I tidligere leksjoner lærte vi hvordan vi løser andregradsligninger. For å gjøre dette var det nødvendig å introdusere en ny matematisk objekt- diskriminerende. Hvis du ikke husker hva dette er, anbefaler jeg å gå tilbake til leksjonen "Hvordan løser du andregradsligninger".

Først en definisjon av hva bi er. kvadratisk ligning er ethvert uttrykk der variabelen bare er tilstede i 4. og 2. potens.

1) introduser en ny variabel $((x)^(2))=t$. I dette tilfellet, kvadrering av begge sider av denne ligningen, får vi

\[\begin(align)& (((((x)^(2))))^(2))=((t)^(2)) \\& ((x)^(4))= ((t)^(2)) \\\end(align)\]

2) omskriv uttrykket vårt - $a((x)^(4))+b((x)^(2))+4=0\til a((t)^(2))+bt+c=0 $

3) finn en løsning for den resulterende ligningen og finn variablene $((t)_(1))$ og $((t)_(2))$ hvis det er to røtter.

4) vi utfører omvendt erstatning, dvs. vi husker hva $t$ er, vi får to konstruksjoner: $((x)^(2))=((t)_(1))$ og $((x)^ (2))=((t)_(2))$.

5) løs de resulterende ligningene og finn X-ene.

Virkelige utfordringer

Eksempel nr. 1

La oss se hvordan denne ordningen fungerer på ekte biquadratiske ligninger.

La oss løse det første problemet:

\[((x)^(4))-5((x)^(2))+4=0\]

Vi introduserer en ny variabel og omskriver:

\[((x)^(2))=t\til ((t)^(2))-5t+4=0\]

Dette er en vanlig andregradsligning, la oss beregne den ved å bruke diskriminanten:

Dette er et bra tall. Roten er 3.

Nå finner vi verdien av $t$:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\tekst( )=\tekst( )\frac(5+3)(2)=\tekst( )\frac(8)(2)\tekst( )=\tekst( ) 4 \\((t)_(2))\tekst( )=\frac(5-3)(2)=\tekst( )\frac(2)(2)\tekst(= )1 \\\slutt (matrise)\]

Men vær forsiktig, vi fant bare $t$ - dette er ikke en løsning, dette er bare det tredje trinnet. La oss gå videre til fjerde trinn— husk hva $t$ er og bestem deg:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=4\to ((x)^(2))-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\ & \venstre[ \begin(align)& x=2 \\& x=-2 \\\end(align) \right. \\\end(align)\]

Så vi har løst den første delen. La oss gå videre til den andre verdien av $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1\to ((x)^(2))-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\ & \venstre[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right. \\\end(align)\]

Totalt fikk vi fire svar: 2; -2; 1; -1, dvs. en biquadratisk ligning kan ha opptil fire røtter.

Eksempel nr. 2

La oss gå videre til det andre eksemplet:

\[((x)^(4))-25((x)^(2))+144=0\]

Jeg vil ikke beskrive alt i detalj her. La oss bestemme som vi ville gjort i klassen.

Vi erstatter:

Da får vi:

\[((t)^(2))-25t+144=0\]

Vi teller $D$:

Roten til diskriminanten er 7. La oss finne $t$:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\tekst( )=\frac(25+7)(2)\tekst( )=\tekst( )\frac(32)(2)=\tekst( )16 \\( (t)_(2))\tekst( )=\frac(25-7)(2)=\tekst( )\frac(18)(2)\tekst( )=\tekst( )9 \\\slutt (matrise)\]

La oss huske hva $t$ er:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=16 \\& \venstre[ \begin(align)& x=4 \\& x=-4 \\\end(align) \right . \\\end(align)\]

Andre alternativ:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=9 \\& \venstre[ \begin(align)& x=3 \\& x=-3 \\\end(align) \right . \\\end(align)\]

Det er alt. Vi har igjen fire svar: 4; -4; 3; -3.

Eksempel nr. 3

La oss gå videre til den siste biquadratiske ligningen:

\[((x)^(4))-\frac(5)(4((x)^(2)))+\frac(1)(4)=0\]

Igjen introduserer vi erstatningen:

\[((t)^(2))-\frac(5)(4t)+\frac(1)(4)=0\]

La oss gange begge sider med 4 for å bli kvitt brøkoddser:

La oss finne $D$:

Roten til diskriminanten er tre:

\[\begin(array)(·(35)(l))

((t)_(1))\tekst( )=\tekst( )\frac(5+3)(2\cdot 4)=\tekst( )\frac(8)(8)\tekst( )=\ tekst( )1 \\((t)_(2))\tekst( )=\frac(5-3)(2\cdot 4)=\tekst( )\frac(2)(8)=\tekst( )\frac(1)(4) \\\end(array)\]

Vi teller X-ene. La oss huske hva $t$ er:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1 \\& \venstre[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right . \\\end(align)\]

Det andre alternativet er litt mer komplisert:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=\frac(1)(4) \\& \left[ \begin(align)& x=\frac(1)(2) \\ & x=-\frac(1)(2) \\\end(align) \right. \\\end(align)\]

Vi fikk fire røtter igjen:

Slik er alt avgjort biquadratiske ligninger. Dette er selvfølgelig ikke det meste rask måte, men han er den mest pålitelige. Prøv å løse de samme eksemplene som i denne videoen selv. I svaret må verdiene til X-ene skrives atskilt med semikolon - dette er hvordan jeg skrev dem ned. Dette avslutter leksjonen. Lykke til!

Først andregradsligninger matematikere klarte å løse det gamle Egypt. Babylonerne var i stand til å løse ufullstendige kvadratiske ligninger, så vel som spesielle typer komplette kvadratiske ligninger rundt 2000 år f.Kr. Gamle greske matematikere var i stand til å løse visse typer kvadratiske ligninger, og redusere dem til geometriske konstruksjoner. Eksempler på å løse likninger uten å bruke geometrisk kunnskap er gitt av Diophantus av Alexandria (3. århundre). Diophantus skisserte i bøkene Arithmetic en metode for å løse komplette kvadratiske ligninger, men disse bøkene har ikke overlevd. I Europa ble formler for å løse kvadratiske ligninger først satt frem av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci i 1202.

Generell regel for løsning av andregradsligninger konvertert til formen x 2 + bx = c, er beskrevet tysk matematiker M. Stiefel. Han formulerte det i 1544 generell regel løse andregradsligninger redusert til en enhetlig kanonisk form
x 2 + bx + c = 0 med alle mulige variasjoner av tegn og koeffisienter b og c.

François Viète utledet formlene for kvadratisk ligning i generell form, men han jobbet bare med positive tall.

Tartaglia, Cardano, Bombelli er italienske forskere som var blant de første på 1500-tallet som tok hensyn til, i tillegg til positive, negative røtter.

Viet var den som utviklet formelen for å løse generelle andregradsligninger. Han kom med ett utsagn bare for positive røtter (han kjente ikke igjen negative tall).

Etter verkene til den nederlandske matematikeren Albert Girard, samt Descartes og Newton, tok metoder for å løse andregradsligninger en moderne form.

Kvadratiske ligninger

1. La oss huske de allerede kjente metodene for å løse og studere kvadratiske ligninger:

• velge en komplett firkant;
• bruke rotformelen for en andregradsligning;
• ved Vietas teorem;
• basert på egenskapene til en kvadratisk funksjon.

I prosessen med å løse ligninger er det nødvendig å holde styr på mange akseptable verdier ukjent, fordi det kan endre seg. Hvis den utvides, bør løsningen som ble funnet sjekkes for å se om den er fremmed for gitt ligning. Hvis det har skjedd en innsnevring, er det nødvendig å verifisere om de tapte verdiene til de ukjente er løsninger på denne ligningen. Prosessen med å finne tilfeldige løsninger er ikke alltid lett å utføre, så det er tilrådelig å unngå å begrense settet med tillatte verdier av ukjente i ligningen.

2. Vanlige feil når man løser ligninger.

I henhold til reglene kan du transformere den opprinnelige ligningen til en ekvivalent, og du vet det: begge sider av ligningen kan deles eller multipliseres med samme tall som ikke er null.

1) Hvis ligningen har formen f(x) · g(x) = p(x) · g(x), så er det som regel uakseptabelt å dele begge sider med samme faktor g(x). Denne handlingen kan føre til tap av røtter: røttene til ligningen g(x) = 0 kan gå tapt, hvis de eksisterer.

Eksempel 1.

Løs ligningen 2(x – 3) = (x – 3)(x + 5).

Løsning.

Her kan du ikke redusere med en faktor (x – 3).

2(x – 3) – (x – 3)(x + 5) = 0, fjern den generelle parentesen:

(x – 3)(-x – 3) = 0, nå

x – 3 = 0 eller -x – 3 = 0;

x = 3 eller x = -3.

Svar: -3; 3.

2) En ligning av formen f(x) / g(x) = 0 kan erstattes av systemet:

(f(x) = 0,
(g(x) ≠ 0.

Det tilsvarer den opprinnelige ligningen.

Eller du kan løse ligningen f(x) = 0, og først da eliminere røttene som får nevneren g(x) til å forsvinne.

Møte rasjonelle brøklikninger, som reduserer til andregradsligninger.

Eksempel 2.

Løs ligningen: (x + 3) / (x – 3) + (x – 3) / (x + 3) = 10/3 + 36/(x – 3)(x + 3).

Løsning.

Multipliser begge sider av ligningen med fellesnevner og erstatter den opprinnelige ligningen med et heltall, får vi et ekvivalent system:

(3(x + 3) 2 + 3(x – 3) 2 = 10(x – 3)(x + 3) + 3 36;
((x – 3)(x +3) ≠ 0.

Som et resultat får vi to røtter: x = 3 eller x = -3, men x ≠ 3 og x ≠ -3.

Svar: ligningen har ingen røtter.

Eksempel 3.

Løs ligningen: (x + 5)(x 2 + 4x - 5)/(x + 5)(x + 2) = 0.

Løsning.

Ofte begrenset til denne løsningen:

(x 2 + 4x – 5) / (x + 2) = 0.
(x = -5, x = 1,
(x ≠ -2.

Svar: -5; 1.

Riktig svar: 1.

Eksempel 4.

Når du fullfører vanlige andregradsligningsoppgaver følgende type: «Uten å regne ekte røtter x 1 og x 2 ligninger 2x 2 + 3x + 2 = 0, finn verdien av x 1 2 + x 2 2 " enkel uoppmerksomhet fører til en alvorlig feil.

Faktisk, ifølge Vietas teorem,

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – x 1 x 2 = (-3/2) 2 – 2 1 = 1/4.

Imidlertid kunne teoremet brukes hvis det fantes reelle røtter. I dette eksemplet D< 0 и корней нет.

Svar: Verdien x 1 2 + x 2 2 eksisterer ikke.

Eksempel 5.

Regn ut den negative koeffisienten b og røttene til ligningen x 2 + bx – 1 = 0, hvis de med en økning i hver av disse røttene med én blir røttene til ligningen x 2 – b 2 x – b = 0.

Løsning.

La x 1 og x 2 være røttene til ligningen x 2 + bx – 1 = 0. Deretter, ved Vietas punkt

x 1 + x 2 = -b og x 1 x 2 = -1 (*). På den annen side, etter tilstand

(x 1 + 1) + (x 2 + 1) = b 2 og (x 1 + 1) (x 2 + 1) = -b.

La oss skrive om:

x 1 + x 2 = b 2 – 2 og (x 1 + 1) (x 2 + 1) = -b.

Når vi tar i betraktning forholdene (*), får vi b 2 – 2 = -b, derfor,

b 1 = -2, b 2 = 1. Ifølge betingelsen er b 1 = -2.

Dette betyr at den opprinnelige ligningen har formen x 2 – 2x – 1 = 0, røttene er tallene x 1,2 = 1 ± √2.

Svar: b 1 = -2, x 1,2 = 1 ± √2.

Ligninger redusert til kvadratisk. Biquadratiske ligninger

Formens ligninger ax 4 + bx 2 + c = 0, hvor a ≠ 0, er kalt biquadratiske ligninger med én variabel.

For å løse den bikwadratiske likningen må du gjøre substitusjonen x 2 = t, finne røttene t 1 og t 2 til den andregradsligningen ved 2 + bt + c = 0 og løse likningene x 2 = t 1 og x 2 = t 2. De har løsninger bare i tilfellet når t 1,2 ≥ 0.

Eksempel 1.

Løs ligningen x 4 + 5x 2 – 36 = 0.

Løsning.

Bytte: x 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Ifølge punkt Vieta t 1 = -9 og t 2 = 4.

x 2 = -9 eller x 2 = 4.

Svar: Det er ingen røtter i den første ligningen, men i den andre: x = ±2.

Eksempel 2.

Løs ligningen (2x – 1) 4 – 25(2x – 1) 2 + 144 = 0.

Løsning.

Bytte: (2x – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Ifølge punkt Vieta t 1 = 9 og t 2 = 16.

(2x – 1) 2 = 9 eller (2x – 1) 2 = 16.

2x – 1 = ±3 eller 2x – 1 = ±4.

Det er to røtter fra den første ligningen: x = 2 og x = -1, og fra den andre også: x = 2,5 og x = -1,5.

Svar: -1,5; -1; 2; 2.5.

Dermed består prosessen med å løse eventuelle ligninger av å sekvensielt erstatte en gitt ligning med en annen, ekvivalent og enklere ligning.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser ligninger?
For å få hjelp fra en veileder -.
Den første leksjonen er gratis!

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

Alle har kjent et slikt konsept som ligninger siden skolen. En ligning er en likhet som inneholder en eller flere variabler. Når du vet at en av delene av en gitt likhet er lik den andre, kan du isolere individuelle deler av ligningen, og overføre visse av dens komponenter utover likhetstegnet i henhold til klart definerte regler. Du kan forenkle ligningen til den nødvendige logiske konklusjonen i formen x=n, hvor n er et hvilket som helst tall.

MED grunnskole Alle barn gjennomgår et studieløp av ulik kompleksitet. Senere i programmet dukker det opp mer komplekse lineære ligninger - kvadratiske, så kommer kubikkligninger. Hver påfølgende type ligninger har nye løsningsmetoder, som blir vanskeligere å studere og gjenta.

Men etter dette dukker spørsmålet opp om å løse denne typen ligninger, for eksempel biquadratiske ligninger. Denne typen, til tross for den tilsynelatende kompleksiteten, løses det ganske enkelt: det viktigste er å kunne bringe slike ligninger i riktig form. Løsningen deres studeres i en eller to leksjoner sammen med praktiske oppgaver, hvis studentene har grunnleggende kunnskap på å løse andregradsligninger.

Hva trenger en person som står overfor denne typen ligninger å vite? Til å begynne med inkluderer de bare jevne potenser av variabelen "x": den fjerde og følgelig den andre. For at en biquadratisk likning skal være løsbar, må den bringes til skjemaet Hvordan gjøre dette? Enkelt nok! Du trenger bare å erstatte "x" i firkanten med "y". Da vil "X" til fjerde potens, som er skummelt for mange skolebarn, bli til en "Y" i kvadrat, og ligningen vil ha form av en vanlig kvadratisk.

Deretter løses den som en vanlig andregradsligning: den blir faktorisert, hvoretter verdien av den mystiske "y" blir funnet. For å løse en biquadratisk ligning til slutten, må du finne fra tallet "y" - dette vil være den ønskede verdien "x", etter å ha funnet verdiene som du kan gratulere deg selv med vellykket gjennomføring av beregningene.

Hva bør du huske når du løser ligninger av denne typen? Først og viktigst: jeg kan ikke være et negativt tall! Selve betingelsen om at spillet er kvadratet av tallet X utelukker en slik løsning. Derfor, hvis, når du først løser en biquadratisk ligning, en av "y"-verdiene viser seg å være positiv og den andre er negativ, må du bare ta den positive versjonen, ellers vil den biquadratiske ligningen bli løst feil. Det er bedre å umiddelbart introdusere regelen om at variabelen "y" er større enn eller lik null.

Den andre viktige nyansen: tallet "X", som er kvadratroten av tallet "Y", kan være enten positivt eller negativt. La oss si at hvis "y" er lik fire, vil den biquadratiske ligningen ha to løsninger: to og minus to. Dette skjer av den grunn et negativt tall, hevet til en jevn potens, er lik tallet på samme modul, men flott tegn, hevet til samme makt. Derfor er det alltid verdt å huske dette viktige punktet, ellers kan du rett og slett miste ett eller flere svar på ligningen. Det er best å umiddelbart skrive at "x" er lik pluss eller minus kvadratroten av "y".

Generelt er det ganske enkelt å løse biquadratiske ligninger og krever ikke mye tid. For å studere dette emnet i skolepensum to er nok akademiske timer- uten å telle, selvfølgelig, repetisjoner og tester. Biquadratiske ligninger standard visning kan løses veldig enkelt hvis du følger reglene ovenfor. Å løse dem vil ikke være vanskelig for deg, fordi det er beskrevet i detalj i matematikk lærebøker. Lykke til med studiene og suksess med å løse eventuelle problemer, ikke bare matematiske!

Før du løser biquadratiske ligninger, må du forstå hva som er dette uttrykket. Så dette er en ligning av fjerde grad, som kan skrives som følger: " (akse 4) + (bx 2) + c = 0" Hans generell form kan skrives i formen " Åh" For å løse en ligning av denne typen, må du bruke en metode som kalles "substitusjon av ukjente." Ifølge ham er uttrykket " x 2" må erstattes av en annen variabel. Etter en slik substitusjon oppnås en enkel kvadratisk ligning, hvis løsning i fremtiden ikke er vanskelig.

Nødvendig:

— Blanke ark papir;
— skrivepenn;
- grunnleggende matematiske ferdigheter.

Bruksanvisning:

• Så du må først skrive ned uttrykket på et stykke papir. Den første fasen av løsningen består i en enkel prosedyre for å erstatte uttrykket " x 2 " til en enkel variabel (for eksempel " Til"). Etter at du har gjort dette, bør du ha en ny ligning: " (ak 2) – (bk) + c = 0».
• Deretter, for å løse den biquadratiske ligningen riktig, må du først finne røttene for " (ak 2) – (bк) + с = 0", som du fikk etter erstatningen. For å gjøre dette vil det være nødvendig å beregne diskriminantverdien med kjent formel: « D = (b 2 ) − 4*ac" Dessuten, alle disse variablene ( EN, b Og Med) er koeffisientene til ligningen ovenfor.
• I løpet av diskriminerende beregning vi kan finne ut om vår biquadratiske ligning har en løsning, fordi hvis til slutt gitt verdi viser seg med et minustegn, så har det rett og slett ikke en løsning i fremtiden. Hvis diskriminanten er lik null, vil vi ha en eneste avgjørelse, definert av følgende formel: " k = - (b / 2 * a)" Vel, hvis diskriminanten vår viser seg å være større enn null, vil vi ha to løsninger. For å finne to løsninger vil det være nødvendig å ta kvadratroten av " D"(det vil si fra diskriminanten). Den resulterende verdien må skrives som en variabel " QD».
• Det neste trinnet er direkte løse en andregradsligning , som du har. For å gjøre dette, må du allerede erstatte i formelen kjente verdier. For en av løsningene: " k1 = (-b + QD) / 2 * a", og for den andre: " k2 = (-b - QD) / 2 * a».
• Og til slutt, den siste fasen - finne røttene til en biquadratisk ligning . For å gjøre dette vil det være nødvendig å ta kvadratroten av de tidligere oppnådde løsningene til den vanlige kvadratiske ligningen. Hvis diskriminanten var lik null, og vi hadde bare én løsning, så i dette tilfellet vil det være to røtter (med negativ og med positiv verdi kvadratrot). Følgelig, hvis diskriminanten var større enn null, vil vår biquadratiske ligning ha så mange som fire røtter.

Bruksanvisning

Substitusjonsmetode Uttrykk en variabel og bytt den inn i en annen ligning. Du kan uttrykke hvilken som helst variabel etter eget skjønn. Uttrykk for eksempel y fra den andre ligningen:
x-y=2 => y=x-2 Deretter erstatter du alt i den første ligningen:
2x+(x-2)=10 Flytt alt uten "x" til høyre side og beregn:
2x+x=10+2
3x=12 Deretter, for å få x, del begge sider av ligningen med 3:
x=4 Så du fant "x. Finn "y. For å gjøre dette, sett inn "x" i ligningen du uttrykte "y" fra:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Gjør en sjekk. For å gjøre dette, erstatte de resulterende verdiene i ligningene:
2*4+2=10
4-2=2
De ukjente er funnet riktig!

En måte å legge til eller subtrahere ligninger. Bli kvitt en hvilken som helst variabel med en gang. I vårt tilfelle er dette lettere å gjøre med "y.
Siden i "y" er det et "+" -tegn, og i det andre "-", kan du utføre tilleggsoperasjonen, dvs. venstre side legg den til den venstre og legg den høyre til den høyre:
2x+y+(x-y)=10+2Konverter:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Sett ut "x" i en hvilken som helst ligning og finn "y":
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Ved den første metoden kan du se at de ble funnet riktig.

Hvis det ikke er noen klart definerte variabler, er det nødvendig å transformere ligningene litt.
I den første ligningen har vi "2x", og i den andre har vi ganske enkelt "x". For at x skal reduseres under addisjon, multipliser den andre ligningen med 2:
x-y=2
2x-2y=4 Trekk så den andre fra den første ligningen:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Legg merke til at hvis det er et minus før braketten, endre det til motsatt etter åpning:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
finn y=2x ved å uttrykke fra en hvilken som helst ligning, dvs.
x=4

Video om emnet

Tips 2: Hvordan løse en lineær ligning i to variabler

Ligningen, skrevet på generell form ax+by+c=0, kalles en lineær ligning med to variabler. Selve ligningen inneholder uendelig sett løsninger, derfor er det i problemer alltid supplert med noe - en annen ligning eller begrensende betingelser. Avhengig av forholdene gitt av oppgaven, løs en lineær ligning med to variabler bør forskjellige måter.

Du vil trenge

• - lineær ligning med to variabler;
• - andre ligning eller tilleggsbetingelser.

Bruksanvisning

Hvis gitt et system på to lineære ligninger, løs det på følgende måte. Velg en av ligningene der koeffisientene er variabler mindre og uttrykk en av variablene, for eksempel x. Bytt deretter inn denne verdien som inneholder y i den andre ligningen. I den resulterende ligningen vil det bare være én variabel y, flytt alle delene med y til venstre side, og frie til høyre. Finn y og bytt inn i en av de opprinnelige ligningene for å finne x.

Det er en annen måte å løse et system med to ligninger på. Multipliser en av likningene med et tall slik at koeffisienten til en av variablene, for eksempel x, er den samme i begge likningene. Trekk så en av likningene fra den andre (hvis høyresiden ikke er lik 0, husk å trekke fra høyresiden på samme måte). Du vil se at x-variabelen har forsvunnet og bare én y-variabel gjenstår. Løs den resulterende ligningen, og erstatte den funnet verdien av y med noen av de opprinnelige likhetene. Finn x.

Den tredje måten å løse et system med to lineære ligninger på er grafisk. Tegn et koordinatsystem og tegn graf to rette linjer hvis likninger er gitt i systemet ditt. For å gjøre dette, bytt inn to x-verdier i ligningen og finn den tilsvarende y - dette vil være koordinatene til punktene som tilhører linjen. Den mest praktiske måten å finne skjæringspunktet med koordinataksene er å ganske enkelt erstatte verdiene x=0 og y=0. Koordinatene til skjæringspunktet mellom disse to linjene vil være oppgavene.

Hvis det bare er én lineær ligning i problemforholdene, så har du fått tilleggsbetingelser som du kan finne en løsning gjennom. Les problemet nøye for å finne disse forholdene. Hvis variabler x og y indikerer distanse, hastighet, vekt – still gjerne grensen x≥0 og y≥0. Det er godt mulig at x eller y skjuler antall epler osv. – da kan verdiene bare være . Hvis x er sønnens alder, er det klart at han ikke kan være det eldre enn far, så angi dette i oppgavebetingelsene.

Kilder:

• hvordan løse en ligning med én variabel

Av seg selv ligningen med tre ukjent har mange løsninger, så som oftest blir den supplert med ytterligere to ligninger eller betingelser. Avhengig av hva de første dataene er, vil forløpet av beslutningen i stor grad avhenge.

Du vil trenge

• - et system med tre ligninger med tre ukjente.

Bruksanvisning

Hvis to av de tre systemene bare har to av de tre ukjente, prøv å uttrykke noen variabler i form av de andre og erstatte dem med ligningen med tre ukjent. Målet ditt i dette tilfellet er å gjøre det til normalt ligningen med en ukjent person. Hvis dette er , er den videre løsningen ganske enkel - bytt den funnet verdien inn i andre ligninger og finn alle de andre ukjente.

Noen ligningssystemer kan trekkes fra en ligning med en annen. Se om det er mulig å multiplisere en av eller en variabel slik at to ukjente blir kansellert på en gang. Hvis det er en slik mulighet, dra nytte av den mest sannsynlig, den etterfølgende løsningen vil ikke være vanskelig. Husk at når du multipliserer med et tall, må du gange både venstre og høyre side. På samme måte, når du trekker fra ligninger, må du huske at høyre side også må trekkes fra.

Hvis de forrige metodene ikke hjalp, bruk på en generell måte løsninger på alle ligninger med tre ukjent. For å gjøre dette, omskriv likningene i formen a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Lag nå en matrise med koeffisienter for x (A), en matrise med ukjente (X) og en matrise med frie variabler (B). Vær oppmerksom på at ved å multiplisere matrisen av koeffisienter med matrisen av ukjente, vil du få en matrise av frie ledd, det vil si A*X=B.

Finn matrisen A i potensen (-1) ved først å finne , merk at den ikke skal være lik null. Etter dette, multipliser den resulterende matrisen med matrise B, som et resultat vil du motta den ønskede matrisen X, som indikerer alle verdiene.

Du kan også finne en løsning på et system med tre ligninger ved hjelp av Cramers metode. For å gjøre dette, finn tredjeordens determinanten ∆ som tilsvarer systemmatrisen. Finn deretter tre flere determinanter ∆1, ∆2 og ∆3 suksessivt, og bytt ut verdiene til de frie leddene i stedet for verdiene til de tilsvarende kolonnene. Finn nå x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Kilder:

• løsninger på ligninger med tre ukjente

Å løse et ligningssystem er utfordrende og spennende. Hvordan mer komplekst system, jo mer interessant er det å løse det. Oftest i matematikk videregående skole det finnes ligningssystemer med to ukjente, men i høyere matematikk det kan være flere variabler. Systemer kan løses ved hjelp av flere metoder.

Bruksanvisning

Den vanligste metoden for å løse et likningssystem er substitusjon. For å gjøre dette, må du uttrykke en variabel i form av en annen og erstatte den med den andre ligningen systemer, og dermed ledende ligningen til én variabel. For eksempel gitt følgende ligninger: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Fra det andre uttrykket er det praktisk å uttrykke en av variablene, flytte alt annet til høyre side av uttrykket, ikke glemme å endre fortegnet til koeffisienten: x = 3-y.

Åpne parentesene: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Vi erstatter den resulterende verdien y i uttrykket: x=3-y;x=3-1;x=2 .

I det første uttrykket er alle ledd 2, du kan sette 2 i parentes fordelingseiendom multiplikasjon: 2*(2x-y-3)=0. Nå kan begge deler av uttrykket reduseres med dette tallet, og deretter uttrykkes som y, siden modulkoeffisienten for det er lik en: -y = 3-2x eller y = 2x-3.

Akkurat som i det første tilfellet, erstatter vi dette uttrykket med det andre ligningen og vi får: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Sett inn den resulterende verdien i uttrykket: y=2x -3; y=4-3=1.

Vi ser at koeffisienten for y er den samme i verdi, men forskjellig i fortegn, derfor vil vi, hvis vi legger til disse ligningene, bli kvitt y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2 Bytt inn verdien av x i en av de to likningene i systemet og få y=1.

Video om emnet

Biquadratisk ligningen representerer ligningen fjerde grad, hvis generelle form er representert ved uttrykket ax^4 + bx^2 + c = 0. Løsningen er basert på bruken av metoden for substitusjon av ukjente. I i dette tilfellet x^2 erstattes av en annen variabel. Dermed er resultatet en vanlig firkant ligningen, som må løses.

Bruksanvisning

Løs kvadratet ligningen, som følge av utskiftingen. For å gjøre dette, beregne først verdien i samsvar med formelen: D = b^2? 4ac. I dette tilfellet er variablene a, b, c koeffisientene til ligningen vår.

Finn røttene til den biquadratiske ligningen. For å gjøre dette, ta kvadratroten av løsningene som er oppnådd. Hvis det var én løsning, så vil det være to - positive og negativ betydning kvadratrot. Hvis det var to løsninger, vil den biquadratiske ligningen ha fire røtter.

Video om emnet

En av de klassiske metodene for å løse systemer med lineære ligninger er Gauss-metoden. Den ligger i konsekvent ekskludering variabler når et ligningssystem bruker enkle transformasjoner er oversatt til et trinnvis system, hvorfra alle variabler er sekvensielt funnet, og starter med den siste.

Bruksanvisning

Først, bring likningssystemet til en slik form når alle de ukjente er i streng rekkefølge. i en bestemt rekkefølge. For eksempel vil alle ukjente X-er vises først på hver linje, alle Y-er vil komme etter X-er, alle Z-er vil komme etter Y-er, og så videre. Det skal ikke være ukjente på høyre side av hver ligning. Bestem mentalt koeffisientene foran hver ukjente, samt koeffisientene på høyre side av hver ligning.