En lineær funksjon er en funksjon av formen y=kx+b, der x er den uavhengige variabelen, k og b er alle tall.
Grafen til en lineær funksjon er en rett linje.
1. For å plotte en funksjonsgraf, vi trenger koordinatene til to punkter som tilhører grafen til funksjonen. For å finne dem må du ta to x-verdier, erstatte dem med funksjonslikningen og bruke dem til å beregne de tilsvarende y-verdiene.
For å plotte funksjonen y= x+2 for eksempel, er det praktisk å ta x=0 og x=3, da vil ordinatene til disse punktene være lik y=2 og y=3. Vi får punktene A(0;2) og B(3;3). La oss koble dem sammen og få en graf av funksjonen y= x+2:
2.
I formelen y=kx+b kalles tallet k proporsjonalitetskoeffisienten:
hvis k>0, så øker funksjonen y=kx+b
hvis k
Koeffisient b viser forskyvningen av funksjonsgrafen langs OY-aksen:
hvis b>0, er grafen til funksjonen y=kx+b hentet fra grafen til funksjonen y=kx ved å flytte b enheter oppover langs OY-aksen
hvis b
Figuren under viser grafer for funksjonene y=2x+3; y = ½ x+3; y=x+3
Merk at i alle disse funksjonene er koeffisienten k Over null, og funksjonene er økende. Dessuten, jo større verdien av k er, desto større er helningsvinkelen til den rette linjen til den positive retningen til OX-aksen.
I alle funksjoner b=3 - og vi ser at alle grafer skjærer OY-aksen i punktet (0;3)
Tenk nå på grafene til funksjonene y=-2x+3; y = - ½ x+3; y=-x+3
Denne gangen i alle funksjoner er koeffisienten k mindre enn null og funksjoner er avtagende. Koeffisient b=3, og grafene, som i forrige tilfelle, skjærer OY-aksen i punktet (0;3)
La oss se på grafene til funksjonene y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Nå i alle funksjonsligninger er koeffisientene k lik 2. Og vi fikk tre parallelle linjer.
Men koeffisientene b er forskjellige, og disse grafene skjærer OY-aksen på forskjellige punkter:
Grafen til funksjonen y=2x+3 (b=3) skjærer OY-aksen i punktet (0;3)
Grafen til funksjonen y=2x (b=0) skjærer OY-aksen i punktet (0;0) - origo.
Grafen til funksjonen y=2x-3 (b=-3) skjærer OY-aksen i punktet (0;-3)
Så hvis vi kjenner tegnene til koeffisientene k og b, kan vi umiddelbart forestille oss hvordan grafen til funksjonen y=kx+b ser ut.
Hvis k 0
Hvis k>0 og b>0, så ser grafen til funksjonen y=kx+b slik ut:
Hvis k>0 og b, så ser grafen til funksjonen y=kx+b slik ut:
Hvis k, så ser grafen til funksjonen y=kx+b slik ut:
Hvis k=0, så blir funksjonen y=kx+b til funksjonen y=b og grafen ser slik ut:
Ordinatene til alle punktene på grafen til funksjonen y=b er lik b If b=0, så går grafen til funksjonen y=kx (direkte proporsjonalitet) gjennom origo:
3. La oss merke seg grafen til likningen x=a separat. Grafen til denne ligningen er en rett linje parallelt med OY-aksen, hvor alle punkter har en abscisse x=a.
For eksempel ser grafen til ligningen x=3 slik ut:
Merk følgende! Ligningen x=a er ikke en funksjon, så en verdi av argumentet tilsvarer forskjellige verdier av funksjonen, som ikke samsvarer med definisjonen av en funksjon.
4. Betingelse for parallellitet av to linjer:
Grafen til funksjonen y=k 1 x+b 1 er parallell med grafen til funksjonen y=k 2 x+b 2 hvis k 1 =k 2
5. Betingelsen for at to rette linjer skal være vinkelrette:
Grafen til funksjonen y=k 1 x+b 1 er vinkelrett på grafen til funksjonen y=k 2 x+b 2 hvis k 1 *k 2 =-1 eller k 1 =-1/k 2
6. Skjæringspunkter for grafen til funksjonen y=kx+b med koordinataksene.
Med OY akse. Abscissen til ethvert punkt som tilhører OY-aksen er lik null. Derfor, for å finne skjæringspunktet med OY-aksen, må du erstatte null i ligningen til funksjonen i stedet for x. Vi får y=b. Det vil si at skjæringspunktet med OY-aksen har koordinater (0; b).
Med OX-akse: Ordinaten til ethvert punkt som tilhører OX-aksen er null. Derfor, for å finne skjæringspunktet med OX-aksen, må du erstatte null i ligningen til funksjonen i stedet for y. Vi får 0=kx+b. Derfor x=-b/k. Det vil si at skjæringspunktet med OX-aksen har koordinater (-b/k;0):
Nasjonalt forskningsuniversitet
Institutt for anvendt geologi
Abstrakt om høyere matematikk
Om emnet: "Grunnleggende elementære funksjoner,
deres egenskaper og grafer"
Fullført:
Krysset av:
lærer
Definisjon. Funksjonen gitt av formelen y=a x (der a>0, a≠1) kalles en eksponentiell funksjon med grunntallet a.
La oss formulere hovedegenskapene til eksponentialfunksjonen:
1. Definisjonsdomenet er mengden (R) av alle reelle tall.
2. Område - mengden (R+) av alle positive reelle tall.
3. For a > 1 øker funksjonen langs hele tallinjen; på 0<а<1 функция убывает.
4. Er en funksjon av generell form.
, på intervallet xО [-3;3]
, på intervallet xО [-3;3] En funksjon av formen y(x)=x n, hvor n er tallet ОR, kalles en potensfunksjon. Tallet n kan ha forskjellige verdier: både heltall og brøk, både partall og oddetall. Avhengig av dette vil kraftfunksjonen ha en annen form. La oss vurdere spesielle tilfeller som er potensfunksjoner og gjenspeiler de grunnleggende egenskapene til denne typen kurve i følgende rekkefølge: potensfunksjon y=x² (funksjon med en partall eksponent - en parabel), potensfunksjon y=x³ (funksjon med en oddetallseksponent - kubisk parabel) og funksjon y=√x (x i potensen ½) (funksjon med en brøkeksponent), funksjon med en negativ heltallseksponent (hyperbola).
Power funksjon y=x²
1. D(x)=R – funksjonen er definert på hele den numeriske aksen;
2. E(y)= og øker på intervallet
Power funksjon y=x³
1. Grafen til funksjonen y=x³ kalles en kubisk parabel. Potensfunksjonen y=x³ har følgende egenskaper:
2. D(x)=R – funksjonen er definert på hele den numeriske aksen;
3. E(y)=(-∞;∞) – funksjonen tar alle verdier i sitt definisjonsdomene;
4. Når x=0 y=0 – går funksjonen gjennom origo til koordinatene O(0;0).
5. Funksjonen øker over hele definisjonsdomenet.
6. Funksjonen er oddetall (symmetrisk om opprinnelsen).
, på intervallet xО [-3;3] Avhengig av den numeriske faktoren foran x³, kan funksjonen være bratt/flat og økende/minkende.
Potensfunksjon med negativ heltallseksponent:
Hvis eksponenten n er oddetall, kalles grafen til en slik potensfunksjon en hyperbel. En potensfunksjon med en negativ heltallseksponent har følgende egenskaper:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) for enhver n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), hvis n er et oddetall; E(y)=(0;∞), hvis n er et partall;
3. Funksjonen avtar over hele definisjonsdomenet hvis n er et oddetall; funksjonen øker på intervallet (-∞;0) og reduseres på intervallet (0;∞) hvis n er et partall.
4. Funksjonen er oddetall (symmetrisk om origo) hvis n er et oddetall; en funksjon er selv om n er et partall.
5. Funksjonen går gjennom punktene (1;1) og (-1;-1) hvis n er et oddetall og gjennom punktene (1;1) og (-1;1) hvis n er et partall.
, på intervallet xО [-3;3] Potensfunksjon med brøkeksponent
En potensfunksjon med en brøkeksponent (bilde) har en graf over funksjonen vist på figuren. En potensfunksjon med en brøkeksponent har følgende egenskaper: (bilde)
1. D(x) ОR, hvis n er et oddetall og D(x)= 
, på intervallet xО 
, på intervallet xО [-3;3]
Den logaritmiske funksjonen y = log a x har følgende egenskaper:
1. Definisjonsdomene D(x)О (0; + ∞).
2. Verdiområde E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Funksjonen er verken partall eller oddetall (av generell form).
4. Funksjonen øker på intervallet (0; + ∞) for a > 1, reduseres på (0; + ∞) for 0< а < 1.
Grafen til funksjonen y = log a x kan hentes fra grafen til funksjonen y = a x ved å bruke en symmetritransformasjon om den rette linjen y = x. Figur 9 viser en graf av den logaritmiske funksjonen for a > 1, og figur 10 for 0< a < 1.
; på intervallet xО 
; på intervallet xО Funksjonene y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x kalles trigonometriske funksjoner.
Funksjonene y = sin x, y = tan x, y = ctg x er oddetall, og funksjonen y = cos x er partall.
Funksjon y = sin(x).
1. Definisjonsdomene D(x) OR.
2. Verdiområde E(y) О [ - 1; 1].
3. Funksjonen er periodisk; hovedperioden er 2π.
4. Funksjonen er merkelig.
5. Funksjonen øker med intervaller [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] og avtar på intervallene [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Grafen for funksjonen y = sin (x) er vist i figur 11.
1) Funksjonsdomene og funksjonsområde.
Domenet til en funksjon er settet med alle gyldige gyldige argumentverdier x(variabel x), som funksjonen for y = f(x) fast bestemt. Rekkevidden til en funksjon er settet av alle reelle verdier y, som funksjonen godtar.
I elementær matematikk studeres funksjoner bare på settet med reelle tall.
2) Funksjonsnuller.
Funksjon null er verdien av argumentet der verdien av funksjonen er lik null.
3) Intervaller av konstant fortegn for en funksjon.
Intervaller med konstant fortegn for en funksjon er sett med argumentverdier der funksjonsverdiene bare er positive eller bare negative.
4) Monotonicitet av funksjonen.
En økende funksjon (i et visst intervall) er en funksjon der en større verdi av argumentet fra dette intervallet tilsvarer en større verdi av funksjonen.
En avtagende funksjon (i et visst intervall) er en funksjon der en større verdi av argumentet fra dette intervallet tilsvarer en mindre verdi av funksjonen.
5) Partall (oddelig) funksjon.
En jevn funksjon er en funksjon hvis definisjonsdomene er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen og for enhver X fra definisjonsdomenet likheten f(-x) = f(x). Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om ordinaten.
En oddetallsfunksjon er en funksjon hvis definisjonsdomene er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen og for evt. X fra definisjonsdomenet er likheten sann f(-x) = - f(x). Grafen til en oddetallsfunksjon er symmetrisk om opprinnelsen.
6) Begrensede og ubegrensede funksjoner.
En funksjon kalles begrenset hvis det er et positivt tall M slik at |f(x)| ≤ M for alle verdier av x. Hvis et slikt nummer ikke eksisterer, er funksjonen ubegrenset.
7) Periodisitet av funksjonen.
En funksjon f(x) er periodisk hvis det er et tall som ikke er null, slik at for enhver x fra definisjonsdomenet til funksjonen gjelder følgende: f(x+T) = f(x). Dette minste tallet kalles funksjonens periode. Alle trigonometriske funksjoner er periodiske. (Trigonometriske formler).
19. Grunnleggende elementære funksjoner, deres egenskaper og grafer. Anvendelse av funksjoner i økonomi.
Grunnleggende elementære funksjoner. Deres egenskaper og grafer
1. Lineær funksjon.
Lineær funksjon kalles en funksjon av formen , der x er en variabel, a og b er reelle tall.
Antall EN kalt helningen til linjen, er den lik tangenten til helningsvinkelen til denne linjen til den positive retningen til x-aksen. Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. Det er definert av to punkter.
Egenskaper til en lineær funksjon
1. Definisjonsdomene - settet av alle reelle tall: D(y)=R
2. Settet med verdier er settet av alle reelle tall: E(y)=R
3. Funksjonen tar en nullverdi når eller.
4. Funksjonen øker (minker) over hele definisjonsdomenet.
5. En lineær funksjon er kontinuerlig over hele definisjonsdomenet, differensierbar og .
2. Kvadratisk funksjon.
En funksjon av formen, der x er en variabel, koeffisientene a, b, c er reelle tall, kalles kvadratisk.
I denne artikkelen skal vi se på lineær funksjon, graf over en lineær funksjon og dens egenskaper. Og som vanlig vil vi løse flere problemer om dette emnet.
Lineær funksjon kalt en funksjon av formen
I en funksjonsligning kalles tallet vi multipliserer med helningskoeffisienten.
For eksempel i funksjonsligningen ;
i funksjonens ligning;
i funksjonens ligning;
i funksjonsligningen.
Grafen til en lineær funksjon er en rett linje.
1 . Å plotte en funksjon, trenger vi koordinatene til to punkter som tilhører grafen til funksjonen. For å finne dem må du ta to x-verdier, erstatte dem med funksjonslikningen og bruke dem til å beregne de tilsvarende y-verdiene.
For å plotte en funksjonsgraf for eksempel, er det praktisk å ta og , da vil ordinatene til disse punktene være lik og .
Vi får punktene A(0;2) og B(3;3). La oss koble dem sammen og få en graf over funksjonen:
2 . I en funksjonsligning er koeffisienten ansvarlig for helningen til funksjonsgrafen:
Title="k>0">!}
Koeffisienten er ansvarlig for å flytte grafen langs aksen:
Title="b>0">!}
Figuren under viser grafer over funksjoner; ;
Merk at i alle disse funksjonene er koeffisienten Over null Ikke sant. Dessuten, jo høyere verdi, jo brattere går den rette linjen.
I alle funksjoner - og vi ser at alle grafer skjærer OY-aksen i punkt (0;3)
La oss nå se på grafene til funksjoner; ;
Denne gangen i alle funksjoner koeffisienten mindre enn null, og alle funksjonsgrafer er skråstilte venstre.
Legg merke til at jo større |k|, jo brattere er den rette linjen. Koeffisienten b er den samme, b=3, og grafene, som i forrige tilfelle, skjærer OY-aksen i punktet (0;3)
La oss se på grafene til funksjoner; ;
Nå er koeffisientene i alle funksjonsligninger like. Og vi fikk tre parallelle linjer.
Men koeffisientene b er forskjellige, og disse grafene skjærer OY-aksen på forskjellige punkter:
Grafen til funksjonen (b=3) skjærer OY-aksen i punktet (0;3)
Grafen til funksjonen (b=0) skjærer OY-aksen i punktet (0;0) - origo.
Grafen til funksjonen (b=-2) skjærer OY-aksen i punktet (0;-2)
Så hvis vi kjenner tegnene til koeffisientene k og b, kan vi umiddelbart forestille oss hvordan grafen til funksjonen ser ut.
Hvis k<0 и b>0 , så ser grafen til funksjonen slik ut:
Hvis k>0 og b>0 , så ser grafen til funksjonen slik ut:
Hvis k>0 og b<0 , så ser grafen til funksjonen slik ut:
Hvis k<0 и b<0 , så ser grafen til funksjonen slik ut:
Hvis k=0 , så blir funksjonen til en funksjon og grafen ser slik ut:
Ordinatene til alle punktene på grafen til funksjonen er like
Hvis b=0, så går grafen til funksjonen gjennom origo:
Dette direkte proporsjonalitetsgraf.
3. Jeg vil merke meg grafen til ligningen separat. Grafen til denne ligningen er en rett linje parallelt med aksen, der alle punkter har en abscisse.
For eksempel ser grafen til ligningen slik ut:
Merk følgende! Ligningen er ikke en funksjon, siden forskjellige verdier av argumentet tilsvarer den samme verdien av funksjonen, som ikke samsvarer.
4 . Betingelse for parallellitet av to linjer:
Graf av en funksjon parallelt med grafen til funksjonen, Hvis
5. Betingelsen for vinkelrettheten til to rette linjer:
Graf av en funksjon vinkelrett på grafen til funksjonen, hvis eller
6. Skjæringspunkter for grafen til en funksjon med koordinataksene.
Med OY akse. Abscissen til ethvert punkt som tilhører OY-aksen er lik null. Derfor, for å finne skjæringspunktet med OY-aksen, må du erstatte null i ligningen til funksjonen i stedet for x. Vi får y=b. Det vil si at skjæringspunktet med OY-aksen har koordinater (0; b).
Med OX-akse: Ordinaten til ethvert punkt som tilhører OX-aksen er lik null. Derfor, for å finne skjæringspunktet med OX-aksen, må du erstatte null i ligningen til funksjonen i stedet for y. Vi får 0=kx+b. Herfra. Det vil si at skjæringspunktet med OX-aksen har koordinater (;0):
La oss se på problemløsning.
1 . Konstruer en graf av funksjonen hvis det er kjent at den går gjennom punktet A(-3;2) og er parallell med den rette linjen y=-4x.
Funksjonsligningen har to ukjente parametere: k og b. Derfor må oppgaveteksten inneholde to forhold som karakteriserer grafen til funksjonen.
a) Av det faktum at grafen til funksjonen er parallell med den rette linjen y=-4x, følger det at k=-4. Det vil si at funksjonsligningen har formen
b) Vi må bare finne b. Det er kjent at grafen til funksjonen går gjennom punkt A(-3;2). Hvis et punkt tilhører grafen til en funksjon, får vi den korrekte likheten når vi erstatter koordinatene i funksjonens ligning:
derfor b=-10
Derfor må vi plotte funksjonen
Vi vet punkt A(-3;2), la oss ta punkt B(0;-10)
La oss sette disse punktene i koordinatplanet og forbinde dem med en rett linje:
2. Skriv ligningen til linjen som går gjennom punktene A(1;1); B(2;4).
Hvis en linje går gjennom punkter med gitte koordinater, tilfredsstiller derfor koordinatene til punktene linjens ligning. Det vil si at hvis vi erstatter koordinatene til punktene inn i ligningen til den rette linjen, vil vi få riktig likhet.
La oss erstatte koordinatene til hvert punkt i ligningen og få et system med lineære ligninger.
Trekk den første fra den andre ligningen i systemet og få . La oss erstatte verdien av k i den første ligningen av systemet og få b=-2.
Så likningen av linjen.
3. Tegn grafen av ligningen 
For å finne ved hvilke verdier av det ukjente produktet av flere faktorer er lik null, må du likestille hver faktor til null og ta hensyn til hver multiplikator.
Denne ligningen har ingen begrensninger på ODZ. La oss faktorisere den andre parentesen og sette hver faktor lik null. Vi får et sett med ligninger:
La oss konstruere grafer av alle ligningene i mengden i ett koordinatplan. Dette er grafen til ligningen :
4. Konstruer en graf av funksjonen hvis den er vinkelrett på linjen og går gjennom punktet M(-1;2)
Vi skal ikke bygge en graf, vi finner bare likningen til linjen.
a) Siden grafen til en funksjon, hvis den er vinkelrett på en linje, derfor. Det vil si at funksjonsligningen har formen
b) Vi vet at grafen til funksjonen går gjennom punktet M(-1;2). La oss erstatte koordinatene i funksjonens ligning. Vi får:
Herfra.
Derfor ser funksjonen vår slik ut: .
5 . Tegn funksjonen grafisk 
La oss forenkle uttrykket på høyre side av funksjonsligningen.
Viktig! Før vi forenkler uttrykket, la oss finne dets ODZ.
Nevneren til en brøk kan ikke være null, så title="x1">, title="x-1">.!}
Da har funksjonen vår formen:
Title="delim(lbrace)(matrise(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}
Det vil si at vi må bygge en graf av funksjonen og kutte ut to punkter på den: med abscisse x=1 og x=-1:
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.