Eksempler på løsning av lineære ligninger. Lineære ligninger

Osv, det er logisk å bli kjent med ligninger av andre typer. Neste i rekken er lineære ligninger , den målrettede studien starter i algebratimer i 7. klasse.

Det er klart at du først må forklare hva en lineær ligning er, gi en definisjon av en lineær ligning, dens koeffisienter, vise den generell form. Deretter kan du finne ut hvor mange løsninger en lineær ligning har avhengig av verdiene til koeffisientene, og hvordan røttene finnes. Dette vil tillate deg å gå videre til å løse eksempler, og derved konsolidere den lærte teorien. I denne artikkelen vil vi gjøre dette: vi vil dvele i detalj på alle de teoretiske og praktiske punktene knyttet til lineære ligninger og deres løsninger.

La oss si med en gang at her vil vi bare vurdere lineære ligninger med en variabel, og i en egen artikkel vil vi studere løsningsprinsippene lineære ligninger med to variabler.

Sidenavigering.

Hva er en lineær ligning?

Definisjonen av en lineær ligning er gitt av måten den er skrevet på. Dessuten, i forskjellige lærebøker Matematikk og algebraformuleringer av definisjoner av lineære ligninger har noen forskjeller som ikke påvirker essensen av problemstillingen.

For eksempel, i algebra-læreboken for klasse 7 av Yu N. Makarychev et al., er en lineær ligning definert som følger:

Definisjon.

Formens ligning a x=b, hvor x er en variabel, a og b er noen tall, kalles lineær ligning med én variabel.

La oss gi eksempler på lineære ligninger som oppfyller den angitte definisjonen. For eksempel er 5 x = 10 en lineær ligning med én variabel x, her er koeffisienten a 5, og tallet b er 10. Et annet eksempel: −2,3·y=0 er også en lineær ligning, men med en variabel y, der a=−2,3 og b=0. Og i lineære ligninger er x=−2 og −x=3,33 ikke eksplisitt tilstede og er lik henholdsvis 1 og −1, mens i den første ligningen b=−2, og i den andre - b=3,33.

Og et år tidligere, i læreboken i matematikk av N. Ya Vilenkin, ble lineære ligninger med en ukjent, i tillegg til ligninger av formen a x = b, også ansett for å være ligninger som kan bringes til denne formen ved å overføre termer. fra en del av ligningen til en annen med motsatt tegn, samt ved å redusere lignende termer. I følge denne definisjonen vil ligninger av formen 5 x = 2 x + 6, etc. også lineær.

I sin tur, i algebra-læreboken for klasse 7 av A. G. Mordkovich er følgende definisjon gitt:

Definisjon.

Lineær ligning med én variabel x er en likning av formen a·x+b=0, der a og b er noen tall som kalles koeffisienter for den lineære likningen.

For eksempel er lineære ligninger av denne typen 2 x−12=0, her er koeffisienten a 2, og b er lik −12, og 0,2 y+4,6=0 med koeffisientene a=0,2 og b =4,6. Men samtidig er det eksempler på lineære ligninger som har formen ikke a·x+b=0, men a·x=b, for eksempel 3·x=12.

La oss, slik at vi ikke har noen avvik i fremtiden, med en lineær ligning med én variabel x og koeffisientene a og b mener vi en ligning av formen a x + b = 0. Denne typen lineære ligninger ser ut til å være den mest berettigede, siden lineære ligninger er det algebraiske ligninger første grad. Og alle de andre ligningene nevnt ovenfor, samt ligninger som ved hjelp av tilsvarende transformasjoner reduseres til formen a x+b=0, vil vi kalle ligninger som reduserer til lineære ligninger. Med denne tilnærmingen er ligningen 2 x+6=0 en lineær ligning, og 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, osv. – Dette er ligninger som reduserer til lineære.

Hvordan løse lineære ligninger?

Nå er det på tide å finne ut hvordan lineære ligninger a·x+b=0 løses. Med andre ord er det på tide å finne ut om en lineær ligning har røtter, og i så fall hvor mange av dem og hvordan du finner dem.

Tilstedeværelsen av røttene til en lineær ligning avhenger av verdiene til koeffisientene a og b. I dette tilfellet har den lineære ligningen a x+b=0

den eneste roten for a≠0,
har ingen røtter for a=0 og b≠0,
har uendelig mange røtter for a=0 og b=0, i så fall er et hvilket som helst tall en rot av en lineær ligning.

La oss forklare hvordan disse resultatene ble oppnådd.

Vi vet at for å løse likninger kan vi gå fra den opprinnelige likningen til ekvivalente likninger, det vil si til likninger med samme røtter eller, som den opprinnelige, uten røtter. For å gjøre dette kan du bruke følgende ekvivalente transformasjoner:

overføre et ledd fra én side av ligningen til en annen med motsatt fortegn,
samt å multiplisere eller dividere begge sider av en ligning med samme tall som ikke er null.

Så, i en lineær ligning med en variabel av skjemaet a·x+b=0 kan vi flytte leddet b fra venstre side til høyre side med motsatt fortegn. I dette tilfellet vil ligningen ha formen a·x=−b.

Og så reiser det spørsmålet om å dele begge sider av ligningen med tallet a. Men det er én ting: tallet a kan være lik null, i så fall er en slik deling umulig. For å håndtere dette problemet, antar vi først at tallet a ikke er null, og tilfellet lik null Vi skal se på det separat litt senere.

Så når a ikke er lik null, kan vi dele begge sider av ligningen a·x=−b med a, hvoretter den vil bli transformert til formen x=(−b):a, dette resultatet kan være skrevet med brøkskråstreken som.

For a≠0 er altså den lineære ligningen a·x+b=0 ekvivalent med ligningen, hvorfra roten er synlig.

Det er lett å vise at denne roten er unik, det vil si at den lineære ligningen ikke har andre røtter. Dette lar deg gjøre den motsatte metoden.

La oss betegne roten som x 1. La oss anta at det er en annen rot av den lineære ligningen, som vi betegner som x 2, og x 2 ≠x 1, som pga. definisjoner like tall gjennom forskjellen er ekvivalent med betingelsen x 1 −x 2 ≠0. Siden x 1 og x 2 er røttene til den lineære ligningen a·x+b=0, så holder de numeriske likhetene a·x 1 +b=0 og a·x 2 +b=0. Vi kan trekke fra de tilsvarende delene av disse likhetene, som egenskapene til numeriske likheter lar oss gjøre, vi har a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, hvorfra a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 og deretter a·(x 1 −x 2)=0 . Men denne likheten er umulig, siden både a≠0 og x 1 − x 2 ≠0. Så vi kom til en selvmotsigelse, som beviser det unike ved roten til den lineære ligningen a·x+b=0 for a≠0.

Slik løste vi den lineære ligningen a·x+b=0 for a≠0. Det første resultatet gitt i begynnelsen av dette avsnittet er begrunnet. Det er to til igjen som oppfyller betingelsen a=0.

Når a=0, har den lineære ligningen a·x+b=0 formen 0·x+b=0. Fra denne ligningen og egenskapen til å multiplisere tall med null følger det at uansett hvilket tall vi tar som x, når det erstattes med ligningen 0 x + b=0, vil den numeriske likheten b=0 bli oppnådd. Denne likheten er sann når b=0, og i andre tilfeller når b≠0 er denne likheten usann.

Følgelig, med a=0 og b=0, er et hvilket som helst tall roten av den lineære ligningen a·x+b=0, siden under disse forholdene, gir et hvilket som helst tall for x den korrekte numeriske likheten 0=0. Og når a=0 og b≠0, har den lineære ligningen a x+b=0 ingen røtter, siden under disse forholdene fører å erstatte x med et hvilket som helst tall til en feil numerisk likhet b=0.

De gitte begrunnelsene lar oss formulere en sekvens av handlinger som lar oss løse enhver lineær ligning. Så, algoritme for å løse lineære ligninger er:

Først, ved å skrive den lineære ligningen, finner vi verdiene til koeffisientene a og b.
Hvis a=0 og b=0, så har denne ligningen uendelig mange røtter, nemlig et hvilket som helst tall er en rot av denne lineære ligningen.
Hvis a ikke er null, da

koeffisienten b overføres til høyre side med motsatt fortegn, og den lineære ligningen transformeres til formen a·x=−b,
hvoretter begge sider av den resulterende ligningen deles med et tall som ikke er null, a, som gir den ønskede roten av den opprinnelige lineære ligningen.

Den skriftlige algoritmen er et omfattende svar på spørsmålet om hvordan man løser lineære ligninger.

Som konklusjon av dette punktet er det verdt å si at en lignende algoritme brukes til å løse ligninger av formen a·x=b. Forskjellen er at når a≠0, deles begge sider av ligningen umiddelbart på dette tallet, her er b allerede i den nødvendige delen av ligningen, og det er ikke nødvendig å overføre den.

For å løse likninger av formen a x = b, brukes følgende algoritme:

Hvis a=0 og b=0, så har ligningen uendelig mange røtter, som er alle tall.
Hvis a=0 og b≠0, har den opprinnelige ligningen ingen røtter.
Hvis a ikke er null, blir begge sider av ligningen delt med et tall som ikke er null, a, hvorfra den eneste roten av ligningen er funnet, lik b/a.

Eksempler på løsning av lineære ligninger

La oss gå videre til praksis. La oss se på hvordan algoritmen for å løse lineære ligninger brukes. Her er løsningene typiske eksempler, tilsvarende forskjellige betydninger koeffisienter til lineære ligninger.

Eksempel.

Løs den lineære ligningen 0·x−0=0.

Løsning.

I denne lineære ligningen er a=0 og b=−0 , som er det samme som b=0 . Derfor har denne ligningen uendelig mange røtter; ethvert tall er en rot av denne ligningen.

Svar:

x – et hvilket som helst tall.

Eksempel.

Har den lineære ligningen 0 x + 2,7 = 0 løsninger?

Løsning.

I i dette tilfellet koeffisient a lik null, og koeffisienten b til denne lineære ligningen er lik 2,7, det vil si forskjellig fra null. Derfor har en lineær ligning ingen røtter.

I denne leksjonen skal vi se på metoder for å løse et system med lineære ligninger. I et kurs med høyere matematikk kreves det at systemer med lineære ligninger løses i skjemaet individuelle oppgaver, for eksempel "Løs systemet ved å bruke Cramers formler," og i løpet av å løse andre problemer. Systemer med lineære ligninger må håndteres i nesten alle grener av høyere matematikk.

Først en liten teori. Hva betyr det i dette tilfellet? matteord"lineær"? Dette betyr at likningene til systemet Alle variabler inkludert i første grad: uten noen fancy ting som osv., som kun deltakere i matematiske olympiader er fornøyd med.

I høyere matematikk For å angi variabler brukes ikke bare bokstaver som er kjent fra barndommen.
Et ganske populært alternativ er variabler med indekser: .
Eller forbokstaver latinske alfabetet, små og store:
Det er ikke så sjeldent å finne greske bokstaver: – kjent for mange som "alfa, beta, gamma". Og også et sett med indekser, si, med bokstaven "mu":

Bruken av et eller annet sett med bokstaver avhenger av delen av høyere matematikk der vi står overfor et system med lineære ligninger. Så, for eksempel, i systemer med lineære ligninger man møter når man løser integraler, differensiallikninger Det er tradisjonelt å bruke notasjonen

Men uansett hvordan variablene er utpekt, endres ikke prinsippene, metodene og metodene for å løse et system med lineære ligninger. Derfor, hvis du kommer over noe skummelt som , ikke skynd deg å lukke problemboken i frykt, tross alt kan du tegne solen i stedet, en fugl i stedet, og et ansikt (læreren) i stedet. Og, hvor morsomt det enn kan virke, kan et system av lineære ligninger med disse notasjonene også løses.

Jeg har en følelse av at artikkelen kommer til å bli ganske lang, så en liten innholdsfortegnelse. Så den sekvensielle "debriefingen" vil være slik:

– Løse et system med lineære ligninger ved å bruke substitusjonsmetoden (“ skolemetoden») ;
– Løsning av systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemligningene;
– Løsning av systemet ved hjelp av Cramers formler;
– Løse systemet ved hjelp av en invers matrise;
– Løse systemet ved hjelp av Gauss-metoden.

Alle er kjent med systemer av lineære ligninger fra skolekurs matematikk. I hovedsak starter vi med repetisjon.

Løse et system med lineære ligninger ved hjelp av substitusjonsmetoden

Denne metoden kan også kalles "skolemetoden" eller metoden for å eliminere ukjente. Billedlig talt kan det også kalles "en uferdig gaussisk metode."

Eksempel 1

Her får vi et system med to likninger med to ukjente. Merk at de frie leddene (nummer 5 og 7) er plassert på venstre side av ligningen. Generelt sett spiller det ingen rolle hvor de er, til venstre eller til høyre, det er bare at i problemer i høyere matematikk er de ofte plassert på den måten. Og et slikt opptak bør ikke føre til forvirring om nødvendig, systemet kan alltid skrives "som vanlig": . Ikke glem at når du flytter et begrep fra del til del, må det endre fortegn.

Hva vil det si å løse et system med lineære ligninger? Å løse et ligningssystem betyr å finne mange av løsningene. Løsningen til et system er et sett med verdier av alle variabler som er inkludert i det, som gjør HVER likning i systemet til ekte likestilling. I tillegg kan systemet være ikke-ledd (har ingen løsninger).Ikke bekymre deg, det er det generell definisjon=) Vi vil bare ha én verdi “x” og én verdi “y”, som tilfredsstiller hver ligning c-we.

Finnes grafisk metode løsning av systemet, som kan finnes i klassen De enkleste problemene med en linje. Der snakket jeg om geometrisk systemer av to lineære ligninger med to ukjente. Men nå er dette epoken for algebra, og tall-tall, handlinger-handlinger.

La oss bestemme: fra den første ligningen uttrykker vi:
Vi erstatter det resulterende uttrykket i den andre ligningen:

Vi åpner parentesene og gir lignende vilkår og finn verdien:

Deretter husker vi hva vi danset for:
Vi vet allerede verdien, alt som gjenstår er å finne:

Svar:

Etter at NOEN likningssystem er løst på NOEN måte, anbefaler jeg på det sterkeste å sjekke (muntlig, på et utkast eller på en kalkulator). Heldigvis gjøres dette enkelt og raskt.

1) Bytt inn det funnet svaret i den første ligningen:

– riktig likestilling oppnås.

2) Bytt inn det funnet svaret i den andre ligningen:

– riktig likestilling oppnås.

Eller, for å si det enklere, "alt kom sammen"

Den betraktede løsningsmetoden er ikke den eneste fra den første ligningen det var mulig å uttrykke , og ikke .
Du kan gjøre det motsatte - uttrykke noe fra den andre ligningen og erstatte den med den første ligningen. Merk forresten at den mest uheldige av de fire metodene er å uttrykke fra den andre ligningen:

Resultatet er brøker, men hvorfor? Det finnes en mer rasjonell løsning.

Men i noen tilfeller kan du fortsatt ikke klare deg uten brøker. I denne forbindelse vil jeg gjøre deg oppmerksom på HVORDAN jeg skrev ned uttrykket. Ikke slik: og ikke i noe tilfelle slik: .

Hvis du i høyere matematikk har å gjøre med brøktall, prøv å utføre alle beregninger i vanlige uekte brøker.

Akkurat, og ikke eller!

Et komma kan bare brukes noen ganger, spesielt hvis det er det endelige svaret på et problem, og ingen ytterligere handlinger trenger å utføres med dette nummeret.

Mange lesere tenkte nok «hvorfor gjøre dette? detaljert forklaring, som for en korreksjonsklasse, og så er alt klart.» Ikke noe sånt, det virker så enkelt skoleeksempel, og hvor mye er VELDIG viktige konklusjoner! Her er en annen:

Du bør strebe etter å fullføre enhver oppgave etter beste evne. på en rasjonell måte . Om ikke annet fordi det sparer tid og nerver, og også reduserer sannsynligheten for å gjøre en feil.

Hvis du i en oppgave i høyere matematikk kommer over et system med to lineære ligninger med to ukjente, så kan du alltid bruke substitusjonsmetoden (med mindre det er indikert at systemet må løses med en annen metode). tror at du er en sucker og vil redusere karakteren din for å bruke "skolemetoden" "
Dessuten er det i noen tilfeller tilrådelig å bruke substitusjonsmetoden når mer variabler.

Eksempel 2

Løs et system med lineære ligninger med tre ukjente

Et lignende ligningssystem oppstår ofte ved bruk av den såkalte metoden usikre koeffisienter når vi finner integralet til en rasjonell brøkfunksjon. Det aktuelle systemet ble tatt derfra av meg.

Når man skal finne integralet er målet fort finn verdiene til koeffisientene, og ikke ty til Cramers formler, metoden invers matrise etc. Derfor, i dette tilfellet, er substitusjonsmetoden passende.

Når et hvilket som helst ligningssystem er gitt, er det først og fremst ønskelig å finne ut om det er mulig på en eller annen måte å forenkle det UMIDDELBART? Ved å analysere likningene til systemet legger vi merke til at den andre likningen i systemet kan deles på 2, som er det vi gjør:

Henvisning: matematisk tegn betyr "av dette følger dette", det brukes ofte under problemløsning.

La oss nå analysere ligningene vi trenger for å uttrykke en variabel i form av de andre. Hvilken ligning skal jeg velge? Du har sikkert allerede gjettet at den enkleste måten for dette formålet er å ta den første ligningen av systemet:

Her, uansett hvilken variabel man skal uttrykke, kunne man like gjerne uttrykke eller .

Deretter erstatter vi uttrykket i den andre og tredje likningen av systemet:

Vi åpner parentesene og presenterer lignende termer:

Del den tredje ligningen med 2:

Fra den andre ligningen uttrykker og erstatter vi inn i den tredje ligningen:

Nesten alt er klart, fra den tredje ligningen finner vi:
Fra den andre ligningen:
Fra den første ligningen:

Sjekk: La oss erstatte de funnet verdiene til variablene i venstre side hver likning i systemet:

1)
2)
3)

De korresponderende høyresidene av ligningene oppnås, og dermed er løsningen funnet riktig.

Eksempel 3

Løs et system av lineære ligninger med 4 ukjente

Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse(svar på slutten av timen).

Løsning av systemet ved å legge til (subtraksjon) ledd for ledd av systemlikningene

Når du løser systemer med lineære ligninger, bør du prøve å ikke bruke "skolemetoden", men metoden for termin-for-ledd addisjon (subtraksjon) av likningene til systemet. Hvorfor? Dette sparer tid og forenkler beregninger, men nå vil alt bli klarere.

Eksempel 4

Løs et system med lineære ligninger:

Jeg tok samme system som i det første eksemplet.
Ved å analysere ligningssystemet legger vi merke til at koeffisientene til variabelen er identiske i størrelse og motsatte i fortegn (–1 og 1). I en slik situasjon kan ligningene legges til ledd for ledd:

Handlinger sirklet i rødt utføres MENTALT.
Som du kan se, som et resultat av termin-for-term addisjon, mistet vi variabelen. Dette er faktisk hva essensen av metoden er å kvitte seg med en av variablene.

I denne videoen vil vi analysere et helt sett med lineære ligninger som er løst ved hjelp av samme algoritme - det er derfor de kalles de enkleste.

Først, la oss definere: hva er en lineær ligning og hvilken kalles den enkleste?

En lineær ligning er en der det bare er én variabel, og bare i første grad.

Den enkleste ligningen betyr konstruksjonen:

Alle andre lineære ligninger reduseres til den enkleste ved å bruke algoritmen:

Utvid parenteser, hvis noen;
Flytt termer som inneholder en variabel til den ene siden av likhetstegnet, og termer uten variabel til den andre;
Gi lignende termer til venstre og høyre for likhetstegnet;
Del den resulterende ligningen med koeffisienten til variabelen $x$.

Selvfølgelig hjelper ikke denne algoritmen alltid. Faktum er at noen ganger etter alle disse manipulasjonene, viser koeffisienten til variabelen $x$ seg å være lik null. I dette tilfellet er to alternativer mulig:

Ligningen har ingen løsninger i det hele tatt. For eksempel, når noe som $0\cdot x=8$ viser seg, dvs. til venstre er null, og til høyre er et annet tall enn null. I videoen nedenfor skal vi se på flere årsaker til at denne situasjonen er mulig.
Løsningen er alle tall. Det eneste tilfellet, når dette er mulig, reduseres ligningen til konstruksjonen $0\cdot x=0$. Det er ganske logisk at uansett hvilken $x$ vi erstatter, vil det fortsatt vise seg "null er lik null", dvs. riktig numerisk likhet.

La oss nå se hvordan alt dette fungerer ved å bruke eksempler fra det virkelige liv.

Eksempler på løsning av ligninger

I dag har vi å gjøre med lineære ligninger, og bare de enkleste. Generelt betyr en lineær ligning enhver likhet som inneholder nøyaktig én variabel, og den går bare til første grad.

Slike konstruksjoner løses på omtrent samme måte:

Først av alt må du åpne parentesene, hvis noen (som i vår siste eksempel);
Kombiner deretter lignende
Til slutt isolerer du variabelen, dvs. flytte alt som er knyttet til variabelen – termene den er inneholdt i – til den ene siden, og flytt alt som er uten den til den andre siden.

Deretter må du som regel ta med lignende på hver side av den resulterende likheten, og etter det gjenstår det bare å dele med koeffisienten til "x", så får vi det endelige svaret.

I teorien ser dette pent og enkelt ut, men i praksis kan selv erfarne videregående elever gjøre støtende feil i ganske enkle lineære ligninger. Vanligvis gjøres feil enten når du åpner parenteser eller når du beregner "plussene" og "minusene".

I tillegg hender det at en lineær ligning ikke har noen løsninger i det hele tatt, eller at løsningen er hele tallinjen, dvs. hvilket som helst tall. Vi skal se på disse finessene i dagens leksjon. Men vi starter, som du allerede har forstått, med selve enkle oppgaver.

Opplegg for å løse enkle lineære ligninger

Først, la meg igjen skrive hele skjemaet for å løse de enkleste lineære ligningene:

Utvid parentesene, hvis noen.
Vi isolerer variablene, dvs. Vi flytter alt som inneholder "X" til den ene siden, og alt uten "X" til den andre.
Vi presenterer lignende termer.
Vi deler alt med koeffisienten til "x".

Selvfølgelig fungerer ikke dette opplegget alltid det er visse finesser og triks i det, og nå skal vi bli kjent med dem.

Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

Oppgave nr. 1

Det første trinnet krever at vi åpner brakettene. Men de er ikke i dette eksemplet, så vi hopper over dem dette stadiet. I det andre trinnet må vi isolere variablene. Merk: vi snakker om bare om individuelle vilkår. La oss skrive det ned:

Vi presenterer lignende termer til venstre og høyre, men dette er allerede gjort her. La oss derfor gå videre til fjerde trinn: delt på koeffisienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Så vi fikk svaret.

Oppgave nr. 2

Vi kan se parentesene i denne oppgaven, så la oss utvide dem:

Både til venstre og til høyre ser vi omtrent samme design, men la oss handle etter algoritmen, dvs. skille variablene:

Her er noen lignende:

Ved hvilke røtter fungerer dette? Svar: for enhver. Derfor kan vi skrive at $x$ er et hvilket som helst tall.

Oppgave nr. 3

Den tredje lineære ligningen er mer interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det er flere parenteser, men de multipliseres ikke med noe, de er rett og slett innledet med ulike tegn. La oss bryte dem ned:

Vi utfører det andre trinnet som allerede er kjent for oss:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

La oss regne:

Vi utfører det siste trinnet - del alt med koeffisienten til "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting å huske på når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for enkle oppgaver, vil jeg gjerne si følgende:

Som jeg sa ovenfor, har ikke alle lineære ligninger en løsning - noen ganger er det rett og slett ingen røtter;
Selv om det er røtter, kan det være null blant dem - det er ikke noe galt med det.

Null er det samme tallet som de andre; du bør ikke diskriminere det på noen måte eller anta at hvis du får null, så har du gjort noe galt.

En annen funksjon er relatert til åpningen av braketter. Vennligst merk: når det er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes endrer vi tegnene til motsatte. Og så kan vi åpne den ved hjelp av standardalgoritmer: vi får det vi så i beregningene ovenfor.

Forstår dette enkelt faktum vil tillate deg å unngå å gjøre dumme og støtende feil på videregående, når slike handlinger tas for gitt.

Løse komplekse lineære ligninger

La oss gå videre til mer komplekse ligninger. Nå vil designene bli mer komplekse når de utføres ulike transformasjoner en kvadratisk funksjon vil oppstå. Vi bør imidlertid ikke være redde for dette, for hvis vi i henhold til forfatterens plan løser en lineær ligning, vil alle monomialer som inneholder en kvadratisk funksjon under transformasjonsprosessen helt sikkert kanselleres.

Eksempel nr. 1

Det første trinnet er selvsagt å åpne brakettene. La oss gjøre dette veldig nøye:

La oss nå ta en titt på personvern:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er noen lignende:

Det er åpenbart at gitt ligning Det finnes ingen løsninger, så vi skriver dette i svaret:

\[\varnothing\]

eller det er ingen røtter.

Eksempel nr. 2

Vi utfører de samme handlingene. Første skritt:

La oss flytte alt med en variabel til venstre, og uten den - til høyre:

Her er noen lignende:

Denne lineære ligningen har åpenbart ingen løsning, så vi skriver den på denne måten:

\[\varnothing\],

eller det er ingen røtter.

Nyanser av løsningen

Begge ligningene er fullstendig løst. Ved å bruke disse to uttrykkene som eksempel, ble vi nok en gang overbevist om at selv i de enkleste lineære ligningene, kan ikke alt være så enkelt: det kan være enten én, eller ingen, eller uendelig mange røtter. I vårt tilfelle vurderte vi to ligninger, begge har rett og slett ingen røtter.

Men jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten din til et annet faktum: hvordan du jobber med parenteser og hvordan du åpner dem hvis det er et minustegn foran dem. Tenk på dette uttrykket:

Før du åpner, må du multiplisere alt med "X". Vennligst merk: multipliserer hvert enkelt semester. Inne er det to ledd - henholdsvis to ledd og multiplisert.

Og først etter at disse tilsynelatende elementære, men veldig viktige og farlige transformasjonene er fullført, kan du åpne braketten fra synspunktet om at det er et minustegn etter den. Ja, ja: først nå, når transformasjonene er fullført, husker vi at det er et minustegn foran parentesene, som betyr at alt under rett og slett skifter fortegn. Samtidig forsvinner selve brakettene, og viktigst av alt forsvinner også den fremre "minusen".

Vi gjør det samme med den andre ligningen:

Det er ikke tilfeldig at jeg legger merke til disse små, tilsynelatende ubetydelige fakta. Fordi å løse ligninger er alltid en sekvens elementære transformasjoner, hvor manglende evne til å klart og kompetent utføre enkle trinn fører til at elever på videregående kommer til meg og igjen lærer å løse slike enkle ligninger.

Selvfølgelig vil dagen komme da du vil finpusse disse ferdighetene til det punktet av automatikk. Du trenger ikke lenger å utføre så mange transformasjoner hver gang du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, må du skrive hver handling separat.

Løse enda mer komplekse lineære ligninger

Det vi skal løse nå kan neppe kalles den enkleste oppgaven, men meningen forblir den samme.

Oppgave nr. 1

\[\venstre(7x+1 \høyre)\venstre(3x-1 \høyre)-21((x)^(2))=3\]

La oss multiplisere alle elementene i den første delen:

La oss gjøre litt privatliv:

Her er noen lignende:

La oss fullføre det siste trinnet:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vårt endelige svar. Og til tross for at vi i prosessen med å løse hadde koeffisienter med en kvadratisk funksjon, kansellerte de hverandre, noe som gjør ligningen lineær og ikke kvadratisk.

Oppgave nr. 2

\[\venstre(1-4x \høyre)\venstre(1-3x \høyre)=6x\venstre(2x-1 \høyre)\]

La oss utføre det første trinnet nøye: multipliser hvert element fra den første parentesen med hvert element fra den andre. Det skal være totalt fire nye termer etter transformasjonene:

La oss nå nøye utføre multiplikasjonen i hvert ledd:

La oss flytte termene med "X" til venstre, og de uten - til høyre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende termer:

Nok en gang har vi fått det endelige svaret.

Nyanser av løsningen

Den viktigste merknaden om disse to ligningene er at så snart vi begynner å multiplisere parenteser som inneholder mer enn ett ledd, gjør det det ved å neste regel: vi tar det første leddet fra det første og multipliserer med hvert element fra det andre; så tar vi det andre elementet fra det første og multipliserer på samme måte med hvert element fra det andre. Som et resultat vil vi ha fire perioder.

Om den algebraiske summen

Med dette siste eksempelet vil jeg minne elevene på hva algebraisk sum. I klassisk matematikk mener vi med $1-7$ en enkel konstruksjon: trekk sju fra én. I algebra mener vi følgende med dette: til tallet "én" legger vi til et annet tall, nemlig "minus syv". Slik skiller en algebraisk sum seg fra en vanlig aritmetisk sum.

Så snart du, når du utfører alle transformasjonene, hver addisjon og multiplikasjon, begynner å se konstruksjoner som ligner de som er beskrevet ovenfor, vil du rett og slett ikke ha noen problemer i algebra når du arbeider med polynomer og ligninger.

Til slutt, la oss se på et par flere eksempler som vil være enda mer komplekse enn de vi nettopp så på, og for å løse dem må vi utvide standardalgoritmen vår litt.

Løse ligninger med brøker

For løsninger lignende oppgaver Vi må legge til ett trinn til i algoritmen vår. Men først, la meg minne deg på algoritmen vår:

Åpne brakettene.
Separate variabler.
Ta med lignende.
Del på forholdet.

Akk, denne fantastiske algoritmen, på tross av all dens effektivitet, viser seg å ikke være helt passende når vi har brøker foran oss. Og i det vi skal se nedenfor, har vi en brøk til både venstre og høyre i begge ligningene.

Hvordan jobbe i dette tilfellet? Ja, det er veldig enkelt! For å gjøre dette må du legge til ett trinn til i algoritmen, som kan gjøres både før og etter den første handlingen, nemlig å bli kvitt brøker. Så algoritmen vil være som følger:

Bli kvitt brøker.
Åpne brakettene.
Separate variabler.
Ta med lignende.
Del på forholdet.

Hva betyr det å "bli kvitt brøker"? Og hvorfor kan dette gjøres både etter og før det første standardtrinn? Faktisk, i vårt tilfelle er alle brøker numeriske i sin nevner, dvs. Overalt er nevneren bare et tall. Derfor, hvis vi multipliserer begge sider av ligningen med dette tallet, vil vi bli kvitt brøker.

Eksempel nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

La oss bli kvitt brøkene i denne ligningen:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vennligst merk: alt multipliseres med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser betyr ikke det at du må gange hver med "fire". La oss skrive ned:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

La oss nå utvide:

Vi utelukker variabelen:

Vi utfører reduksjon av lignende termer:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi fikk siste avgjørelse, la oss gå videre til den andre ligningen.

Eksempel nr. 2

\[\frac(\venstre(1-x \høyre)\venstre(1+5x \høyre))(5)+((x)^(2))=1\]

Her utfører vi alle de samme handlingene:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet er løst.

Det er faktisk alt jeg ville fortelle deg i dag.

Viktige punkter

Nøkkelfunn er:

Kjenne til algoritmen for å løse lineære ligninger.
Evne til å åpne parentes.
Ikke bekymre deg hvis du ser kvadratiske funksjoner, mest sannsynlig, i ferd med ytterligere transformasjoner vil de avta.
Det er tre typer røtter i lineære ligninger, selv de enkleste: én enkelt rot, hele tallinjen er en rot, og ingen røtter i det hele tatt.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å mestre et enkelt, men veldig viktig emne for videre forståelse av all matematikk. Hvis noe ikke er klart, gå til nettstedet og løs eksemplene som presenteres der. Følg med, mange flere interessante ting venter på deg!

Ligninger. For å si det på en annen måte, begynner løsningen av alle ligninger med disse transformasjonene. Når man løser lineære ligninger, er det (løsningen). identitetstransformasjoner og avsluttes med det endelige svaret.

Tilfellet av en koeffisient som ikke er null for en ukjent variabel.

ax+b=0, a ≠ 0

Vi flytter ledd med X til den ene siden, og tall til den andre siden. Husk det når du overfører vilkårene til motsatt side ligninger, må du endre tegnet:

ax:(a)=-b:(a)

La oss forkorte EN på X og vi får:

x=-b:(a)

Dette er svaret. Hvis du trenger å sjekke om et nummer er -b:(a) roten til ligningen vår, så må vi erstatte innledende ligning i stedet for X dette er nummeret:

a(-b:(a))+b=0 ( de. 0=0)

Fordi denne likheten er altså riktig -b:(a) og sannhet er roten til ligningen.

Svar: x=-b:(a), a ≠ 0.

Første eksempel:

5x+2=7x-6

Vi flytter vilkårene med til den ene siden X, og på den andre siden tallene:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Hvis ukjent, ble koeffisienten redusert og vi fikk svaret:

Dette er svaret. Hvis du trenger å sjekke om tallet 4 virkelig er roten til ligningen vår, erstatter vi dette tallet i stedet for X i den opprinnelige ligningen:

5*4+2=7*4-6 ( de. 22=22)

Fordi denne likheten er sann, så er 4 roten til ligningen.

Andre eksempel:

Løs ligningen:

5x+14=x-49

Ved å overføre de ukjente og tallene til forskjellige sider, fikk:

Del delene av ligningen med koeffisienten ved x(med 4) og vi får:

Tredje eksempel:

Løs ligningen:

Først blir vi kvitt irrasjonaliteten i koeffisienten for det ukjente ved å multiplisere alle ledd med:

Dette skjemaet anses å være forenklet, fordi tallet har roten av tallet i nevneren. Vi må forenkle svaret ved å multiplisere telleren og nevneren med samme nummer, vi har dette:

Saken om ingen løsninger.

Løs ligningen:

2x+3=2x+7

Foran alle x vår ligning vil ikke bli en ekte likhet. Det vil si at ligningen vår har ingen røtter.

Svar: det finnes ingen løsninger.

Et spesialtilfelle er et uendelig antall løsninger.

Løs ligningen:

2x+3=2x+3

Ved å flytte x-ene og tallene i forskjellige retninger og legge til lignende termer, får vi ligningen:

Heller ikke her er det mulig å dele begge deler med 0, pga det er forbudt. Men å sette på plass X et hvilket som helst tall, får vi riktig likhet. Det vil si at hvert tall er en løsning på en slik ligning. Altså her uendelig antall beslutninger.

Svar: et uendelig antall løsninger.

Saken om likestilling av to komplette skjemaer.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Svar: x=(d-b):(a-c), Hvis d≠b og a≠c, ellers er det uendelig mange løsninger, men hvis a=c, A d≠b, da er det ingen løsninger.

Bruker denne matteprogram du kan løse et system med to lineære ligninger med to variabel metode substitusjons- og addisjonsmetode.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men gir også detaljert løsning med forklaringer av løsningstrinnene på to måter: substitusjonsmetoden og addisjonsmetoden.

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole ungdomsskoler som forberedelse til tester og eksamener, når du tester kunnskap før Unified State Exam, for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så raskt som mulig? hjemmelekser i matematikk eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.

På denne måten kan du gjennomføre din egen trening og/eller trening. yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået i feltet problemer som løses øker.

Regler for å legge inn ligninger

Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, etc.

Når du legger inn ligninger du kan bruke parenteser. I dette tilfellet blir likningene først forenklet. Ligningene etter forenklinger skal være lineære, dvs. av formen ax+by+c=0 med nøyaktigheten av rekkefølgen av elementer.
For eksempel: 6x+1 = 5(x+y)+2

Du kan bruke ikke bare heltall i ligninger, men også brøktall i form av desimaler og vanlige brøker.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
Heltall og brøkdeler i desimaler kan skilles med enten et punktum eller et komma.
For eksempel: 2,1n + 3,5m = 55

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.
Nevneren kan ikke være negativ.
Når du går inn numerisk brøk Telleren er atskilt fra nevneren med et divisjonstegn: /
Hele delen atskilt fra brøken med et og-tegnet: &

Eksempler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Løs ligningssystem

Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Løse systemer av lineære ligninger. Substitusjonsmetode

Rekkefølgen av handlinger når du løser et system med lineære ligninger ved bruk av substitusjonsmetoden:
1) uttrykke en variabel fra en eller annen ligning i systemet i form av en annen;
2) erstatte det resulterende uttrykket med en annen likning av systemet i stedet for denne variabelen;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

La oss uttrykke y i form av x fra den første ligningen: y = 7-3x. Ved å erstatte uttrykket 7-3x i den andre ligningen i stedet for y, får vi systemet:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Det er lett å vise at det første og andre systemet har de samme løsningene. I det andre systemet inneholder den andre ligningen bare én variabel. La oss løse denne ligningen:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Høyrepil -5x+14-6x=3 \Høyrepil -11x=-11 \Høyrepil x=1 $$

Ved å erstatte tallet 1 i stedet for x med likheten y=7-3x, finner vi den tilsvarende verdien av y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Høyrepil y=4 $$

Par (1;4) - løsning av systemet

Ligningssystemer i to variabler som har samme løsninger kalles tilsvarende. Systemer som ikke har løsninger anses også som likeverdige.

Løse systemer av lineære ligninger ved addisjon

La oss vurdere en annen måte å løse systemer med lineære ligninger på - addisjonsmetoden. Når vi løser systemer på denne måten, samt når vi løser ved substitusjon, går vi fra dette systemet til et annet, ekvivalent system, der en av likningene kun inneholder én variabel.

Rekkefølgen av handlinger når du løser et system med lineære ligninger ved hjelp av addisjonsmetoden:
1) multipliser likningene til systemet ledd med ledd, velg faktorer slik at koeffisientene for en av variablene blir motsatte tall;
2) legg til venstre og høyre side av systemligningene ledd for ledd;
3) løse den resulterende ligningen med én variabel;
4) finn den tilsvarende verdien til den andre variabelen.

Eksempel. La oss løse ligningssystemet:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

I likningene til dette systemet er koeffisientene til y motsatte tall. Ved å legge til venstre og høyre side av ligningene ledd for ledd, får vi en ligning med én variabel 3x=33. La oss erstatte en av likningene i systemet, for eksempel den første, med likningen 3x=33. La oss få systemet
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Fra ligningen 3x=33 finner vi at x=11. Ved å erstatte denne x-verdien i ligningen $x-3y=38$ får vi en ligning med variabelen y: $11-3y=38$. La oss løse denne ligningen:
$-3y=27 \Høyrepil y=-9 $

Dermed fant vi løsningen på ligningssystemet ved å addere: $x=11; y=-9$ eller $(11;-9)$

Ved å utnytte det faktum at i likningene til systemet er koeffisientene for y motsatte tall, reduserte vi løsningen til løsningen tilsvarende system(ved å summere begge sider av hver av ligningene til det opprinnelige symbolet), der en av ligningene inneholder bare én variabel.

Bøker (lærebøker) Sammendrag av Unified State Examination og Unified State Examination tester online Spill, puslespill Plotte grafer av funksjoner Staveordbok for det russiske språket Ordbok for ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over videregående utdanningsinstitusjoner i Russland Katalog over russiske universiteter Liste av oppgaver