Bruke en linjal. Det er å foretrekke at det er laget av platemateriale som er så tynt som mulig. Hvis overflaten den spres på ikke er flat, hjelper en skreddermåler. Og hvis du ikke har en tynn linjal, og hvis du ikke har noe imot å pierce kortet, er det praktisk å bruke et kompass for å måle, helst med to nåler. Deretter kan du overføre det til millimeterpapir og måle lengden på segmentet langs det.
Veier mellom to punkter er sjelden rette. En praktisk enhet - en curvimeter - vil hjelpe deg med å måle lengden på linjen. For å bruke den, roter først rullen for å justere pilen med null. Hvis kurvemåleren er elektronisk, er det ikke nødvendig å nullstille det manuelt - bare trykk på tilbakestillingsknappen. Hold rullen, trykk den til startpunktet for segmentet slik at merket på kroppen (plassert over rullen) peker direkte til dette punktet. Flytt deretter rullen langs linjen til merket er på linje med endepunktet. Les vitnesbyrdet. Vær oppmerksom på at noen kurvemålere har to skalaer, hvorav den ene er gradert i centimeter, og den andre i tommer.
Finn målestokkindikatoren på kartet - den er vanligvis plassert i nedre høyre hjørne. Noen ganger er denne indikatoren et stykke kalibrert lengde, ved siden av er det angitt hvilken avstand den tilsvarer. Mål lengden på dette segmentet med en linjal. Hvis det for eksempel viser seg at det har en lengde på 4 centimeter, og ved siden av det er angitt at det tilsvarer 200 meter, del det andre tallet med det første, og du vil finne ut at hver på kartet tilsvarer til 50 meter på bakken. På noen, i stedet for et segment, er det en ferdig setning, som for eksempel kan se slik ut: "Det er 150 meter i en centimeter." Skalaen kan også angis i form av et forhold på følgende form: 1:100000. I dette tilfellet kan vi beregne at en centimeter på kartet tilsvarer 1000 meter på bakken, siden 100000/100 (centimeter i en meter) = 1000 m.
Multipliser avstanden målt med en linjal eller kurvemåler, uttrykt i centimeter, med antall meter som er angitt på kartet eller beregnet i én centimeter. Resultatet vil være den faktiske avstanden, uttrykt i henholdsvis kilometer.
Ethvert kart er et miniatyrbilde av et territorium. Koeffisienten som viser hvor mye bildet er redusert i forhold til det virkelige objektet kalles skala. Når du vet det, kan du bestemme avstand Av . For ekte papirbaserte kart er målestokken en fast verdi. For virtuelle, elektroniske kart endres denne verdien sammen med endringen i forstørrelsen av kartbildet på LCD-skjermen.
Bruksanvisning
Avstand med kart kan måles ved hjelp av "Linjal"-verktøyet i geoinformasjonspakkene Google Earth og Yandex Maps, grunnlaget for kart der er satellittsatellitter. Bare slå på dette verktøyet og klikk på punktet som markerer begynnelsen av ruten din og den der du planlegger å fullføre den. Avstandsverdien kan finnes i alle gitte måleenheter.
Hvert punkt A i planet er karakterisert ved sine koordinater (x, y). De faller sammen med koordinatene til vektoren 0A som kommer ut fra punkt 0 - opprinnelsen til koordinatene.
La A og B være vilkårlige punkter på planet med henholdsvis koordinater (x 1 y 1) og (x 2, y 2).
Da har vektoren AB åpenbart koordinater (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Det er kjent at kvadratet på lengden til en vektor er lik summen av kvadratene til dens koordinater. Derfor bestemmes avstanden d mellom punktene A og B, eller, hva som er den samme, lengden på vektoren AB, fra betingelsen
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$
Den resulterende formelen lar deg finne avstanden mellom to punkter på planet, hvis bare koordinatene til disse punktene er kjent
Hver gang vi snakker om koordinatene til et bestemt punkt på planet, mener vi et veldefinert koordinatsystem x0y. Generelt kan koordinatsystemet på et plan velges på forskjellige måter. Så, i stedet for koordinatsystemet x0y, kan vi vurdere koordinatsystemet xִy, som oppnås som et resultat av å rotere de gamle koordinataksene rundt startpunktet 0 mot klokken piler på hjørnet α .
Hvis et bestemt punkt på planet i koordinatsystemet x0y hadde koordinater (x, y), så vil det i det nye koordinatsystemet xִy ha forskjellige koordinater (x, y).
Som et eksempel kan du vurdere punkt M, som ligger på 0x-aksen og atskilt fra punkt 0 i en avstand på 1.
I x0y-koordinatsystemet har dette punktet åpenbart koordinater (cos α , synd α ), og i x-y-koordinatsystemet er koordinatene (1,0).
Koordinatene til to punkter på plan A og B avhenger av hvordan koordinatsystemet er spesifisert i dette planet. Og her avstanden mellom disse punktene avhenger ikke av metoden for å spesifisere koordinatsystemet .
Andre materialerAvstanden mellom to punkter på et plan.
Koordinatsystemer
Hvert punkt A i planet er karakterisert ved sine koordinater (x, y). De faller sammen med koordinatene til vektoren 0A som kommer ut fra punkt 0 - opprinnelsen til koordinatene.
La A og B være vilkårlige punkter på planet med henholdsvis koordinater (x 1 y 1) og (x 2, y 2).
Da har vektoren AB åpenbart koordinater (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Det er kjent at kvadratet på lengden til en vektor er lik summen av kvadratene til dens koordinater. Derfor bestemmes avstanden d mellom punktene A og B, eller, hva som er den samme, lengden på vektoren AB, fra betingelsen
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
Den resulterende formelen lar deg finne avstanden mellom to punkter på planet, hvis bare koordinatene til disse punktene er kjent
Hver gang vi snakker om koordinatene til et bestemt punkt på planet, mener vi et veldefinert koordinatsystem x0y. Generelt kan koordinatsystemet på et plan velges på forskjellige måter. Så, i stedet for x0y-koordinatsystemet, kan du vurdere x"0y"-koordinatsystemet, som oppnås ved å rotere de gamle koordinataksene rundt startpunktet 0 mot klokken piler på hjørnet α .
Hvis et bestemt punkt på planet i koordinatsystemet x0y hadde koordinater (x, y), så vil det i det nye koordinatsystemet x"0y" ha forskjellige koordinater (x, y").
Som et eksempel kan du vurdere punkt M, som ligger på 0x-aksen og atskilt fra punkt 0 i en avstand på 1.
I x0y-koordinatsystemet har dette punktet åpenbart koordinater (cos α , synd α ), og i x"0y" koordinatsystemet er koordinatene (1,0).
Koordinatene til to punkter på plan A og B avhenger av hvordan koordinatsystemet er spesifisert i dette planet. Men avstanden mellom disse punktene avhenger ikke av metoden for å spesifisere koordinatsystemet. Vi vil gjøre betydelig bruk av denne viktige omstendigheten i neste avsnitt.
Øvelser
I. Finn avstandene mellom punktene i planet med koordinater:
1) (3.5) og (3.4); 3) (0,5) og (5, 0); 5) (-3,4) og (9, -17);
2) (2, 1) og (- 5, 1); 4) (0, 7) og (3,3); 6) (8, 21) og (1, -3).
II. Finn omkretsen til en trekant hvis sider er gitt av ligningene:
x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 og y = 1.
III. I x0y-koordinatsystemet har punktene M og N henholdsvis koordinater (1, 0) og (0,1). Finn koordinatene til disse punktene i det nye koordinatsystemet, som fås ved å rotere de gamle aksene rundt startpunktet med en vinkel på 30° mot klokken.
IV. I x0y-koordinatsystemet har punktene M og N koordinater (2, 0) og (\ / 3/2, - 1/2) henholdsvis. Finn koordinatene til disse punktene i det nye koordinatsystemet, som fås ved å rotere de gamle aksene rundt startpunktet med en vinkel på 30° med klokken.
§ 1 Heltalls- og brøkrasjonale ligninger
I denne leksjonen skal vi se på begreper som rasjonell ligning, rasjonelt uttrykk, hele uttrykk, brøkuttrykk. La oss vurdere å løse rasjonelle ligninger.
En rasjonell ligning er en ligning der venstre og høyre side er rasjonelle uttrykk.
Rasjonelle uttrykk er:
Brøk.
Et heltallsuttrykk er bygd opp av tall, variabler, heltallspotenser ved å bruke operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med et annet tall enn null.
For eksempel:
Brøkuttrykk innebærer deling med en variabel eller et uttrykk med en variabel. For eksempel:
Et brøkuttrykk gir ikke mening for alle verdiene av variablene som er inkludert i det. For eksempel uttrykket
ved x = -9 gir det ikke mening, siden ved x = -9 går nevneren til null.
Dette betyr at en rasjonell ligning kan være heltall eller brøk.
En hel rasjonell ligning er en rasjonell ligning der venstre og høyre side er hele uttrykk.
For eksempel:
En rasjonell brøkligning er en rasjonell likning der enten venstre eller høyre side er brøkuttrykk.
For eksempel:
§ 2 Løsning av en hel rasjonell ligning
La oss vurdere løsningen av en hel rasjonell ligning.
For eksempel:
La oss multiplisere begge sider av ligningen med den minste fellesnevneren av nevnerne til brøkene som er inkludert i den.
For dette:
1. finn fellesnevneren for nevnerne 2, 3, 6. Den er lik 6;
2. finn en tilleggsfaktor for hver brøk. For å gjøre dette, del fellesnevneren 6 med hver nevner
tilleggsfaktor for brøk
tilleggsfaktor for brøk
3. multipliser tellerne til brøkene med deres tilsvarende tilleggsfaktorer. Dermed får vi ligningen
som tilsvarer den gitte ligningen
La oss åpne parentesene til venstre, flytte den høyre delen til venstre, endre begrepets tegn når den overføres til den motsatte.
La oss ta med lignende termer av polynomet og få
Vi ser at ligningen er lineær.
Etter å ha løst det, finner vi at x = 0,5.
§ 3 Løsning av en rasjonell brøkligning
La oss vurdere å løse en rasjonell brøkligning.
For eksempel:
1. Multipliser begge sider av ligningen med den minste fellesnevneren av nevnerne til de rasjonelle brøkene som er inkludert i den.
La oss finne fellesnevneren for nevnerne x + 7 og x - 1.
Det er lik deres produkt (x + 7)(x - 1).
2. La oss finne en tilleggsfaktor for hver rasjonell brøk.
For å gjøre dette deler du fellesnevneren (x + 7)(x - 1) med hver nevner. Tilleggsfaktor for brøker
lik x - 1,
tilleggsfaktor for brøk
er lik x+7.
3. Multipliser tellerne til brøkene med deres tilsvarende tilleggsfaktorer.
Vi får ligningen (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), som tilsvarer denne ligningen
4. Multipliser binomialet med binomialet til venstre og høyre og få følgende ligning
5. Vi flytter høyre side til venstre, og endrer tegnet for hvert ledd når vi overfører til det motsatte:
6. La oss presentere lignende termer for polynomet:
7. Begge sider kan deles med -1. Vi får en andregradsligning:
8. Etter å ha løst det, finner vi røttene
Siden i Eq.
venstre og høyre side er brøkuttrykk, og i brøkuttrykk, for noen verdier av variablene, kan nevneren bli null, da er det nødvendig å sjekke om fellesnevneren ikke går til null når x1 og x2 blir funnet .
Ved x = -27 forsvinner ikke fellesnevneren (x + 7)(x - 1) ved x = -1, fellesnevneren er heller ikke null.
Derfor er både røttene -27 og -1 røttene til ligningen.
Når du løser en rasjonell brøkligning, er det bedre å umiddelbart indikere rekkevidden av akseptable verdier. Eliminer de verdiene der fellesnevneren går til null.
La oss vurdere et annet eksempel på å løse en rasjonell brøkligning.
La oss for eksempel løse ligningen
Vi faktoriserer nevneren til brøken på høyre side av ligningen
Vi får ligningen
La oss finne fellesnevneren for nevnerne (x - 5), x, x(x - 5).
Det vil være uttrykket x(x - 5).
La oss nå finne utvalget av akseptable verdier av ligningen
For å gjøre dette, likestiller vi fellesnevneren til null x(x - 5) = 0.
Vi får en likning, løser som vi finner at ved x = 0 eller ved x = 5 går fellesnevneren til null.
Dette betyr at x = 0 eller x = 5 ikke kan være røttene til ligningen vår.
Ytterligere multiplikatorer kan nå bli funnet.
Tilleggsfaktor for rasjonelle brøker
tilleggsfaktor for brøken
vil være (x - 5),
og tilleggsfaktoren til fraksjonen
Vi multipliserer tellerne med de tilsvarende tilleggsfaktorene.
Vi får ligningen x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
La oss åpne parentesene til venstre og høyre, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
La oss flytte begrepene fra høyre til venstre, og endre tegnet på de overførte begrepene:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
Og etter å ha brakt lignende ledd, får vi en andregradsligning x2 - 3x - 10 = 0. Etter å ha løst det, finner vi røttene x1 = -2; x2 = 5.
Men vi har allerede funnet ut at ved x = 5 går fellesnevneren x(x - 5) til null. Derfor roten til ligningen vår
vil være x = -2.
§ 4 Kort oppsummering av timen
Viktig å huske:
Når du løser rasjonelle brøklikninger, fortsett som følger:
1. Finn fellesnevneren for brøkene som inngår i ligningen. Videre, hvis nevnerne til brøker kan faktoriseres, så faktor dem og finn deretter fellesnevneren.
2. Multipliser begge sider av ligningen med en fellesnevner: finn tilleggsfaktorer, gang tellerne med tilleggsfaktorer.
3.Løs den resulterende hele ligningen.
4. Fjern fra røttene de som får fellesnevneren til å forsvinne.
Liste over brukt litteratur:
- Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Redigert av Telyakovsky S.A. Algebra: lærebok. for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner. - M.: Utdanning, 2013.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse: I to deler. Del 1: Lærebok. for allmennutdanning institusjoner. - M.: Mnemosyne.
- Rurukin A.N. Leksjonsutvikling i algebra: 8. klasse - M.: VAKO, 2010.
- Algebra 8. klasse: leksjonsplaner basert på læreboken til Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-komp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Lærer, 2005.