Vurdere uttrykk med krefter. Formler for krefter og røtter

Grad og dens egenskaper. Omfattende guide (2019)

Hvorfor trengs grader? Hvor trenger du dem? Hvorfor bør du ta deg tid til å studere dem?

For å lære alt om grader, hva de er til for, hvordan du kan bruke kunnskapen din i Hverdagen les denne artikkelen.

Og selvfølgelig vil kunnskap om grader bringe deg nærmere vellykket gjennomføring OGE eller Unified State eksamen og opptak til universitetet du drømmer om.

La oss gå... (La oss gå!)

Viktig notat! Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. For å gjøre dette, trykk CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

FØRSTE NIVÅ

Å heve til en makt er det samme matematisk operasjon som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.

Nå skal jeg forklare alt menneskelig språk veldig enkle eksempler. Vær forsiktig. Eksemplene er elementære, men forklarer viktige ting.

La oss starte med tillegg.

Det er ingenting å forklare her. Du vet allerede alt: vi er åtte. Alle har to flasker cola. Hvor mye cola er det? Det stemmer - 16 flasker.

Nå multiplikasjon.

Det samme eksempelet med cola kan skrives annerledes: . Matematikere er utspekulerte og late mennesker. De legger først merke til noen mønstre, og finner deretter ut en måte å "telle" dem raskere. I vårt tilfelle la de merke til at hver av de åtte personene hadde like mange colaflasker og kom opp med en teknikk kalt multiplikasjon. Enig, det anses som enklere og raskere enn.

Så for å telle raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske gangetabell. Selvfølgelig kan du gjøre alt langsommere, vanskeligere og med feil! Men…

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.

Og en annen, vakrere en:

Hvilke andre smarte telletriks har late matematikere funnet på? Ikke sant - heve et tall til en makt.

Å heve et tall til en makt

Hvis du trenger å multiplisere et tall med seg selv fem ganger, så sier matematikere at du må heve det tallet til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker at to til femte potens er... Og de løser slike problemer i hodet - raskere, enklere og uten feil.

Alt du trenger å gjøre er husk hva som er uthevet i farger i tabellen over tallkrefter. Tro meg, dette vil gjøre livet ditt mye enklere.

Forresten, hvorfor heter det andre grad? torget tall, og den tredje - kube? Hva betyr det? Veldig godt spørsmål. Nå vil du ha både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

La oss starte med kvadratet eller andre potens av tallet.

Se for deg et kvadratisk basseng som måler én meter ganger én meter. Bassenget er på din dacha. Det er varmt og jeg har veldig lyst til å svømme. Men... bassenget har ingen bunn! Du må dekke bunnen av bassenget med fliser. Hvor mange fliser trenger du? For å bestemme dette, må du kjenne til bunnområdet av bassenget.

Du kan ganske enkelt regne ut ved å vise fingeren at bunnen av bassenget består av meter for meter terninger. Hvis du har fliser en meter ganger en meter, trenger du brikker. Det er enkelt... Men hvor har du sett slike fliser? Flisen vil mest sannsynlig være cm for cm. Og så vil du bli torturert ved å «telle med fingeren». Da må du multiplisere. Så på den ene siden av bunnen av bassenget vil vi montere fliser (stykker) og på den andre også fliser. Multipliser med og du får fliser ().

La du merke til at for å bestemme arealet av bassengbunnen multipliserte vi det samme tallet med seg selv? Hva betyr det? Siden vi multipliserer det samme tallet, kan vi bruke "eksponentieringsteknikken". (Selvfølgelig, når du bare har to tall, må du fortsatt multiplisere dem eller heve dem til en potens. Men hvis du har mange av dem, er det mye lettere å heve dem til en potens, og det er også færre feil i beregningene For Unified State-eksamenen er dette veldig viktig).
Så, tretti til andre potens vil være (). Eller vi kan si at tretti kvadrat vil være. Med andre ord, andre potens av et tall kan alltid representeres som et kvadrat. Og omvendt, hvis du ser en firkant, er det ALLTID andre potens av et tall. Et kvadrat er et bilde av andre potens av et tall.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en oppgave for deg: tell hvor mange ruter det er på sjakkbrettet ved å bruke kvadratet av tallet... På den ene siden av cellene og på den andre også. For å beregne antallet deres må du gange åtte med åtte eller... hvis du legger merke til at et sjakkbrett er en firkant med en side, kan du kvadrat åtte. Du vil få celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nå er kuben eller tredje potens av et tall. Det samme bassenget. Men nå må du finne ut hvor mye vann som må helles i dette bassenget. Du må beregne volumet. (Volumer og væsker måles forresten i kubikkmeter. Uventet, ikke sant?) Tegn et basseng: en bunn som måler en meter og en dybde på en meter og prøv å telle hvor mange kuber som måler en meter på en meter som vil passe inn i bassenget ditt.

Bare pek fingeren og tell! En, to, tre, fire ... tjueto, tjuetre ... Hvor mange fikk du? Ikke tapt? Er det vanskelig å telle med fingeren? Så det! Ta et eksempel fra matematikere. De er late, så de la merke til at for å beregne volumet til bassenget, må du multiplisere lengden, bredden og høyden med hverandre. I vårt tilfelle vil volumet til bassenget være lik kuber... Lettere, ikke sant?

Tenk deg nå hvor late og utspekulerte matematikere er hvis de forenklet dette også. Vi reduserte alt til én handling. De la merke til at lengden, bredden og høyden er like og at samme tall multipliseres med seg selv... Hva betyr dette? Dette betyr at du kan dra nytte av graden. Så det du en gang telte med fingeren, gjør de i én handling: tre terninger er lik. Det er skrevet slik:.

Alt som gjenstår er husk tabellen over grader. Med mindre du selvfølgelig er like lat og utspekulert som matematikere. Hvis du liker å jobbe hardt og gjøre feil, kan du fortsette å telle med fingeren.

Vel, for endelig å overbevise deg om at grader ble oppfunnet av sluttere og utspekulerte mennesker for å løse sine egne livsproblemer, og ikke for å skape problemer for deg, her er et par flere eksempler fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. Ved begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du en million til. Det vil si at hver million av dine dobles ved begynnelsen av hvert år. Hvor mye penger vil du ha om år? Hvis du sitter nå og "teller med fingeren", betyr det at du er veldig hardtarbeidende mann og.. dum. Men mest sannsynlig gir du svar om et par sekunder, for du er smart! Så, i det første året - to multiplisert med to... i det andre året - hva skjedde, med to til, i det tredje året... Stopp! Du la merke til at tallet multipliseres med seg selv ganger. Så to til femte potens er en million! Tenk deg nå at du har en konkurranse og den som kan telle raskest vil få disse millionene... Det er verdt å huske tallenes krefter, synes du ikke?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du to til. Flott er det ikke? Hver million tredobles. Hvor mye penger vil du ha i løpet av et år? La oss telle. Det første året - multipliser med, deretter resultatet med et annet ... Det er allerede kjedelig, fordi du allerede har forstått alt: tre ganges med seg selv ganger. Så til fjerde potens er det lik en million. Du må bare huske at tre til fjerde potens er eller.

Nå vet du at ved å heve et tall til en makt vil du gjøre livet ditt mye enklere. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.

Termer og begreper... for ikke å bli forvirret

Så la oss først definere konseptene. Hva tror du, hva er en eksponent? Det er veldig enkelt - det er tallet som er "øverst" av potensen til tallet. Ikke vitenskapelig, men tydelig og lett å huske...

Vel, på samme tid, hva et slikt gradsgrunnlag? Enda enklere - dette er nummeret som er plassert under, ved basen.

Her er en tegning for godt mål.

Vel inne generelt syn, for å generalisere og huske bedre ... En grad med en base " " og en eksponent " " leses som "til den grad" og skrives på følgende måte:

Tallets potens c naturlig indikator

Du har sikkert allerede gjettet: fordi eksponenten er et naturlig tall. Ja, men hva er det naturlig tall? Elementært! Naturlige tall er de tallene som brukes til å telle når objekter listes opp: en, to, tre... Når vi teller objekter, sier vi ikke: «minus fem», «minus seks», «minus syv». Vi sier heller ikke: «en tredjedel» eller «null komma fem». Dette er ikke naturlige tall. Hvilke tall tror du dette er?

Tall som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tall. Generelt inkluderer heltall alle naturlige tall, tall motsatt naturlige tall (det vil si tatt med et minustegn) og tall. Null er lett å forstå - det er når det ikke er noe. Hva betyr negative ("minus") tall? Men de ble først og fremst oppfunnet for å indikere gjeld: hvis du har en saldo på telefonen i rubler, betyr dette at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rasjonelle tall. Hvordan oppsto de, tror du? Veldig enkelt. For flere tusen år siden oppdaget våre forfedre at de manglet naturlige tall for måling av lengde, vekt, areal osv. Og de kom på rasjonelle tall... Interessant, ikke sant?

Er det noen flere irrasjonelle tall. Hva er disse tallene? Kort sagt, uendelig desimal. For eksempel, hvis du deler omkretsen av en sirkel på diameteren, får du et irrasjonelt tall.

Sammendrag:

La oss definere konseptet med en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Ethvert tall i første potens er lik seg selv:
Å kvadrere et tall betyr å multiplisere det med seg selv:
Å kube et tall betyr å multiplisere det med seg selv tre ganger:

Definisjon. Hev tallet til naturlig grad- betyr å multiplisere et tall med seg selv ganger:
.

Egenskaper til grader

Hvor kom disse egenskapene fra? Jeg skal vise deg nå.

La oss se: hva er det Og ?

A-priory:

Hvor mange multiplikatorer er det totalt?

Det er veldig enkelt: vi la til multiplikatorer til faktorene, og resultatet er multiplikatorer.

Men per definisjon er dette en potens av et tall med en eksponent, det vil si: , som er det som måtte bevises.

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning: Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene!
Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:

bare for produktet av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

2. det er det potensen til et tall

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt:

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive?

Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva eksponenten skal være.

Men hva skal ligge til grunn?

I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall. Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall.

La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ? Den første er klar: uansett hvor mye positive tall Vi multipliserte ikke med hverandre, resultatet vil være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med, fungerer det.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarte du deg?

Her er svarene: I de fire første eksemplene håper jeg alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt.

Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt!

6 eksempler å øve på

Analyse av løsningen 6 eksempler

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på begrepene er feil. Hvis de ble omvendt, kan regelen gjelde.

Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

På magisk vis skiftet begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i en jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Hel vi kaller de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet " ") og tallet.

positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Et hvilket som helst nummer i null grader lik en:

Som alltid, la oss spørre oss selv: hvorfor er det slik?

La oss vurdere en viss grad med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og vi fikk det samme som det var - . Hvilket tall skal du gange med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, vil du fortsatt få null, dette er klart. Men på den annen side, som et hvilket som helst tall til null potens, må det være likt. Så hvor mye av dette er sant? Matematikerne bestemte seg for ikke å involvere seg og nektet å heve null til null potens. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall også negative tall. For å forstå hva en negativ grad er, la oss gjøre som i sist: multiplisere noen normalt antall i negativ grad:

Herfra er det enkelt å uttrykke hva du leter etter:

La oss nå utvide den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere en regel:

Et tall i negativ potens er det gjensidige av det samme tallet til positiv grad. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dele med).

La oss oppsummere:

I. Uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

II. Ethvert tall i nullpotens er lik én: .

III. Nummer, ikke lik null, i negativ grad er inversen av samme tall i positiv grad: .

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler på uavhengige løsninger:

Analyse av problemer for uavhengig løsning:

Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på Unified State-eksamenen må du være forberedt på hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningene deres hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære å takle dem enkelt i eksamen!

La oss fortsette å utvide rekkevidden av tall "egnet" som eksponent.

La oss nå vurdere rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er heltall, og.

For å forstå hva det er "brøkdel grad", tenk på brøken:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

La oss nå huske regelen om "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av th potens av et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th potens er den omvendte operasjonen av å heve til en potens: .

Det viser seg at. Tydeligvis dette spesielt tilfelle kan utvides: .

Nå legger vi til telleren: hva er det? Svaret er enkelt å få ved å bruke makt-til-makt-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

La oss huske regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut jevne røtter fra negative tall!

Dette betyr at slike tall ikke kan heves til en brøkpotens med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykket?

Men her oppstår et problem.

Tallet kan representeres i form av andre, reduserbare brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det finnes, men ikke eksisterer, men dette er bare to forskjellige oppføringer samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver ned indikatoren annerledes, vil vi igjen få problemer: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurderer vi bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

- naturlig tall;
- heltall;

Eksempler:

Grader med rasjonell indikator veldig nyttig for å konvertere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 eksempler å øve på

Analyse av 5 eksempler for trening

Vel, nå kommer den vanskeligste delen. Nå skal vi finne ut av det grad c irrasjonell indikator .

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak

Tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...tall til null potens- dette er, som det var, et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke engang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tomt tall" , nemlig et tall;

...negativ heltallsgrad- det er som om noe har skjedd" omvendt prosess", det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, i realfag en grad med kompleks indikator, det vil si at indikatoren ikke engang er et reelt tall.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer å løse slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med den vanlige regelen for å heve en makt til en makt:

Se nå på indikatoren. Minner han deg ikke om noe? La oss huske formelen for forkortet multiplikasjon av forskjellen av kvadrater:

I i dette tilfellet,

Det viser seg at:

Svar: .

2. Vi reduserer brøker i eksponenter til samme form: enten begge desimaler eller begge ordinære. Vi får for eksempel:

Svar: 16

3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

AVANSERT NIVÅ

Fastsettelse av grad

En grad er et uttrykk for formen: , hvor:

— grad base;
- eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Grad med en heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

Konstruksjon til null grad:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er negativt heltall Antall:

(fordi du ikke kan dele med).

Nok en gang om nuller: uttrykket er ikke definert i kasus. Hvis da.

Eksempler:

Kraft med rasjonell eksponent

- naturlig tall;
- heltall;

Eksempler:

Egenskaper til grader

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

A-priory:

Så på høyre side av dette uttrykket får vi følgende produkt:

Men per definisjon er det en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene. Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:

En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkt av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

La oss omgruppere dette arbeidet slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt: !

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base.

Til nå har vi bare diskutert hvordan det skal være indeks grader. Men hva skal ligge til grunn? I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi ganger med (), får vi - .

Og så videre i det uendelige: for hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Vi kan formulere følgende enkle regler:

til og med grad, - antall positivt.
Et negativt tall, innebygd merkelig grad, - antall negativ.
Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis vi husker det, blir det klart det, som betyr at basen er mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem på hverandre, deler dem i par og får:

Før du tar den fra hverandre siste regel, la oss løse noen eksempler.

Regn ut uttrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater!

Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på begrepene er feil. Hvis de ble reversert, kan regel 3 gjelde. Men hvordan? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå blir det slik:

På magisk vis skiftet begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i en jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes. Men det er viktig å huske: Alle tegn endres samtidig! Du kan ikke erstatte den med ved å endre bare én ulempe vi ikke liker!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle det:

Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver er det totalt? ganger med multiplikatorer - hva minner dette deg om? Dette er ikke annet enn en definisjon av en operasjon multiplikasjon: Det var bare multiplikatorer der. Det vil si at dette per definisjon er en potens av et tall med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

I tillegg til informasjon om grader for gjennomsnittsnivået vil vi analysere graden med en irrasjonell eksponent. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle tall).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall til null potens er så å si et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare et visst "blankt nummer", nemlig et tall; en grad med en negativ heltallseksponent - det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Det er ganske rent matematisk objekt, som matematikere opprettet for å utvide gradsbegrepet til hele tallrommet.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell eksponent? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

Svar:

La oss huske formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
Vi reduserer brøkene til samme form: enten begge desimaler eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

SAMMENDRAG AV SEKSJONEN OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grad kalt et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med en heltallseksponent

en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Kraft med rasjonell eksponent

grad, hvis eksponent er negative tall og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

en grad hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Egenskaper til grader

Funksjoner av grader.

Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
Null er lik enhver potens.
Ethvert tall i null potens er lik.

NÅ HAR DU ORDET...

Hvordan liker du artikkelen? Skriv nedenfor i kommentarfeltet om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med gradsegenskaper.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!

Det er åpenbart at tall med potenser kan legges til som andre størrelser , ved å legge dem etter hverandre med deres tegn.

Så summen av a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen av a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds like grader identiske variabler kan legges til eller trekkes fra.

Så summen av 2a 2 og 3a 2 er lik 5a 2.

Det er også åpenbart at hvis du tar to ruter a, eller tre ruter a, eller fem ruter a.

Men grader ulike variabler Og ulike grader identiske variabler, må komponeres ved å legge dem til med deres tegn.

Så summen av en 2 og en 3 er summen av en 2 + en 3.

Det er åpenbart at kvadratet av a, og terningen av a, ikke er lik to ganger kvadratet av a, men to ganger terningen av a.

Summen av a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraksjon krefter utføres på samme måte som addisjon, bortsett fra at tegnene til subtrahendene må endres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3t 2 b 6 - 4t 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplisere potenser

Tall med potenser kan multipliseres, som andre størrelser, ved å skrive dem etter hverandre, med eller uten multiplikasjonstegn mellom dem.

Dermed er resultatet av å multiplisere a 3 med b 2 a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultere i siste eksempel kan bestilles ved å legge til identiske variabler.
Uttrykket vil ha formen: a 5 b 5 y 3.

Ved å sammenligne flere tall (variabler) med potenser, kan vi se at hvis to av dem multipliseres, så er resultatet et tall (variabel) med potens lik beløp grader av termer.

Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen til resultatet av multiplikasjonen, lik 2 + 3, summen av potensene til leddene.

Så, a n.a m = a m+n.

For a n tas a som en faktor like mange ganger som potensen til n;

Og en m tas som en faktor like mange ganger som graden m er lik;

Derfor, potenser med samme grunntall kan multipliseres ved å legge til potensens eksponenter.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliser (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multipliser (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regelen gjelder også for tall hvis eksponenter er negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

Hvis a + b multipliseres med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: altså

Resultatet av å multiplisere summen eller differansen av to tall lik summen eller forskjellen på rutene deres.

Hvis du multipliserer summen og differansen av to tall hevet til torget, vil resultatet være lik summen eller differansen av disse tallene i fjerde grader.

Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Inndeling av grader

Tall med potenser kan deles som andre tall, ved å trekke fra utbyttet, eller ved å plassere dem i brøkform.

Dermed er a 3 b 2 delt på b 2 lik a 3.

Eller:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Å skrive en 5 delt på en 3 ser ut som $\frac(a^5)(a^3)$. Men dette er lik en 2 . I en rekke tall
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
et hvilket som helst tall kan deles på et annet, og eksponenten vil være lik forskjell indikatorer på delbare tall.

Når du deler grader med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra..

Så y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil si $\frac(yyy)(yy) = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil si $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regelen gjelder også for tall med negativ verdier av grader.
Resultatet av å dele en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Det er nødvendig å mestre multiplikasjon og deling av potenser veldig godt, siden slike operasjoner er veldig mye brukt i algebra.

Eksempler på å løse eksempler med brøker som inneholder tall med potenser

1. Reduser eksponentene med $\frac(5a^4)(3a^2)$ Svar: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduser eksponentene med $\frac(6x^6)(3x^5)$. Svar: $\frac(2x)(1)$ eller 2x.

3. Reduser eksponentene a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og før til fellesnevner.
a 2 .a -4 er a -2 den første telleren.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den andre telleren.
a 3 .a -4 er en -1 , den vanlige telleren.
Etter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reduser eksponentene 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og kom med til en fellesnevner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.

5. Multipliser (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Multipliser (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliser b 4 /a -2 med h -3 /x og a n /y -3 .

8. Del a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

9. Del (h 3 - 1)/d 4 med (d n + 1)/t.

Første nivå

Grad og dens egenskaper. The Comprehensive Guide (2019)

Hvorfor trengs grader? Hvor trenger du dem? Hvorfor bør du ta deg tid til å studere dem?

For å lære alt om grader, hva de trengs til og hvordan du kan bruke kunnskapen din i hverdagen, les denne artikkelen.

Og selvfølgelig vil kunnskap om grader bringe deg nærmere suksess passerer OGE eller Unified State-eksamenen og opptak til drømmeuniversitetet.

La oss gå... (La oss gå!)

Viktig notat! Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. For å gjøre dette, trykk CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

FØRSTE NIVÅ

Eksponentiering er en matematisk operasjon akkurat som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.

Nå skal jeg forklare alt på menneskelig språk ved å bruke veldig enkle eksempler. Vær forsiktig. Eksemplene er elementære, men forklarer viktige ting.

La oss starte med tillegg.

Det er ingenting å forklare her. Du vet allerede alt: vi er åtte. Alle har to flasker cola. Hvor mye cola er det? Det stemmer - 16 flasker.

Nå multiplikasjon.

Så for å telle raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske gangetabell. Selvfølgelig kan du gjøre alt langsommere, vanskeligere og med feil! Men…

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.

Og en annen, vakrere en:

Hvilke andre smarte telletriks har late matematikere funnet på? Ikke sant - heve et tall til en makt.

Å heve et tall til en makt

Alt du trenger å gjøre er husk hva som er uthevet i farger i tabellen over tallkrefter. Tro meg, dette vil gjøre livet ditt mye enklere.

Forresten, hvorfor heter det andre grad? torget tall, og den tredje - kube? Hva betyr det? Veldig godt spørsmål. Nå vil du ha både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

La oss starte med kvadratet eller andre potens av tallet.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nå er kuben eller tredje potens av et tall. Det samme bassenget. Men nå må du finne ut hvor mye vann som må helles i dette bassenget. Du må beregne volumet. (Volumer og væsker måles forresten i kubikkmeter. Uventet, ikke sant?) Tegn et basseng: bunnen er en meter stor og en meter dyp, og prøv å telle hvor mange kuber som måler en meter på en meter vil passer inn i bassenget ditt.

Vel, for å endelig overbevise deg om at grader ble oppfunnet av sluttere og utspekulerte mennesker for å løse sine livsproblemer, og ikke for å skape problemer for deg, her er et par eksempler til fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. Ved begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du en million til. Det vil si at hver million av dine dobles ved begynnelsen av hvert år. Hvor mye penger vil du ha om år? Hvis du sitter nå og «teller med fingeren», så er du en veldig hardtarbeidende person og... dum. Men mest sannsynlig gir du svar om et par sekunder, for du er smart! Så, i det første året - to multiplisert med to... i det andre året - hva skjedde, med to til, i det tredje året... Stopp! Du la merke til at tallet multipliseres med seg selv ganger. Så to til femte potens er en million! Tenk deg nå at du har en konkurranse og den som kan telle raskest vil få disse millionene... Det er verdt å huske tallenes krefter, synes du ikke?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Nå vet du at ved å heve et tall til en makt vil du gjøre livet ditt mye enklere. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.

Termer og begreper... for ikke å bli forvirret

Vel, på samme tid, hva et slikt gradsgrunnlag? Enda enklere - dette er nummeret som er plassert under, ved basen.

Her er en tegning for godt mål.

Vel, i generelle termer, for å generalisere og huske bedre ... En grad med en base " " og en eksponent " " leses som "til den grad" og skrives som følger:

Potensen til et tall med naturlig eksponent

Alle brøker er rasjonelle tall. Hvordan oppsto de, tror du? Veldig enkelt. For flere tusen år siden oppdaget våre forfedre at de manglet naturlige tall for å måle lengde, vekt, areal osv. Og de kom på rasjonelle tall... Interessant, ikke sant?

Det finnes også irrasjonelle tall. Hva er disse tallene? Kort sagt, det er en uendelig desimalbrøk. For eksempel, hvis du deler omkretsen av en sirkel på diameteren, får du et irrasjonelt tall.

Sammendrag:

La oss definere konseptet med en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Ethvert tall i første potens er lik seg selv:
Å kvadrere et tall betyr å multiplisere det med seg selv:
Å kube et tall betyr å multiplisere det med seg selv tre ganger:

Definisjon.Å heve et tall til en naturlig potens betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:
.

Egenskaper til grader

Hvor kom disse egenskapene fra? Jeg skal vise deg nå.

La oss se: hva er det Og ?

A-priory:

Hvor mange multiplikatorer er det totalt?

Det er veldig enkelt: vi la til multiplikatorer til faktorene, og resultatet er multiplikatorer.

Men per definisjon er dette en potens av et tall med en eksponent, det vil si: , som er det som måtte bevises.

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning: Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene!
Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:

bare for produktet av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

2. det er det potensen til et tall

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt:

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive?

Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva eksponenten skal være.

Men hva skal ligge til grunn?

I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall. Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall.

La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ? Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med, fungerer det.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarte du deg?

Her er svarene: I de fire første eksemplene håper jeg alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt.

Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt!

6 eksempler å øve på

Analyse av løsningen 6 eksempler

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på begrepene er feil. Hvis de ble omvendt, kan regelen gjelde.

Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

På magisk vis skiftet begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i en jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Hel vi kaller de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet " ") og tallet.

positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Ethvert tall i null potens er lik en:

Som alltid, la oss spørre oss selv: hvorfor er det slik?

La oss vurdere en viss grad med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og vi fikk det samme som det var - . Hvilket tall skal du gange med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall også negative tall. For å forstå hva en negativ potens er, la oss gjøre som forrige gang: multiplisere et normalt tall med det samme tallet til en negativ potens:

Herfra er det enkelt å uttrykke hva du leter etter:

La oss nå utvide den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere en regel:

Et tall med negativ potens er det gjensidige av samme tall med positiv potens. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dele med).

La oss oppsummere:

I. Uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

II. Ethvert tall i nullpotens er lik én: .

III. Et tall som ikke er lik null til en negativ potens er inversen av det samme tallet til en positiv potens: .

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler på uavhengige løsninger:

Analyse av problemer for uavhengig løsning:

La oss fortsette å utvide rekkevidden av tall "egnet" som eksponent.

La oss nå vurdere rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er heltall, og.

For å forstå hva det er "brøkdel grad", tenk på brøken:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

La oss nå huske regelen om "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av th potens av et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th potens er den omvendte operasjonen av å heve til en potens: .

Det viser seg at. Selvfølgelig kan dette spesielle tilfellet utvides: .

Nå legger vi til telleren: hva er det? Svaret er enkelt å få ved å bruke makt-til-makt-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

La oss huske regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut jevne røtter fra negative tall!

Dette betyr at slike tall ikke kan heves til en brøkpotens med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykket?

Men her oppstår et problem.

Tallet kan representeres i form av andre, reduserbare brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det eksisterer, men ikke eksisterer, men dette er bare to forskjellige poster med samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver ned indikatoren annerledes, vil vi igjen få problemer: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurderer vi bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

- naturlig tall;
- heltall;

Eksempler:

Rasjonelle eksponenter er veldig nyttige for å transformere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 eksempler å øve på

Analyse av 5 eksempler for trening

Vel, nå kommer den vanskeligste delen. Nå skal vi finne ut av det grad med irrasjonell eksponent.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak

Tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...negativ heltallsgrad- det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter; du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer å løse slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med den vanlige regelen for å heve en makt til en makt:

Se nå på indikatoren. Minner han deg ikke om noe? La oss huske formelen for forkortet multiplikasjon av forskjellen av kvadrater:

I dette tilfellet,

Det viser seg at:

Svar: .

2. Vi reduserer brøker i eksponenter til samme form: enten begge desimaler eller begge ordinære. Vi får for eksempel:

Svar: 16

3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

AVANSERT NIVÅ

Fastsettelse av grad

En grad er et uttrykk for formen: , hvor:

— grad base;
- eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Grad med en heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

Konstruksjon til null grad:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er negativt heltall Antall:

(fordi du ikke kan dele med).

Nok en gang om nuller: uttrykket er ikke definert i kasus. Hvis da.

Eksempler:

Kraft med rasjonell eksponent

- naturlig tall;
- heltall;

Eksempler:

Egenskaper til grader

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

A-priory:

Så på høyre side av dette uttrykket får vi følgende produkt:

Men per definisjon er det en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene. Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:

En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkt av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

La oss omgruppere dette arbeidet slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt: !

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base.

Til nå har vi bare diskutert hvordan det skal være indeks grader. Men hva skal ligge til grunn? I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi ganger med (), får vi - .

Og så videre i det uendelige: for hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Følgende enkle regler kan formuleres:

til og med grad, - antall positivt.
Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem på hverandre, deler dem i par og får:

Før vi ser på den siste regelen, la oss løse noen eksempler.

Regn ut uttrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater!

Vi får:

Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå blir det slik:

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle det:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Det er snarere et rent matematisk objekt som matematikere skapte for å utvide gradsbegrepet til hele tallrommet.

Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell eksponent? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

Svar:

La oss huske formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
Vi reduserer brøkene til samme form: enten begge desimaler eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

SAMMENDRAG AV SEKSJONEN OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grad kalt et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med en heltallseksponent

en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Kraft med rasjonell eksponent

grad, hvis eksponent er negative tall og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

en grad hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Egenskaper til grader

Funksjoner av grader.

Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
Null er lik enhver potens.
Ethvert tall i null potens er lik.

NÅ HAR DU ORDET...

Hvordan liker du artikkelen? Skriv nedenfor i kommentarfeltet om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med gradsegenskaper.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!

Gå til youtube-kanalen til nettstedet vårt for å holde deg oppdatert med alle de nye videoleksjonene.

Først, la oss huske de grunnleggende formlene for krefter og deres egenskaper.

Produkt av et tall en forekommer på seg selv n ganger, kan vi skrive dette uttrykket som a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Strøm eller eksponentielle ligninger – dette er ligninger der variablene er i potenser (eller eksponenter), og grunntallet er et tall.

Eksempler på eksponentialligninger:

I i dette eksemplet tallet 6 er basen, det er alltid nederst og variabelen x grad eller indikator.

La oss gi flere eksempler på eksponentialligninger.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

La oss nå se på hvordan eksponentialligninger løses?

La oss ta en enkel ligning:

2 x = 2 3

Dette eksemplet kan løses selv i hodet ditt. Det kan sees at x=3. Tross alt, for at venstre og høyre side skal være like, må du sette tallet 3 i stedet for x.
La oss nå se hvordan du formaliserer denne avgjørelsen:

2 x = 2 3
x = 3

For å løse en slik ligning fjernet vi identiske grunner(altså toere) og skrev ned det som var igjen, dette er grader. Vi fikk svaret vi var ute etter.

La oss nå oppsummere avgjørelsen vår.

Algoritme for å løse eksponentialligningen:
1. Må sjekkes det samme om ligningen har baser til høyre og venstre. Hvis årsakene ikke er de samme, ser vi etter alternativer for å løse dette eksemplet.
2. Etter at basene er blitt de samme, likestille grader og løs den resulterende nye ligningen.

La oss nå se på noen eksempler:

La oss starte med noe enkelt.

Basene på venstre og høyre side er lik tallet 2, noe som betyr at vi kan forkaste basen og likestille gradene deres.

x+2=4 Den enkleste ligningen er oppnådd.
x=4 – 2
x=2
Svar: x=2

I følgende eksempel kan du se at basene er forskjellige: 3 og 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Først flytter du de ni til høyre side, vi får:

Nå må du lage de samme basene. Vi vet at 9=3 2. La oss bruke potensformelen (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Vi får 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 nå kan du se det i venstre og høyre side basene er like og lik tre, noe som betyr at vi kan forkaste dem og sette likhetstegn mellom gradene.

3x=2x+16 får vi den enkleste ligningen
3x - 2x=16
x=16
Svar: x=16.

La oss se på følgende eksempel:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Først av alt ser vi på basene, base to og fire. Og vi trenger at de er like. Vi transformerer de fire ved å bruke formelen (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Og vi bruker også en formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Legg til i ligningen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Vi ga et eksempel av samme grunn. Men andre tall 10 og 24 plager oss. Hva skal vi gjøre med dem? Hvis du ser nøye etter kan du se at på venstre side har vi 2 2x gjentatte, her er svaret - vi kan sette 2 2x ut av parentes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

La oss beregne uttrykket i parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Vi deler hele ligningen med 6:

La oss forestille oss 4=2 2:

2 2x = 2 2 baser er like, vi kaster dem og setter likhetstegn mellom gradene.
2x = 2 er den enkleste ligningen. Del det på 2 og vi får
x = 1
Svar: x = 1.

La oss løse ligningen:

9 x – 12*3 x +27= 0

La oss transformere:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Vi får ligningen:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Våre baser er de samme, lik 3. I dette eksemplet kan du se at de tre første har en grad to ganger (2x) enn den andre (bare x). I dette tilfellet kan du løse erstatningsmetode. Nummer s minste grad erstatte:

Så 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Vi erstatter alle x potenser i ligningen med t:

t 2 - 12t+27 = 0
Vi får kvadratisk ligning. Løser vi gjennom diskriminanten, får vi:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Gå tilbake til variabelen x.

Ta t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Det er,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

En rot ble funnet. Vi ser etter den andre fra t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Svar: x 1 = 2; x 2 = 1.

På nettsiden kan du stille spørsmål du måtte ha i HJELP AVGJØRELSE-delen, vi vil definitivt svare deg.

Bli med i gruppen

Uttrykk, uttrykkskonvertering

Maktuttrykk (uttrykk med makter) og deres transformasjon

I denne artikkelen vil vi snakke om å konvertere uttrykk med krefter. Først vil vi fokusere på transformasjoner som utføres med uttrykk av enhver art, inkludert maktuttrykk, for eksempel å åpne parenteser og ta med lignende termer. Og så vil vi analysere transformasjonene som er iboende spesifikt i uttrykk med grader: arbeide med basen og eksponenten, bruke egenskapene til grader, etc.

Sidenavigering.

Hva er maktuttrykk?

Begrepet "kraftuttrykk" brukes nesten aldri skole lærebøker matematikk, men det vises ganske ofte i oppgavesamlinger, spesielt de som er beregnet på forberedelse til Unified State Exam og Unified State Exam, for eksempel. Etter å ha analysert oppgavene der det er nødvendig å utføre eventuelle handlinger med maktuttrykk, blir det klart at maktuttrykk forstås som uttrykk som inneholder makter i sine oppføringer. Derfor kan du godta følgende definisjon for deg selv:

Definisjon.

Maktuttrykk er uttrykk som inneholder grader.

La oss gi eksempler på maktuttrykk. Videre vil vi presentere dem etter hvordan utviklingen av synspunkter på fra en grad med naturlig eksponent til en grad med reell eksponent skjer.

Som kjent blir man først kjent med potensen til et tall med en naturlig eksponent; på dette stadiet er de første enkleste potensuttrykkene av typen 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 vises −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 osv.

Litt senere studeres kraften til et tall med en heltallseksponent, noe som fører til utseendet til kraftuttrykk med heltall negative krefter, som følgende: 3 −2 , , a -2 +2 b -3 +c2.

På videregående går de tilbake til grader. Der introduseres en grad med en rasjonell eksponent, som innebærer utseendet til de tilsvarende kraftuttrykkene: , , og så videre. Til slutt vurderes grader med irrasjonelle eksponenter og uttrykk som inneholder dem: , .

Saken er ikke begrenset til de oppførte potensuttrykkene: videre trenger variabelen inn i eksponenten, og for eksempel oppstår følgende uttrykk: 2 x 2 +1 eller . Og etter å ha blitt kjent med , begynner uttrykk med potenser og logaritmer å dukke opp, for eksempel x 2·lgx −5·x lgx.

Så vi har behandlet spørsmålet om hva maktuttrykk representerer. Deretter vil vi lære å forvandle dem.

Hovedtyper av transformasjoner av maktuttrykk

Med maktuttrykk kan du utføre hvilken som helst av de grunnleggende identitetstransformasjonene til uttrykk. For eksempel kan du utvide brakettene, erstatte numeriske uttrykk deres betydninger, gi lignende vilkår etc. Naturligvis, i dette tilfellet, er det nødvendig å følge den aksepterte prosedyren for å utføre handlinger. La oss gi eksempler.

Eksempel.

Regn ut verdien av potensuttrykket 2 3 ·(4 2 −12) .

Løsning.

I henhold til rekkefølgen for utførelse av handlinger, utfør først handlingene i parentes. Der erstatter vi for det første potensen 4 2 med verdien 16 (om nødvendig, se), og for det andre beregner vi differansen 16−12=4. Vi har 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

I det resulterende uttrykket erstatter vi potensen 2 3 med verdien 8, hvoretter vi beregner produktet 8·4=32. Dette er ønsket verdi.

Så, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Svar:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Eksempel.

Forenkle uttrykk med krefter 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Løsning.

Det er åpenbart det dette uttrykket inneholder lignende ledd 3·a 4 ·b −7 og 2·a 4 ·b −7 , og vi kan gi dem: .

Svar:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Eksempel.

Uttrykk et uttrykk med krefter som et produkt.

Løsning.

Du kan takle oppgaven ved å representere tallet 9 som en potens av 3 2 og deretter bruke formelen for forkortet multiplikasjon - kvadratforskjell:

Svar:

Det er også en rekke identitetstransformasjoner, iboende spesifikt i maktuttrykk. Vi vil analysere dem videre.

Arbeid med base og eksponent

Det er grader hvis base og/eller eksponent ikke bare er tall eller variabler, men noen uttrykk. Som et eksempel gir vi oppføringene (2+0,3·7) 5−3,7 og (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Når du arbeider med lignende uttrykk, kan du erstatte både uttrykket i gradens basis og uttrykket i eksponenten identisk likt uttrykk på ODZ av variablene. Med andre ord, i henhold til reglene som er kjent for oss, kan vi separat transformere gradens basis og eksponenten separat. Det er klart at som et resultat av denne transformasjonen vil det oppnås et uttrykk som er identisk likt det opprinnelige.

Slike transformasjoner lar oss forenkle uttrykk med krefter eller oppnå andre mål vi trenger. For eksempel, i potensuttrykket nevnt ovenfor (2+0,3 7) 5−3,7, kan du utføre operasjoner med tallene i grunntallet og eksponenten, som lar deg gå til potensen 4,1 1,3. Og etter å ha åpnet parentesene og ført lignende ledd til grunnen av graden (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) får vi et potensuttrykk mer enkel type a 2·(x+1).

Bruke gradsegenskaper

Et av hovedverktøyene for å transformere uttrykk med krefter er likheter som reflekterer . La oss huske de viktigste. For alle positive tall a og b og vilkårlige reelle tall r og s er følgende egenskaper for grader gyldige:

a r ·a s =a r+s;
a r:a s =a r−s;
(a·b) r =a r ·b r;
(a:b) r =a r:b r;
(a r) s =a r·s .

Merk at for naturlig, heltall og også positive indikatorer graden av begrensning på tallene a og b er kanskje ikke så strenge. For naturlige tall m og n gjelder for eksempel likheten a m ·a n =a m+n ikke bare for positiv a, men også for negativ a, og for a=0.

På skolen er hovedfokuset når man transformerer kraftuttrykk på evnen til å velge riktig egenskap og bruke den riktig. I dette tilfellet er grunnene til grader vanligvis positive, noe som gjør at egenskapene til grader kan brukes uten begrensninger. Det samme gjelder transformasjon av uttrykk som inneholder variabler i potensbasene - areal akseptable verdier variabler er vanligvis slik at grunnlaget på det bare aksepterer positive verdier, som lar deg fritt bruke egenskapene til grader. Generelt må du hele tiden spørre deg selv om det er mulig å bruke en hvilken som helst egenskap av grader i dette tilfellet, fordi unøyaktig bruk av eiendommer kan føre til en innsnevring av den pedagogiske verdien og andre problemer. Disse punktene diskuteres i detalj og med eksempler i artikkelen transformasjon av uttrykk ved bruk av potenser. Her skal vi begrense oss til å vurdere noen få enkle eksempler.

Eksempel.

Uttrykk uttrykket a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 som potens med grunntall a.

Løsning.

Først transformerer vi den andre faktoren (a 2) −3 ved å bruke egenskapen til å heve en potens til en potens: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Det opprinnelige kraftuttrykket vil ha formen a 2,5 ·a −6:a −5,5. Åpenbart gjenstår det å bruke egenskapene til multiplikasjon og deling av potenser med samme base, vi har
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Svar:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Egenskaper til potenser ved transformering av kraftuttrykk brukes både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre.

Eksempel.

Finn verdien av kraftuttrykket.

Løsning.

Likheten (a·b) r =a r ·b r, brukt fra høyre til venstre, lar oss bevege oss fra det opprinnelige uttrykket til et produkt av formen og videre. Og når man multipliserer potenser med på samme grunnlag indikatorene summerer opp: .

Det var mulig å transformere det opprinnelige uttrykket på en annen måte:

Svar:

Eksempel.

Gitt potensuttrykket a 1,5 −a 0,5 −6, introduser en ny variabel t=a 0,5.

Løsning.

Graden a 1,5 kan representeres som en 0,5 3 og deretter, basert på egenskapen til graden til graden (a r) s =a r s, brukt fra høyre til venstre, transformere den til formen (a 0,5) 3. Dermed, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Nå er det enkelt å introdusere en ny variabel t=a 0,5, vi får t 3 −t−6.

Svar:

t 3 −t−6 .

Konvertering av brøker som inneholder potenser

Potensuttrykk kan inneholde eller representere brøker med potenser. Enhver av de grunnleggende transformasjonene av fraksjoner som er iboende i fraksjoner av noe slag, er fullt anvendelige for slike fraksjoner. Det vil si at brøker som inneholder potenser kan reduseres, reduseres til en ny nevner, arbeides separat med telleren og separat med nevneren osv. For å illustrere disse ordene, vurder løsninger på flere eksempler.

Eksempel.

Forenkle kraftuttrykk .

Løsning.

Dette kraftuttrykket er en brøkdel. La oss jobbe med telleren og nevneren. I telleren åpner vi parentesene og forenkler det resulterende uttrykket ved å bruke egenskapene til potenser, og i nevneren presenterer vi lignende termer:

Og la oss også endre fortegnet på nevneren ved å sette et minus foran brøken: .

Svar:

Reduksjon av brøker som inneholder potenser til en ny nevner utføres på samme måte som reduksjon til en ny nevner rasjonelle brøker. I dette tilfellet finner man også en tilleggsfaktor, og telleren og nevneren for brøken multipliseres med den. Når du utfører denne handlingen, er det verdt å huske at reduksjon til en ny nevner kan føre til en innsnevring av VA. For å forhindre at dette skjer, er det nødvendig at tilleggsfaktoren ikke går til null for noen verdier av variablene fra ODZ-variablene for det opprinnelige uttrykket.

Eksempel.

Reduser brøkene til en ny nevner: a) til nevner a, b) til nevneren.

Løsning.

a) I dette tilfellet er det ganske enkelt å finne ut hvilken ekstra multiplikator som bidrar til å oppnå ønsket resultat. Dette er en multiplikator på 0,3, siden a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Legg merke til at i området av tillatte verdier for variabelen a (dette er settet av alle positive reelle tall), forsvinner ikke kraften til en 0,3, derfor har vi rett til å multiplisere telleren og nevneren til en gitt brøk med denne tilleggsfaktoren:

b) Hvis du ser nærmere på nevneren, vil du finne det

og multiplisere dette uttrykket med vil gi summen av terninger og , det vil si . Og dette er det ny nevner, som vi må redusere den opprinnelige brøken til.

Slik fant vi en tilleggsfaktor. I området av akseptable verdier av variablene x og y forsvinner ikke uttrykket, derfor kan vi multiplisere telleren og nevneren til brøken med det:

Svar:

EN) , b) .

Det er heller ikke noe nytt i å redusere brøker som inneholder potenser: telleren og nevneren er representert som en rekke faktorer, og de samme faktorene til telleren og nevneren reduseres.

Eksempel.

Reduser brøken: a) , b) .

Løsning.

a) For det første kan telleren og nevneren reduseres med tallene 30 og 45, som er lik 15. Det er også åpenbart mulig å utføre en reduksjon med x 0,5 +1 og med . Her er hva vi har:

b) I dette tilfellet er ikke identiske faktorer i telleren og nevneren umiddelbart synlige. For å få dem, må du utføre foreløpige transformasjoner. I dette tilfellet består de i å faktorisere nevneren ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater:

Svar:

EN)

b) .

Å konvertere brøker til en ny nevner og redusere brøker brukes hovedsakelig til å gjøre ting med brøker. Handlinger utføres i henhold til kjente regler. Når man legger til (subtraherer) brøker, reduseres de til en fellesnevner, hvoretter tellerne adderes (trekkes fra), men nevneren forblir den samme. Resultatet er en brøk hvis teller er produktet av tellerne, og nevneren er produktet av nevnerne. Divisjon med en brøk er multiplikasjon med dens inverse.

Eksempel.

Følg stegene .

Løsning.

Først trekker vi fra brøkene i parentes. For å gjøre dette bringer vi dem til en fellesnevner, som er , hvoretter vi trekker fra tellerne:

Nå multipliserer vi brøkene:

Det er åpenbart mulig å redusere med en potens på x 1/2, hvoretter vi har .

Du kan også forenkle potensuttrykket i nevneren ved å bruke formelen for kvadratforskjellen: .

Svar:

Eksempel.

Forenkle kraftuttrykket .

Løsning.

Åpenbart, gitt brøk kan reduseres med (x 2,7 +1) 2, dette gir brøken . Det er klart at noe annet må gjøres med kreftene til X. For å gjøre dette transformerer vi den resulterende fraksjonen til et produkt. Dette gir oss muligheten til å dra nytte av egenskapen til å dele makter med samme grunnlag: . Og på slutten av prosessen går vi fra siste arbeid til en brøkdel.

Svar:

Og la oss også legge til at det er mulig og i mange tilfeller ønskelig å bruke multiplikatorer med negative indikatorer grader overføres fra telleren til nevneren eller fra nevneren til telleren, og endrer eksponentens fortegn. Slike transformasjoner forenkler ofte videre handlinger. For eksempel kan et potensuttrykk erstattes med .

Konvertering av uttrykk med røtter og krefter

Ofte i uttrykk der det kreves noen transformasjoner, sammen med krefter med brøkindikatorer røtter er også tilstede. Å konvertere lignende uttrykk til ønsket form, i de fleste tilfeller er det nok å gå bare til røtter eller bare til makter. Men siden det er mer praktisk å jobbe med krefter, beveger de seg vanligvis fra røtter til krefter. Det er imidlertid tilrådelig å utføre en slik overgang når ODZ av variabler for det opprinnelige uttrykket lar deg erstatte røttene med potenser uten å måtte referere til modulen eller dele ODZ i flere intervaller (vi diskuterte dette i detalj i artikkelen overgang fra røtter til potenser og tilbake Etter å ha blitt kjent med graden med en rasjonell eksponent introduseres en grad med en irrasjonell eksponent, som lar oss snakke om en grad med en vilkårlig reell eksponent. På dette stadiet begynner skolen å studere eksponentiell funksjon , som er analytisk gitt av en potens, hvis basis er et tall, og eksponenten er en variabel. Så vi står overfor potensuttrykk som inneholder tall i potensens basis, og i eksponenten - uttrykk med variabler, og naturlig nok oppstår behovet for å utføre transformasjoner av slike uttrykk.

Det skal sies at transformerende uttrykk spesifisert type vanligvis må gjøres ved løsning eksponentielle ligninger Og eksponentielle ulikheter , og disse konverteringene er ganske enkle. I det overveldende flertallet av tilfellene er de basert på gradens egenskaper og er for det meste rettet mot å introdusere en ny variabel i fremtiden. Ligningen vil tillate oss å demonstrere dem 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

For det første erstattes potenser, i hvis eksponenter er summen av en viss variabel (eller uttrykk med variabler) og et tall, med produkter. Dette gjelder det første og siste leddet i uttrykket på venstre side:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Deretter blir begge sider av likheten delt med uttrykket 7 2 x, som på ODZ av variabelen x for den opprinnelige ligningen tar bare positive verdier (dette er en standardteknikk for å løse ligninger av denne typen, vi er ikke snakker om det nå, så fokuser på påfølgende transformasjoner av uttrykk med krefter):

Nå kan vi annullere brøker med potenser, som gir .

Til slutt, maktforholdet med de samme indikatorene erstattes av relasjonskrefter, som fører til ligningen , som tilsvarer . Transformasjonene som er gjort tillater oss å introdusere en ny variabel, som reduserer løsningen av den opprinnelige eksponentialligningen til løsningen av en andregradsligning

I. V. Boykov, L. D. Romanova Samling av oppgaver for forberedelse til Unified State Exam. Del 1. Penza 2003.