Hva er et tall hevet til null? Kraft med negativ base

GRAD MED RASJONELL INDIKATOR,

STRØMFUNKSJON IV

§ 71. Potenser med null og negative eksponenter

I § 69 beviste vi (se setning 2) at for t > s

(en =/= 0)

Det er ganske naturlig å ønske å utvide denne formelen til tilfelle når T < P . Men så nummeret t - s vil enten være negativ eller lik null. A. Vi har så langt bare snakket om grader med naturlige eksponenter. Dermed står vi overfor behovet for å introdusere potenser av reelle tall med null og negative eksponenter i betraktning.

Definisjon 1. Hvilket som helst nummer EN , Ikke lik null, til null potens er lik en, det vil si når EN =/= 0

EN 0 = 1. (1)

For eksempel, (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. Tallet 0 har ikke nullgrad, det vil si at uttrykket 0 0 ikke er definert.

Definisjon 2. Hvis EN=/= 0 og P - naturlig tall, Det

EN - n = 1 /en n (2)

det er potens av ethvert tall som ikke er lik null med et heltall negativ indikator er lik en brøk hvis teller er én, og nevneren er en potens med samme tall a, men med en eksponent som er motsatt av en gitt potens.

For eksempel,

Etter å ha akseptert disse definisjonene, kan det bevises at når en =/= 0, formel

sant for alle naturlige tall T Og n , og ikke bare for t > s . For å bevise det er det nok å begrense oss til å vurdere to tilfeller: t = n Og T< .п , siden saken m > n allerede omtalt i § 69.

La t = n ; Deretter . Midler, venstre side likhet (3) er lik 1. Høyre side kl t = n blir

EN m - n = EN n - n = EN 0 .

Men per definisjon EN 0 = 1. Dermed er høyresiden av likhet (3) også lik 1. Derfor, når t = n formel (3) er riktig.

Anta nå det T< п . Del telleren og nevneren til brøken med EN m , vi får:

Fordi n > t , Det. Derfor . Ved å bruke definisjonen av makt med en negativ eksponent kan vi skrive .

Så når , som var det som måtte bevises. Formel (3) er nå bevist for alle naturlige tall T Og P .

Kommentar. Negative eksponenter lar deg skrive brøker uten nevnere. For eksempel,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ; i det hele tatt, en / b = a b - 1

Du bør imidlertid ikke tro at med denne notasjonen blir brøker til hele tall. For eksempel 3 - 1 er samme brøk som 1/3, 2 5 - 1 er samme brøk som 2/5 osv.

Øvelser

529. Regn ut:

530. Skriv en brøk uten nevnere:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Skriv disse desimalbrøkene i form av hele uttrykk ved å bruke negative eksponenter:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

Første nivå

Grad og dens egenskaper. Omfattende guide (2019)

Hvorfor trengs grader? Hvor trenger du dem? Hvorfor bør du ta deg tid til å studere dem?

For å lære alt om grader, hva de er til for, hvordan du kan bruke kunnskapen din i Hverdagen les denne artikkelen.

Og selvfølgelig vil kunnskap om grader bringe deg nærmere suksess passerer OGE eller Unified State-eksamenen og opptak til drømmeuniversitetet.

La oss gå... (La oss gå!)

Viktig notat! Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. For å gjøre dette, trykk CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

FØRSTE NIVÅ

Å heve til en makt er det samme matematisk operasjon som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.

Nå skal jeg forklare alt menneskelig språk veldig enkle eksempler. Vær forsiktig. Eksemplene er elementære, men forklarer viktige ting.

La oss starte med tillegg.

Det er ingenting å forklare her. Du vet allerede alt: vi er åtte. Alle har to flasker cola. Hvor mye cola er det? Det stemmer - 16 flasker.

Nå multiplikasjon.

Det samme eksempelet med cola kan skrives annerledes: . Matematikere er utspekulerte og late mennesker. De legger først merke til noen mønstre, og finner deretter ut en måte å "telle" dem raskere. I vårt tilfelle la de merke til at hver av de åtte personene hadde like mange colaflasker og kom opp med en teknikk kalt multiplikasjon. Enig, det anses som enklere og raskere enn.

Så for å telle raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske gangetabell. Selvfølgelig kan du gjøre alt langsommere, vanskeligere og med feil! Men…

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.

Og en annen, vakrere en:

Hvilke andre smarte telletriks har late matematikere funnet på? Ikke sant - heve et tall til en makt.

Å heve et tall til en makt

Hvis du trenger å multiplisere et tall med seg selv fem ganger, så sier matematikere at du må heve det tallet til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker at to til femte potens er... Og de løser slike problemer i hodet - raskere, enklere og uten feil.

Alt du trenger å gjøre er husk hva som er uthevet i farger i tabellen over tallkrefter. Tro meg, dette vil gjøre livet ditt mye enklere.

Forresten, hvorfor heter det andre grad? torget tall, og den tredje - kube? Hva betyr det? Veldig godt spørsmål. Nå vil du ha både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

La oss starte med kvadratet eller andre potens av tallet.

Se for deg et kvadratisk basseng som måler én meter ganger én meter. Bassenget er på din dacha. Det er varmt og jeg har veldig lyst til å svømme. Men... bassenget har ingen bunn! Du må dekke bunnen av bassenget med fliser. Hvor mange fliser trenger du? For å bestemme dette, må du kjenne til bunnområdet av bassenget.

Du kan ganske enkelt regne ut ved å vise fingeren at bunnen av bassenget består av meter for meter terninger. Hvis du har fliser en meter ganger en meter, trenger du brikker. Det er enkelt... Men hvor har du sett slike fliser? Flisen vil mest sannsynlig være cm for cm. Og da vil du bli torturert ved å "telle med fingeren." Da må du multiplisere. Så på den ene siden av bunnen av bassenget vil vi montere fliser (stykker) og på den andre også fliser. Multipliser med og du får fliser ().

La du merke til at for å bestemme arealet av bassengbunnen multipliserte vi det samme tallet med seg selv? Hva betyr det? Siden vi multipliserer det samme tallet, kan vi bruke "eksponentieringsteknikken". (Selvfølgelig, når du bare har to tall, må du fortsatt multiplisere dem eller heve dem til en potens. Men hvis du har mange av dem, er det mye lettere å heve dem til en potens, og det er også færre feil i beregningene For Unified State-eksamenen er dette veldig viktig).
Så, tretti til andre potens vil være (). Eller vi kan si at tretti kvadrat vil være. Med andre ord, andre potens av et tall kan alltid representeres som et kvadrat. Og omvendt, hvis du ser en firkant, er det ALLTID andre potens av et tall. Et kvadrat er et bilde av andre potens av et tall.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en oppgave for deg: tell hvor mange ruter det er på sjakkbrettet ved å bruke kvadratet av tallet... På den ene siden av cellene og på den andre også. For å beregne antallet deres må du gange åtte med åtte eller... hvis du legger merke til at et sjakkbrett er en firkant med en side, kan du kvadrat åtte. Du vil få celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nå er kuben eller tredje potens av et tall. Det samme bassenget. Men nå må du finne ut hvor mye vann som må helles i dette bassenget. Du må beregne volumet. (Volumer og væsker måles forresten i kubikkmeter. Uventet, ikke sant?) Tegn et basseng: en bunn som måler en meter og en dybde på en meter og prøv å telle hvor mange kuber som måler en meter på en meter som vil passe inn i bassenget ditt.

Bare pek fingeren og tell! En, to, tre, fire ... tjueto, tjuetre ... Hvor mange fikk du? Ikke tapt? Er det vanskelig å telle med fingeren? Så det! Ta et eksempel fra matematikere. De er late, så de la merke til at for å beregne volumet til bassenget, må du multiplisere lengden, bredden og høyden med hverandre. I vårt tilfelle vil volumet til bassenget være lik kuber... Lettere, ikke sant?

Tenk deg nå hvor late og utspekulerte matematikere er hvis de forenklet dette også. Vi reduserte alt til én handling. De la merke til at lengden, bredden og høyden er like og at samme tall multipliseres med seg selv... Hva betyr dette? Dette betyr at du kan dra nytte av graden. Så det du en gang telte med fingeren, gjør de i én handling: tre terninger er lik. Det er skrevet slik:.

Alt som gjenstår er husk tabellen over grader. Med mindre du selvfølgelig er like lat og utspekulert som matematikere. Hvis du liker å jobbe hardt og gjøre feil, kan du fortsette å telle med fingeren.

Vel, for endelig å overbevise deg om at grader ble oppfunnet av sluttere og utspekulerte mennesker for å løse sine egne livsproblemer, og ikke for å skape problemer for deg, her er et par flere eksempler fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. Ved begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du en million til. Det vil si at hver million du har dobles i begynnelsen av hvert år. Hvor mye penger vil du ha om år? Hvis du sitter nå og "teller med fingeren", betyr det at du er veldig hardtarbeidende mann og.. dum. Men mest sannsynlig gir du svar om et par sekunder, for du er smart! Så, i det første året - to multiplisert med to... i det andre året - hva skjedde, med to til, i det tredje året... Stopp! Du la merke til at tallet multipliseres med seg selv ganger. Så to til femte potens er en million! Tenk deg nå at du har en konkurranse og den som kan telle raskest vil få disse millionene... Det er verdt å huske tallenes krefter, synes du ikke?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begynnelsen av hvert år tjener du to til for hver million. Flott er det ikke? Hver million tredobles. Hvor mye penger vil du ha i løpet av et år? La oss telle. Det første året - multipliser med, deretter resultatet med et annet ... Det er allerede kjedelig, fordi du allerede har forstått alt: tre ganges med seg selv ganger. Så til fjerde potens er det lik en million. Du må bare huske at tre til fjerde potens er eller.

Nå vet du at ved å heve et tall til en makt vil du gjøre livet ditt mye enklere. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.

Termer og begreper... for ikke å bli forvirret

Så la oss først definere konseptene. Hva tror du, hva er en eksponent? Det er veldig enkelt - det er tallet som er "øverst" av potensen til tallet. Ikke vitenskapelig, men tydelig og lett å huske...

Vel, på samme tid, hva et slikt gradsgrunnlag? Enda enklere - dette er nummeret som er plassert under, ved basen.

Her er en tegning for godt mål.

Vel inne generelt syn, for å generalisere og huske bedre... En grad med en base " " og en eksponent " " leses som "til den grad" og skrives som følger:

Tallets potens c naturlig indikator

Du har sikkert allerede gjettet: fordi eksponenten er et naturlig tall. Ja, men hva er det naturlig tall? Elementært! Naturlige tall er de tallene som brukes til å telle når objekter listes opp: en, to, tre... Når vi teller objekter, sier vi ikke: «minus fem», «minus seks», «minus sju». Vi sier heller ikke: «en tredjedel» eller «null komma fem». Dette er ikke naturlige tall. Hvilke tall tror du dette er?

Tall som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tall. Generelt inkluderer heltall alle naturlige tall, tall motsatt naturlige tall (det vil si tatt med et minustegn) og tall. Null er lett å forstå - det er når det ikke er noe. Hva betyr negative ("minus") tall? Men de ble først og fremst oppfunnet for å indikere gjeld: hvis du har en saldo på telefonen i rubler, betyr dette at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rasjonelle tall. Hvordan oppsto de, tror du? Veldig enkelt. For flere tusen år siden oppdaget våre forfedre at de manglet naturlige tall for å måle lengde, vekt, areal osv. Og de kom på rasjonelle tall... Interessant, ikke sant?

Er det noen flere irrasjonelle tall. Hva er disse tallene? Kort sagt, uendelig desimal. For eksempel, hvis du deler omkretsen av en sirkel på diameteren, får du et irrasjonelt tall.

Sammendrag:

La oss definere konseptet med en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Ethvert tall i første potens er lik seg selv:
Å kvadrere et tall betyr å multiplisere det med seg selv:
Å kube et tall betyr å multiplisere det med seg selv tre ganger:

Definisjon.Å heve et tall til en naturlig potens betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:
.

Egenskaper til grader

Hvor kom disse egenskapene fra? Jeg skal vise deg nå.

La oss se: hva er det Og ?

A-priory:

Hvor mange multiplikatorer er det totalt?

Det er veldig enkelt: vi la til multiplikatorer til faktorene, og resultatet er multiplikatorer.

Men per definisjon er dette en potens av et tall med en eksponent, det vil si: , som er det som måtte bevises.

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning: Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene!
Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:

bare for produktet av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

2. det er det potensen til et tall

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt:

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive?

Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva eksponenten skal være.

Men hva skal ligge til grunn?

I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall. Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall.

La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha grader av positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ? Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med, fungerer det.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarte du deg?

Her er svarene: I de fire første eksemplene håper jeg alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt.

Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt!

6 eksempler å øve på

Analyse av løsningen 6 eksempler

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på vilkårene er feil. Hvis de ble omvendt, kan regelen gjelde.

Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

På magisk vis endret begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Hel vi kaller de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet " ") og tallet.

hel positivt tall , og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Ethvert tall i null potens er lik en:

Som alltid, la oss spørre oss selv: hvorfor er det slik?

La oss vurdere en viss grad med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og vi fikk det samme som det var - . Hvilket tall skal du gange med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, vil du fortsatt få null, dette er klart. Men på den annen side, som et hvilket som helst tall til null potens, må det være likt. Så hvor mye av dette er sant? Matematikerne bestemte seg for ikke å involvere seg og nektet å heve null til null grader. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall også negative tall. For å forstå hva en negativ grad er, la oss gjøre som i sist: multiplisere noen normalt antall i negativ grad:

Herfra er det enkelt å uttrykke hva du leter etter:

La oss nå utvide den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere en regel:

Et tall med negativ potens er det gjensidige av samme tall med positiv potens. Men samtidig Basen kan ikke være null:(siden du ikke kan dele med).

La oss oppsummere:

I. Uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

II. Ethvert tall i null potens er lik én: .

III. Et tall som ikke er lik null til en negativ potens er inversen av det samme tallet til en positiv potens: .

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler på uavhengige løsninger:

Analyse av problemer for uavhengig løsning:

Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på Unified State-eksamenen må du være forberedt på hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningene deres hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære å takle dem enkelt i eksamen!

La oss fortsette å utvide rekkevidden av tall "egnet" som eksponent.

La oss nå vurdere rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er heltall, og.

For å forstå hva det er "brøkdel grad", tenk på brøken:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

La oss nå huske regelen om "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av th potens av et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th potens er den omvendte operasjonen av å heve til en potens: .

Det viser seg at. Tydeligvis dette spesielt tilfelle kan utvides: .

Nå legger vi til telleren: hva er det? Svaret er enkelt å få ved å bruke makt-til-makt-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

Husk regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut jevne røtter fra negative tall!

Dette betyr at slike tall ikke kan heves til en brøkpotens med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykket?

Men her oppstår et problem.

Et tall kan representeres som andre, reduserbare brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det finnes, men ikke eksisterer, men dette er bare to forskjellige oppføringer samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver ned indikatoren annerledes, får vi problemer igjen: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurderer vi bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

- naturlig tall;
- heltall;

Eksempler:

Grader med rasjonell indikator veldig nyttig for å konvertere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 eksempler å øve på

Analyse av 5 eksempler for trening

Vel, nå kommer den vanskeligste delen. Nå skal vi finne ut av det grad med irrasjonell eksponent.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak

Tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...tall til null potens- dette er som det var et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tomt tall" , nemlig et tall;

...negativ heltallsgrad- det er som om noe har skjedd" omvendt prosess", det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, i realfag en grad med kompleks indikator, det vil si at indikatoren ikke er jevn ekte nummer.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer å løse slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med regelen for å heve en makt til en makt, som allerede er vanlig for oss:

Se nå på indikatoren. Minner han deg ikke om noe? La oss huske formelen for forkortet multiplikasjon av forskjellen av kvadrater:

I dette tilfellet,

Det viser seg at:

Svar: .

2. Vi reduserer brøker i eksponenter til samme form: enten begge desimaler eller begge ordinære. Vi får for eksempel:

Svar: 16

3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

AVANSERT NIVÅ

Fastsettelse av grad

En grad er et uttrykk for formen: , hvor:

— gradsgrunnlag;
- eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Grad med en heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

Konstruksjon til null grad:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er negativt heltall Antall:

(siden du ikke kan dele med).

Nok en gang om nuller: uttrykket er ikke definert i kasus. Hvis da.

Eksempler:

Kraft med rasjonell eksponent

- naturlig tall;
- heltall;

Eksempler:

Egenskaper til grader

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

A-priory:

Så på høyre side av dette uttrykket får vi følgende produkt:

Men per definisjon er det en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene. Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:

En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkt av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

La oss omorganisere dette arbeidet slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt: !

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base.

Til nå har vi bare diskutert hvordan det skal være indeks grader. Men hva skal ligge til grunn? I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha grader av positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi ganger med (), får vi - .

Og så videre i det uendelige: med hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Vi kan formulere følgende enkle regler:

til og med grad, - antall positivt.
Et negativt tall, innebygd merkelig grad, - antall negativ.
Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis vi husker det, blir det klart det, som betyr at basen er mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem på hverandre, deler dem i par og får:

Før du tar den fra hverandre siste regel, la oss løse noen eksempler.

Regn ut uttrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater!

Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på vilkårene er feil. Hvis de ble omvendt, kunne regel 3 gjelde. Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå blir det slik:

På magisk vis endret begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes. Men det er viktig å huske: Alle tegn endres samtidig! Du kan ikke erstatte den med ved å endre bare én ulempe vi ikke liker!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle det:

Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver er det totalt? ganger med multiplikatorer - hva minner dette deg om? Dette er ikke annet enn en definisjon av en operasjon multiplikasjon: Det var bare multiplikatorer der. Det vil si at dette per definisjon er en potens av et tall med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

I tillegg til informasjon om grader for gjennomsnittsnivået, vil vi analysere graden med en irrasjonell eksponent. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle tall).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall til null potens er så å si et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare et visst "blankt nummer", nemlig et tall; en grad med en heltalls negativ eksponent - det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Det er ganske rent matematisk objekt, som matematikere opprettet for å utvide gradsbegrepet til hele tallrommet.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser irrasjonell indikator grader? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

Svar:

La oss huske formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
Vi reduserer brøkene til samme form: enten begge desimaler eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

SAMMENDRAG AV SEKSJONEN OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grad kalt et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med en heltallseksponent

en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Kraft med rasjonell eksponent

grad, hvis eksponent er negative tall og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

en grad hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Egenskaper til grader

Funksjoner av grader.

Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
Null er lik enhver potens.
Ethvert tall i nullpotens er lik.

NÅ HAR DU ORDET...

Hvordan liker du artikkelen? Skriv nedenfor i kommentarfeltet om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med gradsegenskaper.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!

Det er en regel om at ethvert tall annet enn null hevet til null potens vil være lik en:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Men hvorfor er det slik?

Når et tall heves til en potens med en naturlig eksponent, betyr det at det multipliseres med seg selv like mange ganger som eksponenten:
43 = 4...

0 0

I algebra er det vanlig å heve til null. Hva er grad 0? Hvilke tall kan heves til null potens og hvilke kan ikke?

Definisjon.

Ethvert tall med null potens, bortsett fra null, er lik en:

Dermed, uansett hvilket tall som heves til potensen 0, vil resultatet alltid være det samme - en.

Og 1 i potensen 0, og 2 i potensen 0, og et hvilket som helst annet tall - heltall, brøk, positivt, negativt, rasjonelt, irrasjonelt - når det heves til null, gir en.

Det eneste unntaket er null.

Null til null potens er ikke definert, et slikt uttrykk har ingen mening.

Det vil si at et hvilket som helst tall unntatt null kan heves til null potens.

Hvis, når du forenkler et uttrykk med potenser, resultatet er et tall med null potens, kan det erstattes med en:

Hvis...

0 0

Innenfor skolepensum Uttrykket $%0^0$% anses å være udefinert.

Fra synspunkt moderne matematikk, er det praktisk å anta at $%0^0=1$%. Ideen her er følgende. La det være et produkt av $%n$% tall av formen $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. For alle $%n\ge2$% gjelder likheten $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$%. Det er praktisk å betrakte denne likheten som meningsfull også for $%n=1$%, forutsatt at $%p_0=1$%. Logikken her er denne: når vi beregner produkter, tar vi først 1, og multipliserer deretter sekvensielt med $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Dette er algoritmen som brukes for å finne produkter når programmer skrives. Hvis multiplikasjonene av en eller annen grunn ikke skjedde, forblir produktet lik en.

Med andre ord er det praktisk å betrakte et slikt konsept som "produktet av 0-faktorer" for å ha mening, med tanke på at det er lik 1 per definisjon. I dette tilfellet kan vi også snakke om det "tomme produktet". Hvis vi multipliserer et tall med dette...

0 0

Null - det er null. Grovt sett er enhver potens av et tall produktet av én og eksponenten ganger dette tallet. To i den tredje, la oss si, er 1*2*2*2, to i minus på den første er 1/2. Og da er det nødvendig at det ikke er hull under overgangen fra positive grader til negativ og omvendt.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

det er hele poenget.

enkelt og tydelig, takk

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

For eksempel trenger du bare å ha visse formler som er gyldige for positive indikatorer- for eksempel x^n*x^m=x^(m+n) - var fortsatt gyldige.
Forresten, det samme gjelder definisjonen av en negativ grad så vel som en rasjonell (det vil si for eksempel 5 i potensen 3/4)

> og hvorfor er dette nødvendig?
For eksempel, i statistikk og teori spiller de ofte med null grader.

EN negative krefter plager de deg?
...

0 0

Vi fortsetter å vurdere egenskapene til grader, ta for eksempel 16:8 = 2. Siden 16=24 og 8=23, kan derfor divisjon skrives i eksponentiell form som 24:23=2, men hvis vi trekker fra eksponentene, så 24:23=21. Derfor må vi innrømme at 2 og 21 er det samme, derfor 21 = 2.

Den samme regelen gjelder for alle andre eksponentielt tall Derfor kan regelen formuleres i generell form:

ethvert tall hevet til første potens forblir uendret

Denne konklusjonen kan ha forbløffet deg. Du kan fortsatt på en eller annen måte forstå betydningen av uttrykket 21 = 2, selv om uttrykket "ett nummer to multiplisert med seg selv" høres ganske rart ut. Men uttrykket 20 betyr "ikke et eneste nummer to, ...

0 0

Graddefinisjoner:

1. null grad

Ethvert tall annet enn null hevet til null potens er lik én. Null til null potens er udefinert

2. annen naturlig grad enn null

Ethvert tall x hevet til en naturlig potens n annet enn null er lik å multiplisere n tall x sammen

3.1 jevn rot naturlig grad, forskjellig fra null

Roten til en jevn naturlig potens n, unntatt null, av ethvert positivt tall x er et positivt tall y som, når den heves til potensen n, gir det opprinnelige tallet x

3,2 rot av odde naturlig grad

Roten av en oddetall naturlig potens n av et hvilket som helst tall x er et tall y som, når det heves til potensen n, gir det opprinnelige tallet x

3.3 roten til enhver naturlig kraft som en brøkkraft

Å trekke ut roten til en hvilken som helst naturlig potens n, annet enn null, fra et hvilket som helst tall x er det samme som å heve dette tallet x til brøkpotensen 1/n

0 0

Hei, kjære RUSSEL!

Når du introduserer begrepet grad, er det følgende oppføring: “Verdien av uttrykket a^0 =1” ! Dette trer i kraft logisk konsept grader og ingenting annet!
Det er prisverdig når en ung mann prøver å komme til bunns i ting! Men det er noen ting som rett og slett bør tas for gitt!
Du kan konstruere ny matematikk bare når du allerede har studert åpent i århundrer tilbake!
Selvfølgelig, hvis vi utelukker at du "ikke er av denne verden" og du har fått mye mer enn resten av oss syndere!

Merk: Anna Misheva gjorde et forsøk på å bevise det ubeviselige! Også prisverdig!
Men det er ett stort "MEN" - det mangler i beviset hennes vesentlig element: Tilfelle av divisjon med NULL!

Se selv hva som kan skje: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

Men du KAN IKKE DIVE MED NUL!

Vær mer forsiktig!

Med masse beste hilsener og lykke i ditt personlige liv...

0 0

Svar:

Ingen navn

hvis vi tar med at a^x=e^x*ln(a), så viser det seg at 0^0=1 (grense for x->0)
selv om svaret "usikkerhet" også er akseptabelt

Null i matematikk er ikke tomhet, det er et tall som er veldig nær "ingenting", akkurat som uendelighet bare i revers

Skrive ned:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Det viser seg at vi i dette tilfellet deler med null, og denne operasjonen på feltet med reelle tall er ikke definert.

6 år siden

RPI.su er den største russiskspråklige databasen med spørsmål og svar. Prosjektet vårt ble implementert som en fortsettelse av den populære tjenesten otvety.google.ru, som ble stengt og slettet 30. april 2015. Vi bestemte oss for å gjenopplive den nyttige Google Answers-tjenesten slik at alle offentlig kan finne svaret på spørsmålet deres fra Internett-fellesskapet.

Alle spørsmål som er lagt til Google Answers-siden er kopiert og lagret her. Gamle brukernavn vises også slik de tidligere eksisterte. Du trenger bare å registrere deg på nytt for å kunne stille spørsmål eller svare på andre.

For å kontakte oss med spørsmål OM SIDEN (annonsering, samarbeid, tilbakemelding om tjenesten), skriv til [e-postbeskyttet]. Bare alt generelle spørsmål legge ut på nettsiden, vil de ikke motta svar på mail.

Hva vil null være lik hvis den heves til null potens?

Hvorfor er et tall i potensen 0 lik 1? Det er en regel om at et hvilket som helst tall annet enn null hevet til null potens vil være lik én: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Men hvorfor er det slik? Når et tall heves til en potens med en naturlig eksponent, betyr det at det multipliseres med seg selv like mange ganger som eksponenten: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Når eksponenten er lik 1, er det under konstruksjonen bare én faktor (hvis vi i det hele tatt kan snakke om faktorer), og derfor resultatet av konstruksjonen lik basen grader: 181 = 18; (–3.4)1 = –3.4 Men hva med nullindikatoren i dette tilfellet? Hva multipliseres med hva? La oss prøve å gå en annen vei. Det er kjent at hvis to grader har samme base, men forskjellige indikatorer, da kan grunntallet forbli det samme, og eksponentene kan enten legges til hverandre (hvis potensene multipliseres), eller eksponenten til divisoren kan trekkes fra eksponenten til utbyttet (hvis potensene deles) : 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Og tenk nå på dette eksemplet: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Hva om vi ikke bruker maktens eiendom med samme grunnlag og la oss utføre beregningene i den rekkefølgen de vises: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Så vi fikk den skattede enheten. Dermed ser nulleksponenten ut til å indikere at tallet ikke multipliseres med seg selv, men divideres med seg selv. Og herfra blir det klart hvorfor uttrykket 00 ikke gir mening. Tross alt kan du ikke dele på 0. Du kan resonnere annerledes. Hvis det for eksempel er en multiplikasjon av potenser på 52 × 50 = 52+0 = 52, så følger det at 52 ble multiplisert med 1. Derfor er 50 = 1.

Fra egenskapene til potenser: a^n / a^m = a^(n-m) hvis n=m, vil resultatet være én bortsett fra naturlig a=0, i dette tilfellet (siden null til enhver potens vil være null) divisjon med null vil finne sted, så 0^0 eksisterer ikke

Regnskap på forskjellige språk

Navn på tall fra 0 til 9 på populære språk fred.

Språk	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Engelsk	null	en	to	tre	fire	fem	seks	syv	åtte	ni
Bulgarsk	null	en ting	to	tre	fire	kjæledyr	stang	vi gjør oss klare	økser	devet
ungarsk	nulla	egy	kettõ	harom	négy	ot	hatt	het	nyolc	kilenc
nederlandsk	null	een	twee	tørke	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
dansk	null	no	til	tre	Brann	fem	seks	syv	otte	ni
spansk	cero	uno	dos	tres	cuatro	cinco	seis	siete	ocho	nueve
italiensk	null	uno	forfaller	tre	quattro	cinque	sei	sette	otto	nove
litauisk	nullis	vienas	du	prøver	keturi	penki	ðeði	septyni	aðtuoni	devyni
tysk	null	ein	zwei	drei	vier	fünf	sechs	sieben	acht	neun
russisk	null	en	to	tre	fire	fem	seks	syv	åtte	ni
Pusse	null	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
portugisisk	um	dois	três	quatro	cinco	seis	sete	oito	nove
fransk	null	un	deux	trois	quatre	cinq	seks	sept	huit	neuf
tsjekkisk	nula	jedna	dva	toi	ètyøi	gruve	¹est	sedm	osm	devìt
svensk	noll	ett	tva	tre	fyra	fem	kjønn	sju	atta	nio
estisk	null	üks	kaks	kolm	neli	viis	kuus	seitse	kaheksa	üheksa

Negative og null potenser av et tall

Null-, negativ- og brøkpotenser

Null indikator

Oppreist gitt nummer til en viss grad betyr å gjenta det med en faktor like mange ganger som det er enheter i eksponenten.

I følge denne definisjonen er uttrykket: en 0 gir ikke mening. Men for at regelen om å dele potenser av samme tall skal være gyldig selv i tilfelle når eksponenten til divisor lik indikatoren delelig, har en definisjon blitt introdusert:

Nullpotensen til ethvert tall vil være lik én.

Negativ indikator

Uttrykk a -m, i seg selv har ingen betydning. Men slik at regelen for å dele potenser av samme tall er gyldig selv i tilfelle når eksponenten til divisoren er større enn eksponenten for utbyttet, er det innført en definisjon:

Eksempel 1. Hvis et gitt tall består av 5 hundredeler, 7 tiere, 2 enheter og 9 hundredeler, kan det avbildes som følger:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Eksempel 2. Hvis et gitt tall består av a tiere, b enheter, c tideler og d tusendeler, så kan det representeres som følger:

en× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 -1 + d× 10-3

Handlinger på potenser med negative eksponenter

Når potenser av samme tall multipliseres, legges eksponentene til.

Når du deler potenser av samme tall, trekkes eksponenten til divisor fra eksponenten til utbyttet.

For å heve et produkt til en makt, er det nok å heve hver faktor separat til denne makten:

For å heve en brøk til en potens, er det nok å heve begge leddene i brøken separat til denne potensen:

Når en potens heves til en annen potens, multipliseres eksponentene.

Brøkindikator

Hvis k er ikke et multiplum av n, så gir uttrykket: ingen mening. Men for at regelen for å trekke ut roten til en grad skal finne sted for en hvilken som helst verdi av eksponenten, har en definisjon blitt introdusert:

Takket være introduksjonen av et nytt symbol, kan rotutvinning alltid erstattes av eksponentiering.

Handlinger på potenser med brøkeksponenter

Handlinger på potenser med brøkeksponenter utføres i henhold til de samme reglene som er etablert for heltallseksponenter.

Når vi beviser denne påstanden, vil vi først anta at vilkårene for brøkene: og , tjener som eksponenter, er positive.

I et spesielt tilfelle n eller q kan være lik en.

Når potenser av samme tall multipliseres, legges brøkeksponenter til:

Når du deler potenser av samme tall med brøkeksponenter, trekkes eksponenten til divisor fra eksponenten til utbyttet:

For å heve en potens til en annen potens i tilfelle av brøkeksponenter, er det nok å multiplisere eksponentene:

For å trekke ut roten til en brøkpotens, er det nok å dele eksponenten med eksponenten til roten:

Handlingsreglene gjelder ikke bare for positivt brøkindikatorer, men også til negativ.

Det er en regel om at ethvert tall annet enn null hevet til null potens vil være lik en:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Men hvorfor er det slik?
Når et tall heves til en potens med en naturlig eksponent, betyr det at det multipliseres med seg selv like mange ganger som eksponenten:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Når eksponenten er lik 1, så er det under konstruksjonen bare én faktor (hvis vi i det hele tatt kan snakke om faktorer her), og derfor er resultatet av konstruksjonen lik basen for graden:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Men hva med nullindikatoren i dette tilfellet? Hva multipliseres med hva?
La oss prøve å gå en annen vei.

Hvorfor er et tall i potensen 0 lik 1?

Det er kjent at hvis to potenser har samme grunntall, men forskjellige eksponenter, kan grunntallet forbli det samme, og eksponentene kan enten legges til hverandre (hvis potensene multipliseres), eller eksponenten til divisor kan trekkes fra eksponenten for utbyttet (hvis potensene er delbare):
3 2 × 3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
La oss nå se på dette eksemplet:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Hva om vi ikke bruker egenskapen til potenser med samme base og utfører beregninger i den rekkefølgen de vises:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Så vi mottok den ettertraktede enheten. Dermed ser nulleksponenten ut til å indikere at tallet ikke er multiplisert med seg selv, men delt på seg selv.
Og herfra blir det klart hvorfor uttrykket 0 0 ikke gir mening. Du kan ikke dele på 0.