Lære logaritmer fra bunnen av. Egenskaper til logaritmer og eksempler på deres løsninger

(fra gresk λόγος - "ord", "relasjon" og ἀριθμός - "tall") tall b basert på en(log α b) kalles et slikt tall c, Og b= en c, dvs. registrerer log α b=c Og b=ac er likeverdige. Logaritmen gir mening hvis a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Med andre ord logaritme tall b basert på EN formulert som en eksponent som et tall må heves til en for å få nummeret b(logaritme eksisterer bare for positive tall).

Av denne formuleringen følger det at beregningen x= log α b, tilsvarer å løse ligningen a x =b.

For eksempel:

log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 .

La oss understreke at den angitte formuleringen av logaritmen gjør det mulig å bestemme umiddelbart logaritmeverdi, når tallet under logaritmetegnet fungerer som en viss potens av grunntallet. Formuleringen av logaritmen gjør det faktisk mulig å rettferdiggjøre at hvis b=a c, deretter logaritmen til tallet b basert på en er lik Med. Det er også tydelig at temaet logaritmer er nært knyttet til temaet potenser av et tall.

Å beregne logaritmen kalles logaritme. Logaritmen er matematisk operasjon tar logaritmen. Når du tar logaritmer, transformeres produkter av faktorer til sum av ledd.

Potensering er den inverse matematiske operasjonen til logaritmen. Under potensering heves en gitt base til den grad av uttrykk som potensering utføres over. I dette tilfellet transformeres summen av ledd til et produkt av faktorer.

Ganske ofte brukes reelle logaritmer med grunntall 2 (binær), Eulers tall e ≈ 2,718 (naturlig logaritme) og 10 (desimal).

På sånn som det er nå det er tilrådelig å vurdere logaritmeprøver logg 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Og oppføringene lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 gir ikke mening, siden i den første av dem er et negativt tall plassert under logaritmetegnet, i det andre - et negativt tall i basen, og i den tredje - både et negativt tall under logaritmetegnet og en enhet i basen.

Betingelser for å bestemme logaritmen.

Det er verdt å vurdere separat betingelsene a > 0, a ≠ 1, b > 0. som vi får under definisjon av logaritme. La oss vurdere hvorfor disse begrensningene ble tatt. En likhet på formen x = log α vil hjelpe oss med dette b, kalt den grunnleggende logaritmiske identiteten, som følger direkte av definisjonen av logaritme gitt ovenfor.

La oss ta tilstanden a≠1. Siden en i en hvilken som helst potens er lik en, er likheten x=log α b kan bare eksistere når b=1, men log 1 1 vil være et hvilket som helst reelt tall. For å eliminere denne tvetydigheten tar vi a≠1.

La oss bevise nødvendigheten av tilstanden a>0. På a=0 i henhold til formuleringen av logaritmen kan eksistere bare når b=0. Og følgelig da logg 0 0 kan være et hvilket som helst reelt tall som ikke er null, siden null til en potensiell ikke-null er null. Denne tvetydigheten kan elimineres av tilstanden a≠0. Og når en<0 vi må avvise analysen av rasjonelle og irrasjonelle verdier av logaritmen, siden en grad med en rasjonell og irrasjonell eksponent er definert bare for ikke-negative baser. Det er av denne grunn at vilkåret er fastsatt a>0.

OG siste tilstand b>0 følger av ulikhet a>0, siden x=log α b, og verdien av graden med positivt grunnlag en alltid positiv.

Funksjoner av logaritmer.

Logaritmer preget av særegne egenskaper, noe som førte til utbredt bruk av dem for å lette grundige beregninger betydelig. Når du flytter "til logaritmenes verden", transformeres multiplikasjon med mye mer enkel bretting, divisjon er subtraksjon, og eksponentiering og rotekstraksjon transformeres til henholdsvis multiplikasjon og divisjon med eksponenten.

Formulering av logaritmer og tabell over deres verdier (for trigonometriske funksjoner) ble først utgitt i 1614 av den skotske matematikeren John Napier. Logaritmiske tabeller, forstørret og detaljert av andre forskere, ble mye brukt i vitenskapelige og tekniske beregninger, og forble relevante inntil elektroniske kalkulatorer og datamaskiner ble brukt.

Logaritme av et tall N basert på EN kalt eksponent X , som du må bygge til EN for å få nummeret N

Forutsatt at
,
,

Fra definisjonen av logaritme følger det at
, dvs.
- denne likheten er den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Logaritmer basert på grunntallet 10 kalles desimallogaritmer. I stedet for
skrive
.

Logaritmer til basen e kalles naturlig og er utpekt
.

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer.

Logaritme av en i en hvilken som helst base lik null

Logaritme av produktet lik summen logaritmer av faktorer.

3) Logaritmen til kvotienten er lik differansen til logaritmene

Faktor
kalt overgangsmodulen fra logaritmer til basen en til logaritmer ved basen b .

Ved å bruke egenskapene 2-5 er det ofte mulig å redusere logaritmen til et komplekst uttrykk til resultatet av enkle aritmetiske operasjoner på logaritmer.

For eksempel,

Slike transformasjoner av en logaritme kalles logaritmer. Transformasjoner invers til logaritmer kalles potensering.

Kapittel 2. Elementer i høyere matematikk.

1. Grenser

Begrensning av funksjonen
er et endelig tall A hvis, som xx 0 for hver forhåndsbestemt
, det er et slikt tall
det så snart
, Det
.

En funksjon som har en grense skiller seg fra den med en uendelig mengde:
, hvor- b.m.v., dvs.
.

Eksempel. Vurder funksjonen
.

Når man strever
, funksjon y har en tendens til null:

1.1. Grunnleggende teoremer om grenser.

Grense konstant verdi lik denne konstante verdien

Beløpsgrense (forskjell). endelig antall funksjoner er lik summen (forskjellen) av grensene for disse funksjonene.

Grensen for produktet av et begrenset antall funksjoner lik produktet grensene for disse funksjonene.

Grensen for kvotienten til to funksjoner er lik kvotienten av grensene for disse funksjonene hvis grensen for nevneren ikke er null.

Fantastiske grenser

,
, Hvor

1.2. Eksempler på grenseberegning

Imidlertid er ikke alle grenser beregnet så lett. Oftere kommer beregning av grensen ned til å avsløre en usikkerhet av typen: eller .

2. Derivert av en funksjon

La oss ha en funksjon
, kontinuerlig på segmentet
.

Argument fått en viss økning
. Da vil funksjonen motta en økning
.

Argumentverdi tilsvarer funksjonsverdien
.

Argumentverdi
tilsvarer funksjonsverdien.

Derfor,.

La oss finne grensen for dette forholdet ved
. Hvis denne grensen eksisterer, kalles den den deriverte av den gitte funksjonen.

Definisjon 3 Derivert av en gitt funksjon
ved argument kalles grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet, når økningen av argumentet vilkårlig har en tendens til null.

Derivert av en funksjon
kan betegnes som følger:

; ; ; .

Definisjon 4Operasjonen med å finne den deriverte av en funksjon kalles differensiering.

2.1. Mekanisk betydning av derivat.

La oss vurdere den rettlinjede bevegelsen til et eller annet stivt legeme eller materialpunkt.

La på et tidspunkt bevegelige punkt
var på avstand fra startposisjonen
.

Etter en stund
hun beveget seg et stykke
. Holdning =- gjennomsnittshastighet materiell poeng
. La oss finne grensen for dette forholdet, med tanke på det
.

Derfor definisjonen øyeblikkelig hastighet bevegelse av et materiell punkt kommer ned til å finne den deriverte av banen med hensyn til tid.

2.2. Geometrisk betydning derivat

La oss ha en grafisk definert funksjon
.

Ris. 1. Geometrisk betydning av derivat

Hvis
, så pek
, vil bevege seg langs kurven og nærme seg punktet
.

Derfor
, dvs. verdien av den deriverte for en gitt verdi av argumentet numerisk lik tangenten til vinkelen dannet av tangenten i et gitt punkt med den positive retningen til aksen
.

2.3. Tabell over grunnleggende differensieringsformler.

Power funksjon

Eksponentiell funksjon

Logaritmisk funksjon

Trigonometrisk funksjon

Invers trigonometrisk funksjon

2.4. Regler for differensiering.

Avledet av

Derivert av summen (forskjellen) av funksjoner

Derivert av produktet av to funksjoner

Derivert av kvotienten til to funksjoner

2.5. Avledet av kompleks funksjon.

La funksjonen være gitt
slik at det kan representeres i formen

Og
, hvor variabelen er altså et mellomargument

Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av den gitte funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet og den deriverte av det mellomliggende argumentet med hensyn til x.

Eksempel 1.

Eksempel 2.

3. Differensialfunksjon.

La det være
, differensierbar på et visst intervall
La det gå på denne funksjonen har en derivert

så kan vi skrive

(1),

Hvor - en uendelig liten mengde,

siden når

Multiplisere alle likhetsvilkår (1) med
vi har:

Hvor
- b.m.v. høyere ordre.

Omfanget
kalt funksjonens differensial
og er utpekt

3.1. Geometrisk verdi av differensialen.

La funksjonen være gitt
.

Fig.2. Geometrisk betydning av differensial.

Tydeligvis differensialen til funksjonen
er lik økningen av ordinaten til tangenten i et gitt punkt.

3.2. Derivater og differensialer av ulike rekkefølger.

Hvis det er
, Deretter
kalles den første deriverte.

Den deriverte av den første deriverte kalles andreordens deriverte og skrives
.

Derivert av den n-te rekkefølgen av funksjonen
kalles (n-1) ordensderiverte og er skrevet:

Differensialen til differensialen til en funksjon kalles den andre differensialen eller andreordensdifferensialen.

.

.

3.3 Løse biologiske problemer ved hjelp av differensiering.

Oppgave 1. Studier har vist at veksten av en koloni av mikroorganismer følger loven
, Hvor N - antall mikroorganismer (i tusenvis), t – tid (dager).

b) Vil befolkningen i kolonien øke eller avta i løpet av denne perioden?

Svar. Størrelsen på kolonien vil øke.

Oppgave 2. Vannet i innsjøen testes med jevne mellomrom for å overvåke innholdet av sykdomsfremkallende bakterier. Gjennom t dager etter testing bestemmes konsentrasjonen av bakterier av forholdet

Når vil innsjøen ha en minimumskonsentrasjon av bakterier og vil det være mulig å svømme i den?

Løsning: En funksjon når maks eller min når dens deriverte er null.

La oss bestemme maks eller min vil være om 6 dager. For å gjøre dette, la oss ta den andre deriverte.

Svar: Etter 6 dager vil det være en minimumskonsentrasjon av bakterier.

Et av elementene i primitiv nivåalgebra er logaritmen. Navnet kommer fra gresk språk fra ordet «tall» eller «potens» og betyr i hvilken grad tallet i basen må heves for å finne det endelige tallet.

Typer logaritmer

log a b – logaritme av tallet b til grunntallet a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
log b - desimal logaritme (logaritme til grunntall 10, a = 10);
ln b – naturlig logaritme (logaritme til grunntall e, a = e).

Hvordan løse logaritmer?

Logaritmen av b til base a er en eksponent som krever at b heves til base a. Det oppnådde resultatet uttales slik: "logaritme av b til base a." Løsningen på logaritmiske problemer er at du må bestemme en gitt potens i tall ved de angitte tallene. Det er noen grunnleggende regler for å bestemme eller løse logaritmen, samt konvertere selve notasjonen. Ved å bruke dem lages løsningen logaritmiske ligninger, derivater blir funnet, integraler løses og mange andre operasjoner utføres. I utgangspunktet er løsningen på selve logaritmen dens forenklede notasjon. Nedenfor er de grunnleggende formlene og egenskapene:

For enhver a ; a > 0; a ≠ 1 og for enhver x ; y > 0.

a log a b = b – grunnleggende logaritmisk identitet
log a 1 = 0
loga a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , for k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x = log b x/ log b a – formel for å flytte til en ny base
log a x = 1/log x a

Hvordan løse logaritmer - trinnvise instruksjoner for løsning

Skriv først ned den nødvendige ligningen.

Merk: hvis grunnlogaritmen er 10, forkortes oppføringen, noe som resulterer i en desimallogaritme. Hvis det er verdt naturlig tall e, så skriver vi det ned og reduserer det til den naturlige logaritmen. Dette betyr at resultatet av alle logaritmer er potensen som grunntallet heves til for å oppnå tallet b.

Direkte ligger løsningen i å beregne denne graden. Før du løser et uttrykk med en logaritme, må det forenkles i henhold til regelen, det vil si å bruke formler. Du finner hovedidentitetene ved å gå litt tilbake i artikkelen.

Legge til og subtrahere logaritmer med to forskjellige tall, men med samme grunntall, erstatt med én logaritme med produktet eller divisjonen av tallene b og c, henholdsvis. I dette tilfellet kan du bruke formelen for å flytte til en annen base (se ovenfor).

Hvis du bruker uttrykk for å forenkle en logaritme, er det noen begrensninger å vurdere. Og det vil si: basen til logaritmen a er bare et positivt tall, men ikke lik en. Tallet b, som a, må være større enn null.

Det er tilfeller der du ved å forenkle et uttrykk ikke vil være i stand til å beregne logaritmen i numerisk form. Det hender at et slikt uttrykk ikke gir mening, fordi mange krefter er irrasjonelle tall. Under denne betingelsen, la potensen til tallet være en logaritme.

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer er ikke akkurat vanlige tall, det er regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig problem løses. logaritmisk problem. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: log en x og logg en y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

Logg en x+logg en y=logg en (x · y);
Logg en x− logg en y=logg en (x : y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Merk: nøkkel øyeblikk Her - identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg å beregne logaritmisk uttrykk selv når dens individuelle deler ikke telles (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Logg 6 4 + logg 6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien til uttrykket: log 2 48 − log 2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene viser de seg ganske normale tall. Mange er bygget på dette faktum testpapirer. Hva med kontrollene? lignende uttrykk i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) tilbys på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å legge merke til det siste regel følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: en > 0, en ≠ 1, x> 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 7 49 6 .

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
[Tekst til bildet]

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Vi har:

[Tekst til bildet]

jeg tenker å siste eksempel avklaring nødvendig. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmeloggen gis en x. Deretter for et hvilket som helst tall c slik at c> 0 og c≠ 1, likheten er sann:
[Tekst til bildet]
Spesielt hvis vi setter c = x, vi får:
[Tekst til bildet]

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i konvensjonelle numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

[Tekst til bildet]

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

[Tekst til bildet]

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

[Tekst til bildet]

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet, tallet n blir en indikator på graden stående i argumentasjonen. Antall n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det er det det kalles: den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Faktisk, hva vil skje hvis nummeret b heve til en slik styrke at tallet b til denne potensen gir tallet en? Det stemmer: du får det samme nummeret en. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast i den.

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
[Tekst til bildet]

Merk at log 25 64 = log 5 8 - tok ganske enkelt kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Vurderer reglene for å multiplisere potenser med samme grunnlag, vi får:

[Tekst til bildet]

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

Logg en en= 1 er logaritmisk enhet. Husk en gang for alle: logaritme til hvilken som helst base en fra denne grunnen er lik en.
Logg en 1 = 0 er logaritmisk null. Utgangspunkt en kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder én, er logaritmen lik null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs oppgavene.

La oss begynne med egenskapene til logaritmen til en. Formuleringen er som følger: logaritmen av enhet er lik null, det vil si, logg a 1=0 for enhver a>0, a≠1. Beviset er ikke vanskelig: siden a 0 = 1 for enhver a som tilfredsstiller betingelsene ovenfor a>0 og a≠1, følger likhetsloggen a 1=0 som skal bevises umiddelbart fra definisjonen av logaritmen.

La oss gi eksempler på bruken av den vurderte egenskapen: log 3 1=0, log1=0 og .

La oss gå videre til neste eiendom: logaritme av tallet, lik basen, lik en, det er, log a a=1 for a>0, a≠1. Faktisk, siden en 1 =a for enhver a, da per definisjon logaritmelogg a a=1.

Eksempler på bruk av denne egenskapen til logaritmer er likhetene log 5 5=1, log 5,6 5,6 og lne=1.

For eksempel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 og .

Logaritme av produktet av to positive tall x og y er lik produktet av logaritmene til disse tallene: log a (x y)=logg a x+log a y, a>0, a≠1. La oss bevise egenskapen til logaritmen til et produkt. På grunn av gradens egenskaper a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, og siden ved den logaritmiske hovedidentiteten a log a x =x og en log a y =y, deretter a log a x ·a log a y =x·y. Dermed en log a x+log a y =x·y, hvorfra, ved definisjonen av en logaritme, følger likheten som bevises.

La oss vise eksempler på bruk av egenskapen til logaritmen til et produkt: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 og .

Egenskapen til logaritmen til et produkt kan generaliseres til produktet av et endelig antall n av positive tall x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . Denne likheten kan bevises uten problemer.

For eksempel kan den naturlige logaritmen til et produkt erstattes med summen av tre naturlige logaritmer tall 4, e og .

Logaritme av kvotienten til to positive tall x og y er lik forskjellen mellom logaritmene til disse tallene. Egenskapen til logaritmen til en kvotient tilsvarer en formel på formen , der a>0, a≠1, x og y er noen positive tall. Gyldigheten av denne formelen er bevist, så vel som formelen for logaritmen til et produkt: siden , da per definisjon av logaritmen.

Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen til logaritmen: .

La oss gå videre til egenskapen til potensens logaritme. Logaritmen til en grad er lik produktet av eksponenten og logaritmen til modulen til basisen til denne graden. La oss skrive denne egenskapen til logaritmen til en potens som en formel: log a b p =p·log a |b|, hvor a>0, a≠1, b og p er tall slik at graden b p gir mening og b p >0.

Først beviser vi denne egenskapen for positiv b. Den grunnleggende logaritmiske identiteten lar oss representere tallet b som en log a b , så er b p =(a log a b) p , og det resulterende uttrykket, på grunn av egenskapen makt, er lik en p·log a b . Så vi kommer til likheten b p =a p·log a b, hvorfra vi, ved definisjonen av en logaritme, konkluderer med at log a b p =p·log a b.

Det gjenstår å bevise denne egenskapen for negativ b. Her legger vi merke til at uttrykket log a b p for negativ b gir mening bare for like eksponenter p (siden verdien av graden b p må være større enn null, i ellers logaritmen vil ikke gi mening), og i dette tilfellet b p =|b| s. Deretter b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, hvorfra log a b p =p·log a |b| .

For eksempel, og ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

Det følger av forrige eiendom egenskapen til logaritmen fra roten: logaritmen til den n-te roten er lik produktet av brøken 1/n ved logaritmen til det radikale uttrykket, det vil si, , hvor a>0, a≠1, n – naturlig tall, større enn én, b>0.

Beviset er basert på likheten (se), som er gyldig for enhver positiv b, og egenskapen til potensens logaritme: .

Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen: .

La oss nå bevise formel for å flytte til en ny logaritmebase snill . For å gjøre dette er det nok å bevise gyldigheten av likhetsloggen c b=log a b·log c a. Den grunnleggende logaritmiske identiteten lar oss representere tallet b som en log a b , deretter log c b=log c a log a b . Det gjenstår å bruke egenskapen til logaritmen til graden: log c a log a b =logg a b log c a. Dette beviser likhetsloggen c b=log a b·log c a, noe som betyr at formelen for overgang til en ny base av logaritmen også er bevist.

La oss vise et par eksempler på bruk av denne egenskapen til logaritmer: og .

Formelen for å flytte til en ny base lar deg gå videre til å jobbe med logaritmer som har en "praktisk" base. For eksempel kan den brukes til å gå til naturlige eller desimale logaritmer slik at du kan beregne verdien av en logaritme fra en tabell med logaritmer. Formelen for å flytte til en ny logaritmebase tillater også, i noen tilfeller, å finne verdien av en gitt logaritme når verdiene til noen logaritmer med andre baser er kjent.

Brukes ofte spesielt tilfelle formler for overgang til en ny logaritmebase med c=b av formen . Dette viser at log a b og log b a – . f.eks. .

Formelen brukes også ofte , som er praktisk for å finne logaritmeverdier. For å bekrefte ordene våre, vil vi vise hvordan det kan brukes til å beregne verdien av en logaritme av formen . Vi har . For å bevise formelen det er nok å bruke formelen for overgang til en ny base av logaritmen a: .

Det gjenstår å bevise egenskapene til sammenligning av logaritmer.

La oss bevise at for alle positive tall b 1 og b 2, b 1 log a b 2, og for a>1 – ulikheten log a b 1

Til slutt gjenstår det å bevise den siste av de listede egenskapene til logaritmer. La oss begrense oss til beviset for dens første del, det vil si at vi vil bevise at hvis en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 er sann log a 1 b>log a 2 b . De resterende utsagnene av denne egenskapen til logaritmer er bevist i henhold til et lignende prinsipp.

La oss bruke den motsatte metoden. Anta at for en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 er sann log a 1 b≤log a 2 b . Basert på egenskapene til logaritmer kan disse ulikhetene skrives om som Og henholdsvis, og av dem følger det at henholdsvis log b a 1 ≤log b a 2 og log b a 1 ≥log b a 2. Deretter, i henhold til egenskapene til potenser med samme base, må likhetene b log b a 1 ≥b log b a 2 og b log b a 1 ≥b log b a 2 holde, det vil si a 1 ≥a 2. Så vi kom til en motsetning til betingelsen en 1

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. og andre Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).