Logaritmiske uttrykk, løse eksempler. I denne artikkelen skal vi se på problemer knyttet til å løse logaritmer. Oppgavene stiller spørsmålet om å finne meningen med et uttrykk. Det skal bemerkes at begrepet logaritme brukes i mange oppgaver, og å forstå betydningen er ekstremt viktig. Når det gjelder Unified State Examination, brukes logaritmen når man løser ligninger, i anvendte problemer, også i oppgaver knyttet til studiet av funksjoner.
La oss gi eksempler for å forstå selve betydningen av logaritmen:
Grunnleggende logaritmisk identitet:
Egenskaper til logaritmer som alltid må huskes:
*Logaritme av produktet lik summen logaritmer av faktorer.
* * *
*Logaritmen til en kvotient (brøk) er lik forskjellen mellom logaritmene til faktorene.
* * *
*Logaritme av grad lik produktet eksponent ved logaritmen til basen.
* * *
*Overgang til ny stiftelse
* * *
Flere eiendommer:
* * *
Beregningen av logaritmer er nært knyttet til bruken av egenskaper til eksponenter.
La oss liste noen av dem:
Essensen av denne eiendommen ligger i det faktum at når man overfører telleren til nevneren og omvendt, endres fortegnet til eksponenten til det motsatte. For eksempel:
En konsekvens av denne egenskapen:
* * *
Når du hever en potens til en potens, forblir basen den samme, men eksponentene multipliseres.
* * *
Som du har sett, er selve konseptet med en logaritme enkelt. Det viktigste er hva som trengs god trening, som gir en viss ferdighet. Det kreves selvfølgelig kunnskap om formler. Hvis ferdighetene i å konvertere elementære logaritmer ikke er utviklet, kan du lett gjøre en feil når du løser enkle oppgaver.
Øv deg, løs de enkleste eksemplene fra matematikkkurset først, fortsett så til mer komplekse. I fremtiden vil jeg definitivt vise hvordan "stygge" logaritmer er løst det vil ikke være noen av disse på Unified State Exam, men de er av interesse, ikke gå glipp av det!
Det er alt! Lykke til!
Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh
P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål som revisjon, dataanalyse og ulike studier for å forbedre tjenestene vi tilbyr og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, V prøve, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
\(a^(b)=c\) \(\venstrepil\) \(\log_(a)(c)=b\)
La oss forklare det enklere. For eksempel \(\log_(2)(8)\) lik kraften, som \(2\) må heves til for å oppnå \(8\). Fra dette er det klart at \(\log_(2)(8)=3\).
|
Eksempler: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
fordi \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
fordi \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
fordi \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argument og basis for logaritmen
Enhver logaritme har følgende "anatomi":
Argumentet til en logaritme skrives vanligvis på nivået, og basen skrives i senket skrift nærmere logaritmetegnet. Og denne oppføringen lyder slik: "logaritme av tjuefem til base fem."
Hvordan beregne logaritme?
For å beregne logaritmen må du svare på spørsmålet: til hvilken potens skal basen heves for å få argumentet?
For eksempel, beregn logaritmen: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Til hvilken kraft må \(4\) heves for å få \(16\)? Tydeligvis den andre. Derfor:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Til hvilken styrke må \(\sqrt(5)\) heves for å få \(1\)? Hvilken kraft gjør noen nummer én? Null, selvfølgelig!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Til hvilken makt må \(\sqrt(7)\) heves for å oppnå \(\sqrt(7)\)? For det første er ethvert tall i første potens lik seg selv.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Til hvilken makt må \(3\) heves for å oppnå \(\sqrt(3)\)? Fra vi vet hva det er brøkkraft, og det betyr Kvadratrot er potensen til \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Eksempel : Beregn logaritmen \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Løsning :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Vi må finne verdien av logaritmen, la oss betegne den som x. La oss nå bruke definisjonen av en logaritme: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Hva forbinder \(4\sqrt(2)\) og \(8\)? To, fordi begge tallene kan representeres av toere: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Til venstre bruker vi egenskapene til graden: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) og \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Grunnlaget er like, vi går videre til likestilling av indikatorer |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Multipliser begge sider av ligningen med \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Den resulterende roten er verdien av logaritmen |
Svar : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Hvorfor ble logaritmen oppfunnet?
For å forstå dette, la oss løse ligningen: \(3^(x)=9\). Bare match \(x\) for å få ligningen til å fungere. Selvfølgelig \(x=2\).
Løs nå ligningen: \(3^(x)=8\).Hvorfor lik x? Det er poenget.
De smarteste vil si: "X er litt mindre enn to." Hvordan skal man egentlig skrive dette tallet? For å svare på dette spørsmålet ble logaritmen oppfunnet. Takket være ham kan svaret her skrives som \(x=\log_(3)(8)\).
Jeg vil understreke at \(\log_(3)(8)\), liker enhver logaritme er bare et tall. Ja, det ser uvanlig ut, men det er kort. For hvis vi ville skrive det i skjemaet desimal, så vil det se slik ut: \(1.892789260714.....\)
Eksempel : Løs ligningen \(4^(5x-4)=10\)
Løsning :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) og \(10\) kan ikke bringes til samme base. Dette betyr at du ikke kan klare deg uten en logaritme. La oss bruke definisjonen av logaritme: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
La oss snu ligningen slik at X er til venstre |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Før oss. La oss flytte \(4\) til høyre. Og ikke vær redd for logaritmen, behandle det som et vanlig tall. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Del ligningen med 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Dette er roten vår. Ja, det ser uvanlig ut, men de velger ikke svaret. |
Svar : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Desimal og naturlige logaritmer
Som angitt i definisjonen av en logaritme, kan basen være hvilken som helst positivt tall, bortsett fra enheten \((a>0, a\neq1)\). Og blant alle mulige baser er det to som forekommer så ofte at en spesiell kort notasjon ble oppfunnet for logaritmer med dem:
Naturlig logaritme: en logaritme hvis grunntall er Eulers tall \(e\) (lik ca. \(2.7182818...\)), og logaritmen skrives som \(\ln(a)\).
Det er, \(\ln(a)\) er det samme som \(\log_(e)(a)\)
Desimallogaritme: En logaritme hvis grunntall er 10 skrives \(\lg(a)\).
Det er, \(\lg(a)\) er det samme som \(\log_(10)(a)\), hvor \(a\) er et tall.
Grunnleggende logaritmisk identitet
Logaritmer har mange egenskaper. En av dem kalles "Basic Logarithmic Identity" og ser slik ut:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Denne egenskapen følger direkte av definisjonen. La oss se nøyaktig hvordan denne formelen ble til.
La oss huske en kort notasjon av definisjonen av logaritme:
hvis \(a^(b)=c\), så \(\log_(a)(c)=b\)
Det vil si at \(b\) er det samme som \(\log_(a)(c)\). Da kan vi skrive \(\log_(a)(c)\) i stedet for \(b\) i formelen \(a^(b)=c\). Det viste seg \(a^(\log_(a)(c))=c\) - den logaritmiske hovedidentiteten.
Du kan finne andre egenskaper ved logaritmer. Med deres hjelp kan du forenkle og beregne verdiene til uttrykk med logaritmer, som er vanskelige å beregne direkte.
Eksempel : Finn verdien til uttrykket \(36^(\log_(6)(5))\)
Løsning :
Svar : \(25\)
Hvordan skrive et tall som en logaritme?
Som nevnt ovenfor er enhver logaritme bare et tall. Det motsatte er også sant: ethvert tall kan skrives som en logaritme. For eksempel vet vi at \(\log_(2)(4)\) er lik to. Så i stedet for to kan du skrive \(\log_(2)(4)\).
Men \(\log_(3)(9)\) er også lik \(2\), noe som betyr at vi også kan skrive \(2=\log_(3)(9)\) . På samme måte med \(\log_(5)(25)\), og med \(\log_(9)(81)\), etc. Det vil si, viser det seg
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Hvis vi trenger det, kan vi altså skrive to som en logaritme med hvilken som helst base hvor som helst (det være seg i en likning, i et uttrykk eller i en ulikhet) - vi skriver ganske enkelt grunntallet opphøyd som et argument.
Det er det samme med trippelen – den kan skrives som \(\log_(2)(8)\), eller som \(\log_(3)(27)\), eller som \(\log_(4)( 64) \)... Her skriver vi basen i kuben som et argument:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Og med fire:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Og med minus en:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
Og med en tredjedel:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Ethvert tall \(a\) kan representeres som en logaritme med grunntallet \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Eksempel : Finn betydningen av uttrykket \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Løsning :
Svar : \(1\)
Logaritme av et tall N basert på EN kalt eksponent X , som du må bygge til EN for å få nummeret N
Forutsatt at 
,
,
Fra definisjonen av logaritme følger det at 
, dvs.
– denne likestillingen er grunnleggende logaritmisk identitet.
Logaritmer til grunntall 10 kalles desimallogaritmer. I stedet for 
skrive 
.
Logaritmer til basen e
kalles naturlig og er utpekt 
.
Grunnleggende egenskaper ved logaritmer.
Logaritmen til en er lik null for en hvilken som helst base.
Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til faktorene.
3) Logaritmen til kvotienten er lik differansen til logaritmene
Faktor 
kalt overgangsmodulen fra logaritmer til basen en
til logaritmer ved basen b
.
Ved å bruke egenskapene 2-5 er det ofte mulig å redusere logaritmen til et komplekst uttrykk til resultatet av enkle aritmetiske operasjoner på logaritmer.
For eksempel, 
Slike transformasjoner av en logaritme kalles logaritmer. Transformasjoner invers til logaritmer kalles potensering.
Kapittel 2. Elementer i høyere matematikk.
1. Grenser
Begrensning av funksjonen 
er et endelig tall A hvis, som xx
0
for hver forhåndsbestemt 
, det er et slikt tall 
det så snart 
, Det 
.
En funksjon som har en grense skiller seg fra den med en uendelig mengde: 
, hvor- b.m.v., dvs. 
.
Eksempel. Vurder funksjonen 
.
Når man strever 
, funksjon y
har en tendens til null: 
1.1. Grunnleggende teoremer om grenser.
Grense konstant verdi lik denne konstante verdien
.
Beløpsgrense (forskjell). endelig antall funksjoner er lik summen (forskjellen) av grensene for disse funksjonene.
Grensen for produktet av et begrenset antall funksjoner er lik produktet av grensene for disse funksjonene.
Grensen for kvotienten til to funksjoner er lik kvotienten av grensene til disse funksjonene hvis grensen for nevneren ikke er null.
Fantastiske grenser
,
, Hvor 
1.2. Eksempler på grenseberegning
Imidlertid er ikke alle grenser beregnet så lett. Oftere kommer beregning av grensen ned til å avsløre en usikkerhet av typen: 
eller .
.
2. Derivert av en funksjon
La oss ha en funksjon 
, kontinuerlig på segmentet 
.
Argument 
fått en viss økning 
. Da vil funksjonen motta en økning 
.
Argumentverdi 
tilsvarer funksjonsverdien 
.
Argumentverdi 
tilsvarer funksjonsverdien.
Derfor,.
La oss finne grensen for dette forholdet ved 
. Hvis denne grensen eksisterer, kalles den den deriverte av den gitte funksjonen.
Definisjon 3 Derivert av en gitt funksjon 
ved argument 
kalles grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet, når økningen av argumentet vilkårlig har en tendens til null.
Derivert av en funksjon 
kan betegnes som følger:
;
;
;
.
Definisjon 4 Operasjonen med å finne den deriverte av en funksjon kalles differensiering.
2.1. Mekanisk betydning av derivat.
La oss vurdere den rettlinjede bevegelsen til et eller annet stivt legeme eller materialpunkt.
La på et tidspunkt 
bevegelige punkt 
var på avstand 
fra startposisjonen 
.
Etter en stund 
hun beveget seg et stykke 
. Holdning 
=
- gjennomsnittshastighet materiell poeng 
. La oss finne grensen for dette forholdet, med tanke på det 
.
Derfor definisjonen øyeblikkelig hastighet bevegelse av et materiell punkt kommer ned til å finne den deriverte av banen med hensyn til tid.
2.2. Geometrisk betydning derivat
La oss ha en grafisk definert funksjon 
.
Ris. 1. Geometrisk betydning av derivat
Hvis 
, så pek 
, vil bevege seg langs kurven og nærme seg punktet 
.
Derfor 
, dvs. verdien av den deriverte for en gitt verdi av argumentet 
numerisk lik tangenten til vinkelen dannet av tangenten i et gitt punkt med den positive retningen til aksen 
.
2.3. Tabell over grunnleggende differensieringsformler.
Power funksjon
|
|
|
|
|
|
|
Eksponentiell funksjon
|
|
|
|
|
Logaritmisk funksjon
|
|
|
|
|
Trigonometrisk funksjon
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Invers trigonometrisk funksjon
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Regler for differensiering.
Avledet av 
Derivert av summen (forskjellen) av funksjoner
Derivert av produktet av to funksjoner
Derivert av kvotienten til to funksjoner
2.5. Avledet av kompleks funksjon.
La funksjonen være gitt 
slik at det kan representeres i formen
Og 
, hvor variabelen 
er altså et mellomargument 
Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av den gitte funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet og den deriverte av det mellomliggende argumentet med hensyn til x.
Eksempel 1. 
Eksempel 2. 
3. Differensialfunksjon.
La det være 
, differensierbar på et eller annet intervall 
La det gå på
denne funksjonen har en derivert
,
så kan vi skrive
(1),
Hvor 
- en uendelig liten mengde,
siden når 
Multiplisere alle likhetsvilkår (1) med 
vi har:
Hvor 
- b.m.v. høyere ordre.
Omfanget 
kalt funksjonens differensial 
og er utpekt 
.
3.1. Geometrisk verdi av differensialen.
La funksjonen være gitt 
.
Fig.2. Geometrisk betydning av differensial.
.
Tydeligvis differensialen til funksjonen 
er lik økningen av ordinaten til tangenten i et gitt punkt.
3.2. Derivater og differensialer av ulike rekkefølger.
Hvis det er 
, Deretter 
kalles den første deriverte.
Den deriverte av den første deriverte kalles andreordens deriverte og skrives 
.
Derivert av den n-te rekkefølgen av funksjonen 
kalles (n-1) ordensderiverte og er skrevet:
.
Differensialen til differensialen til en funksjon kalles den andre differensialen eller andreordensdifferensialen.
.
.
3.3 Løse biologiske problemer ved hjelp av differensiering.
Oppgave 1. Studier har vist at veksten av en koloni av mikroorganismer følger loven 
, Hvor N
- antall mikroorganismer (i tusenvis), t
– tid (dager).
b) Vil befolkningen i kolonien øke eller avta i løpet av denne perioden?
Svar. Størrelsen på kolonien vil øke.
Oppgave 2. Vannet i innsjøen testes med jevne mellomrom for å overvåke innholdet av sykdomsfremkallende bakterier. Gjennom t dager etter testing bestemmes konsentrasjonen av bakterier av forholdet
.
Når vil innsjøen ha en minimumskonsentrasjon av bakterier og vil det være mulig å svømme i den?
Løsning: En funksjon når maks eller min når dens deriverte er null.
,
La oss bestemme maks eller min vil være om 6 dager. For å gjøre dette, la oss ta den andre deriverte.
Svar: Etter 6 dager vil det være en minimumskonsentrasjon av bakterier.
(fra gresk λόγος - "ord", "relasjon" og ἀριθμός - "tall") tall b basert på en(log α b) kalles et slikt tall c, Og b= en c, dvs. registrerer log α b=c Og b=ac er likeverdige. Logaritmen gir mening hvis a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Med andre ord logaritme tall b basert på EN formulert som en eksponent som et tall må heves til en for å få nummeret b(logaritme eksisterer bare for positive tall).
Av denne formuleringen følger det at beregningen x= log α b, tilsvarer å løse ligningen a x =b.
For eksempel:
log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 .
La oss understreke at den angitte formuleringen av logaritmen gjør det mulig å bestemme umiddelbart logaritmeverdi, når tallet under logaritmetegnet fungerer som en potens av grunntallet. Formuleringen av logaritmen gjør det faktisk mulig å rettferdiggjøre at hvis b=a c, deretter logaritmen til tallet b basert på en er lik Med. Det er også tydelig at temaet logaritmer er nært knyttet til temaet potenser av et tall.
Å beregne logaritmen kalles logaritme. Logaritmen er matematisk operasjon tar logaritmen. Når du tar logaritmer, transformeres produkter av faktorer til sum av ledd.
Potensering er den inverse matematiske operasjonen til logaritmen. Under potensering heves en gitt base til den grad av uttrykk som potensering utføres over. I dette tilfellet transformeres summen av ledd til et produkt av faktorer.
Reelle logaritmer med baser 2 (binær) brukes ganske ofte, e Euler-tall e ≈ 2,718 ( naturlig logaritme) og 10 (desimal).
På sånn som det er nå det er tilrådelig å vurdere logaritmeprøver logg 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.
Og oppføringene lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 gir ikke mening, siden i den første av dem er et negativt tall plassert under logaritmetegnet, i det andre - et negativt tall i basen, og i den tredje - både et negativt tall under logaritmetegnet og en enhet i basen.
Betingelser for å bestemme logaritmen.
Det er verdt å vurdere separat betingelsene a > 0, a ≠ 1, b > 0. som vi får definisjon av logaritme. La oss vurdere hvorfor disse begrensningene ble tatt. En likhet på formen x = log α vil hjelpe oss med dette b, kalt den grunnleggende logaritmiske identiteten, som følger direkte av definisjonen av logaritme gitt ovenfor.
La oss ta tilstanden a≠1. Siden én til en hvilken som helst potens er lik én, er likheten x=log α b kan bare eksistere når b=1, men log 1 1 vil være et hvilket som helst reelt tall. For å eliminere denne tvetydigheten tar vi a≠1.
La oss bevise nødvendigheten av tilstanden a>0. På a=0 i henhold til formuleringen av logaritmen kan eksistere bare når b=0. Og følgelig da logg 0 0 kan være et hvilket som helst reelt tall som ikke er null, siden null til en potensiell ikke-null er null. Denne tvetydigheten kan elimineres av tilstanden a≠0. Og når en<0 vi må avvise analysen av rasjonelle og irrasjonelle verdier av logaritmen, siden en grad med en rasjonell og irrasjonell eksponent er definert bare for ikke-negative baser. Det er av denne grunn at vilkåret er fastsatt a>0.
OG siste tilstand b>0 følger av ulikhet a>0, siden x=log α b, og verdien av graden med positivt grunnlag en alltid positiv.
Funksjoner av logaritmer.
Logaritmer preget av særegne egenskaper, noe som førte til utbredt bruk for å forenkle møysommelige beregninger betydelig. Når du flytter "til logaritmenes verden", transformeres multiplikasjon med mye mer enkel bretting, divisjon er subtraksjon, og eksponentiering og rotekstraksjon transformeres til henholdsvis multiplikasjon og divisjon med eksponenten.
Formulering av logaritmer og tabell over deres verdier (for trigonometriske funksjoner) ble først utgitt i 1614 av den skotske matematikeren John Napier. Logaritmiske tabeller, forstørret og detaljert av andre forskere, ble mye brukt i vitenskapelige og tekniske beregninger, og forble relevante inntil elektroniske kalkulatorer og datamaskiner ble brukt.