La oss representere ligningssystemet (1.1) i formen
Det finnes et stort antall elimineringsmetodeskjemaer tilpasset manuell eller maskinell beregning av matriser av generell eller spesiell type.
Gaussmetoden kan tolkes som en metode der matrisen i utgangspunktet reduseres til en øvre trekantet form (fremover), og deretter til en enhetsform (omvendt bevegelse). Selvfølgelig, hvis matrisen er identitet, da xt = b r
La derfor matrisen til system (1.3) være øvre trekantet en tj= 0 kl i>j, det vil si at alle elementer under hoveddiagonalen er null. Så fra den siste ligningen bestemmer vi umiddelbart x s. Erstatter x n inn i den nest siste ligningen, finner vi x a_ x osv. Generelle formler har formen
På k > jeg odds som = 0.
La oss redusere matrisen til systemet (1.3) til en øvre trekantet matrise. La oss trekke fra den andre ligningen i system (1.3) den første, multiplisert med et tall slik at koeffisienten ved x x vil gå til null. La oss gjøre det samme med alle de andre ligningene. Som et resultat vil alle koeffisientene til den første kolonnen som ligger under hoveddiagonalen gå til null. Deretter, ved å bruke den andre ligningen, snur vi de tilsvarende koeffisientene til den andre kolonnen til null. Ved å fortsette denne prosessen konsekvent reduserer vi systemmatrisen til den øvre trekantede formen.
La oss skrive ned de generelle formlene for Gauss-metoden. La koeffisientene elimineres fra (A - 1) kolonne. Da vil det være ligninger med elementer som ikke er null under hoveddiagonalen:
La oss multiplisere kth linje til nummer med tk = t > k og trekke fra
fra månedslinjen. Det første elementet som ikke er null i denne linjen vil bli null, og resten vil endres i henhold til formlene
Etter å ha utført beregninger ved å bruke disse formlene for alle indikerte indekser, snur vi elementene til null k-ro kolonner under hoveddiagonalen. En lignende prosedyre reduserer matrisen til systemet til den øvre trekantede formen, og hele reduksjonsprosessen kalles den DIREKTE PROSESSEN TIL DEN GAUSSISKE METODE. Beregning av ukjente ved hjelp av formler (1.4) kalles REVERSE-metoden.
Den omvendte bevegelsen kan gjøres annerledes hvis alle koeffisientene som ligger over hoveddiagonalen snus til null. For eksempel elementer P av kolonnen blir null hvis ej^| multipliser med (-a^V ax t = b | 2l), hvor b^n)- koeffisienter til høyre side av den i-te ligningen etter de angitte transformasjonene.
På et eller annet trinn fremover kan det vise seg at koeffisienten aj*" * 0, men er liten sammenlignet med de andre elementene i systemmatrisen og spesielt liten sammenlignet med elementene i den første kolonnen. Deling av systemkoeffisientene med en liten verdi kan føre til betydelige avrundingsfeil.
For å redusere avrundingsfeil går du frem som følger. Blant elementene i den første kolonnen EN^ av hver mellommatrise, velg det største modul (hoved)-elementet og ved å omorganisere den i-te raden med raden som inneholder hovedelementet, sørg for at hovedelementet blir det ledende. Denne modifikasjonen av den Gaussiske eliminasjonsmetoden kalles Gauss-metoden med hovedelementvalg. Tilfellet av utseendet til null elementer unngås av seg selv.
For å implementere metoden tar det ca P 3/3 operasjoner som multiplikasjon og P 3/3 operasjoner som tillegg. Det er nyttig å huske at estimatet av antall operasjoner hovedsakelig bestemmes av operasjonene som er brukt på å utføre fremslaget til Gauss-metoden. Det omvendte av Gauss-metoden krever ca n 2 operasjoner. Derfor, hvis du trenger å løse flere systemer av lineære algebraiske ligninger av formen Ax = b med samme matrise og forskjellige høyresider, deretter totalt antall operasjoner ved løsning S systemer vil bli vurdert størrelse(2/3)p3 + Sn2. I dette tilfellet er det tilrådelig å implementere Gauss-metodens algoritme i form av to subrutiner: den første subrutinen skal implementere fremdriften til algoritmen og oppnå en øvre trekantet matrise som utdata, og den andre subrutinen skal bruke den resulterende matrisen , beregne løsningen av systemet for en vilkårlig høyre side.
(SLAE), bestående av ligninger med ukjente:
Det forutsettes at det finnes en unik løsning på systemet, dvs.
Denne artikkelen vil diskutere årsakene til feilen som oppstår når du løser et system ved hjelp av Gauss-metoden, måter å identifisere og eliminere (redusere) denne feilen.
Beskrivelse av metoden
Prosess for å løse et system av lineære ligninger
i henhold til Gauss-metoden består av 2 stadier:
1. Vi antar at . Deretter deler vi den første likningen av systemet med koeffisienten, og som et resultat får vi likningen. Så, fra hver av de gjenværende ligningene, trekkes den første fra, multiplisert med den tilsvarende koeffisienten. Som et resultat transformeres systemet til formen: 2. Forutsatt at vi deler den andre ligningen med koeffisienten og ekskluderer det ukjente fra alle påfølgende ligninger osv. 3. Vi får et ligningssystem med en trekantet matrise:- Omvendt slag Direkte bestemmelse av ukjente
Analyse av metoden
Denne metoden tilhører klassen av direkte metoder for å løse et ligningssystem, som betyr at man i et begrenset antall trinn kan få en eksakt løsning, forutsatt at inngangsdataene (matrisen og høyre side av ligningen - ) er spesifisert nøyaktig og beregningen utføres uten avrunding. For å få en løsning kreves multiplikasjoner og divisjoner, det vil si rekkefølgen av operasjoner.
Forholdene som metoden gir en eksakt løsning under er ikke gjennomførbare i praksis - både inndatafeil og avrundingsfeil er uunngåelige. Da oppstår spørsmålet: hvor nøyaktig en løsning kan oppnås ved bruk av Gauss-metoden, hvor korrekt er metoden? La oss bestemme stabiliteten til løsningen med hensyn til inngangsparametrene. Sammen med det originale systemet, vurder det forstyrrede systemet:
La en eller annen norm innføres. - kalles tilstandsnummeret til matrisen.
Det er 3 mulige tilfeller:
Betingelsesnummeret til en matrise er alltid . Hvis den er stor (), sies matrisen å være dårlig kondisjonert. I dette tilfellet vil små forstyrrelser på høyre side av systemet, forårsaket enten av unøyaktighet i spesifikasjonen av de første dataene, eller forårsaket av beregningsfeil, betydelig påvirke systemets løsning. Grovt sett, hvis feilen på høyresiden er , vil feilen i løsningen være .
La oss illustrere resultatene som er oppnådd med følgende numeriske eksempel: Gitt et system
Hun har en løsning.
Tenk nå på det forstyrrede systemet:
Løsningen på et slikt system vil være en vektor.
Med en veldig liten forstyrrelse av høyre side fikk vi en uforholdsmessig stor forstyrrelse av løsningen. Denne "upåliteligheten" til løsningen kan forklares med det faktum at matrisen er nesten entall: de rette linjene som tilsvarer de to ligningene er nesten sammenfallende, som kan sees i grafen:
Dette resultatet kunne vært forutsagt på grunn av matrisens dårlige betingelser:
Beregningen er ganske kompleks, sammenlignbar med løsningen av hele systemet, derfor brukes grovere, men enklere å implementere metoder for å estimere feilen.
Metoder for å vurdere feil
1) Sjekksum: brukes vanligvis for å forhindre tilfeldige feil i beregningsprosessen uten hjelp fra datamaskiner.Vi setter sammen en kontrollkolonne som består av kontrollelementer i systemet:
Ved transformering av ligninger utføres de samme operasjonene på kontrollelementene som på de frie vilkårene til ligningene. Som et resultat må kontrollelementet til hver nye ligning være lik summen av koeffisientene til denne ligningen. Et stort avvik mellom dem indikerer feil i beregningene eller ustabiliteten til beregningsalgoritmen med hensyn til beregningsfeilen.
2) Relativ feil for en kjent løsning lar deg få en dom om feilen ved avgjørelsen uten vesentlige merkostnader.
En viss vektor spesifiseres med komponenter som om mulig har samme rekkefølge og fortegn som komponentene i ønsket løsning. Vektoren beregnes, og systemet løses sammen med det opprinnelige ligningssystemet.
La og være de faktisk oppnådde løsningene av disse systemene. En vurdering av feilen til den ønskede løsningen kan oppnås basert på hypotesen: de relative feilene ved løsning av systemer med samme matrise og forskjellige høyresider, som er henholdsvis mengdene og ved eliminasjonsmetoden, avviker ikke med en veldig mange ganger.
3) Skiftende skalaer - en teknikk som brukes for å få en ide om den virkelige størrelsen på feilen som oppstår på grunn av avrunding i beregninger.
Sammen med det originale systemet løses systemet med samme metode
, hvor og er tallHvis det ikke var noen avrundingsfeil, ville likhet gjelde for løsningene til de originale og skalerte systemene: . Derfor, for og , som ikke er potenser av to, gir sammenligning av vektorer en ide om størrelsen på beregningsfeilen
Forbedring av Gaussisk eliminasjonsmetode
Modifikasjonene av Gauss-metoden diskutert nedenfor kan redusere feilen i resultatet.
Velge hovedelementet
Den største økningen i feil i metoden skjer under forovertrekket, når den ledende -th raden multipliseres med koeffisientene. akkumulere for å unngå dette, er en modifikasjon av metoden brukt Gaussisk med valg av hovedelementet.
La ligningssystemet fås ved å eliminere de ukjente:
, .La oss finne noe slikt at vi bytter -e og -e nivåer.
I mange tilfeller reduserer en slik transformasjon vesentlig løsningens følsomhet for avrundingsfeil i beregninger.
Iterativ forbedring av resultatet
Hvis det er mistanke om at den resulterende løsningen er alvorlig forvrengt, kan du forbedre resultatet som følger. Mengden kalles rest. Feilen tilfredsstiller ligningssystemet
.Ved å løse dette systemet får vi en tilnærming til og antar
.Hvis nøyaktigheten av denne tilnærmingen er utilfredsstillende, gjentar vi denne operasjonen.
Prosessen kan fortsette til alle komponenter er små nok. I dette tilfellet kan du ikke stoppe beregningene bare fordi alle komponentene i restvektoren har blitt tilstrekkelig små: dette kan være et resultat av dårlig kondisjonering av koeffisientmatrisen.
Talleksempel
Tenk for eksempel på en 7x7 Vandermonde-matrise og 2 forskjellige høyresider:
Disse systemene ble løst på to måter. Datatype - flyte. Som et resultat fikk vi følgende resultater:
| Vanlig metode | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 0.999991 | 1 | 0.999996 | 1 |
| 1.00019 | 1 | 7.4774e-005 | 2.33e-008 |
| 0.998404 | 1 | 0.999375 | 1 |
| 1.00667 | 1 | 0.00263727 | 1.12e-006 |
| 0.985328 | 1 | 0.994149 | 1 |
| 1.01588 | 1 | 0.00637817 | 3.27e-006 |
| 0.993538 | 1 | 0.99739 | 1 |
| 0,045479 | 2.9826e-006 | 0,01818 | 8.8362e-006 |
| 0,006497 | 4.2608e-007 | 0,0045451 | 2.209e-006 |
| 0,040152 | 4.344e-005 | 0,083938 | 2.8654e-006 |
| Med ledende elementvalg for linje | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | -3.57628e-005 | 1.836e-007 |
| 1.00001 | 1 | 1.00031 | 1 |
| 0.999942 | 1 | -0.00133276 | 7.16e-006 |
| 1.00005 | 1 | 1.00302 | 0,99998 |
| 1.00009 | 1 | -0.0033505 | 1.8e-005 |
| 0.99991 | 1 | 1.00139 | 0,99999 |
| 0,000298 | 4.3835e-007 | 0,009439 | 5.0683e-005 |
| 4.2571e-005 | 6.2622e-008 | 0,0023542 | 1.2671e-005 |
| 0,010622 | 9.8016e-007 | 0,29402 | 1.4768e-006 |
Vi fortsetter å vurdere systemer med lineære ligninger. Denne leksjonen er den tredje om emnet. Hvis du har en vag idé om hva et system med lineære ligninger er generelt, hvis du føler deg som en tekanne, anbefaler jeg å starte med det grunnleggende på siden. Neste er det nyttig å studere leksjonen.
Gaussmetoden er enkel! Hvorfor? Den berømte tyske matematikeren Johann Carl Friedrich Gauss fikk i løpet av sin levetid anerkjennelse som tidenes største matematiker, et geni og til og med kallenavnet "Kongen av matematikk." Og alt genialt, som du vet, er enkelt! Forresten, ikke bare suckers får penger, men også genier - Gauss sitt portrett var på 10 Deutschmark-seddelen (før innføringen av euroen), og Gauss smiler fortsatt mystisk til tyskere fra vanlige frimerker.
Gauss-metoden er enkel ved at KUNNSKAPEN OM EN FEMTE-KLASSE ELEV ER NOK til å mestre den. Du må vite hvordan du legger til og multipliserer! Det er ingen tilfeldighet at lærere ofte vurderer metoden for sekvensiell ekskludering av ukjente i skolens matematikkvalgfag. Det er et paradoks, men elevene synes den gaussiske metoden er den vanskeligste. Ikke noe overraskende - alt handler om metodikken, og jeg vil prøve å snakke om algoritmen til metoden i en tilgjengelig form.
Først, la oss systematisere litt kunnskap om systemer med lineære ligninger. Et system med lineære ligninger kan:
1) Ha en unik løsning. 2) Har uendelig mange løsninger. 3) Har ingen løsninger (vær ikke-ledd).
Gauss-metoden er det kraftigste og mest universelle verktøyet for å finne en løsning noen systemer av lineære ligninger. Som vi husker, Cramers regel og matrisemetode er uegnet i tilfeller hvor systemet har uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent. Og metoden for sekvensiell eliminering av ukjente Uansett vil lede oss til svaret! I denne leksjonen vil vi igjen vurdere Gauss-metoden for sak nr. 1 (den eneste løsningen på systemet), en artikkel er viet situasjonene i punkt nr. 2-3. Jeg legger merke til at algoritmen til selve metoden fungerer likt i alle tre tilfellene.
La oss gå tilbake til det enkleste systemet fra leksjonen Hvordan løse et system med lineære ligninger? og løse det ved hjelp av Gauss-metoden.
Det første trinnet er å skrive ned utvidet systemmatrise: . Jeg tror alle kan se etter hvilket prinsipp koeffisientene er skrevet. Den vertikale linjen inne i matrisen har ingen matematisk betydning - den er rett og slett en gjennomstreking for enkel design.
Henvisning : Jeg anbefaler deg å huske vilkår lineær algebra. Systemmatrise er en matrise som kun består av koeffisienter for ukjente, i dette eksemplet matrisen til systemet: . Utvidet systemmatrise – dette er den samme matrisen til systemet pluss en kolonne med frie termer, i dette tilfellet: . For korthets skyld kan enhver av matrisene ganske enkelt kalles en matrise.
Etter at den utvidede systemmatrisen er skrevet, er det nødvendig å utføre noen handlinger med den, som også kalles elementære transformasjoner.
Følgende elementære transformasjoner eksisterer:
1) Strenger matriser Kan omorganisere noen steder. For eksempel, i matrisen under vurdering, kan du smertefritt omorganisere den første og andre raden: 
2) Hvis det er (eller har dukket opp) proporsjonale (som et spesialtilfelle - identiske) rader i matrisen, bør du slette fra matrisen alle disse radene unntatt én. Tenk for eksempel på matrisen 
. I denne matrisen er de tre siste radene proporsjonale, så det er nok å forlate bare en av dem: 
.
3) Hvis det vises en nullrad i matrisen under transformasjoner, bør den også være det slette. Jeg vil ikke tegne, selvfølgelig, nulllinjen er linjen der alle nuller.
4) Matriseraden kan være multiplisere (dividere) til et hvilket som helst nummer ikke-null. Tenk for eksempel på matrisen . Her er det tilrådelig å dele den første linjen med –3, og multiplisere den andre linjen med 2: 
. Denne handlingen er veldig nyttig fordi den forenkler ytterligere transformasjoner av matrisen.
5) Denne transformasjonen forårsaker de fleste vanskelighetene, men faktisk er det heller ikke noe komplisert. Til en rad av en matrise kan du legg til en annen streng multiplisert med et tall, forskjellig fra null. La oss se på matrisen vår fra et praktisk eksempel: . Først skal jeg beskrive transformasjonen i detalj. Multipliser den første linjen med –2: 
, Og til den andre linjen legger vi den første linjen multiplisert med –2: 
. Nå kan den første linjen deles "tilbake" med –2: . Som du kan se, er linjen som legges til LI – har ikke endret seg. Alltid linjen SOM LEGGES TIL endres UT.
I praksis skriver de det selvfølgelig ikke så detaljert, men skriver det kort: 
Nok en gang: til andre linje lagt til den første linjen multiplisert med –2. En linje multipliseres vanligvis muntlig eller på et utkast, med mentalberegningsprosessen omtrent slik:
"Jeg skriver om matrisen og skriver om den første linjen: 
»
"Første kolonne. Nederst må jeg få null. Derfor multipliserer jeg den øverst med –2: , og legger den første til den andre linjen: 2 + (–2) = 0. Jeg skriver resultatet på den andre linjen: 
»
«Nå den andre kolonnen. Øverst ganger jeg -1 med -2: . Jeg legger den første til den andre linjen: 1 + 2 = 3. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: 
»
«Og den tredje kolonnen. Øverst multipliserer jeg -5 med -2: . Jeg legger den første til den andre linjen: –7 + 10 = 3. Jeg skriver resultatet i den andre linjen: 
»
Vennligst forstå dette eksemplet nøye og forstå sekvensberegningsalgoritmen, hvis du forstår dette, er Gauss-metoden praktisk talt i lommen. Men vi skal selvfølgelig fortsatt jobbe med denne transformasjonen.
Elementære transformasjoner endrer ikke løsningen av ligningssystemet
! MERK FØLGENDE: betraktet som manipulasjoner kan ikke bruke, hvis du blir tilbudt en oppgave der matrisene er gitt «av seg selv». For eksempel med "klassisk" operasjoner med matriser Under ingen omstendigheter bør du omorganisere noe inne i matrisene! La oss gå tilbake til systemet vårt. Det er praktisk talt tatt i stykker.
La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og ved å bruke elementære transformasjoner redusere den til trinnvis utsikt:
(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Og igjen: hvorfor multipliserer vi den første linjen med –2? For å få null nederst, som betyr å bli kvitt en variabel i den andre linjen.
(2) Del den andre linjen med 3.
Hensikten med elementære transformasjoner
–
reduser matrisen til trinnvis form: 
. I utformingen av oppgaven markerer de bare "trappen" med en enkel blyant, og ringer også rundt tallene som er plassert på "trinnene". Begrepet «trinnsyn» i seg selv er ikke helt teoretisk i vitenskapelig og pedagogisk litteratur kalles det ofte trapesformet utsikt eller trekantet utsikt.
Som et resultat av elementære transformasjoner fikk vi tilsvarende opprinnelige ligningssystem:
Nå må systemet "avvikles" i motsatt retning - fra bunn til topp kalles denne prosessen invers av Gauss-metoden.
I den nedre ligningen har vi allerede et ferdig resultat: .
La oss vurdere den første ligningen til systemet og erstatte den allerede kjente verdien av "y" i den:
La oss vurdere den vanligste situasjonen når Gauss-metoden krever å løse et system med tre lineære ligninger med tre ukjente.
Eksempel 1
Løs ligningssystemet ved å bruke Gauss-metoden: 
La oss skrive den utvidede matrisen til systemet: 
Nå vil jeg umiddelbart tegne resultatet som vi kommer til under løsningen: 
Og jeg gjentar, målet vårt er å bringe matrisen til en trinnvis form ved hjelp av elementære transformasjoner. Hvor skal jeg starte?
Se først på nummeret øverst til venstre: 
Burde nesten alltid være her enhet. Generelt sett vil –1 (og noen ganger andre tall) gjøre det, men på en eller annen måte har det tradisjonelt skjedd at man vanligvis plasseres der. Hvordan organisere en enhet? Vi ser på den første kolonnen - vi har en ferdig enhet! Transformasjon én: bytt første og tredje linje: 
Nå vil den første linjen forbli uendret til slutten av løsningen. Nå fint.
Enheten i øverste venstre hjørne er organisert. Nå må du få nuller på disse stedene: 
Vi får nuller ved å bruke en "vanskelig" transformasjon. Først tar vi for oss den andre linjen (2, –1, 3, 13). Hva må gjøres for å få null i første posisjon? Trenger å til den andre linjen legg til den første linjen multiplisert med –2. Mentalt eller på et utkast, multipliser den første linjen med –2: (–2, –4, 2, –18). Og vi utfører konsekvent (igjen mentalt eller på et utkast) tillegg, til den andre linjen legger vi til den første linjen, allerede multiplisert med –2:
Vi skriver resultatet i den andre linjen: 
Vi behandler den tredje linjen på samme måte (3, 2, –5, –1). For å få en null i første posisjon, trenger du til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med –3. Mentalt eller på et utkast, multipliser den første linjen med –3: (–3, –6, 3, –27). OG til den tredje linjen legger vi den første linjen multiplisert med –3:
Vi skriver resultatet i tredje linje:
I praksis blir disse handlingene vanligvis utført muntlig og skrevet ned i ett trinn: 
Du trenger ikke å telle alt på en gang og samtidig. Rekkefølgen på beregninger og "skriving inn" av resultatene konsistent og vanligvis er det slik: først omskriver vi den første linjen, og puffer sakte på oss selv - KONSEKVENT og OPPMERKSOMT:
Og jeg har allerede diskutert den mentale prosessen med selve beregningene ovenfor.
I dette eksemplet er dette enkelt å gjøre, vi deler den andre linjen med –5 (siden alle tallene der er delbare med 5 uten rest). Samtidig deler vi den tredje linjen med –2, fordi jo mindre tallene er, desto enklere er løsningen:
På sluttstadiet av elementære transformasjoner må du få en annen null her: 
For dette til den tredje linjen legger vi den andre linjen multiplisert med –2:
Prøv å finne ut av denne handlingen selv - multipliser mentalt den andre linjen med –2 og utfør addisjonen.
Den siste handlingen som utføres er frisyren til resultatet, del den tredje linjen med 3.
Som et resultat av elementære transformasjoner ble et ekvivalent system med lineære ligninger oppnådd: 
Kul.
Nå kommer det motsatte av Gauss-metoden inn. Ligningene "slapper av" fra bunn til topp.
I den tredje ligningen har vi allerede et klart resultat:
La oss se på den andre ligningen: . Betydningen av "zet" er allerede kjent, således:
Og til slutt, den første ligningen: . "Igrek" og "zet" er kjent, det er bare et spørsmål om små ting:
Svar: 
Som allerede har blitt bemerket flere ganger, for ethvert ligningssystem er det mulig og nødvendig å sjekke løsningen som er funnet, heldigvis er dette enkelt og raskt.
Eksempel 2
Dette er et eksempel på en uavhengig løsning, et utvalg av det endelige designet og et svar på slutten av leksjonen.
Det skal bemerkes at din fremdriften av vedtaket faller kanskje ikke sammen med min beslutningsprosess, og dette er et trekk ved Gauss-metoden. Men svarene må være de samme!
Eksempel 3
Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden 
Vi ser på øvre venstre "trinn". Vi burde ha en enhet der. Problemet er at det ikke er noen enheter i den første kolonnen i det hele tatt, så omorganisering av radene vil ikke løse noe. I slike tilfeller må enheten organiseres ved hjelp av en elementær transformasjon. Dette kan vanligvis gjøres på flere måter. Jeg gjorde dette: (1) Til den første linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med –1. Det vil si at vi mentalt multipliserte den andre linjen med –1 og la til den første og andre linjen, mens den andre linjen ikke endret seg.
Nå øverst til venstre er det "minus en", noe som passer oss ganske bra. Alle som ønsker å få +1 kan utføre en ekstra bevegelse: multipliser den første linjen med –1 (endre fortegn).
(2) Den første linjen multiplisert med 5 ble lagt til den andre linjen. Den første linjen multiplisert med 3 ble lagt til den tredje linjen.
(3) Den første linjen ble multiplisert med –1, i prinsippet er dette for skjønnhet. Tegnet på den tredje linjen ble også endret og den ble flyttet til andreplass, slik at vi på det andre "trinnet" hadde den nødvendige enheten.
(4) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 2.
(5) Den tredje linjen ble delt med 3.
Et dårlig tegn som indikerer en feil i beregninger (sjeldnere, en skrivefeil) er en "dårlig" bunnlinje. Det vil si, hvis vi fikk noe sånt som , nedenfor, og følgelig, 
, så kan vi med høy grad av sannsynlighet si at det ble gjort en feil under elementære transformasjoner.
Vi belaster det motsatte, i utformingen av eksempler omskriver de ofte ikke selve systemet, men ligningene er "tatt direkte fra den gitte matrisen." Det omvendte slaget, minner jeg deg om, fungerer fra bunn til topp. Ja, her er en gave:
Svar: 
.
Eksempel 4
Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden 
Dette er et eksempel for deg å løse på egen hånd, det er noe mer komplisert. Det er greit hvis noen blir forvirret. Full løsning og prøvedesign på slutten av leksjonen. Din løsning kan være forskjellig fra min løsning.
I den siste delen skal vi se på noen funksjoner ved den Gaussiske algoritmen. Den første funksjonen er at noen ganger mangler noen variabler fra systemligningene, for eksempel: 
Hvordan skrive den utvidede systemmatrisen riktig? Jeg har allerede snakket om dette punktet i klassen. Cramers regel. Matrisemetode. I den utvidede matrisen til systemet setter vi nuller i stedet for manglende variabler: 
Forresten, dette er et ganske enkelt eksempel, siden den første kolonnen allerede har en null, og det er færre elementære transformasjoner å utføre.
Den andre funksjonen er denne. I alle eksemplene som ble vurdert, plasserte vi enten -1 eller +1 på "trinnene". Kan det være andre tall der? I noen tilfeller kan de. Tenk på systemet: 
.
Her på øvre venstre "trinn" har vi en toer. Men vi legger merke til det faktum at alle tallene i den første kolonnen er delbare med 2 uten en rest - og den andre er to og seks. Og de to øverst til venstre vil passe oss! I det første trinnet må du utføre følgende transformasjoner: legg til den første linjen multiplisert med –1 til den andre linjen; til den tredje linjen legg til den første linjen multiplisert med –3. På denne måten vil vi få de nødvendige nullene i den første kolonnen.
Eller et annet vanlig eksempel: 
. Her passer de tre på det andre "trinnet" oss også, siden 12 (stedet der vi må få null) er delelig med 3 uten en rest. Det er nødvendig å utføre følgende transformasjon: legg til den andre linjen til den tredje linjen, multiplisert med –4, som et resultat av at null vi trenger vil bli oppnådd.
Gauss metode er universell, men det er en særegenhet. Du kan trygt lære å løse systemer ved å bruke andre metoder (Cramers metode, matrisemetode) bokstavelig talt første gang - de har en veldig streng algoritme. Men for å føle deg trygg på den Gaussiske metoden, bør du "sette tennene i" og løse minst 5-10 ti systemer. Derfor kan det i begynnelsen oppstå forvirring og feil i beregninger, og det er ikke noe uvanlig eller tragisk ved dette.
Regnfullt høstvær utenfor vinduet.... Derfor, for alle som ønsker et mer komplekst eksempel å løse på egenhånd:
Eksempel 5
Løs et system med 4 lineære ligninger med fire ukjente ved hjelp av Gauss-metoden. 
En slik oppgave er ikke så sjelden i praksis. Jeg tror selv en tekanne som har studert denne siden grundig vil forstå algoritmen for å løse et slikt system intuitivt. I bunn og grunn er alt det samme - det er bare flere handlinger.
Tilfeller hvor systemet ikke har noen løsninger (inkonsekvent) eller har uendelig mange løsninger diskuteres i leksjonen Inkompatible systemer og systemer med felles løsning. Der kan du fikse den betraktede algoritmen til Gauss-metoden.
Jeg ønsker deg suksess!
Løsninger og svar:
Eksempel 2:
Løsning
:
La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form.
Elementære transformasjoner utført:
(1) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1.
Merk følgende!
Her kan du bli fristet til å trekke den første fra den tredje linjen. Jeg anbefaler på det sterkeste å ikke trekke den fra - risikoen for feil øker betraktelig. Bare brett den!
(2) Tegnet på den andre linjen ble endret (multiplisert med –1). Den andre og tredje linjen er byttet.
Merk
, at på "trinnene" er vi ikke bare fornøyd med en, men også med –1, som er enda mer praktisk.
(3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 5.
(4) Tegnet på den andre linjen ble endret (multiplisert med –1). Den tredje linjen ble delt med 14.
Omvendt:
Svar
:
.
Eksempel 4:
Løsning
:
La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:
Utførte konverteringer: (1) En andre linje ble lagt til den første linjen. Dermed er den ønskede enheten organisert på øvre venstre "trinn". (2) Den første linjen multiplisert med 7 ble lagt til den andre linjen. Den første linjen multiplisert med 6 ble lagt til den tredje linjen.
Med det andre "steget" blir alt verre , "kandidatene" for det er tallene 17 og 23, og vi trenger enten en eller -1. Transformasjoner (3) og (4) vil være rettet mot å oppnå ønsket enhet (3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –1. (4) Den tredje linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –3. Det nødvendige elementet på det andre trinnet er mottatt. . (5) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 6. (6) Den andre linjen ble multiplisert med –1, den tredje linjen ble delt med -83.
Omvendt:
Svar :
Eksempel 5:
Løsning
:
La oss skrive ned matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:
Utførte konverteringer: (1) Første og andre linje er byttet. (2) Den første linjen ble lagt til den andre linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med –2. Den første linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med –3. (3) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med 4. Den andre linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med –1. (4) Tegnet til den andre linjen ble endret. Den fjerde linjen ble delt med 3 og plassert i stedet for den tredje linjen. (5) Den tredje linjen ble lagt til den fjerde linjen, multiplisert med –5.
Omvendt:
Svar :
Når du løser et ligningssystem
Den enkleste versjonen av Gauss-metoden resulterer i store feil. Årsaken er utseendet til store koeffisienter, hvis avrunding resulterer i en stor absolutt feil D ~ 0,5. I sin tur oppnås store koeffisienter etter å dele med en liten ledende koeffisient 
.
Konklusjon: For å redusere virkningen av avrundingsfeil, må du velge et ledende element som ikke bare er forskjellig fra 0, men også stort nok.
Første modifikasjon av Gauss metode– søk etter strenger. I algoritmen må det ledende elementet velges fra betingelsen.
Mangel på modifikasjon. Anta at x i er funnet med feilen D. Så, når du søker etter noen x s, er det nødvendig, i henhold til den inverse formelen, å multiplisere . I dette tilfellet vil feilen D også multipliseres med . Hvis verdien er stor, vil feilen øke.
Konklusjon: det er nødvendig å sikre at det ledende elementet ikke bare er stort, men den største moduloen i sin linje. Når du normaliserer den ledende linjen, vil alle andre koeffisienter, i henhold til formel (5), være mindre enn 1 i absolutt verdi, og feilene vil være avta.
Andre modifikasjon av Gauss-metoden– søk etter kolonner. Dette kravet kan oppfylles hvis de ukjente x i ekskluderes i tilfeldig rekkefølge, og den innledende linjen søkes etter , og leverer . Dette vil være det neste ledende elementet. Etter å ha bestemt det ledende elementet, bytt k-te og r-te kolonner.
Merk følgende. Med en slik erstatning endres nummereringen av de ukjente x i. For å sikre en slik erstatning, er det nødvendig å legge inn en matrise p 1 ,...p n med de reelle tallene for de ukjente under programmering. I begynnelsen av slaget fremover er alle p i = i den vanlige nummereringen. Etter å ha funnet det ledende elementet, bytt p k og p r. Under det omvendte slaget beregnes de omnummererte x i ved hjelp av formel (7). Etter å ha beregnet alle ukjente, må vi sette y]:=x[i], og en matrise y[i] vil være den endelige løsningen på problemet.
Den tredje modifikasjonen av Gauss-metoden– fullt søk. Leveringselementet er valgt som leder. I dette tilfellet byttes de k-te og r-te kolonnene, p k og p r, samt m-te og k-te rader. Denne modifikasjonen gir maksimal nøyaktighet, men er også den mest komplekse.
Anvendelse av Gauss-metoden for å løse ulike lineære algebraproblemer
1. Matriseinversjon. La det være nødvendig å beregne den inverse matrisen til kvadratmatrisen A. La oss betegne X = A –1. Som du vet er AX = I, hvor I er identitetsmatrisen, der 1-er er plassert langs diagonalen, og de resterende elementene er 0. Med andre ord er den i-te kolonnen i matrisen I lik
(1 er på i-te plass). La x (i) være den i-te kolonnen i matrisen X. Da har vi, i kraft av matrisemultiplikasjonsregelen (raden multipliseres med kolonnen), A x (i) = e (i). Dette betyr at for å invertere matrisen må vi løse n systemer av lineære ligninger med identiske matriser og forskjellige høyresider:
Åh = e (1) ; Åh = e (2) ; …; Åh = e (n) . (2.1)
Etter å ha løst disse systemene finner vi at de funnet løsningene x (1), x (2), ..., x (n) er kolonner i matrisen A –1.
2. Beregning av determinanter. I prosessen med å konvertere matrise A til trekantet form ved hjelp av Gauss-metoden, utførte vi følgende handlinger med den:
1) omorganiserte rader eller kolonner avhengig av modifikasjonen av metoden;
2) del ledende linje med et ledende element som ikke er null;
3) en ledende rad multiplisert med et visst tall ble lagt til radene i matrisen.
Som kjent, under slike transformasjoner gjennomgår determinanten til matrisen tilsvarende endringer:
1) endrer tegn;
2) er delt med samme element;
3) endres ikke.
Etter forovertrekket vil matrise A reduseres til øvre trekantform med ener på hoveddiagonalen. Determinanten til en slik matrise er åpenbart lik 1. Med tanke på endringene som determinanten til matrise A gjennomgikk under transformasjonsprosessen, har vi følgende formel:
det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n n ,
der a j j er ledende elementer, er s antall permutasjoner av rader og/eller kolonner når du søker etter ledende elementer.
TEST SPØRSMÅL OG OPPGAVER
1. Manuelt implementere Gauss-metoden (med søk i rader, kolonner, gjennom hele matrisen - avhengig av oppgavealternativet) for et gitt ligningssystem
og fullfør følgende oppgaver
1) Løs dette ligningssystemet
2) Beregn determinanten til matrisen til dette systemet ( Gaussisk metode– se s 2 ).
3) Inverter matrisen til dette systemet ( Gaussisk metode– se s 1 ).
I fremtiden kan du bruke resultatet av å løse dette problemet som et testeksempel.
2. Lag et program for å løse et lineært system ved hjelp av Gauss-metoden (med søk i rader, kolonner, gjennom hele matrisen - avhengig av oppgavens versjon) og utfør matriseinversjon ved hjelp av dette programmet.
En av de enkleste måtene å løse et system med lineære ligninger på er en teknikk basert på beregning av determinanter ( Cramers regel). Fordelen er at den lar deg registrere løsningen umiddelbart, det er spesielt praktisk i tilfeller der koeffisientene til systemet ikke er tall, men noen parametere. Ulempen er besværligheten av beregninger i tilfelle av et stort antall ligninger. Cramers regel er dessuten ikke direkte anvendelig for systemer der antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente. I slike tilfeller brukes det vanligvis Gaussisk metode.
Systemer av lineære ligninger som har samme sett med løsninger kalles tilsvarende. Åpenbart vil ikke settet med løsninger til et lineært system endres hvis noen ligninger byttes, eller hvis en av ligningene multipliseres med et tall som ikke er null, eller hvis en ligning legges til en annen.
Gauss metode (metode for sekvensiell eliminering av ukjente) er at ved hjelp av elementære transformasjoner reduseres systemet til et ekvivalent system av trinntype. Først, ved å bruke den første ligningen, eliminerer vi x 1 av alle påfølgende ligninger i systemet. Så, ved å bruke den andre ligningen, eliminerer vi x 2 fra den tredje og alle påfølgende ligninger. Denne prosessen, kalt direkte gaussisk metode, fortsetter til det bare er en ukjent igjen på venstre side av den siste ligningen x n. Etter dette er det gjort invers av Gauss-metoden– løse den siste ligningen, finner vi x n; etter det, ved å bruke denne verdien, fra den nest siste ligningen vi beregner x n–1 osv. Vi finner den siste x 1 fra den første ligningen.
Det er praktisk å utføre gaussiske transformasjoner ved å utføre transformasjoner ikke med selve ligningene, men med matrisene til koeffisientene deres. Tenk på matrisen:
kalt utvidet matrise av systemet, fordi det, i tillegg til hovedmatrisen til systemet, inkluderer en kolonne med frie termer. Gaussmetoden er basert på å redusere hovedmatrisen til systemet til en trekantet form (eller trapesform i tilfelle av ikke-kvadratiske systemer) ved å bruke elementære radtransformasjoner (!) av den utvidede matrisen til systemet.
Eksempel 5.1. Løs systemet ved å bruke Gauss-metoden:
Løsning. La oss skrive ut den utvidede matrisen til systemet, og ved å bruke den første raden vil vi tilbakestille de gjenværende elementene:
vi får nuller i 2., 3. og 4. rad i den første kolonnen:
Nå trenger vi at alle elementene i den andre kolonnen under den andre raden er lik null. For å gjøre dette, kan du multiplisere den andre linjen med –4/7 og legge den til den tredje linjen. Men for ikke å håndtere brøker, la oss lage en enhet i den andre raden i den andre kolonnen og bare
Nå, for å få en trekantet matrise, må du tilbakestille elementet i den fjerde raden i den tredje kolonnen. For å gjøre dette, kan du multiplisere den tredje raden med 8/54 og legge den til den fjerde. For ikke å håndtere brøker, vil vi imidlertid bytte 3. og 4. rad og 3. og 4. kolonne, og først etter det vil vi tilbakestille det angitte elementet. Merk at når du omorganiserer kolonnene, bytter de tilsvarende variablene plass og dette må huskes; andre elementære transformasjoner med kolonner (addisjon og multiplikasjon med et tall) kan ikke utføres!
Den siste forenklede matrisen tilsvarer et ligningssystem som tilsvarer den opprinnelige:
Herfra, ved å bruke den inverse av Gauss-metoden, finner vi fra den fjerde ligningen x 3 = –1; fra den tredje x 4 = –2, fra den andre x 2 = 2 og fra den første ligningen x 1 = 1. På matriseform skrives svaret som
Vi vurderte saken når systemet er bestemt, dvs. når det bare er én løsning. La oss se hva som skjer hvis systemet er inkonsekvent eller usikkert.
Eksempel 5.2. Utforsk systemet ved å bruke Gauss-metoden:
Løsning. Vi skriver ut og transformerer den utvidede matrisen til systemet
Vi skriver et forenklet ligningssystem:
Her, i den siste ligningen, viser det seg at 0=4, dvs. motsigelse. Systemet har følgelig ingen løsning, dvs. hun uforenlig. à
Eksempel 5.3. Utforsk og løs systemet ved hjelp av Gauss-metoden:
Løsning. Vi skriver ut og transformerer den utvidede matrisen til systemet:
Som et resultat av transformasjonene inneholder den siste linjen bare nuller. Dette betyr at antall ligninger har gått ned med én:
Etter forenklinger er det altså to likninger igjen, og fire ukjente, dvs. to ukjente "ekstra". La dem være "overflødige", eller, som de sier, frie variabler, vil x 3 og x 4. Deretter
Troende x 3 = 2en Og x 4 = b, vi får x 2 = 1–en Og x 1 = 2b–en; eller i matriseform
En løsning skrevet på denne måten kalles generell, fordi, gir parametere en Og b forskjellige verdier, alle mulige løsninger av systemet kan beskrives. en