Legge til brøker med like nevnere
Det er to typer addisjon av brøker:
- Legge til brøker med like nevnere
- Legge til brøker med forskjellige nevnere
La oss først lære å legge til brøker med like nevnere. Alt er enkelt her. For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere og la nevneren være uendret. La oss for eksempel legge til brøkene og . Legg til tellerne og la nevneren være uendret:
Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i fire deler. Legger du pizza til pizza, får du pizza:
Eksempel 2. Legg til brøker og .
Svaret viste seg å være Ikke riktig brøk. Når slutten av oppgaven kommer, er det vanlig å kvitte seg med upassende brøker. For å bli kvitt en upassende brøkdel, må du velge hele delen av den. I vårt tilfelle hele delen skiller seg lett ut - to delt på to er lik en:
Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker om en pizza som er delt i to deler. Legger du til mer pizza i pizzaen, får du en hel pizza:
Eksempel 3. Legg til brøker og .
Igjen legger vi sammen tellerne og lar nevneren være uendret:
Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i tre deler. Legger du til mer pizza i pizzaen får du pizza:
Eksempel 4. Finn verdien av et uttrykk 
Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Tellerne må legges til og nevneren holdes uendret:
La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Legger du pizza til en pizza og legger til flere pizzaer, får du 1 hel pizza og flere pizzaer.
Som du kan se, er det ikke noe komplisert ved å legge til brøker med samme nevnere. Det er nok å forstå følgende regler:
- For å legge til brøker med samme nevner, må du legge til deres tellere og la nevneren være uendret;
Legge til brøker med forskjellige nevnere
La oss nå lære hvordan du legger til brøker med forskjellige nevnere. Når du legger til brøker, må nevnerne til brøkene være de samme. Men de er ikke alltid like.
For eksempel kan brøker legges til fordi de har samme nevnere.
Men brøker kan ikke legges til med en gang, siden disse brøkene ulike nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.
Det er flere måter å redusere brøker til samme nevner. I dag skal vi se på bare en av dem, siden de andre metodene kan virke kompliserte for en nybegynner.
Essensen av denne metoden er at først LCM for nevnerne til begge brøkene søkes. LCM deles deretter med nevneren til den første brøken for å oppnå den første tilleggsfaktoren. De gjør det samme med den andre brøken - LCM deles på nevneren til den andre brøken og en andre tilleggsfaktor oppnås.
Tellerne og nevnerne til brøkene multipliseres deretter med tilleggsfaktorene deres. Som et resultat av disse handlingene blir brøker som hadde forskjellige nevnere til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker.
Eksempel 1. La oss legge til brøkene og
Først og fremst finner vi det minste felles multiplum av nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Minste felles multiplum av disse tallene er 6
LCM (2 og 3) = 6
La oss nå gå tilbake til brøker og . Del først LCM med nevneren til den første brøken og få den første tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 6 med 3, vi får 2.
Det resulterende tallet 2 er den første tilleggsmultiplikatoren. Vi skriver det ned til den første brøken. For å gjøre dette, lag en liten skrå linje over brøken og skriv ned tilleggsfaktoren som finnes over den:
Vi gjør det samme med den andre brøken. Vi deler LCM med nevneren til den andre brøken og får den andre tilleggsfaktoren. LCM er tallet 6, og nevneren til den andre brøken er tallet 2. Del 6 med 2, vi får 3.
Det resulterende tallet 3 er den andre tilleggsmultiplikatoren. Vi skriver det ned til den andre brøken. Igjen lager vi en liten skrå linje over den andre brøken og skriver ned tilleggsfaktoren som finnes over den:
Nå har vi alt klart for tillegg. Det gjenstår å multiplisere tellerne og nevnerne til brøkene med deres tilleggsfaktorer:
Se nøye på hva vi har kommet til. Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevner ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi legger til slike brøker. La oss ta dette eksemplet til slutten:
Dette fullfører eksemplet. Det viser seg å legge til.
La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Legger du pizza til en pizza, får du en hel pizza og en annen sjettedel av en pizza:
Å redusere brøker til samme (felles)nevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å redusere brøkene og til en fellesnevner, fikk vi brøkene og . Disse to brøkene vil bli representert av de samme pizzastykkene. Den eneste forskjellen vil være at de denne gangen deles i like deler (redusert til samme nevner).
Den første tegningen representerer en brøk (fire stykker av seks), og den andre tegningen representerer en brøk (tre stykker av seks). Ved å legge til disse bitene får vi (syv av seks). Denne brøkdelen er upassende, så vi fremhevet hele delen av den. Som et resultat fikk vi (en hel pizza og en annen sjette pizza).
Vær oppmerksom på at vi har beskrevet dette eksemplet for detaljert. I utdanningsinstitusjoner Det er ikke vanlig å skrive så detaljert. Du må raskt kunne finne LCM for både nevnerne og tilleggsfaktorene til dem, samt raskt multiplisere de funnet tilleggsfaktorene med tellerne og nevnerne dine. Hvis vi var på skolen, ville vi måtte skrive dette eksemplet som følger:
Men det er også baksiden medaljer. Hvis du ikke tar detaljerte notater i de første stadiene av å studere matematikk, begynner slike spørsmål å dukke opp. "Hvor kommer det tallet fra?", "Hvorfor blir brøker plutselig til helt andre brøker? «.
For å gjøre det enklere å legge til brøker med forskjellige nevnere, kan du bruke følgende trinnvise instruksjoner:
- Finn LCM for nevnerne til brøker;
- Del LCM med nevneren for hver brøk og få en ekstra faktor for hver brøk;
- Multipliser tellerne og nevnerne til brøker med tilleggsfaktorene deres;
- Legg til brøker som har samme nevnere;
- Hvis svaret viser seg å være en uekte brøk, velg hele delen;
Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk 
.
La oss bruke instruksjonene ovenfor.
Trinn 1. Finn LCM for nevnerne til brøkene
Finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevnerne for brøker er tallene 2, 3 og 4
Trinn 2. Del LCM med nevneren for hver brøk og få en tilleggsfaktor for hver brøk
Del LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 2. Del 12 med 2, vi får 6. Vi fikk den første tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den første brøken:
Nå deler vi LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 12 med 3, vi får 4. Vi får den andre tilleggsfaktoren 4. Vi skriver den over den andre brøken:
Nå deler vi LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den tredje brøken er tallet 4. Del 12 med 4, vi får 3. Vi får den tredje tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den tredje brøken:
Trinn 3. Multipliser tellerne og nevnerne til brøkene med tilleggsfaktorene deres
Vi multipliserer tellerne og nevnerne med tilleggsfaktorene deres:
Trinn 4. Legg til brøker med samme nevnere
Vi kom frem til at brøker som hadde ulike nevnere ble til brøker som hadde samme (felles)nevnere. Alt som gjenstår er å legge til disse brøkene. Legg det til:
Addisjonen passet ikke på én linje, så vi flyttet det gjenværende uttrykket til neste linje. Dette er tillatt i matematikk. Når et uttrykk ikke passer på en linje, flyttes det til neste linje, og det er nødvendig å sette et likhetstegn (=) på slutten av den første linjen og i begynnelsen av den nye linjen. Likhetstegnet på den andre linjen indikerer at dette er en fortsettelse av uttrykket som var på den første linjen.
Trinn 5. Hvis svaret viser seg å være en uekte brøkdel, velg hele delen av det
Svaret vårt viste seg å være en upassende brøkdel. Vi må fremheve en hel del av det. Vi fremhever:
Vi fikk svar
Å trekke fra brøker med like nevnere
Det er to typer subtraksjon av brøker:
- Å trekke fra brøker med like nevnere
- Å trekke fra brøker med forskjellige nevnere
Først, la oss lære hvordan du trekker fra brøker med like nevnere. Alt er enkelt her. For å trekke en annen fra en brøk, må du trekke telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, men la nevneren være den samme.
La oss for eksempel finne verdien av uttrykket . For å løse dette eksemplet må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være uendret. La oss gjøre dette:
Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i fire deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:
Eksempel 2. Finn verdien av uttrykket.
Igjen, fra telleren til den første brøken, trekk fra telleren til den andre brøken, og la nevneren være uendret:
Dette eksemplet kan lett forstås hvis vi husker pizzaen, som er delt inn i tre deler. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza:
Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk 
Dette eksemplet er løst på nøyaktig samme måte som de forrige. Fra telleren til den første brøken må du trekke fra tellerne til de gjenværende brøkene:
Som du kan se, er det ikke noe komplisert ved å trekke fra brøker med de samme nevnerne. Det er nok å forstå følgende regler:
- For å subtrahere en annen fra en brøk, må du trekke fra telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være uendret;
- Hvis svaret viser seg å være en upassende brøkdel, må du markere hele delen av det.
Å trekke fra brøker med forskjellige nevnere
For eksempel kan du trekke en brøk fra en brøk fordi brøkene har samme nevnere. Men du kan ikke trekke en brøk fra en brøk, siden disse brøkene har forskjellige nevnere. I slike tilfeller må brøker reduseres til samme (felles)nevner.
Fellesnevneren er funnet ved å bruke samme prinsipp som vi brukte når vi adderte brøker med forskjellige nevnere. Først av alt, finn LCM for nevnerne til begge brøkene. Deretter divideres LCM med nevneren til den første brøken og den første tilleggsfaktoren oppnås, som er skrevet over den første brøken. På samme måte deles LCM med nevneren til den andre brøken og en andre tilleggsfaktor oppnås, som er skrevet over den andre brøken.
Brøkene multipliseres deretter med tilleggsfaktorene. Som et resultat av disse operasjonene konverteres brøker som hadde forskjellige nevnere til brøker som har samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker.
Eksempel 1. Finn betydningen av uttrykket:
Disse brøkene har forskjellige nevnere, så du må redusere dem til samme (felles) nevner.
Først finner vi LCM for nevnerne til begge brøkene. Nevneren til den første brøken er tallet 3, og nevneren til den andre brøken er tallet 4. Minste felles multiplum av disse tallene er 12
LCM (3 og 4) = 12
La oss nå gå tilbake til brøker og
La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. For å gjøre dette, del LCM med nevneren til den første brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den første brøken er tallet 3. Del 12 med 3, vi får 4. Skriv en firer over den første brøken:
Vi gjør det samme med den andre brøken. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 12, og nevneren til den andre brøken er tallet 4. Del 12 med 4, vi får 3. Skriv en treer over den andre brøken:
Nå er vi klare for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:
Vi kom frem til at brøker som hadde forskjellige nevner ble til brøker som hadde samme nevner. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker. La oss ta dette eksemplet til slutten:
Vi fikk svar
La oss prøve å skildre løsningen vår ved hjelp av en tegning. Hvis du kutter pizza fra en pizza, får du pizza
Dette detaljert versjon løsninger. Hvis vi var på skolen, måtte vi løse dette eksempelet kortere. En slik løsning vil se slik ut:
Å redusere brøker til en fellesnevner kan også avbildes ved hjelp av et bilde. Ved å redusere disse brøkene til en fellesnevner, fikk vi brøkene og . Disse brøkene vil være representert av de samme pizzaskivene, men denne gangen deles de i like deler (redusert til samme nevner):
Det første bildet viser en brøk (åtte stykker av tolv), og det andre bildet viser en brøk (tre stykker av tolv). Ved å kutte tre stykker fra åtte stykker får vi fem stykker av tolv. Brøken beskriver disse fem stykkene.
Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk 
Disse brøkene har forskjellige nevnere, så først må du redusere dem til samme (felles) nevner.
La oss finne LCM for nevnerne til disse brøkene.
Nevnerne til brøkene er tallene 10, 3 og 5. Minste felles multiplum av disse tallene er 30
LCM(10; 3; 5) = 30
Nå finner vi tilleggsfaktorer for hver brøk. For å gjøre dette, del LCM med nevneren for hver brøk.
La oss finne en tilleggsfaktor for den første brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den første brøken er tallet 10. Del 30 med 10, vi får den første tilleggsfaktoren 3. Vi skriver den over den første brøken:
Nå finner vi en tilleggsfaktor for den andre brøken. Del LCM med nevneren til den andre brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den andre brøken er tallet 3. Del 30 med 3, vi får den andre tilleggsfaktoren 10. Vi skriver den over den andre brøken:
Nå finner vi en tilleggsfaktor for den tredje brøken. Del LCM med nevneren til den tredje brøken. LCM er tallet 30, og nevneren til den tredje brøken er tallet 5. Del 30 med 5, vi får den tredje tilleggsfaktoren 6. Vi skriver den over den tredje brøken:
Nå er alt klart for subtraksjon. Det gjenstår å multiplisere brøkene med deres tilleggsfaktorer:
Vi kom frem til at brøker som hadde ulike nevnere ble til brøker som hadde samme (felles)nevnere. Og vi vet allerede hvordan vi trekker fra slike brøker. La oss avslutte dette eksemplet.
Fortsettelsen av eksemplet vil ikke passe på én linje, så vi flytter fortsettelsen til neste linje. Ikke glem likhetstegnet (=) på den nye linjen:
Svaret viste seg å være en vanlig brøk, og alt ser ut til å passe oss, men det er for tungvint og stygt. Vi bør gjøre det enklere. Hva kan bli gjort? Du kan forkorte denne brøken.
For å redusere en brøk, må du dele telleren og nevneren med (GCD) av tallene 20 og 30.
Så vi finner gcd av tallene 20 og 30:
Nå går vi tilbake til eksemplet vårt og deler telleren og nevneren av brøken med den funnet gcd, det vil si med 10
Vi fikk svar
Multiplisere en brøk med et tall
For å multiplisere en brøk med et tall, må du multiplisere telleren til den gitte brøken med det tallet og la nevneren være den samme.
Eksempel 1. Multipliser en brøk med tallet 1.
Multipliser telleren av brøken med tallet 1
Opptaket kan forstås som å ta halv 1 gang. For eksempel, hvis du tar pizza en gang, får du pizza
Fra multiplikasjonslovene vet vi at hvis multiplikaden og faktoren byttes, vil ikke produktet endres. Hvis uttrykket skrives som , vil produktet fortsatt være lik . Igjen fungerer regelen for å multiplisere et helt tall og en brøk:
Denne notasjonen kan forstås som å ta halvparten av en. For eksempel, hvis det er 1 hel pizza og vi tar halvparten av den, vil vi ha pizza:
Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk
Multipliser telleren av brøken med 4
Svaret var en uekte brøk. La oss fremheve hele delen av det:
Uttrykket kan forstås som å ta to kvarter 4 ganger. Tar du for eksempel 4 pizzaer, får du to hele pizzaer
Og hvis vi bytter ut multiplikanten og multiplikatoren, får vi uttrykket . Det vil også være lik 2. Dette uttrykket kan forstås som å ta to pizzaer fra fire hele pizzaer:
Multiplisere brøker
For å multiplisere brøker, må du multiplisere deres tellere og nevnere. Hvis svaret viser seg å være en upassende brøkdel, må du fremheve hele delen av det.
Eksempel 1. Finn verdien av uttrykket.
Vi fikk svar. Det er tilrådelig å redusere gitt brøk. Brøken kan reduseres med 2. Deretter siste avgjørelse vil ha følgende form:
Uttrykket kan forstås som å ta en pizza fra en halv pizza. La oss si at vi har en halv pizza:
Hvordan ta to tredjedeler fra denne halvdelen? Først må du dele denne halvdelen i tre like deler:
Og ta to fra disse tre delene:
Vi lager pizza. Husk hvordan pizza ser ut når den er delt i tre deler:
Ett stykke av denne pizzaen og de to stykkene vi tok vil ha samme dimensjoner:
Med andre ord, vi snakker om omtrent like stor pizza. Derfor er verdien av uttrykket
Eksempel 2. Finn verdien av et uttrykk
Multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken:
Svaret var en uekte brøk. La oss fremheve hele delen av det:
Eksempel 3. Finn verdien av et uttrykk
Multipliser telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken, og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken:
Svaret viste seg å være en vanlig brøk, men det ville vært bra om det ble forkortet. For å redusere denne brøken må du dele telleren og nevneren til denne brøken med den største felles deler(GCD) nummer 105 og 450.
Så la oss finne gcd-en til tallene 105 og 450:
Nå deler vi telleren og nevneren for svaret vårt med gcd som vi nå har funnet, det vil si med 15
Representerer et helt tall som en brøk
Ethvert heltall kan representeres som en brøk. For eksempel kan tallet 5 representeres som . Dette vil ikke endre betydningen av fem, siden uttrykket betyr "tallet fem delt på en", og dette er, som vi vet, lik fem:
Gjensidige tall
Nå skal vi bli kjent med veldig interessant emne i matematikk. Det kalles "omvendte tall".
Definisjon. Tilbake til nummeren er et tall som multiplisert meden gir en.
La oss erstatte i denne definisjonen i stedet for variabelen en nummer 5 og prøv å lese definisjonen:
Tilbake til nummer 5 er et tall som multiplisert med 5 gir en.
Er det mulig å finne et tall som, multiplisert med 5, gir ett? Det viser seg at det er mulig. La oss forestille oss fem som en brøk:
Multipliser deretter denne brøken med seg selv, bare bytt om teller og nevner. Med andre ord, la oss multiplisere brøken med seg selv, bare opp ned:
Hva vil skje som følge av dette? Hvis vi fortsetter å løse dette eksemplet, får vi ett:
Dette betyr at inversen av tallet 5 er tallet , siden når du ganger 5 med får du en.
Den gjensidige av et tall kan også finnes for et hvilket som helst annet heltall.
Du kan også finne den gjensidige av en hvilken som helst annen brøk. For å gjøre dette, bare snu den.
Å dele en brøk med et tall
La oss si at vi har en halv pizza:
La oss dele det likt mellom to. Hvor mye pizza får hver person?
Det kan sees at etter å ha delt halvparten av pizzaen, ble det oppnådd to like stykker, som hver utgjør en pizza. Så alle får en pizza.
Deling av brøker gjøres ved å bruke resiproke. Gjensidige tall lar deg erstatte divisjon med multiplikasjon.
For å dele en brøk med et tall, må du multiplisere brøken med inversen av divisor.
Ved å bruke denne regelen vil vi skrive ned delingen av vår halvdel av pizzaen i to deler.
Så du må dele brøken med tallet 2. Her er utbyttet brøken og divisoren er tallet 2.
For å dele en brøk med tallet 2, må du multiplisere denne brøken med den resiproke av divisor 2. Den resiproke av divisor 2 er brøken. Så du må gange med
Seksjon 1 NATURLIGE NUMMER OG HANDLINGER MED DEM. GEOMETRISKE FIGURE OG MENGDER
§ 15. Eksempler og problemer for alle operasjoner med naturlige tall
Når du beregner verdiene til numeriske uttrykk, bør du ikke glemme rekkefølgen av handlinger.
Rekkefølgen av handlinger bestemmes av følgende regler:
1. I uttrykk med parentes blir verdiene til uttrykkene i parentes evaluert først.
2. I uttrykk uten parentes utføres først eksponentiering, deretter multiplikasjon og divisjon, i rekkefølge fra venstre mot høyre, og deretter addisjon og subtraksjon.
Eksempel 1. Regn ut: 8 ∙ (27 + 13) - 144: 2.
Løsninger.
1) 27 + 13 = 40;
2) 8 ∙ 40 = 320;
3) 144: 2 = 72;
4) 320 - 72 = 248.
Eksempel 2. Finn verdien til uttrykket (x2 - y: 13) ∙ 145, hvis x = 12, y = 91.
Løsninger. Hvis x = 12, y = 91, så (x2 - y: 13) ∙ 145 = (122 - 91: 13) ∙ 145 = (144 - 7) ∙ 145 = 137 ∙ 145 = 19 865.
Handlingsegenskaper kan brukes der det er hensiktsmessig. For eksempel kan verdien av uttrykket 438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 beregnes som følger:
438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 = (438 - 338) ∙ 39 = 100 ∙ 39 = 3900.
Hvilke regler brukes for å bestemme rekkefølgen av handlinger ved beregning av numeriske uttrykk?
Første nivå
522. Telling (muntlig):
1) 42 + 38 - 7; 2) 24 ∙ 10: 2;
3) 27 - 30: 5; 4) 42: 6 + 35: 7;
5) 8 (23 - 19); 6) (12 + 18) : (12 - 7).
Gjennomsnittlig nivå
523. Regn ut:
1) 426 ∙ 205 - 57 816: 72;
2) (362 195 + 86 309) : 56;
3) 2001: 69 + 58 884: 84;
4) 42 275: (7005 - 6910).
524. Regn ut:
1) 535 ∙ 207 - 32 832: 76;
2) 1088: 68 + 57 442: 77;
3) (158 992 + 38 894) : 39;
4) 249 747: (4905 - 1896).
525. På 5 timer reiste skipet 175 km, og toget tilbakela 315 km på 3 timer. Hvor mange ganger er togets hastighet høyere enn skipets hastighet?
526. På 5 timer kjørte et godstog 280 km, og et hurtigtog 255 km på 3 timer. Hvor mye raskere er hastigheten til et raskt tog enn et godstog?
527. Finn betydningen av uttrykket:
1) 78 ∙ x + 3217, hvis x = 52;
2) a: 36 + a: 39, hvis a = 468;
3) x ∙ 37 - c: 25, hvis x = 15, y = 2525.
528. Finn betydningen av uttrykket:
1) 17 392 + 15 300: og, hvis a = 25, 36;
2) m ∙ 155 - t ∙ 113, hvis m = 17, t = 22.
529. For 5 penner og 3 generelle notatbøker betalt
16 UAH 70 kopek Hvor mye koster en notatbok hvis en penn koster 2 UAH? 50 kopek?
530. Tre esker epler og to esker bananer veier til sammen 144 kg. Hvor mye veier en boks med epler hvis en boks med bananer veier 24 kg?
531. Den eldste broren samlet 12 kurver med kirsebær, og den yngre broren samlet 9 kurver. Totalt samlet de inn 105 kg kirsebær. Hvor mange kilo kirsebær plukket hver bror hvis vekten på alle kurvene var lik?
532. 27 pakker med firkantede notatbøker og 25 pakker med linjerte notatbøker ble levert til butikken - 2600 stykker totalt. Hvor mange notatbøker ble tatt med i et bur og hvor mange på en linje, hvis det er like mange notatbøker i alle pakkene?
533. En datamaskinstyrt maskin produserer 12 deler per minutt, og den andre produserer 3 deler til. På hvor mange minutter vil begge maskinene, når de er slått på samtidig, produsere 945 deler?
Nok nivå
534. Samlet inn 830 kg epler. Av dem en kilo ble gitt til barnehage, og de som ble igjen ble delt likt i 30 kurver. Hvor mange kilo var det i hver kurv? Varehus bokstavelig uttrykk og beregne verdien hvis a = 110.
535. Beregn på en praktisk måte:
1) 742 + 39 + 58; 2) 973 + 115 - 273;
3) 832 - 15 - 32; 4) 2 ∙ 115 ∙ 50;
5) 29 ∙ 19 + 71 ∙ 19; 6) 192 ∙ 37 – 92 ∙ 37.
536. Fjernsynsverkstedet planla å reparere 180 fjernsyn på 12 dager, men hver dag reparerte de 3 flere fjernsyn enn planlagt. På hvor mange dager ble oppgaven fullført?
538. Finn betydningen av uttrykket:
1) (21 000 - 308 ∙ 29) : 4 + 14 147: 47;
2) 548 ∙ 307 - 8904: (33 ∙ 507 - 16 647);
3) (562 + 1833: 47) ∙ 56 - 46 ∙ 305;
4) 1789 ∙ (1677: 43 - 888: 24)∙500.
539. Finn betydningen av uttrykket:
1) (42 + 9095: 85) ∙ (7344: 36 - 154);
2) 637 ∙ 408 - 54 036: (44 ∙ 209 - 9117);
3) (830 - 17 466: 82) ∙ 65 + 57 ∙ 804;
4) 197 ∙ (588: 49 + 728: 56) ∙ 40.
540. Det ble levert 1506 kg smør til tre butikker. Etter at den første butikken solgte 152 kg, den andre - 183 kg og den tredje - 211 kg, hadde alle butikkene like mye smør igjen. Hvor mange kilo smør ble brakt til hver butikk?
541. Fra byene A og B , avstanden mellom dem er 110 km, to syklister syklet mot hverandre samtidig. Hastigheten til en av dem er 15 km/t, og den andre er 3 km/t mindre. Møtes syklistene om 4 timer?
542. Videregående elever Ivan og Vasily jobbet på en gård om sommeren. Ivan jobbet 4 timer daglig i 16 dager, og Vasily jobbet 3 timer daglig i 18 dager. Sammen tjente gutta 944 UAH. Still intelligente spørsmål og svar på dem.
543. To arbeidere, hvorav den ene jobbet 12 dager, 8 timer daglig, og den andre 8 dager, 7 timer daglig, produserte til sammen 1368 deler. Finn arbeidsproduktiviteten til arbeiderne hvis de har det samme. Hvor mange deler laget hver arbeider?
544. Komponer og løs et problem som involverer alle fire operasjonene med naturlige tall.
Høy level
545. Finn røtter for ligningene:
1) x - x = x ∙ x; 2) m: m = m ∙ m.
546. Finn røtter for ligningene:
1) x: 8 = x ∙ 4; 2) y: 9 = i: 11.
547. Hvilket tall må multipliseres med 259 259 for å få et produkt som bare er skrevet med 7?
548. Hvilket tall må multipliseres med 37 037 for å få et produkt som bare er skrevet med siffer 3?
Øvelser å gjenta
549. Løs ligningene:
1) 4x - 2x + 7 = 19; 2) 8x + 3x - 5 = 39.
550. For å komme til byen reiste en bonde 3 timer med buss, hvis hastighet er en km/t, og 2 timer med lastebil, hvis hastighet b km/t Han dekket hjemreisen på 4 timer på motorsykkel. Finn hastigheten på motorsykkelen. Skriv ned det bokstavelige uttrykket og beregn verdien hvis a = 40, b = 32.
Og når du beregner verdiene til uttrykk, utføres handlinger i en bestemt rekkefølge, med andre ord må du observere rekkefølge av handlinger.
I denne artikkelen vil vi finne ut hvilke handlinger som skal utføres først og hvilke etter dem. La oss starte med det meste enkle saker, når uttrykket bare inneholder tall eller variabler forbundet med pluss-, minus-, multipliser- og dividertegn. Deretter vil vi forklare hvilken rekkefølge av handlinger som skal følges i uttrykk med parentes. Til slutt, la oss se på rekkefølgen handlinger utføres i i uttrykk som inneholder krefter, røtter og andre funksjoner.
Sidenavigering.
Først multiplikasjon og divisjon, så addisjon og subtraksjon
Skolen gir følgende en regel som bestemmer rekkefølgen handlinger utføres i i uttrykk uten parentes:
- handlinger utføres i rekkefølge fra venstre til høyre,
- Dessuten utføres multiplikasjon og divisjon først, og deretter addisjon og subtraksjon.
Den oppgitte regelen oppfattes ganske naturlig. Å utføre handlinger i rekkefølge fra venstre til høyre forklares med at det er vanlig for oss å føre opptegnelser fra venstre til høyre. Og det faktum at multiplikasjon og divisjon utføres før addisjon og subtraksjon forklares av betydningen disse handlingene har.
La oss se på noen få eksempler på hvordan denne regelen gjelder. For eksempler tar vi de enkleste numeriske uttrykk, for ikke å bli distrahert av beregninger, men for å fokusere spesifikt på rekkefølgen av handlinger.
Eksempel.
Følg trinn 7−3+6.
Løsning.
Det opprinnelige uttrykket inneholder ikke parenteser, og det inneholder ikke multiplikasjon eller divisjon. Derfor bør vi utføre alle handlinger i rekkefølge fra venstre til høyre, det vil si at først trekker vi 3 fra 7, får vi 4, hvoretter vi legger til 6 til den resulterende forskjellen på 4, vi får 10.
Kort fortalt kan løsningen skrives slik: 7−3+6=4+6=10.
Svar:
7−3+6=10 .
Eksempel.
Angi rekkefølgen av handlinger i uttrykket 6:2·8:3.
Løsning.
For å svare på spørsmålet om problemet, la oss gå til regelen som indikerer rekkefølgen for utførelse av handlinger i uttrykk uten parentes. Det opprinnelige uttrykket inneholder bare operasjonene multiplikasjon og divisjon, og i henhold til regelen må de utføres i rekkefølge fra venstre til høyre.
Svar:
Først Vi deler 6 på 2, multipliserer denne kvotienten med 8 og deler til slutt resultatet på 3.
Eksempel.
Regn ut verdien av uttrykket 17−5·6:3−2+4:2.
Løsning.
Først, la oss bestemme i hvilken rekkefølge handlingene i det opprinnelige uttrykket skal utføres. Den inneholder både multiplikasjon og divisjon og addisjon og subtraksjon. Først, fra venstre til høyre, må du utføre multiplikasjon og divisjon. Så vi ganger 5 med 6, vi får 30, vi deler dette tallet på 3, vi får 10. Nå deler vi 4 på 2, vi får 2. Vi erstatter den funnet verdien 10 i det opprinnelige uttrykket i stedet for 5·6:3, og i stedet for 4:2 - verdien 2, har vi 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.
Det resulterende uttrykket inneholder ikke lenger multiplikasjon og divisjon, så det gjenstår å utføre de resterende handlingene i rekkefølge fra venstre til høyre: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Svar:
17−5·6:3−2+4:2=7.
Til å begynne med, for ikke å forvirre rekkefølgen handlinger utføres i når du beregner verdien av et uttrykk, er det praktisk å plassere tall over handlingstegnene som tilsvarer rekkefølgen de utføres i. For det forrige eksemplet ville det se slik ut: .
Den samme operasjonsrekkefølgen - først multiplikasjon og divisjon, deretter addisjon og subtraksjon - bør følges når du arbeider med bokstavuttrykk.
Handlinger av første og andre trinn
I noen lærebøker i matematikk er det en inndeling aritmetiske operasjoner for handlingene i første og andre trinn. La oss finne ut av dette.
Definisjon.
Handlinger av den første fasen addisjon og subtraksjon kalles, og multiplikasjon og divisjon kalles andre trinns handlinger.
I disse vilkårene er regelen fra forrige avsnitt, som bestemmer rekkefølgen handlingene utføres i, vil bli skrevet som følger: hvis uttrykket ikke inneholder parenteser, utføres først handlingene i det andre trinnet (multiplikasjon og divisjon i rekkefølge fra venstre til høyre, deretter handlingene til det første trinnet (addisjon og subtraksjon).
Rekkefølge av regneoperasjoner i uttrykk med parentes
Uttrykk inneholder ofte parenteser for å angi rekkefølgen handlinger skal utføres i. I dette tilfellet en regel som spesifiserer rekkefølgen for utførelse av handlinger i uttrykk med parentes, er formulert som følger: først utføres handlingene i parentes, mens multiplikasjon og divisjon også utføres i rekkefølge fra venstre til høyre, deretter addisjon og subtraksjon.
Så uttrykkene i parentes betraktes som komponenter av det opprinnelige uttrykket, og de beholder rekkefølgen av handlinger som allerede er kjent for oss. La oss se på løsningene til eksemplene for større klarhet.
Eksempel.
Følg disse trinnene 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Løsning.
Uttrykket inneholder parenteser, så la oss først utføre handlingene i uttrykkene i disse parentesene. La oss starte med uttrykket 7−2·3. I den må du først utføre multiplikasjon, og først deretter subtraksjon, vi har 7−2·3=7−6=1. La oss gå videre til det andre uttrykket i parentes 6−4. Det er bare én handling her - subtraksjon, vi utfører den 6−4 = 2.
Vi erstatter de oppnådde verdiene i det opprinnelige uttrykket: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. I det resulterende uttrykket utfører vi først multiplikasjon og divisjon fra venstre til høyre, deretter subtraksjon, vi får 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. På dette tidspunktet er alle handlinger fullført, vi overholdt følgende rekkefølge for implementeringen: 5+(7−2·3)·(6−4):2.
La oss skrive det ned kort løsning: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.
Svar:
5+(7−2·3)·(6−4):2=6.
Det hender at et uttrykk inneholder parenteser innenfor parentes. Det er ingen grunn til å være redd for dette; du trenger bare å konsekvent bruke den oppgitte regelen for å utføre handlinger i uttrykk med parenteser. La oss vise løsningen av eksempelet.
Eksempel.
Utfør operasjonene i uttrykket 4+(3+1+4·(2+3)) .
Løsning.
Dette er et uttrykk med parentes, som betyr at utførelse av handlinger må begynne med uttrykket i parentes, det vil si med 3+1+4·(2+3) . Dette uttrykket inneholder også parenteser, så du må utføre handlingene i dem først. La oss gjøre dette: 2+3=5. Ved å erstatte den funnet verdien får vi 3+1+4·5. I dette uttrykket utfører vi først multiplikasjon, deretter addisjon, vi har 3+1+4·5=3+1+20=24. Startverdien, etter å ha erstattet denne verdien, har formen 4+24, og alt som gjenstår er å fullføre handlingene: 4+24=28.
Svar:
4+(3+1+4·(2+3))=28.
Generelt, når et uttrykk inneholder parenteser innenfor parentes, er det ofte praktisk å utføre handlinger som starter med de indre parentesene og flytter til de ytre.
La oss for eksempel si at vi må utføre handlingene i uttrykket (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Først utfører vi handlingene i de indre parentesene, siden 4−6:2=4−3=1, deretter vil det opprinnelige uttrykket ha formen (4+(4+1)−1)−1. Vi utfører igjen handlingen i de indre parentesene, siden 4+1=5, kommer vi til følgende uttrykk (4+5−1)−1. Igjen utfører vi handlingene i parentes: 4+5−1=8, og vi kommer til forskjellen 8−1, som er lik 7.
113. 1) Det er 84 bøker på to hyller (fig. 6); Hvis du fjerner 12 bøker fra en hylle, vil det være like mange bøker i begge hyllene. Hvor mange bøker var det på hver hylle?
2) (Muntlig.) Tomteareal er 1800 kvadratmeter. m fordelt på to utbyggere slik at den ene fikk 100 kvm. m mindre enn den andre. Bestem hvor mye land hver utbygger mottok.
114. 1) Ett tall er 113 større enn det andre, og summen deres er 337. Finn disse tallene.
2) Ett tall er mindre enn det andre med 244, og summen deres er 566. Finn disse tallene.
115. 1) Summen av to tall er 987, og forskjellen deres er 333. Finn disse tallene.
2) Når du legger til to tall, ble resultatet 824, og når du trekker det minste tallet fra det større tallet, ble resultatet 198. Finn disse tallene.
Ved å bruke eksempelet på oppgave 113, skildre grafisk betingelsene for problemene 116 Og 117 og løse dem muntlig.
116. 1) Det er 80 bøker på den ene hyllen og 100 i den andre. Hvor mange bøker må flyttes fra den andre hyllen til den første slik at det er like mange på begge hyllene?
2) Den ene jenta har 90 nøtter, og den andre har 60. Hvor mange nøtter skal den første jenta gi til den andre slik at de har like mange nøtter?
117. 1) To gutter har 300 merker; Hvis en av dem gir de andre 30 poeng, vil begge guttene ha like mange karakterer. Hvor mange frimerker har hver gutt?
2) 86 pionerer dro til leiren på to busser. Etter ombordstigning måtte vi overføre to personer fra den første bussen til den andre slik at det var like mange passasjerer på hver buss. Hvor mange personer var på hver buss først?
118. 1) Hva er klokken nå hvis den medgåtte delen av dagen er 3 timer 30 minutter. mer enn resten?
2) Hva er klokken nå hvis siste del av dagen er klokken 6. 20 minutter. mindre enn resten?
119. 1) To biler dro samtidig mot hverandre fra to steder, avstanden mellom disse er 400 km, og møttes etter 4 timer. Bestem hastigheten til hver bil hvis en av dem kjørte 12 km i timen raskere enn den andre.
2) To kjøretøyer fraktet 21 tonn last, med 6 turer hver. Bestem bæreevnen til hvert kjøretøy hvis det første transporterte 500 kg mindre enn det andre hver gang.
120. 1) Beveger seg i kajakk langs elvestrømmen, kjørte utøveren 13 km 200 m på en time, og mot elvestrømmen reiste han bare 8 km 800 m på en time Finn hastigheten på elvestrømmen og hastigheten på elvestrømmen. kajakk i stille vann. (Tegn grafisk.)
2) To skiløpere, plassert i en avstand på 6 km 700 m fra hverandre, gikk ut samtidig mot hverandre og etter 20 minutter. møtte. Da de gikk ut i en retning, så etter 20 minutter. den andre skiløperen er 300 m bak den første. Finn hastigheten til hver skiløper.
121. 1) To tilstøtende tomter rektangulær form har samme bredde på 72 m, og summen av lengdene til begge seksjonene er 240 m. Arealet til den første seksjonen er 28 og 80 kvadratmeter. m mer område sekund. Hva er arealet til hver tomt?
2) To tilstøtende rektangulære tomter har samme bredde på 56 m, og summen av arealene til disse tomtene er 140a. Finn arealet til hver tomt hvis lengden på en av dem er 70 m større enn lengden på den andre.
122. 1) I Leningrad på dagen for sommersolverv (22. juni) er dagen klokken 13:00. 40 min. lengre enn natten. Bestem tidspunktet for solnedgang hvis den står opp denne dagen etter 2 timer 37 minutter.
2) I Moskva, på dagen for vintersolverv (23. desember), er dagen klokken 10. kortere enn natten. Bestem øyeblikket for soloppgang hvis den går ned klokken 15:00. 58 min.
123. 1) I arbeiderlandsbyen ble det bygget 1648 kvadratmeter på tre år. m boareal. Det andre året ble det bygget 136 kvadratmeter. m mer enn det første, og det tredje året ble det bygget like mye som de to første årene til sammen. Hvor mange kvadratmeter boareal ble bygget i hvert år?
2) På tre år pløyde statsgården 4850 hektar jomfruelig jord. Det andre året ble det brøytet 225 hektar mer enn det første, og det tredje året like mye som det første og andre året til sammen. Hvor mange hektar med jomfruelig jord ble pløyd hvert år?
124. 1) En gruppe skoleelever syklet 228 km på tre dager. Den andre dagen reiste de samme avstand som den første dagen, og den tredje reiste de 12 km mer enn den andre dagen. Hvor langt reiste skolebarna hver dag? Finn hastigheten på bevegelsene deres hver dag, hvis de var på veien i 9 timer den første dagen, og 8 timer den andre. og på den tredje - klokken 7.
2) Poteter, rødbeter og gulrøtter ble brakt til spisestuen - totalt 3 tonn 360 kg. Det var like store mengder gulrøtter og rødbeter, og det var 1 tonn 200 kg mer poteter enn gulrøtter. Hvor mange poteter, gulrøtter og rødbeter tok du med til spisestuen? Hvor mange dager vil det ta å bruke opp poteter, gulrøtter og rødbeter hvis 128 kg poteter, 36 kg rødbeter og 24 kg gulrøtter konsumeres daglig?
125. 1) Tre skoler samlet inn totalt 37 tonn 690 kg skrapjern. Den første skolen samlet inn 1 tonn 80 kg mer enn den andre og 3 tonn 920 kg mer enn den tredje. Hvor mye penger vil hver skole motta for skrot hvis gjennomsnittsprisen ble satt til 8 rubler. for 1 t?
2) Tre pioneravdelinger samlet sammen 5 tonn 380 kg avfallspapir. Den første avdelingen samlet inn 960 kg mindre enn den tredje, og den andre avdelingen samlet inn 530 kg mindre enn den tredje. Hvor mye avfallspapir samlet hvert lag inn hvis 1 tonn av det koster 20 rubler?
126. 1) To pakker inneholder sammen 270 notatbøker (fig. 7). Hvor mange notatbøker er det i hver pakke hvis du vet at en av dem inneholder 4 ganger mer enn den andre?
Se på bildet og bruk det til å løse problemet.
2) Bøker er ordnet i tre hyller slik at på den andre hyllen er det dobbelt så mange bøker som på den første, og på den tredje er det tre ganger så mange som på den andre. Bestem hvor mange bøker som er på hver hylle hvis det er kjent at det er 171 bøker i alle tre hyllene. (Tegn problemtilstanden grafisk ved å følge eksemplet med forrige oppgave.)
127. 1) Et maleri med en ramme koster 19 rubler. 80 kopek, og maleriet er 10 ganger dyrere enn rammen. Hvor mye koster maleriet og hvor mye koster rammen?
2) Et glass med en glassholder koster 2 rubler. 52 kopek, og et glass er 6 ganger billigere enn en glassholder. Hvor mye koster et glass og hvor mye koster en dalbane?
128. 1) Ett av leddene er 7 ganger større enn det andre, og summen deres er 144. Finn hvert ledd.
2) Summen av to tall er 729, og det første leddet er 8 ganger mindre enn det andre. Finn hvert begrep.
129. 1) Minuenden er fire ganger større enn subtrahenden, og forskjellen er 12 738. Finn minuenden og subtrahenden.
2) Subtrahenden er seks ganger mindre enn minuenden, og forskjellen er 10 385. Finn minuenden og subtrahenden.
130. 1) Hva er klokken nå hvis siste del av dagen er 3 ganger mindre enn den gjenværende delen?
2) Hva er klokken nå hvis den gjenværende delen av dagen er 2 ganger mindre enn tidligere?
131. 1) Mens de foretok en fottur på 100 km, gjorde pionerene et stort stopp. Etter pause gikk de ytterligere 10 km, og så måtte de gå 3 ganger mer enn de hadde tilbakelagt. I hvilken avstand fra starten av reisen ble det store stoppet gjort?
2) Det var 180 liter vann i tønnen. Først vannet jentene tomatene, og brukte deretter 60 liter på å vanne agurkene, og så var vannet som var igjen til resten av grønnsakene 3 ganger mindre enn det tok å vanne tomatene og agurkene. Hvor mye vann tok det for å vanne tomatene?
132. 1) Atleten kastet spydet 5 ganger, eller 48 m, lenger enn han dyttet kanonkulen. Hvor mange meter fløy spydet og hvor mange meter fløy kanonkulen? (Tegn problemtilstanden grafisk.)
2) Utøverens lengdehopp viste seg å være 450 cm, eller 4 ganger, mer enn høydehoppet hans. Bestem størrelsen på lange og høye hopp.
133. 1) Bredden på den rektangulære tomten som opptas av skolehagen er 120 m mindre enn lengden. Skoleelever ryddet ødemarken ved siden av hagen. Etter dette økte lengden og bredden på hagen med 40 m hver, og lengden ble det dobbelte av bredden. Hvor mange frukttrær var det i hagen før og hvor mange ble plantet igjen, hvis det ble tildelt 50 kvadratmeter til hvert tre? m?
2) Lengden på det rektangulære området ved siden av sumpen er 70 m større enn bredden. Etter dreneringsarbeid ble lengden og bredden økt med 20 m, og deretter viste lengden på tomten seg å være dobbelt så bred. Finn det forrige området av tomten og finn ut hvor mye det har økt.
134. 1) På sidesporene til stasjonen var det to tog med identiske biler. Det ene toget hadde 12 flere biler enn det andre; når 6 vogner ble hektet av hvert tog, viste det seg at lengden på det ene tog var 4 ganger lengre enn lengden på det andre. Hvor mange vogner var det i hvert tog? (Tegn problemtilstanden grafisk.)
2) Den ene tråden er 54 m lengre enn den andre. Etter at det ble kuttet 12 m fra hvert stykke, viste det seg at det andre stykket var 4 ganger kortere enn det første. Finn lengden på hvert stykke ledning.
135. 1) Ved besøk på utstillingen ble det kjøpt 78 billetter for barn og 16 billetter for voksne, og 12 rubler ble betalt for alt. 60 kopek Bestem prisen på billetter hvis en barnebillett er 3 ganger billigere enn en billett for en voksen.
2) Ved butikkens kasse er det kredittbilletter på fem rubler og ti rubler, totalt 1050 rubler. Hvor mange sedler av begge valørene er det i kassaapparatet hvis det er dobbelt så mange ti-rubelsedler som det er fem-rubelsedler?
136. 1) Den første gravemaskinen fjerner 60 kubikkmeter i timen. mer land enn den andre. Begge gravemaskinene fjernet 10.320 kubikkmeter sammen. m land, og den første jobbet i 20 timer, og den andre i 18 timer. Hvor mange kubikkmeter tar ut hver gravemaskin i timen?
2) 8 kg skrellede nøtter inneholder samme mengde fett som 6 kg smør, og 1 kg smør inneholder 200 g fett mer enn 1 kg nøtter. Hvor mye fett inneholder 1 kg smør og 1 kg nøtter?
137 *. 1) For turist tur utført av 46 skoleelever, seksseters og fireseters båter ble klargjort. Hvor mange av disse og andre båter var det hvis alle turistene ble innkvartert i 10 båter og ledige seter nei igjen? (Fig. 8.)
2) På verkstedet ble det laget 60 notatbøker av to typer av 560 ark papir, med 8 ark for notatbøker av en type, og 12 ark for notatbøker av en annen type. Hvor mange notatbøker av begge typer ble laget separat?
138 *. 1) En kollektiv hage med et areal på to og en halv hektar ble delt inn i 70 tomter på 250 kvadratmeter. m og 400 kvm. m. Hvor mange av disse og andre tomter var det i kollektivhagen?
2) (Gamle kinesisk problem.) Det er et ukjent antall fasaner og kaniner i et bur. Vi vet bare at det er 35 hoder og 94 bein i buret. Finn ut antall fasaner og antall kaniner.
139 *. 1) Billettkontoret solgte 400 billetter for myke og harde vogner for reiser til samme punkt til en pris av 10 rubler. 45 kopek og 7 gni. 05 kop. Hvor mange av disse og andre billettene ble solgt separat, hvis alle 400 billettene kostet 3 160 rubler?
2) Kassereren har 50 mynter à 20 kopek hver. og 15 kopek hver, for totalt 9 rubler. Bestem hvor mange 20 kopek-mynter kassereren hadde. og hvor mye for 15 kopek.
140. 1) Beregn de manglende verdiene for de spesifiserte mengdene:
2) En fotgjenger reiser 4 km på en time, en skiløper kjører 9 km, og en syklist kjører 12 km. Hvor langt kan hver av dem gå eller kjøre på 4 timer? Hvor lang tid vil det ta hver av dem å gå eller kjøre 180 km? (Hviletid er ikke tatt i betraktning.)
141. 1) Et elektrisk tog på ni biler passerte observatøren på 12 sekunder. Hvor fort gikk toget hvis hver vogn var 16 m lang?
2) Spalten ved skjøtene på skinnene får hjulene til å banke når toget beveger seg. Passasjerer teller 80 slag på ett minutt. Hva er hastigheten på toget, uttrykt i kilometer i timen, hvis lengden på skinnen er 9 m?
142. 1) Fra motsatt ende av en 90 m lang skøytebane løper to gutter mot hverandre (fig. 9, a) Etter hvor mange sekunder vil de møtes hvis de begynner å løpe samtidig og hvis den første gutten løper 9 m per sekund, og den andre 6 m?
2) I henhold til betingelsene for det første problemet, finn ut hvor mange sekunder det vil ta den første gutten å komme foran den andre med 30 m hvis de samtidig løper fra samme sted og i samme retning (fig. 9, b) ).
143. 1) Konduktøren for et persontog som kjørte med en hastighet på 50 km i timen la merke til at et møtende godstog med en hastighet på 40 km i timen passerte ham på 10 sekunder. Bestem lengden på godstoget.
2) To T-banepassasjerer, som begynte samtidig - den ene gikk ned og den andre gikk opp en bevegelig T-banetrapp, møttes etter 30 sekunder. Bestem lengden på den ytre delen av trappen hvis hastigheten er 1 m per sekund.
144. 1) To fly lettet samtidig mot hverandre fra to byer, avstanden mellom disse er 2400 km, og møttes 4 timer senere. Bestem hastigheten til det andre flyet hvis hastigheten til det første var 350 km i timen.
2) Fra to brygger, hvor avstanden mellom disse er 660 km, setter to dampskip av gårde samtidig mot hverandre. Det første dampskipet reiste i gjennomsnitt 250 m per minutt. Bestem hastigheten på den andre damperen etter 8 timer. etter bevegelsesstart var det 396 km igjen mellom skipene.
145. 1) To biler forlot Moskva og Kalinin til Leningrad langs samme motorvei samtidig. Fra Moskva - personbiler, og fra Kalinin - last. Frakten flyttet fra gjennomsnittshastighet 40 km i timen. Bestem hastigheten på personbilen hvis den fanget lastebilen etter 8 timer, og avstanden fra Moskva til Kalinin er 168 km.
Skriv løsningen som en numerisk formel.
2) Fra punkt A og B, hvor avstanden mellom disse er 8 km, gikk en fotgjenger samtidig og i samme retning med en hastighet på 5 km i timen og en buss gikk. Bestem hastigheten på bussen hvis etter 12 minutter. han tok igjen fotgjengeren.
146. 1) Klokken 8. Om morgenen dro en gruppe pionerer til fots fra byen til statsgården, og dekket 4 km 800 m i timen, og klokken 11. Etter dem syklet en gruppe pionerer ut på sykkel med en hastighet på 12 km i timen. Bestem avstanden fra byen til statsgården hvis begge gruppene ankom statsgården samtidig.
2) Klokken 9. Et passasjertog forlot en by til en annen med en hastighet på 40 km i timen, og ved 11-tiden. bak ham kom et hurtigtog med en hastighet på 58 km i timen. Når skal et persontog stoppe for å la et ekspresstog passere, hvis avstanden mellom togene for trafikksikkerhet ikke bør være mindre enn 8 km?
147. 1) En buss forlot punkt A med en hastighet på 30 km i timen og etter 15 minutter. tok igjen en fotgjenger som forlot punkt B samtidig som bussen forlot punkt A. Fotgjengeren gikk med en hastighet på 6 km i timen. Finn avstanden mellom punktene.
2) Ved middagstid gikk dampbåten fra brygga med en hastighet på 16 km i timen. Etter 3 timer gikk en dampbåt fra samme brygge i samme retning, som 12 timer senere. etter å ha reist tok jeg igjen den første damperen. Bestem hastigheten til den andre damperen,
148. 1) (Gammelt problem.) En hund jager en kanin 150 fot unna. Hun hopper 9 fot hver gang kaninen hopper 7 fot. Hvor mange hopp må en hund gjøre for å fange en kanin?
2) Hunden jaget en rev som ligger i en avstand på 120 m. Hvor lang tid vil det ta hunden å ta igjen reven hvis reven løper 320 m i minuttet og hunden 350 m?
149. 1) Et hjul med omkrets på 1 m 2 dm svinger 900 ganger på en viss avstand. Hvor mange ganger vil et hjul med omkrets på 8 dm snu seg rundt på samme avstand? mer enn den første?
Skriv løsningen som en numerisk formel.
2) Forhjulet i en avstand på 720 m har dreid 40 omdreininger mer enn bakhjulet. Finn omkretsen på forhjulet hvis omkretsen på bakhjulet er 2 m.
150. 1) Avstanden fra kollektivbruket til stasjonen er 6 km, en fotgjenger kjører på en time, og en syklist kjører på 30 minutter. På hvilken avstand fra kollektivbruket og hvor lenge etter bevegelsesstart vil de møtes dersom en syklist forlater kollektivgården og en fotgjenger forlater stasjonen samtidig?
2) To tog forlot to byer samtidig mot hverandre og møttes 18 timer senere. Bestem hastigheten til togene, vel vitende om at forskjellen i hastighet er 10 km i timen, og avstanden mellom byene er 1620 km.
151. 1) To tog gikk kl annen tid mot hverandre fra to stasjoner, avstanden mellom disse er 794 km. Det første toget kjørte 52 km i timen, og det andre 42 km i timen. Etter å ha tilbakelagt 416 km, møtte det første toget det andre. Hvor mange timer gikk det ene toget før det andre?
2) Et tog forlot by A på vei mot by B med en gjennomsnittshastighet på 50 km i timen. Om 12 timer. et fly lettet fra flyplassen i samme by, som fløy i samme retning med en hastighet som er 7 ganger høyere enn togets hastighet, og innhentet det nøyaktig halvveis fra A til B. Bestem avstanden fra A til B .
152. To hurtigløpere beveger seg langs en sportssirkulær bane, som er 720 meter lang. Hastigheten til den første er 10 m per sekund, og den andre er 8 m per sekund. De begynte å bevege seg samtidig og fra samme sted på idrettsbanen. Med hvilke intervaller vil den første skateren overta den andre hvis de beveger seg i samme retning? Med hvilke tidsintervaller vil de møtes hvis de flytter inn motsatte retninger?
153. 1) Undervisningen på skolen starter klokken 8. 30 min. morgen. Hver leksjon varer i 45 minutter. Endringer mellom andre og tredje og mellom tredje og fjerde leksjon er 20 minutter hver, og resten er 10 minutter hver. Bestem start- og sluttid for hver av de 6 leksjonene.
2) Løs det samme problemet hvis timene starter kl. 14.00.
154. 1) Studieår i skoler er det delt inn i fire kvartaler: I kvartal - fra 1. september til og med 6. november, II kvartal - fra 9. november til 29. desember, III kvartal - fra 11. januar til 24. mars, IV - fra 3. april til 30. mai. Bestem varigheten av hvert kvartal.
2) Hvor mye hele år, måneder og dager har gått siden du ble født?
155. 1) Første sovjet kunstig satellitt Jorden ble skutt opp 4. oktober 1957 og opphørte å eksistere 3. januar 1958. Hvor lenge var den første sovjetiske kunstige jordsatellitten på flukt?
2) Den andre sovjetiske kunstige jordsatellitten ble skutt opp 3. november 1957, og opphørte å eksistere 14. april 1958. Hvor lenge var den andre sovjetiske kunstige jordsatellitten på flukt?
156. 1) 7. mai 1895 demonstrerte A.S. Popov verdens første radiomottaker. 332 år 8 dager tidligere begynte Ivan Fedorov å trykke de første bøkene i Russland. Når begynte Ivan Fedorov å gi ut bøker?
2) Først reise rundt i verden, som ble utført av de russiske sjømennene Kruzenshtern og Lisyansky, begynte 7. august 1803. Sjømennene var på reisen i 3 år og 14 dager. Når kom de hjem?
157. 1) Den store russiske matematikeren N.I. Lobatsjovskij ble født 20. november 1792 og døde 12. februar 1856. Hvor lenge levde N.I. Lobatsjovskij?
2) Den store russiske matematikeren P. L. Chebyshev ble født 26. mai 1821 og døde 8. desember 1894. Hvor lenge levde II L. Chebyshev?
158. 1) En parallellepipedumformet låve er fylt med høy. Lengden på låven er 8 m, bredden er 6 m, høyden er 6 m. Bestem vekten på høyet i låven hvis 10 kubikkmeter. m høy veie 6 c.
2) Hvor mange tre-tonns kjøretøy vil være nødvendig for å transportere en vedstokk med lengde 6 m, bredde 2 m og høyde 3 m, hvis 2 kubikkmeter. m ved veie 1 tonn?
159. 1) Lengde klasserom 8 m, bredde 6 m, og høyde 3 m 50 cm Finn volumet (kubikkkapasitet) til klasserommet.
2) Lengde treningsstudio 25 m, bredde 16 m, og høyde 5 m 50 cm Finn kubikkkapasiteten til idrettshallen.
160. 1) Taket er 11 m langt og bredden er 5 m mindre enn lengden. Hvor mange plater med tørr gips vil være nødvendig for å dekke taket hvis bredden på arket er 1 m 5 dm og lengden er 2 m?
2) To rom har samme areal, men forskjellige lengder og bredder. Det første rommet har en lengde på 12 m og en bredde på 6 m. Bestem bredden på det andre rommet hvis lengden er 3 m mindre enn lengden på det første rommet.
161. 1) En rektangulær tomt med en bredde på 18 m og et areal på 576 kvm. m må være inngjerdet med wire i 6 rader. Hvor mye ledning trengs?
2) Fra en rektangulær glassplate, som har en lengde på 24 cm og en bredde på 22 cm, må du kutte rektangulære plater som måler 8 cm x 6 cm. største antall Kan du få noen poster? (Tegn løsningen på tegningen, ta en celle i notatboken som 1 cm.)
162. 1) I hvert av de tre eksemplene som er gitt, beregn den manglende verdien av den angitte mengden:
2) Eleven leste halve boken innen 8 dager, leser 12 sider daglig. Etter det, for å lese boken i tide, begynte han å lese 4 sider til hver dag. Hvor mange dager mottok eleven boken?
163. 1) Biblioteket trengte å binde inn 1800 bøker. Tre verksteder forpliktet seg hver til å fullføre bestillingen uavhengig: den første på 20 dager, den andre på 30 dager og den tredje på 60 dager. For å bli ferdig med innbindingen av bøkene så raskt som mulig, bestemte vi oss for å overføre bestillingen til alle tre verkstedene samtidig. Om hvor mange dager vil verkstedene avslutte arbeidet sitt og jobbe samtidig?
2) For å pumpe vann ut av lasterommet ble det installert to pumper: den første pumpet ut 20 bøtter i minuttet, og den andre 30 bøtter i minuttet. Først fungerte den første pumpen alene, og etter 30 minutter. Den andre pumpen begynte også å fungere, hvoretter begge pumpene pumpet ut alt vannet etter 1 time og 30 minutter. Hvor mye vann var det i lasterommet og hvor lang tid ville det tatt å pumpe ut alt vannet hvis begge pumpene hadde vært i gang helt fra starten?
164. 1) Distriktet planla å reparere tre motorveier i lengde: den første 80 km, den andre 98 km og den tredje 112 km. Bestem kostnadene for å reparere hver vei hvis kostnaden for å reparere 1 km er den samme og 2 160 rubler ble tildelt for å reparere den første veien. mindre enn kostnadene for å reparere den andre.
2) En gruppe pionerer plantet trær på gatene i byen. I en gate var det nødvendig å grave 20 like hull for trær, på en annen 15 og på den tredje 35. Hvor mange timer tok det å grave alle hullene hvis pionerene jobbet i den første gaten i 1 time og 30 minutter? mindre enn den tredje?
165. 1) Om seks timer. arbeidet, den første eleven laget 4 deler mer enn den andre, og mesteren laget 36 deler mer enn den første eleven og tre ganger mer enn den andre. Hvor mange minutter brukte mesteren og hver elev på å lage en del?
2) På 4 timer 30 minutter. den første studenten laget tre deler mindre enn den andre, og mesteren laget tre ganger flere deler enn den første studenten og 27 deler mer enn den andre. Hvor mange minutter brukte mesteren og hver elev på å lage en del?
166. 1) Bredden på en rektangulær tomt er 80 m mindre enn lengden. Bestem arealet av tomten hvis lengden på gjerdet rundt det er 800 m.
2) En rektangulær tomt er inngjerdet med et gjerde på 200 m, og lengden er 20 m større enn dens bredde. Tomten ble delt i to deler, hvorav den ene er på 200 kvm. m mer enn den andre. Finn arealet til hver del.
167. 1) Teamet overskred skiftoppdraget for malmdrift med 4 ganger og produserte 24 tonn flere oppgaver. Hvor mange tonn malm produserte teamet per skift og hva var skiftoppdraget?
2) Bronse inneholder 41 deler kobber, 8 deler tinn og 1 del sink. Hvor mye vil et stykke bronse veie, der det er 1 kg 484 g mindre sink enn tinn?
168. 1) To biler fraktet 96 tonn med ulike varer fra et lager til en butikk på 2 dager, og den første dagen ble det fraktet 12 tonn mer enn den andre Bestem bæreevnen til hver bil hvis det er kjent at den første dagen dag foretok den første bilen 9 turer, og den andre 12; Den andre dagen gikk den første bilen 3 turer, og den andre 12 turer.
2) Verkstedet mottok to stoffstykker til en verdi av 1 980 rubler. Prisen på materialet i det første stykket er 39 rubler. per meter, og i den andre 40 rubler. per meter Hvor mange meter materie var det i hvert stykke, hvis det andre stykket kostet 420 rubler. dyrere enn den første?
169. 1) Motorsyklisten måtte tilbakelegge en distanse på 600 km mellom to punkter med en hastighet på 30 km i timen, men han måtte bli forsinket i 4 timer på veien. For å komme frem til bestemmelsesstedet i tide, måtte han doble hastigheten etter å ha stoppet. I hvilken avstand fra starten av bevegelsen oppsto forsinkelsen?
2) Pioneren, som mottok et ukeblad, klarte å lese det da han mottok neste nummer. Under oppholdet i landsbyen samlet han 6 nummer, og da han kom tilbake bestemte han seg for å lese 3 nummer i løpet av en uke. Om hvor mange uker vil alle mottatte blader bli lest?
170. 1) Far eldre enn sønnen min i 24 år. Hvor gammel er sønnen?Om 3 år vil han være 5 ganger yngre enn faren?
2) Sønnen er nå 14 år, og for fem år siden var han 5 ganger yngre enn faren. Hvor mange i gitt tid hvor gammel er faren din?
171. 1) Ekskursjonistene brukte 156 rubler på to dager. På den andre dagen brukte de 2 ganger mer enn på den første, og ytterligere 6 rubler. Hvor mange rubler brukte turistene daglig?
2) 2 store og 4 små stykker ble kuttet av en stålstrimmel 350 mm lang, hvoretter det gjensto et stykke på 22 mm. Bestem dimensjonene til arbeidsstykkene hvis det store arbeidsstykket er 2 ganger lengre enn det lille.
172. 1) Basen hadde 180 tonn grønnsaker, som den leverte til 20 kantiner. Tre uker senere ble ytterligere 15 kantiner knyttet til denne basen. Hvor mange uker tok det å bruke opp tilførselen av grønnsaker hvis hver kantine konsumerte i gjennomsnitt 900 kg grønnsaker per uke?
2) Da de dekket veggene til metrolobbyen med marmor, installerte det første laget 14 kvadratmeter. m, og den andre er 12 kvm. m plater per skift. Dimensjoner på lobbyen: 24 m x 8 m x 4 m. Det er fire ganger i veggene som måler 2 m x 3 m. Hvor mange dager vil arbeidet være ferdig dersom det andre laget begynte å jobbe 2 dager tidligere enn det første?
173. 1) Fra to byer, hvor avstanden mellom disse er 484 km, dro en syklist og en motorsyklist mot hverandre samtidig. Etter 4 timer viste avstanden mellom dem å være 292 km. Bestem hastigheten til syklisten og motorsyklisten hvis hastigheten til motorsyklisten er 3 ganger hastigheten til syklisten.
2) De to byene ligger 900 km fra hverandre. Et tog forlot en by, og et fly lettet fra en annen by samtidig med toget og i samme retning, og etter 3 timer tok det igjen toget. Bestem hastigheten til toget og flyet hvis hastigheten til toget er 7 ganger mindre enn hastigheten til flyet.
174. 1) Flere studenter bidro med 50 kopek til kjøp av bøker, men det viste seg at det innsamlede beløpet var verdt 1 rubel. 50 kopek mindre enn kostnadene for bøker. Når hver student la til 10 kopek, oversteg hele beløpet som ble samlet inn kostnadene for bøkene med 70 kopek. Hvor mange elever var det og hvor mye kostet bøkene?
2) For å betale for turen bidro hver ekskursjonist med 1 rubel. 20 kopek, men det viste seg at 1 rubel manglet. Da hver deltaker bidro med ytterligere 10 kopek, viste det seg at 1 rubel gjensto ekstra. Hvor mange deltok på ekskursjonen og hvor mye kostet turen?
175. 1) Verkstedet sydde 8 like kåper og flere like dresser, med 61 m stoff. For hvert strøk ble det brukt 3 m 25 cm materiale, og for hver drakt 25 cm mer enn for frakken. Hvor mange dresser laget verkstedet?
2) Endre tilstanden til problemet: vurder det funnet antallet drakter som er kjent, la alle andre tall være uendret og finn hvor mange strøk verkstedet sydde. Legg forholdene til rette for en ny oppgave.
3) Skriv ny oppgave, i likhet med de to første, bruker mengden materiale som forbrukes til å sy en frakk og dress. Endre de resterende tallene.
176. Tabellen viser sommer og høst-vinter fôrstandarder (i gram per dag) for kaniner.
Beregn hvor mange forskjellige fôr som trengs for å oppdra 50 hoder med unge dyr: sommer, høst og vinter. Finn ut prisen på fôr og beregn kostnadene.
177. 1) Tegn stolpediagram, teller antall A-er, B-er, C-er og utilfredsstillende karakterer mottatt av elevene i klassen ved siste prøvearbeid i aritmetikk.
Merk. Når du konstruerer et diagram, ta to celler i bredden for bunnen av hver kolonne, og en celle i høyden for hvert merke elevene får.
2) Hvor mange elever er det i klassen din? Hvor mange av dem er pionerer? Tegn et diagram.
178. Laboratoriearbeid"Tegner en rett linje på bakken."
Klassen er delt inn i lenker på 3 personer hver (den første er den eldste, den andre og tredje tar med og setter milepæler).
Nødvendige verktøy: 6-8 milepæler.
Arbeidsfremgang: 1) markere med milepæler endepunkter A og B (fig. 10),
2) installer mellomliggende milepæler mellom milepæler A og B slik at de danner én rett linje.
