Definer positive og negative tall. Positive og negative tall

Teksten til verket er lagt ut uten bilder og formler.
Den fullstendige versjonen av verket er tilgjengelig i fanen "Arbeidsfiler" i PDF-format

Introduksjon

Tallenes verden er veldig mystisk og interessant. Tall er veldig viktige i vår verden. Jeg ønsker å lære så mye som mulig om tallenes opprinnelse og deres betydning i livene våre. Hvordan bruke dem og hvilken rolle spiller de i livene våre?

I fjor i matematikktimene begynte vi å studere emnet "Positive og negative tall". Jeg hadde et spørsmål: når dukket negative tall opp, i hvilket land hvilke forskere studerte dette problemet. Jeg leste på Wikipedia at et negativt tall er et element i settet med negative tall, som (sammen med null) dukket opp i matematikk ved utvidelse av settet med naturlige tall. Hensikten med utvidelsen er å la subtraksjonsoperasjonen utføres på et hvilket som helst tall. Som et resultat av utvidelsen oppnås et sett (ring) med heltall, bestående av positive (naturlige) tall, negative tall og null.

Som et resultat bestemte jeg meg for å utforske historien til negative tall.

Formålet med dette arbeidet er å studere historien om fremveksten av negative og positive tall.

Studieobjekt - negative tall og positive tall

Historie om positive og negative tall

Det tok lang tid før folk ble vant til negative tall. Negative tall virket uforståelige for dem, de brukte dem ikke, de så rett og slett ikke mye mening i dem. Disse tallene dukket opp mye senere enn naturlige tall og vanlige brøker.

Den første informasjonen om negative tall ble funnet av kinesiske matematikere på 200-tallet. f.Kr e. og selv da var bare reglene for å addere og subtrahere positive og negative tall kjent; reglene for multiplikasjon og divisjon gjaldt ikke.

I kinesisk matematikk ble positive størrelser kalt "chen", negative størrelser ble kalt "fu"; de ble avbildet i forskjellige farger: "chen" - rød, "fu" - svart. Dette kan sees i boken "Aritmetikk i ni kapitler" (forfatter Zhang Can). Denne avbildningsmetoden ble brukt i Kina frem til midten av 1100-tallet, inntil Li Ye foreslo en mer praktisk betegnelse for negative tall – tallene som avbildet negative tall ble krysset ut med en linje diagonalt fra høyre til venstre.

Først på 700-tallet. Indiske matematikere begynte å bruke negative tall mye, men behandlet dem med en viss mistillit. Bhaskhara skrev direkte: "Folk godkjenner ikke abstrakte negative tall ...". Slik satte den indiske matematikeren Brahmagupta opp reglene for addisjon og subtraksjon: «eiendom og eiendom er eiendom, summen av to gjeld er gjeld; summen av eiendom og null er eiendom; summen av to nuller er null... Gjeld, som trekkes fra null, blir eiendom, og eiendom blir til gjeld. Hvis det er nødvendig å ta bort eiendom fra gjeld, og gjeld fra eiendom, så tar de summen deres." "Summen av to eiendommer er eiendom."

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Indianerne kalte positive tall "dhana" eller "sva" (eiendom), og negative tall "rina" eller "kshaya" (gjeld). Indiske forskere, som prøvde å finne eksempler på slik subtraksjon i livet, kom til å tolke det fra synspunktet til handelsberegninger. Hvis en kjøpmann har 5000 rubler. og kjøper varer for 3000 rubler, har han 5000 - 3000 = 2000 rubler igjen. Hvis han har 3000 rubler, men kjøper for 5000 rubler, forblir han i gjeld for 2000 rubler. I samsvar med dette ble det antatt at her ble det utført en subtraksjon på 3000 - 5000, resultatet var tallet 2000 med en prikk øverst, som betyr "to tusen gjeld." Denne tolkningen var kunstig; kjøpmannen fant aldri gjeldsbeløpet ved å trekke fra 3000 - 5000, men trakk alltid 5000 - 3000.

Litt senere, i det gamle India og Kina, fant de ut at i stedet for ordene "gjeld på 10 yuan", ville de ganske enkelt skrive "10 yuan", men tegne disse hieroglyfene med svart blekk. Og i gamle tider var det ingen tegn "+" og "-" verken for tall eller for handlinger.

Grekerne brukte heller ikke tegn først. Den antikke greske forskeren Diophantus gjenkjente ikke negative tall i det hele tatt, og hvis en negativ rot ble oppnådd når han løste en ligning, forkastet han den som «utilgjengelig». Og Diophantus prøvde å formulere problemer og komponere ligninger på en slik måte å unngå negative røtter, men snart begynte Diophantus av Alexandria å betegne subtraksjon med et tegn.

Regler for å håndtere positive og negative tall ble foreslått allerede på 300-tallet i Egypt. Innføringen av negative mengder skjedde først med Diophantus. Han brukte til og med en spesiell karakter for dem. Samtidig bruker Diophantus slike figurer som "La oss legge til et negativt på begge sider," og formulerer til og med tegnregelen: "En negativ multiplisert med en negativ gir en positiv, mens en negativ multiplisert med en positiv gir negativt."

I Europa begynte negative tall å bli brukt fra 1100-1200-tallet, men først på 1500-tallet. de fleste forskere betraktet dem som "falske", "imaginære" eller "absurde", i motsetning til positive tall - "sanne". Positive tall ble også tolket som "eiendom", og negative tall som "gjeld", "mangel". Selv den berømte matematikeren Blaise Pascal hevdet at 0 − 4 = 0, siden ingenting kan være mindre enn ingenting. I Europa kom Leonardo Fibonacci fra Pisa ganske nær ideen om negativ mengde på begynnelsen av 1200-tallet. I en problemløsningskonkurranse med hoffmatematikerne til Frederick II, ble Leonardo av Pisa bedt om å løse et problem: det var nødvendig å finne hovedstaden til flere individer. Fibonacci fikk en negativ verdi. "Denne saken," sa Fibonacci, "er umulig, med mindre vi aksepterer at man ikke hadde kapital, men gjeld." Negative tall ble imidlertid først brukt eksplisitt på slutten av 1400-tallet av den franske matematikeren Chuquet. Forfatter av en håndskrevet avhandling om aritmetikk og algebra, "Vitenskapen om tall i tre deler." Symbolikken til Shuque er nær moderne.

Gjenkjennelsen av negative tall ble tilrettelagt av arbeidet til den franske matematikeren, fysikeren og filosofen René Descartes. Han foreslo en geometrisk tolkning av positive og negative tall - han introduserte koordinatlinjen. (1637).

Positive tall er representert på tallaksen ved punkter som ligger til høyre for begynnelsen 0, negative tall - til venstre. Den geometriske tolkningen av positive og negative tall bidro til deres gjenkjennelse.

I 1544 betraktet den tyske matematikeren Michael Stiefel først negative tall som tall mindre enn null (dvs. "mindre enn ingenting"). Fra dette tidspunktet blir negative tall ikke lenger sett på som en gjeld, men på en helt ny måte. Stiefel skrev selv: "Null er mellom sanne og absurde tall ..."

Nesten samtidig med Stiefel ble ideen om negative tall forsvart av Bombelli Raffaele (ca. 1530-1572), en italiensk matematiker og ingeniør som gjenoppdaget arbeidet til Diophantus.

På samme måte anså Girard negative tall for å være helt akseptable og nyttige, spesielt for å indikere mangelen på noe.

Hver fysiker arbeider konstant med tall: han måler, beregner, beregner alltid noe. Overalt i papirene hans er det tall, tall og tall. Hvis du ser nøye på fysikerens notater, vil du finne at når han skriver tall, bruker han ofte tegnene "+" og "-". (For eksempel: termometer, dybde- og høydeskala)

Først på begynnelsen av 1800-tallet. teorien om negative tall fullførte utviklingen, og "absurde tall" fikk universell anerkjennelse.

Definisjon av tallbegrepet

I den moderne verden bruker folk konstant tall uten å tenke på opprinnelsen deres. Uten kunnskap om fortiden er det umulig å forstå nåtiden. Tall er et av de grunnleggende begrepene i matematikk. Tallbegrepet utviklet seg i nær forbindelse med studiet av mengder; denne forbindelsen fortsetter til i dag. I alle grener av moderne matematikk må vi vurdere ulike mengder og bruke tall. Tall er en abstraksjon som brukes til å kvantifisere objekter. Etter å ha oppstått i det primitive samfunnet fra behovene til telling, endret og beriket tallbegrepet og ble til det viktigste matematiske konseptet.

Det finnes et stort antall definisjoner for begrepet "antall".

Den første vitenskapelige definisjonen av tall ble gitt av Euklid i hans Elementer, som han tilsynelatende arvet fra sin landsmann Eudoxus av Cnidus (ca. 408 - ca. 355 f.Kr.): "En enhet er den i samsvar med hvilken hver av de eksisterende tingene kalles en . Et tall er et sett som består av enheter." Slik definerte den russiske matematikeren Magnitsky begrepet tall i sin "Aritmetikk" (1703). Enda tidligere enn Euklid ga Aristoteles følgende definisjon: "Et tall er et sett som måles ved hjelp av enheter." I sin "General Arithmetic" (1707) skriver den store engelske fysikeren, mekanikeren, astronomen og matematikeren Isaac Newton: "Med tall mener vi ikke så mye et sett med enheter som det abstrakte forholdet mellom en mengde og en annen mengde av samme type. , tatt som en enhet.» . Det er tre typer tall: heltall, brøk og irrasjonell. Et helt tall er noe som måles med én; brøk er et multiplum av én, irrasjonelt er et tall som ikke er i samsvar med én.»

Mariupol-matematiker S.F. Klyuykov bidro også til definisjonen av begrepet tall: "Tall er matematiske modeller av den virkelige verden, oppfunnet av mennesket for sin kunnskap." Han introduserte også de såkalte "funksjonelle tallene" i den tradisjonelle klassifiseringen av tall, som betyr det som vanligvis kalles funksjoner over hele verden.

Naturlige tall oppsto ved telling av objekter. Jeg lærte om dette i 5. klasse. Så lærte jeg at menneskets behov for å måle mengder ikke alltid uttrykkes i hele tall. Etter å ha utvidet settet med naturlige tall til brøker, ble det mulig å dele et hvilket som helst heltall med et annet heltall (med unntak av divisjon med null). Brøktall dukket opp. I lang tid virket det umulig å trekke et heltall fra et annet heltall, når det som trekkes fra er større enn det som ble redusert. Det som var interessant for meg var det faktum at mange matematikere i lang tid ikke gjenkjente negative tall, og trodde at de ikke samsvarte med noen virkelige fenomener.

Opprinnelsen til ordene "pluss" og "minus"

Begrepene kommer fra ordene pluss - "mer", minus - "mindre". Først ble handlinger merket med de første bokstavene p; m. Mange matematikere foretrakk eller Opprinnelsen til moderne tegn "+" og "-" er ikke helt klar. “+”-tegnet kommer sannsynligvis fra forkortelsen et, dvs. "Og". Det kan imidlertid ha oppstått fra handelspraksis: solgte mål vin ble merket med "-" på fatet, og når lageret ble gjenopprettet, ble de krysset over, noe som resulterte i et "+"-tegn.

I Italia setter pengeutlånere, når de låner ut penger, gjeldsbeløpet og en strek foran debitors navn, som minuset vårt, og når debitor returnerte pengene, strøk de det ut, det viste seg omtrent som vårt pluss.

Moderne "+"-tegn dukket opp i Tyskland i det siste tiåret av 1400-tallet. i Widmanns bok, som var en veiledning til telling for kjøpmenn (1489). Tsjekkiske Jan Widman skrev allerede "+" og "-" for addisjon og subtraksjon.

Litt senere skrev den tyske forskeren Michel Stiefel "Complete Arithmetic", som ble utgitt i 1544. Den inneholder følgende oppføringer for tall: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Han kalte tall av den første typen «mindre enn ingenting» eller «lavere enn ingenting». Han kalte tall av den andre typen «mer enn ingenting» eller «høyere enn ingenting». Selvfølgelig forstår du disse navnene, fordi "ingenting" er 0.

Negative tall i Egypt

Til tross for slik tvil ble det imidlertid foreslått regler for drift med positive og negative tall allerede på 300-tallet i Egypt. Innføringen av negative mengder skjedde først med Diophantus. Han brukte til og med et spesielt symbol for dem (i dag bruker vi minustegnet til dette formålet). Riktignok argumenterer forskerne om Diophantus symbol betegnet et negativt tall eller bare en subtraksjonsoperasjon, fordi i Diophantus forekommer negative tall ikke isolert, men bare i form av positive forskjeller; og han anser bare rasjonelle positive tall som svar på problemer. Men samtidig bruker Diophantus slike figurer som "La oss legge til et negativt på begge sider," og formulerer til og med tegnregelen: "En negativ multiplisert med en negativ gir en positiv, mens en negativ multiplisert med en positiv gir negativ» (det vil si, som nå vanligvis formuleres: «Minus ved minus gir pluss, minus ved pluss gir minus»).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Negative tall i det gamle Asia

I kinesisk matematikk ble positive størrelser kalt "chen", negative størrelser ble kalt "fu"; de ble avbildet i forskjellige farger: "chen" - rød, "fu" - svart. Denne avbildningsmetoden ble brukt i Kina frem til midten av 1100-tallet, inntil Li Ye foreslo en mer praktisk betegnelse for negative tall – tallene som avbildet negative tall ble krysset ut med en linje diagonalt fra høyre til venstre. Indiske forskere, som prøvde å finne eksempler på slik subtraksjon i livet, kom til å tolke det fra synspunktet til handelsberegninger.

Hvis en kjøpmann har 5000 rubler. og kjøper varer for 3000 rubler, har han 5000 - 3000 = 2000 rubler igjen. Hvis han har 3000 rubler, men kjøper for 5000 rubler, forblir han i gjeld for 2000 rubler. I samsvar med dette ble det antatt at her ble det utført en subtraksjon på 3000 - 5000, resultatet var tallet 2000 med en prikk øverst, som betyr "to tusen gjeld."

Denne tolkningen var kunstig, kjøpmannen fant aldri gjeldsbeløpet ved å trekke fra 3000 - 5000, men trakk alltid 5000 - 3000. I tillegg var det på dette grunnlaget bare mulig å forklare med en strekk reglene for å legge til og subtrahere "tall". med prikker», men det var umulig å forklare reglene for multiplikasjon eller divisjon.

På 500-600-tallet dukket negative tall opp og ble svært utbredt i indisk matematikk. I India ble negative tall brukt systematisk, omtrent som vi gjør nå. Indiske matematikere har brukt negative tall siden 700-tallet. n. e.: Brahmagupta formulerte reglene for aritmetiske operasjoner med dem. I hans verk leser vi: «eiendom og eiendom er eiendom, summen av to gjeld er gjeld; summen av eiendom og null er eiendom; summen av to nuller er null... Gjeld, som trekkes fra null, blir eiendom, og eiendom blir til gjeld. Hvis det er nødvendig å ta bort eiendom fra gjeld, og gjeld fra eiendom, så tar de summen deres."

Indianerne kalte positive tall "dhana" eller "sva" (eiendom), og negative tall "rina" eller "kshaya" (gjeld). I India var det imidlertid problemer med å forstå og akseptere negative tall.

Negative tall i Europa

Europeiske matematikere godkjente dem ikke på lenge, fordi tolkningen av "eiendomsgjeld" forårsaket forvirring og tvil. Faktisk, hvordan kan man "legge til" eller "trekke fra" eiendom og gjeld, hvilken reell betydning kan "multiplisere" eller "dele" eiendom med gjeld ha? (G.I. Glazer, matematikkens historie i skoletrinn IV-VI. Moskva, Prosveshchenie, 1981)

Derfor har negative tall fått plass i matematikk med store vanskeligheter. I Europa kom Leonardo Fibonacci fra Pisa ganske nær ideen om en negativ mengde på begynnelsen av 1200-tallet, men negative tall ble først brukt eksplisitt på slutten av 1400-tallet av den franske matematikeren Chuquet. Forfatter av en håndskrevet avhandling om aritmetikk og algebra, "Vitenskapen om tall i tre deler." Shuquet-symbolikken nærmer seg moderne (Mathematical Encyclopedic Dictionary. M., Sov. Encyclopedia, 1988)

Moderne tolkning av negative tall

Etter dette viet Stiefel arbeidet sitt helt til matematikk, der han var et selvlært geni. En av de første i Europa etter at Nicola Chuquet begynte å operere med negative tall.

Den berømte franske matematikeren René Descartes i «Geometry» (1637) beskriver den geometriske tolkningen av positive og negative tall; positive tall er representert på tallaksen ved punkter som ligger til høyre for begynnelsen 0, negative tall - til venstre. Den geometriske tolkningen av positive og negative tall førte til en klarere forståelse av naturen til negative tall og bidro til deres gjenkjennelse.

Nesten samtidig med Stiefel ble ideen om negative tall forsvart av R. Bombelli Raffaele (ca. 1530-1572), en italiensk matematiker og ingeniør som gjenoppdaget arbeidet til Diophantus.

Bombelli og Girard anså tvert imot negative tall for å være ganske akseptable og nyttige, spesielt for å indikere mangelen på noe. Den moderne betegnelsen for positive og negative tall med tegnene "+" og "-" ble brukt av den tyske matematikeren Widmann. Uttrykket "lavere enn ingenting" viser at Stiefel og noen andre mentalt forestilte positive og negative tall som punkter på en vertikal skala (som en termometerskala). Da utviklet av matematikeren A. Girard, viste ideen om negative tall som punkter på en bestemt linje, plassert på den andre siden av null enn positive, seg å være avgjørende for å gi disse tallene statsborgerrettigheter, spesielt som en resultat av utviklingen av koordinatmetoden av P. Fermat og R. Descartes.

Konklusjon

I arbeidet mitt undersøkte jeg historien om fremveksten av negative tall. Under undersøkelsen konkluderte jeg:

Moderne vitenskap møter mengder av en så kompleks natur at for å studere dem er det nødvendig å finne opp nye typer tall.

Ved innføring av nye tall er to forhold av stor betydning:

a) handlingsreglene over dem må være fullstendig definert og ikke føre til motsetninger;

b) nye nummersystemer skal bidra til enten å løse nye problemer eller forbedre allerede kjente løsninger.

For tiden har tiden syv generelt aksepterte nivåer av generalisering av tall: naturlige, rasjonelle, reelle, komplekse, vektor-, matrise- og transfinitte tall. Noen forskere foreslår å betrakte funksjoner som funksjonelle tall og utvide graden av generalisering av tall til tolv nivåer.

Jeg vil prøve å studere alle disse settene med tall.

applikasjon

DIKT

"Legge til negative tall og tall med forskjellige fortegn"

Hvis du virkelig vil kaste

Tallene er negative, det er ingen grunn til å bry seg:

Vi må raskt finne ut summen av modulene,

Ta så og legg til et minustegn.

Hvis tall med forskjellige fortegn er gitt,

For å finne summen deres er vi alle rett der.

Vi kan raskt velge en større modul.

Fra den trekker vi den minste.

Det viktigste er ikke å glemme skiltet!

Hvilken vil du sette? – Vi ønsker å spørre

Vi skal fortelle deg en hemmelighet, det kunne ikke vært enklere,

Skriv ned tegnet der modulen er større i svaret ditt.

Regler for å legge til positive og negative tall

Legg til minus til minus,

Du kan få et minus.

Hvis du legger sammen minus, pluss,

Vil det vise seg å være en flauhet?!

Du velger tegnet på tallet

Hvilken er sterkere, ikke gjespe!

Ta dem vekk fra modulene

Slutt fred med alle tallene!

Reglene for multiplikasjon kan tolkes på denne måten:

"Min venns venn er min venn": + ∙ + = + .

"Min fiendes fiende er min venn": ─ ∙ ─ = +.

«Vennen til min fiende er min fiende»: + ∙ ─ = ─.

«Min venns fiende er min fiende»: ─ ∙ + = ─.

Multiplikasjonstegnet er en prikk, det har tre tegn:

Dekk to av dem, den tredje vil gi svaret.

For eksempel.

Hvordan bestemme fortegnet til produktet 2∙(-3)?

La oss dekke pluss- og minustegnene med hendene våre. Det gjenstår et minustegn

Bibliografi

"Historien om den antikke verden", 5. klasse. Kolpakov, Selunskaya.

"Matematikkens historie i antikken", E. Kolman.

"Studenthåndbok." Forlag "VES", St. Petersburg. 2003

Flott matematisk leksikon. Yakusheva G.M. og så videre.

Vigasin A.A., Goder G.I., "History of the Ancient World," 5. klasses lærebok, 2001.

Wikipedia. Gratis leksikon.

Fremveksten og utviklingen av matematisk vitenskap: bok. For læreren. - M.: Utdanning, 1987.

Gelfman E.G. "Positive og negative tall", lærebok i matematikk for 6. trinn, 2001.

Hode. utg. M. D. Aksyonova. - M.: Avanta+, 1998.

Glazer G. I. "Historie om matematikk på skolen", Moskva, "Prosveshchenie", 1981

Barneleksikon "Jeg kjenner verden", Moskva, "Enlightenment", 1995.

Historie om matematikk i skolen, klassetrinn IV-VI. G.I. Glazer, Moskva, utdanning, 1981.

M.: Philol. LLC "WORD": OLMA-PRESS, 2005.

Malygin K.A.

Matematisk leksikon ordbok. M., Sov. leksikon, 1988.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. "Matematikk 6. klasse", Moskva, "Enlightenment", 1989

Lærebok 5. klasse. Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd.

Friedman L.M.. "Studying Mathematics", pedagogisk publikasjon, 1994.

F.eks. Gelfman et al., Positive og negative tall i Buratino-teatret. Matematikk lærebok for 6. klasse. 3. utgave, revidert, - Tomsk: Tomsk University Publishing House, 1998.

Leksikon for barn. T.11. Matematikk

De naturlige tallene, deres motsetninger og tallet 0 kalles heltall. Positive tall(heltall og brøker), negative tall(heltall og brøker) og tallet 0 danner en gruppe rasjonelle tall.

Rasjonelle tall er angitt med stor bokstav R. Tallet 0 refererer til rasjonelle heltall. Vi lærte om naturlige og brøk positive tall tidligere. La oss se nærmere på negative tall som en del av rasjonelle tall.

Et negativt tall har vært assosiert med ordet "gjeld" siden antikken, mens positivt tall kan assosieres med ordene "tilgjengelighet" eller "inntekt". Dette betyr at de positive heltallene og brøkene i beregninger er det vi har, og de negative heltallene og brøkene er det som utgjør gjelden. Resultatet av beregningen er følgelig differansen mellom tilgjengelig beløp og vår gjeld.

Negative heltall og brøker skrives med et minustegn ("-") foran tallet. Den numeriske verdien av et negativt tall er dets modul. Henholdsvis den absolutte verdien av et tall er verdien av et tall (både positivt og negativt) med et plusstegn. Den absolutte verdien av et tall skrevet slik: |2|; |-2|.

Hvert rasjonelt tall på tallinjen tilsvarer et enkelt punkt. La oss se på tallaksen (figuren under), marker et punkt på den OM.

Punkt OM la oss matche tallet 0. Tallet 0 fungerer som grensen mellom positive og negative tall: til høyre for 0 - positive tall, hvis verdi varierer fra 0 til pluss uendelig, og til venstre for 0 - negative tall, hvis verdi også varierer fra 0 til minus uendelig.

Regel. Ethvert tall til høyre for tallinjen er større enn tallet til venstre.

Basert på denne regelen øker positive tall fra venstre til høyre, og negative tall reduseres fra høyre til venstre (samtidig øker modulen til et negativt tall).

Egenskaper til tall på tallinjen

Hvert positivt tall og 0 er større enn ethvert negativt tall.

Hvert positivt tall er større enn 0. Hvert negativt tall er mindre enn 0.

Hvert negativt tall er mindre enn et positivt tall. Et positivt eller negativt tall til høyre er større enn et positivt eller negativt tall til venstre på tallinjen.

Definisjon. Tall som bare skiller seg fra hverandre i fortegn kalles motsatte tall.

For eksempel tallene 2 og -2, 6 og -6. -10 og 10. Motstående tall er plassert på tallaksen i motsatt retning fra punkt O, men i samme avstand fra det.

Brøktall, representert som brøker eller desimaler, følger de samme reglene på tallinjen som hele tall. Av to brøker er den til høyre på tallaksen større; negative brøker er mindre enn positive brøker; hver positiv brøkdel er større enn 0; hver negativ brøk er mindre enn 0.

Negative tall er plassert til venstre for null. For dem, som for positive tall, er en ordensrelasjon definert, som lar en sammenligne ett heltall med et annet.

For hvert naturlig tall n det er ett og bare ett negativt tall, angitt -n, som utfyller n til null: n + (− n) = 0 . Begge numrene kalles motsatte for hverandre. Å trekke fra et heltall en tilsvarer å legge det til med det motsatte: -en.

Egenskaper til negative tall

Negative tall følger nesten de samme reglene som naturlige tall, men har noen spesielle egenskaper.

Historisk skisse

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Håndbok i elementær matematikk. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
Glazer G.I. Historie om matematikk i skolen. - M.: Utdanning, 1964. - 376 s.

Linker

Wikimedia Foundation. 2010.

Se hva "negative tall" er i andre ordbøker:

Reelle tall mindre enn null, for eksempel 2; 0,5; π osv. Se nummer... Stor sovjetisk leksikon

- (verdier). Resultatet av påfølgende addisjoner eller subtraksjoner avhenger ikke av rekkefølgen disse handlingene utføres i. F.eks. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Ikke bare tallene 2 og 5 omorganiseres her, men også tegnene foran disse tallene. Enig... ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus og I.A. Ephron

tallene er negative- Tall i regnskap som er skrevet med rød blyant eller rød blekk. Emner: regnskap... Teknisk oversetterveiledning

NEGATIVE TALL- tall i regnskap som er skrevet med rød blyant eller rødt blekk... Flott regnskapsordbok

Settet med heltall er definert som lukkingen av settet med naturlige tall med hensyn til de aritmetiske operasjonene addisjon (+) og subtraksjon (). Dermed er summen, differansen og produktet av to heltall igjen heltall. Den består av... ... Wikipedia

Tall som oppstår naturlig ved telling (både i betydningen oppregning og i betydningen kalkulus). Det er to tilnærminger til å bestemme naturlige tall; tall brukt i: liste (nummerering) objekter (første, andre, ... ... Wikipedia

Koeffisienter E n i utvidelsen Den tilbakevendende formelen for E.-tallet har formen (i symbolsk notasjon, (E + 1)n + (E 1)n=0, E0 =1. I dette tilfellet, E 2n+1= 0, E4n er positive, E4n+2 negative heltall for alle n=0, 1, ...; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 ... Matematisk leksikon

Et negativt tall er et element i settet med negative tall, som (sammen med null) dukket opp i matematikk ved utvidelse av settet med naturlige tall. Hensikten med utvidelsen er å la subtraksjonsoperasjonen utføres på et hvilket som helst tall. Som et resultat... ... Wikipedia

Aritmetikk. Maleri av Pinturicchio. Leilighet Borgia. 1492 1495. Roma, Vatikanpalassene ... Wikipedia

Hans Sebald Beham. Aritmetikk. Aritmetikk fra 1500-tallet (gammelgresk ἀ ... Wikipedia

Bøker

Matematikk. 5. klasse. Pedagogisk bok og verksted. I 2 deler. Del 2. Positive og negative tall,. Læringsboka og verkstedet for 5. trinn er en del av læremateriellet i matematikk for 5.-6. trinn, utviklet av et forfatterteam ledet av E. G. Gelfman og M. A. Kholodnaya innenfor rammen av...

Velmyakina Kristina og Nikolaeva Evgenia

Dette forskningsarbeidet er rettet mot å studere bruken av positive og negative tall i menneskelivet.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

MBOU "Gymnasium nr. 1" i Kovylkinsky kommunedistrikt

Anvendelse av positive og negative tall i menneskelivet

Forskning

Fullført:

6B klasse elever

Velmyakina Kristina og Nikolaeva Evgenia

Leder: lærer i matematikk og informatikk

Sokolova Natalya Sergeevna

Kovylkino 2015

Innledning 2

1. Historien om fremveksten av positive og negative tall 4

2.Bruk av positive og negative tall 6

Konklusjon 13

Liste over brukt litteratur 14

Introduksjon

Innføringen av positive og negative tall var assosiert med behovet for å utvikle matematikk som en vitenskap som gir generelle metoder for å løse regneoppgaver, uavhengig av det spesifikke innholdet og innledende numeriske data.

Etter å ha studert positive og negative tall i matematikktimene, bestemte vi oss for å finne ut hvor andre enn matematikk disse tallene brukes. Og det viste seg at positive og negative tall har ganske bred anvendelse.

Dette forskningsarbeidet er rettet mot å studere bruken av positive og negative tall i menneskelivet.

Relevansen av dette emnet ligger i studiet av bruken av positive og negative tall.

Målet med arbeidet: Utforsk bruken av positive og negative tall i menneskelivet.

Studieobjekt:Anvendelsesområder for positive og negative tall i menneskelivet.

Studieemne:Positive og negative tall.

Forskningsmetode:lese og analysere brukt litteratur og observasjoner.

For å nå målet med studien ble følgende oppgaver satt:

1. Studer litteraturen om dette emnet.

2. Forstå essensen av positive og negative tall i menneskelivet.

3. Utforsk bruken av positive og negative tall i ulike felt.

4. Trekk konklusjoner.

Historien om positive og negative tall

Positive og negative tall dukket først opp i det gamle Kina for rundt 2100 år siden.

I det andre århundre. f.Kr e. Den kinesiske vitenskapsmannen Zhang Can skrev boken Arithmetic in Nine Chapters. Av innholdet i boken er det tydelig at dette ikke er et helt selvstendig verk, men en omarbeiding av andre bøker skrevet lenge før Zhang Can. I denne boken møter man negative størrelser for første gang i vitenskapen. De blir forstått annerledes enn måten vi forstår og anvender dem på. Han har ikke en fullstendig og klar forståelse av naturen til negative og positive størrelser og reglene for å operere med dem. Han forsto hvert negativt tall som en gjeld, og hvert positivt tall som eiendom. Han utførte operasjoner med negative tall ikke på samme måte som vi gjør, men ved å bruke resonnement om gjeld. Hvis du for eksempel legger til en annen gjeld til en gjeld, er resultatet gjeld, ikke eiendom (dvs. i henhold til vår (- a) + (- a) = - 2a. Minustegnet var ikke kjent da, derfor i For å skille tallene , som uttrykker gjeld, skrev Zhan Can dem med en annen blekk enn tallene som uttrykker eiendom (positiv). Positive mengder i kinesisk matematikk ble kalt "chen" og avbildet i rødt, og negative mengder ble kalt "fu" og ble avbildet i svart. Denne representasjonsmetoden ble brukt i Kina frem til midten av 1100-tallet, inntil Li Ye foreslo en mer praktisk betegnelse for negative tall - tallene som avbildet negative tall ble krysset ut diagonalt fra høyre til venstre. Selv om kinesisk forskere forklarte negative mengder som gjeld, og positive mengder som eiendom, de unngikk fortsatt det brede ved å bruke dem, siden disse tallene virket uforståelige, handlingene med dem var uklare. Hvis problemet førte til en negativ løsning, prøvde de å erstatte tilstanden (som grekerne) slik at man til slutt ville få en positiv løsning. I V-VI århundrene dukket negative tall opp og spredte seg veldig mye i indisk matematikk. I motsetning til Kina var reglene for multiplikasjon og divisjon allerede kjent i India. I India ble negative tall brukt systematisk, omtrent som vi gjør nå. Allerede i arbeidet til den fremragende indiske matematikeren og astronomen Brahmagupta (598 - ca. 660) leser vi: «eiendom og eiendom er eiendom, summen av to gjeld er en gjeld; summen av eiendom og null er eiendom; summen av to nuller er null... Gjeld, som trekkes fra null, blir eiendom, og eiendom blir til gjeld. Hvis det er nødvendig å ta bort eiendom fra gjeld, og gjeld fra eiendom, så tar de summen deres."

"+" og "-" tegn ble mye brukt i handel. Vinprodusenter setter et "-"-tegn på tomme fat, noe som indikerer nedgang. Hvis fatet var fylt, ble tegnet krysset ut og et "+"-tegn ble mottatt, som betyr fortjeneste. Disse tegnene ble introdusert som matematiske av Jan Widmann i XV.

I europeisk vitenskap kom negative og positive tall endelig i bruk bare siden den franske matematikeren R. Descartes (1596 - 1650) tid, som ga en geometrisk tolkning av positive og negative tall som rettede segmenter. I 1637 innførte han "koordinatlinjen".

I 1831 underbygget Gauss fullt ut at negative tall er helt like i rettigheter til positive, og det faktum at de ikke kan brukes i alle tilfeller spiller ingen rolle.

Historien om fremveksten av negative og positive tall slutter på 1800-tallet da William Hamilton og Hermann Grassmann skapte en fullstendig teori om positive og negative tall. Fra dette øyeblikket begynner historien om utviklingen av dette matematiske konseptet.

Bruke positive og negative tall

Medisin

Nærsynthet og langsynthet

Negative tall uttrykker øyepatologi. Nærsynthet (nærsynthet) manifesteres ved redusert synsskarphet. For at øyet skal se fjerne objekter tydelig ved nærsynthet, brukes divergerende (negative) linser.Nærsynthet (-), langsynthet (+).

Langsynthet (hyperopi) er en type øyebrytning der bildet av et objekt er fokusert ikke på et bestemt område av netthinnen, men i planet bak det. Denne tilstanden til det visuelle systemet fører til uskarpe bilder som oppfattes av netthinnen.

Årsaken til langsynthet kan være et forkortet øyeeplet, eller svak brytningskraft i øyets optiske media. Ved å øke den kan du sikre at strålene vil fokusere der de fokuserer under normalt syn.

Med alderen blir synet, spesielt nærsynet, stadig dårligere på grunn av en reduksjon i øyets akkommodasjonsevne på grunn av aldersrelaterte endringer i linsen - linsens elastisitet reduseres, musklene som holder den svekkes, og som et resultat , synet reduseres. Det er hvorforaldersrelatert langsynthet (presbyopi ) er tilstede hos nesten alle mennesker etter 40–50 år.

Ved lave grader av langsynthet opprettholdes vanligvis godt syn både på avstand og nærhet, men det kan være klager på tretthet, hodepine og svimmelhet. Ved moderat hypermetropi forblir avstandssynet godt, men nærsyn er vanskelig. Med høy langsynthet er det dårlig syn både langt og nært, siden alle øyets muligheter til å fokusere bilder av selv fjerne objekter på netthinnen er uttømt.

Langsynthet, inkludert aldersrelatert, kan bare oppdages med forsiktighetdiagnostisk undersøkelse (med medisinsk utvidelse av pupillen slapper linsen av og øyets sanne brytning vises).

Nærsynthet er en øyesykdom der en person har problemer med å se gjenstander som befinner seg langt unna, men ser gjenstander som er i nærheten godt. Nærsynthet kalles også nærsynthet.

Det antas at rundt åtte hundre millioner mennesker er nærsynte. Alle kan lide av nærsynthet: både voksne og barn.

Øynene våre inneholder en hornhinne og en linse. Disse komponentene i øyet er i stand til å overføre stråler ved å bryte dem. Og et bilde vises på netthinnen. Dette bildet blir da nerveimpulser og overføres langs synsnerven til hjernen.

Hvis hornhinnen og linsen bryter strålene slik at fokus er på netthinnen, vil bildet være klart. Derfor vil personer uten øyesykdommer se godt.

Med nærsynthet virker bildet uskarpt og uklart. Dette kan skje av følgende årsaker:

– hvis øyet forlenges mye, beveger netthinnen seg bort fra det stabile fokusstedet. Hos personer med nærsynthet når øyet tretti millimeter. Og hos en normal frisk person er størrelsen på øyet tjuetre til tjuefire millimeter; - hvis linsen og hornhinnen bryter lysstrålene for mye.

Ifølge statistikken lider hver tredje person på jorden av nærsynthet, det vil si nærsynthet. Det er vanskelig for slike mennesker å se gjenstander som er langt fra dem. Men på samme tid, hvis en bok eller notatbok er plassert nær øynene til en person som er nærsynt, vil han se disse gjenstandene godt.

2) Termometre

La oss se på skalaen til et vanlig gatetermometer.

Den har formen vist på skala 1. Bare positive tall er trykt på den, og derfor, når du angir den numeriske verdien av temperaturen, er det nødvendig å i tillegg forklare 20 grader Celsius (over null). Dette er upraktisk for fysikere - du kan tross alt ikke sette ord på en formel! Derfor brukes i fysikk en skala med negative tall (skala 2).

3) Balanse på telefonen

Når du sjekker saldoen på telefonen eller nettbrettet ditt, kan du se et nummer med tegn (-), dette betyr at denne abonnenten har en gjeld og ikke kan ringe før han fyller på kontoen sin, et nummer uten tegn (-) betyr at han kan ringe eller lage en hvilken som helst -eller annen funksjon.

Havnivå

La oss se på det fysiske kartet over verden. Landområdene på den er malt i ulike nyanser av grønt og brunt, og hav og hav er malt i blått og blått. Hver farge har sin egen høyde (for land) eller dybde (for hav og hav). En skala over dybder og høyder er tegnet på kartet, som viser hvilken høyde (dybde) en bestemt farge betyr, for eksempel dette:

Skala for dybder og høyder i meter

Deeper 5000 2000 200 0 200 1000 2000 4000 høyere

På denne skalaen ser vi bare positive tall og null. Høyden (og dybden også) der overflaten av vannet i verdenshavet befinner seg, tas som null. Å bruke bare ikke-negative tall i denne skalaen er upraktisk for en matematiker eller fysiker. Fysikeren kommer opp med en slik skala.

Høydeskala i meter

Mindre -5000 -2000 -200 0 200 1000 2000 4000 mer

Ved å bruke en slik skala er det nok å indikere tallet uten noen ekstra ord: positive tall tilsvarer forskjellige steder på land som ligger over overflaten av havet; negative tall tilsvarer punkter under havoverflaten.

I høydeskalaen vi vurderte, er høyden på vannoverflaten i Verdenshavet tatt som null. Denne skalaen brukes i geodesi og kartografi.

I kontrast, i hverdagen tar vi vanligvis høyden på jordoverflaten (på stedet der vi er) som null høyde.

5) Menneskelige egenskaper

Hver person er individuell og unik! Det er imidlertid ikke alltid vi tenker på hvilke karaktertrekk som definerer oss som person, hva som tiltrekker folk til oss og hva som frastøter oss. Identifiser positive og negative egenskaper til en person. For eksempel er positive egenskaper aktivitet, adel, dynamikk, mot, foretak, besluttsomhet, uavhengighet, mot, ærlighet, energi, negative egenskaper, aggressivitet, hett temperament, konkurranseevne, kritikkverdighet, stahet, egoisme.

6) Fysikk og kam

Legg flere små stykker silkepapir på bordet. Ta en ren, tørr plastkam og kjør den gjennom håret 2-3 ganger. Når du gre håret, bør du høre en lett knitrende lyd. Flytt deretter kammen sakte mot papirlappene. Du vil se at de først blir tiltrukket av kammen og deretter frastøtt fra den.

Den samme kammen kan tiltrekke seg vann. Denne attraksjonen er lett å observere hvis du tar med en kam til en tynn vannstrøm som strømmer rolig fra en kran. Du vil se at bekken er merkbart bøyd.

Rull nå opp to rør 2-3 cm lange fra tynt papir (gjerne silkepapir). og en diameter på 0,5 cm. Heng dem side ved side (slik at de lett berører hverandre) på silketråder. Etter å ha kjemmet håret, berører du papirrørene med kammen - de vil umiddelbart bevege seg fra hverandre og forbli i denne posisjonen (det vil si at trådene vil bli avbøyd). Vi ser at rørene frastøter hverandre.

Hvis du har en glassstang (eller rør, eller reagensrør) og et stykke silkestoff, så kan forsøkene fortsettes.

Gni pinnen på silken og før den til papirlappene - de vil begynne å "hoppe" på pinnen på samme måte som på kammen, og deretter gli av den. Vannstrømmen avledes også av glassstangen, og papirrørene du berører med stangen frastøter hverandre.

Ta nå en pinne, som du rørte med en kam, og det andre røret, og ta det til hverandre. Du vil se at de er tiltrukket av hverandre. Så i disse eksperimentene manifesteres attraktive og frastøtende krefter. I eksperimenter så vi at ladede objekter (fysikere sier ladede kropper) kan bli tiltrukket av hverandre, og kan også frastøte hverandre. Dette forklares med at det er to typer, to typer elektriske ladninger, og ladninger av samme type frastøter hverandre, og ladninger av forskjellige typer tiltrekker seg.

7) Telletid

Det er forskjellig i forskjellige land. For eksempel, i det gamle Egypt, hver gang en ny konge begynte å regjere, begynte tellingen av år på nytt. Det første året av kongens regjering ble betraktet som det første året, det andre - det andre, og så videre. Da denne kongen døde og en ny kom til makten, begynte det første året igjen, så det andre, det tredje. Opptellingen av år som ble brukt av innbyggerne i en av de eldste byene i verden, Roma, var annerledes. Romerne anså året byen ble grunnlagt for å være det første, det neste året som det andre, og så videre.

Tellingen av år som vi bruker oppsto for lenge siden og er assosiert med æren av Jesus Kristus, grunnleggeren av den kristne religion. Å telle år fra Jesu Kristi fødsel ble gradvis adoptert i forskjellige land.I vårt land ble det introdusert av tsar Peter den store for tre hundre år siden. Vi kaller tiden beregnet fra Kristi fødsel for VÅR ERA (og vi skriver den i forkortet form NE). Vår tidsalder varer i to tusen år. Tenk på "tidslinjen" i figuren.

Foundation Beginning Første omtale av Moskva-fødselen til A. S. Pushkin

Roma opprør

Spartak

Konklusjon

Ved å jobbe med ulike kilder og studere ulike fenomener og prosesser fant vi ut at negative og positive brukes i medisin, fysikk, geografi, historie, i moderne kommunikasjonsmidler, i studiet av menneskelige egenskaper og andre områder av menneskelig aktivitet. Dette emnet er relevant og er mye brukt og aktivt brukt av mennesker.

Denne aktiviteten kan brukes i mattetimer for å motivere elevene til å lære om positive og negative tall.

Bibliografi

Vigasin A.A., Goder G.I., "History of the Ancient World", 5. klasses lærebok, 2001.
Vygovskaya V.V. "Leksjonsbasert utvikling i matematikk: 6. klasse" - M.: VAKO, 2008.
Avis "Matematikk" nr. 4, 2010.
Gelfman E.G. «Positive og negative tall», lærebok i matematikk for 6. klasse, 2001.

Vi vet at hvis vi legger til to eller flere naturlige tall, blir resultatet et naturlig tall. Hvis du multipliserer naturlige tall med hverandre, blir resultatet alltid naturlige tall. Hvilke tall blir resultatet hvis du trekker et annet naturlig tall fra ett naturlig tall? Hvis du trekker et mindre tall fra et større naturlig tall, vil resultatet også være et naturlig tall. Hvilket tall blir hvis du trekker det største tallet fra det mindre tallet? For eksempel hvis vi trekker 7 fra 5. Resultatet av en slik handling vil ikke lenger være et naturlig tall, men vil være et tall mindre enn null, som vi vil skrive som et naturlig tall, men med et minustegn, så -kalt negativt naturlig tall. I denne leksjonen skal vi lære om negative tall. Derfor utvider vi settet med naturlige tall ved å legge til "0" og negative heltall til det. Det nye utvidede settet vil bestå av tall:

…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Disse tallene kalles heltall. Derfor vil resultatet av vårt eksempel 5 -7 = -2 være et heltall.

Definisjon. Heltall er naturlige tall, negative naturlige tall og tallet "0".

Vi ser et bilde av dette settet på et termometer for måling av utetemperatur.

Temperaturen kan være "minus", dvs. negativ, kanskje med et "pluss" dvs. positivt. En temperatur på 0 grader er verken positiv eller negativ, tallet 0 er grensen som skiller positive tall fra negative.

La oss plotte heltallene på talllinjen.

Aksetegning

Vi ser at det er et uendelig antall tall på tallinja. Positive og negative tall er atskilt med null. Negative heltall, for eksempel -1, leses som "minus en" eller "negativ en".

Positive heltall, for eksempel "+3" leses som positive 3 eller bare "tre", det vil si at for positive (naturlige) tall skrives ikke "+"-tegnet og ordet "positivt" uttales ikke.

Eksempler: merk +5, +6, -7, -3, -1, 0 osv. på talllinjen.

Når du beveger deg til høyre langs tallaksen, øker tallene, og når du beveger deg mot venstre, reduseres de. Hvis vi vil øke et tall med 2, beveger vi oss til høyre langs koordinataksen med 2 enheter. Eksempel: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 osv. Omvendt, hvis vi ønsker å redusere tallet med 3, vil vi flytte til venstre med 3 enheter. For eksempel: 6-3=3; 3-3=0; 0-3=-3; etc.

1. Prøv å øke tallet (-4) i 3 trinn, øk med 2 enheter hver gang.

Beveger vi oss langs tallaksen som vist på figuren får vi 2 som resultat.

2. Reduser tallet 6 i seks trinn, reduser det med 2 enheter for hvert trinn.

3. Øk tallet (-1) i tre trinn, øk det med 4 enheter for hvert trinn.

Ved å bruke koordinatlinjen er det enkelt å sammenligne heltall: av to tall er det større den som er plassert til høyre på koordinatlinjen, og den mindre er den som er til venstre.

4. Sammenlign tall med > eller< , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:

3 og 2; 0 og -5; -34 og -67; -72 og 0 osv.

5. Husk hvordan vi markerte punkter med naturlige koordinater på koordinatstrålen. Prikker kalles vanligvis med store latinske bokstaver. Tegn en koordinatlinje, og ta et praktisk enhetssegment, tegn punkter med koordinater:

A) A(10),B(20),C(30),M(-10),N(-20)
B) C (100), B (200), K (300), F (-100)
B) U(1000),E(2000),R(-3000)

6. Skriv ned alle heltallene mellom -8 og 5, mellom -15 og -7, mellom -1 og 1.

Ved sammenligning av tall må vi kunne svare med hvor mange enheter ett tall er større eller mindre enn et annet.

La oss tegne en koordinatlinje. La oss tegne punkter på den med koordinater fra -5 til 5. Tallet 3 er to enheter mindre enn 5, en mindre enn 4 og 3 enheter mer enn null. Tallet -1 er en mindre enn null, og 2 enheter mer enn -3.

7. Svar på hvor mange enheter:

3 er mindre enn 4; -2 er mindre enn 3; -5 er mindre enn -4; 2 er større enn -1; 0 mer enn -5; 4 over -1

8. Tegn en koordinatlinje. Skriv ned 7 tall, som hver er 2 enheter mindre enn det forrige, og start med 6. Hva er det siste tallet i denne serien? Hvor mange slike tall kan det være dersom antallet nedskrivne tall ikke er begrenset?

9. Skriv ned 10 tall, som hver er 3 enheter mer enn den forrige, og begynner med (-6). Hvor mange slike tall kan eksistere hvis serien ikke er begrenset til ti?

Motsatte tall.

På talllinjen, for hvert positivt tall (eller naturlig tall), er det et negativt tall plassert til venstre for null i samme avstand. For eksempel: 3 og -3; 7 og -7; 11 og -11.

De sier at tallet -3 er det motsatte av tallet 3, og omvendt, -3 er det motsatte av 3.

Definisjon: To tall som skiller seg fra hverandre bare i fortegn kalles motsatte.

Vi vet at hvis vi multipliserer et tall med +1, vil ikke tallet endres. Og hvis tallet multipliseres med (-1), hva skjer? Dette nummeret vil endre fortegn. For eksempel, hvis 7 multipliseres med (-1) eller negativ én, blir resultatet (-7), tallet blir negativt. Hvis (-10) multipliseres med (-1), får vi (+10), dvs. vi får allerede et positivt tall. Dermed ser vi at motsatte tall oppnås ved ganske enkelt å multiplisere det opprinnelige tallet med (-1). Vi ser på tallaksen at for hvert tall er det kun ett motsatt tall. For eksempel, for (4) vil det motsatte være (-4), for tallet (-10) vil det motsatte være (+10). La oss prøve å finne det motsatte tallet av null. Han er borte. De. 0 er det motsatte av seg selv.

La oss nå se på tallaksen, hva skjer hvis du legger til 2 motsatte tall. Vi får at summen av motsatte tall er 0.

1. Spill: La spillefeltet deles i to i to felt: venstre og høyre. Det går en skillelinje mellom dem. Det er tall på banen. Å gå gjennom linjen betyr å multiplisere med (-1), ellers når du passerer gjennom delelinjen, blir tallet det motsatte.

La det venstre feltet inneholde tallet (5). Hvilket tall blir (5) til hvis femeren krysser delelinjen én gang? 2 ganger? 3 ganger?

2. Fyll ut følgende tabell:

3. Velg motsatte par fra en rekke par. Hvor mange par av disse har du fått?

9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.

Legge til og subtrahere heltall.

Addisjon (eller "+"-tegnet) betyr å flytte til høyre på en talllinje.

1+3 = 4

-1 + 4 = 3
-3 + 2 = -1

Subtraksjon (eller tegnet "-") betyr å flytte til venstre på en talllinje

3 – 2 = 1
2 – 4 = -2
3 – 6 = -3
-3 + 5 = 2
-2 – 5 = -7
-1 + 6 = 5
1 – 4 = -3

Løs følgende eksempler ved å bruke talllinjen:

-3+1=
2)-4-1=
-5-1=
-2-7=
-1+3=
-1-4=
-6+7=

I det gamle Kina, når man komponerte ligninger, ble koeffisientene til minuends og subtrahends skrevet i antall forskjellige farger. Fortjeneste ble angitt i rødt, og tap - i blått. Eksempel, vi solgte 3 okser og kjøpte 2 hester. La oss se på et annet eksempel: husmoren brakte poteter til markedet og solgte dem for 300 rubler, vi vil legge disse pengene til husmorens eiendom og skrive dem som +300 (rød), og så brukte hun 100 rubler (vi vil skrive disse pengene som (-100)( blå). Dermed viste det seg at husmoren kom tilbake fra markedet med en fortjeneste på 200 rubler (eller +200). Ellers ble tall skrevet med rød maling alltid lagt til, og de skrevet med blå maling ble trukket fra. I analogi vil vi bruke blå maling for å betegne negative tall.

Dermed kan vi betrakte alle positive tall som gevinster, og negative tall som tap eller gjeld eller tap.

Eksempel: -4 + 9 = +5 Resultatet (+5) kan betraktes som en seier i ethvert spill; etter først å ha tapt 4 poeng og deretter vunnet 9 poeng, vil resultatet være en seier på 5 poeng. Løs følgende problemer:

11. I lotto-spillet vant Petya først 6 poeng, tapte deretter 3 poeng, så igjen 2 poeng, og tapte deretter 5 poeng. Hva er resultatet av Petyas spill?

12 (*). Mamma la søtsaker i en vase. Masha spiste 4 godteri, Misha spiste 5 godteri, Olya spiste 3 godteri. Mamma la 10 karameller til i vasen, og det var 12 karameller i vasen. Hvor mange godteri var det i bollen først?

13. I huset går en trapp fra kjeller til andre etasje. Trappen består av to trapper på 15 trinn hver (en fra kjelleren til første etasje, og den andre fra første etasje til andre). Petya var i første etasje. Først gikk han opp trappene 7 trinn opp, og gikk deretter ned 13 trinn. Hvor var Petya?

14. Gresshoppen hopper langs tallaksen. Ett gresshoppehopp er 3 divisjoner på aksen. Gresshoppen gjør først 3 hopp til høyre, og deretter 5 hopp til venstre. Hvor vil gresshoppen havne etter disse hoppene, hvis han først var i 1) “+1”; 2) “-6”; 3) “0”; 4) “+5”; 5) “-2”; 6 ) "+ 3"; 7) "-1".

Til nå har vi blitt vant til at de aktuelle tallene svarte på spørsmålet «hvor mye». Men negative tall kan ikke være svaret på spørsmålet "hvor mye." I en daglig forstand er negative tall assosiert med gjeld, tap, med slike handlinger som underdrift, underhopping, undervekt, etc. I alle disse tilfellene trekker vi ganske enkelt fra gjelden, tapet, undervekten. For eksempel,

Til spørsmålet "Hva er "tusen uten 100"?", må vi trekke 100 fra 1000 og få 900.
Uttrykket «3 timer til et kvarter» betyr at vi må trekke 15 minutter fra 3 timer. Dermed får vi 2 timer 45 minutter.

Løs nå følgende problemer:

15. Sasha kjøpte 200g. olje, men den skruppelløse selgeren undervektet 5 gram. Hvor mye smør kjøpte Sasha?

16. Ved en løpedistanse på 5 km. Volodya forlot løpet før han nådde målstreken på 200m. Hvor langt løp Volodya?

17. Når du fylte en tre-liters krukke med juice, tilsatte ikke mamma 100 ml juice. Hvor mye juice var det i glasset?

18. Filmen skal starte klokken tjue minutter i åtte. hvor mange minutter Når og når skal filmen starte?

19. Tanya hadde 200 rubler. og hun skylder Petya 50 rubler. Etter at hun betalte ned gjelden, hvor mye penger hadde Tanya igjen?

20. Petya og Vanya dro til butikken. Petya ønsket å kjøpe en bok for 5 rubler. Men han hadde bare 3 rubler, så han lånte 2 rubler fra Vanya og kjøpte en bok. Hvor mye penger hadde du etter å ha kjøpt fra Petya?

3 - 5 = -2 (fra det han hadde før kjøpet, trekk kjøpesummen, vi får -2 rubler, det vil si to rubler med gjeld).

21. På dagtid var lufttemperaturen 3°C eller +3°, og om natten 4°F eller -4°. Hvor mange grader falt temperaturen? Og hvor mange grader er natttemperaturen lavere enn dagtemperaturen?

22. Tanya sa ja til å møte Volodya kvart på sju. Når og når ble de enige om å møtes?

23. Tim og en venn dro til butikken for å kjøpe en bok som kostet 97 rubler. Men da de kom til butikken, viste det seg at boken hadde steget i pris og begynte å koste 105 rubler. Tim lånte det manglende beløpet av en venn og kjøpte likevel boken. Hvor mye penger skyldte Tim vennen sin?