I denne artikkelen vil jeg snakke om algoritme for å finne den største og minste verdien funksjoner, minimum og maksimum poeng.
Fra teorien vil det definitivt være nyttig for oss derivattabell Og differensieringsregler. Alt er på denne tallerkenen:
Algoritme for å finne den største og minste verdien.
Det er mer praktisk for meg å forklare spesifikt eksempel. Ta i betraktning:
Eksempel: Finne høyeste verdi funksjoner y=x^5+20x^3–65x på intervallet [–4;0].
Trinn 1. Vi tar den deriverte.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Steg 2. Finne ekstreme punkter.
Ekstrempunkt vi kaller de punktene der funksjonen når sin største eller minste verdi.
For å finne ekstremumpunktene må du likestille den deriverte av funksjonen til null (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
La oss nå løse dette biquadratisk ligning og de funnet røttene er våre ytterpunkter.
Jeg løser slike ligninger ved å erstatte t = x^2, så 5t^2 + 60t - 65 = 0.
La oss redusere ligningen med 5, vi får: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Vi gjør den motsatte endringen x^2 = t:
X_(1 og 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 og 4) = ±sqrt(-13) (vi ekskluderer, det kan ikke være negative tall, med mindre vi selvfølgelig snakker om komplekse tall)
Totalt: x_(1) = 1 og x_(2) = -1 - dette er våre ekstremumpunkter.
Trinn 3. Bestem den største og minste verdien.
Substitusjonsmetode.
I tilstanden fikk vi segmentet [b][–4;0]. Punktet x=1 er ikke inkludert i dette segmentet. Så vi vurderer det ikke. Men i tillegg til punktet x=-1, må vi også vurdere venstre og høyre grenser for segmentet vårt, det vil si punktene -4 og 0. For å gjøre dette, erstatter vi alle disse tre punktene i den opprinnelige funksjonen. Legg merke til at den opprinnelige er den gitt i tilstanden (y=x^5+20x^3–65x), noen begynner å erstatte den med den deriverte...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Dette betyr at den største verdien av funksjonen er [b]44 og den oppnås ved punkt [b]-1, som kalles maksimumspunktet for funksjonen på segmentet [-4; 0].
Vi bestemte oss og fikk svar, vi er flotte, du kan slappe av. Men stopp! Synes du ikke det er for vanskelig å beregne y(-4) på en eller annen måte? Under forhold med begrenset tid er det bedre å bruke en annen metode, jeg kaller det dette:
Gjennom intervaller med tegnkonstans.
Disse intervallene finnes for den deriverte av funksjonen, det vil si for vår biquadratiske ligning.
jeg gjør det på følgende måte. Jeg tegner et rettet segment. Jeg plasserer prikkene: -4, -1, 0, 1. Til tross for at 1 ikke er inkludert i gitt segment, bør det fortsatt bemerkes for å korrekt bestemme intervallene for tegnkonstans. La oss ta et tall som er mange ganger større enn 1, for eksempel 100, og mentalt erstatte det med vår biquadratiske ligning 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Selv uten å telle noe, blir det åpenbart at ved punkt 100 funksjonen har plusstegn. Dette betyr at for intervaller fra 1 til 100 har den et plusstegn. Når du passerer gjennom 1 (vi går fra høyre til venstre), vil funksjonen endre fortegn til minus. Når man passerer gjennom punkt 0, vil funksjonen beholde sitt fortegn, siden dette kun er grensen til segmentet, og ikke roten til ligningen. Ved passering gjennom -1 vil funksjonen igjen endre fortegn til pluss.
Fra teori vet vi at hvor den deriverte av funksjonen er (og vi tegnet dette nettopp for det) skifter fortegn fra pluss til minus (punkt -1 i vårt tilfelle) funksjon når sitt lokale maksimum (y(-1)=44, som beregnet tidligere) på dette segmentet(dette er logisk sett veldig forståelig, funksjonen sluttet å øke fordi den nådde sitt maksimum og begynte å avta).
Følgelig, hvor den deriverte av funksjonen skifter fortegn fra minus til pluss, er oppnådd lokalt minimum av en funksjon. Ja, ja, vi fant også at det lokale minimumspunktet er 1, og y(1) er det minimumsverdi fungerer på et segment, la oss si fra -1 til +∞. Vær oppmerksom på at dette kun er et LOKALT MINIMUM, det vil si minimum kl et bestemt segment. Siden funksjonens reelle (globale) minimum vil nå et sted der, ved -∞.
Etter min mening er den første metoden enklere teoretisk, og den andre er enklere fra synspunktet aritmetiske operasjoner, men mye mer komplisert fra et teoretisk synspunkt. Tross alt, noen ganger er det tilfeller der funksjonen ikke endrer fortegn når den går gjennom roten av ligningen, og generelt kan du bli forvirret med disse lokale, globale maksima og minima, selv om du uansett må mestre dette godt hvis du planlegger å melde seg inn teknisk universitet(hvorfor skulle du ellers ta det? profil Unified State Exam og løse dette problemet). Men øvelse og bare øvelse vil lære deg å løse slike problemer en gang for alle. Og du kan trene på nettsiden vår. Her .
Hvis du har spørsmål eller noe er uklart, sørg for å spørre. Jeg vil gjerne svare deg og gjøre endringer og tillegg til artikkelen. Husk at vi lager denne siden sammen!
Studie av et slikt objekt matematisk analyse som en funksjon har stor betydning og på andre områder av vitenskapen. For eksempel i økonomisk analyse atferd er stadig nødvendig å bli vurdert funksjoner fortjeneste, nemlig å bestemme dens største betydning og utvikle en strategi for å oppnå det.
Bruksanvisning
Studiet av enhver atferd bør alltid begynne med et søk etter definisjonsdomenet. Vanligvis etter tilstand spesifikk oppgave det er nødvendig å bestemme den største betydning funksjoner enten over hele dette området, eller over et spesifikt intervall av det med åpne eller lukkede grenser.
Basert på er den største betydning funksjoner y(x0), der ulikheten y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) gjelder for ethvert punkt i definisjonsdomenet. Grafisk vil dette punktet være det høyeste hvis argumentverdiene er plassert langs abscisseaksen, og selve funksjonen langs ordinataksen.
For å bestemme den største betydning funksjoner, følg tre-trinns algoritmen. Vær oppmerksom på at du må kunne jobbe med ensidig og , samt beregne den deriverte. Så la en funksjon y(x) gis, og du må finne den største betydning på et visst intervall med grenseverdier A og B.
Finn ut om dette intervallet er innenfor rammen av definisjonen funksjoner. For å gjøre dette, må du finne det ved å vurdere alle mulige begrensninger: tilstedeværelsen av en brøkdel i uttrykket, kvadratrot etc. Definisjonsdomenet er settet med argumentverdier som funksjonen gir mening for. Bestemme hvorvidt gitt intervall dens undergruppe. Hvis ja, gå til neste nivå.
Finn den deriverte funksjoner og løse den resulterende ligningen ved å likestille den deriverte til null. På denne måten får du verdiene til de såkalte stasjonære poengene. Vurder om minst én av dem tilhører intervallet A, B.
På det tredje stadiet, vurder disse punktene og bytt inn verdiene deres i funksjonen. Utfør følgende tilleggstrinn, avhengig av intervalltypen. Hvis det er et segment av formen [A, B], er grensepunktene inkludert i intervallet, dette er indikert med parentes. Beregn verdier funksjoner for x = A og x = B. If åpent intervall(A, B), grenseverdiene er punktert, dvs. er ikke inkludert i den. Løs ensidige grenser for x→A og x→B. Et kombinert intervall av formen [A, B) eller (A, B), hvis grenser tilhører den, den andre ikke. Finn den ensidige grensen ettersom x har en tendens til den punkterte verdien, og sett den andre inn i funksjonen. Uendelig tosidig intervall (-∞, +∞) eller ensidig uendelig intervall av formen: , (-∞, B).For reelle grenser A og B, fortsett i henhold til prinsippene som allerede er beskrevet, og for uendelige, se etter grenser for henholdsvis x→-∞ og x→+∞.
Oppgaven på dette stadiet
Problemstilling 2:
Gitt en funksjon som er definert og kontinuerlig på et visst intervall. Du må finne den største (minste) verdien av funksjonen på dette intervallet.
Teoretisk grunnlag.
Teorem (andre Weierstrass-teorem):
Hvis en funksjon er definert og kontinuerlig i et lukket intervall, når den sine maksimums- og minimumsverdier i dette intervallet.
Funksjonen kan nå sine største og minste verdier enten ved interne punkter gap eller ved dens grenser. La oss illustrere alle mulige alternativer. 
Forklaring:
1) Funksjonen når sin største verdi på venstre grense av intervallet ved punkt , og minimumsverdi på høyre grense av intervallet ved punkt .
2) Funksjonen når sin største verdi ved punktet (dette er maksimumspunktet), og minimumsverdien ved høyre grense av intervallet ved punktet.
3) Funksjonen når sin maksimumsverdi på venstre grense av intervallet ved punkt , og minimumsverdien ved punkt (dette er minimumspunktet).
4) Funksjonen er konstant på intervallet, dvs. den når minimums- og maksimumsverdiene når som helst i intervallet, og minimums- og maksimumsverdiene er lik hverandre.
5) Funksjonen når sin maksimumsverdi ved punkt , og minimumsverdi ved punkt (til tross for at funksjonen har både maksimum og minimum på dette intervallet).
6) Funksjonen når sin største verdi ved et punkt (dette er maksimumspunktet), og minimumsverdien ved et punkt (dette er minimumspunktet).
Kommentar:
"Maksimal" og "maksimal verdi" er forskjellige ting. Dette følger av definisjonen av maksimum og den intuitive forståelsen av uttrykket "maksimal verdi".
Algoritme for å løse oppgave 2.
4) Velg den største (minste) fra de oppnådde verdiene og skriv ned svaret.
Eksempel 4:
Bestem den største og minste verdien av en funksjon 
på segmentet.
Løsning:
1) Finn den deriverte av funksjonen. 
2) Finn stasjonære punkter (og punkter som mistenkes for ekstremum) ved å løse ligningen. Vær oppmerksom på punktene der det ikke er noen tosidig endelig avledet. 
3) Beregn funksjonsverdiene i stasjonære punkter og ved grensene for intervallet.
4) Velg den største (minste) fra de oppnådde verdiene og skriv ned svaret.
Funksjonen på dette segmentet når sin største verdi ved punktet med koordinater.
Funksjonen på dette segmentet når minimumsverdien ved punktet med koordinater.
Du kan verifisere riktigheten av beregningene ved å se på grafen til funksjonen som studeres. 
Kommentar: Funksjonen når sin største verdi ved maksimumspunktet, og minimum ved grensen til segmentet.
Et spesielt tilfelle.
Anta at du må finne maksimums- og minimumsverdiene til en funksjon på et segment. Etter å ha fullført det første punktet i algoritmen, dvs. derivatberegning, blir det klart at det for eksempel bare tar negative verdier over hele det betraktede segmentet. Husk at hvis den deriverte er negativ, så reduseres funksjonen. Vi fant at funksjonen avtar over hele segmentet. Denne situasjonen er vist i graf nr. 1 i begynnelsen av artikkelen.
Funksjonen avtar på segmentet, dvs. den har ingen ekstreme poeng. Fra bildet kan du se at funksjonen vil ta den minste verdien på høyre grense av segmentet, og den største verdien til venstre. hvis den deriverte på segmentet er positiv overalt, så øker funksjonen. Laveste verdi- på venstre kant av segmentet, den største - til høyre.