Et av elementene i primitiv nivåalgebra er logaritmen. Navnet kommer fra det greske språket fra ordet "tall" eller "makt" og betyr potensen som tallet i basen må heves til for å finne det endelige tallet.
Typer logaritmer
- log a b – logaritme av tallet b til base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b - desimal logaritme (logaritme til grunntall 10, a = 10);
- ln b – naturlig logaritme (logaritme til grunntall e, a = e).
Hvordan løse logaritmer?
Logaritmen av b til base a er en eksponent som krever at b heves til base a. Det oppnådde resultatet uttales slik: "logaritme av b til base a." Løsningen på logaritmiske problemer er at du må bestemme den gitte potensen i tall fra de angitte tallene. Det er noen grunnleggende regler for å bestemme eller løse logaritmen, samt konvertere selve notasjonen. Ved å bruke dem løses logaritmiske ligninger, derivater blir funnet, integraler løses og mange andre operasjoner utføres. I utgangspunktet er løsningen på selve logaritmen dens forenklede notasjon. Nedenfor er de grunnleggende formlene og egenskapene:
For enhver a ; a > 0; a ≠ 1 og for enhver x ; y > 0.
- a log a b = b – grunnleggende logaritmisk identitet
- log a 1 = 0
- loga a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x , for k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – formel for å flytte til en ny base
- log a x = 1/log x a
Hvordan løse logaritmer - trinnvise instruksjoner for løsning
- Skriv først ned den nødvendige ligningen.
Merk: hvis grunnlogaritmen er 10, forkortes oppføringen, noe som resulterer i en desimallogaritme. Hvis det er et naturlig tall e, skriver vi det ned og reduserer det til en naturlig logaritme. Dette betyr at resultatet av alle logaritmer er potensen som grunntallet heves til for å oppnå tallet b.
Direkte ligger løsningen i å beregne denne graden. Før du løser et uttrykk med en logaritme, må det forenkles i henhold til regelen, det vil si å bruke formler. Du finner hovedidentitetene ved å gå litt tilbake i artikkelen.
Når du legger til og subtraherer logaritmer med to forskjellige tall, men med samme grunntall, erstatter du med én logaritme med produktet eller divisjonen av tallene b og c, henholdsvis. I dette tilfellet kan du bruke formelen for å flytte til en annen base (se ovenfor).
Hvis du bruker uttrykk for å forenkle en logaritme, er det noen begrensninger å vurdere. Og det vil si: basen til logaritmen a er bare et positivt tall, men ikke lik en. Tallet b, som a, må være større enn null.
Det er tilfeller hvor du ved å forenkle et uttrykk ikke vil kunne beregne logaritmen numerisk. Det hender at et slikt uttrykk ikke gir mening, fordi mange krefter er irrasjonelle tall. Under denne betingelsen, la potensen til tallet være en logaritme.
Følger av dens definisjon. Og så logaritmen til tallet b basert på EN er definert som eksponenten som et tall må heves til en for å få nummeret b(logaritme eksisterer bare for positive tall).
Av denne formuleringen følger det at beregningen x=log a b, tilsvarer å løse ligningen a x =b. For eksempel, log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen av logaritmen gjør det mulig å rettferdiggjøre at if b=a c, deretter logaritmen til tallet b basert på en er lik Med. Det er også klart at temaet logaritmer er nært knyttet til emnet potenser av et tall.
Med logaritmer, som med alle tall, kan du gjøre operasjoner med addisjon, subtraksjon og transformere på alle mulige måter. Men på grunn av at logaritmer ikke er helt vanlige tall, gjelder her egne spesielle regler, som kalles hovedegenskaper.
Legge til og subtrahere logaritmer.
La oss ta to logaritmer med samme base: logg en x Og logg et y. Da er det mulig å utføre addisjons- og subtraksjonsoperasjoner:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
logg a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logg en x 1 + logg en x 2 + logg en x 3 + ... + logg a x k.
Fra logaritmekvotientsetning enda en egenskap til logaritmen kan oppnås. Det er allment kjent at logg en 1= 0, derfor
Logg en 1 /b=logg en 1 - logg a b= -log a b.
Dette betyr at det er en likhet:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritmer av to gjensidige tall av samme grunn vil skille seg fra hverandre utelukkende ved tegn. Så:
Logg 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Oppgave B7 gir et uttrykk som må forenkles. Resultatet skal være et vanlig tall som kan skrives ned på svararket ditt. Alle uttrykk er konvensjonelt delt inn i tre typer:
- logaritmisk,
- Veiledende,
- Kombinert.
Eksponentielle og logaritmiske uttrykk i sin rene form finnes praktisk talt aldri. Det er imidlertid helt nødvendig å vite hvordan de beregnes.
Generelt løses problem B7 ganske enkelt og er ganske innenfor evnene til den gjennomsnittlige kandidaten. Mangelen på klare algoritmer kompenseres for av standardisering og monotoni. Du kan lære å løse slike problemer ganske enkelt gjennom mye trening.
Logaritmiske uttrykk
De aller fleste B7-problemer involverer logaritmer i en eller annen form. Dette emnet anses tradisjonelt som vanskelig, siden studiet vanligvis skjer i 11. klasse - epoken med masseforberedelse til avsluttende eksamener. Som et resultat har mange nyutdannede en veldig vag forståelse av logaritmer.
Men i denne oppgaven krever ingen dyp teoretisk kunnskap. Vi vil bare møte de enkleste uttrykkene som krever enkle resonnementer og som lett kan mestres selvstendig. Nedenfor er de grunnleggende formlene du trenger å vite for å takle logaritmer:
I tillegg må du kunne erstatte røtter og brøker med potenser med en rasjonell eksponent, ellers vil det i enkelte uttrykk rett og slett ikke være noe å ta ut under logaritmetegnet. Erstatningsformler:
Oppgave. Finn betydningen av uttrykk:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2
De to første uttrykkene konverteres som forskjellen mellom logaritmer:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.
For å beregne det tredje uttrykket, må du isolere potenser - både i basen og i argumentet. Først, la oss finne den interne logaritmen:
Deretter - ekstern:
Konstruksjoner av skjemaet log a log b x virker komplekse og misforstått for mange. I mellomtiden er dette bare en logaritme av logaritmen, dvs. log a (log b x ). Først beregnes den interne logaritmen (sett log b x = c), og deretter den eksterne: log a c.
Demonstrative uttrykk
Vi vil kalle et eksponentielt uttrykk enhver konstruksjon av formen a k, der tallene a og k er vilkårlige konstanter, og a > 0. Metoder for å arbeide med slike uttrykk er ganske enkle og diskuteres i 8. klasses algebratimer.
Nedenfor er de grunnleggende formlene som du definitivt trenger å vite. Anvendelsen av disse formlene i praksis forårsaker som regel ikke problemer.
- a n · a m = a n + m;
- a n/a m = a n − m;
- (a n) m = a n · m;
- (a · b) n = a n · b n;
- (a:b) n = a n:b n.
Hvis du kommer over et komplekst uttrykk med krefter, og det ikke er klart hvordan du skal nærme deg det, bruk en universell teknikk - dekomponering til enkle faktorer. Som et resultat blir store tall i maktbasene erstattet av enkle og forståelige elementer. Da gjenstår det bare å bruke formlene ovenfor - og problemet vil være løst.
Oppgave. Finn verdiene til uttrykkene: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.
Løsning. La oss dekomponere alle kraftgrunnlag i enkle faktorer:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .
Kombinerte oppgaver
Hvis du kjenner formlene, kan alle eksponentielle og logaritmiske uttrykk løses bokstavelig talt på én linje. Imidlertid kan potenser og logaritmer i oppgave B7 kombineres for å danne ganske sterke kombinasjoner.
De grunnleggende egenskapene til den naturlige logaritmen, grafen, definisjonsdomene, verdisett, grunnleggende formler, derivert, integral, potensserieutvidelse og representasjon av funksjonen ln x ved bruk av komplekse tall er gitt.
Definisjon
Naturlig logaritme er funksjonen y = ln x, den inverse av eksponentialen, x = e y, og er logaritmen til grunntallet for tallet e: ln x = log e x.
Den naturlige logaritmen er mye brukt i matematikk fordi dens deriverte har den enkleste formen: (ln x)′ = 1/ x.
Basert definisjoner, er basisen til den naturlige logaritmen tallet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Graf for funksjonen y = ln x.
Graf av naturlig logaritme (funksjoner y = ln x) er hentet fra den eksponentielle grafen ved speilrefleksjon i forhold til den rette linjen y = x.
Den naturlige logaritmen er definert for positive verdier av variabelen x. Den øker monotont i sitt definisjonsdomene.
Ved x → 0 grensen for den naturlige logaritmen er minus uendelig (-∞).
Som x → + ∞ er grensen for den naturlige logaritmen pluss uendelig (+ ∞). For stor x øker logaritmen ganske sakte. Enhver potensfunksjon x a med en positiv eksponent a vokser raskere enn logaritmen.
Egenskaper til den naturlige logaritmen
Definisjonsdomene, sett med verdier, ekstrema, økning, reduksjon
Den naturlige logaritmen er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstreme. Hovedegenskapene til den naturlige logaritmen er presentert i tabellen.
ln x verdier
ln 1 = 0
Grunnleggende formler for naturlige logaritmer
Formler som følger av definisjonen av den inverse funksjonen:
Hovedegenskapen til logaritmer og dens konsekvenser
Formel for baseerstatning
Enhver logaritme kan uttrykkes i form av naturlige logaritmer ved å bruke basesubstitusjonsformelen:
Bevis på disse formlene er presentert i delen "Logaritme".
Invers funksjon
Den inverse av den naturlige logaritmen er eksponenten.
Hvis da
Hvis da.
Derivat ln x
Derivert av den naturlige logaritmen:
.
Derivert av den naturlige logaritmen til modul x:
.
Derivert av n-te orden:
.
Utlede formler > > >
Integral
Integralet beregnes ved integrasjon av deler:
.
Så,
Uttrykk som bruker komplekse tall
Tenk på funksjonen til den komplekse variabelen z:
.
La oss uttrykke den komplekse variabelen z via modul r og argumentasjon φ
:
.
Ved å bruke egenskapene til logaritmen har vi:
.
Eller
.
Argumentet φ er ikke unikt definert. Hvis du setter
, hvor n er et heltall,
det vil være det samme tallet for forskjellige n.
Derfor er den naturlige logaritmen, som en funksjon av en kompleks variabel, ikke en funksjon med én verdi.
Power serie utvidelse
Når utvidelsen finner sted:
Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.
Oppgaver hvis løsning er konvertering av logaritmiske uttrykk, er ganske vanlige på Unified State Examination.
For å lykkes med dem med minimal tid, i tillegg til de grunnleggende logaritmiske identitetene, må du vite og bruke noen flere formler riktig.
Dette er: a log a b = b, hvor a, b > 0, a ≠ 1 (Det følger direkte av definisjonen av logaritmen).
log a b = log c b / log c a eller log a b = 1/log b a
hvor a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
hvor a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
a log c b = b log c a
hvor a, b, c > 0 og a, b, c ≠ 1
For å vise gyldigheten av den fjerde likheten, la oss ta logaritmen til venstre og høyre side for å basere a. Vi får logg a (a logg med b) = logg a (b logg med a) eller logg med b = logg med a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); logg med b = logg med b.
Vi har bevist likheten til logaritmer, noe som betyr at uttrykkene under logaritmene også er like. Formel 4 er bevist.
Eksempel 1.
Beregn 81 log 27 5 log 5 4 .
Løsning.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Derfor,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Deretter 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Du kan fullføre følgende oppgave selv.
Beregn (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
Som et hint, 0,2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.
Svar: 5.
Eksempel 2.
Beregn (√11) Logg √3 9- log 121 81 .
Løsning.
La oss endre uttrykkene: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (formel 3 ble brukt).
Deretter (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Eksempel 3.
Beregn log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.
Løsning.
Vi erstatter logaritmene i eksemplet med logaritmer med base 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Deretter log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Etter å ha åpnet parentesene og tatt med lignende termer, får vi tallet 3. (Når vi forenkler uttrykket, kan vi betegne log 2 3 med n og forenkle uttrykket
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Svar: 3.
Du kan fullføre følgende oppgave selv:
Beregn (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
Her er det nødvendig å gjøre overgangen til base 3 logaritmer og faktorisering av store tall til primfaktorer.
Svar:1/2
Eksempel 4.
Gitt tre tall A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Ordne dem i stigende rekkefølge.
Løsning.
La oss transformere tallene A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
La oss sammenligne dem
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 og log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Eller 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Svar. Derfor er rekkefølgen for å plassere tallene: C; EN; I.
Eksempel 5.
Hvor mange heltall er det i intervallet (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Løsning.
La oss bestemme mellom hvilke potenser av tallet 3 tallet 1/16 er plassert. Vi får 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Siden funksjonen y = log 3 x øker, så log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). La oss sammenligne logg 6 (4/3) og 1/5. Og for dette sammenligner vi tallene 4/3 og 6 1/5. La oss heve begge tallene til 5. potens. Vi får (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,
logg 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Derfor inkluderer intervallet (log 3 1 / 16 ; log 6 48) intervallet [-2; 4] og heltallene -2 er plassert på den; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Svar: 7 heltall.
Eksempel 6.
Beregn 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.
Løsning.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Deretter 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Svar: -1.
Eksempel 7.
Det er kjent at log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Finn log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Løsning.
Tall (√3 + 1) og (√3 – 1); (√6 – 2) og (√6 + 2) er konjugerte.
La oss utføre følgende transformasjon av uttrykk
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Deretter log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Logg 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Svar: 2 – A.
Eksempel 8.
Forenkle og finn den omtrentlige verdien av uttrykket (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Løsning.
La oss redusere alle logaritmer til en felles base 10.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Den omtrentlige verdien av lg 2 kan finnes ved hjelp av en tabell, linjal eller kalkulator).
Svar: 0,3010.
Eksempel 9.
Beregn log a 2 b 3 √(a 11 b -3) hvis log √ a b 3 = 1. (I dette eksemplet er a 2 b 3 basisen til logaritmen).
Løsning.
Hvis log √ a b 3 = 1, så 3/(0,5 log a b = 1. Og log a b = 1/6.
Logg deretter a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Med tanke på at log a b = 1/ 6 får vi (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.
Svar: 2.1.
Du kan fullføre følgende oppgave selv:
Beregn log √3 6 √2.1 hvis log 0.7 27 = a.
Svar: (3 + a) / (3a).
Eksempel 10.
Regn ut 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.
Løsning.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formel 4))
Vi får 9 + 6 = 15.
Svar: 15.
Har du fortsatt spørsmål? Ikke sikker på hvordan du finner verdien av et logaritmisk uttrykk?
For å få hjelp fra en veileder -.
Den første leksjonen er gratis!
blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.