Tegn på delbarhet naturlige tall.
Tall som er delelig med 2 uten en rest kallestil og med .
Tall som ikke er jevnt delbare med 2 kallesmerkelig .
Test for delbarhet med 2
Hvis et naturlig tall slutter med et partall, er dette tallet delelig med 2 uten en rest, og hvis et tall slutter med et oddetall, er ikke dette tallet jevnt delelig med 2.
For eksempel tallene 60 , 30 8 , 8 4 er delelig med 2 uten rest, og tallene er 51 , 8 5 , 16 7 er ikke delelig med 2 uten en rest.
Test for delbarhet med 3
Hvis summen av sifrene i et tall er delelig med 3, så er tallet delelig med 3; Hvis summen av sifrene i et tall ikke er delelig med 3, er tallet ikke delelig med 3.
La oss for eksempel finne ut om tallet 2772825 er delelig med 3. For å gjøre dette, la oss beregne summen av sifrene til dette tallet: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - delelig med 3. Dette betyr at tallet 2772825 er delelig med 3.
Delbarhetstest med 5
Hvis posten av et naturlig tall slutter med sifferet 0 eller 5, så er dette tallet delelig med 5 uten en rest.
For eksempel tallene 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 er delelig med 5 uten rest, og tallene er 17 , 37 8 , 9 1 ikke del.
Delbarhetstest med 9
Hvis summen av sifrene i et tall er delelig med 9, så er tallet delelig med 9; Hvis summen av sifrene i et tall ikke er delelig med 9, er tallet ikke delelig med 9.
La oss for eksempel finne ut om tallet 5402070 er delelig med 9. For å gjøre dette, la oss beregne summen av sifrene til dette tallet: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - ikke delelig med 9 Dette betyr at tallet 5402070 ikke er delelig med 9.
Delbarhetstest med 10
Hvis et naturlig tall slutter med sifferet 0, er dette tallet delbart med 10 uten en rest. Hvis et naturlig tall slutter med et annet siffer, er det ikke jevnt delbart med 10.
For eksempel tallene 40 , 17 0 , 1409 0 er delelig med 10 uten rest, og tallene 17 , 9 3 , 1430 7 - ikke del.
Regelen for å finne den største felles divisor (GCD).
For å finne den største felles deler flere naturlige tall, du trenger:
2) fra faktorene som er inkludert i utvidelsen av et av disse tallene, kryss ut de som ikke er inkludert i utvidelsen av andre tall;
3) finn produktet av de resterende faktorene.
Eksempel. La oss finne GCD (48;36). La oss bruke regelen.
1. La oss dekomponere tallene 48 og 36 til primære faktorer.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Fra faktorene som inngår i utvidelsen av tallet 48, sletter vi de som ikke er inkludert i utvidelsen av tallet 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
De resterende faktorene er 2, 2 og 3.
3. Multipliser de resterende faktorene og få 12. Dette tallet er den største felles divisor av tallene 48 og 36.
GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
Regelen for å finne det minste felles multiplum (LCM).
For å finne det minste felles multiplum av flere naturlige tall, må du:
1) faktor dem inn i prime faktorer;
2) skriv ned faktorene som er inkludert i utvidelsen av ett av tallene;
3) legg til de manglende faktorene fra utvidelsene av de gjenværende tallene;
4) finn produktet av de resulterende faktorene.
Eksempel. La oss finne LOC (75;60). La oss bruke regelen.
1. La oss faktorisere tallene 75 og 60 inn i primfaktorer.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. La oss skrive ned faktorene som er inkludert i utvidelsen av tallet 75: 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Legg til dem de manglende faktorene fra utvidelsen av tallet 60, dvs. 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Finn produktet av de resulterende faktorene
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Det største naturlige tallet som tallene a og b deles med uten rest kalles største felles deler disse tallene. Angi GCD(a, b).
La oss vurdere å finne GCD ved å bruke eksemplet med to naturlige tall 18 og 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Og 432
La oss faktorere tallene inn i primfaktorer:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Ved å krysse ut fra det første tallet hvis faktorene ikke er i det andre og tredje tallet, får vi:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Som et resultat, GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Finne GCD ved å bruke den euklidiske algoritmen
Den andre måten å finne den største felles divisoren er å bruke Euklidisk algoritme. Euklid-algoritmen er den mest effektiv måte finne GCD, ved å bruke det må du hele tiden finne resten av deletallene og bruke gjentakelsesformel.
Gjentakelsesformel for GCD, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), hvor a mod b er resten av a delt på b.
Euklids algoritme
Eksempel Finn den største felles deleren for tall 7920 Og 594
La oss finne GCD( 7920 , 594 ) ved å bruke den euklidiske algoritmen, vil vi beregne resten av divisjonen ved hjelp av en kalkulator.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Som et resultat får vi GCD( 7920 , 594 ) = 198
Minste felles multiplum
For å finne fellesnevner når du legger til og trekker fra brøker med ulike nevnere du må vite og kunne beregne minste felles multiplum(NOK).
Et multiplum av tallet "a" er et tall som i seg selv er delelig med tallet "a" uten en rest.
Tall som er multipler av 8 (det vil si at disse tallene er delbare med 8 uten en rest): dette er tallene 16, 24, 32...
Multipler av 9: 18, 27, 36, 45...
Det er uendelig mange multipler av et gitt tall a, i motsetning til divisorene til samme tall. Det er et begrenset antall divisorer.
Felles multiplum av to naturlige tall er et tall som er delelig med begge disse tallene..
Minste felles multiplum(LCM) av to eller flere naturlige tall er det minste naturlige tallet som i seg selv er delelig med hvert av disse tallene.
Hvordan finne NOC
LCM kan finnes og skrives på to måter.
Den første måten å finne LOC
Denne metoden brukes vanligvis for små tall.
- Vi skriver ned multiplene for hvert tall på en linje til vi finner et multiplum som er likt for begge tallene.
- Vi betegner et multiplum av tallet "a" stor bokstav"TIL".
Eksempel. Finn LCM 6 og 8.
Den andre måten å finne LOC på
Denne metoden er praktisk å bruke for å finne LCM for tre eller flere tall.
Antall identiske faktorer i dekomponering av tall kan være forskjellig.
LCM(24; 60) = 2 2 3 5 2
Svar: LCM (24, 60) = 120
Du kan også formalisere å finne det minste felles multiplum (LCM) på følgende måte. La oss finne LOC (12, 16, 24).
24 = 2 2 2 3
Som vi ser fra dekomponeringen av tall, er alle faktorer på 12 inkludert i dekomponeringen av 24 (det største av tallene), så vi legger bare en 2 fra dekomponeringen av tallet 16 til LCM.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Svar: LCM (12, 16, 24) = 48
Spesielle tilfeller av å finne en NPL
For eksempel, LCM (60, 15) = 60
Siden koprimtall ikke har noen felles primtall, er deres minste felles multiplum lik produktet av disse tallene.
På nettsiden vår kan du også bruke en spesiell kalkulator for å finne det minste vanlige multiplumet på nettet for å sjekke beregningene dine.
Hvis et naturlig tall bare er delelig med 1 og seg selv, kalles det primtall.
Ethvert naturlig tall er alltid delelig med 1 og seg selv.
Tallet 2 er det minste primtallet. Dette er det eneste partallsprimtallet, resten av primtallene er oddetall.
Det er mange primtall, og det første blant dem er tallet 2. Det er imidlertid ikke noe siste primtall. I "For Study"-delen kan du laste ned en tabell med primtall opptil 997.
Men mange naturlige tall er også delbare med andre naturlige tall.
- tallet 12 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12;
- Tallet 36 er delelig med 1, med 2, med 3, med 4, med 6, med 12, med 18, med 36.
- dekomponere talls divisorer i primfaktorer;
Tallene som tallet er delelig med en hel (for 12 er disse 1, 2, 3, 4, 6 og 12) kalles tallets divisorer.
Divisor av et naturlig tall a er et naturlig tall som deler gitt nummer"a" uten rest.
Et naturlig tall som har mer enn to delere kalles sammensatt.
Vær oppmerksom på at tallene 12 og 36 har felles faktorer. Disse tallene er: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Den største deleren av disse tallene er 12.
Fellesdeleren for to gitte tall "a" og "b" er tallet som begge gitte tall "a" og "b" er delt med uten rest.
Største felles deler(GCD) av to gitte tall "a" og "b" er største antall, som begge tallene "a" og "b" er delt med uten en rest.
Kort fortalt er den største felles divisor av tallene "a" og "b" skrevet som følger::
Eksempel: gcd (12; 36) = 12.
Divisorer av tall i løsningsnotasjonen er merket med stor bokstav "D".
Tallene 7 og 9 har bare én felles deler - tallet 1. Slike tall kalles coprimtall.
Coprime tall- dette er naturlige tall som bare har én felles divisor - tallet 1. Deres gcd er 1.
Hvordan finne den største felles divisor
For å finne gcd for to eller flere naturlige tall trenger du:
Det er praktisk å skrive beregninger ved hjelp av en vertikal strek. Til venstre for linjen skriver vi først ned utbyttet, til høyre - divisor. Deretter skriver vi ned verdiene til kvotientene i venstre kolonne.
La oss forklare det med en gang med et eksempel. La oss faktorisere tallene 28 og 64 til primfaktorer.
- Vi legger vekt på de samme primfaktorene i begge tallene.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Finn produktet av identiske primfaktorer og skriv ned svaret;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Svar: GCD (28; 64) = 4
Du kan formalisere plasseringen av GCD på to måter: i en kolonne (som gjort ovenfor) eller "på rad".
Den første måten å skrive GCD på
Finn gcd 48 og 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Den andre måten å skrive gcd på
La oss nå skrive ned løsningen til GCD-søket på en linje. Finn gcd 10 og 15.
På informasjonssiden vår kan du også bruke Greatest Common Divisor online-hjelperen for å sjekke beregningene dine.
Finne det minste felles multiplumet, metoder, eksempler på å finne LCM.
Materialet som presenteres nedenfor er en logisk videreføring av teorien fra artikkelen med tittelen LCM - minste felles multiplum, definisjon, eksempler, sammenheng mellom LCM og GCD. Her skal vi snakke om finne det minste felles multiplum (LCM), Og Spesiell oppmerksomhet La oss fokusere på å løse eksempler. Først vil vi vise hvordan LCM for to tall beregnes ved å bruke GCD for disse tallene. Deretter skal vi se på å finne det minste felles multiplum ved å faktorisere tall i primfaktorer. Etter dette vil vi fokusere på å finne LCM av tre og mer tall, og vær også oppmerksom på å beregne LCM for negative tall.
Sidenavigering.
Beregning av minste felles multiplum (LCM) via GCD
En måte å finne det minste felles multiplumet er basert på forholdet mellom LCM og GCD. Eksisterende tilkobling mellom LCM og GCD lar deg beregne det minste felles multiplum av to heltall positive tall gjennom den kjente største felles deleren. Den tilsvarende formelen er LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). La oss vurdere eksempler på å finne LCM ved å bruke den gitte formelen.
Finn det minste felles multiplum av to tall 126 og 70.
I dette eksemplet a=126 , b=70 . La oss bruke forbindelsen mellom LCM og GCD, uttrykt ved formelen LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) . Det vil si at vi først må finne den største felles divisoren av tallene 70 og 126, hvoretter vi kan beregne LCM for disse tallene ved å bruke den skrevne formelen.
La oss finne GCD(126, 70) ved å bruke den euklidiske algoritmen: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, derfor GCD(126, 70)=14.
Nå finner vi det minste felles multiplumet som kreves: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Hva er LCM(68, 34) lik?
Siden 68 er delelig med 34, er GCD(68, 34)=34. Nå beregner vi det minste felles multiplum: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Merk at det forrige eksemplet passer til følgende regel for å finne LCM for positive heltall a og b: hvis a er delelig med b, er det minste felles multiplum av disse tallene a.
Finne LCM ved å faktorisere tall til primfaktorer
En annen måte å finne det minste felles multiplumet er basert på å faktorisere tall i primfaktorer. Hvis du komponerer et produkt fra alle primfaktorene til gitte tall, og deretter ekskluderer fra dette produktet alle de vanlige primfaktorene som er tilstede i dekomponeringene av de gitte tallene, vil det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av de gitte tallene .
Den oppgitte regelen for å finne LCM følger av likheten LCM(a, b)=a·b:GCD(a,b) . Faktisk er produktet av tallene a og b lik produktet av alle faktorer som er involvert i utvidelsen av tallene a og b. I sin tur, gcd(a, b) lik produktet alle primfaktorer som samtidig er tilstede i utvidelsene av tallene a og b (som beskrevet i avsnittet om å finne GCD ved å bruke utvidelsen av tall til primfaktorer).
La oss gi et eksempel. La oss vite at 75=3·5·5 og 210=2·3·5·7. La oss komponere produktet fra alle faktorene til disse utvidelsene: 2·3·3·5·5·5·7 . Nå fra dette produktet ekskluderer vi alle faktorene som er tilstede i både utvidelsen av tallet 75 og utvidelsen av tallet 210 (disse faktorene er 3 og 5), så vil produktet ha formen 2·3·5·5·7 . Verdien av dette produktet er lik det minste felles multiplum av tallene 75 og 210, det vil si LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Faktorer tallene 441 og 700 inn i primfaktorer og finn det minste felles multiplum av disse tallene.
La oss faktorisere tallene 441 og 700 til primfaktorer: 
Vi får 441=3·3·7·7 og 700=2·2·5·5·7.
La oss nå komponere et produkt fra alle faktorene som er involvert i utvidelsen av disse tallene: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. La oss ekskludere fra dette produktet alle faktorer som er tilstede samtidig i begge utvidelsene (det er bare en slik faktor - dette er tallet 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Således, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441; 700)= 44 100 .
Regelen for å finne LCM ved å bruke faktorisering av tall til primfaktorer kan formuleres litt annerledes. Hvis de manglende faktorene fra utvidelsen av tallet b legges til faktorene fra utvidelsen av tallet a, vil verdien av det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av tallene a og b.
La oss for eksempel ta de samme tallene 75 og 210, deres dekomponering til primfaktorer er som følger: 75=3·5·5 og 210=2·3·5·7. Til faktorene 3, 5 og 5 fra utvidelsen av tallet 75 legger vi de manglende faktorene 2 og 7 fra utvidelsen av tallet 210, vi får produktet 2·3·5·5·7, hvis verdi er lik LCM(75, 210).
Finn det minste felles multiplum av 84 og 648.
Vi får først dekomponeringene av tallene 84 og 648 til primfaktorer. De ser ut som 84=2·2·3·7 og 648=2·2·2·3·3·3·3. Til faktorene 2, 2, 3 og 7 fra utvidelsen av tallet 84 legger vi til de manglende faktorene 2, 3, 3 og 3 fra utvidelsen av tallet 648, vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7, som er lik 4 536 . Dermed er det ønskede minste felles multiplum av 84 og 648 4536.
Finne LCM for tre eller flere tall
Det minste felles multiplum av tre eller flere tall kan bli funnet ved å finne LCM for to tall sekvensielt. La oss huske det tilsvarende teoremet, som gir en måte å finne LCM for tre eller flere tall.
La positive heltall a 1, a 2, …, a k gis, det minste felles multiplum m k av disse tallene er funnet ved å sekvensielt beregne m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = LCM(m 2, a 3), … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
La oss vurdere bruken av denne teoremet ved å bruke eksemplet med å finne det minste felles multiplum av fire tall.
Finn LCM for fire tall 140, 9, 54 og 250.
Først finner vi m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) . For å gjøre dette, ved hjelp av den euklidiske algoritmen, bestemmer vi GCD(140, 9), vi har 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, derfor GCD(140, 9)=1, hvorfra LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. Det vil si, m 2 = 1 260.
Nå finner vi m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54). La oss beregne det gjennom GCD(1 260, 54), som vi også bestemmer ved hjelp av den euklidiske algoritmen: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Deretter gcd(1,260, 54)=18, hvorfra gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Det vil si, m 3 = 3 780.
Det gjenstår å finne m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250). For å gjøre dette finner vi GCD(3,780, 250) ved å bruke den euklidiske algoritmen: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Derfor GCD(3,780; 250)=10, hvorfra GCD(3,780; 250)= 3,780·250:GCD(3,780; 250)= 3,780·250:10=94,500. Det vil si, m 4 = 94 500.
Så det minste felles multiplum av de opprinnelige fire tallene er 94 500.
LCM(140; 9; 54; 250)=94.500 .
I mange tilfeller er det praktisk å finne det minste felles multiplum av tre eller flere tall ved å bruke primfaktoriseringer av de gitte tallene. I dette tilfellet bør du følge neste regel. Det minste felles multiplum av flere tall er lik produktet, som er sammensatt som følger: de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet legges til alle faktorene fra utvidelsen av det første tallet, de manglende faktorene fra utvidelsen av det tredje tallet legges til de resulterende faktorene, og så videre.
La oss se på et eksempel på å finne det minste felles multiplum ved å bruke primfaktorisering.
Finn det minste felles multiplum av de fem tallene 84, 6, 48, 7, 143.
Først får vi dekomponeringer av disse tallene til primfaktorer: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 er et primtall, det sammenfaller med dens dekomponering til primfaktorer) og 143=11·13.
For å finne LCM for disse tallene, til faktorene til det første tallet 84 (de er 2, 2, 3 og 7), må du legge til de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet 6. Dekomponeringen av tallet 6 inneholder ikke manglende faktorer, siden både 2 og 3 allerede er til stede i dekomponeringen av det første tallet 84. Ved siden av faktorene 2, 2, 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 2 og 2 fra utvidelsen av det tredje tallet 48, vi får et sett med faktorene 2, 2, 2, 2, 3 og 7. Til denne satt på neste steg det er ikke nødvendig å legge til multiplikatorer siden 7 allerede er inneholdt i den. Til slutt, til faktorene 2, 2, 2, 2, 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 11 og 13 fra utvidelsen av tallet 143. Vi får produktet 2·2·2·2·3·7·11·13, som er lik 48.048.
Derfor er LCM(84; 6; 48; 7; 143)=48.048.
LCM(84; 6; 48; 7; 143)=48.048 .
Finne det minste felles multiplum av negative tall
Noen ganger er det oppgaver der du må finne det minste felles multiplum av tall, blant hvilke ett, flere eller alle tall er negative. I disse tilfellene alt negative tall du må erstatte dem med de motsatte tallene, og deretter finne LCM for positive tall. Dette er måten å finne LCM for negative tall. For eksempel, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) og LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Vi kan gjøre dette fordi settet med multipler av a sammenfaller med settet med multipler av −a (a og −a er motsatte tall). La b være et eller annet multiplum av a, da er b delelig med a, og begrepet delebarhet angir eksistensen av et heltall q slik at b=a·q. Men likheten b=(−a)·(−q) vil også være sann, som på grunn av det samme delelighetsbegrepet betyr at b er delelig med −a, det vil si at b er et multiplum av −a. Det motsatte er også sant: hvis b er et multiplum av −a, så er b også et multiplum av a.
Finn det minste felles multiplum av negative tall −145 og −45.
La oss erstatte de negative tallene −145 og −45 med deres motsatte tall 145 og 45. Vi har LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) . Etter å ha bestemt GCD(145, 45)=5 (for eksempel ved å bruke den euklidiske algoritmen), beregner vi GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Dermed er det minste felles multiplum av de negative heltall -145 og -45 1305.
www.cleverstudents.ru
Vi fortsetter å studere divisjon. I denne leksjonen skal vi se på begreper som f.eks GCD Og INGEN C.
GCD er den største felles deleren.
INGEN C er det minste felles multiplum.
Emnet er ganske kjedelig, men du må definitivt forstå det. Uten å forstå dette emnet vil du ikke være i stand til å jobbe effektivt med brøker, som er en reell hindring i matematikk.
Største felles deler
Definisjon. Største felles deler av tall en Og b en Og b delt uten rest.
For å forstå denne definisjonen godt, la oss erstatte variablene en Og b hvilke som helst to tall, for eksempel, i stedet for en variabel en La oss erstatte tallet 12, og i stedet for variabelen b nummer 9. La oss nå prøve å lese denne definisjonen:
Største felles deler av tall 12 Og 9 er det største tallet som 12 Og 9 delt uten rest.
Fra definisjonen er det klart at vi snakker om felles divisor for tallene 12 og 9, og denne divisoren er den største av alle eksisterende divisorer. Denne største felles divisor (GCD) må finnes.
For å finne den største felles divisor av to tall, brukes tre metoder. Den første metoden er ganske arbeidskrevende, men den lar deg tydelig forstå essensen av emnet og føle dens fulle betydning.
Den andre og tredje metoden er ganske enkle og gjør det mulig å raskt finne en GCD. Vi skal se på alle tre metodene. Og hvilken du skal bruke i praksis er opp til deg å velge.
Den første metoden er å finne alle mulige divisorer av to tall og velge den største. La oss se på denne metoden ved å bruke følgende eksempel: finn den største felles deleren av tallene 12 og 9.
Først vil vi finne alle mulige divisorer av tallet 12. For å gjøre dette deler vi 12 på alle divisorer i området fra 1 til 12. Hvis divisoren lar oss dele 12 uten en rest, vil vi fremheve det i blå og lag en passende forklaring i parentes.
12: 1 = 12
(12 er delt på 1 uten en rest, noe som betyr at 1 er en deler av tallet 12)
12: 2 = 6
(12 er delt på 2 uten en rest, noe som betyr at 2 er en deler av tallet 12)
12: 3 = 4
(12 er delt på 3 uten en rest, noe som betyr at 3 er en deler av tallet 12)
12: 4 = 3
(12 er delt på 4 uten en rest, noe som betyr at 4 er en deler av tallet 12)
12: 5 = 2 (2 til overs)
(12 deles ikke på 5 uten en rest, noe som betyr at 5 ikke er en divisor av tallet 12)
12: 6 = 2
(12 er delt på 6 uten en rest, noe som betyr at 6 er en deler av tallet 12)
12: 7 = 1 (5 til overs)
(12 er ikke delt på 7 uten en rest, noe som betyr at 7 ikke er en divisor av tallet 12)
12: 8 = 1 (4 rester)
(12 deles ikke på 8 uten en rest, noe som betyr at 8 ikke er en divisor av tallet 12)
12: 9 = 1 (3 til overs)
(12 deles ikke på 9 uten en rest, noe som betyr at 9 ikke er en divisor av tallet 12)
12: 10 = 1 (2 til overs)
(12 er ikke delt på 10 uten en rest, noe som betyr at 10 ikke er en divisor av tallet 12)
12: 11 = 1 (1 rest)
(12 deles ikke på 11 uten en rest, noe som betyr at 11 ikke er en divisor av 12)
12: 12 = 1
(12 er delt på 12 uten en rest, noe som betyr at 12 er en deler av tallet 12)
La oss nå finne divisorene til tallet 9. For å gjøre dette, sjekk alle divisorene fra 1 til 9
9: 1 = 9
(9 er delt på 1 uten en rest, noe som betyr at 1 er en deler av tallet 9)
9: 2 = 4 (1 rest)
(9 deles ikke på 2 uten en rest, noe som betyr at 2 ikke er en divisor av tallet 9)
9: 3 = 3
(9 er delt på 3 uten en rest, noe som betyr at 3 er en deler av tallet 9)
9: 4 = 2 (1 rest)
(9 deles ikke på 4 uten en rest, noe som betyr at 4 ikke er en divisor av tallet 9)
9: 5 = 1 (4 til overs)
(9 deles ikke på 5 uten en rest, noe som betyr at 5 ikke er en divisor av tallet 9)
9: 6 = 1 (3 til overs)
(9 deles ikke på 6 uten en rest, noe som betyr at 6 ikke er en divisor av tallet 9)
9: 7 = 1 (2 til overs)
(9 deles ikke på 7 uten en rest, noe som betyr at 7 ikke er en deler av tallet 9)
9: 8 = 1 (1 rest)
(9 deles ikke på 8 uten en rest, noe som betyr at 8 ikke er en divisor av tallet 9)
9: 9 = 1
(9 er delt på 9 uten en rest, noe som betyr at 9 er en deler av tallet 9)
La oss nå skrive ned divisorene til begge tallene. Tallene uthevet i blått er divisorer. La oss skrive dem ned:
Ved å skrive ut divisorene kan du umiddelbart finne ut hvilken som er størst og vanligst.
Per definisjon er den største felles divisor av tallene 12 og 9 tallet som deler 12 og 9 uten en rest. Den største og felles deleren av tallene 12 og 9 er tallet 3
Både tallet 12 og tallet 9 er delelig med 3 uten en rest:
Så gcd (12 og 9) = 3
Den andre måten å finne GCD på
La oss nå se på den andre metoden for å finne den største felles divisor. Essensen denne metoden er å faktorisere begge tallene til primfaktorer og multiplisere de vanlige.
Eksempel 1. Finn gcd-en til tallene 24 og 18
Først, la oss faktorere begge tallene inn i primfaktorer:
La oss nå multiplisere dem felles faktorer. For å unngå forvirring kan vanlige faktorer vektlegges.
Vi ser på utvidelsen av tallet 24. Den første faktoren er 2. Vi ser etter den samme faktoren i utvidelsen av tallet 18 og ser at den er der også. Vi legger vekt på begge to:
Vi ser igjen på utvidelsen av tallet 24. Den andre faktoren er også 2. Vi ser etter den samme faktoren i utvidelsen av tallet 18 og ser at den ikke er der for andre gang. Da legger vi ikke vekt på noe.
De to neste i utvidelsen av tallet 24 er også fraværende i utvidelsen av tallet 18.
La oss gå videre til den siste faktoren i utvidelsen av tallet 24. Dette er faktor 3. Vi ser etter den samme faktoren i utvidelsen av tallet 18 og ser at den er der også. Vi legger vekt på begge tre:
Så de vanlige faktorene for tallene 24 og 18 er faktorene 2 og 3. For å få GCD må disse faktorene multipliseres:
Så gcd (24 og 18) = 6
Den tredje måten å finne GCD på
La oss nå se på den tredje måten å finne den største felles divisoren. Essensen av denne metoden er at tallene som skal finnes for den største felles divisor dekomponeres i primfaktorer. Deretter, fra utvidelsen av det første tallet, blir faktorer som ikke er inkludert i utvidelsen av det andre tallet krysset ut. De resterende tallene i den første utvidelsen multipliseres og oppnås GCD.
La oss for eksempel finne GCD for tallene 28 og 16 ved å bruke denne metoden. Først av alt, dekomponerer vi disse tallene i primfaktorer:
Vi fikk to utvidelser: og
Nå fra dekomponeringen av det første tallet vil vi slette faktorene som ikke er inkludert i dekomponeringen av det andre tallet. Utvidelsen av det andre tallet inkluderer ikke syv. La oss stryke det ut fra den første utvidelsen:
Nå multipliserer vi de gjenværende faktorene og får GCD:
Tallet 4 er den største felles divisor av tallene 28 og 16. Begge disse tallene er delbare med 4 uten en rest:
Eksempel 2. Finn gcd for tallene 100 og 40
Faktorer tallet 100
Faktorer tallet 40
Vi har to utvidelser:
Nå fra dekomponeringen av det første tallet vil vi slette faktorene som ikke er inkludert i dekomponeringen av det andre tallet. Utvidelsen av det andre tallet inkluderer ikke én femmer (det er bare én femmer). La oss stryke det ut fra den første utvidelsen
La oss multiplisere de gjenværende tallene:
Vi fikk svaret 20. Dette betyr at tallet 20 er den største felles divisor av tallene 100 og 40. Disse to tallene er delbare med 20 uten en rest:
GCD (100 og 40) = 20.
Eksempel 3. Finn gcd for tallene 72 og 128
Faktorer tallet 72
Faktorer tallet 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Nå fra dekomponeringen av det første tallet vil vi slette faktorene som ikke er inkludert i dekomponeringen av det andre tallet. Utvidelsen av det andre tallet inkluderer ikke to trillinger (de er ikke der i det hele tatt). La oss krysse dem ut fra den første utvidelsen:
Vi fikk svaret 8. Dette betyr at tallet 8 er den største felles deleren av tallene 72 og 128. Disse to tallene er delbare med 8 uten rest:
GCD (72 og 128) = 8
Finner GCD for flere tall
Den største felles divisor kan finnes for flere tall, ikke bare to. For å gjøre dette, dekomponeres tallene som skal finnes for den største felles divisor i primfaktorer, deretter blir produktet av de felles primfaktorene til disse tallene funnet.
La oss for eksempel finne GCD for tallene 18, 24 og 36
La oss faktorisere tallet 18
La oss faktorisere tallet 24
La oss faktorisere tallet 36
Vi har tre utvidelser:
La oss nå fremheve og understreke de vanlige faktorene i disse tallene. Vanlige faktorer må vises i alle tre tallene:
Vi ser at de felles faktorene for tallene 18, 24 og 36 er faktorene 2 og 3. Multipliserer disse faktorene, får vi gcd-en vi ser etter:
Vi fikk svaret 6. Dette betyr at tallet 6 er den største felles deleren av tallene 18, 24 og 36. Disse tre tallene er delbare med 6 uten en rest:
GCD (18, 24 og 36) = 6
Eksempel 2. Finn GCD for nummer 12, 24, 36 og 42
La oss faktorere hvert tall inn i primfaktorer. Så finner vi produktet av fellesfaktorene til disse tallene.
La oss faktorisere tallet 12
La oss faktorisere tallet 42
Vi har fire utvidelser:
La oss nå fremheve og understreke de vanlige faktorene i disse tallene. Vanlige faktorer må vises i alle fire tallene:
Vi ser at de felles faktorene for tallene 12, 24, 36 og 42 er faktorene 2 og 3. Å multiplisere disse faktorene sammen gir oss gcd-en vi ser etter:
Vi fikk svaret 6. Dette betyr at tallet 6 er den største felles divisor av tallene 12, 24, 36 og 42. Disse tallene er delbare med 6 uten rest:
GCD (12, 24, 36 og 42) = 6
Fra forrige leksjon vet vi at hvis et tall deles med et annet uten en rest, kalles det et multiplum av dette tallet.
Det viser seg at flere tall kan ha et felles multiplum. Og nå vil vi være interessert i multiplumet av to tall, og det skal være så lite som mulig.
Definisjon. Minste felles multiplum (LCM) av tall en Og b- en Og b en og nummer b.
Definisjonen inneholder to variabler en Og b. La oss erstatte to vilkårlige tall i stedet for disse variablene. For eksempel i stedet for en variabel en La oss erstatte tallet 9, og i stedet for variabelen b La oss erstatte tallet 12. La oss nå prøve å lese definisjonen:
Minste felles multiplum (LCM) av tall 9 Og 12 - Dette minste antall, som er et multiplum 9 Og 12 . Dette er med andre ord et så lite tall som er delelig uten en rest med tallet 9 og etter nummer 12 .
Fra definisjonen er det klart at LCM er det minste tallet som er delelig med 9 og 12 uten en rest. Denne LCM må finnes.
For å finne det minste felles multiplum (LCM), kan du bruke to metoder. Den første måten er at du kan skrive ned de første multiplene av to tall, og deretter velge blant disse multiplene et tall som vil være felles for både tall og lite. La oss bruke denne metoden.
Først av alt, la oss finne de første multiplene av tallet 9. For å finne multiplene av 9, må du multiplisere disse ni en etter en med tall fra 1 til 9. De resulterende svarene vil være multipler av tallet 9. Så, la oss begynne. Vi vil markere multipler i rødt:
Nå finner vi multiplene av tallet 12. For å gjøre dette multipliserer vi 12 en etter en med alle tallene 1 til 12.
Nå og i det følgende vil vi anta at minst ett av disse tallene er ikke-null. Hvis alle gitte tall er lik null, er deres felles divisor et hvilket som helst heltall, og siden det er uendelig mange heltall, kan vi ikke snakke om det største av dem. Derfor kan vi ikke snakke om den største felles divisor av tall, som hver er lik null.
Nå kan vi gi bestemme den største felles divisor to tall.
Definisjon.
Største felles deler to heltall er det største heltall som deler to gitte heltall.
For å kort skrive den største felles divisor, brukes ofte forkortelsen GCD – Greatest Common Divisor. Dessuten er den største felles divisor av to tall a og b ofte betegnet som GCD(a, b) .
La oss gi eksempel på største felles divisor (GCD) to heltall. Den største felles divisor av tallene 6 og −15 er 3. La oss begrunne dette. La oss skrive ned alle divisorene til tallet seks: ±6, ±3, ±1, og divisorene til tallet −15 er tallene ±15, ±5, ±3 og ±1. Nå kan du finne alle felles divisorer for tallene 6 og −15, disse er tallene −3, −1, 1 og 3. Siden −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .
Å bestemme den største felles divisor av tre eller flere heltall ligner på å bestemme gcd for to tall.
Definisjon.
Største felles deler tre eller flere heltall er det største heltall som deler alle gitte tall samtidig.
Vi vil betegne den største felles divisor av n heltall a 1 , a 2 , …, a n som GCD(a 1 , a 2 , …, a n) . Hvis verdien b av den største felles divisor av disse tallene finnes, kan vi skrive GCD(a 1 , a 2 , …, a n)=b.
Som et eksempel, la oss gi gcd av fire heltall −8, 52, 16 og −12, den er lik 4, det vil si gcd(−8, 52, 16, −12)=4. Dette kan kontrolleres ved å skrive ned alle divisorene til de gitte tallene, velge vanlige fra dem og bestemme den største felles divisoren.
Merk at den største felles divisor av heltall kan være lik ett av disse tallene. Dette utsagnet er sant hvis alle gitte tall er delbare med ett av dem (beviset er gitt i neste avsnitt i denne artikkelen). For eksempel, GCD(15; 60; −45)=15. Dette er sant, siden 15 deler både tallet 15 og tallet 60, og tallet −45, og det er ingen felles divisor for tallene 15, 60 og −45 som overstiger 15.
Av spesiell interesse er de såkalte relativt primtallene - de heltallene hvis største felles divisor er lik en.
Egenskaper til den største felles divisor, euklidisk algoritme
Den største felles divisor har en rekke karakteristiske resultater, med andre ord en rekke egenskaper. Nå skal vi liste opp de viktigste egenskapene til den største felles divisor (GCD), vil vi formulere dem i form av teoremer og umiddelbart gi bevis.
Vi vil formulere alle egenskapene til den største felles divisoren for positive heltall, og vi vil kun vurdere de positive divisorene til disse tallene.
Den største felles divisor av tallene a og b er lik den største felles divisor av tallene b og a , det vil si gcd(a, b) = gcd(a, b) .
Denne egenskapen til GCD følger direkte av definisjonen av den største felles divisor.
Hvis a er delelig med b, så faller settet med felles divisorer for tallene a og b sammen med settet med divisorer for tallet b, spesielt gcd(a, b)=b.
Bevis.
Enhver felles divisor for tallene a og b er en divisor for hvert av disse tallene, inkludert tallet b. På den annen side, siden a er et multiplum av b, så er enhver divisor av tallet b en divisor av tallet a på grunn av det faktum at delebarhet har egenskapen transitivitet, derfor er enhver divisor av tallet b en felles divisor av tallene a og b. Dette beviser at hvis a er delelig med b, så faller settet med divisorer av tallene a og b sammen med settet med divisorer til ett tall b. Og siden den største deleren av tallet b er selve tallet b, så er den største felles divisoren av tallene a og b også lik b, det vil si gcd(a, b)=b.
Spesielt hvis tallene a og b er like, da gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. For eksempel, GCD(132; 132)=132.
Den påviste egenskapen til den største divisoren lar oss finne gcd for to tall når ett av dem deles med det andre. I dette tilfellet er GCD lik ett av disse tallene, som er delt med et annet tall. For eksempel, GCD(8, 24)=8, siden 24 er et multiplum av åtte.
Hvis a=b·q+c, hvor a, b, c og q er heltall, så faller settet med felles divisorer for tallene a og b sammen med settet med felles divisorer for tallene b og c, spesielt gcd (a, b)=gcd (b, c).
La oss rettferdiggjøre denne egenskapen til GCD.
Siden likheten a=b·q+c gjelder, deler hver felles deler av tallene a og b også c (dette følger av delebarhetens egenskaper). Av samme grunn deler hver felles divisor av b og c a. Derfor sammenfaller settet med felles divisorer for tallene a og b med settet med felles divisorer for tallene b og c. Spesielt må den største av disse felles divisorene også falle sammen, det vil si at følgende likhet GCD(a, b) = GCD(b, c) må være sann.
Nå skal vi formulere og bevise et teorem, som er Euklidisk algoritme. Euclid-algoritmen lar deg finne GCD for to tall (se finne GCD ved hjelp av Euclid-algoritmen). Dessuten vil Euclid-algoritmen tillate oss å bevise følgende egenskaper til den største felles divisor.
Før du gir formuleringen av teoremet, anbefaler vi at du frisker opp minnet om teoremet fra teoridelen, som sier at utbyttet a kan representeres som b q + r, der b er en divisor, q er et heltall kalt en ufullstendig kvotient, og r er et heltall som tilfredsstiller betingelsen, kalt resten.
Så la en serie likheter være sann for to positive heltall a og b som ikke er null 
slutter når r k+1 =0 (noe som er uunngåelig, siden b>r 1 >r 2 >r 3 , ... er en serie av avtagende heltall, og denne serien kan ikke inneholde mer enn endelig nummer positive tall), så er r k den største felles divisor av tallene a og b, det vil si r k = GCD(a, b) .
Bevis.
La oss først bevise at r k er en felles divisor av tallene a og b, hvoretter vi skal vise at r k ikke bare er en divisor, men den største felles divisor av tallene a og b.
Vi vil bevege oss langs de skriftlige likhetene fra bunn til topp. Fra den siste likheten kan vi si at r k−1 er delelig med r k . Når vi tar hensyn til dette faktum, så vel som den forrige egenskapen til GCD, tillater den nest siste likheten r k−2 =r k−1 ·q k +r k oss å si at r k−2 er delelig med r k, siden r k−1 er delelig med r k og r k er delelig med r k. I analogi konkluderer vi fra den tredje likheten nedenfra at r k−3 er delelig med r k . Og så videre. Fra den andre likheten får vi at b er delelig med r k , og fra den første likheten får vi at a er delelig med r k . Derfor er r k en felles deler av tallene a og b.
Det gjenstår å bevise at r k = GCD(a, b) . For det er nok å vise at enhver felles divisor av tallene a og b (la oss betegne det r 0 ) deler r k .
Vi vil bevege oss langs de opprinnelige likhetene fra topp til bunn. På grunn av den forrige egenskapen følger det av den første likheten at r 1 er delelig med r 0. Så fra den andre likheten får vi at r 2 er delelig med r 0 . Og så videre. Fra den siste likheten får vi at r k er delelig med r 0 . Dermed er r k = GCD(a, b) .
Av den betraktede egenskapen til den største felles divisor følger det at settet med felles divisorer av tallene a og b faller sammen med settet med divisorer til den største felles divisoren av disse tallene. Denne konsekvensen fra Euklids algoritme lar oss finne alle felles divisorer for to tall som divisorer av gcd for disse tallene.
La a og b være heltall, ikke samtidig lik null, så er det slike heltall u 0 og v 0 , så er likheten GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 sann. Den siste likheten er en lineær representasjon av den største felles divisor av tallene a og b, denne likheten kalles Bezout-relasjonen, og tallene u 0 og v 0 kalles Bezout-koeffisientene.
Bevis.
Ved å bruke den euklidiske algoritmen kan vi skrive følgende likheter
Fra den første likheten har vi r 1 =a−b·q 1, og, som betegner 1=s 1 og −q 1 =t 1, har denne likheten formen r 1 =s 1 ·a+t 1 ·b, og tallene s 1 og t 1 er heltall. Så får vi fra den andre likheten r 2 =b−r 1 ·q 2 = b−(s 1 ·a+t 1 ·b)·q 2 =−s 1 ·q 2 ·a+(1−t 1 ·q 2)·b. Angir −s 1 ·q 2 =s 2 og 1−t 1 ·q 2 =t 2, den siste likheten kan skrives som r 2 =s 2 ·a+t 2 ·b, og s 2 og t 2 er heltall (siden summen, differansen og produktet av heltall er et heltall). På samme måte får vi fra den tredje likheten r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, fra den fjerde likheten r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b, og så videre. Til slutt, r k =s k ·a+t k ·b, hvor s k og t k er heltall. Siden r k =GCD(a, b) , og angir s k =u 0 og t k =v 0 , får vi en lineær representasjon av GCD av den nødvendige formen: GCD(a, b)=a·u 0 +b·v 0 .
Hvis m er et naturlig tall, da GCD(m a, m b)=m GCD(a, b).
Begrunnelsen for denne egenskapen til den største felles divisor er som følger. Hvis vi multipliserer med m på begge sider av hver av likhetene til den euklidiske algoritmen, får vi at GCD(m·a, m·b)=m·r k , og r k er GCD(a, b) . Derfor, GCD(m a, m b)=m GCD(a, b).
Metoden for å finne GCD ved å bruke primfaktorisering er basert på denne egenskapen til den største felles divisor.
La p være en hvilken som helst felles deler av tallene a og b, da gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, spesielt hvis p=GCD(a, b) vi har gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, det vil si at tallene a:GCD(a, b) og b:GCD(a, b) er relativt prime.
Siden a=p·(a:p) og b=p·(b:p) , og på grunn av den forrige egenskapen, kan vi skrive en kjede av likheter av formen GCD(a, b)=GCD(p (a:p), p (b:p))= p·GCD(a:p, b:p) , hvorfra likheten som bevises følger.
Egenskapen til den største felles divisor som vi nettopp har bevist er grunnlaget for .
La oss nå snakke om GCD-egenskapen, som reduserer problemet med å finne den største felles divisor av tre eller flere tall til sekvensielt å finne GCD av to tall.
Største felles deler av tallene a 1 , a 2 , …, a k lik tallet d k , som er funnet ved å sekvensielt beregne GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k - 1, a k)=d k.
Beviset er basert på en konsekvens av den euklidiske algoritmen. Fellesdelerene til tallene a 1 og a 2 faller sammen med divisorene til d 2. Da faller de felles divisorene til tallene a 1, a 2 og a 3 sammen med de felles divisorene til tallene d 2 og a 3, derfor faller de sammen med divisorene til d 3. Fellesdelerene til tallene a 1, a 2, a 3 og a 4 faller sammen med fellesdelerene til d 3 og a 4, derfor sammenfaller de med divisorene til d 4. Og så videre. Til slutt faller fellesdelerene til tallene a 1, a 2, ..., a k sammen med divisorene d k. Og siden den største deleren av tallet d k er tallet d k selv, da GCD(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.
Dette avslutter vår gjennomgang av de grunnleggende egenskapene til den største felles divisoren.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. og andre. 6. klasse: lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner.
- Vinogradov I.M. Grunnleggende om tallteori.
- Mikhelovich Sh.H. Tallteori.
- Kulikov L.Ya. og andre Samling av problemer i algebra og tallteori: Opplæringen for studenter i fysikk og matematikk. spesialiteter ved pedagogiske institutter.
For å lære hvordan du finner den største felles divisor for to eller flere tall, må du forstå hva naturlige, primtall og komplekse tall er.
Et naturlig tall er et hvilket som helst tall som brukes til å telle hele objekter.
Hvis et naturlig tall bare kan deles i seg selv og ett, kalles det primtall.
Alle naturlige tall kan deles inn i seg selv og ett, men det eneste partall primtall er 2, kan alle andre deles på to. Derfor kan bare oddetall være primtall.
Det er mange primtall full liste de eksisterer ikke. For å finne GCD er det praktisk å bruke spesielle tabeller med slike tall.
De fleste naturlige tall kan deles ikke bare med ett selv, men også med andre tall. Så for eksempel kan tallet 15 deles med ytterligere 3 og 5. Alle kalles deler av tallet 15.
Dermed er divisoren til enhver A tallet som den kan deles med uten en rest. Hvis et tall har mer enn to naturlige delere, kalles det kompositt.
Tallet 30 kan ha divisorer som 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Du vil legge merke til at 15 og 30 har samme divisor 1, 3, 5, 15. Den største felles divisor av disse to tallene er 15.
Dermed er felles divisor for tallene A og B tallet som de kan deles helt med. Den største kan betraktes som maksimum totalt antall, som de kan deles inn i.
For å løse problemer brukes følgende forkortede inskripsjon:
GCD (A; B).
For eksempel, GCD (15; 30) = 30.
For å skrive ned alle divisorene til et naturlig tall, bruk notasjonen:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
GCD (9; 15) = 1
I i dette eksemplet Naturlige tall har bare én felles faktor. De kalles relativt prime, så enhet er deres største felles deler.
Hvordan finne den største felles deleren av tall
For å finne gcd for flere tall, trenger du:
Finn alle divisorer for hvert naturlig tall separat, det vil si faktor dem inn i faktorer (primtall);
Velg alle identiske faktorer for gitte tall;
Multipliser dem sammen.
For eksempel, for å beregne den største felles divisor av tallene 30 og 56, vil du skrive følgende:
For å unngå forvirring er det praktisk å skrive ned faktorer ved hjelp av vertikale kolonner. På venstre side av linjen må du plassere utbyttet, og på høyre side - divisoren. Under utbyttet bør du angi den resulterende kvotienten.
Så i høyre kolonne vil det være alle faktorene som trengs for løsningen.
Identiske divisorer (funnet faktorer) kan understrekes for enkelhets skyld. De skal skrives om og multipliseres og den største felles divisor skrives ned.
GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10
Så enkelt er det egentlig å finne den største felles divisor av tall. Øver du litt kan du gjøre dette nesten automatisk.
Største felles deler
Definisjon 2
Hvis et naturlig tall a er delelig med et naturlig tall $b$, kalles $b$ en divisor av $a$, og $a$ kalles et multiplum av $b$.
La $a$ og $b$ være naturlige tall. Tallet $c$ kalles felles divisor for både $a$ og $b$.
Settet med felles divisorer for tallene $a$ og $b$ er endelig, siden ingen av disse divisorene kan være større enn $a$. Dette betyr at blant disse divisorene er det en største, som kalles den største felles divisor av tallene $a$ og $b$ og er betegnet med følgende notasjon:
$GCD\(a;b)\ eller \D\(a;b)$
For å finne den største felles divisor av to tall trenger du:
- Finn produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.
Eksempel 1
Finn gcd for tallene $121$ og $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Velg tallene som er inkludert i utvidelsen av disse tallene
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Finn produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.
$GCD=2\cdot 11=22$
Eksempel 2
Finn gcd av monomialene $63$ og $81$.
Vi vil finne i henhold til den presenterte algoritmen. For dette:
La oss faktorere tallene inn i primfaktorer
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Vi velger tallene som inngår i utvidelsen av disse tallene
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
La oss finne produktet av tallene som ble funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være den ønskede største felles divisor.
$GCD=3\cdot 3=9$
Du kan finne gcd for to tall på en annen måte, ved å bruke et sett med talldelere.
Eksempel 3
Finn gcd for tallene $48$ og $60$.
Løsning:
La oss finne settet med divisorer for tallet $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
La oss nå finne settet med divisorer for tallet $60$:$\ \venstre\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\høyre\) $
La oss finne skjæringspunktet mellom disse settene: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - dette settet vil bestemme settet med felles divisorer for tallene $48$ og $60 $. Det største elementet i dette settet vil være tallet $12$. Dette betyr at den største felles divisor av tallene $48$ og $60$ er $12$.
Definisjon av NPL
Definisjon 3
Felles multiplum av naturlige tall$a$ og $b$ er et naturlig tall som er et multiplum av både $a$ og $b$.
Felles multipler av tall er tall som er delbare med de opprinnelige tallene uten en rest. For eksempel, for tallene $25$ og $50$, vil fellesmultiplene være $50,100,150,200$, etc.
Det minste felles multiplum vil bli kalt det minste felles multiplum og vil bli betegnet LCM$(a;b)$ eller K$(a;b).$
For å finne LCM for to tall, må du:
- Faktorer tall inn i primfaktorer
- Skriv ned faktorene som er en del av det første tallet og legg til dem faktorene som er en del av det andre og ikke er en del av det første
Eksempel 4
Finn LCM for tallene $99$ og $77$.
Vi vil finne i henhold til den presenterte algoritmen. For dette
Faktorer tall inn i primfaktorer
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Skriv ned faktorene som er inkludert i den første
legg til dem multiplikatorer som er en del av den andre og ikke en del av den første
Finn produktet av tallene funnet i trinn 2. Det resulterende tallet vil være det ønskede minste felles multiplum
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Å sette sammen lister over deler av tall er ofte en svært arbeidskrevende oppgave. Det er en måte å finne GCD på kalt den euklidiske algoritmen.
Utsagn som den euklidiske algoritmen er basert på:
Hvis $a$ og $b$ er naturlige tall, og $a\vdots b$, så er $D(a;b)=b$
Hvis $a$ og $b$ er naturlige tall slik at $b
Ved å bruke $D(a;b)= D(a-b;b)$ kan vi suksessivt redusere tallene som vurderes til vi når et tallpar slik at det ene er delbart med det andre. Da vil det minste av disse tallene være den ønskede største felles divisor for tallene $a$ og $b$.
Egenskaper til GCD og LCM
- Ethvert felles multiplum av $a$ og $b$ er delelig med K$(a;b)$
- Hvis $a\vdots b$, så К$(a;b)=a$
Hvis K$(a;b)=k$ og $m$ er et naturlig tall, så K$(am;bm)=km$
Hvis $d$ er en felles divisor for $a$ og $b$, så K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $
Hvis $a\vdots c$ og $b\vdots c$, så er $\frac(ab)(c)$ felles multiplum av $a$ og $b$
For alle naturlige tall $a$ og $b$ gjelder likheten
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Enhver felles divisor for tallene $a$ og $b$ er en divisor av tallet $D(a;b)$