Brøkdel- en form for å representere et tall i matematikk. Brøklinjen angir delingsoperasjonen. Teller brøk kalles utbyttet, og nevner- deler. For eksempel, i en brøk er telleren 5 og nevneren er 7.

Riktig En brøk kalles der modulen til telleren er større enn modulen til nevneren. Hvis en brøk er riktig, er modulen til verdien alltid mindre enn 1. Alle andre brøker er feil.

Brøken kalles blandet, hvis det er skrevet som et heltall og en brøk. Dette er det samme som summen av dette tallet og brøken:

Hovedegenskapen til en brøk

Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres med samme tall, vil ikke verdien av brøken endres, det vil si f.eks.

Redusere brøker til en fellesnevner

For å bringe to brøker til en fellesnevner, trenger du:

1. Multipliser telleren til den første brøken med nevneren til den andre
2. Multipliser telleren til den andre brøken med nevneren til den første
3. Bytt ut nevnerne til begge brøkene med deres produkt

Operasjoner med brøker

Addisjon. For å legge til to brøker trenger du

1. Legg til de nye tellerne for begge brøkene og la nevneren være uendret

Eksempel:

Subtraksjon. For å trekke en brøk fra en annen, trenger du

1. Reduser brøker til en fellesnevner
2. Trekk telleren til den andre fra telleren til den første brøken, og la nevneren stå uendret

Eksempel:

Multiplikasjon. For å multiplisere en brøk med en annen, multipliser deres tellere og nevnere:

Inndeling. For å dele en brøk med en annen, multipliser telleren til den første brøken med nevneren til den andre, og multipliser nevneren til den første brøken med telleren til den andre:

Definisjon av en vanlig brøk

Definisjon 1

Vanlige brøker brukes for å beskrive antall deler. La oss se på et eksempel som kan brukes til å definere en vanlig brøk.

Eplet ble delt inn i aksjer på $8$. I dette tilfellet representerer hver aksje en åttendedel av et helt eple, det vil si $\frac(1)(8)$. To aksjer er merket med $\frac(2)(8)$, tre aksjer med $\frac(3)(8)$ osv., og $8$-aksjer med $\frac(8)(8)$ . Hver av oppføringene som presenteres kalles vanlig brøk.

La oss gi en generell definisjon av en vanlig brøk.

Definisjon 2

Vanlig brøk kalles en notasjon av formen $\frac(m)(n)$, der $m$ og $n$ er alle naturlige tall.

Du kan ofte finne følgende notasjon for en vanlig brøk: $m/n$.

Eksempel 1

Eksempler på vanlige brøker:

\[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\]

Merknad 1

Tall $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ er ikke vanlige brøker, fordi passer ikke til definisjonen ovenfor.

Teller og nevner

En vanlig brøk består av en teller og en nevner.

Definisjon 3

Teller En vanlig brøk $\frac(m)(n)$ er et naturlig tall $m$, som viser antall like deler tatt fra en enkelt helhet.

Definisjon 4

Nevner En vanlig brøk $\frac(m)(n)$ er et naturlig tall $n$, som viser hvor mange like deler hele helheten er delt inn i.

Bilde 1.

Telleren er plassert over brøklinjen, og nevneren er plassert under brøklinjen. For eksempel er telleren til fellesbrøken $\frac(5)(17)$ tallet $5$, og nevneren er tallet $17$. Nevneren viser at posten er delt inn i $17$ aksjer, og telleren viser at $5$ slike aksjer ble tatt.

Naturlig tall som en brøk med nevner 1

Nevneren til en felles brøk kan være en. I dette tilfellet anses gjenstanden for å være udelelig, dvs. representerer en enkelt helhet. Telleren til en slik brøk viser hvor mange hele objekter som tas. En vanlig brøkdel av formen $\frac(m)(1)$ har betydningen av et naturlig tall $m$. Dermed får vi den velbegrunnede likheten $\frac(m)(1)=m$.

Hvis vi omskriver likheten i formen $m=\frac(m)(1)$, vil det gjøre det mulig å representere et hvilket som helst naturlig tall $m$ som en vanlig brøk. For eksempel kan tallet $5$ representeres som en brøk $\frac(5)(1)$, tallet $123\456$ kan representeres som en brøk $\frac(123\456)(1)$.

Dermed kan et hvilket som helst naturlig tall $m$ representeres som en ordinær brøk med en nevner $1$, og enhver ordinær brøk av formen $\frac(m)(1)$ kan erstattes med et naturlig tall $m$.

Brøkstrek som divisjonstegn

Å representere et objekt i form av $n$ deler er en inndeling i $n$ like deler. Etter å ha delt en vare i $n$-andeler, kan den deles likt mellom $n$-personer - hver vil motta en andel.

La det være $m$ identiske objekter delt inn i $n$ deler. Disse $m$-elementene kan deles likt mellom $n$-personer ved å gi hver person en andel av hver av $m$-elementene. I dette tilfellet vil hver person motta $m$-andeler på $\frac(1)(n)$, som gir fellesbrøken $\frac(m)(n)$. Vi finner at den vanlige brøken $\frac(m)(n)$ kan brukes til å betegne delingen av $m$ elementer mellom $n$ personer.

Sammenhengen mellom vanlige brøker og divisjon kommer til uttrykk ved at brøkstreken kan forstås som et divisjonstegn, d.v.s. $\frac(m)(n)=m:n$.

En vanlig brøk gjør det mulig å skrive ned resultatet av å dele to naturlige tall som det ikke utføres en hel divisjon for.

Eksempel 2

For eksempel kan resultatet av å dele $7$ epler med $9$ personer skrives som $\frac(7)(9)$, dvs. alle vil motta syv niendedeler av et eple: $7:9=\frac(7)(9)$.

Like og ulik brøk, sammenligning av brøker

Resultatet av å sammenligne to vanlige brøker kan enten være deres likhet eller ikke-likhet. Når vanlige brøker er like, kalles de like ellers kalles vanlige brøker ulik.

lik, hvis likheten $a\cdot d=b\cdot c$ er sann.

De vanlige brøkene $\frac(a)(b)$ og $\frac(c)(d)$ kalles ulik, hvis likheten $a\cdot d=b\cdot c$ ikke holder.

Eksempel 3

Finn ut om brøkene $\frac(1)(3)$ og $\frac(2)(6)$ er like.

Likheten er oppfylt, noe som betyr at brøkene $\frac(1)(3)$ og $\frac(2)(6)$ er like: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6)$.

Dette eksemplet kan vurderes å bruke epler: ett av to identiske epler er delt inn i tre like deler, det andre i $6$-andeler. Det kan sees at to sjettedeler av et eple utgjør en $\frac(1)(3)$-andel.

Eksempel 4

Sjekk om de vanlige brøkene $\frac(3)(17)$ og $\frac(4)(13)$ er like.

La oss sjekke om likheten $a\cdot d=b\cdot c$ holder:

\ \

Likheten holder ikke, noe som betyr at brøkene $\frac(3)(17)$ og $\frac(4)(13)$ ikke er like: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) $.

Ved å sammenligne to vanlige brøker og finne ut at de ikke er like, kan du finne ut hvilken som er større og hvilken som er mindre enn den andre. For å gjøre dette, bruk regelen for å sammenligne vanlige brøker: du må bringe brøkene til en fellesnevner og deretter sammenligne deres tellere. Uansett hvilken brøkdel som har en større teller, vil denne brøken være den største.

Brøker på en koordinatstråle

Alle brøktall som tilsvarer vanlige brøker kan vises på en koordinatstråle.

For å markere et punkt på en koordinatstråle som tilsvarer brøken $\frac(m)(n)$, er det nødvendig å plotte $m$-segmenter fra opprinnelsen til koordinatene i positiv retning, hvis lengde er $\ frac(1)(n)$ en brøkdel av et enhetssegment . Slike segmenter oppnås ved å dele et enhetssegment i $n$ like deler.

For å vise et brøktall på en koordinatstråle, må du dele enhetssegmentet i deler.

Figur 2.

Like brøker er beskrevet med samme brøktall, dvs. like brøker representerer koordinatene til samme punkt på koordinatstrålen. For eksempel beskriver koordinatene $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ samme punkt på koordinatstrålen, siden alle skrevne brøker er like.

Hvis et punkt er beskrevet av en koordinat med en større brøkdel, vil det være plassert til høyre på en horisontal koordinatstråle rettet mot høyre fra punktet hvis koordinat er en mindre brøkdel. For eksempel fordi brøken $\frac(5)(6)$ er større enn brøkdelen $\frac(2)(6)$, så er punktet med koordinaten $\frac(5)(6)$ plassert til høyre for punkt med koordinat $\frac(2) (6)$.

På samme måte vil et punkt med en mindre koordinat ligge til venstre for et punkt med en større koordinat.

Brøker av en enhet og er representert som \frac(a)(b).

Teller for brøk (a)- tallet plassert over brøklinjen og som viser antall aksjer som enheten ble delt inn i.

Brøknevner (b)- tallet som er plassert under brøklinjen og viser hvor mange deler enheten er delt inn i.

Gjem Vis

Hovedegenskapen til en brøk

Hvis ad=bc så to brøker \frac(a)(b) Og \frac(c)(d) anses likeverdige. For eksempel vil brøkene være like \frac35 Og \frac(9)(15), siden 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) Og \frac(24)(14), siden 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Fra definisjonen av brøklikhet følger det at brøkene vil være like \frac(a)(b) Og \frac(am)(bm), siden a(bm)=b(am) er et tydelig eksempel på bruken av de assosiative og kommutative egenskapene til å multiplisere naturlige tall i aksjon.

Midler \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)– slik ser det ut hovedegenskapen til en brøk.

Med andre ord får vi en brøk lik den gitte ved å multiplisere eller dividere telleren og nevneren til den opprinnelige brøken med det samme naturlige tallet.

Reduserer en brøkdel er prosessen med å erstatte en brøk der den nye brøken er lik den opprinnelige, men med en mindre teller og nevner.

Det er vanlig å redusere fraksjoner basert på den grunnleggende egenskapen til fraksjonen.

For eksempel, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(teller og nevner er delt med tallet 3); den resulterende fraksjonen kan igjen reduseres ved å dele på 5, det vil si \frac(15)(20)=\frac 34.

Irreduserbar fraksjon er en brøkdel av formen \frac 34, hvor telleren og nevneren er innbyrdes primtall. Hovedformålet med å redusere en brøk er å gjøre brøken irreduserbar.

Redusere brøker til en fellesnevner

La oss ta to brøker som eksempel: \frac(2)(3) Og \frac(5)(8) med ulike nevnere 3 og 8. For å bringe disse brøkene til en fellesnevner, multipliserer vi først telleren og nevneren til brøken \frac(2)(3) innen 8. Vi får følgende resultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Deretter multipliserer vi telleren og nevneren til brøken \frac(5)(8) innen 3. Som et resultat får vi: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Så de opprinnelige brøkene reduseres til en fellesnevner 24.

Aritmetiske operasjoner på vanlige brøker

Addisjon av vanlige brøker

a) Hvis nevnerne er like, legges telleren til den første brøken til telleren til den andre brøken, slik at nevneren er den samme. Som du kan se i eksempelet:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) For ulike nevnere reduseres først brøker til en fellesnevner, og deretter legges tellerne til etter regel a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Å trekke fra brøker

a) Hvis nevnerne er like, trekk telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være den samme:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Hvis nevnerne til brøkene er forskjellige, reduseres først brøkene til en fellesnevner, og deretter gjentas trinnene som i punkt a).

Multiplisere vanlige brøker

Å multiplisere brøker følger følgende regel:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

det vil si at de multipliserer tellerne og nevnerne hver for seg.

For eksempel:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Å dele brøker

Brøker deles på følgende måte:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

altså en brøkdel \frac(a)(b) multiplisert med en brøk \frac(d)(c).

Eksempel: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Gjensidige tall

Hvis ab=1, så er tallet b gjensidig nummer for tallet a.

Eksempel: for tallet 9 er det gjensidige \frac(1)(9), fordi 9\cdot\frac(1)(9)=1, for tallet 5 - \frac(1)(5), fordi 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Desimaler

Desimal kalt en egenbrøk hvis nevner er 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

For eksempel: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Uregelmessige tall med en nevner på 10^n eller blandede tall skrives på samme måte.

For eksempel: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Enhver vanlig brøk med en nevner som er en divisor med en viss potens på 10, er representert som en desimalbrøk.

Eksempel: 5 er en divisor på 100, så det er en brøk \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

Aritmetiske operasjoner på desimaler

Legge til desimaler

For å legge til to desimalbrøker, må du ordne dem slik at det er identiske sifre under hverandre og et komma under kommaet, og deretter legge til brøkene som vanlige tall.

Subtrahere desimaler

Det utføres på samme måte som addisjon.

Multiplisere desimaler

Når du multipliserer desimaltall, er det nok å multiplisere de gitte tallene, uten å ta hensyn til komma (som naturlige tall), og i det resulterende svaret skiller et komma til høyre like mange sifre som det er etter desimaltegnet i begge faktorer. totalt.

La oss multiplisere 2,7 med 1,3. Vi har 27 \cdot 13=351 . Vi skiller to sifre til høyre med komma (første og andre tall har ett siffer etter desimaltegnet; 1+1=2). Som et resultat får vi 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Hvis det resulterende resultatet inneholder færre sifre enn det som må skilles med komma, skrives de manglende nullene foran, for eksempel:

For å multiplisere med 10, 100, 1000, må du flytte desimaltegnet 1, 2, 3 sifre til høyre (om nødvendig tildeles et visst antall nuller til høyre).

For eksempel: 1,47\cdot 10\,000 = 14,700.

Desimaldeling

Å dele en desimalbrøk på et naturlig tall gjøres på samme måte som å dele et naturlig tall på et naturlig tall. Kommaet i kvotienten settes etter at delingen av hele delen er fullført.

Hvis heltallsdelen av utbyttet er mindre enn divisoren, er svaret null heltall, for eksempel:

La oss se på å dele en desimal med en desimal. La oss si at vi må dele 2,576 med 1,12. Først av alt, la oss multiplisere utbyttet og divisor av brøken med 100, det vil si flytte desimaltegnet til høyre i utbyttet og divisor med like mange sifre som det er i divisoren etter desimaltegnet (i dette eksemplet, to). Deretter må du dele brøken 257,6 med det naturlige tallet 112, det vil si at problemet er redusert til tilfellet som allerede er vurdert:

Det hender at den endelige desimalbrøken ikke alltid oppnås når man deler ett tall med et annet. Resultatet er en uendelig desimalbrøk. I slike tilfeller går vi over til vanlige brøker.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

Teller og nevner av en brøk. Typer brøker. La oss fortsette å se på brøker. Først en liten ansvarsfraskrivelse - mens vi vurderer brøker og tilsvarende eksempler med dem, vil vi foreløpig bare jobbe med dens numeriske representasjon. Det finnes også uttrykk for brøkbokstaver (med og uten tall).Imidlertid gjelder alle "prinsipper" og regler også for dem, men vi vil snakke om slike uttrykk separat i fremtiden. Jeg anbefaler å besøke og studere (huske) emnet brøk trinn for trinn.

Det viktigste er å forstå, huske og innse at en BRØK er et TALL!!!

Vanlig brøk er et tall av formen:

Tallet som ligger "på toppen" (i dette tilfellet m) kalles telleren, tallet under (nummer n) kalles nevneren. De som nettopp har berørt temaet har ofte forvirring om hva de kaller det.

Her er et triks for hvordan du for alltid husker hvor telleren er og hvor nevneren er. Denne teknikken er assosiert med verbal-figurativ assosiasjon. Se for deg en krukke med grumsete vann. Det er kjent at når vannet setter seg, forblir rent vann på toppen, og grumset (smuss) legger seg, husk:

CHISS smeltevann OVER (CHISS litel topp)

Grya Z33NN vann er UNDER (ZNNNN amenator er under)

Så snart behovet oppstår for å huske hvor telleren er og hvor nevneren er, forestilte vi oss umiddelbart en krukke med sedimentert vann, med RENT vann på toppen og SKITTEN vann på bunnen. Det er andre minnetriks, hvis de hjelper deg, er det bra.

Eksempler på vanlige brøker:

Hva betyr den horisontale linjen mellom tall? Dette er ikke noe mer enn et delingstegn. Det viser seg at en brøk kan betraktes som et eksempel på virkningen av deling. Denne handlingen registreres ganske enkelt i dette skjemaet. Det vil si at det øverste tallet (telleren) er delt på det nederste (nevneren):

I tillegg er det en annen form for notasjon - en brøk kan skrives slik (gjennom en skråstrek):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 og så videre...

Vi kan skrive brøkene ovenfor slik:

Resultatet av divisjon er hvordan dette tallet er kjent.

Vi fant ut av det - DETTE ER ET BRØKETALL!!!

Som du allerede har lagt merke til, i en vanlig brøk kan telleren være mindre enn nevneren, den kan være større enn nevneren, og den kan være lik den. Det er mange viktige punkter her som er intuitivt forståelige, uten noen teoretiske avgrensninger. For eksempel:

1. Brøk 1 og 3 kan skrives som 0,5 og 0,01. La oss hoppe litt videre - dette er desimalbrøker, vi snakker om dem litt lavere.

2. Brøk 4 og 6 resulterer i heltallet 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Brøken 5 resulterer i en 155:155 = 1.

Hvilke konklusjoner tyder på seg selv? Neste:

1. Telleren ved delt på nevneren kan gi et endelig tall. Det kan hende det ikke fungerer, del med en kolonne 7 med 13 eller 17 med 11 - ingen måte! Du kan dele i det uendelige, men vi vil også snakke om dette nedenfor.

2. En brøk kan resultere i et helt tall. Derfor kan vi representere et hvilket som helst heltall som en brøk, eller snarere en uendelig serie med brøker, se, alle disse brøkene er lik 2:

Mer! Vi kan alltid skrive et hvilket som helst heltall som en brøk - selve tallet er i telleren, enheten er i nevneren:

3. Vi kan alltid representere en enhet som en brøk med en hvilken som helst nevner:

*Disse punktene er ekstremt viktige for å arbeide med brøker under beregninger og transformasjoner.

Typer brøker.

Og nå om den teoretiske inndelingen av vanlige brøker. De er delt inn i rett og galt.

En brøk hvis teller er mindre enn nevneren kalles en egenbrøk. Eksempler:

En brøk hvis teller er større enn eller lik nevneren kalles en uekte brøk. Eksempler:

Blandet fraksjon(blandet tall).

En blandet brøk er en brøk skrevet som et helt tall og en egenbrøk og forstås som summen av dette tallet og dets brøkdel. Eksempler:

En blandet brøk kan alltid representeres som en uekte brøk og omvendt. La oss gå videre!

Desimalbrøker.

Vi har allerede berørt dem ovenfor, dette er eksempler (1) og (3), nå mer detaljert. Her er eksempler på desimalbrøker: 0,3 0,89 0,001 5,345.

En brøk hvis nevner er en potens på 10, for eksempel 10, 100, 1000 osv., kalles en desimal. Det er ikke vanskelig å skrive de tre første indikerte brøkene i form av vanlige brøker:

Den fjerde er en blandet brøk (blandet tall):

Desimalbrøken har følgende form - medhele delen begynner, så er skilletegnet for hele og brøkdelen en prikk eller komma og deretter brøkdelen, antall sifre i brøkdelen bestemmes strengt tatt av dimensjonen til brøkdelen: hvis disse er tiendedeler, brøkdel skrives som ett siffer; hvis tusendeler - tre; ti tusendeler - fire osv.

Disse brøkene kan være endelige eller uendelige.

Eksempler på sluttende desimalbrøker: 0,234; 0,87; 34,00005; 5.765.

Eksemplene er uendelige. For eksempel er tallet Pi en uendelig desimalbrøk, også – 0,3333333333333…... 0,16666666666…. og andre. Også resultatet av å trekke ut roten til tallene 3, 5, 7, etc. vil være en uendelig brøkdel.

Brøkdelen kan være syklisk (den inneholder en syklus), de to eksemplene ovenfor er nøyaktig som dette, og flere eksempler:

0,123123123123... syklus 123

0,781781781718...... syklus 781

0,0250102501…. syklus 02501

De kan skrives som 0,(123) 0,(781) 0,(02501).

Tallet Pi er ikke en syklisk brøk, som for eksempel roten av tre.

I eksemplene nedenfor vil ord som «snu» en brøk høres ut - dette betyr at telleren og nevneren byttes. Faktisk har en slik brøk et navn - en gjensidig brøk. Eksempler på gjensidige brøker:

En liten oppsummering! Brøker er:

Vanlig (riktig og feil).

Desimaler (endelig og uendelig).

Blandet (blandet tall).

Det er alt!

Med vennlig hilsen Alexander.

1 Hva er vanlige brøker? Typer av brøker.
En brøk betyr alltid en del av en helhet. Faktum er at mengde ikke alltid kan uttrykkes i naturlige tall, det vil si omberegnes: 1,2,3, etc. Hvordan betegner du for eksempel en halv vannmelon eller et kvarter? Dette er grunnen til at brøker eller tall dukket opp.

Til å begynne med må det sies at det generelt er to typer brøker: vanlige brøker og desimalbrøker. Vanlige brøker skrives slik:
Desimalbrøker skrives annerledes:

Vanlige brøker består av to deler: øverst er telleren, nederst er nevneren. Telleren og nevneren er atskilt med en brøklinje. Så husk:

Enhver brøk er en del av en helhet. Vanligvis tatt som en helhet 1 (enhet). Nevneren til en brøk viser hvor mange deler helheten er delt inn i ( 1 ), og telleren er hvor mange deler som ble tatt. Hvis vi kutter kaken i 6 like deler (i matematikk sier de aksjer ), da vil hver del av kaken være lik 1/6. Hvis Vasya spiste 4 stykker, betyr det at han spiste 4/6.

På den annen side er en skråstrek ikke noe mer enn et divisjonstegn. Derfor er en brøk kvotienten av to tall - telleren og nevneren. I oppgaveteksten eller i oppskrifter skrives brøker vanligvis slik: 2/3, 1/2 osv. Noen brøker har sine egne navn, for eksempel 1/2 - "halv", 1/3 - "tredje", 1/4 - "kvart"
La oss nå finne ut hvilke typer vanlige brøker som finnes.

2 Typer vanlige brøker

Det er tre typer vanlige fraksjoner: riktig, uekte og blandet:

Riktig brøk

Hvis telleren er mindre enn nevneren, kalles en slik brøk riktig, For eksempel: En egenbrøk er alltid mindre enn 1.

Uekte brøk

Hvis telleren er større enn nevneren eller lik nevneren, kalles en slik brøk feil, For eksempel:

En uekte brøk er større enn én (hvis telleren er større enn nevneren) eller lik én (hvis telleren er lik nevneren)

Blandet fraksjon

Hvis en brøk består av et helt tall (heltallsdel) og en egenbrøk (brøkdel), så kalles en slik brøkdel blandet, For eksempel:

En blandet brøk er alltid større enn én.

3 Brøkkonverteringer

I matematikk må vanlige brøker ofte konverteres, det vil si at en blandet brøk må gjøres om til en uekte brøk og omvendt. Dette er nødvendig for å utføre visse operasjoner, som multiplikasjon og divisjon.

Så, enhver blandet fraksjon kan konverteres til en uekte fraksjon. For å gjøre dette multipliseres hele delen med nevneren og telleren til brøkdelen legges til. Det resulterende beløpet tas som teller, og nevneren forblir den samme, for eksempel:

Enhver uekte fraksjon kan konverteres til en blandet fraksjon. For å gjøre dette, del telleren med nevneren (med en rest) Det resulterende tallet vil være heltallsdelen, og resten vil være telleren til brøkdelen, for eksempel:

Samtidig sier de: "Vi har isolert hele delen fra den upassende fraksjon."

En annen regel å huske: Ethvert heltall kan representeres som en brøk med nevneren 1, For eksempel:

La oss snakke om hvordan man sammenligner brøker.

4 Sammenligning av brøker

Ved sammenligning av brøker kan det være flere alternativer: Det er lett å sammenligne brøker med samme nevner, men det er mye vanskeligere hvis nevnerne er forskjellige. Og det er også en sammenligning av blandede fraksjoner. Men ikke bekymre deg, nå skal vi se på hvert alternativ i detalj og lære hvordan du sammenligner brøker.

Sammenligning av brøker med samme nevnere

Av to brøker med samme nevnere, men forskjellige tellere, er brøken med den største telleren større, for eksempel:

Sammenligning av brøker med samme tellere

Av to brøker med samme tellere, men forskjellige nevnere, er brøken med den minste nevneren større, for eksempel:

Sammenligning av blandede og uekte fraksjoner med riktige fraksjoner

En uekte eller blandet brøk er alltid større enn en riktig brøk, for eksempel:

Sammenligning av to blandede fraksjoner

Når du sammenligner to blandede fraksjoner, er fraksjonen hvis hele del er større større, for eksempel:

Hvis heltallsdelene av blandede brøker er de samme, er brøkdelen hvis brøkdel er større, større, for eksempel:

Sammenligning av brøker med forskjellige tellere og nevnere

Du kan ikke sammenligne brøker med forskjellige tellere og nevnere uten å konvertere dem. Først må brøkene reduseres til samme nevner, og deretter skal tellerne sammenlignes. Jo større er brøken hvis teller er større. Men vi skal se på hvordan vi reduserer brøker til samme nevner i de neste to delene av artikkelen. Først skal vi se på den grunnleggende egenskapen til brøker og reduserende brøker, og deretter direkte redusere brøker til samme nevner.

5 Hovedegenskapen til en brøk. Redusere fraksjoner. Konseptet med GCD.

Huske: Du kan bare addere og subtrahere og sammenligne brøker som har samme nevnere. Hvis nevnerne er forskjellige, må du først bringe brøkene til samme nevner, det vil si transformere en av brøkene slik at nevneren blir den samme som den andre brøken.

Brøker har én viktig egenskap, også kalt hovedegenskapen til en brøk:

Hvis både telleren og nevneren for en brøk multipliseres eller divideres med samme tall, endres ikke verdien av brøken:

Takket være denne eiendommen kan vi redusere fraksjoner:

Å redusere en brøk er å dele både telleren og nevneren med samme tall.(se eksempel rett ovenfor). Når vi reduserer en brøk, kan vi skrive handlingene våre slik:

Oftere i notatbøker er brøken forkortet som følger:

Men husk: du kan bare redusere faktorer. Hvis telleren eller nevneren inneholder en sum eller en differanse, kan du ikke redusere leddene. Eksempel:

Du må først konvertere summen til en multiplikator:

Noen ganger, når du arbeider med store tall, for å redusere en brøkdel, er det praktisk å finne største felles deler av teller og nevner (GCD)

Største felles deler (GCD) flere tall er det største naturlige tallet som disse tallene er delbare med uten en rest.

For å finne gcd til to tall (for eksempel telleren og nevneren for en brøk), må du faktorisere begge tallene til primfaktorer, merke de samme faktorene i begge faktoriseringene og multiplisere disse faktorene. Det resulterende produktet vil være GCD. For eksempel må vi redusere en brøkdel:

La oss finne gcd for tallene 96 og 36:

GCD viser oss at både telleren og nevneren har en faktor på 12, og vi kan enkelt redusere brøken.

Noen ganger, for å bringe brøker til samme nevner, er det nok å redusere en av brøkene. Men oftere er det nødvendig å velge tilleggsfaktorer for begge brøkene. Nå skal vi se på hvordan dette gjøres. Så:

6 Hvordan redusere brøker til samme nevner. Minste felles multiplum (LCM).

Når vi reduserer brøker til samme nevner, velger vi et tall for nevneren som vil være delelig med både den første og andre nevneren (det vil si at det vil være et multiplum av begge nevnerne, i matematiske termer). Og det er ønskelig at dette tallet er så lite som mulig, det er mer praktisk å telle. Dermed må vi finne LCM for begge nevnerne.

Minste felles multiplum av to tall (LCM) er det minste naturlige tallet som er delelig med begge disse tallene uten en rest. Noen ganger kan LCM finnes muntlig, men oftere, spesielt når du arbeider med store tall, må du finne LCM skriftlig ved å bruke følgende algoritme:

For å finne LCM for flere tall, trenger du:

1. Faktor disse tallene inn i primfaktorer
2. Ta den største utvidelsen og skriv disse tallene som et produkt
3. Velg i andre dekomponeringer tallene som ikke vises i den største dekomponeringen (eller forekommer færre ganger i den), og legg dem til produktet.
4. Multipliser alle tallene i produktet, dette vil være LCM.

La oss for eksempel finne LCM for tallene 28 og 21:

La oss imidlertid gå tilbake til brøkene våre. Etter at vi har funnet eller skrevet beregnet LCM for begge nevnerne, må vi multiplisere tellerne til disse brøkene med ekstra multiplikatorer. Du kan finne dem ved å dele LCM med nevneren til den tilsvarende brøken, for eksempel:

Dermed reduserte vi brøkene våre til samme nevner - 15.

7 Legge til og trekke fra brøker

Legge til og trekke fra brøker med like nevnere

For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere, men la nevneren være den samme, for eksempel:

For å trekke fra brøker med de samme nevnerne, må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være den samme, for eksempel:

Legge til og trekke fra blandede brøker med like nevnere

For å legge til blandede brøker, må du legge til hele delene separat, og deretter legge til brøkdelene, og skrive resultatet som en blandet brøk:

Hvis du, når du legger til brøkdeler, får en uekte brøk, velg hele delen fra den og legg den til hele delen, for eksempel:

Subtraksjon utføres på lignende måte: heltallsdelen trekkes fra hele delen, og brøkdelen trekkes fra brøkdelen:

Hvis brøkdelen av subtrahenden er større enn brøkdelen av minuenden, "låner" vi en fra hele delen, gjør minuenden om til en uekte brøk og fortsetter som vanlig:

like måte trekke en brøk fra et helt tall:

Hvordan legge til et helt tall og en brøk

For å legge til et helt tall og en brøk, legger du ganske enkelt det tallet foran brøken for å lage en blandet brøk, for eksempel:

Hvis vi legge til et helt tall og en blandet brøk, legger vi dette tallet til heltallsdelen av brøken, for eksempel:

Addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere.

For å legge til eller subtrahere brøker med forskjellige nevnere, må du først bringe dem til samme nevner, og deretter fortsette som når du legger til brøker med samme nevnere (legg til tellerne):

Når vi trekker fra går vi frem på samme måte:

Hvis vi jobber med blandede brøker, reduserer vi deres brøkdeler til samme nevner og trekker deretter som vanlig: hele delen fra hele delen, og brøkdelen fra brøkdelen:

8 Multiplisere og dele brøker.

Å multiplisere og dele brøker er mye enklere enn å legge til og subtrahere fordi du ikke trenger å redusere dem til samme nevner. Husk de enkle reglene for å multiplisere og dele brøker:

Før du multipliserer tallene i telleren og nevneren, er det lurt å redusere brøken, det vil si å kvitte seg med de samme faktorene i telleren og nevneren, som i vårt eksempel.

Å dele en brøk på et naturlig tall, må du multiplisere nevneren med dette tallet, og la telleren være uendret:

For eksempel:

Å dele en brøk på en brøk

For å dele en brøk med en annen, må du multiplisere utbyttet med den resiproke brøken (den resiproke brøken) er dette?

Hvis vi snur brøken, det vil si at vi bytter teller og nevner, får vi en gjensidig brøk. Produktet av en brøk og dens inverse gir en. I matematikk kalles slike tall resiproke:

For eksempel tall - er gjensidig omvendt, siden

La oss derfor gå tilbake til å dele en brøk med en brøk:

For å dele en brøk med en annen, må du multiplisere utbyttet med den gjensidige av divisoren:

For eksempel:

Når du deler blandede brøker, akkurat som når du multipliserer, må du først konvertere dem til uekte brøker:

Når du multipliserer og deler brøker med hele naturlige tall, kan du også representere disse tallene som brøker med en nevner 1 .

Og når å dele et helt tall på en brøk representere dette tallet som en brøk med en nevner 1 :