Vi vil vurdere multiplikasjonen av vanlige brøker i flere mulige alternativer.
Multiplisere en vanlig brøk med en brøk
Dette er det enkleste tilfellet der du må bruke følgende regler for multiplikasjon av brøker.
Til multipliser brøk for brøk, nødvendig:
- multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken og skriv produktet deres inn i telleren til den nye brøken;
- multipliser nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken og skriv produktet inn i nevneren til den nye brøken;
- Legge til brøker med like nevnere
- Legge til brøker med forskjellige nevnere
Før du multipliserer tellere og nevnere, sjekk om brøkene kan reduseres. Å redusere brøker i beregninger vil gjøre beregningene dine mye enklere.
Multiplisere en brøk med et naturlig tall
For å lage en brøk multiplisere med et naturlig tall Du må gange telleren til brøken med dette tallet, og la brøkens nevner være uendret.
Hvis resultatet av multiplikasjon resulterer i en uekte brøk, ikke glem å gjøre det om til et blandet tall, det vil si fremheve hele delen.
Multiplisere blandede tall
For å multiplisere blandede tall, må du først gjøre dem om til uekte brøker og deretter multiplisere i henhold til regelen for å multiplisere vanlige brøker.
En annen måte å multiplisere en brøk med et naturlig tall
Noen ganger når du gjør beregninger, er det mer praktisk å bruke en annen metode for å multiplisere en vanlig brøk med et tall.
For å multiplisere en brøk med et naturlig tall, må du dele nevneren til brøken på dette tallet, og la telleren være den samme.
Som man kan se fra eksempelet, er denne versjonen av regelen mer praktisk å bruke hvis nevneren til brøken er delelig med et naturlig tall uten en rest.
Operasjoner med brøker
Legge til brøker med like nevnere
Det er to typer addisjon av brøker:
La oss først lære addisjonen av brøker med like nevnere. Alt er enkelt her. For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere og la nevneren være uendret. La oss for eksempel legge til brøkene og . Legg til tellerne og la nevneren være uendret:
Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i fire deler. Legger du pizza til pizza, får du pizza:
Eksempel 2. Legg til brøker og .
Igjen legger vi sammen tellerne og lar nevneren være uendret:
Svaret viste seg å være en upassende brøkdel. Når slutten av oppgaven kommer, er det vanlig å kvitte seg med upassende brøker. For å bli kvitt en upassende brøkdel, må du velge hele delen av den. I vårt tilfelle er hele delen lett isolert - to delt på to er lik en:
Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker om en pizza som er delt i to deler. Legger du til mer pizza i pizzaen, får du en hel pizza:
Eksempel 3. Legg til brøker og .
Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i tre deler. Legger du til mer pizza i pizzaen får du pizza:
Eksempel 4. Finn verdien av et uttrykk 
Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Tellerne må legges til og nevneren holdes uendret:
La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Legger du pizza til en pizza og legger til flere pizzaer, får du 1 hel pizza og flere pizzaer.
Som du kan se, er det ikke noe komplisert ved å legge til brøker med samme nevnere. Det er nok å forstå følgende regler:
- For å legge til brøker med samme nevner, må du legge til deres tellere og la nevneren være den samme;
- Hvis svaret viser seg å være en upassende brøkdel, må du markere hele delen av det.
- Finn LCM for nevnerne til brøker;
- Del LCM med nevneren for hver brøk og få en ekstra faktor for hver brøk;
- Multipliser tellerne og nevnerne til brøker med tilleggsfaktorene deres;
- Legg til brøker som har samme nevnere;
- Hvis svaret viser seg å være en uekte brøk, velg hele delen;
- Å trekke fra brøker med like nevnere
- Å trekke fra brøker med forskjellige nevnere
Legge til brøker med forskjellige nevnere
La oss nå lære hvordan du legger til brøker med forskjellige nevnere. Når du legger til brøker, må nevnerne til brøkene være de samme. Men de er ikke alltid like.
For eksempel kan brøker legges til fordi de har de samme nevnerne.
Men brøker kan ikke legges til med en gang, siden disse brøkene har forskjellige nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.
Det er flere måter å redusere brøker til samme nevner. I dag skal vi se på bare en av dem, siden de andre metodene kan virke kompliserte for en nybegynner.
Essensen av denne metoden er at vi først ser etter det minste felles multiplum (LCM) av nevnerne til begge brøkene. LCM deles deretter med nevneren til den første brøken for å oppnå den første tilleggsfaktoren. De gjør det samme med den andre brøken - LCM deles på nevneren til den andre brøken og en andre tilleggsfaktor oppnås.
Tellerne og nevnerne til brøkene multipliseres deretter med tilleggsfaktorene deres. Som et resultat av disse handlingene blir brøker som hadde forskjellige nevnere til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker.
Eksempel 1. La oss legge til brøkene og
Disse brøkene har forskjellige nevnere, så du må redusere dem til samme (felles) nevner.
Først og fremst finner vi det minste felles multiplum av nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Minste felles multiplum av disse tallene er 6
LCM (2 og 3) = 6
La oss nå gå tilbake til brøker og . Del først LCM med nevneren til den første brøken og få den første tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 6 med 3, vi får 2.
Det resulterende tallet 2 er den første tilleggsmultiplikatoren. Vi skriver det ned til første brøk. For å gjøre dette, lag en liten skrå linje over brøken og skriv ned tilleggsfaktoren som finnes over den:
Vi gjør det samme med den andre brøken. Vi deler LCM med nevneren til den andre brøken og får den andre tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Del 6 med 2, vi får 3.
Det resulterende tallet 3 er den andre tilleggsmultiplikatoren. Vi skriver det ned til den andre brøken. Igjen lager vi en liten skrå linje over den andre brøken og skriver ned tilleggsfaktoren som finnes over den:
Nå har vi alt klart for tillegg. Det gjenstår å multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene med deres tilleggsfaktorer:
Se nøye på hva vi har kommet frem til. Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevnere ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker. La oss ta dette eksemplet til slutten:
Dette fullfører eksemplet. Det viser seg å legge til .
La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Legger du pizza til en pizza, får du en hel pizza og ytterligere en sjettedel av en pizza:
Å redusere brøker til samme (felles)nevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å redusere brøkene og til en fellesnevner, fikk vi brøkene og . Disse to brøkene vil bli representert av de samme stykkene pizza. Den eneste forskjellen vil være at de denne gangen deles i like deler (redusert til samme nevner).
Den første tegningen representerer en brøk (fire stykker av seks), og den andre tegningen representerer en brøk (tre stykker av seks). Ved å legge til disse brikkene får vi (syv av seks). Denne brøkdelen er upassende, så vi fremhevet hele delen av den. Som et resultat fikk vi (en hel pizza og en annen sjette pizza).
Vær oppmerksom på at vi har beskrevet dette eksemplet for mye detaljert. I utdanningsinstitusjoner er det ikke vanlig å skrive så detaljert. Du må raskt kunne finne LCM for både nevnerne og tilleggsfaktorene til dem, samt raskt multiplisere de funnet tilleggsfaktorene med tellerne og nevnerne dine. Hvis vi var på skolen, ville vi måtte skrive dette eksemplet som følger:
Men det er også en annen side ved mynten. Hvis du ikke tar detaljerte notater i de første stadiene av å studere matematikk, begynner slike spørsmål å dukke opp. "Hvor kommer det tallet fra?", "Hvorfor blir brøker plutselig til helt andre brøker? «.
For å gjøre det enklere å legge til brøker med forskjellige nevnere, kan du bruke følgende trinnvise instruksjoner:
Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk 
.
La oss bruke diagrammet vi ga ovenfor.
Trinn 1. Finn LCM for nevnerne til brøkene
Finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevnerne til brøkene er tallene 2, 3 og 4. Du må finne LCM for disse tallene:
Trinn 2. Del LCM med nevneren for hver brøk og få en tilleggsfaktor for hver brøk
Del LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 2. Del 12 med 2, vi får 6. Vi fikk den første tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den første brøken:
Nå deler vi LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 12 med 3, vi får 4. Vi får den andre tilleggsfaktoren 4. Vi skriver den over den andre brøken:
Nå deler vi LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den tredje brøken er tallet 4. Del 12 med 4, vi får 3. Vi får den tredje tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den tredje brøken:
Trinn 3. Multipliser tellerne og nevnerne til brøkene med tilleggsfaktorene deres
Vi multipliserer tellerne og nevnerne med tilleggsfaktorene deres:
Trinn 4. Legg til brøker med samme nevnere
Vi kom frem til at brøker som hadde ulike nevnere ble til brøker som hadde samme (felles)nevnere. Alt som gjenstår er å legge til disse brøkene. Legg sammen:
Addisjonen passet ikke på én linje, så vi flyttet det gjenværende uttrykket til neste linje. Dette er tillatt i matematikk. Når et uttrykk ikke passer på en linje, flyttes det til neste linje, og det er nødvendig å sette et likhetstegn (=) på slutten av den første linjen og i begynnelsen av den nye linjen. Likhetstegnet på den andre linjen indikerer at dette er en fortsettelse av uttrykket som var på den første linjen.
Trinn 5. Hvis svaret viser seg å være en upassende brøk, markerer du hele delen
Svaret vårt viste seg å være en upassende brøkdel. Vi må fremheve en hel del av det. Vi fremhever:
Vi fikk svar
Å trekke fra brøker med like nevnere
Det er to typer subtraksjon av brøker:
Først, la oss lære hvordan du trekker fra brøker med like nevnere. Alt er enkelt her. For å trekke en annen fra en brøk, må du trekke telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, men la nevneren være den samme.
La oss for eksempel finne verdien av uttrykket . For å løse dette eksemplet må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være den samme. La oss gjøre dette:
Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i fire deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:
Eksempel 2. Finn verdien av uttrykket.
Igjen, fra telleren til den første brøken, trekk fra telleren til den andre brøken, og la nevneren være den samme:
Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i tre deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:
Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk 
Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Fra telleren til den første brøken må du trekke fra tellerne til de gjenværende brøkene:
Svaret var en uekte brøk. Hvis eksemplet er fullført, er det vanlig å kvitte seg med den upassende brøkdelen. La oss bli kvitt den uekte brøken i svaret. For å gjøre dette, la oss velge hele delen:
Som du kan se, er det ikke noe komplisert ved å trekke fra brøker med de samme nevnerne. Det er nok å forstå følgende regler:
Å trekke fra brøker med forskjellige nevnere
For eksempel kan du trekke en brøk fra en brøk fordi brøkene har samme nevnere. Men du kan ikke trekke en brøk fra en brøk, siden disse brøkene har forskjellige nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.
Fellesnevneren er funnet ved å bruke samme prinsipp som vi brukte når vi adderte brøker med forskjellige nevnere. Først av alt, finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Deretter divideres LCM med nevneren til den første brøken og den første tilleggsfaktoren oppnås, som er skrevet over den første brøken. På samme måte deles LCM med nevneren til den andre brøken og en andre tilleggsfaktor oppnås, som er skrevet over den andre brøken.
Brøkene multipliseres deretter med tilleggsfaktorene. Som et resultat av disse operasjonene konverteres brøker som hadde forskjellige nevnere til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker.
Eksempel 1. Finn betydningen av uttrykket:
Først finner vi LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 4. Minste felles multiplum av disse tallene er 12
LCM (3 og 4) = 12
La oss nå gå tilbake til brøker og
La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. For å gjøre dette, del LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 12 med 3, vi får 4. Skriv en firer over den første brøken:
Vi gjør det samme med den andre brøken. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren for den andre brøken er tallet 4. Del 12 med 4, vi får 3. Skriv en treer over den andre brøken:
Nå er vi klare for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:
Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevner ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker. La oss ta dette eksemplet til slutten:
Vi fikk svar
La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza
Dette er den detaljerte versjonen av løsningen. Hvis vi var på skolen, måtte vi løse dette eksempelet kortere. En slik løsning vil se slik ut:
Å redusere brøker til en fellesnevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å redusere disse brøkene til en fellesnevner, fikk vi brøkene og . Disse brøkene vil være representert av de samme pizzaskivene, men denne gangen deles de i like deler (redusert til samme nevner):
Det første bildet viser en brøk (åtte stykker av tolv), og det andre bildet viser en brøk (tre stykker av tolv). Ved å kutte tre stykker fra åtte stykker får vi fem stykker av tolv. Brøken beskriver disse fem stykkene.
Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk 
Disse brøkene har forskjellige nevnere, så først må du redusere dem til samme (felles) nevner.
La oss finne LCM for nevnerne til disse brøkene.
Nevnerne til brøkene er tallene 10, 3 og 5. Minste felles multiplum av disse tallene er 30
LCM(10; 3; 5) = 30
Nå finner vi tilleggsfaktorer for hver brøk. For å gjøre dette, del LCM med nevneren for hver brøk.
La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den første brøken er tallet 10. Del 30 med 10, vi får den første tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den første brøken:
Nå finner vi en tilleggsfaktor for den andre brøken. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 30 med 3, vi får den andre tilleggsfaktoren 10. Vi skriver den over den andre brøken:
Nå finner vi en tilleggsfaktor for den tredje brøken. Del LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den tredje brøken er tallet 5. Del 30 med 5, vi får den tredje tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den tredje brøken:
Nå er alt klart for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:
Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevnere ble til brøker som hadde samme (felles)nevnere. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker. La oss avslutte dette eksemplet.
Fortsettelsen av eksemplet vil ikke passe på én linje, så vi flytter fortsettelsen til neste linje. Ikke glem likhetstegnet (=) på den nye linjen:
Svaret viste seg å være en vanlig brøk, og alt ser ut til å passe oss, men det er for tungvint og stygt. Det ville være nødvendig å gjøre det enklere og mer estetisk tiltalende. Hva kan bli gjort? Du kan forkorte denne brøken. Husk at å redusere en brøk er delingen av telleren og nevneren med den største felles deleren av telleren og nevneren.
For å redusere en brøk riktig, må du dele telleren og nevneren med den største felles divisor (GCD) av tallene 20 og 30.
GCD må ikke forveksles med NOC. Den vanligste feilen for mange nybegynnere. GCD er den største felles deleren. Vi finner det å redusere en brøkdel.
Og LCM er det minste felles multiplum. Vi finner det for å bringe brøker til samme (felles)nevner.
Nå skal vi finne den største felles divisor (GCD) av tallene 20 og 30.
Så vi finner GCD for tallene 20 og 30:
GCD (20 og 30) = 10
Nå går vi tilbake til eksemplet vårt og deler telleren og nevneren av brøken med 10:
Vi fikk et vakkert svar
Multiplisere en brøk med et tall
For å multiplisere en brøk med et tall, må du multiplisere telleren til brøken med det tallet og la nevneren være den samme.
Eksempel 1. Multipliser en brøk med tallet 1.
Multipliser telleren av brøken med tallet 1
Opptaket kan forstås som å ta halv 1 gang. For eksempel, hvis du tar pizza 1 gang, får du pizza
Fra multiplikasjonslovene vet vi at hvis multiplikaden og faktoren byttes, vil ikke produktet endres. Hvis uttrykket skrives som , vil produktet fortsatt være lik . Igjen fungerer regelen for å multiplisere et helt tall og en brøk:
Denne notasjonen kan forstås som å ta halvparten av en. For eksempel, hvis det er 1 hel pizza og vi tar halvparten av den, vil vi ha pizza:
Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk
Multipliser telleren av brøken med 4
Uttrykket kan forstås som å ta to kvarter 4 ganger. Tar du for eksempel 4 pizzaer, får du to hele pizzaer
Og hvis vi bytter ut multiplikanten og multiplikatoren, får vi uttrykket . Det vil også være lik 2. Dette uttrykket kan forstås som å ta to pizzaer fra fire hele pizzaer:
Multiplisere brøker
For å multiplisere brøker, må du multiplisere deres tellere og nevnere. Hvis svaret viser seg å være en upassende brøkdel, må du fremheve hele delen av det.
Eksempel 1. Finn verdien av uttrykket.
Vi fikk svar. Det er tilrådelig å redusere denne brøkdelen. Fraksjonen kan reduseres med 2. Da vil den endelige løsningen ha følgende form:
Uttrykket kan forstås som å ta en pizza fra en halv pizza. La oss si at vi har en halv pizza:
Hvordan ta to tredjedeler fra denne omgangen? Først må du dele denne halvdelen i tre like deler:
Og ta to fra disse tre delene:
Vi lager pizza. Husk hvordan pizza ser ut når den er delt inn i tre deler:
Ett stykke av denne pizzaen og de to stykkene vi tok vil ha samme dimensjoner:
Vi snakker med andre ord om samme størrelse pizza. Derfor er verdien av uttrykket
Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk
Multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken:
Svaret var en uekte brøk. La oss fremheve hele delen av det:
Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk
Svaret viste seg å være en vanlig brøk, men det ville vært bra om det ble forkortet. For å redusere denne brøken må den deles på gcd for telleren og nevneren. Så la oss finne gcd-en til tallene 105 og 450:
GCD for (105 og 150) er 15
Nå deler vi telleren og nevneren for svaret vårt med gcd:
Representerer et helt tall som en brøk
Ethvert heltall kan representeres som en brøk. For eksempel kan tallet 5 representeres som . Dette vil ikke endre betydningen av fem, siden uttrykket betyr "tallet fem delt på en", og dette er, som vi vet, lik fem:
Gjensidige tall
Nå skal vi bli kjent med et veldig interessant tema i matematikk. Det kalles "omvendte tall".
Definisjon. Tilbake til nummer en er et tall som multiplisert med en gir en.
La oss erstatte i denne definisjonen i stedet for variabelen en nummer 5 og prøv å lese definisjonen:
Tilbake til nummer 5 er et tall som multiplisert med 5 gir en.
Er det mulig å finne et tall som, multiplisert med 5, gir ett? Det viser seg at det er mulig. La oss forestille oss fem som en brøk:
Multipliser deretter denne brøken med seg selv, bare bytt om teller og nevner. Med andre ord, multipliser en brøk med seg selv, bare opp ned:
Hva vil skje som følge av dette? Hvis vi fortsetter å løse dette eksemplet, får vi ett:
Dette betyr at inversen av tallet 5 er tallet , siden når du ganger 5 med får du en.
Den gjensidige av et tall kan også finnes for et hvilket som helst annet heltall.
- den gjensidige av 3 er en brøkdel
- den gjensidige av 4 er en brøkdel
Du kan også finne den gjensidige av en hvilken som helst annen brøk. For å gjøre dette, bare snu den.
) og nevner for nevner (vi får nevneren til produktet).
Formel for å multiplisere brøker:
For eksempel:
Før du begynner å multiplisere tellere og nevnere, må du sjekke om brøken kan reduseres. Hvis du kan redusere brøken, vil det være lettere for deg å gjøre ytterligere beregninger.
Å dele en vanlig brøk med en brøk.
Å dele brøker som involverer naturlige tall.
Det er ikke så skummelt som det virker. Som ved addisjon konverterer vi heltallet til en brøk med én i nevneren. For eksempel:
Multiplisere blandede fraksjoner.
Regler for å multiplisere brøker (blandet):
- konvertere blandede fraksjoner til uekte fraksjoner;
- multiplisere tellerne og nevnerne av brøker;
- reduser fraksjonen;
- Hvis du får en uekte brøk, så konverterer vi uekte brøk til en blandet brøk.
Merk! For å multiplisere en blandet brøk med en annen blandet brøk, må du først konvertere dem til form av uekte brøker, og deretter multiplisere i henhold til regelen for å multiplisere vanlige brøker.
Den andre måten å multiplisere en brøk med et naturlig tall.
Det kan være mer praktisk å bruke den andre metoden for å multiplisere en vanlig brøk med et tall.
Merk! For å multiplisere en brøk med et naturlig tall, må du dele nevneren til brøken på dette tallet, og la telleren være uendret.
Fra eksemplet ovenfor er det klart at dette alternativet er mer praktisk å bruke når nevneren til en brøk deles uten en rest med et naturlig tall.
Fleretasjes brøker.
På videregående støter man ofte på tre-etasjers (eller flere) brøker. Eksempel:
For å bringe en slik brøk til sin vanlige form, bruk divisjon gjennom 2 poeng:
Merk! Ved deling av brøker er rekkefølgen på delingen svært viktig. Vær forsiktig, det er lett å bli forvirret her.
Merk, For eksempel:
Når du deler en med en hvilken som helst brøk, vil resultatet være den samme brøken, bare invertert:
Praktiske tips for å multiplisere og dele brøker:
1. Det viktigste når du arbeider med brøkuttrykk er nøyaktighet og oppmerksomhet. Gjør alle beregninger nøye og nøyaktig, konsentrert og tydelig. Det er bedre å skrive noen ekstra linjer i utkastet enn å gå seg vill i hodeberegninger.
2. I oppgaver med ulike typer brøker, gå til typen vanlige brøker.
3. Vi reduserer alle brøker til det ikke lenger er mulig å redusere.
4. Vi transformerer brøkuttrykk på flere nivåer til vanlige ved å bruke divisjon gjennom 2 punkter.
5. Del en enhet med en brøk i hodet, bare snu brøken.
Forrige gang lærte vi å legge til og subtrahere brøker (se leksjonen «Legge til og trekke fra brøker»). Den vanskeligste delen av disse handlingene var å bringe brøker til en fellesnevner.
Nå er det på tide å håndtere multiplikasjon og divisjon. Den gode nyheten er at disse operasjonene er enda enklere enn addisjon og subtraksjon. Først, la oss vurdere det enkleste tilfellet, når det er to positive brøker uten en adskilt heltallsdel.
For å multiplisere to brøker, må du multiplisere deres tellere og nevnere hver for seg. Det første tallet vil være telleren til den nye brøken, og det andre vil være nevneren.
For å dele to brøker, må du multiplisere den første brøken med den "inverterte" andre brøken.
Betegnelse:
Av definisjonen følger det at å dele brøker reduseres til multiplikasjon. For å "snu" en brøk, bytt bare teller og nevner. Derfor vil vi gjennom leksjonen hovedsakelig vurdere multiplikasjon.
Som et resultat av multiplikasjon kan en reduserbar brøk oppstå (og ofte oppstår) - den må selvfølgelig reduseres. Hvis brøken etter alle reduksjonene viser seg å være feil, bør hele delen utheves. Men det som definitivt ikke vil skje med multiplikasjon er reduksjon til en fellesnevner: ingen metoder på kryss og tvers, største faktorer og minst felles multipler.
Per definisjon har vi:
Multiplisere brøker med hele deler og negative brøker
Hvis brøker inneholder en heltallsdel, må de konverteres til upassende - og først deretter multipliseres i henhold til skjemaene som er skissert ovenfor.
Hvis det er et minus i telleren til en brøk, i nevneren eller foran den, kan den tas ut av multiplikasjonen eller fjernes helt i henhold til følgende regler:
- Pluss for minus gir minus;
- To negative gir en bekreftende.
Til nå har disse reglene kun blitt møtt ved å legge til og trekke fra negative brøker, når det var nødvendig å kvitte seg med hele delen. For et arbeid kan de generaliseres for å "brenne" flere ulemper samtidig:
- Vi krysser ut negativene i par til de forsvinner helt. I ekstreme tilfeller kan en minus overleve - den som det ikke var noen make for;
- Hvis det ikke er noen minuser igjen, er operasjonen fullført - du kan begynne å multiplisere. Hvis det siste minuset ikke er krysset ut fordi det ikke var noe par for det, tar vi det utenfor multiplikasjonsgrensene. Resultatet er en negativ brøkdel.
Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
Vi konverterer alle brøker til uekte, og tar så minusene ut av multiplikasjonen. Vi multipliserer det som er igjen etter de vanlige reglene. Vi får:
La meg igjen minne om at minus som vises foran en brøk med en uthevet hel del, refererer spesifikt til hele brøken, og ikke bare til hele dens del (dette gjelder for de to siste eksemplene).
Vær også oppmerksom på negative tall: når du multipliserer, er de omsluttet i parentes. Dette gjøres for å skille minusene fra multiplikasjonstegnet og gjøre hele notasjonen mer nøyaktig.
Reduserer fraksjoner i farten
Multiplikasjon er en svært arbeidskrevende operasjon. Tallene her viser seg å være ganske store, og for å forenkle problemet kan du prøve å redusere brøkdelen ytterligere før multiplikasjon. Faktisk, i hovedsak er tellerne og nevnerne til brøker vanlige faktorer, og derfor kan de reduseres ved å bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk. Ta en titt på eksemplene:
Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:
Per definisjon har vi:
I alle eksemplene er tallene som er redusert og det som gjenstår av dem markert med rødt.
Vær oppmerksom på: i det første tilfellet ble multiplikatorene redusert fullstendig. I deres plass gjenstår det enheter som generelt sett ikke trenger å skrives. I det andre eksemplet var det ikke mulig å oppnå en fullstendig reduksjon, men den totale mengden beregninger gikk likevel ned.
Bruk imidlertid aldri denne teknikken når du legger til og trekker fra brøker! Ja, noen ganger er det lignende tall som du bare vil redusere. Her, se:
Det kan du ikke gjøre!
Feilen oppstår på grunn av at når man legger til telleren til en brøk, vises summen, og ikke produktet av tall. Følgelig er det umulig å bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk, siden denne egenskapen spesifikt omhandler multiplikasjon av tall.
Det er rett og slett ingen andre grunner til å redusere brøker, så den riktige løsningen på det forrige problemet ser slik ut:
Riktig løsning:
Som du kan se, viste det seg at det riktige svaret ikke var så vakkert. Generelt, vær forsiktig.
§ 87. Addisjon av brøker.
Å legge til brøker har mange likheter med å legge til hele tall. Addisjon av brøker er en handling som består i at flere gitte tall (ledd) kombineres til ett tall (sum), som inneholder alle enhetene og brøkene av enhetene til leddene.
Vi vil vurdere tre saker sekvensielt:
1. Addisjon av brøker med like nevnere.
2. Addisjon av brøker med ulike nevnere.
3. Addisjon av blandede tall.
1. Addisjon av brøker med like nevnere.
Tenk på et eksempel: 1/5 + 2/5.
La oss ta segment AB (fig. 17), ta det som ett og dele det i 5 like deler, så vil del AC av dette segmentet være lik 1/5 av segment AB, og en del av samme segment CD vil være lik 2/5 AB.
Fra tegningen er det klart at hvis vi tar segmentet AD, vil det være lik 3/5 AB; men segmentet AD er nøyaktig summen av segmentene AC og CD. Så vi kan skrive:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Med tanke på disse begrepene og den resulterende summen, ser vi at telleren av summen ble oppnådd ved å legge til tellerne til begrepene, og nevneren forble uendret.
Fra dette får vi følgende regel: For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere og la den samme nevneren være igjen.
La oss se på et eksempel:
2. Addisjon av brøker med ulike nevnere.
La oss legge til brøkene: 3 / 4 + 3 / 8 Først må de reduseres til laveste fellesnevner:
Mellomlenken 6/8 + 3/8 kunne ikke skrives; vi har skrevet det her for klarhet.
For å legge til brøker med ulike nevnere, må du derfor først redusere dem til laveste fellesnevner, legge til tellerne og merke fellesnevneren.
La oss vurdere et eksempel (vi vil skrive tilleggsfaktorer over de tilsvarende brøkene):
3. Addisjon av blandede tall.
La oss legge til tallene: 2 3/8 + 3 5/6.
La oss først bringe brøkdelene av tallene våre til en fellesnevner og skrive dem om igjen:
Nå legger vi til heltalls- og brøkdelene sekvensielt:
§ 88. Subtraksjon av brøker.
Å subtrahere brøker er definert på samme måte som å trekke fra hele tall. Dette er en handling ved hjelp av hvilken, gitt summen av to ledd og ett av dem, finner man et annet ledd. La oss vurdere tre saker etter hverandre:
1. Trekk fra brøker med like nevnere.
2. Subtrahere brøker med ulike nevnere.
3. Subtraksjon av blandede tall.
1. Trekk fra brøker med like nevnere.
La oss se på et eksempel:
13 / 15 - 4 / 15
La oss ta segmentet AB (fig. 18), ta det som en enhet og dele det i 15 like deler; da vil del AC av dette segmentet representere 1/15 av AB, og del AD av samme segment vil tilsvare 13/15 AB. La oss sette til side et annet segment ED lik 4/15 AB.
Vi må trekke fra brøken 4/15 fra 13/15. På tegningen betyr dette at segment ED må trekkes fra segment AD. Som et resultat vil segment AE forbli, som er 9/15 av segment AB. Så vi kan skrive:
Eksemplet vi laget viser at telleren til forskjellen ble oppnådd ved å trekke fra tellerne, men nevneren forble den samme.
Derfor, for å trekke fra brøker med like nevnere, må du trekke fra telleren til subtrahenden fra telleren til minuenden og la den samme nevneren være igjen.
2. Trekk fra brøker med ulike nevnere.
Eksempel. 3/4 - 5/8
Først, la oss redusere disse brøkene til laveste fellesnevner:
Mellomlenken 6 / 8 - 5 / 8 er skrevet her for klarhet, men kan hoppes over senere.
For å trekke en brøk fra en brøk, må du derfor først redusere dem til laveste fellesnevner, deretter trekke fra telleren til minuenden fra telleren til minuenden og signere fellesnevneren under deres differanse.
La oss se på et eksempel:
3. Subtraksjon av blandede tall.
Eksempel. 10 3/4 - 7 2/3.
La oss redusere brøkdelene av minuend og subtrahend til laveste fellesnevner:
Vi trakk en helhet fra en helhet og en brøk fra en brøk. Men det er tilfeller der brøkdelen av det som trekkes fra er større enn brøkdelen av det som blir redusert. I slike tilfeller må du ta en enhet fra hele delen av minuenden, dele den opp i de delene der brøkdelen er uttrykt, og legge den til brøkdelen av minuenden. Og så vil subtraksjonen utføres på samme måte som i forrige eksempel:
§ 89. Multiplikasjon av brøker.
Når vi studerer brøkmultiplikasjon, vil vi vurdere følgende spørsmål:
1. Multiplisere en brøk med et helt tall.
2. Finne brøkdelen av et gitt tall.
3. Multiplisere et helt tall med en brøk.
4. Multiplisere en brøk med en brøk.
5. Multiplikasjon av blandede tall.
6. Rentebegrepet.
7. Finne prosentandelen av et gitt tall. La oss vurdere dem sekvensielt.
1. Multiplisere en brøk med et helt tall.
Å multiplisere en brøk med et helt tall har samme betydning som å multiplisere et helt tall med et heltall. Å multiplisere en brøk (multiplikand) med et heltall (faktor) betyr å lage en sum av identiske ledd, der hvert ledd er lik multiplikanden, og antall ledd er lik multiplikatoren.
Dette betyr at hvis du trenger å multiplisere 1/9 med 7, så kan det gjøres slik:
Vi fikk enkelt resultatet, siden handlingen ble redusert til å legge til brøker med samme nevnere. Derfor,
Betraktning av denne handlingen viser at å multiplisere en brøk med et helt tall tilsvarer å øke denne brøken med like mange ganger som antall enheter i hele tallet. Og siden økende en brøk oppnås enten ved å øke telleren
eller ved å redusere nevneren 
, så kan vi enten multiplisere telleren med et heltall eller dele nevneren på det, hvis slik divisjon er mulig.
Herfra får vi regelen:
For å multiplisere en brøk med et helt tall, multipliserer du telleren med det hele tallet og lar nevneren være den samme, eller, hvis mulig, deler du nevneren på det tallet, og lar telleren være uendret.
Når du multipliserer, er forkortelser mulig, for eksempel:
2. Finne brøkdelen av et gitt tall. Det er mange problemer der du må finne, eller beregne, en del av et gitt tall. Forskjellen mellom disse problemene og andre er at de gir antall objekter eller måleenheter, og du må finne en del av dette tallet, som også er angitt her med en viss brøkdel. For å lette forståelsen vil vi først gi eksempler på slike problemer, og deretter introdusere en metode for å løse dem.
Oppgave 1. Jeg hadde 60 rubler; Jeg brukte 1/3 av disse pengene på å kjøpe bøker. Hvor mye kostet bøkene?
Oppgave 2. Toget skal kjøre en avstand mellom byer A og B lik 300 km. Han har allerede tilbakelagt 2/3 av denne distansen. Hvor mange kilometer er dette?
Oppgave 3. Det er 400 hus i landsbyen, 3/4 av dem er murstein, resten er av tre. Hvor mange murhus er det totalt?
Dette er noen av de mange problemene vi møter for å finne en del av et gitt tall. De kalles vanligvis problemer for å finne brøkdelen av et gitt tall.
Løsning på oppgave 1. Fra 60 gni. Jeg brukte 1/3 på bøker; Dette betyr at for å finne prisen på bøker må du dele tallet 60 på 3:
Løse oppgave 2. Poenget med problemet er at du må finne 2/3 av 300 km. La oss først beregne 1/3 av 300; dette oppnås ved å dele 300 km med 3:
300: 3 = 100 (det er 1/3 av 300).
For å finne to tredjedeler av 300, må du doble den resulterende kvotienten, dvs. multiplisere med 2:
100 x 2 = 200 (det er 2/3 av 300).
Løse problem 3. Her må du bestemme antall murhus som utgjør 3/4 av 400. La oss først finne 1/4 av 400,
400: 4 = 100 (det er 1/4 av 400).
For å beregne tre fjerdedeler av 400, må den resulterende kvotienten tredobles, dvs. multiplisert med 3:
100 x 3 = 300 (det er 3/4 av 400).
Basert på løsningen på disse problemene kan vi utlede følgende regel:
For å finne verdien av en brøk fra et gitt tall, må du dele dette tallet med nevneren til brøken og multiplisere den resulterende kvotienten med telleren.
3. Multiplisere et helt tall med en brøk.
Tidligere (§ 26) ble det slått fast at multiplikasjon av heltall skulle forstås som addisjon av identiske ledd (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). I dette avsnittet (punkt 1) ble det fastslått at å multiplisere en brøk med et heltall betyr å finne summen av identiske ledd lik denne brøken.
I begge tilfeller besto multiplikasjon i å finne summen av identiske ledd.
Nå går vi videre til å multiplisere et helt tall med en brøk. Her vil vi for eksempel møte multiplikasjon: 9 2 / 3. Det er klart at den tidligere definisjonen av multiplikasjon ikke gjelder for dette tilfellet. Dette fremgår av det faktum at vi ikke kan erstatte en slik multiplikasjon ved å legge til like tall.
På grunn av dette må vi gi en ny definisjon av multiplikasjon, det vil si, med andre ord, svare på spørsmålet om hva som skal forstås ved multiplikasjon med en brøk, hvordan denne handlingen skal forstås.
Betydningen av å multiplisere et helt tall med en brøk er tydelig fra følgende definisjon: å multiplisere et heltall (multiplikand) med en brøk (multiplikand) betyr å finne denne brøkdelen av multiplikanden.
Å multiplisere 9 med 2/3 betyr nemlig å finne 2/3 av ni enheter. I forrige avsnitt ble slike problemer løst; så det er lett å finne ut at vi ender opp med 6.
Men nå oppstår et interessant og viktig spørsmål: hvorfor kalles slike tilsynelatende forskjellige operasjoner, som å finne summen av like tall og finne brøkdelen av et tall, i aritmetikk med det samme ordet "multiplikasjon"?
Dette skjer fordi den forrige handlingen (gjenta et tall med termer flere ganger) og den nye handlingen (finne brøkdelen av et tall) gir svar på homogene spørsmål. Det betyr at vi her går ut fra betraktningene om at homogene spørsmål eller oppgaver løses ved samme handling.
For å forstå dette, vurder følgende problem: "1 m tøy koster 50 rubler. Hvor mye vil 4 m slikt tøy koste?
Dette problemet løses ved å multiplisere antall rubler (50) med antall meter (4), dvs. 50 x 4 = 200 (rubler).
La oss ta det samme problemet, men i det vil mengden tøy bli uttrykt som en brøkdel: "1 m tøy koster 50 rubler. Hvor mye vil 3/4 m av et slikt tøy koste?"
Dette problemet må også løses ved å multiplisere antall rubler (50) med antall meter (3/4).
Du kan endre tallene i den flere ganger, uten å endre betydningen av problemet, for eksempel ta 9/10 m eller 2 3/10 m, etc.
Siden disse problemene har samme innhold og bare er forskjellige i tall, kaller vi handlingene som brukes for å løse dem det samme ordet - multiplikasjon.
Hvordan multipliserer du et helt tall med en brøk?
La oss ta tallene som ble funnet i den siste oppgaven:
I følge definisjonen må vi finne 3/4 av 50. La oss først finne 1/4 av 50, og deretter 3/4.
1/4 av 50 er 50/4;
3/4 av tallet 50 er .
Derfor.
La oss se på et annet eksempel: 12 5 / 8 =?
1/8 av tallet 12 er 12/8,
5/8 av tallet 12 er .
Derfor,
Herfra får vi regelen:
For å multiplisere et helt tall med en brøk, må du multiplisere hele tallet med telleren til brøken og gjøre dette produktet til telleren, og signere nevneren til denne brøken som nevneren.
La oss skrive denne regelen med bokstaver:
For å gjøre denne regelen helt klar, bør det huskes at en brøk kan betraktes som en kvotient. Derfor er det nyttig å sammenligne den funnet regelen med regelen for å multiplisere et tall med en kvotient, som ble angitt i § 38
Det er viktig å huske at før du utfører multiplikasjon, bør du gjøre (hvis mulig) reduksjoner, For eksempel:
4. Multiplisere en brøk med en brøk.Å multiplisere en brøk med en brøk har samme betydning som å multiplisere et helt tall med en brøk, det vil si at når du multipliserer en brøk med en brøk, må du finne brøken i faktoren fra den første brøken (multipikanet).
Å multiplisere 3/4 med 1/2 (halvparten) betyr nemlig å finne halvparten av 3/4.
Hvordan multipliserer du en brøk med en brøk?
La oss ta et eksempel: 3/4 multiplisert med 5/7. Dette betyr at du må finne 5/7 av 3/4. La oss først finne 1/7 av 3/4, og deretter 5/7
1/7 av tallet 3/4 vil bli uttrykt som følger:
5/7 tall 3/4 vil bli uttrykt som følger:
Dermed,
Et annet eksempel: 5/8 multiplisert med 4/9.
1/9 av 5/8 er ,
4/9 av tallet 5/8 er .
Dermed, 
Fra disse eksemplene kan følgende regel utledes:
For å multiplisere en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren med telleren, og nevneren med nevneren, og gjøre det første produktet til telleren, og det andre produktet til nevneren av produktet.
Denne regelen kan skrives i generell form som følger:
Ved multiplikasjon er det nødvendig å foreta (om mulig) reduksjoner. La oss se på eksempler:
5. Multiplikasjon av blandede tall. Siden blandede tall lett kan erstattes med uekte brøker, brukes denne omstendigheten vanligvis når man multipliserer blandede tall. Dette betyr at i tilfeller hvor multiplikatoren, eller multiplikatoren, eller begge faktorene er uttrykt som blandede tall, erstattes de med uekte brøker. La oss multiplisere, for eksempel, blandede tall: 2 1/2 og 3 1/5. La oss gjøre hver av dem til en uekte brøk og deretter multiplisere de resulterende brøkene i henhold til regelen for å multiplisere en brøk med en brøk:
Regel. For å multiplisere blandede tall, må du først konvertere dem til uekte brøker og deretter multiplisere dem i henhold til regelen for å multiplisere brøker med brøker.
Merk. Hvis en av faktorene er et heltall, kan multiplikasjonen utføres basert på fordelingsloven som følger:
6. Rentebegrepet. Når vi løser oppgaver og utfører ulike praktiske beregninger, bruker vi alle slags brøker. Men det må huskes at mange mengder tillater ikke bare noen, men naturlige inndelinger for dem. For eksempel kan du ta en hundredel (1/100) av en rubel, det vil være en kopek, to hundredeler er 2 kopek, tre hundredeler er 3 kopek. Du kan ta 1/10 av en rubel, det vil være "10 kopek, eller en ti-kopek-bit. Du kan ta en fjerdedel av en rubel, dvs. 25 kopek, en halv rubel, dvs. 50 kopek (femti kopek). Men de tar det praktisk talt ikke, for eksempel 2/7 av en rubel fordi rubelen ikke er delt inn i syvendedeler.
Vektenheten, det vil si kilogrammet, tillater først og fremst desimaldelinger, for eksempel 1/10 kg, eller 100 g. Og slike brøkdeler av et kilo som 1/6, 1/11, 1/13 er ikke vanlige.
Generelt er våre (metriske) mål desimaler og tillater desimalinndelinger.
Det skal imidlertid bemerkes at det er ekstremt nyttig og praktisk i en lang rekke tilfeller å bruke den samme (uniforme) metoden for å dele opp mengder. Mange års erfaring har vist at en så godt begrunnet deling er den "hundrede" divisjonen. La oss vurdere flere eksempler knyttet til de mest forskjellige områdene av menneskelig praksis.
1. Prisen på bøker har gått ned med 12/100 av forrige pris.
Eksempel. Den forrige prisen på boken var 10 rubler. Det gikk ned med 1 rubel. 20 kopek
2. Sparebanker betaler innskytere 2/100 av innskuddsbeløpet for sparing i løpet av året.
Eksempel. 500 rubler er satt inn i kassaapparatet, inntekten fra dette beløpet for året er 10 rubler.
3. Antall uteksaminerte fra én skole var 5/100 av totalt antall elever.
EKSEMPEL Det var bare 1200 elever ved skolen, hvorav 60 ble uteksaminert.
Hundredelen av et tall kalles en prosentandel.
Ordet "prosent" er lånt fra latin og roten "cent" betyr hundre. Sammen med preposisjonen (pro centum) betyr dette ordet "for hundre." Betydningen av dette uttrykket følger av det faktum at renter i det gamle Roma opprinnelig ble gitt til pengene som skyldneren betalte til utlåneren "for hvert hundre." Ordet "cent" høres i slike kjente ord: centner (hundre kilo), centimeter (si centimeter).
For eksempel, i stedet for å si at i løpet av den siste måneden produserte anlegget 1/100 av alle produkter produsert av det var defekte, vil vi si dette: I løpet av den siste måneden produserte anlegget én prosent av defektene. I stedet for å si: anlegget produserte 4/100 flere produkter enn den fastsatte planen, vil vi si: anlegget overskred planen med 4 prosent.
Eksemplene ovenfor kan uttrykkes annerledes:
1. Prisen på bøker har gått ned med 12 prosent av forrige pris.
2. Sparebanker betaler innskytere 2 prosent per år av innskuddsbeløpet på sparepenger.
3. Antall uteksaminerte fra én skole var 5 prosent av alle skoleelever.
For å forkorte bokstaven er det vanlig å skrive %-symbolet i stedet for ordet "prosent".
Du må imidlertid huske at i beregninger er %-tegnet vanligvis ikke skrevet det kan skrives i problemstillingen og i sluttresultatet. Når du utfører beregninger, må du skrive en brøk med en nevner på 100 i stedet for et helt tall med dette symbolet.
Du må kunne erstatte et heltall med det angitte ikonet med en brøkdel med en nevner på 100:
Omvendt må du venne deg til å skrive et heltall med det angitte symbolet i stedet for en brøk med en nevner på 100:
7. Finne prosentandelen av et gitt tall.
Oppgave 1. Skolen fikk 200 kubikkmeter. m ved, med bjørkeved som utgjør 30 %. Hvor mye bjørkeved var det?
Meningen med denne oppgaven er at bjørkeved bare utgjorde en del av veden som ble levert til skolen, og denne delen er uttrykt i brøken 30/100. Dette betyr at vi har en oppgave å finne en brøkdel av et tall. For å løse det må vi multiplisere 200 med 30/100 (problemer med å finne brøken av et tall løses ved å multiplisere tallet med brøken.).
Dette betyr at 30 % av 200 tilsvarer 60.
Fraksjonen 30/100 som oppstår i denne oppgaven kan reduseres med 10. Det ville være mulig å gjøre denne reduksjonen helt fra begynnelsen; løsningen på problemet ville ikke ha endret seg.
Oppgave 2. Det var 300 barn i ulike aldre i leiren. Barn 11 år utgjorde 21 %, barn 12 år utgjorde 61 % og til slutt 13 år gamle barn utgjorde 18 %. Hvor mange barn i hver alder var det i leiren?
I denne oppgaven må du utføre tre beregninger, dvs. finne antall barn 11 år gamle, deretter 12 år og til slutt 13 år gamle.
Dette betyr at her må du finne brøkdelen av tallet tre ganger. La oss gjøre det:
1) Hvor mange 11 år gamle barn var det?
2) Hvor mange 12 år gamle barn var det?
3) Hvor mange 13 år gamle barn var det?
Etter å ha løst problemet, er det nyttig å legge til tallene som er funnet; summen deres skal være 300:
63 + 183 + 54 = 300
Det bør også bemerkes at summen av prosentene gitt i problemstillingen er 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Dette antyder at det totale antallet barn i leiren ble tatt som 100 %.
3 a d a h a 3. Arbeideren mottok 1200 rubler per måned. Av dette brukte han 65 % på mat, 6 % på leiligheter og oppvarming, 4 % på gass, elektrisitet og radio, 10 % på kulturelle behov og 15 % spart. Hvor mye penger ble brukt på behovene angitt i oppgaven?
For å løse dette problemet må du finne brøkdelen av 1200 5 ganger.
1) Hvor mye penger ble brukt på mat? Problemet sier at denne utgiften er 65 % av den totale inntekten, dvs. 65/100 av tallet 1200. La oss regne ut:
2) Hvor mye betalte du for en leilighet med oppvarming? På samme måte som den forrige, kommer vi til følgende beregning:
3) Hvor mye betalte du for gass, strøm og radio?
4) Hvor mye penger ble brukt på kulturelle behov?
5) Hvor mye penger sparte arbeideren?
For å sjekke er det nyttig å legge sammen tallene som finnes i disse 5 spørsmålene. Beløpet skal være 1200 rubler. All inntjening tas som 100 %, noe som er enkelt å sjekke ved å legge sammen prosenttallene som er oppgitt i problemstillingen.
Vi løste tre problemer. Til tross for at disse problemene handlet om forskjellige ting (levering av ved til skolen, antall barn i forskjellige aldre, utgiftene til arbeideren), ble de løst på samme måte. Dette skjedde fordi det i alle problemer var nødvendig å finne flere prosent av gitte tall.
§ 90. Brøkdeling.
Når vi studerer brøkdeling, vil vi vurdere følgende spørsmål:
1. Del et heltall med et heltall.
2. Å dele en brøk på et helt tall
3. Å dele et helt tall på en brøk.
4. Å dele en brøk med en brøk.
5. Deling av blandede tall.
6. Finne et tall fra den gitte brøken.
7. Finne et tall etter prosentandelen.
La oss vurdere dem sekvensielt.
1. Del et heltall med et heltall.
Som det ble indikert i avdelingen for heltall, er divisjon handlingen som består i det faktum at gitt produktet av to faktorer (dividende) og en av disse faktorene (divisor), finnes en annen faktor.
Vi så på å dele et heltall med et heltall i delen om heltall. Vi møtte to tilfeller av deling der: divisjon uten en rest, eller "helt" (150: 10 = 15), og divisjon med en rest (100: 9 = 11 og 1 rest). Vi kan derfor si at når det gjelder heltall, er nøyaktig deling ikke alltid mulig, fordi utbyttet ikke alltid er produktet av divisor med heltall. Etter å ha introdusert multiplikasjon med en brøk, kan vi vurdere ethvert tilfelle av å dele heltall mulig (bare divisjon med null er ekskludert).
For eksempel betyr å dele 7 med 12 å finne et tall hvis produkt med 12 vil være lik 7. Et slikt tall er brøken 7 / 12 fordi 7 / 12 12 = 7. Et annet eksempel: 14: 25 = 14 / 25, fordi 14 / 25 25 = 14.
For å dele et helt tall med et helt tall, må du derfor lage en brøk hvis teller er lik utbyttet og nevneren er lik divisor.
2. Å dele en brøk på et helt tall.
Del brøken 6 / 7 med 3. I henhold til definisjonen av divisjon gitt ovenfor, har vi her produktet (6 / 7) og en av faktorene (3); det kreves å finne en andre faktor som, multiplisert med 3, vil gi det gitte produktet 6/7. Det skal selvsagt være tre ganger mindre enn dette produktet. Dette betyr at oppgaven som ble satt foran oss var å redusere brøken 6/7 med 3 ganger.
Vi vet allerede at å redusere en brøk kan gjøres enten ved å redusere telleren eller øke nevneren. Derfor kan du skrive:
I dette tilfellet er telleren 6 delelig med 3, så telleren bør reduseres med 3 ganger.
La oss ta et annet eksempel: 5 / 8 delt på 2. Her er ikke telleren 5 delelig med 2, noe som betyr at nevneren må multipliseres med dette tallet:
Basert på dette kan en regel lages: For å dele en brøk på et helt tall, må du dele telleren til brøken på det hele tallet.(hvis mulig), forlater den samme nevneren, eller multipliser nevneren til brøken med dette tallet, og forlater den samme telleren.
3. Å dele et helt tall på en brøk.
La det være nødvendig å dele 5 på 1/2, dvs. finne et tall som etter å ha multiplisert med 1/2 vil gi produktet 5. Dette tallet må selvsagt være større enn 5, siden 1/2 er en egen brøk , og når du multipliserer et tall, må produktet av en egenbrøk være mindre enn produktet som multipliseres. For å gjøre dette klarere, la oss skrive handlingene våre som følger: 5: 1 / 2 = X , som betyr x 1/2 = 5.
Vi må finne et slikt tall X , som, hvis multiplisert med 1/2, ville gi 5. Siden å multiplisere et bestemt tall med 1/2 betyr å finne 1/2 av dette tallet, så derfor 1/2 av det ukjente tallet X er lik 5, og hele tallet X dobbelt så mye, dvs. 5 2 = 10.
Så 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
La oss sjekke: 
La oss se på et annet eksempel. La oss si at vi må dele 6 med 2/3. La oss først prøve å finne ønsket resultat ved hjelp av tegningen (fig. 19).
Fig.19
La oss tegne et segment AB lik 6 enheter, og dele hver enhet i 3 like deler. I hver enhet er tre tredjedeler (3/3) av hele segmentet AB 6 ganger større, dvs. e. 18/3. Ved hjelp av små parentes kobler vi sammen de 18 resulterende segmentene, 2 hver; Det vil bare være 9 segmenter. Dette betyr at brøken 2/3 er inneholdt i 6 enheter 9 ganger, eller med andre ord, brøken 2/3 er 9 ganger mindre enn 6 hele enheter. Derfor,
Hvordan få dette resultatet uten en tegning ved å bruke beregninger alene? La oss resonnere slik: vi må dele 6 med 2/3, det vil si at vi må svare på spørsmålet hvor mange ganger 2/3 er inneholdt i 6. La oss først finne ut: hvor mange ganger 1/3 er inneholdt i 6? I en hel enhet er det 3 tredjedeler, og i 6 enheter er det 6 ganger mer, dvs. 18 tredjedeler; for å finne dette tallet må vi gange 6 med 3. Dette betyr at 1/3 er inneholdt i b enheter 18 ganger, og 2/3 er inneholdt i b enheter ikke 18 ganger, men halvparten så mange ganger, dvs. 18: 2 = 9 Derfor, når vi delte 6 med 2/3, gjorde vi følgende:
Herfra får vi regelen for å dele et helt tall med en brøk. For å dele et helt tall med en brøk, må du multiplisere hele tallet med nevneren til den gitte brøken, og for å gjøre dette produktet til telleren, dele det med telleren til den gitte brøken.
La oss skrive regelen med bokstaver:
For å gjøre denne regelen helt klar, bør det huskes at en brøk kan betraktes som en kvotient. Derfor er det nyttig å sammenligne den funnet regelen med regelen for å dele et tall med en kvotient, som ble angitt i § 38. Vær oppmerksom på at den samme formelen ble oppnådd der.
Ved deling er forkortelser mulige, for eksempel:
4. Å dele en brøk med en brøk.
La oss si at vi må dele 3/4 på 3/8. Hva vil tallet som resulterer fra divisjon bety? Det vil svare på spørsmålet hvor mange ganger brøken 3/8 er inneholdt i brøken 3/4. For å forstå dette problemet, la oss lage en tegning (fig. 20).
La oss ta et segment AB, ta det som ett, dele det i 4 like deler og merke 3 slike deler. Segment AC vil være lik 3/4 av segment AB. La oss nå dele hvert av de fire opprinnelige segmentene i to, så vil segmentet AB deles i 8 like deler og hver slik del vil være lik 1/8 av segmentet AB. La oss koble 3 slike segmenter med buer, da vil hvert av segmentene AD og DC være lik 3/8 av segmentet AB. Tegningen viser at et segment lik 3/8 er inneholdt i et segment lik 3/4 nøyaktig 2 ganger; Dette betyr at resultatet av deling kan skrives som følger:
3 / 4: 3 / 8 = 2
La oss se på et annet eksempel. La oss si at vi må dele 15/16 med 3/32:
Vi kan resonnere slik: vi må finne et tall som, etter å ha multiplisert med 3/32, vil gi et produkt lik 15/16. La oss skrive beregningene slik:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 ukjent nummer X er 15/16
1/32 av et ukjent antall X er ,
32 / 32 tall X sminke .
Derfor,
For å dele en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren til den første brøken med nevneren til den andre, og multiplisere nevneren til den første brøken med telleren til den andre, og gjøre det første produktet til telleren, og den andre nevneren.
La oss skrive regelen med bokstaver:
Ved deling er forkortelser mulige, for eksempel:
5. Deling av blandede tall.
Når du deler blandede tall, må de først konverteres til uekte brøker, og deretter må de resulterende brøkene deles i henhold til reglene for deling av brøker. La oss se på et eksempel:
La oss konvertere blandede tall til uekte brøker:
La oss nå dele:
Derfor, for å dele blandede tall, må du konvertere dem til uekte brøker og deretter dele ved å bruke regelen for å dele brøker.
6. Finne et tall fra den gitte brøken.
Blant de forskjellige brøkproblemene er det noen ganger de der verdien av en brøkdel av et ukjent tall er gitt, og du må finne dette tallet. Denne typen problemer vil være det motsatte av problemet med å finne brøkdelen av et gitt tall; der ble det gitt et tall og det var påkrevd å finne en brøkdel av dette tallet, her ble det gitt en brøkdel av et tall og det ble påkrevd å finne dette tallet selv. Denne ideen vil bli enda tydeligere hvis vi går over til å løse denne typen problemer.
Oppgave 1. Den første dagen glaserte glassmestrene 50 vinduer, som er 1/3 av alle vinduene i det bygde huset. Hvor mange vinduer er det i dette huset?
Løsning. Problemstillingen sier at 50 glassvinduer utgjør 1/3 av alle vinduene i huset, noe som betyr at det er 3 ganger flere vinduer totalt, dvs.
Huset hadde 150 vinduer.
Oppgave 2. Butikken solgte 1500 kg mel, som er 3/8 av det totale mellageret butikken hadde. Hva var butikkens opprinnelige tilførsel av mel?
Løsning. Av forholdene i problemet er det klart at 1500 kg solgt mel utgjør 3/8 av det totale lageret; Dette betyr at 1/8 av denne reserven vil være 3 ganger mindre, dvs. for å beregne den må du redusere 1500 med 3 ganger:
1.500:3 = 500 (dette er 1/8 av reserven).
Helt klart vil hele tilbudet være 8 ganger større. Derfor,
500 8 = 4000 (kg).
Opprinnelig lager av mel i butikken var 4000 kg.
Fra vurdering av dette problemet kan følgende regel utledes.
For å finne et tall fra en gitt verdi av brøken, er det nok å dele denne verdien med telleren til brøken og multiplisere resultatet med brøkens nevner.
Vi løste to problemer ved å finne et tall gitt brøken. Slike problemer, som er spesielt tydelig fra den siste, løses ved to handlinger: divisjon (når en del er funnet) og multiplikasjon (når hele tallet er funnet).
Men etter at vi har lært deling av brøker, kan oppgavene ovenfor løses med én handling, nemlig: divisjon med brøk.
For eksempel kan den siste oppgaven løses i en handling som dette:
I fremtiden vil vi løse problemer med å finne et tall fra brøken med én handling - divisjon.
7. Finne et tall etter prosentandelen.
I disse problemene må du finne et tall som kjenner noen få prosent av det tallet.
Oppgave 1. I begynnelsen av dette året mottok jeg 60 rubler fra sparebanken. inntekt fra beløpet jeg la inn i sparing for ett år siden. Hvor mye penger har jeg lagt i sparebanken? (Kassediskene gir innskytere 2 % avkastning per år.)
Poenget med problemet er at jeg la en viss sum penger i en sparebank og ble der i ett år. Etter et år mottok jeg 60 rubler fra henne. inntekt, som er 2/100 av pengene jeg satt inn. Hvor mye penger la jeg inn?
Når vi derfor kjenner en del av disse pengene, uttrykt på to måter (i rubler og brøker), må vi finne hele, ennå ukjente, beløp. Dette er et vanlig problem med å finne et tall gitt brøken. Følgende problemer løses ved deling:
Dette betyr at 3000 rubler ble satt inn i sparebanken.
Oppgave 2. Fiskere oppfylte månedsplanen med 64 % på to uker, og høstet 512 tonn fisk. Hva var planen deres?
Fra forholdene til problemet er det kjent at fiskerne fullførte en del av planen. Denne delen er lik 512 tonn, som er 64 % av planen. Vi vet ikke hvor mange tonn fisk som må tilberedes i henhold til planen. Å finne dette nummeret vil være løsningen på problemet.
Slike problemer løses ved divisjon:
Det betyr at det etter planen skal tilberedes 800 tonn fisk.
Oppgave 3. Toget gikk fra Riga til Moskva. Da han passerte den 276. kilometeren spurte en av passasjerene en forbipasserende konduktør hvor mye av reisen de allerede hadde tilbakelagt. Til dette svarte konduktøren: "Vi har allerede dekket 30% av hele reisen." Hva er avstanden fra Moskva til Riga?
Fra problemforholdene er det klart at 30 % av ruten fra Riga til Moskva er 276 km. Vi må finne hele avstanden mellom disse byene, dvs. for denne delen, finne helheten:
§ 91. Gjensidige tall. Erstatte divisjon med multiplikasjon.
La oss ta brøken 2/3 og erstatte telleren i stedet for nevneren, vi får 3/2. Vi har det motsatte av denne brøken.
For å få inversen til en gitt brøk, må du sette telleren i stedet for nevneren, og nevneren i stedet for telleren. På denne måten kan vi få gjensidigheten til enhver brøk. For eksempel:
3/4, revers 4/3; 5/6, omvendt 6/5
To brøker som har egenskapen at telleren til den første er nevneren til den andre, og nevneren til den første er telleren til den andre, kalles gjensidig omvendt.
La oss nå tenke på hvilken brøk som vil være den gjensidige av 1/2. Åpenbart vil det være 2/1, eller bare 2. Ved å se etter den inverse brøkdelen av den gitte, fikk vi et heltall. Og denne saken er ikke isolert; tvert imot, for alle brøker med en teller på 1 (en), vil de gjensidige være heltall, for eksempel:
1/3, revers 3; 1/5, omvendt 5
Siden vi også møtte heltall når vi fant gjensidige brøker, vil vi i det følgende ikke snakke om gjensidige brøker, men om gjensidige tall.
La oss finne ut hvordan du skriver det inverse av et heltall. For brøker kan dette løses enkelt: du må sette nevneren i stedet for telleren. På samme måte kan du få den inverse av et heltall, siden et hvilket som helst heltall kan ha en nevner på 1. Dette betyr at inversen av 7 vil være 1/7, fordi 7 = 7/1; for tallet 10 vil inversen være 1/10, siden 10 = 10/1
Denne ideen kan uttrykkes annerledes: gjensidigheten til et gitt tall oppnås ved å dele en med et gitt tall. Dette utsagnet gjelder ikke bare for hele tall, men også for brøker. Faktisk, hvis vi trenger å skrive inversen av brøken 5/9, kan vi ta 1 og dele den på 5/9, dvs.
La oss nå påpeke én ting eiendom gjensidige tall, som vil være nyttige for oss: produktet av gjensidige tall er lik en. Faktisk:
Ved å bruke denne egenskapen kan vi finne gjensidige tall på følgende måte. La oss si at vi må finne inversen av 8.
La oss betegne det med bokstaven X , deretter 8 X = 1, derfor X = 1/8. La oss finne et annet tall som er inversen av 7/12 og angi det med bokstaven X , deretter 7/12 X = 1, derfor X = 1: 7 / 12 eller X = 12 / 7 .
Vi introduserte her konseptet med gjensidige tall for litt å supplere informasjonen om å dele brøker.
Når vi deler tallet 6 med 3/5, gjør vi følgende:
Vær spesielt oppmerksom på uttrykket og sammenlign det med det gitte: .
Hvis vi tar uttrykket separat, uten sammenheng med det forrige, er det umulig å løse spørsmålet om hvor det kom fra: fra å dele 6 med 3/5 eller fra å multiplisere 6 med 5/3. I begge tilfeller skjer det samme. Derfor kan vi si at å dele ett tall med et annet kan erstattes ved å multiplisere utbyttet med inversen av divisor.
Eksemplene vi gir nedenfor bekrefter denne konklusjonen fullt ut.
Å multiplisere et helt tall med en brøk er ikke en vanskelig oppgave. Men det er finesser som du sikkert forsto på skolen, men som du siden har glemt.
Hvordan multiplisere et helt tall med en brøk - noen få ledd
Hvis du husker hva en teller og nevner er og hvordan en egenbrøk skiller seg fra en uekte brøk, kan du hoppe over dette avsnittet. Det er for de som helt har glemt teorien.
Telleren er den øverste delen av brøken - det vi deler. Nevneren er lavere. Det er dette vi deler på.
En egenbrøk er en hvis teller er mindre enn nevneren. En uekte brøk er en hvis teller er større enn eller lik nevneren.
Hvordan multiplisere et helt tall med en brøk
Regelen for å multiplisere et heltall med en brøk er veldig enkel - vi multipliserer telleren med heltallet, men berører ikke nevneren. For eksempel: to multiplisert med en femtedel - vi får to femdeler. Fire ganget med tre sekstendedeler tilsvarer tolv sekstendedeler.
Reduksjon
I det andre eksemplet kan den resulterende fraksjonen reduseres.
Hva betyr det? Vær oppmerksom på at både telleren og nevneren til denne brøken er delelig med fire. Å dele begge tallene med en felles divisor kalles å redusere brøken. Vi får tre kvarter.
Uekte brøker
Men anta at vi ganger fire med to femtedeler. Det viste seg å være åtte femdeler. Dette er en upassende brøkdel.
Det må definitivt bringes til riktig form. For å gjøre dette, må du velge en hel del fra den.
Her må du bruke divisjon med en rest. Vi får en og tre som en rest.
En hel og tre femtedeler er vår egen brøk.
Å bringe trettifem åttedeler til riktig form er en litt vanskeligere oppgave. Det nærmeste tallet til trettisju som er delelig med åtte, er trettito. Ved deling får vi fire. Trekk fra trettito fra trettifem og vi får tre. Resultat: fire hele og tre åttedeler.
Likhet mellom teller og nevner. Og her er alt veldig enkelt og vakkert. Hvis telleren og nevneren er like, er resultatet rett og slett ett.