Det er flere måter å løse ulikheter som inneholder en modul. La oss se på noen av dem.
1) Løse ulikheten ved å bruke den geometriske egenskapen til modulen.
La meg minne deg på hva den geometriske egenskapen til en modul er: Modulen til et tall x er avstanden fra origo til punktet med koordinat x.
Når du løser ulikheter ved hjelp av denne metoden, kan to tilfeller oppstå:
1. |x| ≤ b, 
Og ulikheten med modul reduseres åpenbart til et system med to ulikheter. Her kan skiltet være strengt, i så fall vil prikkene på bildet bli "punktert".
2. |x| ≥ b, så ser løsningsbildet slik ut:
Og ulikheten med modul reduseres åpenbart til et sett med to ulikheter. Her kan skiltet være strengt, i så fall vil prikkene på bildet bli "punktert".
Eksempel 1.
Løs ulikheten |4 – |x|| ≥ 3.
Løsning.
Denne ulikheten tilsvarer følgende sett:
U [-1;1] U
Eksempel 2.
Løs ulikheten ||x+2| – 3| ≤ 2.
Løsning.
Denne ulikheten tilsvarer følgende system.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
La oss løse den første ulikheten i systemet separat. Det tilsvarer følgende sett:
U[-1; 3].
2) Løse ulikheter ved å bruke definisjonen av modulen.
La meg minne deg på først moduldefinisjon.
|a| = a hvis a ≥ 0 og |a| = -a hvis a< 0.
For eksempel |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Eksempel 1.
Løs ulikheten 3|x – 1| ≤ x+3.
Løsning.
Ved å bruke moduldefinisjonen får vi to systemer:
(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.
Ved å løse det første og andre systemet separat, får vi:
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(x< 1
(x ≥ 0.
Løsningen på den opprinnelige ulikheten vil være alle løsninger av det første systemet og alle løsninger av det andre systemet.
Svar: x € .
3) Løse ulikheter ved å kvadrere.
Eksempel 1.
Løs ulikheten |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
Løsning.
La oss kvadre begge sider av ulikheten. La meg merke at du kan kvadre begge sider av ulikheten bare hvis de begge er positive. I dette tilfellet har vi moduler både til venstre og høyre, så vi kan gjøre dette.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
La oss nå bruke følgende egenskap for modulen: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,
(x – 2)(2x 2 – x)< 0,
x(x – 2)(2x – 1)< 0.
Vi løser ved hjelp av intervallmetoden.
Svar: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Løse ulikheter ved å endre variabler.
Eksempel.
Løs ulikheten (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Løsning.
Merk at (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Da får vi ulikheten
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
La oss gjøre endringen y = |2x + 3|.
La oss omskrive ulikheten vår med tanke på erstatningen.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
La oss faktorisere det kvadratiske trinomialet til venstre.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(y – 6)(y + 5) ≤ 0.
La oss løse ved å bruke intervallmetoden og få:
La oss gå tilbake til erstatningen:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Denne doble ulikheten tilsvarer systemet med ulikheter:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
La oss løse hver av ulikhetene separat.
Den første tilsvarer systemet
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
La oss løse det.
(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.
Den andre ulikheten gjelder åpenbart for alle x, siden modulen per definisjon er et positivt tall. Siden løsningen til systemet er alle x som samtidig tilfredsstiller både den første og andre ulikheten i systemet, så vil løsningen til det opprinnelige systemet være løsningen på dens første doble ulikhet (tross alt, den andre er sann for alle x) .
Svar: x € [-4,5; 1,5].
blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.
Denne nettbaserte matematikkkalkulatoren vil hjelpe deg løse en likning eller ulikhet med moduli. Program for løse likninger og ulikheter med moduler gir ikke bare svaret på problemet, det leder detaljert løsning med forklaringer, dvs. viser prosessen for å oppnå resultatet.
Dette programmet kan være nyttig for videregående skoleelever i allmennutdanningsskoler når de forbereder seg til tester og eksamener, når de tester kunnskap før Unified State-eksamenen, og for foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få matte- eller algebraleksene dine gjort så raskt som mulig? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med detaljerte løsninger.
På denne måten kan du gjennomføre din egen opplæring og/eller opplæring av dine yngre brødre eller søstre, samtidig som utdanningsnivået innen problemløsning øker.
|x| eller abs(x) - modul xSkriv inn en ligning eller ulikhet med moduli
Det ble oppdaget at noen skript som er nødvendige for å løse dette problemet, ikke ble lastet inn, og at programmet kanskje ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.
For at løsningen skal vises, må du aktivere JavaScript.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.
Fordi Det er mange mennesker som er villige til å løse problemet, forespørselen din har blitt satt i kø.
Om noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...
Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om dette i tilbakemeldingsskjemaet.
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.
Våre spill, puslespill, emulatorer:
Litt teori.
Ligninger og ulikheter med moduler
I et grunnleggende skolealgebrakurs kan du støte på de enkleste ligningene og ulikhetene med moduli. For å løse dem kan du bruke en geometrisk metode basert på at \(|x-a| \) er avstanden på tallinjen mellom punktene x og a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). For å løse likningen \(|x-3|=2\) må du for eksempel finne punkter på tallinjen som er fjernt fra punkt 3 i en avstand på 2. Det er to slike punkter: \(x_1=1 \) og \(x_2=5\) .
Løse ulikheten \(|2x+7| 
Men hovedmåten for å løse likninger og ulikheter med moduler er assosiert med den såkalte "avsløringen av modulen per definisjon":
hvis \(a \geq 0 \), så \(|a|=a \);
if \(a Som regel reduseres en likning (ulikhet) med moduli til et sett med likninger (ulikheter) som ikke inneholder modultegnet.
I tillegg til definisjonen ovenfor, brukes følgende utsagn:
1) Hvis \(c > 0\), så er ligningen \(|f(x)|=c \) ekvivalent med settet med ligninger: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Hvis \(c > 0 \), så er ulikheten \(|f(x)| 3) Hvis \(c \geq 0 \), så er ulikheten \(|f(x)| > c \) ekvivalent med et sett med ulikheter : \(\venstre[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Hvis begge sider av ulikheten \(f(x) EKSEMPEL 1. Løs ligningen \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
Hvis \(x-1 \geq 0\), så har \(|x-1| = x-1\) og den gitte ligningen formen
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Høyrepil x^2 +2x -8 = 0 \).
Hvis \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Høyrepil x^2 -2x -4 = 0 \).
Derfor bør den gitte ligningen vurderes separat i hvert av de to angitte tilfellene.
1) La \(x-1 \geq 0 \), dvs. \(x\geq 1\). Fra ligningen \(x^2 +2x -8 = 0\) finner vi \(x_1=2, \; x_2=-4\). Betingelsen \(x \geq 1 \) oppfylles kun av verdien \(x_1=2\).
2) La \(x-1 Svar: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
EKSEMPEL 2. Løs ligningen \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Første vei(modulutvidelse per definisjon).
Ved å resonnere som i eksempel 1, kommer vi til den konklusjon at den gitte ligningen må vurderes separat hvis to betingelser er oppfylt: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) eller \(x^2-6x+7
1) Hvis \(x^2-6x+7 \geq 0 \), så har \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) og den gitte ligningen formen \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Høyrepil 3x^2-23x+30=0 \). Etter å ha løst denne kvadratiske ligningen, får vi: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
La oss finne ut om verdien \(x_1=6\) tilfredsstiller betingelsen \(x^2-6x+7 \geq 0\). For å gjøre dette, erstatte den angitte verdien i den kvadratiske ulikheten. Vi får: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), dvs. \(7 \geq 0 \) er en sann ulikhet. Dette betyr at \(x_1=6\) er roten til den gitte ligningen.
La oss finne ut om verdien \(x_2=\frac(5)(3)\) tilfredsstiller betingelsen \(x^2-6x+7 \geq 0\). For å gjøre dette, erstatte den angitte verdien i den kvadratiske ulikheten. Vi får: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), dvs. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) er en feil ulikhet. Dette betyr at \(x_2=\frac(5)(3)\) ikke er en rot av den gitte ligningen.
2) Hvis \(x^2-6x+7 Verdi \(x_3=3\) tilfredsstiller betingelsen \(x^2-6x+7 Verdi \(x_4=\frac(4)(3) \) ikke tilfredsstiller betingelsen \ (x^2-6x+7 Så den gitte ligningen har to røtter: \(x=6, \; x=3 \).
Andre vei. Hvis ligningen \(|f(x)| = h(x) \) er gitt, så med \(h(x) \(\venstre[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Begge disse ligningene ble løst ovenfor (ved å bruke den første metoden for å løse den gitte ligningen), røttene deres er som følger: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Betingelsen \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) av disse fire verdiene oppfylles med bare to: 6 og 3. Dette betyr at den gitte ligningen har to røtter: \(x=6 , \; x=3 \ ).
Tredje vei(grafikk).
1) La oss bygge en graf av funksjonen \(y = |x^2-6x+7| \). La oss først konstruere en parabel \(y = x^2-6x+7\). Vi har \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Grafen til funksjonen \(y = (x-3)^2-2\) kan hentes fra grafen til funksjonen \(y = x^2\) ved å flytte den 3 skalaenheter til høyre (langs x-aksen) og 2 skala enheter ned ( langs y-aksen). Den rette linjen x=3 er aksen til parabelen vi er interessert i. Som kontrollpunkter for mer nøyaktig plotting er det praktisk å ta punkt (3; -2) - toppunktet til parablen, punkt (0; 7) og punkt (6; 7) symmetrisk til det i forhold til parabelens akse .
For nå å konstruere en graf for funksjonen \(y = |x^2-6x+7| \), må du la de delene av den konstruerte parabelen som ikke ligger under x-aksen være uendret, og speile den delen av parabel som ligger under x-aksen i forhold til x-aksen.
2) La oss bygge en graf av den lineære funksjonen \(y = \frac(5x-9)(3)\). Det er praktisk å ta punktene (0; –3) og (3; 2) som kontrollpunkter.
Det er viktig at punktet x = 1,8 av skjæringspunktet mellom den rette linjen med abscisseaksen er plassert til høyre for venstre skjæringspunkt for parabelen med abscisseaksen - dette er punktet \(x=3-\ sqrt(2) \) (siden \(3-\sqrt(2 ) 3) Etter tegningen å dømme, skjærer grafene seg i to punkter - A(3; 2) og B(6; 7). Erstatter abscissen til disse poeng x = 3 og x = 6 inn i den gitte ligningen, er vi overbevist om at i en annen verdi oppnås den korrekte numeriske likheten. Dette betyr at vår hypotese ble bekreftet - ligningen har to røtter: x = 3 og x = 6. Svar: 3;
Kommentar. Den grafiske metoden, for all sin eleganse, er ikke veldig pålitelig. I det betraktede eksemplet fungerte det bare fordi røttene til ligningen er heltall.
EKSEMPEL 3. Løs ligningen \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
Første vei
Uttrykket 2x–4 blir 0 i punktet x = 2, og uttrykket x + 3 blir 0 i punktet x = –3. Disse to punktene deler talllinjen i tre intervaller: \(x
Tenk på det første intervallet: \((-\infty; \; -3) \).
Hvis x Tenk på det andre intervallet: \([-3; \; 2) \).
Hvis \(-3 \leq x Tenk på det tredje intervallet: \(
Eksempelet er løst.
Eksempel 3 . Løs ulikhet 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0
Løsning.
Antall X kan være et positivt tall, negativt tall eller null. Derfor må vi ta hensyn til alle tre omstendighetene. Som du vet, blir de tatt i betraktning i to ulikheter: X≥ 0 og X < 0. При X≥ 0 omskriver vi ganske enkelt vår opprinnelige ulikhet som den er, bare uten modultegnet:
6x 2 - X - 2 ≤ 0.
Nå om det andre tilfellet: hvis X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.
Utvide parentesene:
6X 2 + X - 2 ≤ 0.
Dermed mottok vi to ligningssystemer:
6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0
6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0
Vi må løse ulikheter i systemer - og dette betyr at vi må finne røttene til to andregradsligninger. For å gjøre dette, likestiller vi venstre side av ulikhetene til null.
La oss starte med den første:
6X 2 - X - 2 = 0.
Hvordan løse en andregradsligning - se avsnittet "Avgradsligning". Vi vil umiddelbart navngi svaret:
X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.
Fra det første systemet med ulikheter får vi at løsningen på den opprinnelige ulikheten er hele settet med tall fra -1/2 til 2/3. Vi skriver løsningsforeningen kl X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
La oss nå løse den andre andregradsligningen:
6X 2 + X - 2 = 0.
Dens røtter:
X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.
Konklusjon: når X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
La oss kombinere de to svarene og få det endelige svaret: Løsningen er hele settet med tall fra -2/3 til 2/3, inkludert disse ekstreme tallene.
Svar: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.
Eller: X ∈ [-2/3; 2/3].
ulikhetsløsning i modus på nett løsning nesten enhver gitt ulikhet på nett. Matematisk ulikheter på nettå løse matematikk. Finn raskt ulikhetsløsning i modus på nett. Nettstedet www.site lar deg finne løsning nesten hvilken som helst gitt algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ulikhet på nett. Når du studerer nesten hvilken som helst gren av matematikk på forskjellige stadier, må du bestemme deg ulikheter på nett. For å få svar umiddelbart, og viktigst av alt et nøyaktig svar, trenger du en ressurs som lar deg gjøre dette. Takket være nettstedet www.site løse ulikhet på nett vil ta noen minutter. Den største fordelen med www.site når du løser matematiske ulikheter på nett- dette er hastigheten og nøyaktigheten til svaret som gis. Siden er i stand til å løse eventuelle algebraiske ulikheter på nettet, trigonometriske ulikheter på nettet, transcendentale ulikheter på nettet, og ulikheter med ukjente parametere i modus på nett. Ulikheter tjene som et kraftig matematisk apparat løsninger praktiske problemer. Med hjelp matematiske ulikheter det er mulig å uttrykke fakta og sammenhenger som kan virke forvirrende og komplekse ved første øyekast. Ukjente mengder ulikheter kan finnes ved å formulere problemet i matematisk språk i formen ulikheter Og Bestemme seg for mottatt oppgave i modus på nett på nettsiden www.site. Noen algebraisk ulikhet, trigonometrisk ulikhet eller ulikheter inneholder transcendental funksjoner du enkelt kan Bestemme seg for online og få det nøyaktige svaret. Når du studerer naturvitenskap, møter du uunngåelig behovet løsninger på ulikheter. I dette tilfellet må svaret være nøyaktig og må innhentes umiddelbart i modusen på nett. Derfor for løse matematiske ulikheter på nett vi anbefaler nettstedet www.site, som vil bli din uunnværlige kalkulator for løse algebraiske ulikheter på nettet, trigonometriske ulikheter på nettet, og transcendentale ulikheter på nettet eller ulikheter med ukjente parametere. For praktiske problemer med å finne nettbaserte løsninger på ulike matematiske ulikheter ressurs www.. Løsning ulikheter på nett selv, er det nyttig å sjekke det mottatte svaret ved hjelp av online løsning av ulikheter på nettsiden www.site. Du må skrive ulikheten riktig og umiddelbart få nettløsning, hvoretter det bare gjenstår å sammenligne svaret med din løsning på ulikheten. Å sjekke svaret tar ikke mer enn et minutt, det er nok løse ulikhet på nett og sammenligne svarene. Dette vil hjelpe deg å unngå feil i beslutning og korriger svaret i tide løse ulikheter på nett enten algebraisk, trigonometrisk, transcendental eller ulikhet med ukjente parametere.
Matematikk er et symbol på vitenskapens visdom,
en modell av vitenskapelig strenghet og enkelhet,
standarden for fortreffelighet og skjønnhet i vitenskap.
Russisk filosof, professor A.V. Voloshinov
Ulikheter med modul
De vanskeligste problemene å løse i skolematematikk er ulikheter, som inneholder variabler under modultegnet. For å lykkes med å løse slike ulikheter, må du ha god kunnskap om egenskapene til modulen og ha ferdigheter til å bruke dem.
Grunnleggende begreper og egenskaper
Modulus (absolutt verdi) av et reelt tall betegnet med og er definert som følger:
De enkle egenskapene til en modul inkluderer følgende relasjoner:
OG .
Merk, at de to siste egenskapene er gyldige for en hvilken som helst jevn grad.
Dessuten, hvis, hvor, da og
Mer komplekse modulegenskaper, som effektivt kan brukes ved løsning av likninger og ulikheter med moduler, er formulert gjennom følgende teoremer:
Teorem 1.For alle analytiske funksjoner Og ulikhet er sant.
Teorem 2. Likestilling ensbetydende med ulikhet.
Teorem 3. Likestilling ensbetydende med ulikhet.
De vanligste ulikhetene i skolematematikk, som inneholder ukjente variabler under modultegnet, er ulikheter i formen og hvor noen positiv konstant.
Teorem 4. Ulikhet tilsvarer dobbel ulikhet, og løsningen på ulikhetenreduserer til å løse et sett med ulikheter Og .
Denne teoremet er et spesialtilfelle av teorem 6 og 7.
Mer komplekse ulikheter, som inneholder en modul er ulikheter i formen, Og .
Metoder for å løse slike ulikheter kan formuleres ved å bruke følgende tre teoremer.
Teorem 5. Ulikhet tilsvarer kombinasjonen av to ulikhetssystemer
jeg (1)
Bevis. Siden da
Dette innebærer gyldigheten av (1).
Teorem 6. Ulikhet tilsvarer systemet med ulikheter
Bevis. Fordi , da fra ulikhet følger det . Under denne betingelsen, ulikhetenog i dette tilfellet vil det andre systemet med ulikheter (1) vise seg å være inkonsekvent.
Teoremet er bevist.
Teorem 7. Ulikhet er ekvivalent med kombinasjonen av en ulikhet og to ulikhetssystemer
jeg (3)
Bevis. Siden , så ulikheten alltid henrettet, Hvis .
la, deretter ulikhetvil tilsvare ulikhet, som følger et sett med to ulikheter Og .
Teoremet er bevist.
La oss se på typiske eksempler på å løse problemer om emnet «Ulikheter, som inneholder variabler under modultegnet."
Løse ulikheter med modul
Den enkleste metoden for å løse ulikheter med modul er metoden, basert på modulutvidelse. Denne metoden er universell, men i det generelle tilfellet kan bruken føre til svært tungvinte beregninger. Derfor bør elevene kjenne til andre (mer effektive) metoder og teknikker for å løse slike ulikheter. Spesielt, det er nødvendig å ha ferdigheter i å anvende teoremer, gitt i denne artikkelen.
Eksempel 1.Løs ulikhet
. (4)
Løsning.Vi vil løse ulikhet (4) ved å bruke den "klassiske" metoden - metoden for å avsløre moduler. For dette formål deler vi tallaksen prikker og i intervaller og vurdere tre tilfeller.
1. Hvis , så , , , og ulikhet (4) tar formen eller .
Siden saken vurderes her, er det en løsning på ulikhet (4).
2. Hvis , så får vi fra ulikhet (4). eller . Siden skjæringspunktet mellom intervaller Og er tom, da er det ingen ulikhet på intervallet av løsninger som vurderes (4).
3. Hvis, så tar ulikhet (4) formen eller . Det er åpenbart det er også en løsning på ulikhet (4).
Svar: , .
Eksempel 2. Løs ulikhet.
Løsning. La oss anta det. Fordi , så tar den gitte ulikheten formen eller . Siden da og herfra følger det eller .
Men derfor eller.
Eksempel 3. Løs ulikhet
. (5)
Løsning. Fordi , da er ulikhet (5) ekvivalent med ulikhetene eller . Herfra, ifølge teorem 4, vi har et sett med ulikheter Og .
Svar: , .
Eksempel 4.Løs ulikhet
. (6)
Løsning. La oss betegne . Så fra ulikhet (6) får vi ulikhetene , , eller .
Herfra, ved hjelp av intervallmetoden, vi får . Fordi , så her har vi et system av ulikheter
Løsningen på den første ulikheten i systemet (7) er foreningen av to intervaller og , og løsningen på den andre ulikheten er den doble ulikheten. Dette innebærer , at løsningen på systemet med ulikheter (7) er foreningen av to intervaller Og .
Svar: ,
Eksempel 5.Løs ulikhet
. (8)
Løsning. La oss transformere ulikhet (8) som følger:
Eller .
Bruke intervallmetoden, vi får en løsning på ulikhet (8).
Svar: .
Merk. Hvis vi setter og i betingelsene i teorem 5, får vi .
Eksempel 6. Løs ulikhet
. (9)
Løsning. Av ulikhet (9) følger det. La oss transformere ulikhet (9) som følger:
Eller
Siden , da eller .
Svar: .
Eksempel 7.Løs ulikhet
. (10)
Løsning. Siden og , da eller .
I denne forbindelse og ulikhet (10) tar formen
Eller
. (11)
Det følger at eller . Siden innebærer ulikhet (11) eller .
Svar: .
Merk. Hvis vi bruker teorem 1 på venstre side av ulikhet (10), så får vi . Av dette og ulikhet (10) følger det, hva eller . Fordi , så tar ulikhet (10) formen eller .
Eksempel 8. Løs ulikhet
. (12)
Løsning. Siden da og av ulikhet (12) følger det eller . Men derfor eller. Herfra får vi eller .
Svar: .
Eksempel 9. Løs ulikhet
. (13)
Løsning. I følge teorem 7 er løsningen på ulikhet (13) eller .
La det være nå. I dette tilfellet og ulikhet (13) tar formen eller .
Hvis du kombinerer intervallene og , da får vi en løsning på ulikhet (13) av formen.
Eksempel 10. Løs ulikhet
. (14)
Løsning. La oss omskrive ulikhet (14) i en ekvivalent form: . Hvis vi bruker teorem 1 på venstre side av denne ulikheten, får vi ulikheten .
Herfra og fra setning 1 følger det, at ulikhet (14) er tilfredsstilt for eventuelle verdier.
Svar: et hvilket som helst tall.
Eksempel 11. Løs ulikhet
. (15)
Løsning. Bruke teorem 1 på venstre side av ulikhet (15), vi får . Dette og ulikhet (15) gir ligningen, som har formen.
I følge teorem 3, ligningen ensbetydende med ulikhet. Herfra får vi.
Eksempel 12.Løs ulikhet
. (16)
Løsning. Fra ulikhet (16) får vi ifølge teorem 4 et system av ulikheter
Når du løser ulikhetenLa oss bruke setning 6 og få et system av ulikhetersom det følger av.
Tenk på ulikheten. I følge teorem 7, vi oppnår et sett med ulikheter Og . Den andre befolkningsulikheten er gyldig for enhver reell.
Derfor, løsningen på ulikhet (16) er.
Eksempel 13.Løs ulikhet
. (17)
Løsning. I følge teorem 1 kan vi skrive
(18)
Tar vi hensyn til ulikhet (17), konkluderer vi med at begge ulikhetene (18) blir til likheter, dvs. det er et ligningssystem
Ved teorem 3 er dette ligningssystemet ekvivalent med systemet med ulikheter
eller
Eksempel 14.Løs ulikhet
. (19)
Løsning. Siden da. La oss multiplisere begge sider av ulikhet (19) med uttrykket , som bare tar positive verdier for noen verdier. Da får vi en ulikhet som tilsvarer ulikhet (19), av formen
Herfra får vi eller , hvor . Siden og så er løsningen på ulikhet (19). Og .
Svar: , .
For en mer dyptgående studie av metoder for å løse ulikheter med en modul, anbefaler vi å gå til lærebøker, gitt i listen over anbefalt litteratur.
1. Oppgavesamling i matematikk for søkere til høyskoler / Utg. M.I. Scanavi. – M.: Fred og utdanning, 2013. – 608 s.
2. Suprun V.P. Matematikk for elever på videregående skole: metoder for å løse og bevise ulikheter. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 s.
3. Suprun V.P. Matematikk for elever på videregående skole: ikke-standardiserte metoder for å løse problemer. – M.: CD «Librocom» / URSS, 2017. – 296 s.
Har du fortsatt spørsmål?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.