polynomet faktoriseres.
Vi har allerede gjort det maksimale vi kunne gjøre og bryte ned.
Så vi omskriver vår originale konstruksjon og får:
\[\frac(\venstre(x+3 \høyre)\venstre(((x)^(2))-3x+9 \høyre)))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\venstre(x+3 \høyre)\venstre(((x)^(2))-3x+9 \høyre))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]
Det er det, problemet løst.
For å være ærlig var det ikke så bra vanskelig oppgave: alt ble lett faktorisert der og raskt redusert lignende vilkår, og alt krympet vakkert. Så la oss nå prøve å løse et mer alvorlig problem.
Oppgave nr. 5
\[\venstre(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]
La oss først ta for oss den første braketten. Helt fra begynnelsen, la oss faktorisere nevneren til den andre brøken separat:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x) ^(2))+2x+4 \høyre)\]
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]
\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\venstre(x-2 \høyre)\ venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\venstre(x-2 \høyre)+((x)^(2))+8-\venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre))( \venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\venstre(x-2) \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre)) =\frac(((\venstre(x-2 \høyre))^(2)))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+4 \høyre ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
La oss nå jobbe med den andre brøken:
\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2) )))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(x+2 \høyre))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ venstre(x-2 \høyre))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(x+2 \høyre))=\]
\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(x+2 \høyre))\]
Vi går tilbake til vårt originale design og skriver:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\venstre(x-2) \høyre)\venstre(x+2 \høyre))=\frac(1)(x+2)\]
Viktige punkter
En gang til Nøkkelord dagens videoleksjon:
- Du må kunne formlene for forkortet multiplikasjon utenat - og ikke bare vite, men kunne se i uttrykkene du vil møte i reelle problemer. En fantastisk regel kan hjelpe oss med dette: hvis det er to ledd, så er det enten forskjellen av kvadrater, eller forskjellen eller summen av terninger; hvis tre, kan det bare være kvadratet av summen eller differansen.
- Hvis en konstruksjon ikke kan utvides ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler, da heller standard formel faktorisering av trinomialer, eller grupperingsmetoden.
- Hvis noe ikke fungerer, se nøye på kildeuttrykket for å se om det i det hele tatt er nødvendig med transformasjoner. Kanskje det vil være nok å bare sette faktoren ut av parentes, og dette er veldig ofte bare en konstant.
- I komplekse uttrykk, hvor du må utføre flere handlinger på rad, ikke glem å føre til fellesnevner, og først etter det, når alle brøkene er redusert til det, sørg for å ta med det samme i den nye telleren, og faktor den nye telleren igjen - kanskje noe vil bli redusert.
Det var alt jeg ville fortelle deg i dag om rasjonelle brøker. Hvis noe ikke er klart, er det fortsatt mange videoopplæringer på siden, samt mange oppgaver for uavhengig avgjørelse. Så følg med!
Definisjon.Summen av heltalls ikke-negative potenser av en ukjent X, tatt med visse numeriske koeffisienter, kalles et polynom.
Her: 
- reelle tall.
n- grad av polynomet.
Operasjoner på polynomer.
1). Når du legger til (subtraherer) to polynomer, blir koeffisientene lagt til (trukket fra) like grader ukjent x.
2). To polynomer er like hvis de har samme grad og like koeffisienter med samme potens av X.
3). Graden av et polynom oppnådd ved å multiplisere to polynomer er lik summen av gradene til polynomene som multipliseres.
4). Lineære operasjoner på polynomer har egenskapene assosiativitet, kommutativitet og distributivitet.
5) Delingen av et polynom med et polynom kan gjøres ved å bruke regelen "divisjon med et hjørne".
Definisjon. Tallet x=a kalles roten til et polynom hvis dets substitusjon til et polynom gjør det til null, dvs.
Bezouts teorem. Polynomrest
ved binomial (x-a) er lik verdien av polynomet ved x=a, dvs.
Bevis.
La hvor
Setter vi x=a i likheten, får vi
1). Når du deler et polynom med et binomium (x-a), vil resten alltid være et tall.
2). Hvis a er roten til et polynom, er polynomet delelig med binomialet (x-a) uten en rest.
3) Når vi deler et polynom av grad n med et binomium (x-a), får vi et polynom av grad (n-1).
Algebras grunnleggende teorem.Ethvert polynom av gradn (n>1) har minst én rot(presentert uten bevis).
Konsekvens.Ethvert polynom av grad
n
har akkurat
n
røtter og over feltet av komplekse tall dekomponeres til produktet
n
lineære faktorer, dvs.
Blant røttene til polynomet 
det kan være gjentatte tall (flere røtter). For polynomer med reelle koeffisienter kan komplekse røtter bare vises i konjugerte par. La oss bevise det siste utsagnet.
La 
- kompleks rot polynom, deretter Basert på generell eiendom komplekse tall kan derfor angis 
- også en rot.
Hvert par komplekse konjugerte røtter til et polynom tilsvarer et kvadratisk trinomium med reelle koeffisienter.
Her s, q- reelle tall (vis eksempel).
Konklusjon.Vi kan representere et hvilket som helst polynom som et produkt av lineære faktorer og kvadratiske trinomialer med reelle koeffisienter.
Rasjonelle brøker.
En rasjonell brøk er forholdet mellom to polynomer.
Hvis 
, da kalles den rasjonelle brøken egen. I ellers brøken er feil. Enhver uekte brøk kan representeres som summen av et polynom (kvotient) og en egen rasjonell brøk ved å dele polynomet i telleren med polynomet i nevneren.
- upassende rasjonell brøk.
Denne upassende rasjonelle brøken kan nå representeres i følgende form.
Med tanke på det som er vist, vil vi i fremtiden kun vurdere riktige rasjonelle brøker.
Det finnes såkalte enkle rasjonelle brøker – dette er brøker som ikke kan forenkles på noen måte. Disse enkleste brøkene ser slik ut:
En riktig rasjonell brøk av en mer kompleks form kan alltid representeres som en sum av de enkleste rasjonelle brøkene. Settet med brøker bestemmes av settet med røtter til polynomet som vises i nevneren til en riktig irreduserbar rasjonell brøk. Regelen for å dekomponere en brøk til den enkleste er som følger.
La den rasjonelle brøken representeres i følgende form.
Her inneholder telleren av de enkleste brøkene ukjente koeffisienter, som alltid kan bestemmes ved metoden med ubestemte koeffisienter. Essensen av metoden er å likestille koeffisientene med samme potenser av X for polynomet i telleren til den opprinnelige brøken og polynomet i telleren til brøken oppnådd etter å ha redusert de enkleste brøkene til en fellesnevner.
La oss likestille koeffisientene for de samme potensene til X.
Løsning av ligningssystemet for ukjente koeffisienter får vi.
Så denne brøken kan representeres av et sett med følgende enkle brøker.
Ved å bringe det til en fellesnevner er vi overbevist om riktigheten av løsningen på problemet.
Hun ser ut som
hvor P(x) og Q(x) er noen polynomer.
Skille mellom riktige og uekte rasjonelle brøker, analogt med vanlige brøker numeriske brøker. En rasjonell brøk kalles egen hvis rekkefølgen på nevneren er mer ordre teller, og feil hvis vice versa.
Enhver uekte rasjonell brøk kan konverteres til summen av et polynom og en riktig rasjonell brøk
Enhver rasjonell brøk av polynomer med reelle koeffisienter kan representeres som en sum av rasjonelle brøker hvis nevnere er uttrykkene (x − en) k (a er den virkelige roten av Q(x)) eller (x 2 + sx + q) k (Hvor x 2 + sx + q ikke har ekte røtter), og graden k er ikke større enn multiplisiteten tilsvarende røtter i polynomet Q(x). Basert på dette utsagnet er teoremet om integrerbarheten til rasjonelle brøker basert. Ifølge den kan enhver rasjonell brøk integreres i elementære funksjoner, som gjør klassen av rasjonelle brøker svært viktig i matematisk analyse.
se også
Wikimedia Foundation. 2010.
Se hva "rasjonell brøk" er i andre ordbøker:
En rasjonell funksjon er en brøk hvis teller og nevner er polynomer. Den har formen where, polynomer i et hvilket som helst antall variabler. Et spesialtilfelle er rasjonelle funksjoner til én variabel: , hvor... ... Wikipedia
Dette begrepet har andre betydninger, se Brøk . 8 / 13 teller teller nevner nevner To oppføringer av samme brøk En brøk i matematikk er et tall som består av en eller flere deler... ... Wikipedia
Wiktionary har en oppføring for "brøk" Navnet på symbolet "⁄" (en annen, vanlig for det meste i engelske språk, navnet på solidus-symbolet (engelsk), eller skråstrek), for eksempel i husnummer. Så husnummeret "5/17" lyder "fem... ... Wikipedia
1) R.f. funksjon w=R(z), hvor R(z) rasjonelt uttrykk av z, dvs. et uttrykk hentet fra den uavhengige variabelen z og et begrenset sett med tall (reelle eller komplekse) ved endelig antall aritmetikk handlinger. R. f... ... Matematisk leksikon
Kvarter Rasjonalt tall(lat. forhold forhold, divisjon, brøk) tall representert vanlig brøkdel, hvor m er et heltall og n naturlig tall. I dette tilfellet kalles tallet m telleren, og tallet n kalles brøkens nevner. Taku ... Wikipedia
Kvarter Et rasjonelt tall (lat. ratio ratio, divisjon, brøk) er et tall representert med en vanlig brøk, der m er et heltall og n er et naturlig tall. I dette tilfellet kalles tallet m telleren, og tallet n kalles brøkens nevner. Taku ... Wikipedia
Dette begrepet har andre betydninger, se Brøk . Den enkleste brøken oh grad kalles rasjonell funksjon på en måte hvor han tar naturverdier, og punktene som er polene til funksjonen er ikke nødvendigvis geometrisk distinkte.... ... Wikipedia
Et tall uttrykt som en rasjonell brøk. Formell teori Det reelle tallet er konstruert ved hjelp av par med heltall. Rasjonell brøk kalles. ordnet par (a, b) av heltall a og b, kutt b#0. To rasjonelle brøker og kalt. e k v i v a l e n ... Matematisk leksikon
Kvarter Et rasjonelt tall (lat. ratio ratio, divisjon, brøk) er et tall representert med en vanlig brøk, der m er et heltall og n er et naturlig tall. I dette tilfellet kalles tallet m telleren, og tallet n kalles brøkens nevner. Taku ... Wikipedia
Skriv emnet for leksjonen i notatboken
Hva det er?
Dette er algebraiske uttrykk som inneholder divisjon med et uttrykk med variabler.
For eksempel:
- brøkuttrykk.
Et heltall, fordi det er lik , dvs. et helt uttrykk med rasjonelle koeffisienter.
Hele og brøkuttrykk kalles rasjonelle uttrykk.
Det er disse vi må jobbe med i fremtiden!
Hele uttrykket gir mening for alle verdier av variablene, men et brøkuttrykk... kan ikke deles på 0!
For eksempel:
definert for alle verdier av variabelen a og for alle verdier av b, bortsett fra b=3.
For hvilke verdier av variabelen gjør uttrykket
?
Huske:
For alle verdier av a, b og c, hvor og , er likheten sann
Hvis vi multipliserer en brøk med et tall (dvs. multipliserer telleren og nevneren for brøken med samme tall), får vi lik brøkdel, men med en annen nevner.
Hvis vi deler telleren og nevneren med samme tall, reduserer vi brøken.
For eksempel:
1) La oss redusere brøken til en brøk med nevneren 35у3.
La oss dele først ny nevner 35y3 til den gamle 7y og vi får en ekstra multiplikator på 5y2.
Og multipliser deretter telleren og nevneren med denne tilleggsfaktoren:
.
2) La oss redusere brøken.
Løsning:
Huske:
For å redusere en brøk, må du faktorisere telleren og nevneren og deretter dele dem med en lik faktor, dvs. redusere.
Det finnes flere metoder for å faktorisere et uttrykk.
Vi er kjent med to av dem så langt:
1 metode
Bracketing felles multiplikator.
Metode 2
Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler.
Den første og enkleste måten å faktorisere på er
å sette fellesfaktoren utenfor parentes.
Ac + bc = (a + b)c
Eksempel 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)
Regel:
Hvis alle medlemmer av et polynom har en felles faktor (eller flere felles faktorer), kan denne faktoren (disse faktorene) tas ut av parentesen,
i dette tilfellet deler vi hvert ledd med et uttrykk som vi setter i parentes: 5ab2c3: 5abc = bc2, - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 og til slutt, 15a3bc2: 5abc = 3a2c (se tegnene!!!)
Og vi må huske at graden med den nedre indeksen er tatt ut av parentes.
På egen hånd:
Ta den felles faktoren ut av parentes
Kryss av:
Noen ganger alle medlemmer algebraisk uttrykk Jeg har ikke en felles faktor, men i separate grupper av termer er det en, for eksempel,
ah + ay + bx + by.
Dette polynomet kan faktoriseres ved å kombinere dets vilkår til separate grupper
(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b).
Eksempel:
Bruk metoden for å gruppere termer, faktor uttrykket
3x + xy2 - x2y - 3y
Løsning:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).
La oss øve litt mer:
1) a3 - ab - a2b + a2 ,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x.
Løsning:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a) - b),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1).
Og nå om den andre metoden.
Hvis vilkårene i et algebraisk uttrykk ikke har repeterende faktorer, kan du prøve å bruke forkortede multiplikasjonsformler ...
Eksempler
a) Forskjell mellom kvadrater:
0,49x4 - 121y2 = (0,7x2)2 - (11y)2 = (0,7x2 - 11y)(0,7x2 + 11y),
B) Forskjell på kuber:
1 - 27s3 = 13 - (3s)3 = (1 - 3s)(1 + 3s + 9s2),
B) Kvadratforskjell:
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 eller (2a - 3b)(2a - 3b),
D) Forskjellskube:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 eller (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) t .e. tre like multiplikatorer!
Algoritme:
- først "justerer" vi utseende uttrykk" under en mulig formel...
- hvis det fungerer, går vi videre slik det (formelen) krever...
- hvis det ikke går, så begynner vi å "prøve" en annen formel...
- og så videre til du kan dekomponere uttrykket til et produkt av faktorer!