Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering.
Som et resultat av å løse problemer med å finne derivater av de enkleste (og ikke veldig enkle) funksjonene per definisjon av derivat som grensen for forholdet mellom økningen og økningen av argumentet, dukket det opp en tabell med derivater og nøyaktig visse regler differensiering. De første som arbeidet med å finne derivater var Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Derfor, i vår tid, for å finne den deriverte av en funksjon, trenger du ikke å beregne den ovennevnte grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, men du trenger bare å bruke tabellen med derivater og differensieringsreglene. Følgende algoritme er egnet for å finne den deriverte.
For å finne den deriverte, trenger du et uttrykk under primtegnet bryte ned enkle funksjoner i komponenter og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funksjonene er relatert. Ytterligere derivater elementære funksjoner finner vi i tabellen over deriverte, og formlene for produktets deriverte, sum og kvotient står i differensieringsreglene. Den deriverte tabellen og differensieringsreglene er gitt etter de to første eksemplene.
Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Fra reglene for differensiering finner vi ut at den deriverte av en sum av funksjoner er summen av deriverte av funksjoner, dvs.
Fra tabellen med deriverte finner vi ut at den deriverte av "X" er lik en, og den deriverte av sinus er lik cosinus. Vi erstatter disse verdiene i summen av deriverte og finner den deriverte som kreves av tilstanden til problemet:
Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi differensierer som en derivert av en sum der det andre leddet har en konstant faktor den kan tas ut av tegnet til den deriverte:
Hvis det likevel dukker opp spørsmål om hvor noe kommer fra, blir de vanligvis ryddet opp etter å ha satt seg inn i tabellen over derivater og de enkleste differensieringsreglene. Vi går videre til dem akkurat nå.
Tabell over deriverte av enkle funksjoner
| 1. Derivert av en konstant (tall). Et hvilket som helst tall (1, 2, 5, 200...) som er i funksjonsuttrykket. Alltid lik null. Dette er veldig viktig å huske, da det kreves veldig ofte | |
| 2. Derivert av den uavhengige variabelen. Oftest "X". Alltid lik en. Dette er også viktig å huske lenge | |
| 3. Avledet av grad. Når du løser problemer, må du konvertere ikke-kvadratrøtter til potenser. | |
| 4. Derivert av en variabel i potensen -1 | |
| 5. Avledet av kvadratrot | |
| 6. Derivert av sinus | |
| 7. Derivat av cosinus |  |
| 8. Derivert av tangent |  |
| 9. Derivat av cotangens |  |
| 10. Derivat av arcsine |  |
| 11. Derivat av arccosine |  |
| 12. Derivat av arctangens |  |
| 13. Derivat av lysbue cotangens |  |
| 14. Derivert av den naturlige logaritmen | |
| 15. Derivert av en logaritmisk funksjon |  |
| 16. Derivert av eksponenten | |
| 17. Avledet eksponentiell funksjon |
Regler for differensiering
| 1. Derivert av en sum eller differanse |  |
| 2. Derivat av produktet |  |
| 2a. Derivert av et uttrykk multiplisert med en konstant faktor | |
| 3. Avledet av kvotienten |  |
| 4. Derivat av en kompleks funksjon |  |
Regel 1.Hvis funksjonene
er differensierbare på et tidspunkt, så er funksjonene differensierbare på samme punkt
og
de. den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik algebraisk sum derivater av disse funksjonene.
Konsekvens. Hvis to differensierbare funksjoner er forskjellige med et konstant ledd, er deres deriverte like, dvs.
Regel 2.Hvis funksjonene
er differensierbare på et tidspunkt, så er produktet deres differensierbart på samme punkt
og
de. Den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre.
Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:
Konsekvens 2. Den deriverte av produktet av flere differensierbare funksjoner er lik summen av produktene av den deriverte av hver faktor og alle de andre.
For eksempel for tre multiplikatorer:
Regel 3.Hvis funksjonene
differensierbar på et tidspunkt Og , så på dette punktet er kvotienten deres også differensierbaru/v , og
de. den deriverte av kvotienten av to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere telleren.
Hvor du kan se etter ting på andre sider
Når man finner den deriverte av et produkt og kvotienten i reelle problemer Det er derfor alltid nødvendig å bruke flere differensieringsregler samtidig flere eksempler for disse derivatene - i artikkelen"Avledet av produkt og kvotient av funksjoner " .
Kommentar. Du bør ikke forveksle en konstant (det vil si et tall) som et ledd i en sum og som en konstant faktor! Når det gjelder et ledd, er dens deriverte lik null, og i tilfellet konstant faktor det er tatt ut av det deriverte tegnet. Dette typisk feil, som skjer på det første stadiet studere derivater, men ettersom de løser flere en- og todelte eksempler, gjør ikke den gjennomsnittlige eleven lenger denne feilen.
Og hvis du, når du skiller et produkt eller kvotient, har et begrep u"v, hvori u- et tall, for eksempel 2 eller 5, det vil si en konstant, så vil den deriverte av dette tallet være lik null, og derfor vil hele leddet være lik null (dette tilfellet er diskutert i eksempel 10).
Annen vanlig feil- mekanisk løsning av den deriverte av en kompleks funksjon som en derivert av en enkel funksjon. Derfor avledet av en kompleks funksjon en egen artikkel er viet. Men først skal vi lære å finne derivater enkle funksjoner.
Underveis kan du ikke gjøre uten å transformere uttrykk. For å gjøre dette må du kanskje åpne manualen i nye vinduer. Handlinger med krefter og røtter Og Operasjoner med brøker.
Hvis du leter etter løsninger på deriverte av brøker med potenser og røtter, det vil si når funksjonen ser ut som 
, følg deretter til klassen" Derivert av summen av brøker med potenser og røtter ".
Hvis du har en oppgave som 
, så har du en leksjon "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner."
Steg-for-steg eksempler - hvordan finne den deriverte
Eksempel 3. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi definerer delene av funksjonsuttrykket: hele uttrykket representerer et produkt, og dets faktorer er summer, i det andre inneholder ett av leddene en konstant faktor. Vi bruker produktdifferensieringsregelen: den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene med den deriverte av den andre:
Deretter bruker vi regelen for sumdifferensiering: den deriverte av en algebraisk sum av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene. I vårt tilfelle har det andre leddet et minustegn i hver sum. I hver sum ser vi både en uavhengig variabel, hvis deriverte er lik én, og en konstant (tall), hvis deriverte er lik null. Så, "X" blir til en, og minus 5 blir til null. I det andre uttrykket multipliseres "x" med 2, så vi multipliserer to med samme enhet som den deriverte av "x". Vi får følgende deriverte verdier:
Vi erstatter de funnet deriverte i summen av produkter og får den deriverte av hele funksjonen som kreves av tilstanden til problemet:
Eksempel 4. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi er pålagt å finne den deriverte av kvotienten. Vi bruker formelen for å differensiere kvotienten: den deriverte av kvotienten til to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene til nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet til den tidligere telleren. Vi får:
Vi har allerede funnet den deriverte av faktorene i telleren i eksempel 2. La oss heller ikke glemme at produktet, som er den andre faktoren i telleren i gjeldende eksempel, er tatt med et minustegn:
Hvis du leter etter løsninger på problemer der du trenger å finne den deriverte av en funksjon, hvor det er en kontinuerlig haug med røtter og potenser, som f.eks. 
, så velkommen til timen "Derivat av summer av brøker med potenser og røtter".
Hvis du trenger å lære mer om derivatene av sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funksjoner, det vil si når funksjonen ser ut , så en leksjon for deg "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner".
Eksempel 5. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. I denne funksjonen ser vi et produkt, en av faktorene som er Kvadratrot fra den uavhengige variabelen, den deriverte vi har sett i tabellen over deriverte. Ved å bruke regelen for å skille produktet og tabellverdien til den deriverte av kvadratroten, får vi:
Eksempel 6. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. I denne funksjonen ser vi en kvotient hvis utbytte er kvadratroten av den uavhengige variabelen. Ved å bruke regelen for differensiering av kvotienter, som vi gjentok og brukte i eksempel 4, og den tabulerte verdien av den deriverte av kvadratroten, får vi:
For å bli kvitt en brøk i telleren, multipliser telleren og nevneren med .
Når man bestemmer seg ulike oppgaver geometri, mekanikk, fysikk og andre kunnskapsgrener ble nødvendig ved å bruke den samme analytiske prosessen fra denne funksjonen y=f(x) motta ny funksjon som kalles avledet funksjon(eller ganske enkelt derivert) av en gitt funksjon f(x) og er angitt med symbolet
Prosessen som fra en gitt funksjon f(x) få en ny funksjon f" (x), kalt differensiering og den består av følgende tre trinn: 1) gi argumentet xøke
x og bestemme den tilsvarende økningen av funksjonen
y = f(x+
x) -f(x); 2) utgjør en relasjon 
3) telle x konstant og
x0, finner vi 
, som vi betegner med f" (x), som om å understreke at den resulterende funksjonen bare avhenger av verdien x, hvor vi går til grensen. Definisjon:
Deriverte y " =f " (x)
gitt funksjon y=f(x)
for en gitt x kalles grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet, forutsatt at inkrementet til argumentet har en tendens til null, hvis selvfølgelig denne grensen eksisterer, dvs. avgrenset. 
Dermed, 
, eller x Merk at hvis for noen verdi , for eksempel når x=a 
, holdning
x på 0 har ikke en tendens til det begrenset grense f(x), så i dette tilfellet sier de at funksjonen , for eksempel når på , for eksempel når) har ingen derivat eller er ikke differensierbar på punktet , for eksempel når.
2. Geometrisk betydning av den deriverte.
Tenk på grafen til funksjonen y = f (x), differensierbar i nærheten av punktet x 0
f(x)
La oss vurdere en vilkårlig rett linje som går gjennom et punkt på grafen til en funksjon - punkt A(x 0, f (x 0)) og skjærer grafen på et eller annet punkt B(x;f(x)). En slik linje (AB) kalles en sekant. Fra ∆ABC: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Siden AC || Ox, da ALO = BAC = β (som tilsvarende for parallell). Men ALO er helningsvinkelen til sekanten AB til den positive retningen til Ox-aksen. Dette betyr at tanβ = k er helningen til den rette linjen AB.
Nå skal vi redusere ∆x, dvs. ∆х→ 0. I dette tilfellet vil punkt B nærme seg punkt A i henhold til grafen, og sekant AB vil rotere. Begrensningsposisjonen til sekanten AB ved ∆x→ 0 vil være en rett linje (a), kalt tangenten til grafen til funksjonen y = f (x) ved punkt A.
Hvis vi går til grensen som ∆x → 0 i likheten tgβ =∆y/∆x, får vi 
ortg =f "(x 0), siden 
-hellingsvinkelen til tangenten til den positive retningen til Ox-aksen 
, per definisjon av et derivat. Men tg = k er vinkelkoeffisienten til tangenten, som betyr k = tg = f "(x 0).
Så den geometriske betydningen av derivatet er som følger:
Derivert av en funksjon i punkt x 0 lik skråningen tangent til grafen til funksjonen tegnet i punktet med abscisse x 0 .
3. Fysisk betydning av derivatet.
Tenk på bevegelsen til et punkt langs en rett linje. La koordinaten til et punkt til enhver tid x(t) være gitt. Det er kjent (fra et fysikkkurs) at gjennomsnittshastigheten over en tidsperiode er lik forholdet mellom tilbakelagt distanse i denne tidsperioden og tiden, dvs.
Vav = ∆x/∆t. La oss gå til grensen i den siste likheten som ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - øyeblikkelig hastighet ved tiden t 0, ∆t → 0.
og lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (ved definisjon av derivert).
Så, (t) =x"(t).
Den fysiske betydningen av derivatet er som følger: derivat av funksjoneny = f(x) på punktetx 0 er endringshastigheten til funksjonenf(x) ved punktx 0
Den deriverte brukes i fysikk for å finne hastighet fra en kjent funksjon av koordinater mot tid, akselerasjon fra en kjent funksjon av hastighet mot tid.
(t) = x"(t) - hastighet,
a(f) = "(t) - akselerasjon, eller
Hvis bevegelsesloven til et materialpunkt i en sirkel er kjent, kan man finne vinkelhastigheten og vinkelakselerasjon under rotasjonsbevegelse:
φ = φ(t) - endring i vinkel over tid,
ω = φ"(t) - vinkelhastighet,
ε = φ"(t) - vinkelakselerasjon, eller ε = φ"(t).
Hvis loven om massefordeling av en inhomogen stav er kjent, kan den lineære tettheten til den inhomogene staven bli funnet:
m = m(x) - masse,
x , l - lengden på stangen,
p = m"(x) - lineær tetthet.
Ved hjelp av den deriverte løses problemer fra teorien om elastisitet og harmoniske vibrasjoner. Så ifølge Hookes lov
F = -kx, x – variabel koordinat, k – fjærelastisitetskoeffisient. Setter vi ω 2 =k/m, får vi differensialligningen til fjærpendelen x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
hvor ω = √k/√m oscillasjonsfrekvens (l/c), k - fjærstivhet (H/m).
En ligning av formen y" + ω 2 y = 0 kalles ligningen for harmoniske svingninger (mekaniske, elektriske, elektromagnetiske). Løsningen på slike ligninger er funksjonen
y = Asin(ωt + φ 0) eller y = Acos(ωt + φ 0), hvor
A - amplitude av oscillasjoner, ω - syklisk frekvens,
φ 0 - startfase.
Når tok en person sine første selvstendige skritt i å studere matematisk analyse og begynner å spørre vanskelige spørsmål, da er det ikke lenger så lett å komme unna med uttrykket at " differensialregning funnet i kål." Derfor er tiden inne for å bestemme seg og avsløre hemmeligheten bak fødselen tabeller over derivater og differensieringsregler. Startet i artikkelen om betydningen av avledet, som jeg anbefaler å studere på det sterkeste, for der så vi nettopp på konseptet med et derivat og begynte å klikke på problemer om emnet. Den samme leksjonen er tydelig uttrykt praktisk orientering, dessuten,
eksemplene omtalt nedenfor kan i prinsippet mestres rent formelt (for eksempel når det ikke er tid/lyst til å fordype seg i essensen av den deriverte). Det er også svært ønskelig (men igjen ikke nødvendig) å kunne finne derivater ved å bruke den "konvensjonelle" metoden - i det minste på nivå med to grunnleggende leksjoner: Hvordan finne den deriverte og deriverte av en kompleks funksjon.
Men det er én ting vi definitivt ikke kan klare oss uten nå, det er funksjonsgrenser. Du må FORSTÅ hva en grense er og kunne løse dem minst på et gjennomsnittlig nivå. Og alt på grunn av derivatet
funksjon i et punkt bestemmes av formelen:
La meg minne deg om betegnelsene og begrepene: de kaller argumentøkning;
– funksjonsøkning;
- Dette UNITED symboler("delta" kan ikke "reves av" fra "X" eller "Y").
Det som er en "dynamisk" variabel er åpenbart en konstant og resultatet av å beregne grensen 
- Antall (noen ganger - "pluss" eller "minus" uendelig).
Som et poeng kan du vurdere ALLE verdier som tilhører definisjonsdomene funksjon der en derivert eksisterer.
Merk: klausulen "hvor derivatet finnes" er V generell sak betydelige! Så, for eksempel, selv om et punkt er inkludert i definisjonsdomenet til en funksjon, er dets deriverte
finnes ikke der. Derfor formelen
ikke aktuelt på punktet
og en forkortet formulering uten forbehold ville være feil. Lignende fakta er også gyldige for andre funksjoner med "brudd" i grafen, spesielt for arcsine og arccosine.
Dermed, etter å ha erstattet , får vi den andre arbeidsformelen:
Vær oppmerksom på en snikende omstendighet som kan forvirre tekanne: I denne grensen spiller "x", som er en uavhengig variabel, rollen som en statistikk, og "dynamikken" er igjen satt av inkrementet. Resultatet av å beregne grensen
er den deriverte funksjonen.
Basert på ovenstående formulerer vi betingelsene for to typiske problemer:
- Finn derivat på et punkt, ved å bruke definisjonen av derivat.
- Finn avledet funksjon, ved å bruke definisjonen av derivat. Denne versjonen, ifølge mine observasjoner, er mye mer vanlig og vil bli gitt hovedoppmerksomheten.
Den grunnleggende forskjellen mellom oppgavene er at i det første tilfellet må du finne nummeret (valgfritt, uendelig), og i den andre –
funksjon I tillegg kan det hende at derivatet ikke eksisterer i det hele tatt.
Hvordan ?
Lag et forhold og beregn grensen.
Hvor kom det fra? tabell over derivater og differensieringsregler ? Takket være den eneste grensen
Det virker som magi, men
i virkeligheten - lureri og ingen svindel. På timen Hva er et derivat? Jeg begynte å se på spesifikke eksempler, hvor jeg ved å bruke definisjonen fant de deriverte av en lineær og kvadratisk funksjon. For kognitiv oppvarming vil vi fortsette å forstyrre tabell over derivater, finpusse algoritmen og teknikk løsninger:
I hovedsak må du bevise spesielt tilfelle avledet av en potensfunksjon, som vanligvis vises i tabellen: .
Løsningen er teknisk formalisert på to måter. La oss starte med den første, allerede kjente tilnærmingen: stigen starter med en planke, og den deriverte funksjonen starter med den deriverte på et punkt.
Tenk på et (spesifikt) punkt som hører til definisjonsdomene funksjon der det er en derivert. La oss sette økningen på dette punktet (selvfølgelig innenfor rammen o/o -ya) og komponer den tilsvarende økningen av funksjonen:
La oss beregne grensen:
Usikkerheten 0:0 elimineres ved en standardteknikk, ansett tilbake i det første århundre f.Kr. La oss multiplisere
teller og nevner for det konjugerte uttrykket 
:
Teknikken for å løse en slik grense er omtalt i detalj på innledende leksjon om grensene for funksjoner.
Siden du kan velge hvilket som helst punkt i intervallet som
Så, etter å ha gjort erstatningen, får vi:
Nok en gang, la oss glede oss over logaritmer:
Finn den deriverte av en funksjon ved å bruke definisjonen av derivert
Løsning: La oss vurdere en annen tilnærming til å fremme den samme oppgaven. Det er akkurat det samme, men mer rasjonelt designmessig. Tanken er å bli kvitt
abonnere og bruke en bokstav i stedet for en bokstav.
Tenk på et vilkårlig punkt som tilhører definisjonsdomene funksjon (intervall), og angi inkrementet i den. Men her, forresten, som i de fleste tilfeller, kan du klare deg uten reservasjoner, siden den logaritmiske funksjonen er differensierbar når som helst i definisjonsdomenet.
Da er den tilsvarende økningen av funksjonen:
La oss finne den deriverte:
Enkelheten i designet balanseres av forvirringen som kan
forekomme blant nybegynnere (og ikke bare). Tross alt er vi vant til at bokstaven "X" endres i grensen! Men her er alt annerledes: - en antikk statue, og - en levende besøkende som raskt går langs museumskorridoren. Det vil si at "x" er "som en konstant."
Jeg vil kommentere eliminering av usikkerhet trinn for trinn:
(1)
Bruke logaritme-egenskapen
.
(2) I parentes, del telleren med nevneren ledd for ledd.
(3) I nevneren multipliserer vi kunstig og deler med "x" slik at
dra nytte av den fantastiske grensen 
, mens som uendelig liten handlinger.
Svar: per definisjon av et derivat:
Eller kort sagt:
Jeg foreslår å konstruere ytterligere to tabellformler selv:
Finn derivater per definisjon
I i dette tilfellet det er praktisk å umiddelbart føre den sammensatte inkrementet til fellesnevner. Omtrentlig prøve fullføre oppgaven på slutten av timen (første metode).
Finn derivater per definisjon
Og her må alt reduseres til en bemerkelsesverdig grense. Løsningen formaliseres på den andre måten.
En rekke andre tabellformede derivater. Full liste finnes i skole lærebok, eller for eksempel 1. bind av Fichtenholtz. Jeg ser ikke spesiell betydning kopi fra bøker og bevis på differensieringsreglene - de genereres også
formel
La oss gå videre til faktisk oppståtte oppgaver: Eksempel 5
Finn den deriverte av en funksjon 
, ved å bruke definisjonen av derivat
Løsning: bruk den første designstilen. La oss vurdere et punkt som hører til og sette økningen av argumentet på det. Da er den tilsvarende økningen av funksjonen:
Kanskje har noen lesere ennå ikke fullt ut forstått prinsippet for økninger. Ta et punkt (tall) og finn verdien av funksjonen i det: 
, altså inn i funksjonen
i stedet for "X" skal erstattes. La oss nå ta det
Kompilert funksjonsøkning Det kan være gunstig å umiddelbart forenkle. For hva? Tilrettelegge og forkorte løsningen til en ytterligere grense.
Vi bruker formler, åpner parentesene og forkorter alt som kan forkortes:
Kalkunen er sløyd, ikke noe problem med steken:
Etter hvert: 
Siden du kan velge hvilken som helst kvalitet ekte nummer, så gjør vi erstatningen og får 
.
Svar : 
a-priory.
For verifiseringsformål, la oss finne derivatet ved å bruke reglene
differensiering og tabeller:
Det er alltid nyttig og hyggelig å vite det riktige svaret på forhånd, så det er bedre å skille den foreslåtte funksjonen på en "rask" måte, enten mentalt eller i et utkast, helt i begynnelsen av løsningen.
Finn den deriverte av en funksjon ved definisjon av derivert
Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse. Resultatet er åpenbart:
La oss gå tilbake til stil #2: Eksempel 7
La oss finne ut umiddelbart hva som skal skje. Av regel for differensiering av komplekse funksjoner:
Løsning: vurder vilkårlig poeng, som tilhører, angi økningen av argumentet i den og utgjør økningen
La oss finne den deriverte:
(1) Vi bruker den trigonometriske formelen
(2) Under sinus åpner vi parentesene, under cosinus presenterer vi lignende termer.
(3) Under sinusen kansellerer vi leddene, under cosinus deler vi telleren med nevneren ledd for ledd.
(4) På grunn av sinusens merkelighet tar vi ut "minus". Under kosinus
vi indikerer at begrepet .
(5) Vi utfører kunstig multiplikasjon i nevneren for å bruke først fantastisk grense . Dermed er usikkerheten eliminert, la oss rydde opp i resultatet.
Svar: per definisjon Som du kan se, hviler hovedvanskeligheten ved problemet under vurdering på
kompleksiteten til selve grensen + liten originalitet av emballasjen. I praksis forekommer begge designmetodene, så jeg beskriver begge tilnærmingene så detaljert som mulig. De er likeverdige, men likevel, etter mitt subjektive inntrykk, er det mer tilrådelig for dummies å holde seg til alternativ 1 med "X-null".
Bruk definisjonen, finn den deriverte av funksjonen
Dette er en oppgave du må løse på egenhånd. Prøven er utformet i samme ånd som forrige eksempel.
La oss se på en sjeldnere versjon av problemet:
Finn den deriverte av en funksjon i et punkt ved å bruke definisjonen av derivert.
For det første, hva bør bunnlinjen være? Tall La oss beregne svaret på standardmåten:
Løsning: fra et klarhetssynspunkt er denne oppgaven mye enklere, siden i formelen, i stedet for
en bestemt verdi vurderes.
La oss sette økningen på punktet og komponere den tilsvarende økningen av funksjonen:
La oss beregne den deriverte ved et punkt:
Vi bruker en svært sjelden tangentforskjellsformel 
og nok en gang reduserer vi løsningen til den første
bemerkelsesverdig grense:
Svar: per definisjon av derivat ved et punkt.
Problemet er ikke så vanskelig å løse og «inn generelt syn"- det er nok å erstatte neglen eller bare avhengig av designmetoden. I dette tilfellet er det klart at resultatet ikke vil være et tall, men en avledet funksjon.
Eksempel 10 Bruk definisjonen og finn den deriverte av funksjonen 
på punktet
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd.
Den siste bonusoppgaven er primært beregnet på studenter med dybdestudie matematisk analyse, men det vil ikke skade alle andre heller:
Vil funksjonen være differensierbar? 
på punktet?
Løsning: Det er åpenbart at en stykkevis gitt funksjon er kontinuerlig i et punkt, men vil den være differensierbar der?
Løsningsalgoritme, og ikke bare for stykkevise funksjoner, er:
1) Finn den venstrederiverte ved et gitt punkt: .
2) Finn den høyrederiverte ved et gitt punkt: .
3) Hvis ensidige derivater er endelige og sammenfaller:
, så er funksjonen differensierbar på punktet
geometrisk er det en felles tangent her (se teoretisk del lekse Definisjon og betydning av derivat).
Hvis to mottas forskjellige betydninger: 
(hvorav en kan vise seg å være uendelig), så er ikke funksjonen differensierbar på punktet.
Hvis begge ensidige derivater er lik uendelig
(selv om de har forskjellige fortegn), så er ikke funksjonen det
er differensierbar ved punktet, men det er en uendelig derivert og en felles vertikal tangent til grafen (se eksempelleksjon 5Normal ligning) .
Første nivå
Derivert av en funksjon. Omfattende guide (2019)
La oss forestille oss en rett vei som går gjennom et kupert område. Det vil si at den går opp og ned, men svinger ikke til høyre eller venstre. Hvis aksen er rettet horisontalt langs veien og vertikalt, vil veilinjen være veldig lik grafen til en kontinuerlig funksjon:
Aksen er et visst nivå av null høyde i livet, vi bruker havnivået som det.
Når vi beveger oss fremover langs en slik vei, beveger vi oss også opp eller ned. Vi kan også si: når argumentet endres (bevegelse langs abscisseaksen), endres verdien av funksjonen (bevegelse langs ordinataksen). La oss nå tenke på hvordan vi bestemmer "brattheten" på veien vår? Hva slags verdi kan dette være? Det er veldig enkelt: hvor mye høyden vil endre seg når du beveger deg en viss avstand fremover. Tross alt, på ulike områder veier som beveger seg fremover (langs x-aksen) med én kilometer, vil vi stige eller falle forbi forskjellige mengder meter i forhold til havnivået (langs ordinataksen).
La oss betegne fremgang (les "delta x").
Den greske bokstaven (delta) brukes ofte som et prefiks i matematikk, som betyr "forandring". Det vil si - dette er en endring i mengde, - en endring; så hva er det? Det stemmer, en endring i størrelsesorden.
Viktig: et uttrykk er en enkelt helhet, én variabel. Aldri skille "delta" fra "x" eller noen annen bokstav! Det er for eksempel.
Så vi har beveget oss fremover, horisontalt, ved. Hvis vi sammenligner veiens linje med grafen til funksjonen, hvordan betegner vi da stigningen? Gjerne,. Det vil si at når vi beveger oss fremover, stiger vi høyere.
Verdien er lett å beregne: hvis vi i begynnelsen var i en høyde, og etter å ha flyttet vi befant oss i en høyde, da. Hvis sluttpunkt viste seg å være lavere enn den opprinnelige, vil den være negativ - dette betyr at vi ikke stiger opp, men synker.
La oss gå tilbake til "bratthet": dette er en verdi som viser hvor mye (bratt) høyden øker når du beveger deg en avstandsenhet fremover:
La oss anta at på en del av veien, når man beveger seg en kilometer fremover, stiger veien opp med en kilometer. Da er helningen på dette stedet lik. Og hvis veien, mens den beveget seg fremover med m, sank med km? Da er helningen lik.
La oss nå se på toppen av en ås. Hvis du tar begynnelsen av strekningen en halv kilometer før toppen, og slutten en halv kilometer etter den, kan du se at høyden er nesten den samme.
Det vil si, ifølge vår logikk viser det seg at helningen her er nesten lik null, noe som tydeligvis ikke stemmer. Litt over en strekning på kilometer kan mye endre seg. Mindre områder må vurderes for mer adekvate og nøyaktig vurdering bratthet. Hvis du for eksempel måler høydeendringen når du beveger deg én meter, vil resultatet bli mye mer nøyaktig. Men selv denne nøyaktigheten er kanskje ikke nok for oss - tross alt, hvis det er en stolpe midt på veien, kan vi ganske enkelt passere den. Hvilken avstand skal vi velge da? Centimeter? Millimeter? Mindre er bedre!
I det virkelige livÅ måle avstander til nærmeste millimeter er mer enn nok. Men matematikere streber alltid etter perfeksjon. Derfor ble konseptet oppfunnet uendelig liten, det vil si at den absolutte verdien er mindre enn et hvilket som helst tall vi kan navngi. For eksempel sier du: en trilliondel! Hvor mye mindre? Og du deler dette tallet på - og det blir enda mindre. Og så videre. Hvis vi vil skrive at en mengde er uendelig, skriver vi slik: (vi leser «x har en tendens til null»). Det er veldig viktig å forstå at dette tallet ikke er null! Men veldig nærme det. Dette betyr at du kan dele på det.
Konseptet motsatt til infinitesimal er uendelig stort (). Du har sikkert allerede kommet over det da du jobbet med ulikheter: dette tallet er modulo større enn noe tall du kan tenke deg. Hvis du kommer opp med det størst mulige tallet, multipliserer du det med to og du får et enda større tall. Og fortsatt uendelig Dessuten hva som vil skje. Faktisk er det uendelig store og det uendelig små det motsatte av hverandre, det vil si at, og omvendt: at.
La oss nå gå tilbake til veien vår. Den ideelt beregnede helningen er helningen beregnet for et uendelig lite segment av banen, det vil si:
Jeg legger merke til at med en uendelig forskyvning vil høydeendringen også være uendelig. Men la meg minne deg på at infinitesimal ikke betyr lik null. Hvis du deler infinitesimale tall med hverandre, kan du få ganske vanlig nummer, For eksempel, . Det vil si at en liten verdi kan være nøyaktig ganger større enn en annen.
Hva er alt dette til for? Veien, brattheten... Vi skal ikke på bilrally, men vi underviser i matematikk. Og i matematikk er alt nøyaktig det samme, bare kalt annerledes.
Konseptet avledet
Den deriverte av en funksjon er forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet.
Inkrementelt i matematikk kaller de endring. I hvilken grad argumentet () endres når det beveger seg langs aksen kalles argumentøkning og er betegnet hvor mye funksjonen (høyden) har endret seg når man beveger seg en avstand fremover langs aksen funksjonsøkning og er utpekt.
Så den deriverte av en funksjon er forholdet til når. Vi betegner den deriverte med samme bokstav som funksjonen, bare med et primtall øverst til høyre: eller ganske enkelt. Så la oss skrive den deriverte formelen ved å bruke disse notasjonene:
Som i analogien med veien, her når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ.
Kan den deriverte være lik null? Sikkert. For eksempel, hvis vi kjører på en flat horisontal vei, er brattheten null. Og det er sant, høyden endres ikke i det hele tatt. Slik er det med den deriverte: den deriverte av en konstant funksjon (konstant) er lik null:
siden økningen av en slik funksjon er lik null for en hvilken som helst.
La oss huske eksemplet på en bakketopp. Det viste seg at det var mulig å arrangere endene av segmentet langs forskjellige sider fra toppen, slik at høyden i endene er den samme, det vil si at segmentet er parallelt med aksen:
Men store segmenter er et tegn på unøyaktig måling. Vi vil heve segmentet vårt opp parallelt med seg selv, så vil lengden minke.
Til slutt, når vi er uendelig nær toppen, vil lengden på segmentet bli uendelig liten. Men samtidig forble den parallelt med aksen, det vil si at forskjellen i høyder i endene er lik null (den pleier ikke, men er lik). Så den deriverte
Dette kan forstås slik: når vi står helt øverst, endrer en liten forskyvning til venstre eller høyre høyden vår ubetydelig.
Det er også en rent algebraisk forklaring: til venstre for toppunktet øker funksjonen, og til høyre reduseres den. Som vi fant ut tidligere, når en funksjon øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ. Men den endrer seg jevnt, uten hopp (siden veien ikke endrer helningen kraftig noe sted). Derfor, mellom negativ og positive verdier det må definitivt være. Det vil være der funksjonen verken øker eller minker - ved toppunktet.
Det samme gjelder for trauet (området der funksjonen til venstre avtar og til høyre øker):
Litt mer om økninger.
Så vi endrer argumentet til størrelsesorden. Vi endrer fra hvilken verdi? Hva har det (argumentet) blitt til nå? Vi kan velge hvilket som helst punkt, og nå skal vi danse fra det.
Tenk på et punkt med en koordinat. Verdien av funksjonen i den er lik. Så gjør vi det samme trinnet: vi øker koordinaten med. Hva er argumentet nå? Meget lett: . Hva er verdien av funksjonen nå? Der argumentet går, gjør også funksjonen: . Hva med funksjonsøkning? Ikke noe nytt: Dette er fortsatt beløpet som funksjonen har endret seg med:
Øv på å finne trinn:
- Finn økningen til funksjonen på et punkt når økningen av argumentet er lik.
- Det samme gjelder funksjonen på et punkt.
Løsninger:
I forskjellige punkter med samme argument inkrement vil funksjonen inkrement være annerledes. Dette betyr at den deriverte på hvert punkt er forskjellig (vi diskuterte dette helt i begynnelsen - brattheten til veien er forskjellig på forskjellige punkter). Derfor, når vi skriver en derivert, må vi indikere på hvilket tidspunkt:
Power funksjon.
En potensfunksjon er en funksjon der argumentet til en viss grad er (logisk, ikke sant?).
Dessuten - i noen grad: .
Den enkleste saken- dette er når eksponenten:
La oss finne dens deriverte på et punkt. La oss huske definisjonen av et derivat:
Så argumentasjonen endres fra til. Hva er økningen av funksjonen?
Inkrement er dette. Men en funksjon til enhver tid er lik argumentet. Derfor:
Den deriverte er lik:
Den deriverte av er lik:
b) Vurder nå kvadratisk funksjon (): .
La oss nå huske det. Dette betyr at verdien av økningen kan neglisjeres, siden den er uendelig liten, og derfor ubetydelig på bakgrunn av det andre begrepet:
Så vi kom opp med en annen regel:
c) Vi fortsetter den logiske rekken: .
Dette uttrykket kan forenkles på forskjellige måter: Åpne den første parentesen ved å bruke formelen for forkortet multiplikasjon av kuben av summen, eller faktoriser hele uttrykket ved å bruke formelen for forskjellen av terninger. Prøv å gjøre det selv ved å bruke en av de foreslåtte metodene.
Så jeg fikk følgende:
Og igjen la oss huske det. Dette betyr at vi kan neglisjere alle termer som inneholder:
Vi får: .
d) Lignende regler kan oppnås for store makter:
e) Det viser seg at denne regelen kan generaliseres for en potensfunksjon med en vilkårlig eksponent, ikke engang et heltall:
| (2) |
Regelen kan formuleres med ordene: "graden fremføres som en koeffisient, og deretter reduseres med ."
Vi vil bevise denne regelen senere (nesten helt på slutten). La oss nå se på noen få eksempler. Finn den deriverte av funksjonene:
- (på to måter: ved formel og ved å bruke definisjonen av derivert - ved å beregne økningen av funksjonen);
- . Tro det eller ei, dette er en kraftfunksjon. Hvis du har spørsmål som "Hvordan er dette? Hvor er graden?", husk emnet ""!
Ja, ja, roten er også en grad, bare brøk: .
Dette betyr at kvadratroten vår bare er en potens med en eksponent:
.
Vi ser etter den deriverte ved å bruke den nylig lærte formelen:Hvis det på dette tidspunktet blir uklart igjen, gjenta emnet ""!!! (omtrent grad med negativ indikator)
- . Nå eksponenten:
Og nå gjennom definisjonen (har du glemt ennå?):
;
.
Nå, som vanlig, neglisjerer vi begrepet som inneholder:
. - . Kombinasjon av tidligere saker: .
Trigonometriske funksjoner.
Her skal vi bruke ett faktum fra høyere matematikk:
Med uttrykk.
Du vil lære beviset i det første året på instituttet (og for å komme dit må du bestå Unified State Exam godt). Nå skal jeg bare vise det grafisk:
Vi ser at når funksjonen ikke eksisterer - kuttes punktet på grafen ut. Men jo nærmere verdien, jo nærmere er funksjonen. Dette er det som "måler".
I tillegg kan du sjekke denne regelen ved hjelp av en kalkulator. Ja, ja, ikke vær sjenert, ta en kalkulator, vi er ikke på Unified State Exam ennå.
Så, la oss prøve: ;
Ikke glem å bytte kalkulatoren til Radians-modus!
etc. Vi ser at jo mindre, jo nærmere verdi forhold til
a) Vurder funksjonen. Som vanlig, la oss finne økningen:
La oss gjøre forskjellen på sinus til et produkt. For å gjøre dette bruker vi formelen (husk emnet ""): .
Nå den deriverte:
La oss gjøre en erstatning: . Så for infinitesimal er det også infinitesimal: . Uttrykket for har formen:
Og nå husker vi det med uttrykket. Og også, hva om en uendelig mengde kan neglisjeres i summen (det vil si at).
Så vi får neste regel:den deriverte av sinus er lik cosinus:
Dette er grunnleggende ("tabellform") derivater. Her er de i en liste:
Senere vil vi legge til noen flere til dem, men disse er de viktigste, siden de brukes oftest.
Øve på:
- Finn den deriverte av funksjonen i et punkt;
- Finn den deriverte av funksjonen.
Løsninger:
- Først, la oss finne den deriverte i generell form, og deretter erstatte verdien:
;
. - Her har vi noe lignende strømfunksjon. La oss prøve å bringe henne til
normal visning:
.
Flott, nå kan du bruke formelen:
.
. - . Eeeeeee….. Hva er dette????
Ok, du har rett, vi vet ennå ikke hvordan vi finner slike derivater. Her har vi en kombinasjon av flere typer funksjoner. For å jobbe med dem, må du lære noen flere regler:
Eksponent og naturlig logaritme.
Det er en funksjon i matematikk hvis deriverte for en hvilken som helst verdi er lik verdien av selve funksjonen på samme tid. Det kalles "eksponent", og er en eksponentiell funksjon
Grunnlaget for denne funksjonen er en konstant - den er uendelig desimal, det vil si et irrasjonelt tall (som f.eks.). Det kalles "Euler-nummeret", som er grunnen til at det er angitt med en bokstav.
Så, regelen:
Veldig lett å huske.
Vel, la oss ikke gå langt, la oss se på det med en gang invers funksjon. Hvilken funksjon er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:
I vårt tilfelle er basen tallet:
En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.
Hva er det lik? Selvfølgelig, .
Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:
Eksempler:
- Finn den deriverte av funksjonen.
- Hva er den deriverte av funksjonen?
Svar: Utstiller og naturlig logaritme- funksjoner er unikt enkle når det gjelder derivater. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter la oss gå gjennom reglene differensiering.
Regler for differensiering
Regler for hva? En gang til nytt begrep, en gang til?!...
Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.
Det er alt. Hva annet kan du kalle denne prosessen med ett ord? Ikke avledet... Differensialet til matematikere er den samme økningen av en funksjon ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.
Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:
Det er 5 regler totalt.
Konstanten tas ut av det deriverte tegnet.
Hvis - noen konstant antall(konstant), da.
Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .
La oss bevise det. La det være, eller enklere.
Eksempler.
Finn de deriverte av funksjonene:
- på et punkt;
- på et punkt;
- på et punkt;
- på punktet.
Løsninger:
- (Den deriverte er den samme på alle punkter, siden dette lineær funksjon, husker du?);
Derivat av produktet
Alt er likt her: la oss introdusere en ny funksjon og finne dens økning:
Derivat:
Eksempler:
- Finn de deriverte av funksjonene og;
- Finn den deriverte av funksjonen i et punkt.
Løsninger:
Derivert av en eksponentiell funksjon
Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenter (har du glemt hva det er ennå?).
Så, hvor er et tall.
Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å bringe funksjonen vår til en ny base:
Til dette vil vi bruke enkel regel: . Deretter:
Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.
Skjedd?
Her, sjekk deg selv:
Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av en eksponent: som den var, forblir den den samme, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.
Eksempler:
Finn de deriverte av funksjonene:
Svar:
Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten en kalkulator, det vil si at det ikke kan skrives ned mer i enkel form. Derfor lar vi det stå i denne formen i svaret.
Derivert av en logaritmisk funksjon
Det er likt her: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:
Derfor, for å finne en vilkårlig logaritme med en annen base, for eksempel:
Vi må redusere denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:
Først nå vil vi skrive i stedet:
Nevneren er ganske enkelt en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Deriverten oppnås veldig enkelt:
Derivater av eksponentiell og logaritmiske funksjoner vises nesten aldri i Unified State Examination, men det ville ikke skade å kjenne dem.
Derivat av en kompleks funksjon.
Hva har skjedd " kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en arctangent. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om du synes logaritmen er vanskelig, les emnet "Logarithms" så går det bra), men fra et matematisk synspunkt betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".
Se for deg et lite transportbånd: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Resultatet er en sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise sjokolade, må du gjøre reversere handlinger V omvendt rekkefølge.
La oss lage en lignende matematisk rørledning: først vil vi finne cosinus til et tall, og deretter kvadrere det resulterende tallet. Så vi får et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og deretter firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, utfører den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en andre handling med det som ble resultatet av den første.
Vi kan enkelt gjøre de samme trinnene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du det, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet: . Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Viktig funksjon komplekse funksjoner: når rekkefølgen av handlinger endres, endres funksjonen.
Med andre ord, en kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .
For det første eksemplet, .
Andre eksempel: (samme). .
Handlingen vi gjør sist vil bli kalt "ekstern" funksjon, og handlingen utført først - tilsvarende "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).
Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken intern:
Svar:Å skille indre og ytre funksjoner er veldig likt å endre variabler: for eksempel i en funksjon
- Hvilken handling vil vi utføre først? La oss først beregne sinusen, og først deretter kube den. Dette betyr at det er en intern funksjon, men en ekstern.
Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning: . - Internt: ; ekstern: .
Eksamen:. - Internt: ; ekstern: .
Eksamen:. - Internt: ; ekstern: .
Eksamen:. - Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Vi endrer variabler og får en funksjon.
Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladebaren vår og se etter derivatet. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. I forhold til det originale eksemplet ser det slik ut:
Et annet eksempel:
Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:
Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:
Det virker enkelt, ikke sant?
La oss sjekke med eksempler:
Løsninger:
1) Internt: ;
Ekstern: ;
2) Internt: ;
(Bare ikke prøv å kutte det nå! Ingenting kommer ut under kosinus, husker du?)
3) Internt: ;
Ekstern: ;
Det er umiddelbart klart at dette er en kompleks funksjon på tre nivåer: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og vi trekker også ut roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (vi legger sjokoladen i en innpakning og med et bånd i kofferten). Men det er ingen grunn til å være redd: vi vil fortsatt "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.
Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi det hele.
I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlingene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss se på et eksempel:
Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger er den samme som før:
Her er hekkingen generelt 4-nivå. La oss bestemme handlingsforløpet.
1. Radikalt uttrykk. .
2. Rot. .
3. Sinus. .
4. Firkantet. .
5. Sette det hele sammen:
DERIVAT. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE
Derivert av en funksjon- forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet:
Grunnleggende derivater:
Regler for differensiering:
Konstanten tas ut av det deriverte tegnet:
Avledet av summen:
Avledet av produktet:
Derivat av kvotienten:
Derivert av en kompleks funksjon:
Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:
- Vi definerer den "interne" funksjonen og finner dens deriverte.
- Vi definerer den "eksterne" funksjonen og finner dens deriverte.
- Vi multipliserer resultatene av det første og andre punktet.