Enkle konsepter
Hendelser kalles uforenlige hvis forekomsten av en av dem utelukker forekomsten av andre hendelser i samme rettssak. Ellers kalles de felles.
En komplett gruppe er et sett med hendelser, hvor kombinasjonen er en pålitelig hendelse.
De eneste to mulige hendelsene som danner en komplett gruppe kalles motsatt.
Hendelser kalles avhengige hvis sannsynligheten for at en av dem inntreffer avhenger av forekomsten eller ikke-forekomsten av andre hendelser.
Hendelser kalles uavhengige hvis sannsynligheten for en av dem ikke avhenger av andres forekomst eller manglende forekomst.
Teorem for å legge til sannsynligheter for uforenlige hendelser
P(A+B)=P(A)+P(B),
hvor A, B er uforenlige hendelser.
Teorem for å legge til sannsynligheter for felles hendelser
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), hvor A og B er felles hendelser.
Teorem for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser
,
hvor A og B er uavhengige hendelser.
Teorem for å multiplisere sannsynligheter for avhengige hendelser
P(AB)=P(A)PA (B),
hvor P A (B) er sannsynligheten for at hendelse B skal inntreffe, forutsatt at hendelse A har inntruffet; A og B er avhengige hendelser.
Oppgave 1.
Skytteren skyter to skudd mot skiven. Sannsynligheten for å treffe hvert skudd er 0,8. Sett sammen en komplett gruppe hendelser og finn sannsynlighetene deres. Løsning.
Test - To skudd skytes mot et mål.
Begivenhet EN- savnet begge gangene.
Begivenhet I- treff en gang.
Begivenhet MED- traff begge gangene. 
.
Kontroll: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Oppgave 2.
I følge meteorologenes varsel er P(regn)=0,4; P(vind)=0,7; R(regn og vind)=0,2. Hva er sannsynligheten for at det regner eller blåser? Løsning. Ved teoremet om tillegg av sannsynligheter og på grunn av kompatibiliteten til de foreslåtte hendelsene, har vi:
P(regn eller vind eller begge deler)=P(regn) +P(vind) –P(regn og vind)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Oppgave 3.
På avgangsstasjonen er det 8 bestillinger på varer som skal sendes: fem for innenlands forsendelser og tre for eksport. Hva er sannsynligheten for at to tilfeldige bestillinger vil være til innenlandsk forbruk? Løsning. Begivenhet EN– den første tilfeldige rekkefølgen er innenfor landet. Begivenhet I– den andre er også beregnet på innenlands forbruk. Vi må finne sannsynligheten. Deretter har vi ved teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for avhengige hendelser 
Oppgave 4.
Fra et parti med produkter velger selgeren tilfeldig produktene av høyeste karakter. Sannsynligheten for at den valgte varen vil være av høyeste kvalitet er 0,8; første klasse - 0,7; andre klasse – 0,5. Finn sannsynligheten for at av tre tilfeldig valgte produkter vil det være:
a) bare to premiumkarakterer;
b) alle er forskjellige. Løsning. La arrangementet være et produkt av høyeste kvalitet; arrangement - førsteklasses produkt; arrangementet er et annenklasses produkt.
I henhold til forholdene for problemet; ; Arrangementene er uavhengige.
a) Begivenhet EN– Bare to førsteklasses produkter vil se slik ut da
b) Begivenhet I– alle tre produktene er forskjellige – la oss si det slik: 
, Deretter .
Oppgave 5.
Sannsynlighetene for å treffe målet når du skyter fra tre kanoner er som følger: p1= 0,8; s2=0,7; s3=0,9. Finn sannsynligheten for minst ett treff (hendelse EN) med en salve fra alle våpen. Løsning. Sannsynligheten for at hver pistol treffer målet avhenger ikke av resultatene av skyting fra andre våpen, derfor er hendelsene som vurderes (truffet av den første pistolen), (truffet av den andre pistolen) og (truffet av den tredje pistolen) uavhengige til sammen.
Sannsynlighetene for hendelser motsatt hendelser (dvs. sannsynligheten for bom) er henholdsvis lik: 
Påkrevd sannsynlighet
Oppgave 6.
Trykkeriet har 4 trykkerier. For hver maskin er sannsynligheten for at den kjører for øyeblikket 0,9. Finn sannsynligheten for at minst én maskin fungerer (hendelse EN).
Løsning. Hendelsene "maskinen fungerer" og "maskinen fungerer ikke" (for øyeblikket) er motsatte, derfor er summen av sannsynlighetene deres lik én:
Derfor er sannsynligheten for at maskinen for øyeblikket ikke fungerer lik
Den nødvendige sannsynligheten. Oppgave 7. På lesesalen er det 6 lærebøker om sannsynlighetsteori, hvorav tre er innbundet. Bibliotekaren tok to lærebøker tilfeldig. Finn sannsynligheten for at begge lærebøkene blir bundet inn.
Løsning. Tenk på følgende hendelser:
A1 - den første innbundne læreboken tatt;
A2 er den andre innbundne læreboken tatt.
En hendelse som består i at begge de tatt lærebøkene er innbundet. Hendelser A1 og A2 er avhengige, siden sannsynligheten for at hendelse A2 inntreffer avhenger av hendelsen A1. For å løse dette problemet bruker vi teoremet for å multiplisere sannsynlighetene for avhengige hendelser: .
Sannsynligheten for forekomsten av hendelsen A1 p(A1) i samsvar med den klassiske definisjonen av sannsynlighet:
P(Al)=m/n=3/6=0,5.
Sannsynligheten for at hendelse A2 inntreffer bestemmes av den betingede sannsynligheten for at hendelse A2 inntreffer med forbehold om at hendelse A1 inntreffer, dvs. (A2)==0,4.
Deretter ønsket sannsynlighet for at hendelsen inntreffer:
P(A)=0,5*0,4=0,2.
Studiet av sannsynlighetsteori begynner med å løse problemer som involverer addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter. Det er verdt å nevne med en gang at en student kan støte på et problem når han mestrer dette kunnskapsområdet: hvis fysiske eller kjemiske prosesser kan representeres visuelt og forstås empirisk, så er nivået av matematisk abstraksjon veldig høyt, og forståelsen her kommer bare med erfaring.
Spillet er imidlertid verdt lyset, fordi formlene - både de som er omtalt i denne artikkelen og mer komplekse - brukes overalt i dag og kan godt være nyttige i arbeid.
Opprinnelse
Merkelig nok var drivkraften for utviklingen av denne grenen av matematikk ... gambling. Faktisk er terninger, myntkast, poker, rulett typiske eksempler som bruker addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter. Dette kan sees tydelig ved å bruke eksemplene på problemer i enhver lærebok. Folk var interessert i å lære å øke vinnersjansene sine, og det skal sies at noen lyktes med dette.
For eksempel, allerede i det 21. århundre, brukte en person, hvis navn vi ikke vil avsløre, denne kunnskapen akkumulert over århundrer for å bokstavelig talt "rydde ut" kasinoet, og vant flere titalls millioner dollar på rulett.
Til tross for den økte interessen for emnet, ble det først på 1900-tallet utviklet et teoretisk rammeverk som gjorde "teoremet" komplett I dag kan man i nesten enhver vitenskap finne beregninger ved hjelp av sannsynlige metoder.
Anvendbarhet
Et viktig poeng ved bruk av formler for å addere og multiplisere sannsynligheter og betinget sannsynlighet er tilfredsstillelsen til den sentrale grensesetningen. Ellers, selv om eleven kanskje ikke skjønner det, vil alle beregninger, uansett hvor plausible de kan virke, være feil.
Ja, en svært motivert student blir fristet til å bruke ny kunnskap ved enhver anledning. Men i dette tilfellet er det nødvendig å bremse litt og strengt skissere anvendelsesområdet.
Sannsynlighetsteori omhandler tilfeldige hendelser, som i empiriske termer representerer resultatene av eksperimenter: vi kan kaste en sekssidig terning, trekke et kort fra en kortstokk, forutsi antall defekte deler i en batch. I noen spørsmål er det imidlertid strengt forbudt å bruke formler fra denne delen av matematikken. Vi vil diskutere funksjonene ved å vurdere sannsynlighetene for en hendelse, teoremene om addisjon og multiplikasjon av hendelser på slutten av artikkelen, men la oss nå gå til eksempler.
Enkle konsepter
En tilfeldig hendelse refererer til en prosess eller et resultat som kan eller ikke vises som et resultat av et eksperiment. For eksempel kaster vi en sandwich - den kan lande med smørsiden opp eller smørsiden ned. Et av de to utfallene vil være tilfeldige, og vi vet ikke på forhånd hvilket av dem som vil finne sted.
Når vi studerer addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, trenger vi ytterligere to begreper.
Slike hendelser kalles felles, forekomsten av den ene utelukker ikke forekomsten av den andre. La oss si at to personer skyter mot et mål samtidig. Hvis en av dem produserer en vellykket en, vil det ikke på noen måte påvirke den andres evne til å treffe bull's eye eller gå glipp av.
Inkompatible hendelser vil være de hendelsene hvis forekomst på samme tid er umulig. For eksempel, hvis du bare tar ut én ball fra en boks, kan du ikke få både blå og rød på en gang.
Betegnelse
Sannsynlighetsbegrepet er betegnet med den latinske store bokstaven P. Neste i parentes er argumenter som angir visse hendelser.
I formlene til addisjonsteoremet, betinget sannsynlighet og multiplikasjonssetningen vil du se uttrykk i parentes, for eksempel: A+B, AB eller A|B. De vil bli beregnet på ulike måter, og vi skal nå gå til dem.
Addisjon
La oss vurdere tilfeller der formler for å addere og multiplisere sannsynligheter brukes.
For uforenlige hendelser er den enkleste addisjonsformelen relevant: sannsynligheten for et av de tilfeldige utfallene vil være lik summen av sannsynlighetene for hvert av disse utfallene.
Anta at det er en boks med 2 blå, 3 røde og 5 gule kuler. Det er totalt 10 varer i esken. Hva er sannheten i påstanden om at vi skal tegne en blå eller rød ball? Det vil være lik 2/10 + 3/10, dvs. femti prosent.
Ved uforenlige hendelser blir formelen mer komplisert, siden en ekstra term legges til. La oss gå tilbake til det i ett avsnitt, etter å ha vurdert en annen formel.
Multiplikasjon
Addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter for uavhengige hendelser brukes i forskjellige tilfeller. Hvis vi, i henhold til betingelsene for eksperimentet, er fornøyd med noen av de to mulige utfallene, vil vi beregne summen; hvis vi ønsker å få to bestemte utfall etter hverandre, vil vi ty til å bruke en annen formel.
For å gå tilbake til eksemplet fra forrige seksjon, vil vi først tegne den blå ballen og deretter den røde. Vi kjenner det første tallet - det er 2/10. Hva skjer etterpå? Det er 9 baller igjen, og det er fortsatt like mange røde - tre. Etter beregninger blir det 3/9 eller 1/3. Men hva skal man nå med to tall? Det riktige svaret er å multiplisere for å få 2/30.
Felles arrangementer
Nå kan vi igjen gå over til sumformelen for fellesarrangementer. Hvorfor ble vi distrahert fra temaet? For å finne ut hvordan sannsynligheter multipliseres. Nå trenger vi denne kunnskapen.
Vi vet allerede hva de to første leddene vil være (det samme som i addisjonsformelen diskutert tidligere), men nå må vi trekke fra produktet av sannsynligheter, som vi nettopp lærte å beregne. For klarhetens skyld, la oss skrive formelen: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Det viser seg at både addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter brukes i ett uttrykk.
La oss si at vi må løse ett av to problemer for å få kreditt. Vi kan løse den første med en sannsynlighet på 0,3, og den andre med en sannsynlighet på 0,6. Løsning: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Merk at det ikke er nok å legge sammen tallene her.
Betinget sannsynlighet
Til slutt er det begrepet betinget sannsynlighet, hvis argumenter er angitt i parentes og atskilt med en vertikal strek. Oppføringen P(A|B) lyder som følger: "sannsynligheten for hendelse A gitt hendelse B."
La oss se på et eksempel: en venn gir deg en enhet, la det være en telefon. Den kan være ødelagt (20 %) eller intakt (80 %). Du er i stand til å reparere enhver enhet som kommer i hendene dine med en sannsynlighet på 0,4, eller du kan ikke gjøre det (0,6). Til slutt, hvis enheten fungerer, kan du nå rett person med en sannsynlighet på 0,7.
Det er lett å se hvordan betinget sannsynlighet spiller ut i dette tilfellet: du vil ikke kunne nå en person hvis telefonen er ødelagt, men hvis den fungerer, trenger du ikke å fikse den. Derfor, for å få resultater på "andre nivå", må du finne ut hvilken begivenhet som ble utført ved det første.
Beregninger
La oss se på eksempler på å løse problemer som involverer addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, ved å bruke dataene fra forrige avsnitt.
Først, la oss finne sannsynligheten for at du vil reparere enheten som er gitt deg. For å gjøre dette må det for det første være feil, og for det andre må du kunne fikse det. Dette er et typisk problem ved bruk av multiplikasjon: vi får 0,2 * 0,4 = 0,08.
Hva er sannsynligheten for at du umiddelbart når rett person? Så enkelt er det: 0,8*0,7 = 0,56. I dette tilfellet oppdaget du at telefonen fungerer og ringte vellykket.
Til slutt, vurder dette scenariet: du får en ødelagt telefon, fiks den, ring deretter et nummer og personen i den andre enden tar opp. Her må vi allerede multiplisere tre komponenter: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.
Hva gjør du hvis du har to ikke-fungerende telefoner samtidig? Hvor sannsynlig er det at du fikser minst én av dem? på addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, siden felleshendelser brukes. Løsning: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Dermed, hvis du får to ødelagte enheter, vil du kunne fikse det i 64% av tilfellene.
Forsiktig bruk
Som nevnt i begynnelsen av artikkelen, bør bruken av sannsynlighetsteori være bevisst og bevisst.
Jo større rekke av eksperimenter, jo nærmere den teoretisk forutsagte verdien kommer den som oppnås i praksis. For eksempel kaster vi en mynt. Teoretisk sett, ved å vite eksistensen av formler for addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, kan vi forutsi hvor mange ganger "hoder" og "haler" vil vises hvis vi utfører eksperimentet 10 ganger. Vi utførte et eksperiment, og ved en tilfeldighet var forholdet mellom sidene som ble tegnet 3 til 7. Men hvis vi gjennomfører en serie på 100, 1000 eller flere forsøk, viser det seg at distribusjonsgrafen kommer nærmere og nærmere den teoretiske: 44 til 56, 482 til 518, og så videre.
Tenk deg nå at dette eksperimentet ikke utføres med en mynt, men med produksjon av et nytt kjemisk stoff, som vi ikke vet sannsynligheten for. Vi ville utføre 10 eksperimenter, og uten å oppnå et vellykket resultat, kunne vi generalisere: "det er umulig å få tak i stoffet." Men hvem vet, hadde vi gjort det ellevte forsøket, ville vi ha nådd målet eller ikke?
Så hvis du skal inn i det ukjente, inn i et uutforsket område, kan sannsynlighetsteori ikke gjelde. Hvert påfølgende forsøk i dette tilfellet kan være vellykket og generaliseringer som "X finnes ikke" eller "X er umulig" vil være for tidlig.
Siste ord
Så vi så på to typer addisjon, multiplikasjon og betingede sannsynligheter. Med videre studier av dette området er det nødvendig å lære å skille situasjoner når hver spesifikk formel brukes. I tillegg må du forestille deg om probabilistiske metoder er generelt anvendelige for å løse problemet ditt.
Hvis du øver, vil du etter en stund begynne å utføre alle nødvendige operasjoner utelukkende i tankene dine. For de som er interessert i kortspill kan denne ferdigheten betraktes som ekstremt verdifull – du vil øke vinnersjansene dine betraktelig ved å beregne sannsynligheten for at et bestemt kort eller farge faller ut. Imidlertid kan du enkelt finne anvendelse av den ervervede kunnskapen i andre aktivitetsområder.
På Når man skal vurdere sannsynligheten for at en tilfeldig hendelse skal inntreffe, er det svært viktig å ha en god forståelse av om sannsynligheten () for at hendelsen vi er interessert i avhenger av hvordan andre hendelser utvikler seg.
Når det gjelder det klassiske opplegget, når alle utfall er like sannsynlige, kan vi allerede estimere sannsynlighetsverdiene for den individuelle hendelsen av interesse for oss uavhengig. Vi kan gjøre dette selv om arrangementet er en kompleks samling av flere elementære utfall. Hva om flere tilfeldige hendelser skjer samtidig eller etter hverandre? Hvordan påvirker dette sannsynligheten for at hendelsen vi er interessert i skal skje?
Hvis jeg kaster en terning flere ganger og vil at en sekser skal komme opp, og jeg fortsetter å være uheldig, betyr det at jeg bør øke innsatsen min fordi jeg, ifølge sannsynlighetsteorien, er i ferd med å være heldig? Akk, sannsynlighetsteorien sier ikke noe slikt. Ingen terninger, ingen kort, ingen mynter husker ikke det de viste oss forrige gang. Det spiller ingen rolle for dem i det hele tatt om det er første gang eller tiende gang jeg tester lykken i dag. Hver gang jeg gjentar kastet, vet jeg bare én ting: og denne gangen er sannsynligheten for å få en sekser igjen en sjettedel. Dette betyr selvfølgelig ikke at tallet jeg trenger aldri kommer opp. Dette betyr bare at tapet mitt etter det første kastet og etter ethvert annet kast er uavhengige hendelser.
Hendelser A og B kalles uavhengig, hvis implementeringen av en av dem ikke på noen måte påvirker sannsynligheten for en annen hendelse. Sannsynlighetene for å treffe et mål med det første av to våpen avhenger for eksempel ikke av om målet ble truffet av det andre våpenet, så hendelsene "det første våpenet traff målet" og "det andre våpenet traff målet" er uavhengig.
Hvis to hendelser A og B er uavhengige, og sannsynligheten for hver av dem er kjent, kan sannsynligheten for samtidig forekomst av både hendelse A og hendelse B (betegnet AB) beregnes ved å bruke følgende teorem.
Sanfor uavhengige hendelser
P(AB) = P(A)*P(B)- sannsynlighet samtidig starten på to uavhengig hendelser er lik arbeid sannsynligheten for disse hendelsene.Eksempel.Sannsynlighetene for å treffe målet ved avfyring av den første og andre pistolen er henholdsvis like: p 1 =0,7; p2 = 0,8. Finn sannsynligheten for et treff med én salve av begge våpen samtidig.
Løsning: som vi allerede har sett, er hendelser A (truffet av den første pistolen) og B (truffet av den andre pistolen) uavhengige, dvs. P(AB)=P(A)*P(B)=p1 *p2 =0,56.
Hva skjer med våre estimater hvis de første hendelsene ikke er uavhengige? La oss endre det forrige eksemplet litt.
Eksempel.To skyttere skyter mot skiver i en konkurranse, og hvis en av dem skyter nøyaktig, begynner motstanderen å bli nervøs og resultatene forverres. Hvordan gjøre denne hverdagssituasjonen om til et matematisk problem og skissere måter å løse det på? Det er intuitivt klart at det på en eller annen måte er nødvendig å skille de to alternativene for utvikling av hendelser, for å i hovedsak skape to scenarier, to forskjellige oppgaver. I det første tilfellet, hvis motstanderen bommet, vil scenariet være gunstig for den nervøse idrettsutøveren og hans nøyaktighet vil være høyere. I det andre tilfellet, hvis motstanderen har tatt sjansen anstendig, reduseres sannsynligheten for å treffe målet for den andre utøveren.
For å skille mulige scenarier (ofte kalt hypoteser) for utvikling av hendelser, vil vi ofte bruke et "sannsynlighetstre"-diagram. Dette diagrammet ligner i betydningen beslutningstreet som du sannsynligvis allerede har behandlet. Hver gren representerer et eget scenario for utvikling av hendelser, bare nå har den sin egen betydning av den såkalte betinget sannsynligheter (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).
Dette opplegget er veldig praktisk for å analysere sekvensielle tilfeldige hendelser.
Det gjenstår å avklare et viktig spørsmål: hvor kommer startverdiene til sannsynlighetene fra? reelle situasjoner ? Tross alt, fungerer ikke sannsynlighetsteori med bare mynter og terninger? Vanligvis er disse estimatene hentet fra statistikk, og når statistisk informasjon ikke er tilgjengelig, utfører vi vår egen forskning. Og vi må ofte starte det ikke med å samle inn data, men med spørsmålet om hvilken informasjon vi faktisk trenger.
Eksempel.La oss si at vi i en by med en befolkning på hundre tusen innbyggere trenger å anslå markedsvolumet for et nytt produkt som ikke er et viktig element, for eksempel for en balsam for pleie av farget hår. La oss vurdere "sannsynlighetstreet"-diagrammet. I dette tilfellet må vi omtrent estimere sannsynlighetsverdien på hver "gren". Så våre estimater av markedskapasitet:
1) av alle byens innbyggere er 50 % kvinner,
2) av alle kvinner farger bare 30 % håret ofte,
3) av dem bruker bare 10 % balsam for farget hår,
4) av dem kan bare 10 % ta motet til å prøve et nytt produkt,
5) 70 % av dem kjøper vanligvis ikke alt fra oss, men fra våre konkurrenter.
Løsning: I henhold til loven om multiplikasjon av sannsynligheter, bestemmer vi sannsynligheten for hendelsen vi er interessert i A = (en byboer kjøper denne nye balsamen fra oss) = 0,00045.
La oss multiplisere denne sannsynlighetsverdien med antall innbyggere i byen. Som et resultat har vi kun 45 potensielle kunder, og tatt i betraktning at én flaske av dette produktet varer i flere måneder, er handelen lite livlig.
Og likevel er det en viss fordel av våre vurderinger.
For det første kan vi sammenligne prognoser for forskjellige forretningsideer, de vil ha forskjellige "gafler" i diagrammene, og selvfølgelig vil sannsynlighetsverdiene også være forskjellige.
For det andre, som vi allerede har sagt, kalles ikke en tilfeldig variabel tilfeldig fordi den ikke er avhengig av noe i det hele tatt. Bare henne nøyaktig betydningen er ikke kjent på forhånd. Vi vet at gjennomsnittlig antall kjøpere kan økes (for eksempel ved å annonsere for et nytt produkt). Så det er fornuftig å fokusere vår innsats på de "gaflene" der sannsynlighetsfordelingen ikke passer oss spesielt, på de faktorene vi er i stand til å påvirke.
La oss se på et annet kvantitativt eksempel på forbrukeratferdsforskning.
Eksempel. I gjennomsnitt besøker 10 000 mennesker matmarkedet per dag. Sannsynligheten for at en markedsbesøkende kommer inn i meieriproduktpaviljongen er 1/2. Det er kjent at denne paviljongen selger i gjennomsnitt 500 kg ulike produkter per dag.
Kan vi si at gjennomsnittskjøpet i paviljongen bare veier 100 g?
Diskusjon. Selvfølgelig ikke. Det er tydelig at ikke alle som kom inn i paviljongen endte opp med å kjøpe noe der.
Som vist i diagrammet, for å svare på spørsmålet om gjennomsnittsvekten av et kjøp, må vi finne et svar på spørsmålet, hva er sannsynligheten for at en person som går inn i paviljongen vil kjøpe noe der. Hvis vi ikke har slike data til rådighet, men vi trenger dem, må vi skaffe dem selv ved å observere de besøkende til paviljongen en stund. La oss si at våre observasjoner viste at bare en femtedel av paviljongbesøkende kjøper noe.
Når vi har fått disse estimatene, blir oppgaven enkel. Av 10.000 personer som kommer til markedet, vil 5.000 gå til meieriproduktpaviljongen, det blir kun 1000 kjøp. Gjennomsnittlig kjøpsvekt er 500 gram. Det er interessant å merke seg at for å bygge et fullstendig bilde av hva som skjer, må logikken til betinget "forgrening" defineres på hvert trinn av resonnementet vårt like klart som om vi jobbet med en "spesifikk" situasjon, og ikke med sannsynligheter.
Selvtestoppgaver
1. La det være en elektrisk krets bestående av n elementer koblet i serie, som hver fungerer uavhengig av de andre.
Sannsynligheten p for svikt for hvert element er kjent. Bestem sannsynligheten for riktig drift av hele delen av kretsen (hendelse A).
2. Studenten kan 20 av 25 eksamensspørsmål. Finn sannsynligheten for at studenten kan de tre spørsmålene som sensor har gitt ham.
3. Produksjonen består av fire påfølgende stadier, ved hvert av hvilke utstyr opererer, for hvilke sannsynlighetene for feil i løpet av neste måned er lik henholdsvis p 1, p 2, p 3 og p 4. Finn sannsynligheten for at det ikke blir produksjonsstans på grunn av utstyrssvikt om en måned.
Behovet for å handle på sannsynligheter oppstår når sannsynlighetene for noen hendelser er kjent, og det er nødvendig å beregne sannsynlighetene for andre hendelser som er knyttet til disse hendelsene.
Addisjon av sannsynligheter brukes når du skal beregne sannsynligheten for en kombinasjon eller logisk sum av tilfeldige hendelser.
Summen av hendelser EN Og B betegne EN + B eller EN ∪ B. Summen av to hendelser er en hendelse som inntreffer hvis og bare hvis minst en av hendelsene inntreffer. Det betyr at EN + B– en hendelse som inntreffer hvis og bare hvis hendelsen skjedde under observasjon EN eller arrangement B, eller samtidig EN Og B.
Hvis hendelser EN Og B er innbyrdes inkonsistente og sannsynlighetene deres er gitt, beregnes sannsynligheten for at en av disse hendelsene vil inntreffe som et resultat av ett forsøk ved å legge til sannsynligheter.
Sannsynlighetsaddisjonsteorem. Sannsynligheten for at en av to gjensidig uforenlige hendelser vil inntreffe er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene:
For eksempel, under jakt, avfyres to skudd. Begivenhet EN– slå en and med det første skuddet, hendelse I– treff fra det andre skuddet, hendelse ( EN+ I) – et treff fra det første eller andre skuddet eller fra to skudd. Så hvis to hendelser EN Og I– uforenlige hendelser altså EN+ I– forekomsten av minst én av disse hendelsene eller to hendelser.
Eksempel 1. Det er 30 baller av samme størrelse i en boks: 10 røde, 5 blå og 15 hvite. Regn ut sannsynligheten for at en farget (ikke hvit) ball vil bli plukket opp uten å se.
Løsning. La oss anta at hendelsen EN- "den røde ballen er tatt", og arrangementet I- "Den blå ballen ble tatt." Så er begivenheten "en farget (ikke hvit) ball blir tatt." La oss finne sannsynligheten for hendelsen EN:
og arrangementer I:
arrangementer EN Og I– gjensidig uforenlig, siden hvis en ball blir tatt, er det umulig å ta baller i forskjellige farger. Derfor bruker vi tillegg av sannsynligheter:
Teoremet for å legge til sannsynligheter for flere inkompatible hendelser. Hvis hendelser utgjør et komplett sett med hendelser, er summen av deres sannsynligheter lik 1:
Summen av sannsynlighetene for motsatte hendelser er også lik 1:
Motsatte hendelser danner et komplett sett med hendelser, og sannsynligheten for et komplett sett med hendelser er 1.
Sannsynligheter for motsatte hendelser er vanligvis angitt med små bokstaver s Og q. Spesielt,
hvorfra følgende formler for sannsynligheten for motsatte hendelser følger:
Eksempel 2. Målet i skytebanen er delt inn i 3 soner. Sannsynligheten for at en viss skytter vil skyte mot målet i den første sonen er 0,15, i den andre sonen - 0,23, i den tredje sonen - 0,17. Finn sannsynligheten for at skytteren vil treffe målet og sannsynligheten for at skytteren vil bomme.
Løsning: Finn sannsynligheten for at skytteren vil treffe målet:
La oss finne sannsynligheten for at skytteren vil bomme på målet:
Mer komplekse problemer, der du må bruke både addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, finner du på siden "Ulike problemer som involverer addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter".
Tillegg av sannsynligheter for gjensidig samtidige hendelser
To tilfeldige hendelser kalles felles hvis forekomsten av en hendelse ikke utelukker forekomsten av en annen hendelse i samme observasjon. For eksempel, når du kaster en terning hendelsen EN Tallet 4 anses å være rullet ut, og arrangementet I– rulle et partall. Siden 4 er et partall, er disse to hendelsene kompatible. I praksis er det problemer med å beregne sannsynlighetene for forekomsten av en av de gjensidig samtidige hendelsene.
Sannsynlighetsaddisjonsteorem for felles hendelser. Sannsynligheten for at en av de felles hendelsene vil inntreffe er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene, hvorfra sannsynligheten for felles forekomst av begge hendelsene trekkes fra, det vil si produktet av sannsynlighetene. Formelen for sannsynlighetene for felles hendelser har følgende form:
Siden hendelser EN Og I kompatibel, hendelse EN+ I oppstår hvis en av tre mulige hendelser inntreffer: eller AB. I henhold til teoremet om tillegg av inkompatible hendelser, beregner vi som følger:
Begivenhet EN vil skje hvis en av to uforenlige hendelser inntreffer: eller AB. Imidlertid er sannsynligheten for forekomsten av en hendelse fra flere inkompatible hendelser lik summen av sannsynlighetene for alle disse hendelsene:
Like måte:
Ved å erstatte uttrykk (6) og (7) med uttrykk (5), får vi sannsynlighetsformelen for felles hendelser:
Ved bruk av formel (8) bør det tas hensyn til at hendelser EN Og I kan være:
- gjensidig uavhengig;
- gjensidig avhengig.
Sannsynlighetsformel for gjensidig uavhengige hendelser:
Sannsynlighetsformel for gjensidig avhengige hendelser:
Hvis hendelser EN Og I er inkonsekvente, så er deres tilfeldighet et umulig tilfelle, og dermed P(AB) = 0. Den fjerde sannsynlighetsformelen for inkompatible hendelser er:
Eksempel 3. I autoracing, når du kjører den første bilen, har du større sjanse til å vinne, og når du kjører den andre bilen. Finne:
- sannsynligheten for at begge bilene vinner;
- sannsynligheten for at minst én bil vinner;
1) Sannsynligheten for at den første bilen vinner avhenger ikke av resultatet av den andre bilen, så hendelsene EN(den første bilen vinner) og I(den andre bilen vinner) – uavhengige arrangementer. La oss finne sannsynligheten for at begge bilene vinner:
2) Finn sannsynligheten for at en av de to bilene vinner:
Mer komplekse problemer, der du må bruke både addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, finner du på siden "Ulike problemer som involverer addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter".
Løs tilleggsproblemet selv, og se deretter på løsningen
Eksempel 4. To mynter kastes. Begivenhet EN- tap av våpenskjoldet på den første mynten. Begivenhet B- tap av våpenskjoldet på den andre mynten. Finn sannsynligheten for en hendelse C = EN + B .
Multiplisere sannsynligheter
Sannsynlighetsmultiplikasjon brukes når sannsynligheten for et logisk produkt av hendelser skal beregnes.
I dette tilfellet må tilfeldige hendelser være uavhengige. To hendelser sies å være gjensidig uavhengige dersom forekomsten av en hendelse ikke påvirker sannsynligheten for at den andre hendelsen inntreffer.
Sanfor uavhengige hendelser. Sannsynlighet for samtidig forekomst av to uavhengige hendelser EN Og I er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene og beregnes med formelen:
Eksempel 5. Mynten kastes tre ganger på rad. Finn sannsynligheten for at våpenskjoldet vises alle tre gangene.
Løsning. Sannsynligheten for at våpenskjoldet vises ved første myntkast, andre gang og tredje gang. La oss finne sannsynligheten for at våpenskjoldet vises alle tre gangene:
Løs sannspå egen hånd og se deretter på løsningen
Eksempel 6. Det er en boks med ni nye tennisballer. For å spille tas tre baller, og etter kampen settes de tilbake. Ved valg av baller skilles ikke spilte baller fra uspilte baller. Hva er sannsynligheten for at det etter tre kamper ikke er noen uspilte baller igjen i boksen?
Eksempel 7. 32 bokstaver i det russiske alfabetet er skrevet på utklippede alfabetkort. Fem kort trekkes tilfeldig etter hverandre og legges på bordet i rekkefølge etter utseende. Finn sannsynligheten for at bokstavene danner ordet "slutt".
Eksempel 8. Fra en full kortstokk (52 ark) tas fire kort ut på en gang. Finn sannsynligheten for at alle disse fire kortene vil ha ulik farge.
Eksempel 9. Samme oppgave som i eksempel 8, men hvert kort etter å ha blitt fjernet blir returnert til bunken.
Mer komplekse problemer, der du må bruke både addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter, samt beregne produktet av flere hendelser, finner du på siden "Ulike problemer som involverer addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter".
Sannsynligheten for at minst en av de gjensidig uavhengige hendelsene vil skje kan beregnes ved å trekke fra 1 produktet av sannsynlighetene for motsatte hendelser, det vil si ved å bruke formelen:
Eksempel 10. Lasten leveres av tre transportformer: elve-, jernbane- og veitransport. Sannsynligheten for at lasten leveres med elvetransport er 0,82, jernbane 0,87, veitransport 0,90. Finn sannsynligheten for at lasten blir levert av minst én av de tre transportformene.
Viktige notater!
1. Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, tøm hurtigbufferen. Hvordan du gjør dette i nettleseren din er skrevet her:
2. Før du begynner å lese artikkelen, vær oppmerksom på vår navigator for de mest nyttige ressursene for
Hva er sannsynlighet?
Første gang jeg møtte dette begrepet, ville jeg ikke ha forstått hva det var. Derfor vil jeg prøve å forklare tydelig.
Sannsynlighet er sjansen for at arrangementet vi ønsker skal skje.
For eksempel bestemte du deg for å gå til en venns hus, du husker inngangen og til og med gulvet han bor på. Men jeg glemte nummeret og plasseringen av leiligheten. Og nå står du på trappen, og foran deg er det dører å velge mellom.
Hva er sjansen (sannsynligheten) for at hvis du ringer den første ringeklokken, vil vennen din svare på døren for deg? Det er bare leiligheter, og en venn bor bare bak en av dem. Med lik sjanse kan vi velge hvilken som helst dør.
Men hva er denne sjansen?
Døren, den rette døren. Sannsynlighet for å gjette ved å ringe den første ringeklokken: . Det vil si at én av tre vil gjette nøyaktig.
Vi vil vite, etter å ha ringt en gang, hvor ofte vil vi gjette døren? La oss se på alle alternativene:
- Du ringte 1 dør
- Du ringte 2 dør
- Du ringte 3 dør
La oss nå se på alle alternativene der en venn kan være:
EN. Bak 1 døren
b. Bak 2 døren
V. Bak 3 døren
La oss sammenligne alle alternativene i tabellform. Et hakemerke indikerer alternativer når valget ditt faller sammen med en venns plassering, et kryss - når det ikke stemmer.
Hvordan ser du alt Kan være alternativer din venns plassering og ditt valg av hvilken dør du vil ringe.
EN gunstige resultater for alt . Det vil si at du vil gjette én gang ved å ringe én gang på døren, dvs. .
Dette er sannsynlighet - forholdet mellom et gunstig resultat (når valget ditt faller sammen med vennens plassering) og antall mulige hendelser.
Definisjonen er formelen. Sannsynlighet er vanligvis betegnet med p, så:
Det er ikke veldig praktisk å skrive en slik formel, så vi vil ta for - antall gunstige utfall, og for - det totale antallet utfall.
Sannsynligheten kan skrives som en prosentandel for å gjøre dette, må du multiplisere resultatet med:
Ordet "resultater" fanget sannsynligvis oppmerksomheten din. Siden matematikere kaller ulike handlinger (i vårt tilfelle er en slik handling en dørklokke) eksperimenter, kalles resultatet av slike eksperimenter vanligvis for utfallet.
Vel, det er gunstige og ugunstige utfall.
La oss gå tilbake til vårt eksempel. La oss si at vi ringte på en av dørene, men en fremmed åpnet den for oss. Vi gjettet ikke riktig. Hva er sannsynligheten for at hvis vi ringer på en av de gjenværende dørene, vil vennen vår åpne den for oss?
Hvis du trodde det, så er dette en feil. La oss finne ut av det.
Vi har to dører igjen. Så vi har mulige trinn:
1) Ring 1 dør
2) Ring 2 dør
Vennen, til tross for alt dette, står definitivt bak en av dem (han sto tross alt ikke bak den vi ringte):
a) Venn for 1 døren
b) Venn for 2 døren
La oss tegne tabellen igjen:
Som du kan se, er det bare alternativer, hvorav gunstige. Det vil si at sannsynligheten er lik.
Hvorfor ikke?
Situasjonen vi vurderte er eksempel på avhengige hendelser. Den første hendelsen er den første ringeklokken, den andre hendelsen er den andre ringeklokken.
Og de kalles avhengige fordi de påvirker følgende handlinger. Tross alt, hvis ringeklokken ble besvart av en venn etter den første ringingen, hva ville sannsynligheten være for at han var bak en av de to andre? Ikke sant, .
Men hvis det er avhengige hendelser, så må det også være det uavhengig? Det stemmer, de skjer.
Et lærebokeksempel er å kaste en mynt.
- Kast en mynt en gang. Hva er sannsynligheten for å få hoder, for eksempel? Det er riktig - fordi det er alle alternativene (enten hoder eller haler, vi vil neglisjere sannsynligheten for at mynten lander på kanten), men det passer bare oss.
- Men det kom opp i hodet. Ok, la oss kaste det igjen. Hva er sannsynligheten for å få hoder nå? Ingenting har endret seg, alt er det samme. Hvor mange alternativer? To. Hvor mange er vi fornøyd med? En.
Og la det komme opp i hodet minst tusen ganger på rad. Sannsynligheten for å få hoder med en gang vil være den samme. Det er alltid alternativer, og gunstige.
Det er lett å skille avhengige hendelser fra uavhengige:
- Hvis eksperimentet utføres én gang (de kaster en mynt én gang, ringer på dørklokken én gang osv.), så er hendelsene alltid uavhengige.
- Hvis et eksperiment utføres flere ganger (en mynt kastes én gang, ringeklokken blir ringt flere ganger), er den første hendelsen alltid uavhengig. Og så, hvis antallet gunstige eller antallet av alle utfall endres, er hendelsene avhengige, og hvis ikke, er de uavhengige.
La oss øve litt på å bestemme sannsynlighet.
Eksempel 1.
Mynten kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for å få hoder to ganger på rad?
Løsning:
La oss vurdere alle mulige alternativer:
- Ørn-ørn
- Hoder-haler
- Haler-Hoder
- Haler-haler
Som du kan se, er det bare alternativer. Av disse er vi bare fornøyd. Det vil si sannsynligheten:
Hvis betingelsen bare ber deg finne sannsynligheten, må svaret gis i form av en desimalbrøk. Hvis det var spesifisert at svaret skulle gis i prosent, så ville vi ganget med.
Svar:
Eksempel 2.
I en sjokoladeeske er alle sjokoladene pakket i samme innpakning. Men fra søtsaker - med nøtter, med cognac, med kirsebær, med karamell og med nougat.
Hva er sannsynligheten for å ta ett godteri og få et godteri med nøtter? Gi svaret ditt i prosent.
Løsning:
Hvor mange mulige utfall er det? .
Det vil si at hvis du tar ett godteri, vil det være et av de som er tilgjengelig i esken.
Hvor mange gunstige utfall?
Fordi boksen inneholder kun sjokolade med nøtter.
Svar:
Eksempel 3.
I en boks med ballonger. hvorav er hvite og svarte.
- Hva er sannsynligheten for å tegne en hvit ball?
- Vi la til flere svarte kuler i boksen. Hva er nå sannsynligheten for å tegne en hvit ball?
Løsning:
a) Det er bare baller i boksen. Av dem er hvite.
Sannsynligheten er:
b) Nå er det flere baller i boksen. Og det er like mange hvite igjen - .
Svar:
Total sannsynlighet
| Sannsynligheten for alle mulige hendelser er lik (). |
La oss si at det er røde og grønne kuler i en boks. Hva er sannsynligheten for å tegne en rød ball? Grønn ball? Rød eller grønn ball?
Sannsynlighet for å tegne en rød ball
Grønn ball:
Rød eller grønn ball:
Som du kan se, er summen av alle mulige hendelser lik (). Å forstå dette punktet vil hjelpe deg med å løse mange problemer.
Eksempel 4.
Det er markører i boksen: grønn, rød, blå, gul, svart.
Hva er sannsynligheten for å tegne IKKE en rød markør?
Løsning:
La oss telle tallet gunstige resultater.
IKKE en rød markør, det betyr grønn, blå, gul eller svart.
| Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer. |
Regel for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser
Du vet allerede hva uavhengige hendelser er.
Hva om du trenger å finne sannsynligheten for at to (eller flere) uavhengige hendelser vil skje på rad?
La oss si at vi vil vite hva er sannsynligheten for at hvis vi slår en mynt én gang, vil vi se hoder to ganger?
Vi har allerede vurdert - .
Hva om vi kaster en mynt én gang? Hva er sannsynligheten for å se en ørn to ganger på rad?
Totalt mulige alternativer:
- Ørn-ørn-ørn
- Hoder-hoder-haler
- Hoder-hale-hoder
- Hoder-haler-haler
- Haler-hoder-hoder
- Haler-hoder-haler
- Haler-haler-hoder
- Haler-haler-haler
Jeg vet ikke om deg, men jeg gjorde feil flere ganger da jeg kompilerte denne listen. Wow! Og det eneste alternativet (det første) passer oss.
For 5 kast kan du lage en liste over mulige utfall selv. Men matematikere er ikke så hardtarbeidende som deg.
Derfor la de først merke til og beviste deretter at sannsynligheten for en viss sekvens av uavhengige hendelser hver gang avtar med sannsynligheten for en hendelse.
Med andre ord,
La oss se på eksemplet med den samme skjebnesvangre mynten.
Sannsynlighet for å få hoder i en utfordring? . Nå snur vi mynten en gang.
Hva er sannsynligheten for å få hoder på rad?
Denne regelen fungerer ikke bare hvis vi blir bedt om å finne sannsynligheten for at den samme hendelsen vil skje flere ganger på rad.
Hvis vi ønsket å finne sekvensen TAILS-HEADS-TAILS for påfølgende kast, ville vi gjort det samme.
Sannsynligheten for å få haler er , hoder - .
Sannsynlighet for å få sekvensen TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:
Du kan sjekke det selv ved å lage en tabell.
Regelen for å legge til sannsynlighetene for uforenlige hendelser.
Så stopp! Ny definisjon.
La oss finne ut av det. La oss ta den utslitte mynten vår og kaste den en gang.
Mulige alternativer:
- Ørn-ørn-ørn
- Hoder-hoder-haler
- Hoder-hale-hoder
- Hoder-haler-haler
- Haler-hoder-hoder
- Haler-hoder-haler
- Haler-haler-hoder
- Haler-haler-haler
Så uforenlige hendelser er en viss, gitt hendelsesforløp. - Dette er uforenlige hendelser.
Hvis vi ønsker å bestemme hva sannsynligheten for to (eller flere) uforenlige hendelser er, så legger vi til sannsynlighetene for disse hendelsene.
Du må forstå at hoder eller haler er to uavhengige hendelser.
Hvis vi ønsker å bestemme sannsynligheten for at en sekvens (eller en annen) skal oppstå, bruker vi regelen om å multiplisere sannsynligheter.
Hva er sannsynligheten for å få hoder på det første kastet, og haler på det andre og tredje kastet?
Men hvis vi vil vite hva som er sannsynligheten for å få en av flere sekvenser, for eksempel når hoder kommer opp nøyaktig én gang, dvs. alternativer, og så må vi legge sammen sannsynlighetene for disse sekvensene.
Totale alternativer passer oss.
Vi kan få det samme ved å legge sammen sannsynlighetene for forekomst av hver sekvens:
Dermed legger vi til sannsynligheter når vi ønsker å bestemme sannsynligheten for visse, inkonsistente hendelsesforløp.
Det er en god regel som hjelper deg å unngå å bli forvirret når du skal multiplisere og når du skal legge til:
La oss gå tilbake til eksemplet der vi kastet en mynt én gang og ønsket å vite sannsynligheten for å se hoder én gang.
Hva kommer til å skje?
Skulle falle ut:
(hoder OG haler OG haler) ELLER (haler OG hoder OG haler) ELLER (haler OG haler OG hoder).
Slik blir det:
La oss se på noen få eksempler.
Eksempel 5.
Det er blyanter i esken. rød, grønn, oransje og gul og svart. Hva er sannsynligheten for å tegne røde eller grønne blyanter?
Løsning:
Eksempel 6.
Hvis en terning kastes to ganger, hva er sannsynligheten for å få totalt 8?
Løsning.
Hvordan kan vi få poeng?
(og) eller (og) eller (og) eller (og) eller (og).
Sannsynligheten for å få ett (hvilket som helst) ansikt er .
Vi beregner sannsynligheten:
Opplæring.
Jeg tror nå du forstår når du trenger å beregne sannsynligheter, når du skal legge dem til, og når du skal multiplisere dem. Er det ikke? La oss øve litt.
Oppgaver:
La oss ta en kortstokk som inneholder kort inkludert spar, hjerter, 13 kløver og 13 ruter. Fra til ess i hver farge.
- Hva er sannsynligheten for å trekke køller på rad (vi legger det første kortet trukket ut tilbake i bunken og blander det)?
- Hva er sannsynligheten for å trekke et svart kort (spar eller kløver)?
- Hva er sannsynligheten for å tegne et bilde (knekt, dame, konge eller ess)?
- Hva er sannsynligheten for å tegne to bilder på rad (vi fjerner det første kortet som trekkes fra bunken)?
- Hva er sannsynligheten for å samle en kombinasjon - (knekt, dame eller konge) og et ess Rekkefølgen kortene trekkes i spiller ingen rolle.
Svar:
Hvis du var i stand til å løse alle problemene selv, så er du stor! Nå vil du knekke problemer med sannsynlighetsteori i Unified State-eksamenen som nøtter!
SANNSYNLIGHETSTEORI. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ
La oss se på et eksempel. La oss si at vi kaster en terning. Hva slags bein er dette, vet du? Dette er hva de kaller en kube med tall på ansiktene. Hvor mange ansikter, så mange tall: fra til hvor mange? Før.
Så vi kaster terningen og vi vil at den skal komme opp eller. Og vi skjønner det.
I sannsynlighetsteori sier de hva som skjedde lykkebringende begivenhet(ikke å forveksle med velstående).
Hvis det skjedde, ville også arrangementet vært gunstig. Totalt kan bare to gunstige hendelser skje.
Hvor mange er ugunstige? Siden det er totalt mulige hendelser, betyr det at de ugunstige er hendelser (dette er hvis eller faller ut).
Definisjon:
Sannsynlighet er forholdet mellom antall gunstige hendelser og antallet av alle mulige hendelser. Det vil si at sannsynlighet viser hvor stor andel av alle mulige hendelser som er gunstige.
De betegner sannsynlighet med en latinsk bokstav (tilsynelatende fra det engelske ordet sannsynlighet - sannsynlighet).
Det er vanlig å måle sannsynlighet i prosent (se emner og). For å gjøre dette må sannsynlighetsverdien multipliseres med. I terningeksemplet, sannsynlighet.
Og i prosent: .
Eksempler (bestem selv):
- Hva er sannsynligheten for å få hoder når du kaster en mynt? Hva er sannsynligheten for å lande hoder?
- Hva er sannsynligheten for å få et partall når du kaster en terning? Hvilken er rar?
- I en boks med enkle, blå og røde blyanter. Vi tegner en blyant tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å få en enkel?
Løsninger:
- Hvor mange alternativer er det? Hoder og haler - bare to. Hvor mange av dem er gunstige? Bare én er en ørn. Så sannsynligheten
Det er det samme med haler: .
- Totale alternativer: (hvor mange sider kuben har, så mange forskjellige alternativer). Gunstige: (disse er alle partall:).
Sannsynlighet. Selvfølgelig er det det samme med oddetall. - Total: . Gunstig: . Sannsynlighet: .
Total sannsynlighet
Alle blyanter i boksen er grønne. Hva er sannsynligheten for å tegne en rød blyant? Det er ingen sjanser: sannsynlighet (tross alt gunstige hendelser -).
En slik hendelse kalles umulig.
Hva er sannsynligheten for å tegne en grønn blyant? Det er nøyaktig samme antall gunstige arrangementer som det er totalt arrangementer (alle arrangementer er gunstige). Så sannsynligheten er lik eller.
En slik hendelse kalles pålitelig.
Hvis en boks inneholder grønne og røde blyanter, hva er sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt? Men igjen. La oss merke dette: sannsynligheten for å trekke ut grønn er lik, og rød er lik.
I sum er disse sannsynlighetene nøyaktig like. Det er, summen av sannsynlighetene for alle mulige hendelser er lik eller.
Eksempel:
I en boks med blyanter, blant dem er blå, rød, grønn, vanlig, gul, og resten er oransje. Hva er sannsynligheten for ikke å tegne grønt?
Løsning:
Vi husker at alle sannsynligheter summerer seg. Og sannsynligheten for å bli grønn er lik. Dette betyr at sannsynligheten for ikke å tegne grønt er lik.
Husk dette trikset: Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.
Uavhengige hendelser og multiplikasjonsregelen
Du slår en mynt én gang og vil at den skal komme opp begge gangene. Hva er sannsynligheten for dette?
La oss gå gjennom alle mulige alternativer og finne ut hvor mange det er:
Hoder-hoder, haler-hoder, hoder-haler, haler-haler. Hva annet?
Totale alternativer. Av disse er det bare en som passer oss: Eagle-Eagle. Totalt er sannsynligheten lik.
Fint. La oss slå en mynt en gang. Gjør regnestykket selv. Skjedd? (svar).
Du har kanskje lagt merke til at med tillegg av hvert påfølgende kast, reduseres sannsynligheten med det halve. Den generelle regelen kalles multiplikasjonsregel:
Sannsynlighetene for uavhengige hendelser endres.
Hva er uavhengige hendelser? Alt er logisk: dette er de som ikke er avhengige av hverandre. For eksempel, når vi kaster en mynt flere ganger, hver gang det gjøres et nytt kast, resultatet av dette er ikke avhengig av alle tidligere kast. Vi kan like gjerne kaste to forskjellige mynter samtidig.
Flere eksempler:
- Terningene kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for å få det begge gangene?
- Mynten kastes en gang. Hva er sannsynligheten for at den vil komme opp med hodet første gang, og deretter haler to ganger?
- Spilleren kaster to terninger. Hva er sannsynligheten for at summen av tallene på dem blir lik?
Svar:
- Hendelsene er uavhengige, noe som betyr at multiplikasjonsregelen fungerer: .
- Sannsynligheten for hoder er lik. Sannsynligheten for haler er den samme. Multiplisere:
- 12 kan bare oppnås hvis to -ki rulles: .
Inkompatible hendelser og tilleggsregelen
Hendelser som utfyller hverandre til et punkt med full sannsynlighet kalles inkompatible. Som navnet antyder, kan de ikke skje samtidig. For eksempel, hvis vi snur en mynt, kan den komme opp enten hode eller haler.
Eksempel.
I en boks med blyanter, blant dem er blå, rød, grønn, vanlig, gul, og resten er oransje. Hva er sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt?
Løsning .
Sannsynligheten for å tegne en grønn blyant er lik. Rød - .
Gunstige hendelser i alt: grønn + rød. Dette betyr at sannsynligheten for å tegne grønt eller rødt er lik.
Den samme sannsynligheten kan representeres i denne formen: .
Dette er tilleggsregelen: sannsynligheten for uforenlige hendelser summerer seg.
Problemer med blandede typer
Eksempel.
Mynten kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for at resultatene av rullene blir annerledes?
Løsning .
Dette betyr at hvis det første resultatet er hoder, må det andre være haler, og omvendt. Det viser seg at det er to par uavhengige hendelser, og disse parene er uforenlige med hverandre. Hvordan ikke bli forvirret om hvor du skal multiplisere og hvor du skal legge til.
Det er en enkel regel for slike situasjoner. Prøv å beskrive hva som skal skje ved å bruke konjunksjonene "OG" eller "ELLER". For eksempel, i dette tilfellet:
Skal komme opp (hoder og haler) eller (haler og hoder).
Der det er en konjunksjon "og" vil det være multiplikasjon, og der det er "eller" vil det være addisjon:
Prøv selv:
- Hva er sannsynligheten for at hvis en mynt kastes to ganger, vil mynten lande på samme side begge gangene?
- Terningene kastes to ganger. Hva er sannsynligheten for å få totalt poeng?
Løsninger:
Et annet eksempel:
Kast en mynt en gang. Hva er sannsynligheten for at hoder dukker opp minst én gang?
Løsning:
SANNSYNLIGHETSTEORI. KORT OM HOVEDTINGENE
Sannsynlighet er forholdet mellom antall gunstige hendelser og antallet av alle mulige hendelser.
Uavhengige arrangementer
To hendelser er uavhengige dersom forekomsten av den ene ikke endrer sannsynligheten for at den andre inntreffer.
Total sannsynlighet
Sannsynligheten for alle mulige hendelser er lik ().
Sannsynligheten for at en hendelse ikke skal inntreffe er lik minus sannsynligheten for at hendelsen inntreffer.
Regel for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser
Sannsynligheten for en viss sekvens av uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for hver hendelse
Inkompatible hendelser
Inkompatible hendelser er de som umulig kan oppstå samtidig som et resultat av et eksperiment. En rekke uforenlige hendelser utgjør en komplett gruppe hendelser.
Sannsynlighetene for uforenlige hendelser summerer seg.
Etter å ha beskrevet hva som skal skje, bruker vi konjunksjonene "AND" eller "OR", i stedet for "AND" setter vi et multiplikasjonstegn, og i stedet for "OR" legger vi et addisjonstegn.
Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.
Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!
Nå er det viktigste.
Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.
Problemet er at dette kanskje ikke er nok...
For hva?
For å ha bestått Unified State-eksamenen, for å gå inn på college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.
Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...
Folk som har fått god utdanning tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.
Men dette er ikke hovedsaken.
Hovedsaken er at de er MER LYKKELIG (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...
Men tenk selv...
Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?
FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.
Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.
Du vil trenge løse problemer i tide.
Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.
Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.
Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!
Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.
For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.
Hvordan? Det er to alternativer:
- Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen -
- Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - Kjøp en lærebok - 499 RUR
Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.
Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for HELE nettstedets levetid.
For å konkludere...
Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.
«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.
Finn problemer og løs dem!