Samme base. Grad og dens egenskaper

Hvordan multiplisere potenser? Hvilke potenser kan multipliseres og hvilke kan ikke? Hvordan multiplisere et tall med en potens?

I algebra kan du finne et produkt av potenser i to tilfeller:

1) hvis gradene har samme base;

2) hvis gradene har samme indikatorer.

Når du multipliserer potenser med de samme grunnene, må grunntallet være det samme, og eksponentene må legges til:

Når du multipliserer grader med de samme indikatorene, kan den samlede indikatoren tas ut av parentes:

La oss se på hvordan du multipliserer potenser ved å bruke spesifikke eksempler.

Enheten er ikke skrevet i eksponenten, men når du multipliserer potenser, tar de hensyn til:

Når du multipliserer, kan det være et hvilket som helst antall potenser. Det bør huskes at du ikke trenger å skrive multiplikasjonstegnet før bokstaven:

I uttrykk gjøres eksponentisering først.

Hvis du trenger å multiplisere et tall med en potens, bør du først utføre eksponentieringen, og først deretter multiplikasjonen:

www.algebraclass.ru

Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og deling av potenser

Addisjon og subtraksjon av potenser

Det er åpenbart at tall med potenser kan legges til som andre størrelser , ved å legge dem etter hverandre med deres tegn.

Så summen av a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen av a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds like grader av identiske variabler kan legges til eller trekkes fra.

Så summen av 2a 2 og 3a 2 er lik 5a 2.

Det er også åpenbart at hvis du tar to ruter a, eller tre ruter a, eller fem ruter a.

Men grader ulike variabler Og ulike grader identiske variabler, må komponeres ved å legge dem til med deres tegn.

Så summen av en 2 og en 3 er summen av en 2 + en 3.

Det er åpenbart at kvadratet av a, og terningen av a, ikke er lik to ganger kvadratet av a, men to ganger terningen av a.

Summen av a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraksjon krefter utføres på samme måte som addisjon, bortsett fra at tegnene til subtrahendene må endres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3t 2 b 6 — 4t 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplisere potenser

Tall med potenser kan multipliseres, som andre størrelser, ved å skrive dem etter hverandre, med eller uten multiplikasjonstegn mellom dem.

Dermed blir resultatet av å multiplisere a 3 med b 2 a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det siste eksemplet kan bestilles ved å legge til identiske variabler.
Uttrykket vil ha formen: a 5 b 5 y 3.

Ved å sammenligne flere tall (variabler) med potenser, kan vi se at hvis to av dem multipliseres, så er resultatet et tall (variabel) med potens lik beløp grader av termer.

Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen til multiplikasjonsresultatet, som er lik 2 + 3, summen av potensene til leddene.

Så, a n.a m = a m+n.

For a n tas a som en faktor like mange ganger som potensen til n;

Og en m tas som en faktor like mange ganger som graden m er lik;

Derfor, potenser med samme grunntall kan multipliseres ved å legge til potensens eksponenter.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliser (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multipliser (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regelen gjelder også for tall hvis eksponenter er negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

Hvis a + b multipliseres med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: altså

Resultatet av å multiplisere summen eller forskjellen av to tall er lik summen eller forskjellen av kvadratene deres.

Hvis du multipliserer summen og differansen av to tall hevet til torget, vil resultatet være lik summen eller differansen av disse tallene i fjerde grader.

Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Inndeling av grader

Tall med potenser kan deles som andre tall, ved å trekke fra utbyttet, eller ved å plassere dem i brøkform.

Dermed er a 3 b 2 delt på b 2 lik a 3.

Å skrive en 5 delt på en 3 ser ut som $\frac $. Men dette er lik en 2 . I en rekke tall
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
et hvilket som helst tall kan deles på et annet, og eksponenten vil være lik forskjell indikatorer på delbare tall.

Når du deler grader med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra..

Så, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil si $\frac = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil si $\frac = a^n$.

Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regelen gjelder også for tall med negativ verdier av grader.
Resultatet av å dele en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Det er nødvendig å mestre multiplikasjon og deling av potenser veldig godt, siden slike operasjoner er veldig mye brukt i algebra.

Eksempler på å løse eksempler med brøker som inneholder tall med potenser

1. Reduser eksponentene med $\frac $ Svar: $\frac $.

2. Reduser eksponenter med $\frac$. Svar: $\frac$ eller 2x.

3. Reduser eksponentene a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og bring til en fellesnevner.
a 2 .a -4 er a -2 den første telleren.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den andre telleren.
a 3 .a -4 er en -1 , den vanlige telleren.
Etter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reduser eksponentene 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og kom med til en fellesnevner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.

5. Multipliser (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Multipliser (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliser b 4 /a -2 med h -3 /x og a n /y -3 .

8. Del a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

Gradens egenskaper

Vi minner deg om at i denne leksjonen vil vi forstå egenskaper til grader med naturlige indikatorer og null. Potenser med rasjonelle eksponenter og deres egenskaper vil bli diskutert i leksjoner for 8. klasse.

En potens med naturlig eksponent har flere viktige egenskaper som gjør at vi kan forenkle beregninger i eksempler med potenser.

Eiendom nr. 1
Produkt av makter

Når potenser multipliseres med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og potensenes eksponenter adderes.

a m · a n = a m + n, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

Denne egenskapen til potenser gjelder også produktet av tre eller flere potenser.

Forenkle uttrykket.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Presenter det som en grad.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Presenter det som en grad.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vær oppmerksom på at i den angitte egenskapen snakket vi bare om multiplikasjon av potenser med samme baser. Det gjelder ikke tillegget deres.

Du kan ikke erstatte summen (3 3 + 3 2) med 3 5. Dette er forståelig hvis
beregn (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, og 3 5 = 243

Eiendom nr. 2
Delgrader

Når du deler potenser med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og eksponenten til divisoren trekkes fra eksponenten til utbyttet.

Skriv kvotienten som en potens
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Regne ut.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Eksempel. Løs ligningen. Vi bruker egenskapen til kvotekrefter.
3 8: t = 3 4

Svar: t = 3 4 = 81

Ved å bruke egenskap nr. 1 og nr. 2 kan du enkelt forenkle uttrykk og utføre beregninger.

Eksempel. Forenkle uttrykket.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Eksempel. Finn verdien av et uttrykk ved å bruke egenskapene til eksponenter.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vær oppmerksom på at i Eiendom 2 snakket vi kun om å dele potenser med samme grunnlag.

Du kan ikke erstatte differansen (4 3 −4 2) med 4 1. Dette er forståelig hvis du regner ut (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, og 4 1 = 4

Eiendom nr. 3
Å heve en grad til en makt

Når du hever en grad til en potens, forblir basisen til graden uendret, og eksponentene multipliseres.

(a n) m = a n · m, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

Vær oppmerksom på at egenskap nr. 4, i likhet med andre egenskaper for grader, også brukes i omvendt rekkefølge.

(a n · b n)= (a · b) n

Det vil si at for å multiplisere potenser med de samme eksponentene, kan du multiplisere basene, men la eksponenten være uendret.

Eksempel. Regne ut.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Eksempel. Regne ut.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

I mer komplekse eksempler kan det være tilfeller der multiplikasjon og divisjon må utføres over potenser med forskjellige grunner og forskjellige eksponenter. I dette tilfellet anbefaler vi deg å gjøre følgende.

For eksempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Et eksempel på å heve en desimal til en potens.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Egenskaper 5
Kraften til en kvotient (brøk)

For å heve en kvotient til en potens, kan du heve utbyttet og divisoren separat til denne potensen, og dele det første resultatet med det andre.

(a: b) n = a n: b n, hvor "a", "b" er alle rasjonelle tall, b ≠ 0, n - et hvilket som helst naturlig tall.

Eksempel. Presenter uttrykket som en maktkvotient.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vi minner om at en kvotient kan representeres som en brøk. Derfor vil vi dvele ved temaet å heve en brøk til en potens mer detaljert på neste side.

Krafter og røtter

Operasjoner med krefter og røtter. Grad med negativ ,

null og brøk indikator. Om uttrykk som ikke har noen betydning.

Operasjoner med grader.

1. Når potenser multipliseres med samme grunntall, legges deres eksponenter til:

en m · a n = a m + n .

2. Når du deler grader med samme base, deres eksponenter er trukket fra .

3. Graden av produktet av to eller flere faktorer er lik produktet av gradene av disse faktorene.

4. Graden av et forholdstall (brøk) er lik forholdet mellom gradene av utbytte (teller) og divisor (nevner):

(a/b) n = a n/b n.

5. Når du hever en potens til en potens, multipliseres eksponentene deres:

Alle formlene ovenfor leses og utføres i begge retninger fra venstre til høyre og omvendt.

EKSEMPEL (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operasjoner med røtter. I alle formlene nedenfor betyr symbolet aritmetisk rot(det radikale uttrykket er positivt).

1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet av røttene til disse faktorene:

2. Roten av et forholdstall er lik forholdet mellom røttene til utbyttet og divisoren:

3. Når du hever en rot til en makt, er det nok å heve til denne makten radikalt tall:

4. Hvis du øker graden av roten med m ganger og samtidig hever det radikale tallet til mth potens, vil verdien av roten ikke endres:

5. Hvis du reduserer graden av roten med m ganger og samtidig trekker ut månedsroten av radikaltallet, vil verdien av roten ikke endres:

Utvide gradsbegrepet. Så langt har vi vurdert grader kun med naturlige eksponenter; men operasjoner med krefter og røtter kan også føre til negativ, null Og brøkdel indikatorer. Alle disse eksponentene krever ytterligere definisjon.

En grad med negativ eksponent. Potensen til et visst tall med en negativ (heltalls) eksponent er definert som en dividert med potensen til samme tall med en eksponent lik den absolutte verdien av den negative eksponenten:

Nå formelen en m : en n = a m - n kan brukes ikke bare til m, mer enn n, men også med m, mindre enn n .

EKSEMPEL en 4: en 7 =a 4 — 7 =a — 3 .

Hvis vi vil ha formelen en m : en n = en m — n var rettferdig når m = n, trenger vi en definisjon av grad null.

En grad med nullindeks. Potensen til ethvert tall som ikke er null med eksponent null er 1.

EKSEMPLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. For å heve et reelt tall a til potensen m / n, må du trekke ut den n-te roten av m-potensen til dette tallet a:

Om uttrykk som ikke har noen betydning. Det finnes flere slike uttrykk.

Hvor en ≠ 0 , eksisterer ikke.

Faktisk, hvis vi antar det x er et visst tall, så har vi i samsvar med definisjonen av divisjonsoperasjonen: en = 0· x, dvs. en= 0, som motsier betingelsen: en ≠ 0

— hvilket som helst tall.

Faktisk, hvis vi antar at dette uttrykket er lik et eller annet tall x, så har vi i henhold til definisjonen av divisjonsoperasjonen: 0 = 0 · x. Men denne likheten oppstår når et hvilket som helst tall x, som var det som måtte bevises.

0 0 — hvilket som helst tall.

Løsning La oss vurdere tre hovedtilfeller:

1) x = 0 – denne verdien tilfredsstiller ikke denne ligningen

2) når x> 0 får vi: x/x= 1, dvs. 1 = 1, som betyr

Hva x– et hvilket som helst tall; men tatt i betraktning det i

i vårt tilfelle x> 0, er svaret x > 0 ;

Regler for å multiplisere potenser med forskjellige baser

GRAD MED RASJONELL INDIKATOR,

STRØMFUNKSJON IV

§ 69. Multiplikasjon og deling av potenser med samme grunntall

Teorem 1. For å multiplisere potenser med de samme grunnene, er det nok å legge til eksponentene og la grunntallet være det samme, dvs.

Bevis. Etter definisjon av grad

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Vi så på produktet av to potenser. Faktisk er den påviste egenskapen sann for et hvilket som helst antall krefter med samme baser.

Teorem 2. For å dele potenser med samme grunnlag, når indeksen til utbyttet er større enn indeksen til divisor, er det nok å trekke indeksen til divisor fra indeksen for utbytte, og la grunnlaget være det samme, dvs. på t > s

(en =/= 0)

Bevis. Husk at kvotienten for å dele ett tall med et annet er tallet som, multiplisert med divisoren, gir utbyttet. Bevis derfor formelen hvor en =/= 0, det er det samme som å bevise formelen

Hvis t > s , deretter nummeret t - s vil være naturlig; derfor ved teorem 1

Teorem 2 er bevist.

Det skal bemerkes at formelen

vi har bevist det bare under antagelsen om at t > s . Derfor, fra det som er bevist, er det ennå ikke mulig å trekke for eksempel følgende konklusjoner:

I tillegg har vi ennå ikke vurdert grader med negative eksponenter, og vi vet ennå ikke hvilken betydning som kan gis til uttrykk 3 - 2 .

Teorem 3. For å heve en grad til en potens, er det nok å multiplisere eksponentene, slik at bunnen av graden er den samme, det er

Bevis. Ved å bruke definisjonen av grad og teorem 1 i denne delen får vi:

Q.E.D.

For eksempel, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Muntlig) Bestem X fra ligningene:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Sett nr.) Forenkle:

520. (Sett nr.) Forenkle:

521. Presenter disse uttrykkene i form av grader med de samme grunnene:

1) 32 og 64; 3) 8 5 og 16 3; 5) 4 100 og 32 50;

2) -1000 og 100; 4) -27 og -243; 6) 81 75 8 200 og 3 600 4 150.

Gradbegrepet i matematikk er introdusert i 7. klasse i algebraklassen. Og deretter, gjennom hele kurset med å studere matematikk, brukes dette konseptet aktivt i sine forskjellige former. Grader er et ganske vanskelig emne, som krever memorering av verdier og evnen til å telle riktig og raskt. For å jobbe med grader raskere og bedre, kom matematikere opp med gradsegenskaper. De bidrar til å redusere store beregninger, konvertere et stort eksempel til et enkelt tall til en viss grad. Det er ikke så mange egenskaper, og alle er enkle å huske og bruke i praksis. Derfor diskuterer artikkelen de grunnleggende egenskapene til graden, samt hvor de brukes.

Gradens egenskaper

Vi skal se på 12 egenskaper for grader, inkludert egenskaper for grader med samme base, og gi et eksempel for hver egenskap. Hver av disse egenskapene vil hjelpe deg med å løse problemer med grader raskere, og vil også spare deg for en rekke beregningsfeil.

1. eiendom.

Mange mennesker glemmer ofte denne egenskapen og gjør feil, og representerer et tall til null potens som null.

2. eiendom.

3. eiendom.

Det må huskes at denne egenskapen kun kan brukes når man multipliserer tall, den fungerer ikke med en sum! Og vi må ikke glemme at denne og de følgende egenskapene gjelder kun for krefter med samme baser.

4. eiendom.

Hvis et tall i nevneren heves til en negativ potens, blir graden av nevneren tatt i parentes ved subtrahering for å endre tegnet korrekt i videre beregninger.

Eiendommen fungerer kun ved deling, den gjelder ikke ved fratrekk!

5. eiendom.

6. eiendom.

Denne egenskapen kan også brukes i motsatt retning. En enhet delt på et tall til en viss grad er dette tallet til minusgraden.

7. eiendom.

Denne egenskapen kan ikke brukes på sum og forskjell! Å heve en sum eller forskjell til en potens bruker forkortede multiplikasjonsformler i stedet for potensegenskaper.

8. eiendom.

9. eiendom.

Denne egenskapen fungerer for enhver brøkpotens med en teller lik én, formelen vil være den samme, bare potensen til roten vil endre seg avhengig av potensens nevner.

Denne egenskapen brukes også ofte i revers. Roten til enhver potens av et tall kan representeres som tallet i potensen av en dividert med kraften til roten. Denne egenskapen er veldig nyttig i tilfeller der roten til et tall ikke kan trekkes ut.

10. eiendom.

Denne egenskapen fungerer ikke bare med kvadratrøtter og andre potenser. Hvis graden av roten og graden av denne roten heves sammenfaller, så vil svaret være et radikalt uttrykk.

11. eiendom.

Du må være i stand til å se denne egenskapen i tide når du løser den for å redde deg selv fra store beregninger.

12. eiendom.

Hver av disse egenskapene vil komme over deg mer enn én gang i oppgaver det kan gis i sin rene form, eller det kan kreve noen transformasjoner og bruk av andre formler. Derfor, for å ta den riktige avgjørelsen, er det ikke nok å bare kjenne til egenskapene du trenger for å øve på og innlemme annen matematisk kunnskap.

Anvendelse av grader og deres egenskaper

De brukes aktivt i algebra og geometri. Grader i matematikk har en egen, viktig plass. Med deres hjelp løses eksponentielle likninger og ulikheter, og likninger og eksempler relatert til andre grener av matematikken blir ofte komplisert av potenser. Potenser bidrar til å unngå store og langvarige beregninger; Men for å jobbe med store krefter, eller med krefter av store tall, må du ikke bare kjenne til egenskapene til kraften, men også jobbe kompetent med baser, kunne utvide dem for å gjøre oppgaven din enklere. For enkelhets skyld bør du også vite betydningen av tall hevet til en potens. Dette vil redusere tiden din når du løser, og eliminerer behovet for lange beregninger.

Gradbegrepet spiller en spesiell rolle i logaritmer. Siden logaritmen i hovedsak er en potens av et tall.

Forkortede multiplikasjonsformler er et annet eksempel på bruk av potenser. Egenskapene til grader kan ikke brukes i dem, de utvides i henhold til spesielle regler, men i hver formel for forkortet multiplikasjon er det alltid grader.

Grader brukes også aktivt i fysikk og informatikk. Alle konverteringer til SI-systemet gjøres ved hjelp av potenser, og i fremtiden, når man løser problemer, brukes egenskapene til kraften. I informatikk brukes potenser av to aktivt for å gjøre det enklere å telle og forenkle oppfatningen av tall. Ytterligere beregninger for å konvertere måleenheter eller beregninger av problemer, akkurat som i fysikk, skjer ved å bruke egenskapene til grader.

Grader er også svært nyttige i astronomi, hvor man sjelden ser bruken av egenskapene til en grad, men selve gradene brukes aktivt for å forkorte notasjonen av ulike størrelser og avstander.

Grader brukes også i hverdagen ved beregning av arealer, volumer og avstander.

Grader brukes til å registrere veldig store og veldig små mengder innen alle vitenskapsfelt.

Eksponentielle ligninger og ulikheter

Egenskaper til grader inntar en spesiell plass nettopp i eksponentielle ligninger og ulikheter. Disse oppgavene er svært vanlige, både i skolekurs og på eksamen. Alle løses ved å bruke gradens egenskaper. Det ukjente finnes alltid i selve graden, så å kjenne alle egenskapene, løse en slik ligning eller ulikhet er ikke vanskelig.

Vi minner deg om at i denne leksjonen vil vi forstå egenskaper til grader med naturlige indikatorer og null. Potenser med rasjonelle eksponenter og deres egenskaper vil bli diskutert i leksjoner for 8. klasse.

En potens med naturlig eksponent har flere viktige egenskaper som gjør at vi kan forenkle beregninger i eksempler med potenser.

Eiendom nr. 1
Produkt av makter

Huske!

Når potenser multipliseres med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og potensenes eksponenter adderes.

a m · a n = a m + n, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

Denne egenskapen til potenser gjelder også produktet av tre eller flere potenser.

• Forenkle uttrykket.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Presenter det som en grad.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Presenter det som en grad.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Viktig!

Vær oppmerksom på at i den angitte egenskapen snakket vi kun om å multiplisere potenser med på samme grunnlag . Det gjelder ikke tillegget deres.

Du kan ikke erstatte summen (3 3 + 3 2) med 3 5. Dette er forståelig hvis
antall (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, og 3 5 = 243

Eiendom nr. 2
Delgrader

Huske!

Når du deler potenser med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og eksponenten til divisoren trekkes fra eksponenten til utbyttet.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Eksempel. Løs ligningen. Vi bruker egenskapen til kvotekrefter.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Svar: t = 3 4 = 81

Ved å bruke egenskap nr. 1 og nr. 2 kan du enkelt forenkle uttrykk og utføre beregninger.

• Eksempel. Forenkle uttrykket.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Eksempel. Finn verdien av et uttrykk ved å bruke egenskapene til eksponenter.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Viktig!

  Vær oppmerksom på at i Eiendom 2 snakket vi kun om å dele potenser med samme grunnlag.

  Du kan ikke erstatte differansen (4 3 −4 2) med 4 1. Dette er forståelig hvis du teller (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , og 4 1 = 4

  Vær forsiktig!

  Eiendom nr. 3
  Å heve en grad til en makt

  Huske!

  Når du hever en grad til en potens, forblir basisen til graden uendret, og eksponentene multipliseres.

  (a n) m = a n · m, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

  
  

  Egenskaper 4
  Produktkraft

  Huske!

  Når man hever et produkt til en makt, blir hver av faktorene hevet til en potens. De oppnådde resultatene multipliseres deretter.

  (a b) n = a n b n, hvor "a", "b" er alle rasjonelle tall; "n" er et hvilket som helst naturlig tall.

  • Eksempel 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Eksempel 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Viktig!

  Vær oppmerksom på at egenskap nr. 4, i likhet med andre egenskaper av grader, også brukes i omvendt rekkefølge.

  (a n · b n)= (a · b) n

  Det vil si at for å multiplisere potenser med de samme eksponentene, kan du multiplisere basene, men la eksponenten være uendret.

  • Eksempel. Regne ut.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Eksempel. Regne ut.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  I mer komplekse eksempler kan det være tilfeller der multiplikasjon og divisjon må utføres over potenser med forskjellige grunner og forskjellige eksponenter. I dette tilfellet anbefaler vi deg å gjøre følgende.

  For eksempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Et eksempel på å heve en desimal til en potens.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Egenskaper 5
  Kraften til en kvotient (brøk)

  Huske!

  For å heve en kvotient til en potens, kan du heve utbyttet og divisoren separat til denne potensen, og dele det første resultatet med det andre.

  (a: b) n = a n: b n, der "a", "b" er alle rasjonelle tall, b ≠ 0, n er et hvilket som helst naturlig tall.

  • Eksempel. Presenter uttrykket som en maktkvotient.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Vi minner om at en kvotient kan representeres som en brøk. Derfor vil vi dvele ved temaet å heve en brøk til en potens mer detaljert på neste side.

I den siste videoleksjonen lærte vi at graden av en bestemt base er et uttrykk som representerer produktet av basen i seg selv, tatt i en mengde lik eksponenten. La oss nå studere noen av maktens viktigste egenskaper og operasjoner.

La oss for eksempel multiplisere to forskjellige potenser med samme grunntall:

La oss presentere dette arbeidet i sin helhet:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Etter å ha beregnet verdien av dette uttrykket, får vi tallet 32. På den annen side, som man kan se fra samme eksempel, kan 32 representeres som produktet av samme grunntall (to), tatt 5 ganger. Og faktisk, hvis du teller det, så:

Dermed kan vi trygt konkludere med at:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Denne regelen fungerer vellykket for alle indikatorer og grunner. Denne egenskapen til potensmultiplikasjon følger av regelen om at betydningen av uttrykk bevares under transformasjoner i et produkt. For enhver base a, er produktet av to uttrykk (a)x og (a)y lik a(x + y). Med andre ord, når noen uttrykk med samme base produseres, har den resulterende monomialen en total grad dannet ved å legge til gradene til det første og andre uttrykket.

Den presenterte regelen fungerer også utmerket når du multipliserer flere uttrykk. Hovedbetingelsen er at alle har samme grunnlag. For eksempel:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Det er umulig å legge til grader, og faktisk å utføre noen maktbaserte felleshandlinger med to elementer av et uttrykk hvis deres grunnlag er forskjellige.
Som videoen vår viser, på grunn av likheten mellom prosessene for multiplikasjon og divisjon, blir reglene for å legge til krefter i et produkt perfekt overført til divisjonsprosedyren. Tenk på dette eksemplet:

La oss transformere uttrykket begrep for begrep til sin fulle form og redusere de samme elementene i utbyttet og divisoren:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Sluttresultatet av dette eksemplet er ikke så interessant, for allerede i prosessen med å løse det er det klart at verdien av uttrykket er lik kvadratet av to. Og det er to som oppnås ved å trekke graden av det andre uttrykket fra graden til det første.

For å bestemme graden av kvotienten, er det nødvendig å trekke divisorgraden fra graden av utbytte. Regelen fungerer med samme grunnlag for alle sine verdier og for alle naturlige krefter. I form av abstraksjon har vi:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Fra regelen om å dele identiske baser med grader, følger definisjonen for nullgraden. Åpenbart ser følgende uttrykk slik ut:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

På den annen side, hvis vi gjør inndelingen på en mer visuell måte, får vi:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Når du reduserer alle synlige elementer i en brøk, oppnås alltid uttrykket 1/1, det vil si en. Derfor er det generelt akseptert at enhver base hevet til null potens er lik en:

Uavhengig av verdien av en.

Imidlertid ville det være absurd hvis 0 (som fortsatt gir 0 for enhver multiplikasjon) på en eller annen måte er lik én, så et uttrykk for formen (0) 0 (null til null potens) gir rett og slett ikke mening, og formel ( a) 0 = 1 legg til en betingelse: "hvis a ikke er lik 0."

La oss løse øvelsen. La oss finne verdien av uttrykket:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Siden basen er den samme overalt og lik 34, vil sluttverdien ha samme base med en grad (i henhold til reglene ovenfor):

Med andre ord:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Svar: uttrykket er lik en.

Hvorfor trengs grader?

Hvor trenger du dem?

Hvorfor bør du ta deg tid til å studere dem?

For å finne ut ALT OM GRADER, les denne artikkelen.

Og selvfølgelig vil kunnskap om grader bringe deg nærmere å bestå Unified State Exam.

Og til opptak til drømmeuniversitetet!

La oss gå... (La oss gå!)

FØRSTE NIVÅ

Eksponentiering er en matematisk operasjon akkurat som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon.

Nå skal jeg forklare alt på menneskelig språk ved å bruke veldig enkle eksempler. Vær forsiktig. Eksemplene er elementære, men forklarer viktige ting.

La oss starte med tillegg.

Det er ingenting å forklare her. Du vet allerede alt: vi er åtte. Alle har to flasker cola. Hvor mye cola er det? Det stemmer - 16 flasker.

Nå multiplikasjon.

Det samme eksempelet med cola kan skrives annerledes: . Matematikere er utspekulerte og late mennesker. De legger først merke til noen mønstre, og finner deretter ut en måte å "telle" dem raskere. I vårt tilfelle la de merke til at hver av de åtte personene hadde like mange colaflasker og kom opp med en teknikk kalt multiplikasjon. Enig, det anses som enklere og raskere enn.

Så for å telle raskere, enklere og uten feil, trenger du bare å huske gangetabell. Selvfølgelig kan du gjøre alt langsommere, vanskeligere og med feil! Men…

Her er multiplikasjonstabellen. Gjenta.

Og en annen, vakrere en:

Hvilke andre smarte telletriks har late matematikere funnet på? Ikke sant - heve et tall til en makt.

Å heve et tall til en makt

Hvis du trenger å multiplisere et tall med seg selv fem ganger, så sier matematikere at du må heve det tallet til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker at to til femte potens er... Og de løser slike problemer i hodet - raskere, enklere og uten feil.

Alt du trenger å gjøre er husk hva som er uthevet i farger i tabellen over tallkrefter. Tro meg, dette vil gjøre livet ditt mye enklere.

Forresten, hvorfor kalles det andre grad? torget tall, og den tredje - kube? Hva betyr det? Veldig godt spørsmål. Nå vil du ha både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

La oss starte med kvadratet eller andre potens av tallet.

Se for deg et kvadratisk basseng som måler én meter ganger én meter. Bassenget er på din dacha. Det er varmt og jeg har veldig lyst til å svømme. Men... bassenget har ingen bunn! Du må dekke bunnen av bassenget med fliser. Hvor mange fliser trenger du? For å bestemme dette, må du kjenne til bunnområdet av bassenget.

Du kan ganske enkelt regne ut ved å vise fingeren at bunnen av bassenget består av meter for meter terninger. Hvis du har fliser en meter ganger en meter, trenger du brikker. Det er enkelt... Men hvor har du sett slike fliser? Flisen vil mest sannsynlig være cm for cm. Og så vil du bli torturert ved å "telle med fingeren". Da må du multiplisere. Så på den ene siden av bunnen av bassenget vil vi montere fliser (stykker) og på den andre også fliser. Multipliser med og du får fliser ().

La du merke til at for å bestemme arealet av bassengbunnen multipliserte vi det samme tallet med seg selv? Hva betyr det? Siden vi multipliserer det samme tallet, kan vi bruke "eksponentieringsteknikken". (Selvfølgelig, når du bare har to tall, må du fortsatt multiplisere dem eller heve dem til en potens. Men hvis du har mange av dem, er det mye lettere å heve dem til en potens, og det er også færre feil i beregningene For Unified State-eksamenen er dette veldig viktig).
Så, tretti til andre potens vil være (). Eller vi kan si at tretti kvadrat vil være. Med andre ord, andre potens av et tall kan alltid representeres som et kvadrat. Og omvendt, hvis du ser en firkant, er det ALLTID andre potens av et tall. Et kvadrat er et bilde av andre potens av et tall.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en oppgave for deg: tell hvor mange ruter det er på sjakkbrettet ved å bruke kvadratet av tallet... På den ene siden av cellene og på den andre også. For å beregne antallet deres må du gange åtte med åtte eller... hvis du legger merke til at et sjakkbrett er en firkant med en side, kan du kvadrat åtte. Du vil få celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nå er kuben eller tredje potens av et tall. Det samme bassenget. Men nå må du finne ut hvor mye vann som må helles i dette bassenget. Du må beregne volumet. (Volumer og væsker måles forresten i kubikkmeter. Uventet, ikke sant?) Tegn et basseng: bunnen er en meter stor og en meter dyp, og prøv å regne ut hvor mange kuber som måler en meter ganger en meter vil passer inn i bassenget ditt.

Bare pek fingeren og tell! En, to, tre, fire ... tjueto, tjuetre ... Hvor mange fikk du? Ikke tapt? Er det vanskelig å telle med fingeren? Så det! Ta et eksempel fra matematikere. De er late, så de la merke til at for å beregne volumet til bassenget, må du multiplisere lengden, bredden og høyden med hverandre. I vårt tilfelle vil volumet til bassenget være lik kuber... Lettere, ikke sant?

Tenk deg nå hvor late og utspekulerte matematikere er hvis de forenklet dette også. Vi reduserte alt til én handling. De la merke til at lengden, bredden og høyden er like og at samme tall multipliseres med seg selv... Hva betyr dette? Dette betyr at du kan dra nytte av graden. Så det du en gang telte med fingeren, gjør de i én handling: tre terninger er lik. Det er skrevet slik:.

Alt som gjenstår er husk tabellen over grader. Med mindre du selvfølgelig er like lat og utspekulert som matematikere. Hvis du liker å jobbe hardt og gjøre feil, kan du fortsette å telle med fingeren.

Vel, for å endelig overbevise deg om at grader ble oppfunnet av sluttere og utspekulerte mennesker for å løse sine livsproblemer, og ikke for å skape problemer for deg, her er et par eksempler til fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. Ved begynnelsen av hvert år, for hver million du tjener, tjener du en million til. Det vil si at hver million du har dobles i begynnelsen av hvert år. Hvor mye penger vil du ha om år? Hvis du sitter nå og «teller med fingeren», så er du en veldig hardtarbeidende person og... dum. Men mest sannsynlig gir du svar om et par sekunder, for du er smart! Så, i det første året - to multiplisert med to... i det andre året - hva skjedde, med to til, i det tredje året... Stopp! Du la merke til at tallet multipliseres med seg selv ganger. Så to til femte potens er en million! Tenk deg nå at du har en konkurranse og den som kan telle raskest vil få disse millionene... Det er verdt å huske tallenes krefter, synes du ikke?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begynnelsen av hvert år tjener du to til for hver million. Flott er det ikke? Hver million tredobles. Hvor mye penger vil du ha i løpet av et år? La oss telle. Det første året - multipliser med, deretter resultatet med et annet ... Det er allerede kjedelig, fordi du allerede har forstått alt: tre ganges med seg selv ganger. Så til fjerde potens er det lik en million. Du må bare huske at tre til fjerde potens er eller.

Nå vet du at ved å heve et tall til en makt vil du gjøre livet ditt mye enklere. La oss se nærmere på hva du kan gjøre med grader og hva du trenger å vite om dem.

Termer og begreper... for ikke å bli forvirret

Så la oss først definere konseptene. Hva tror du, hva er en eksponent? Det er veldig enkelt - det er tallet som er "øverst" av potensen til tallet. Ikke vitenskapelig, men tydelig og lett å huske...

Vel, på samme tid, hva et slikt gradsgrunnlag? Enda enklere - dette er nummeret som er plassert under, ved basen.

Her er en tegning for godt mål.

Vel, i generelle termer, for å generalisere og huske bedre ... En grad med en base " " og en eksponent " " leses som "til den grad" og skrives som følger:

Potensen til et tall med naturlig eksponent

Du har sikkert allerede gjettet: fordi eksponenten er et naturlig tall. Ja, men hva er det naturlig tall? Elementært! Naturlige tall er de tallene som brukes til å telle når objekter listes opp: en, to, tre... Når vi teller objekter, sier vi ikke: «minus fem», «minus seks», «minus sju». Vi sier heller ikke: «en tredjedel» eller «null komma fem». Dette er ikke naturlige tall. Hvilke tall tror du dette er?

Tall som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tall. Generelt inkluderer heltall alle naturlige tall, tall motsatt naturlige tall (det vil si tatt med et minustegn) og tall. Null er lett å forstå - det er når det ikke er noe. Hva betyr negative ("minus") tall? Men de ble først og fremst oppfunnet for å indikere gjeld: hvis du har en saldo på telefonen i rubler, betyr dette at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rasjonelle tall. Hvordan oppsto de, tror du? Veldig enkelt. For flere tusen år siden oppdaget våre forfedre at de manglet naturlige tall for å måle lengde, vekt, areal osv. Og de kom på rasjonelle tall... Interessant, ikke sant?

Det finnes også irrasjonelle tall. Hva er disse tallene? Kort sagt, det er en uendelig desimalbrøk. For eksempel, hvis du deler omkretsen av en sirkel på diameteren, får du et irrasjonelt tall.

Sammendrag:

La oss definere konseptet med en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

1. Ethvert tall i første potens er lik seg selv:
2. Å kvadrere et tall betyr å multiplisere det med seg selv:
3. Å kube et tall betyr å multiplisere det med seg selv tre ganger:

Definisjon.Å heve et tall til en naturlig potens betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:
.

Egenskaper til grader

Hvor kom disse egenskapene fra? Jeg skal vise deg nå.

La oss se: hva er det Og ?

A-priory:

Hvor mange multiplikatorer er det totalt?

Det er veldig enkelt: vi la til multiplikatorer til faktorene, og resultatet er multiplikatorer.

Men per definisjon er dette en potens av et tall med en eksponent, det vil si: , som er det som måtte bevises.

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle uttrykket.

Løsning: Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene!
Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det forblir en egen faktor:

bare for produktet av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

2. det er det potensen til et tall

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt:

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive?

Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base

Frem til dette punktet har vi bare diskutert hva eksponenten skal være.

Men hva skal ligge til grunn?

I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall. Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall.

La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ? Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med, fungerer det.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarte du deg?

Her er svarene: I de fire første eksemplene håper jeg alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt.

Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt!

6 eksempler å øve på

Analyse av løsningen 6 eksempler

Hel vi kaller de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet " ") og tallet.

positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Ethvert tall i null potens er lik en:

Som alltid, la oss spørre oss selv: hvorfor er det slik?

La oss vurdere en viss grad med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og vi fikk det samme som det var - . Hvilket tall skal du gange med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, vil du fortsatt få null, dette er klart. Men på den annen side, som et hvilket som helst tall til null potens, må det være likt. Så hvor mye av dette er sant? Matematikerne bestemte seg for ikke å involvere seg og nektet å heve null til null potens. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall også negative tall. For å forstå hva en negativ potens er, la oss gjøre som forrige gang: multiplisere et normalt tall med det samme tallet til en negativ potens:

Herfra er det enkelt å uttrykke hva du leter etter:

La oss nå utvide den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere en regel:

Et tall med negativ potens er det gjensidige av samme tall med positiv potens. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dele med).

La oss oppsummere:

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler på uavhengige løsninger:

Analyse av problemer for uavhengig løsning:

Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på Unified State-eksamenen må du være forberedt på hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningene deres hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære å takle dem enkelt i eksamen!

La oss fortsette å utvide rekkevidden av tall "egnet" som eksponent.

La oss nå vurdere rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er heltall, og.

For å forstå hva det er "brøkdel grad", tenk på brøken:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

La oss nå huske regelen om "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av den te potensen til et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th potens er den omvendte operasjonen av å heve til en potens: .

Det viser seg at. Selvfølgelig kan dette spesielle tilfellet utvides: .

Nå legger vi til telleren: hva er det? Svaret er enkelt å få ved å bruke makt-til-kraft-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

La oss huske regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut jevne røtter fra negative tall!

Dette betyr at slike tall ikke kan heves til en brøkpotens med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykket?

Men her oppstår et problem.

Et tall kan representeres som andre, reduserbare brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det eksisterer, men ikke eksisterer, men dette er bare to forskjellige poster med samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver ned indikatoren annerledes, vil vi igjen få problemer: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurderer vi bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

• - naturlig tall;
• - heltall;

Eksempler:

Rasjonelle eksponenter er veldig nyttige for å transformere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 eksempler å øve på

Analyse av 5 eksempler for trening

Vel, nå kommer den vanskeligste delen. Nå skal vi finne ut av det grad med irrasjonell eksponent.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak

Tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...tall til null potens- dette er, som det var, et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tomt tall" , nemlig et tall;

...negativ heltallsgrad- det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer å løse slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med den vanlige regelen for å heve en makt til en makt:

AVANSERT NIVÅ

Fastsettelse av grad

En grad er et uttrykk for formen: , hvor:

• — grad base;
• - eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Grad med en heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

Konstruksjon til null grad:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er negativt heltall Antall:

(fordi du ikke kan dele med).

Nok en gang om nuller: uttrykket er ikke definert i kasus. Hvis da.

Eksempler:

Kraft med rasjonell eksponent

• - naturlig tall;
• - heltall;

Eksempler:

Egenskaper til grader

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

A-priory:

Så på høyre side av dette uttrykket får vi følgende produkt:

Men per definisjon er det en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene. Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det er fortsatt en egen faktor:

En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkt av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

La oss omorganisere dette arbeidet slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt: !

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base.

Til nå har vi bare diskutert hvordan det skal være indeks grader. Men hva skal ligge til grunn? I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med (), får vi - .

Og så videre i det uendelige: med hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Følgende enkle regler kan formuleres:

1. til og med grad, - antall positivt.
2. Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
3. Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
4. Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis vi husker det, blir det klart det, som betyr at basen er mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem på hverandre, deler dem i par og får:

Før vi ser på den siste regelen, la oss løse noen eksempler.

Regn ut uttrykkene:

Løsninger :

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle det:

Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver er det totalt? ganger med multiplikatorer - hva minner dette deg om? Dette er ikke annet enn en definisjon av en operasjon multiplikasjon: Det var bare multiplikatorer der. Det vil si at dette per definisjon er en potens av et tall med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

I tillegg til informasjon om grader for gjennomsnittsnivået, vil vi analysere graden med en irrasjonell eksponent. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle tall).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall til null potens er så å si et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare et visst "blankt nummer", nemlig et tall; en grad med en negativ heltallseksponent - det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Det er snarere et rent matematisk objekt som matematikere skapte for å utvide gradsbegrepet til hele tallrommet.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell eksponent? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1)

2)

3)

Svar:

SAMMENDRAG AV SEKSJONEN OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grad kalt et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med en heltallseksponent

en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Kraft med rasjonell eksponent

grad, hvis eksponent er negative tall og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

en grad hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Egenskaper til grader

Funksjoner av grader.

• Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
• Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
• Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
• Null er lik enhver potens.
• Ethvert tall i nullpotens er lik.

NÅ HAR DU ORDET...

Hvordan liker du artikkelen? Skriv nedenfor i kommentarfeltet om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med gradsegenskaper.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!

Nå er det viktigste.

Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

For å ha bestått Unified State-eksamenen, for å gå inn på college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...

Folk som har fått en god utdannelse tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er MER LYKKELIG (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?

FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.

Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.

Du vil trenge løse problemer mot tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.

Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.

Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen -
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - Kjøp en lærebok - 899 RUR

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.

For å konkludere...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.

«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs dem!