Leksjon om emnet: "Regler for multiplikasjon og deling av potenser med samme og forskjellige eksponenter. Eksempler"
Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.
Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 7. klasse
Manual for læreboken Yu.N. Makarycheva Manual for læreboken av A.G. Mordkovich
Hensikten med leksjonen: lære å utføre operasjoner med potenser av tall.
Først, la oss huske konseptet "tallsmakt". Et uttrykk av formen $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ kan representeres som $a^n$.
Det motsatte er også sant: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Denne likheten kalles "registrering av graden som et produkt." Det vil hjelpe oss å bestemme hvordan vi skal multiplisere og dele potenser.
Huske:
en – gradsgrunnlag.
n – eksponent.
Hvis n=1, som betyr tallet EN tok en gang og følgelig: $a^n= 1$.
Hvis n= 0, deretter $a^0= 1$.
Vi kan finne ut hvorfor dette skjer når vi blir kjent med reglene for multiplikasjon og deling av potenser.
Multiplikasjonsregler
a) Hvis potenser med samme grunntall multipliseres.For å få $a^n * a^m$, skriver vi gradene som et produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Figuren viser at tallet EN har tatt n+m ganger, da $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Eksempel.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Denne egenskapen er praktisk å bruke for å forenkle arbeidet når du hever et tall til en høyere potens.
Eksempel.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Hvis grader med forskjellige grunner, men samme eksponent multipliseres.
For å få $a^n * b^n$ skriver vi gradene som et produkt: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Hvis vi bytter om faktorene og teller de resulterende parene, får vi: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Så $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Eksempel.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Inndelingsregler
a) Grunnlaget for graden er det samme, indikatorene er forskjellige.Vurder å dele en potens med en større eksponent ved å dele en potens med en mindre eksponent.
Så vi trenger $\frac(a^n)(a^m)$, Hvor n>m.
La oss skrive gradene som en brøk:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
For enkelhets skyld skriver vi inndelingen som en enkel brøk.La oss nå redusere brøkdelen.
Det viser seg: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Midler, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Denne egenskapen vil bidra til å forklare situasjonen med å heve et tall til null potens. La oss anta det n=m, deretter $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Eksempler.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Gradsgrunnlagene er forskjellige, indikatorene er de samme.
La oss si at $\frac(a^n)( b^n)$ er nødvendig. La oss skrive potenser av tall som brøker:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
For enkelhets skyld, la oss forestille oss.
Ved å bruke egenskapen til brøker bryter vi ned stor brøkdel til produktet av små, får vi.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Følgelig: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Eksempel.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
I den siste videoleksjonen lærte vi at graden av en bestemt base er et uttrykk som representerer produktet av basen i seg selv, tatt i en mengde lik eksponenten. La oss nå studere noen av maktens viktigste egenskaper og operasjoner.
La oss for eksempel gange to ulike grader med samme base:
La oss presentere dette arbeidet i sin helhet:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Etter å ha beregnet verdien av dette uttrykket, får vi tallet 32. På den annen side, som man kan se fra det samme eksempelet, kan 32 representeres som produktet av samme grunntall (to), tatt 5 ganger. Og faktisk, hvis du teller det, så:
Dermed kan vi trygt konkludere med at:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Denne regelen fungerer vellykket for alle indikatorer og grunner. Denne egenskapen til potensmultiplikasjon følger av regelen om at betydningen av uttrykk bevares under transformasjoner i et produkt. For enhver base a, er produktet av to uttrykk (a)x og (a)y lik a(x + y). Med andre ord, når noen uttrykk med samme base produseres, har den resulterende monomialen en total grad dannet ved å legge til gradene til det første og andre uttrykket.
Den presenterte regelen fungerer også utmerket når du multipliserer flere uttrykk. Hovedbetingelsen er at alle har samme grunnlag. For eksempel:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Du kan ikke legge til grader, eller til og med gjennomføre noen maktstudier i det hele tatt. samarbeid med to elementer i et uttrykk hvis basene deres er forskjellige.
Som videoen vår viser, på grunn av likheten mellom prosessene med multiplikasjon og divisjon, blir reglene for å legge til krefter i et produkt perfekt overført til divisjonsprosedyren. Tenk på dette eksemplet:
La oss gjennomføre en term-for-term transformasjon av uttrykket til Full utsikt og redusere de samme elementene i utbytte og divisor:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Sluttresultatet av dette eksemplet er ikke så interessant, for allerede i prosessen med å løse det er det klart at verdien av uttrykket er lik kvadratet av to. Og det er to som oppnås ved å trekke graden av det andre uttrykket fra graden til det første.
For å bestemme graden av kvotienten, er det nødvendig å trekke divisorgraden fra graden av utbytte. Regelen fungerer med samme grunnlag for alle sine verdier og for alle naturlige krefter. I form av abstraksjon har vi:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Fra regelen om å dele identiske baser med grader, følger definisjonen for nullgraden. Åpenbart ser følgende uttrykk slik ut:
(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0
På den annen side, hvis vi deler mer enn på en visuell måte, da får vi:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Når du reduserer alle synlige elementer i en brøk, oppnås alltid uttrykket 1/1, det vil si en. Derfor er det generelt akseptert at enhver base hevet til null potens er lik en:
Uavhengig av verdien av en.
Imidlertid ville det være absurd hvis 0 (med eventuelle multiplikasjoner som fortsatt gir 0) var på en eller annen måte lik en, derfor gir et uttrykk for formen (0) 0 (null til null potens) rett og slett ikke mening, og en betingelse legges til formelen (a) 0 = 1: "hvis a ikke er lik 0."
La oss løse øvelsen. La oss finne verdien av uttrykket:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Siden basen er den samme overalt og lik 34, vil sluttverdien ha samme base med en grad (i henhold til reglene ovenfor):
Med andre ord:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Svar: uttrykket er lik en.
Hver aritmetisk operasjon noen ganger blir det for tungvint å skrive ned og de prøver å forenkle det. Dette var en gang tilfellet med tilleggsoperasjonen. Folk trengte å utføre gjentatte tillegg av samme type, for eksempel for å beregne kostnadene for hundre persiske tepper, hvor kostnaden er 3 gullmynter for hver. 3+3+3+…+3 = 300. På grunn av den tungvinte karakteren ble det besluttet å forkorte notasjonen til 3 * 100 = 300. Faktisk betyr notasjonen "tre ganger hundre" at du må ta en hundretre og legg dem sammen. Multiplikasjon fanget seg og fikk generell popularitet. Men verden står ikke stille, og i middelalderen oppsto behovet for å gjennomføre gjentatt multiplikasjon av samme type. Jeg husker en gammel indisk gåte om en vismann som ba om hvetekorn i følgende mengder som belønning for utført arbeid: for den første ruten på sjakkbrettet ba han om ett korn, for det andre - to, for det tredje - fire, for den femte - åtte, og så videre. Slik oppsto den første potensmultiplikasjonen, fordi antallet korn var lik to potensen til celletallet. For eksempel, på den siste cellen vil det være 2*2*2*...*2 = 2^63 korn, som er lik et tall på 18 tegn, som faktisk er meningen med gåten.
Operasjonen av eksponentiering fanget opp ganske raskt, og behovet for å utføre addisjon, subtraksjon, divisjon og multiplikasjon av potenser oppsto også raskt. Det siste er verdt å vurdere nærmere. Formlene for å legge til krefter er enkle og enkle å huske. I tillegg er det veldig lett å forstå hvor de kommer fra hvis potensoperasjonen erstattes med multiplikasjon. Men først må du forstå litt grunnleggende terminologi. Uttrykket a^b (les "a i potensen av b") betyr at tallet a skal multipliseres med seg selv b ganger, med "a" som kalles grunnen til potensen, og "b" potenseksponenten. Hvis basene til gradene er de samme, er formlene utledet ganske enkelt. Spesifikt eksempel: finn verdien av uttrykket 2^3 * 2^4. For å vite hva som bør skje, bør du finne ut svaret på datamaskinen før du starter løsningen. Scoring dette uttrykket i en hvilken som helst online kalkulator, søkemotor, ved å skrive «multiplikere potenser med forskjellige baser og det samme» eller en matematisk pakke, vil utgangen være 128. La oss nå skrive ut dette uttrykket: 2^3 = 2*2*2, og 2 ^4 = 2*2* 2*2. Det viser seg at 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Det viser seg at produktet av potenser med samme grunntall er lik grunntallet hevet til en potens lik summen av de to foregående potensene.
Du tror kanskje at dette er en ulykke, men nei: ethvert annet eksempel kan bare bekrefte denne regelen. Altså i generelt syn formelen ser ut på følgende måte: a^n * a^m = a^(n+m) . Det er også en regel om at ethvert tall til null potens er lik en. Her bør vi huske regelen for negative potenser: a^(-n) = 1 / a^n. Det vil si at hvis 2^3 = 8, så er 2^(-3) = 1/8. Ved å bruke denne regelen kan du bevise gyldigheten av likheten a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) kan reduseres og en gjenstår. Herfra er regelen utledet at maktkvoten med på samme grunnlag er lik denne basen i en grad lik kvotienten til utbyttet og divisoren: a^n: a^m = a^(n-m) . Eksempel: forenkle uttrykket 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Multiplikasjon er en kommutativ operasjon, derfor må du først legge til multiplikasjonseksponentene: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Deretter må du håndtere divisjon med en negativ makt. Det er nødvendig å trekke eksponenten til divisoren fra eksponenten for utbyttet: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Det viser seg at operasjonen med å dele graden med negativt er identisk med operasjonen av multiplikasjon med en lignende positiv eksponent. Så det endelige svaret er 8.
Det finnes eksempler hvor ikke-kanonisk multiplikasjon av potenser finner sted. Å multiplisere potenser med forskjellige baser er ofte mye vanskeligere, og noen ganger til og med umulig. Det er noen få eksempler på forskjellige mulige teknikker. Eksempel: forenkle uttrykket 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Det er åpenbart en multiplikasjon av potenser med forskjellige grunner. Men det bør bemerkes at alle baser er forskjellige potenser av tre. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Ved å bruke regelen (a^n) ^m = a^(n*m) , bør du skrive om uttrykket i en mer praktisk form: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Svar: 3^11. I tilfeller hvor ulike grunner, på like indikatorer Regelen a^n * b^n = (a*b) ^n fungerer. For eksempel, 3^3 * 7^3 = 21^3. Ellers, når basene og eksponentene er forskjellige, kan fullstendig multiplikasjon ikke utføres. Noen ganger kan du delvis forenkle eller ty til hjelp av datateknologi.
Addisjon og subtraksjon av potenser
Det er åpenbart at tall med potenser kan legges til som andre størrelser , ved å legge dem etter hverandre med deres tegn.
Så summen av a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen av a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.
Odds like grader identiske variabler kan legges til eller trekkes fra.
Så summen av 2a 2 og 3a 2 er lik 5a 2.
Det er også åpenbart at hvis du tar to ruter a, eller tre ruter a, eller fem ruter a.
Men grader ulike variabler Og ulike grader identiske variabler, må komponeres ved å legge dem til med deres tegn.
Så summen av en 2 og en 3 er summen av en 2 + en 3.
Det er åpenbart at kvadratet av a, og terningen av a, ikke er lik to ganger kvadratet av a, men to ganger terningen av a.
Summen av a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.
Subtraksjon krefter utføres på samme måte som addisjon, bortsett fra at tegnene til subtrahendene må endres tilsvarende.
Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3t 2 b 6 — 4t 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Multiplisere potenser
Tall med potenser kan multipliseres, som andre størrelser, ved å skrive dem etter hverandre, med eller uten multiplikasjonstegn mellom dem.
Dermed er resultatet av å multiplisere a 3 med b 2 a 3 b 2 eller aaabb.
Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Resultere i siste eksempel kan bestilles ved å legge til identiske variabler.
Uttrykket vil ha formen: a 5 b 5 y 3.
Ved å sammenligne flere tall (variabler) med potenser, kan vi se at hvis to av dem multipliseres, så er resultatet et tall (variabel) med potens lik beløp grader av termer.
Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Her er 5 potensen til multiplikasjonsresultatet, som er lik 2 + 3, summen av potensene til leddene.
Så, a n.a m = a m+n.
For a n tas a som en faktor like mange ganger som potensen til n;
Og en m tas som en faktor like mange ganger som graden m er lik;
Derfor, potenser med samme grunntall kan multipliseres ved å legge til potensens eksponenter.
Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multipliser (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multipliser (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Denne regelen gjelder også for tall hvis eksponenter er negativ.
1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n.y-m = y-n-m.
3. a -n .a m = a m-n .
Hvis a + b multipliseres med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: altså
Resultatet av å multiplisere summen eller differansen av to tall lik summen eller forskjellen på rutene deres.
Hvis du multipliserer summen og differansen av to tall hevet til torget, vil resultatet være lik summen eller differansen av disse tallene i fjerde grader.
Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Inndeling av grader
Tall med potenser kan deles som andre tall, ved å trekke fra utbyttet, eller ved å plassere dem i brøkform.
Dermed er a 3 b 2 delt på b 2 lik a 3.
Å skrive en 5 delt på en 3 ser ut som $\frac $. Men dette er lik en 2 . I en rekke tall
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
et hvilket som helst tall kan deles på et annet, og eksponenten vil være lik forskjell indikatorer på delbare tall.
Når du deler grader med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra..
Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil si $\frac = y$.
Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil si $\frac = a^n$.
Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Regelen gjelder også for tall med negativ verdier av grader.
Resultatet av å dele en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Det er nødvendig å mestre multiplikasjon og deling av potenser veldig godt, siden slike operasjoner er veldig mye brukt i algebra.
Eksempler på å løse eksempler med brøker som inneholder tall med potenser
1. Reduser eksponentene med $\frac $ Svar: $\frac $.
2. Reduser eksponenter med $\frac$. Svar: $\frac$ eller 2x.
3. Reduser eksponentene a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og før til fellesnevner.
a 2 .a -4 er a -2 den første telleren.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den andre telleren.
a 3 .a -4 er en -1 , den vanlige telleren.
Etter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .
4. Reduser eksponentene 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og kom med til en fellesnevner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.
5. Multipliser (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.
6. Multipliser (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).
7. Multipliser b 4 /a -2 med h -3 /x og a n /y -3 .
8. Del a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.
Gradens egenskaper
Vi minner deg om at i denne leksjonen vil vi forstå egenskaper til grader Med i natura og null. Grader med rasjonelle indikatorer og deres egenskaper vil bli diskutert i leksjoner for 8. klasse.
En grad med en naturlig indikator har flere viktige egenskaper, som lar deg forenkle beregninger i eksempler med potenser.
Eiendom nr. 1
Produkt av makter
Når potenser multipliseres med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og potensenes eksponenter adderes.
a m · a n = a m + n, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.
Denne eiendommen grader gjelder også for produkt av tre og flere grader.
- Forenkle uttrykket.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Presenter det som en grad.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Presenter det som en grad.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Skriv kvotienten som en potens
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Regne ut.
Vær oppmerksom på at i spesifisert eiendom vi snakket bare om å multiplisere potenser med de samme basene. Det gjelder ikke tillegget deres.
Du kan ikke erstatte summen (3 3 + 3 2) med 3 5. Dette er forståelig hvis
beregn (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, og 3 5 = 243
Eiendom nr. 2
Delgrader
Når du deler potenser med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og eksponenten til divisoren trekkes fra eksponenten til utbyttet.
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Eksempel. Løs ligningen. Vi bruker egenskapen til kvotekrefter.
3 8: t = 3 4
Svar: t = 3 4 = 81
Ved å bruke egenskap nr. 1 og nr. 2 kan du enkelt forenkle uttrykk og utføre beregninger.
Eksempel. Forenkle uttrykket.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Eksempel. Finn verdien av et uttrykk ved å bruke egenskapene til eksponenter.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Vær oppmerksom på at i Eiendom 2 snakket vi kun om å dele potenser med samme grunnlag.
Du kan ikke erstatte differansen (4 3 −4 2) med 4 1. Dette er forståelig hvis du regner ut (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, og 4 1 = 4
Eiendom nr. 3
Å heve en grad til en makt
Når du hever en grad til en potens, forblir basisen til graden uendret, og eksponentene multipliseres.
(a n) m = a n · m, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.
Vi minner om at en kvotient kan representeres som en brøk. Derfor vil vi dvele ved temaet å heve en brøk til en potens mer detaljert på neste side.
Hvordan multiplisere potenser
Hvordan multiplisere potenser? Hvilke potenser kan multipliseres og hvilke kan ikke? Hvordan multiplisere et tall med en potens?
I algebra kan du finne et produkt av potenser i to tilfeller:
1) hvis gradene har samme base;
2) hvis gradene har samme indikatorer.
Når du multipliserer potenser med de samme grunnene, må grunntallet være det samme, og eksponentene må legges til:
Når du multipliserer potenser med de samme indikatorene generell indikator kan tas ut av parentes:
La oss se på hvordan du multipliserer potenser ved å bruke spesifikke eksempler.
Enheten er ikke skrevet i eksponenten, men når du multipliserer potenser, tar de hensyn til:
Når du multipliserer, kan det være et hvilket som helst antall potenser. Det bør huskes at du ikke trenger å skrive multiplikasjonstegnet før bokstaven:
I uttrykk gjøres eksponentisering først.
Hvis du trenger å multiplisere et tall med en potens, bør du først utføre eksponentieringen, og først deretter multiplikasjonen:
Multiplisere potenser med de samme basene
Denne videoopplæringen er tilgjengelig med abonnement
Har du allerede et abonnement? Å komme inn
I denne leksjonen vil vi studere multiplikasjon av potenser med like baser. La oss først huske definisjonen av grad og formulere et teorem om gyldigheten av likheten . Deretter vil vi gi eksempler på bruken på spesifikke tall og bevise det. Vi vil også bruke teoremet for å løse ulike oppgaver.
Emne: Kraft med en naturlig eksponent og dens egenskaper
Leksjon: Multiplisere potenser med de samme basene (formel)
1. Grunnleggende definisjoner
Grunnleggende definisjoner:
n- eksponent,
— n potensen til et tall.
2. Utsagn om setning 1
Teorem 1. For et hvilket som helst nummer EN og enhver naturlig n Og k likheten er sann:
Med andre ord: hvis EN– et hvilket som helst tall; n Og k naturlige tall, da:
Derfor regel 1:
3. Forklarende oppgaver
Konklusjon: spesielle tilfeller bekreftet riktigheten av teorem nr. 1. La oss bevise det generell sak, altså for enhver EN og enhver naturlig n Og k.
4. Bevis for teorem 1
Gitt et tall EN– noen; tall n Og k – naturlig. Bevise:
Beviset er basert på definisjonen av grad.
5. Løs eksempler ved hjelp av setning 1
Eksempel 1: Tenk på det som en grad.
For å løse følgende eksempler bruker vi setning 1.
og) 
6. Generalisering av teorem 1
En generalisering brukt her:
7. Løse eksempler ved hjelp av en generalisering av setning 1
8. Løse ulike problemer ved hjelp av setning 1
Eksempel 2: Regn ut (du kan bruke tabellen over grunnleggende potenser).
EN) 
(ifølge tabellen)
b) 
Eksempel 3: Skriv det som en potens med base 2.
EN) 
Eksempel 4: Bestem tegnet på tallet:
, A - negativ, siden eksponenten ved -13 er oddetall.
Eksempel 5: Erstatt (·) med potensen av et tall med en grunntall r:
Det har vi, altså.
9. Oppsummering
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra 7. 6. utgave. M.: Opplysning. 2010
1. Skoleassistent (Kilde).
1. Presenter som en kraft:
a B C D E) 
3. Skriv som potens med grunntall 2:
4. Bestem tegnet på tallet:
EN) 
5. Erstatt (·) med potensen av et tall med en grunntall r:
a) r4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6
Multiplikasjon og deling av potenser med samme eksponenter
I denne leksjonen skal vi studere multiplikasjon av potenser med like eksponenter. La oss først huske de grunnleggende definisjonene og teoremene om å multiplisere og dele potenser med de samme basene og heve potenser til potenser. Deretter formulerer og beviser vi teoremer om multiplikasjon og deling av potenser med samme eksponenter. Og så løser vi serien med deres hjelp typiske oppgaver.
Påminnelse om grunnleggende definisjoner og teoremer
Her en- grunnlaget for graden,
— n potensen til et tall.
Teorem 1. For et hvilket som helst nummer EN og enhver naturlig n Og k likheten er sann:
Når potenser multipliseres med de samme basene, legges eksponentene til, basen forblir uendret.
Teorem 2. For et hvilket som helst nummer EN og enhver naturlig n Og k, slik at n > k likheten er sann:
Når du deler grader med de samme grunnene, trekkes eksponentene fra, men grunntallet forblir uendret.
Teorem 3. For et hvilket som helst nummer EN og enhver naturlig n Og k likheten er sann:
Alle teoremene som er oppført handlet om potenser med det samme grunner, i denne leksjonen skal vi se på grader med det samme indikatorer.
Eksempler på å multiplisere potenser med de samme eksponentene
Tenk på følgende eksempler:
La oss skrive ned uttrykkene for å bestemme graden.
Konklusjon: Av eksemplene kan det ses at 
, men dette må fortsatt bevises. La oss formulere teoremet og bevise det i det generelle tilfellet, det vil si for enhver EN Og b og enhver naturlig n.
Formulering og bevis på teorem 4
For alle tall EN Og b og enhver naturlig n likheten er sann:
Bevis Teorem 4 .
Etter definisjon av grad:
Så det har vi bevist .
For å multiplisere potenser med de samme eksponentene, er det nok å multiplisere basene og la eksponenten være uendret.
Formulering og bevis på teorem 5
La oss formulere et teorem for å dele potenser med de samme eksponentene.
For et hvilket som helst nummer EN Og b() og enhver naturlig n likheten er sann:
Bevis Teorem 5 .
La oss skrive ned definisjonen av grad:
Utsagn av teoremer i ord
Så det har vi bevist.
For å dele potenser med de samme eksponentene i hverandre, er det nok å dele en base med en annen, og la eksponenten være uendret.
Løse typiske problemer ved å bruke teorem 4
Eksempel 1: Tilstede som et produkt av krefter.
For å løse følgende eksempler bruker vi setning 4.
For å løse følgende eksempel, husk formlene:
Generalisering av teorem 4
Generalisering av teorem 4:
Løse eksempler ved å bruke generalisert setning 4
Fortsetter å løse typiske problemer
Eksempel 2: Skriv det som en kraft av produktet.
Eksempel 3: Skriv det som en potens med eksponent 2.
Regneeksempler
Eksempel 4: Regn ut på den mest rasjonelle måten.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. og andre Algebra 7.M.: Opplysning. 2006
2. Skoleassistent (Kilde).
1. Presenter som et produkt av makter:
A) ; b) ; V); G);
2. Skriv som en kraft av produktet:
3. Skriv som potens med eksponent 2:
4. Regn ut på den mest rasjonelle måten.
Matematikktime om emnet "Multiplikasjon og maktdeling"
Seksjoner: Matematikk
Pedagogisk mål:
Oppgaver:
Aktivitetsenheter for undervisning: bestemmelse av grad med en naturlig indikator; grad komponenter; definisjon av privat; kombinasjonslov multiplikasjon.
I. Organisering av en demonstrasjon av elevenes mestring av eksisterende kunnskap. (trinn 1)
a) Oppdatere kunnskap:
2) Formuler en definisjon av grad med en naturlig eksponent.
a n =a a a a … a (n ganger)
b k =b b b b a... b (k ganger) Begrunn svaret.
II. Organisering av selvevaluering av studentens grad av ferdigheter i nåværende erfaring. (steg 2)
Selv test: ( individuelt arbeid i to versjoner.)
A1) Presenter produktet 7 7 7 7 x x x som en potens:
A2) Representer kraften (-3) 3 x 2 som et produkt
A3) Regn ut: -2 3 2 + 4 5 3
Jeg velger antall oppgaver i testen i samsvar med forberedelsen av klassetrinn.
Jeg gir deg nøkkelen til testen for selvtesting. Kriterier: bestått - ikke bestått.
III. Pedagogisk og praktisk oppgave (trinn 3) + trinn 4. (elevene skal selv formulere egenskapene)
Mens de løser oppgave 1) og 2), foreslår elevene en løsning, og jeg, som lærer, organiserer klassen for å finne en måte å forenkle potenser når man multipliserer med de samme grunnene.
Lærer: kom opp med en måte å forenkle potenser når du multipliserer med de samme grunnene.
En oppføring vises på klyngen:
Temaet for timen er formulert. Multiplikasjon av potenser.
Lærer: kom opp med en regel for å dele potenser med samme grunnlag.
Begrunnelse: hvilken handling brukes for å kontrollere deling? a 5: a 3 = ? at a 2 a 3 = en 5
Jeg går tilbake til diagrammet - en klynge og legger til oppføringen - .. når vi deler, trekker vi fra og legger til emnet for leksjonen. ...og inndeling av grader.
IV. Formidle til elevene grensene for kunnskap (som et minimum og som et maksimum).
Lærer: Minimumsoppgaven for dagens leksjon er å lære å bruke egenskapene til multiplikasjon og divisjon av potenser med samme baser, og maksimaloppgaven er å bruke multiplikasjon og divisjon sammen.
Vi skriver på tavlen : a m a n = a m+n; a m: a n = a m-n
V. Organisering av å studere nytt materiale. (trinn 5)
a) I følge læreboka: nr. 403 (a, c, e) oppgaver med ulike formuleringer
nr. 404 (a, d, f) selvstendig arbeid, så organiserer jeg en gjensidig sjekk og gir nøklene.
b) For hvilken verdi av m er likheten gyldig? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Oppgave: kom med lignende eksempler for deling.
c) nr. 417 (a), nr. 418 (a) Feller for studenter: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.
VI. Oppsummere det som er lært, utføre diagnostisk arbeid (som oppmuntrer elevene, og ikke læreren, til å studere dette emnet) (trinn 6)
Diagnostisk arbeid.
Test(plasser nøklene på baksiden test).
Oppgavealternativer: representer kvotienten x 15 som potens: x 3; representere som en potens produktet (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; for hvilken m er likheten a 16 a m = a 32 gyldig? finn verdien av uttrykket h 0: h 2 ved h = 0,2; beregne verdien av uttrykket (5 2 5 0): 5 2 .
Leksjonssammendrag. Speilbilde. Jeg deler klassen i to grupper.
Finn argumenter i gruppe I: til fordel for å kjenne gradens egenskaper, og gruppe II - argumenter som vil si at du kan klare deg uten egenskaper. Vi lytter til alle svarene og trekker konklusjoner. I påfølgende leksjoner kan du tilby statistiske data og kalle rubrikken "Det er umulig å tro!"
VII. Hjemmelekser.
Historisk referanse. Hvilke tall kalles Fermat-tall.
S.19. nr. 403, nr. 408, nr. 417
Brukte bøker:
Egenskaper til grader, formuleringer, bevis, eksempler.
Etter at kraften til et tall er bestemt, er det logisk å snakke om grads egenskaper. I denne artikkelen vil vi gi de grunnleggende egenskapene til kraften til et tall, mens vi berører alle mulige eksponenter. Her vil vi gi bevis for alle egenskaper ved grader, og også vise hvordan disse egenskapene brukes ved løsning av eksempler.
Sidenavigering.
Egenskaper til grader med naturlige eksponenter
Per definisjon av en potens med en naturlig eksponent, er potensen a n produktet av n faktorer, som hver er lik a. Basert på denne definisjonen, og også ved hjelp av egenskaper ved multiplikasjon av reelle tall, kan vi få og begrunne følgende gradegenskaper med naturlig eksponent:
- hvis a>0, så a n>0 for et hvilket som helst naturlig tall n;
- hvis a=0, så er a n=0;
- hvis a 2·m >0 , hvis a 2·m−1 n ;
- hvis m og n er naturlige tall slik at m>n, så for 0m n, og for a>0 er ulikheten a m >a n sann.
- a m ·a n =a m+n;
- a m:a n =a m−n;
- (a·b) n =an·bn;
- (a:b) n =a n:b n;
- (a m) n =a m·n;
- hvis n er et positivt heltall, er a og b positive tall, og a n n og a −n >b −n;
- hvis m og n er heltall, og m>n, så for 0m n, og for a>1 gjelder ulikheten a m >a n.
La oss umiddelbart merke at alle skriftlige likheter er det identisk underlagt de spesifiserte betingelsene, kan både høyre og venstre deler byttes. For eksempel, hovedegenskapen til brøken a m ·a n =a m+n med forenkle uttrykk ofte brukt i formen a m+n =a m ·a n .
La oss nå se på hver av dem i detalj.
La oss starte med egenskapen til produktet av to potenser med samme base, som kalles gradens hovedegenskap: for et hvilket som helst reelt tall a og alle naturlige tall m og n, er likheten a m ·a n =a m+n sann.
La oss bevise hovedegenskapen til graden. Ved definisjonen av en potens med en naturlig eksponent, kan produktet av potenser med identiske basiser av formen a m ·a n skrives som produktet 
. På grunn av egenskapene til multiplikasjon kan det resulterende uttrykket skrives som 
, og dette produktet er en potens av tallet a med en naturlig eksponent m+n, det vil si en m+n. Dette fullfører beviset.
La oss gi et eksempel som bekrefter gradens hovedegenskap. La oss ta grader med de samme grunnene 2 og naturlige potenser 2 og 3, ved å bruke den grunnleggende egenskapen til grader kan vi skrive likheten 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. La oss sjekke gyldigheten ved å beregne verdiene til uttrykkene 2 2 · 2 3 og 2 5 . Ved å utføre eksponentiering har vi 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 og 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 , siden vi får like verdier, så er likheten 2 2 ·2 3 =2 5 er riktig, og det bekrefter gradens hovedegenskap.
Den grunnleggende egenskapen til en grad basert på egenskapene til multiplikasjon kan generaliseres til produktet av tre og mer grader med samme grunnlag og naturlige indikatorer. Så for et hvilket som helst tall k av naturlige tall n 1 , n 2 , …, n k er likheten a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +...+n k sann.
For eksempel, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Vi kan gå videre til den neste egenskapen til potenser med en naturlig eksponent – egenskap av kvotepotenser med samme grunnlag: for ethvert reelt tall a som ikke er null og vilkårlige naturlige tall m og n som tilfredsstiller betingelsen m>n, er likheten a m:a n =a m−n sann.
Før du gir et bevis på denne egenskapen, la oss diskutere betydningen tilleggsbetingelser i ordlyden. Betingelsen a≠0 er nødvendig for å unngå divisjon med null, siden 0 n =0, og da vi ble kjent med divisjon ble vi enige om at vi ikke kan dividere med null. Betingelsen m>n er introdusert for at vi ikke skal gå utover de naturlige eksponentene. Faktisk, for m>n eksponenten er a m−n et naturlig tall, in ellers det vil være enten null (som skjer når m−n) eller et negativt tall (som skjer når m m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Fra den resulterende likheten a m−n ·a n =a m og av sammenhengen multiplikasjon med divisjon følger det at a m−n er kvotienten av potensene a m og en n. Dette beviser egenskapen til potenskvotienter med de samme grunnene.
La oss gi et eksempel. La oss ta to grader med samme base π og naturlige eksponenter 5 og 2, likheten π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 tilsvarer den betraktede egenskapen til graden.
La oss nå vurdere produktkraftegenskap: naturlig grad n-produktet av to reelle tall a og b er lik produktet av potensene a n og b n , det vil si (a·b) n =a n ·b n .
Faktisk, etter definisjonen av en grad med en naturlig eksponent vi har 
. Siste stykke basert på egenskapene til multiplikasjon kan skrives om som 
, som er lik a n · b n .
Her er et eksempel: 
.
Denne egenskapen strekker seg til kraften til produktet av tre og mer multiplikatorer. Det vil si at egenskapen til naturlig grad n til et produkt av k faktorer skrives som (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
For klarhet vil vi vise denne egenskapen med et eksempel. For produktet av tre faktorer i makten 7 har vi .
Følgende eiendom er eiendom av en kvotient: kvotienten av reelle tall a og b, b≠0 til den naturlige potensen n er lik kvotienten av potensene a n og b n, det vil si (a:b) n =a n:b n.
Beviset kan utføres ved bruk av forrige egenskap. Så (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , og fra likheten (a:b) n ·b n =a n følger det at (a:b) n er kvotienten til divisjon a n på bn.
La oss skrive denne egenskapen ved å bruke spesifikke tall som eksempel: 
.
La oss nå si det egenskapen til å heve en makt til en makt: for et hvilket som helst reelt tall a og eventuelle naturlige tall m og n, er potensen av a m i potensen av n lik potensen til tallet a med eksponent m·n, det vil si (a m) n =a m·n.
For eksempel, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.
Beviset på kraft-til-grad-egenskapen er følgende kjede av likheter: 
.
Eiendommen som vurderes kan utvides til grad til grad mv. For eksempel, for alle naturlige tall p, q, r og s, er likheten 
. For større klarhet, la oss gi et eksempel med spesifikke tall: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Det gjenstår å dvele ved egenskapene til å sammenligne grader med en naturlig eksponent.
La oss starte med å bevise egenskapen til å sammenligne null og makt med en naturlig eksponent.
Først, la oss bevise at a n >0 for enhver a>0.
Produkt av to positive tall er et positivt tall, som følger av definisjonen av multiplikasjon. Dette faktum og egenskapene til multiplikasjon antyder at resultatet av å multiplisere et hvilket som helst antall positive tall også vil være et positivt tall. Og kraften til et tall a med naturlig eksponent n, per definisjon, er produktet av n faktorer, som hver er lik a. Disse argumentene lar oss hevde at for enhver positiv base a, er graden a n et positivt tall. På grunn av den påviste egenskapen 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 og 
.
Det er ganske åpenbart at for ethvert naturlig tall n med a=0 er graden av en n null. Faktisk, 0n =0·0·…·0=0 . For eksempel, 0 3 =0 og 0 762 =0.
La oss gå videre til negative årsaker grader.
La oss starte med tilfellet når eksponenten er et partall, la oss betegne det som 2·m, der m er et naturlig tall. Deretter 
. I henhold til regelen for å multiplisere negative tall, er hvert av produktene av formen a·a lik produktet av de absolutte verdiene av tallene a og a, noe som betyr at det er et positivt tall. Derfor vil produktet også være positivt 
og grad a 2·m. La oss gi eksempler: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 og .
Til slutt, når grunntallet a er et negativt tall og eksponenten er oddetall 2 m−1, da 
. Alle produkter a·a er positive tall, produktet av disse positive tallene er også positivt, og dets multiplikasjon med det gjenværende negative tallet a resulterer i et negativt tall. På grunn av denne egenskapen (−5) er 3 17 n n produktet av venstre og høyre side av n sanne ulikheter a egenskaper ved ulikheter, en bevisbar ulikhet av formen a n n er også sann. For eksempel, på grunn av denne egenskapen, er ulikhetene 3 7 7 og 
.
Det gjenstår å bevise det siste av oppførte eiendommer grader med naturlige indikatorer. La oss formulere det. Av to potenser med naturlige eksponenter og identiske positive baser mindre enn én, er den hvis eksponent er mindre større; og av to potenser med naturlige eksponenter og identiske baser større enn én, er den hvis eksponent er større større. La oss gå videre til beviset for denne eiendommen.
La oss bevise at for m>n og 0m n . For å gjøre dette skriver vi ned forskjellen a m − a n og sammenligner den med null. Den registrerte forskjellen, etter å ha tatt en n fra parentes, vil ha formen a n ·(a m−n−1) . Det resulterende produktet er negativt som produktet av et positivt tall a n og negativt tall a m−n −1 (a n er positiv som den naturlige potensen til et positivt tall, og forskjellen a m−n −1 er negativ, siden m−n>0 på grunn av startbetingelsen m>n, som betyr at ved 0m− n er mindre enn én). Derfor, a m −a n m n , som er det som måtte bevises. For eksempel, la oss gi ekte ulikhet.
Det gjenstår å bevise den andre delen av eiendommen. La oss bevise at for m>n og a>1 er a m >a n sann. Forskjellen a m −a n etter å ha tatt en n fra parentes har formen a n ·(a m−n −1) . Dette produktet er positivt, siden for a>1 er graden a n et positivt tall, og forskjellen a m−n −1 er et positivt tall, siden m−n>0 pga. innledende tilstand, og for a>1 grad a m−n mer enn en. Følgelig, a m −a n >0 og a m >a n, som er det som måtte bevises. Denne egenskapen er illustrert av ulikheten 3 7 >3 2.
Egenskaper til potenser med heltallseksponenter
Siden positive heltall er naturlige tall, så er alle egenskapene til potenser med heltall positive indikatorer sammenfaller nøyaktig med egenskapene til potenser med naturlige eksponenter oppført og bevist i forrige avsnitt.
Grad med et heltall negativ indikator, så vel som en grad med null eksponent, definerte vi på en slik måte at alle egenskapene til grader med naturlige eksponenter, uttrykt ved likheter, forble gyldige. Derfor er alle disse egenskapene gyldige for både null eksponenter og negative eksponenter, mens, selvfølgelig, basene til potensene er forskjellige fra null.
Så for alle reelle og ikke-null tall a og b, samt alle heltall m og n, er følgende sanne: egenskaper til potenser med heltallseksponenter:
Når a=0, gir potensene a m og a n mening bare når både m og n er positive heltall, det vil si naturlige tall. Dermed er egenskapene som nettopp er skrevet også gyldige for tilfeller der a=0 og tallene m og n er positive heltall.
Å bevise hver av disse egenskapene er ikke vanskelig; for å gjøre dette er det nok å bruke definisjonene av grad med en naturlig og heltallseksponent, samt egenskapene til handlinger med reelle tall. Som et eksempel, la oss bevise at makt-til-kraft-egenskapen gjelder for både positive heltall og ikke-positive heltall. For å gjøre dette må vi vise at hvis p er null eller naturlig tall og q er null eller et naturlig tall, da er likhetene (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p)·q, (a p) −q =a p·(−q) og ( a −p) −q =a (−p)·(−q) . La oss gjøre det.
For positive p og q ble likheten (a p) q =a p·q bevist i forrige avsnitt. Hvis p=0, så har vi (a 0) q =1 q =1 og a 0·q =a 0 =1, hvorav (a 0) q =a 0·q. Tilsvarende, hvis q=0, så (a p) 0 =1 og a p·0 =a 0 =1, hvorav (a p) 0 =a p·0. Hvis både p=0 og q=0, så (a 0) 0 =1 0 =1 og a 0·0 =a 0 =1, hvorav (a 0) 0 =a 0·0.
Nå beviser vi at (a −p) q =a (−p)·q . Per definisjon av en potens med en negativ heltallseksponent, altså 
. Ved egenskapen til kvotienter til makter vi har 
. Siden 1 p =1·1·…·1=1 og , så . Siste uttrykk per definisjon er en potens av formen a −(p·q) , som på grunn av multiplikasjonsreglene kan skrives som en (−p)·q .
like måte 
.
OG 
.
Ved å bruke samme prinsipp kan du bevise alle andre egenskaper til en grad med en heltallseksponent, skrevet i form av likheter.
I nest siste av de registrerte egenskapene er det verdt å dvele ved beviset for ulikheten a −n >b −n, som er gyldig for ethvert negativt heltall −n og enhver positiv a og b som betingelsen a er oppfylt for. . La oss skrive ned og transformere forskjellen mellom venstre og høyre side av denne ulikheten: 
. Siden etter betingelse a n n , derfor b n −a n >0 . Produktet a n · b n er også positivt som produktet av positive tall a n og b n . Da er den resulterende brøken positiv som kvotienten av de positive tallene b n −a n og a n ·b n . Derfor, hvorfra a −n >b −n , som er det som måtte bevises.
Den siste egenskapen til potenser med heltallseksponenter er bevist på samme måte som en lignende egenskap til potenser med naturlige eksponenter.
Egenskaper til potenser med rasjonelle eksponenter
Vi definerte en grad med en brøkeksponent ved å utvide egenskapene til en grad med en heltallseksponent til den. Potenser med brøkeksponenter har med andre ord de samme egenskapene som potenser med heltallseksponenter. Nemlig:
- egenskapen til produktet av potenser med samme baser
for a>0, og hvis og, så for a≥0; - egenskap av kvotepotenser med samme grunnlag
for a>0; - egenskapen til et produkt i brøkkraft
for a>0 og b>0, og hvis og, så for a≥0 og (eller) b≥0; - egenskapen til en kvotient til en brøkpotens
for a>0 og b>0, og hvis, så for a≥0 og b>0; - egenskap av grad til grad
for a>0, og hvis og, så for a≥0; - egenskapen til å sammenligne potenser med like rasjonelle eksponenter: for alle positive tall a og b, a 0 ulikheten a p p er sann, og for p p >b p ;
- egenskapen til å sammenligne grader med rasjonelle eksponenter og likt: for rasjonelle tall p og q, p>q for 0p q, og for a>0 – ulikheten a p >a q.
- a p ·a q =a p+q;
- a p:a q =a p−q;
- (a·b) p =ap·bp;
- (a:b) p =a p:b p;
- (a p) q =a p·q;
- for alle positive tall a og b, a 0 ulikheten a p p er sann, og for p p >b p ;
- for irrasjonelle tall p og q, p>q for 0p q, og for a>0 – ulikheten a p >a q.
Beviset for egenskapene til grader med brøkeksponenter er basert på definisjonen av en grad med brøkeksponent, på egenskapene aritmetisk rot n. grad og på egenskapene til en grad med en heltallseksponent. La oss gi bevis.
Per definisjon av en potens med en brøkeksponent og , Da 
. Egenskapene til den aritmetiske roten lar oss skrive følgende likheter. Videre, ved å bruke egenskapen til en grad med en heltallseksponent, får vi , hvorfra vi, ved definisjonen av en grad med en brøkeksponent, har 
, og indikatoren for oppnådd grad kan transformeres som følger: . Dette fullfører beviset.
Den andre egenskapen til potenser med brøkeksponenter er bevist på en helt lignende måte: 
De gjenværende likhetene er bevist ved å bruke lignende prinsipper: 
La oss gå videre til å bevise den neste egenskapen. La oss bevise at for alle positive a og b, a 0 er ulikheten a p p sann, og for p p >b p . La oss skrive det rasjonelle tallet p som m/n, der m er et heltall og n er et naturlig tall. Betingelsene p 0 vil i dette tilfellet tilsvare henholdsvis betingelsene m 0. For m>0 og am m . Fra denne ulikheten, ved egenskapen til røtter, har vi, og siden a og b er positive tall, så, basert på definisjonen av en grad med en brøkeksponent, kan den resulterende ulikheten omskrives som, det vil si a p p .
Tilsvarende, for m m > b m , hvorfra, det vil si a p > b p .
Det gjenstår å bevise den siste av de oppførte eiendommene. La oss bevise at for rasjonelle tall p og q, p>q for 0p q, og for a>0 - ulikheten a p >a q. Vi kan alltid finne en fellesnevner rasjonelle tall p og q, la oss da få vanlige brøker og, hvor m 1 og m 2 er heltall, og n er et naturlig tall. I dette tilfellet vil betingelsen p>q tilsvare betingelsen m 1 >m 2, som følger av sammenligningsregelen vanlige brøker Med samme nevnere. Deretter, ved egenskapen å sammenligne grader med samme baser og naturlige eksponenter, for 0m 1 m 2, og for a>1, ulikheten a m 1 >a m 2. Disse ulikhetene i egenskapene til røttene kan omskrives tilsvarende som 
Og 
. Og definisjonen av en grad med en rasjonell eksponent lar oss gå videre til ulikheter og følgelig. Herfra trekker vi den endelige konklusjonen: for p>q og 0p q , og for a>0 – ulikheten a p >a q .
Egenskaper til potenser med irrasjonelle eksponenter
Ut fra hvordan graden c bestemmes irrasjonell indikator, kan vi konkludere med at den har alle egenskapene til potenser med rasjonelle eksponenter. Så for alle a>0 , b>0 og irrasjonelle tall p og q er som følger egenskaper til potenser med irrasjonelle eksponenter:
Fra dette kan vi konkludere med at potenser med eventuelle reelle eksponenter p og q for a>0 har de samme egenskapene.
- Algebra - 10. klasse. Trigonometriske ligninger Leksjon og presentasjon om emnet: "Løse de enkleste trigonometriske ligningene" Tilleggsmateriell Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, forslag! Alt materiell […]
- En konkurranse er åpen for stillingen “SELGER - KONSULENT”: Ansvar: salg mobiltelefoner og tilbehør for mobilkommunikasjonstjenester for Beeline, Tele2, MTS-abonnenter tilkobling av tariffplaner og tjenester Beeline og Tele2, MTS-rådgivning […]
- Parallelepipedformel Et parallellepiped er et polyeder med 6 flater, som hver er et parallellogram. En kuboid er et parallellepiped som hver side er et rektangel. Ethvert parallellepiped er preget av 3 […]
- STAVING N OG NN I ULIKE DELER AV TALE S.G. ZELINSKAYA DIDAKTISK MATERIAL Teoretisk oppgave 1. Når skrives nn i adjektiv? 2. Nevn unntakene fra disse reglene. 3. Hvordan skille verbalt adjektiv med suffikset -n- fra partisippet med […]
- KONTROLL AV GOSTEKHNADZOR I BRYANSK REGIONEN Kvittering for betaling av statsavgift (Last ned-12,2 kb) Søknader om registrering for enkeltpersoner (Last ned-12 kb) Søknader om registrering for juridiske personer (Last ned-11,4 kb) 1. Ved registrering av ny bil : 1.applikasjon 2.pass […]
- Society for the Protection of Consumer Rights Astana For å få en pinkode for å få tilgang dette dokumentet på nettstedet vårt, send en SMS-melding med teksten zan til nummeret Abonnenter til GSM-operatører (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) ved å sende en SMS til nummeret […]
- Vedta loven om familiegods Godta den føderale loven om gratis tildeling til enhver innbygger som ønsker det Den russiske føderasjonen eller en familie av borgere av en tomt for utvikling på den Familiegods på følgende forhold: 1. Tomten er avsatt til […]
- Pivoev V.M. Vitenskapens filosofi og metodikk: opplæringen for master- og hovedfagsstudenter Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, 2013. - 320 s. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Læreboken er beregnet på seniorstudenter, masterstudenter og hovedfagsstudenter i sosiale og […]