Teorem.

Det finnes et uendelig antall primtall.

Bevis.

La oss anta at dette ikke er tilfelle. Det vil si, anta at det bare er n primtall, og disse primtallene er p 1, p 2, ..., p n. La oss vise at vi alltid kan finne et primtall som er forskjellig fra de som er angitt.

Betrakt tallet p lik p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Det er tydelig at dette tallet er forskjellig fra hvert av primtallene p 1, p 2, ..., p n. Hvis tallet p er primtall, er teoremet bevist. Hvis dette tallet er sammensatt, så er det i kraft av forrige teorem en primtallsdeler for dette tallet (vi betegner det p n+1). La oss vise at denne divisor ikke faller sammen med noen av tallene p 1, p 2, ..., p n.

Hvis dette ikke var tilfellet, ville produktet p 1 ·p 2 ·…·p n i henhold til delebarhetens egenskaper blitt delt med p n+1. Men tallet p er også delelig med p n+1, lik summen p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Det følger at p n+1 må dele det andre leddet av denne summen, som er lik én, men dette er umulig.

Dermed er det bevist at det alltid kan finnes et nytt primtall som ikke er inkludert blant et hvilket som helst antall forhåndsbestemte primtall. Derfor er det uendelig mange primtall.

Så, på grunn av det faktum at det er et uendelig antall primtall, når du kompilerer tabeller med primtall, begrenser du deg alltid ovenfra til et eller annet tall, vanligvis 100, 1000, 10 000, etc.

Sil av Eratosthenes

Nå skal vi diskutere måter å lage tabeller med primtall på. Anta at vi må lage en tabell med primtall opp til 100.

Den mest åpenbare metoden for å løse dette problemet er å sekvensielt sjekke positive heltall, starter fra 2 og slutter med 100, for tilstedeværelsen av en positiv divisor som er større enn 1 og mindre enn tallet som testes (fra egenskapene til delbarhet vi kjenner til at den absolutte verdien av divisor ikke overstiger den absolutte verdien av utbyttet, ikke-null). Hvis en slik divisor ikke blir funnet, er tallet som testes primtall, og det legges inn i primtallstabellen. Hvis en slik divisor blir funnet, er tallet som testes sammensatt det er IKKE lagt inn i primtallstabellen. Etter dette er det en overgang til neste tall, som på samme måte sjekkes for tilstedeværelse av en divisor.

La oss beskrive de første trinnene.

Vi starter med tallet 2. Tallet 2 har ingen andre positive deler enn 1 og 2. Derfor er det enkelt, derfor legger vi det inn i tabellen med primtall. Her skal det sies at 2 er det minste primtallet. La oss gå videre til nummer 3. Dens mulige positive deler enn 1 og 3 er tallet 2. Men 3 er ikke delelig med 2, derfor er 3 et primtall, og det må også inkluderes i tabellen over primtall. La oss gå videre til nummer 4. Dens positive divisorer andre enn 1 og 4 kan være tallene 2 og 3, la oss sjekke dem. Tallet 4 er delelig med 2, derfor er 4 et sammensatt tall og trenger ikke å inkluderes i primtallstabellen. Vær oppmerksom på at 4 er det minste sammensatte tallet. La oss gå videre til nummer 5. Vi sjekker om minst ett av tallene 2, 3, 4 er dens divisor. Siden 5 ikke er delelig med 2, 3 eller 4, så er det primtall, og det må skrives ned i primtallstabellen. Deretter er det en overgang til tallene 6, 7, og så videre opp til 100.

Denne tilnærmingen til å kompilere en tabell med primtall er langt fra ideell. På en eller annen måte har han rett til å eksistere. Merk at med denne metoden for å konstruere en tabell med heltall, kan du bruke delebarhetskriterier, noe som vil fremskynde prosessen med å finne divisorer.

Det er en mer praktisk måte å lage en tabell med primtall på, kalt. Ordet "sil" som er til stede i navnet er ikke tilfeldig, siden handlingene til denne metoden hjelper så å si å "sile" hele tall og store enheter gjennom silen til Eratosthenes for å skille enkle fra sammensatte.

La oss vise silen til Eratosthenes i aksjon når vi kompilerer en tabell med primtall opp til 50.

Skriv først ned tallene 2, 3, 4, ..., 50 i rekkefølge.

Det første tallet som er skrevet, 2, er primtall. Nå, fra nummer 2, beveger vi oss sekvensielt til høyre med to tall og krysser ut disse tallene til vi kommer til slutten av talltabellen som kompileres. Dette vil krysse ut alle tall som er multipler av to.

Det første tallet etter 2 som ikke er krysset ut er 3. Dette tallet er primtall. Nå, fra nummer 3, beveger vi oss sekvensielt til høyre med tre tall (med tanke på de allerede utstrekede tallene) og krysser dem ut. Dette vil krysse ut alle tall som er multipler av tre.

Det første tallet etter 3 som ikke er krysset ut er 5. Dette tallet er primtall. Nå fra tallet 5 flytter vi konsekvent til høyre med 5 tall (vi tar også hensyn til tallene som er krysset ut tidligere) og krysser dem ut. Dette vil krysse ut alle tall som er multipler av fem.

Deretter krysser vi ut tall som er multipler av 7, deretter multipler av 11, og så videre. Prosessen avsluttes når det ikke er flere tall å krysse av. Nedenfor er den fullførte tabellen med primtall opp til 50, oppnådd ved hjelp av silen til Eratosthenes. Alle ukrysset tall er primtall, og alle utkryssede tall er sammensatte.

La oss også formulere og bevise et teorem som vil fremskynde prosessen med å kompilere en tabell med primtall ved hjelp av silen til Eratosthenes.

Teorem.

Den minste positive divisor av et sammensatt tall a som er forskjellig fra en overskrider ikke , hvor er fra a .

Bevis.

La oss betegne med bokstaven b den minste divisor av et sammensatt tall a som er forskjellig fra en (tallet b er primtall, som følger av teoremet bevist helt i begynnelsen av forrige avsnitt). Så er det et heltall q slik at a=b·q (her er q et positivt heltall, som følger av reglene for multiplikasjon av heltall), og (for b>q brytes betingelsen om at b er minste divisor av a , siden q også er en divisor av tallet a på grunn av likheten a=q·b ). Multipliserer begge sider av ulikheten med et positivt heltall b større enn én (vi har lov til å gjøre dette), får vi , hvorfra og .

Hva gir det beviste teoremet oss angående silen til Eratosthenes?

For det første bør det å krysse ut sammensatte tall som er multipler av et primtall b begynne med et tall lik (dette følger av ulikheten). For eksempel bør krysse ut tall som er multipler av to begynne med tallet 4, multipler av tre med tallet 9, multipler av fem med tallet 25, og så videre.

For det andre kan kompilering av en tabell med primtall opp til tallet n ved hjelp av silen til Eratosthenes betraktes som komplett når alle sammensatte tall som er multipler av primtall ikke overstiger . I vårt eksempel er n=50 (siden vi lager en tabell med primtall opp til 50), og derfor bør sikten til Eratosthenes eliminere alle sammensatte tall som er multipler av primtallene 2, 3, 5 og 7 som gjør det ikke overstige den aritmetiske kvadratroten av 50. Det vil si at vi ikke lenger trenger å søke etter og krysse ut tall som er multipler av primtall 11, 13, 17, 19, 23 og så videre opp til 47, siden de allerede vil være krysset ut som multipler av mindre primtall 2 , 3, 5 og 7.

Er dette tallet primtall eller sammensatt?

Noen oppgaver krever å finne ut om et gitt tall er primtall eller sammensatt. Generelt er denne oppgaven langt fra enkel, spesielt for tall hvis skriving består av et betydelig antall tegn. I de fleste tilfeller må du se etter en bestemt måte å løse det på. Vi vil imidlertid prøve å gi retning til tankegangen for enkle saker.

Selvfølgelig kan du prøve å bruke delebarhetstester for å bevise at et gitt tall er sammensatt. Hvis for eksempel en test av delebarhet viser at et gitt tall er delelig med et positivt heltall større enn ett, så er det opprinnelige tallet sammensatt.

Eksempel.

Bevis at 898.989.898.989.898.989 er et sammensatt tall.

Løsning.

Summen av sifrene i dette tallet er 9·8+9·9=9·17. Siden tallet lik 9·17 er delelig med 9, kan vi ved delbarhet med 9 si at det opprinnelige tallet også er delelig med 9. Derfor er den sammensatt.

En betydelig ulempe med denne tilnærmingen er at delebarhetskriteriene ikke tillater en å bevise primiteten til et tall. Derfor, når du tester et tall for å se om det er primtall eller sammensatt, må du gå frem annerledes.

Den mest logiske tilnærmingen er å prøve alle mulige divisorer for et gitt tall. Hvis ingen av de mulige divisorene er en sann divisor av et gitt tall, vil dette tallet være primtall, ellers vil det være sammensatt. Fra teoremene bevist i forrige avsnitt, følger det at divisorer av et gitt tall a må søkes blant primtall som ikke overstiger . Dermed kan et gitt tall a sekvensielt divideres med primtall (som hensiktsmessig er hentet fra tabellen over primtall), og prøver å finne divisoren til tallet a. Hvis en divisor er funnet, er tallet a sammensatt. Hvis det blant primtallene ikke overstiger , er det ingen deler av tallet a, så er tallet a primtall.

Eksempel.

Antall 11 723 enkel eller sammensatt?

Løsning.

La oss finne ut til hvilket primtall divisorene til tallet 11 723 kan være. For å gjøre dette, la oss evaluere.

Det er ganske åpenbart det , siden 200 2 =40 000 og 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью sammenligning av tall). Dermed er de mulige primfaktorene på 11 723 mindre enn 200. Dette gjør allerede vår oppgave mye enklere. Hvis vi ikke visste dette, ville vi måtte gå gjennom alle primtallene ikke opp til 200, men opp til tallet 11 723.

Om ønskelig kan du vurdere mer nøyaktig. Siden 108 2 = 11 664 og 109 2 = 11 881, deretter 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Dermed er et hvilket som helst av primtallene mindre enn 109 potensielt en primfaktor av det gitte tallet 11 723.

Nå skal vi sekvensielt dele tallet 11 723 inn i primtall 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Hvis tallet 11.723 deles på et av de skrevne primtallene, vil det være sammensatt. Hvis det ikke er delelig med noen av de skrevne primtallene, er det opprinnelige tallet primtall.

Vi vil ikke beskrive hele denne monotone og monotone delingsprosessen. La oss si med en gang at 11.723

• Oversettelse

Egenskapene til primtall ble først studert av matematikere fra antikkens Hellas. Matematikere fra Pythagoras skole (500 - 300 f.Kr.) var først og fremst interessert i de mystiske og numerologiske egenskapene til primtall. De var de første som kom med ideer om perfekte og vennlige tall.

Et perfekt tall har summen av sine egne divisorer lik seg selv. For eksempel er de riktige divisorene for tallet 6 1, 2 og 3. 1 + 2 + 3 = 6. Divisorene for tallet 28 er 1, 2, 4, 7 og 14. Dessuten, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Tall kalles vennlige hvis summen av de riktige divisorene til ett tall er lik et annet, og omvendt - for eksempel 220 og 284. Vi kan si at et perfekt tall er vennlig mot seg selv.

På tidspunktet for Euklids elementer i 300 f.Kr. Flere viktige fakta om primtall er allerede bevist. I elementets bok IX beviste Euklid at det finnes et uendelig antall primtall. Dette er forresten et av de første eksemplene på bruk av bevis ved selvmotsigelse. Han beviser også aritmetikkens grunnleggende teorem - hvert heltall kan representeres unikt som et produkt av primtall.

Han viste også at hvis tallet 2n-1 er primtall, vil tallet 2n-1 * (2n-1) være perfekt. En annen matematiker, Euler, var i stand til å vise i 1747 at alle jevne perfekte tall kan skrives i denne formen. Til i dag er det ukjent om odde perfekte tall eksisterer.

I år 200 f.Kr. Den greske Eratosthenes kom opp med en algoritme for å finne primtall kalt Sieve of Eratosthenes.

Og så ble det et stort brudd i historien til studiet av primtall, knyttet til middelalderen.

Følgende funn ble gjort allerede på begynnelsen av 1600-tallet av matematikeren Fermat. Han beviste Albert Girards formodning om at ethvert primtall av formen 4n+1 kan skrives unikt som summen av to kvadrater, og formulerte også teoremet om at et hvilket som helst tall kan skrives som summen av fire kvadrater.

Han utviklet en ny metode for faktorisering av store tall, og demonstrerte den på tallet 2027651281 = 44021 × 46061. Han beviste også Fermats lille teorem: hvis p er et primtall, så vil det for ethvert heltall a være sant at a p = en modulo s.

Denne uttalelsen beviser halvparten av det som ble kjent som den "kinesiske formodningen" og dateres tilbake 2000 år: et heltall n er primtall hvis og bare hvis 2 n -2 er delelig med n. Den andre delen av hypotesen viste seg å være feil - for eksempel er 2341 - 2 delelig med 341, selv om tallet 341 er sammensatt: 341 = 31 × 11.

Fermats lille teorem fungerte som grunnlag for mange andre resultater innen tallteori og metoder for å teste om tall er primtall – hvorav mange fortsatt brukes i dag.

Fermat korresponderte mye med sin samtid, spesielt med en munk som het Maren Mersenne. I et av brevene hans antok han at tall på formen 2 n +1 alltid vil være primtall hvis n er en potens av to. Han testet dette for n = 1, 2, 4, 8 og 16, og var sikker på at i tilfellet der n ikke var en potens av to, var tallet ikke nødvendigvis primtall. Disse tallene kalles Fermats tall, og bare 100 år senere viste Euler at neste tall, 2 32 + 1 = 4294967297, er delelig med 641, og derfor ikke er primtall.

Tall på formen 2 n - 1 har også vært gjenstand for forskning, siden det er lett å vise at hvis n er sammensatt, så er selve tallet også sammensatt. Disse tallene kalles Mersenne-tall fordi han studerte dem mye.

Men ikke alle tall på formen 2 n - 1, der n er primtall, er primtall. For eksempel, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Dette ble først oppdaget i 1536.

I mange år ga tall av denne typen matematikere de største kjente primtallene. At M 19 ble bevist av Cataldi i 1588, og i 200 år var det største kjente primtallet, inntil Euler beviste at M 31 også var primtall. Denne rekorden sto i ytterligere hundre år, og så viste Lucas at M 127 er primtall (og dette er allerede et tall på 39 sifre), og etter det fortsatte forskningen med fremkomsten av datamaskiner.

I 1952 ble primiteten til tallene M 521, M 607, M 1279, M 2203 og M 2281 bevist.

I 2005 var det funnet 42 Mersenne-primtal. Den største av dem, M 25964951, består av 7816230 sifre.

Eulers arbeid hadde en enorm innvirkning på tallteorien, inkludert primtall. Han utvidet Fermats lille teorem og introduserte φ-funksjonen. Faktoriserte det 5. Fermat-tallet 2 32 +1, fant 60 par vennlige tall og formulerte (men kunne ikke bevise) den kvadratiske gjensidighetsloven.

Han var den første som introduserte metoder for matematisk analyse og utviklet analytisk tallteori. Han beviste at ikke bare den harmoniske serien ∑ (1/n), men også en serie av formen

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Resultatet oppnådd ved summen av de gjensidige av primtall divergerer også. Summen av n ledd av den harmoniske serien vokser omtrent som log(n), og den andre serien divergerer saktere som log[ log(n) ]. Dette betyr at for eksempel summen av de resiproke av alle primtall funnet til dags dato bare vil gi 4, selv om rekken fortsatt divergerer.

Ved første øyekast ser det ut til at primtall er fordelt ganske tilfeldig mellom heltall. For eksempel, blant de 100 tallene rett før 10000000 er det 9 primtall, og blant de 100 tallene rett etter denne verdien er det bare 2. Men over store segmenter er primtallene fordelt ganske jevnt. Legendre og Gauss behandlet spørsmål om distribusjonen deres. Gauss fortalte en gang en venn at i alle ledige 15 minutter teller han alltid antall primtall i de neste 1000 tallene. Ved slutten av livet hadde han telt alle primtallene opp til 3 millioner. Legendre og Gauss beregnet like mye at for stor n er primtettheten 1/log(n). Legendre estimerte antall primtall i området fra 1 til n as

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Og Gauss er som et logaritmisk integral

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Med et integrasjonsintervall fra 2 til n.

Utsagnet om tettheten av primtall 1/log(n) er kjent som Prime Distribution Theorem. De prøvde å bevise det gjennom hele 1800-tallet, og fremskritt ble oppnådd av Chebyshev og Riemann. De koblet det sammen med Riemann-hypotesen, en fortsatt uprøvd hypotese om fordelingen av nuller av Riemann-zeta-funksjonen. Tettheten av primtall ble samtidig bevist av Hadamard og Vallée-Poussin i 1896.

Det er fortsatt mange uløste spørsmål i primtallsteorien, noen av dem er hundrevis av år gamle:

• Tvillingprimtallshypotesen handler om et uendelig antall par med primtall som skiller seg fra hverandre med 2
• Goldbachs formodning: ethvert partall, som starter med 4, kan representeres som summen av to primtall
• Er det et uendelig antall primtall på formen n 2 + 1?
• Er det alltid mulig å finne et primtall mellom n 2 og (n + 1) 2? (det faktum at det alltid er et primtall mellom n og 2n ble bevist av Chebyshev)
• Er antallet Fermat-primtal uendelig? Er det noen Fermat-primtall etter 4?
• er det en aritmetisk progresjon av påfølgende primtall for en gitt lengde? for eksempel for lengde 4: 251, 257, 263, 269. Maksimal lengde funnet er 26.
• Er det et uendelig antall sett med tre påfølgende primtall i en aritmetisk progresjon?
• n 2 - n + 41 er et primtall for 0 ≤ n ≤ 40. Er det et uendelig antall slike primtall? Det samme spørsmålet for formelen n 2 - 79 n + 1601. Disse tallene er primtall for 0 ≤ n ≤ 79.
• Er det et uendelig antall primtall på formen n# + 1? (n# er resultatet av å multiplisere alle primtall mindre enn n)
• Finnes det et uendelig antall primtall på formen n# -1?
• Er det et uendelig antall primtall på formen n? + 1?
• Finnes det et uendelig antall primtall på formen n? - 1?
• hvis p er primtall, inneholder ikke 2 p -1 alltid primtallskvadrater blant faktorene?
• inneholder Fibonacci-sekvensen et uendelig antall primtall?

De største tvillingprimtallene er 2003663613 × 2 195000 ± 1. De består av 58711 sifre og ble oppdaget i 2007.

Det største faktorielle primtallet (av typen n! ± 1) er 147855! - 1. Den består av 142891 sifre og ble funnet i 2002.

Det største primtall (et tall på formen n# ± 1) er 1098133# + 1.

Definisjon 1. primtall- er et naturlig tall som er større enn ett som bare kan deles med seg selv og 1.

Med andre ord er et tall primtall hvis det bare har to distinkte naturlige delere.

Definisjon 2. Ethvert naturlig tall som har andre delere enn seg selv og en kalles et sammensatt tall.

Naturlige tall som ikke er primtall kalles med andre ord sammensatte tall. Fra definisjon 1 følger det at et sammensatt tall har mer enn to naturlige faktorer. Tallet 1 er verken primtall eller sammensatt pga har bare én divisor 1 og i tillegg holder mange teoremer angående primtall ikke for enhet.

Fra definisjon 1 og 2 følger det at hvert positivt heltall større enn 1 er enten et primtall eller et sammensatt tall.

Nedenfor er et program for å vise primtall opp til 5000. Fyll ut cellene, klikk på "Opprett"-knappen og vent noen sekunder.

Primtallstabell

Uttalelse 1. Hvis s- primtall og en hvilket som helst heltall, da heller en delt på s, eller s Og en coprimtall.

Egentlig. Hvis s Et primtall er bare delelig med seg selv og 1 hvis en ikke delelig med s, da den største felles divisor en Og s er lik 1. Da s Og en coprimtall.

Uttalelse 2. Hvis produktet av flere tall med tall en 1 , en 2 , en 3, ... er delelig med et primtall s, deretter minst ett av tallene en 1 , en 2 , en 3, ...delelig med s.

Egentlig. Hvis ingen av tallene var delelig med s, deretter tallene en 1 , en 2 , en 3, ... ville være coprimtall med hensyn til s. Men fra konsekvens 3 () følger det at deres produkt en 1 , en 2 , en 3, ... er også relativt prime mht s, som motsier betingelsen i uttalelsen. Derfor er minst ett av tallene delelig med s.

Teorem 1. Ethvert sammensatt tall kan alltid representeres på en unik måte som et produkt av et endelig antall primtall.

Bevis. La k sammensatt nummer, og la en 1 er en av dens divisorer forskjellig fra 1 og seg selv. Hvis en 1 er sammensatt, har da i tillegg til 1 og en 1 og en annen divisor en 2. Hvis en 2 er et sammensatt tall, så har det i tillegg til 1 og en 2 og en annen divisor en 3. Resonnerer på denne måten og tar i betraktning at tallene en 1 , en 2 , en 3 , ... reduseres og denne serien inneholder et endelig antall ledd, vil vi nå et primtall s 1 . Deretter k kan representeres i skjemaet

Anta at det er to dekomponeringer av et tall k:

Fordi k=p 1 s 2 s 3...delelig med et primtall q 1, da minst én av faktorene, for eksempel s 1 er delelig med q 1 . Men s 1 er et primtall og er bare delelig med 1 og seg selv. Derfor s 1 =q 1 (fordi q 1 ≠1)

Så fra (2) kan vi ekskludere s 1 og q 1:

Dermed er vi overbevist om at hvert primtall som vises som en faktor i den første utvidelsen en eller flere ganger, også vises i den andre utvidelsen minst like mange ganger, og omvendt, ethvert primtall som vises som en faktor i den andre utvidelsen en eller flere ganger vises også i den første utvidelsen minst like mange ganger. Derfor vises et hvilket som helst primtall som en faktor i begge utvidelsene like mange ganger, og derfor er disse to utvidelsene like.■

Utvidelse av et sammensatt tall k kan skrives i følgende form

Hvor s 1 , s 2, ... forskjellige primtall, α, β, γ ... positive heltall.

Utvidelse (3) kalles kanonisk utvidelse tall.

Primtall forekommer ujevnt i rekken av naturlige tall. I noen deler av raden er det flere av dem, i andre - mindre. Jo lenger vi beveger oss langs tallrekken, jo mindre vanlige er primtall. Spørsmålet oppstår, er det et største primtall? Den antikke greske matematikeren Euklid beviste at det finnes uendelig mange primtall. Vi presenterer dette beviset nedenfor.

Teorem 2. Antall primtall er uendelig.

Bevis. Anta at det er et endelig antall primtall, og la det største primtallet være s. La oss vurdere alle tall større s. Ved å anta utsagnet må disse tallene være sammensatte og må være delbare med minst ett av primtallene. La oss velge et tall som er produktet av alle disse primtallene pluss 1:

Antall z mer s fordi 2p allerede mer s. s er ikke delelig med noen av disse primtallene, fordi når de divideres med hver av dem gir resten av 1. Dermed kommer vi til en selvmotsigelse. Derfor er det et uendelig antall primtall.

Denne teoremet er et spesialtilfelle av en mer generell teorem:

Teorem 3. La det gis en aritmetisk progresjon

Deretter er ethvert primtall inkludert i n, bør inkluderes i m, derfor i n andre hovedfaktorer som ikke er inkludert i m og dessuten disse hovedfaktorene i n er ikke inkludert flere ganger enn i m.

Det motsatte er også sant. Hvis hver primfaktor av et tall n inkludert minst like mange ganger i antallet m, Det m delt på n.

Uttalelse 3. La en 1 ,en 2 ,en 3,... forskjellige primtall inkludert i m Så

Hvor Jeg=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . Legg merke til det αi godtar α +1 verdier, β j aksepterer β +1 verdier, γ k aksepterer γ +1 verdier, ... .

Det fine med tall. Antiprimes

• Populærvitenskap

Tallet 60 har tolv delere: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Alle vet om de fantastiske egenskapene til primtall, som bare kan deles med seg selv og en. Disse tallene er svært nyttige. Relativt store primtall (fra ca. 10 300) brukes i offentlig nøkkelkryptering, i hashtabeller, for å generere pseudorandomtall, etc. I tillegg til de enorme fordelene for menneskelig sivilisasjon, er disse spesiell Tallene er utrolig vakre:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199...

For eksempel har tallet 12 seks delere: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Dette er et for høyt tall fordi

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 (16 > 12)

Et praktisk duodesimalt system brukes i flere pengesystemer, inkludert i de gamle russiske fyrstedømmene (12 polushki = 1 altyn = 2 ryazanka = 3 novgorodki = 4 Tver-penger = 6 moskovki). Som du kan se, er et stort antall divisorer en kritisk viktig kvalitet i forhold når mynter fra forskjellige systemer må reduseres til én valør.

Store overflødige tall er nyttige på andre områder. La oss for eksempel ta tallet 5040. Dette er på en eller annen måte et unikt tall, her er de første fra listen over divisorene:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040

5040 er et ideelt tall for urbane studier, politikk, sosiologi, etc. Den athenske tenkeren Platon trakk oppmerksomhet til dette for 2300 år siden. I sitt hovedverk, The Laws, skrev Platon at en ideell aristokratisk republikk ville ha 5040 borgere, fordi det antallet innbyggere kunne deles inn i et hvilket som helst antall like grupper, opptil ti, uten unntak. Følgelig er det i et slikt system praktisk å planlegge et ledelsesmessig og representativt hierarki.

Selvfølgelig er dette idealisme og utopi, men å bruke nummeret 5040 er faktisk ekstremt praktisk. Hvis en by har 5 040 innbyggere, er det praktisk å dele den inn i like distrikter, planlegge et visst antall servicefasiliteter for et like stort antall innbyggere og velge representasjonsorganer ved å stemme.

Slike svært komplekse, ekstremt overflødige tall kalles "antiprime". Hvis vi ønsker å gi en klar definisjon, kan vi si at et antiprimtall er et positivt heltall som har flere faktorer enn et heltall mindre enn det.

Etter denne definisjonen vil det minste antiprimtall annet enn én være 2 (to divisorer), 4 (tre divisorer). Dette etterfølges av:

6 (fire divisorer), 12 (seks divisorer), 24, 36, 48, 60 (antall minutter i en time), 120, 180, 240, 360 (antall grader i en sirkel), 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400

Det er disse tallene som er praktiske å bruke i brettspill med kort, sjetonger, penger osv. For eksempel lar de deg distribuere samme antall kort, sjetonger og penger til forskjellige antall spillere. Av samme grunn er de praktiske å bruke til å lage klasser med skolebarn eller elever - for eksempel for å dele dem inn i like mange identiske grupper for å fullføre oppgaver. For antall spillere i et idrettslag. For antall lag i ligaen. For antall innbyggere i byen (som diskutert ovenfor). For administrative enheter i en by, region, land.

Som man kan se av eksemplene, er mange av antiprimtallene allerede de facto brukt i praktiske enheter og tallsystemer. For eksempel tallene 60 og 360. Dette var ganske forutsigbart, gitt bekvemmeligheten av å ha et stort antall divisorer.

Skjønnheten i antiprime kan diskuteres. Mens primtall unektelig er vakre, kan antiprimtall virke ekkelt for noen. Men dette er et overfladisk inntrykk. La oss se på dem fra den andre siden. Tross alt er grunnlaget for disse tallene primtall. Det er fra primtall, som fra byggeklosser, at sammensatte tall, overflødige tall og skapelsens krone lages - antiprimtall.

The Fundamental Theorem of Arithmetic sier at ethvert sammensatt tall kan representeres som produktet av flere primfaktorer. For eksempel,

30 = 2 × 3 × 5
550 = 2 × 5 2 × 11,

Så antiprimer har også sin egen spesielle skjønnhet.