Deriverten av antiderivatet til denne funksjonen er lik. Tilstrekkelig tilstand for et ekstremum

Fil for leksjon 29.

Derivat. Anvendelse av derivat. Antiderivat.

Vinkelkoeffisienten til tangenten til grafen til funksjonen i punktet med abscisse x 0 lik den deriverte av funksjonen i punkt x 0. .

De. den deriverte av funksjonen i punktet x 0 er lik tangenten til tangentvinkelen tegnet til grafen til funksjonen i punktet (x 0 ; f(x 0)).

Trening 1. Figuren viser en graf for funksjonen y=f(x) og en tangent til denne grafen tegnet i punktet med abscissen x x 0 .

Svar: 0,25

Trening 2. Figuren viser en graf for funksjonen y=f(x) og en tangent til denne grafen tegnet i punktet med abscissen x 0 . Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x 0 . Svar: 0,6

Trening 3. Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) og en tangent til denne grafen tegnet i punktet med abscissen x 0 . Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x 0 . Svar: -0,25

Trening 4. Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) og en tangent til denne grafen tegnet i punktet med abscissen x 0 . Finn verdien av den deriverte av funksjonen f(x) i punktet x 0 . Svar: -0,2.

Mekanisk sans derivat.

v ( t 0 ) = x' ( t 0 )

hastighet er den deriverte av koordinaten Av tid. Like måte, akselerasjon er den deriverte av hastighet i forhold til tid :

en = v' ( t ).

Trening 5 . Et materialpunkt beveger seg rettlinjet i henhold til loven x(t)=12 t 2 +4 t+27, der x er avstanden fra referansepunktet i meter, t er tiden i sekunder, målt fra øyeblikket bevegelsen begynte. Finn hastigheten (i meter per sekund) til tiden t=2 s. Svar: 52

Oppgave 6. Et materiell punkt beveger seg rettlinjet i henhold til lovenx (t )= 16 t 3 + t 2 − 8 t + 180, Hvor x- avstand fra referansepunktet i meter,t- tid i sekunder målt fra øyeblikket bevegelsen begynte. På hvilket tidspunkt (i sekunder) var hastigheten lik 42 m/s? Svar: 1

Et tilstrekkelig tegn på økende (minkende) funksjon

1. Hvis f `(x) ved hvert punkt i intervallet (, øker funksjonen med (.

2. Hvis f `(x) ved hvert punkt i intervallet (, reduseres funksjonen med (.

Forutsetning ekstremum

Hvis punkt x 0 er funksjonens ytterpunkt, og på dette punktet er det en derivert, da f `( x 0 )=0

Tilstrekkelig tilstand ekstremum

Hvis f `( x 0 x 0 verdien av den deriverte endrer fortegn fra "+" til "-", deretter x 0 er maksimumspunktet for funksjonen.

Hvis f `( x 0 ) = 0 og når du passerer gjennom punktet x 0 den deriverte verdien endrer fortegn fra "-" til "+", deretter x 0 er minimumspunktet for funksjonen.

Oppgave 7. Figuren viser en graf av den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (−7; 10). Finn antall minimumspoeng for funksjonen f(x) på intervallet [−3; 8].

Løsning. Minimumspoengene tilsvarer punktene der fortegnet for den deriverte endres fra minus til pluss. På segmentet [−3; 8] funksjonen har ett minimumspunkt x= 4. Så et slikt punkt er 1. Svar: 1.

Oppgave 8. Figuren viser en graf av den differensierbare funksjonen y=f(x) og syv punkter er markert på abscisseaksen: x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x 7. Ved hvor mange av disse punktene er den deriverte av f(x) negativ? Svar: 3

Oppgave 9. Figuren viser en graf av den differensierbare funksjonen y=f(x), definert på intervallet (− 11 ; − 1). Finn et punkt fra segmentet [− 7 ; − 2], der den deriverte av funksjonen f(x) er lik 0. Svar: -4

Oppgave 10. Figuren viser en graf av funksjonen y=f′(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (2 ; 13). Finn maksimumspunktet for funksjonen f(x). Svar: 9

Oppgave 11. Figuren viser grafen y=f′(x) til den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (− 3; 8). På hvilket punkt i segmentet [− 2; 3] funksjonen f(x) tar minste verdi? Svar: -2

Oppgave 12. Figuren viser grafen y=f "(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (− 2 ; 11). Finn abscissen til punktet der tangenten til grafen til funksjonen y=f(x) er parallell med abscisseaksen eller sammenfaller med hennes Svar: 3

Oppgave 13. Figuren viser en graf av y=f "(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (− 4 ; 6). Finn abscissen til punktet der tangenten til grafen til funksjonen y=f(x) er parallell med den rette linjen y=3x eller sammenfaller med den Svar: 5

Oppgave 14. Figuren viser en graf av y=f "(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (− 4 ; 13). Finn antall punkter der tangenten til grafen til funksjonen y=f(x) er parallell med den rette linjen y=− 2x−10 eller lik den. Svar: 5

Oppgave 15. Den rette linjen y =5x -8 er tangent til grafen til funksjonen 4x 2 -15x +c. Finne c. Å svar: 17.

Antiderivat

Antiderivativ funksjon F(x) for funksjon f(x) kalt en funksjon derivat som er lik den opprinnelige funksjonen. F " ( x )= f ( x ).

Oppgave 16. Figuren viser en graf y=F (x) en av antiderivatene til en eller annen funksjon f(x), definert på intervallet (1;13). Bruk figuren til å bestemme antall løsninger til ligningen f (x)=0 på segmentet . Svar: 4

Oppgave 17. Figuren viser grafen y=F(x) til en av antiderivatene til en funksjon f(x), definert på intervallet (− 7; 8). Bruk figuren til å bestemme antall løsninger til ligningen f(x)=0 på segmentet. Svar: 1

Oppgave 18. Figuren viser grafen y=F(x) til en av antiderivertene til en eller annen funksjon f(x) og åtte punkter er markert på abscisseaksen: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Ved hvor mange av disse punktene er funksjonen f(x) negativ? Svar: 3

Oppgave 19. Figuren viser en graf for en funksjon y=f(x). Funksjonen F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 er en av antiderivertene til funksjonen f(x). Finn området til den skyggelagte figuren. Svar: 592

Algoritme for å finne ekstremumpunkter

Finn definisjonsdomenet til funksjonen.

Finn den deriverte av en funksjon f "( x)

Finn punktene hvor f "( x) = 0.

Merk på talllinjen definisjonsdomenet til funksjonen og alle nullene til den deriverte.

Definer tegn derivatfor hvert intervall. (For å gjøre dette, bytt inn en "praktisk" verdi x fra dette intervallet til f "( x)).

Bestem de økende og avtagende områdene av funksjonen basert på tegnene til den deriverte og trekk konklusjoner om tilstedeværelsen eller fraværet av et ekstremum og dets natur ( maks ellermin ) på hvert av disse punktene.

Oppgave 20. Finn maksimumspunktet til funksjonen y=(2x−1)cosx−2sinx+5, som tilhører intervallet (0 ; π/2). Svar: 0,5

Oppgave 21.Finn maksimumspunktet for funksjoneny=. Svar: 6

Finne algoritme den største og minste verdien av en funksjon på et segment

Oppgave 22. Finn den minste verdien av funksjonen y =x −6x +1 på segmentet. Svar: -31

Oppgave 23. Finn den minste verdien av funksjonen y=8cosx+30x/π+19 på intervallet [− 2π/3; 0]. Svar: -5

I tillegg. 1. Finn maksimumspunktet til funksjonen y=(x−11) 2 ​ ⋅e x − 7 .

2. Finn høyeste verdi funksjoner y=x 5 -5x 3 -20x på segmentet [− 9 ; 1]. Svar: 48

Rute eksponentiell funksjon er en buet, jevn linje uten knekk, som en tangent kan trekkes til ved hvert punkt den passerer gjennom. Det er logisk å anta at hvis en tangent kan tegnes, vil funksjonen være differensierbar på hvert punkt i definisjonsdomenet.

Vi vil vise i noen koordinatakser flere grafer av funksjonen y = x a, For a = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

På et punkt med koordinater (0;1). Vinklene til disse tangentene vil være henholdsvis ca. 35, 40, 48 og 51 grader. Det er logisk å anta at i intervallet fra 2 til 3 er det et tall hvor hellingsvinkelen til tangenten vil være lik 45 grader.

La oss gi en presis formulering av dette utsagnet: det er et tall større enn 2 og mindre enn 3, angitt med bokstaven e, slik at eksponentialfunksjonen y = e x i punkt 0 har en derivert lik 1. Det vil si: (e ∆x -1) / ∆x har en tendens til 1 som ∆x har en tendens til null.

Dette nummeret e er irrasjonell og skrives som en uendelig ikke-periodisk desimalbrøk:

e = 2,7182818284…

Siden e er positiv og ikke null, er det en logaritme for å basere e. Denne logaritmen kalles naturlig logaritme . Angitt med ln(x) = log e (x).

Derivert av en eksponentiell funksjon

Teorem: Funksjonen e x er differensierbar på hvert punkt i sitt definisjonsdomene, og (e x)’ = e x .

Eksponentialfunksjonen a x er differensierbar ved hvert punkt i definisjonsdomenet, og (a x)’ = (a x)*ln(a).
En følge av denne teoremet er det faktum at eksponentialfunksjonen er kontinuerlig på et hvilket som helst punkt i definisjonsdomenet.

Eksempel: finn den deriverte av funksjonen y = 2 x.

Ved å bruke formelen for den deriverte av eksponentialfunksjonen får vi:

(2 x)' = (2 x)*ln(2).

Svar: (2 x)*ln(2).

Antiderivat av eksponentialfunksjonen

For en eksponentiell funksjon a x definert på settet med reelle tall, vil antideriverten være funksjonen (a x)/(ln(a)).
ln(a) er en konstant, da (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x for enhver x. Vi har bevist dette teoremet.

La oss vurdere et eksempel på å finne antideriverten til eksponentialfunksjonen.

Eksempel: finn antideriverten til funksjonen f(x) = 5 x. La oss bruke formelen gitt ovenfor og reglene for å finne antiderivater. Vi får: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Den rette linjen y=3x+2 er tangent til grafen til funksjonen y=-12x^2+bx-10. Finn b, gitt at abscissen til tangentpunktet er mindre enn null.

Vis løsning

Løsning

La x_0 være abscissen til punktet på grafen til funksjonen y=-12x^2+bx-10 som tangenten til denne grafen går gjennom.

Verdien av den deriverte i punkt x_0 er skråningen tangent, det vil si y"(x_0)=-24x_0+b=3. På den annen side hører tangenspunktet samtidig til både grafen til funksjonen og tangenten, det vil si -12x_0^2+bx_0- 10=3x_0+2. Vi får et likningssystem \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(saker)

Ved å løse dette systemet får vi x_0^2=1, som betyr enten x_0=-1 eller x_0=1. I henhold til abscissebetingelsen er tangentpunktene mindre enn null, så x_0=-1, deretter b=3+24x_0=-21.

Svar

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) (som er en brutt linje som består av tre rette segmenter). Bruk figuren til å beregne F(9)-F(5), hvor F(x) er en av antiderivertene til funksjonen f(x).

Vis løsning

Løsning

I følge Newton-Leibniz-formelen er forskjellen F(9)-F(5), hvor F(x) er en av antiderivatene til funksjonen f(x), lik arealet til den krumlinjede trapesen, begrenset av tidsplanen funksjoner y=f(x), rette linjer y=0, x=9 og x=5. I henhold til timeplanen, bestemmer vi at den angitte buet trapes er en trapes med baser lik 4 og 3 og høyde 3.

Arealet er likt \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av y=f"(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-4; 10). Finn intervallene til avtagende funksjon f(x). I svaret ditt, angi lengden på den største av dem.

Vis løsning

Løsning

Som kjent avtar funksjonen f(x) på de intervallene ved hvert punkt hvor den deriverte f"(x) er mindre enn null. Med tanke på at det er nødvendig å finne lengden på den største av dem, er tre slike intervaller naturlig skilt fra figuren: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Lengden på den største av dem - (5; 9) er 4.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av y=f"(x) - den deriverte av funksjonen f(x), definert på intervallet (-8; 7). Finn antall maksimumspunkter for funksjonen f(x), som hører til intervallet [-6; -2].

Vis løsning

Løsning

Grafen viser at den deriverte f"(x) av funksjonen f(x) endrer fortegn fra pluss til minus (ved slike punkter vil det være et maksimum) på nøyaktig ett punkt (mellom -5 og -4) fra intervallet [ -6; -2 ] Derfor, på intervallet [-6; -2] er det nøyaktig ett maksimumspunkt.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x), definert på intervallet (-2; 8). Bestem antall punkter der den deriverte av funksjonen f(x) er lik 0.

Vis løsning

Løsning

Likheten til den deriverte ved et punkt til null betyr at tangenten til grafen til funksjonen tegnet på dette punktet er parallell med Ox-aksen. Derfor finner vi punkter der tangenten til grafen til funksjonen er parallell med Ox-aksen. På dette diagrammet slike punkter er ekstremumpunkter (maksimums- eller minimumspoeng). Som du kan se, er det 5 ekstremumpunkter.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Den rette linjen y=-3x+4 er parallell med tangenten til grafen til funksjonen y=-x^2+5x-7. Finn abscissen til tangentpunktet.

Vis løsning

Løsning

Helningen til den rette linjen til grafen til funksjonen y=-x^2+5x-7 tommer vilkårlig poeng x_0 er lik y"(x_0). Men y"=-2x+5, som betyr y"(x_0)=-2x_0+5. Helningen til linjen y=-3x+4 spesifisert i betingelsen er lik -3. Parallelle linjer har samme vinkelkoeffisienter.Derfor finner vi en verdi x_0 slik at =-2x_0 +5=-3.

Vi får: x_0 = 4.

Svar

Kilde: «Matematikk. Forberedelse til Unified State Exam 2017. Profilnivå." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Betingelse

Figuren viser en graf av funksjonen y=f(x) og punktene -6, -1, 1, 4 er markert på abscissen. På hvilket av disse punktene er den deriverte den minste? Vennligst angi dette punktet i svaret ditt.

Denne leksjonen er den første i en serie med videoer om integrering. I den vil vi finne ut hva det er antiderivat av funksjon, og studere også de elementære metodene for å beregne disse antiderivatene.

Faktisk er det ikke noe komplisert her: i hovedsak kommer alt ned til konseptet derivat, som du allerede burde være kjent med. :)

Jeg vil merke med en gang at siden dette er den aller første leksjonen i vår nytt emne, det blir ingen i dag komplekse beregninger og formler, men det vi skal studere i dag vil danne grunnlaget for mye mer komplekse beregninger og konstruksjoner når vi regner komplekse integraler og firkanter.

I tillegg, når vi begynner å studere integrasjon og integraler spesielt, antar vi implisitt at studenten allerede er i det minste kjent med begrepene derivater og har minst grunnleggende ferdigheter i å beregne dem. Uten en klar forståelse av dette er det absolutt ingenting å gjøre i integrering.

Men her ligger et av de vanligste og mest lumske problemene. Faktum er at når de begynner å beregne sine første antiderivater, forveksler mange studenter dem med derivater. Som et resultat, i eksamener og selvstendig arbeid det gjøres dumme og støtende feil.

Derfor vil jeg nå ikke gi en klar definisjon av et antiderivat. Til gjengjeld foreslår jeg at du ser hvordan det beregnes ved å bruke et enkelt spesifikt eksempel.

Hva er et antiderivat og hvordan beregnes det?

Vi kjenner denne formelen:

\[((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Denne deriverte beregnes enkelt:

\[(f)"\venstre(x \høyre)=((\venstre(((x)^(3)) \høyre))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

La oss se nøye på det resulterende uttrykket og uttrykke $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\venstre(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Men vi kan skrive det på denne måten, i henhold til definisjonen av et derivat:

\[((x)^(2))=((\venstre(\frac(((x)^(3)))(3) \høyre))^(\prime ))\]

Og nå oppmerksomhet: Det vi nettopp skrev ned er definisjonen av et antiderivat. Men for å skrive det riktig, må du skrive følgende:

La oss skrive følgende uttrykk på samme måte:

Hvis vi generaliserer denne regelen, kan vi utlede følgende formel:

\[((x)^(n))\til \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Nå kan vi formulere en klar definisjon.

En antiderivert av en funksjon er en funksjon hvis deriverte er lik den opprinnelige funksjonen.

Spørsmål om antiderivatfunksjonen

Det virker som en ganske enkel og forståelig definisjon. Men etter å ha hørt det, vil den oppmerksomme studenten umiddelbart ha flere spørsmål:

1. La oss si, ok, denne formelen er riktig. Men i dette tilfellet, med $n=1$, har vi problemer: "null" vises i nevneren, og vi kan ikke dele med "null".
2. Formelen er begrenset til kun grader. Hvordan beregne antideriverten, for eksempel av sinus, cosinus og annen trigonometri, samt konstanter.
3. Eksistensielt spørsmål: er det alltid mulig å finne et antiderivat? Hvis ja, hva med antideriverten av summen, differansen, produktet osv.?

På siste spørsmål Jeg svarer med en gang. Dessverre vurderes ikke alltid antiderivatet, i motsetning til derivatet. Ikke noe slikt universell formel, hvorved vi fra enhver innledende konstruksjon vil oppnå en funksjon som vil være lik denne lignende konstruksjonen. Når det gjelder krefter og konstanter, skal vi snakke om det nå.

Løse problemer med strømfunksjoner

\[((x)^(-1))\til \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Som vi ser, denne formelen for $((x)^(-1))$ fungerer ikke. Spørsmålet oppstår: hva fungerer da? Kan vi ikke telle $((x)^(-1))$? Selvfølgelig kan vi det. La oss bare huske dette først:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

La oss nå tenke: den deriverte av hvilken funksjon er lik $\frac(1)(x)$. Det er klart at enhver student som har studert dette emnet i det minste litt, vil huske at dette uttrykket er lik den deriverte av den naturlige logaritmen:

\[((\venstre(\ln x \høyre))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Derfor kan vi trygt skrive følgende:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\til \ln x\]

Du må kunne denne formelen, akkurat som den deriverte av en potensfunksjon.

Så det vi vet så langt:

• For en potensfunksjon - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• For en konstant - $=const\to \cdot x$
• Et spesialtilfelle av en potensfunksjon er $\frac(1)(x)\to \ln x$

Og hvis vi begynner å multiplisere og dele de enkleste funksjonene, hvordan kan vi da beregne antideriverten til et produkt eller en kvotient. Dessverre fungerer ikke analogier med avledet av et produkt eller kvotient her. Noen standard formel eksisterer ikke. For noen tilfeller er det vanskelige spesialformler - vi vil bli kjent med dem i fremtidige videotimer.

Husk imidlertid: generell formel, eksisterer ikke en lignende formel for å beregne den deriverte av en kvotient og et produkt.

Løse reelle problemer

Oppgave nr. 1

La oss hver strømfunksjoner La oss beregne separat:

\[((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)\]

For å gå tilbake til uttrykket vårt, skriver vi den generelle konstruksjonen:

Oppgave nr. 2

Som jeg allerede har sagt, prototyper av verk og privat "tvers igjennom" vurderes ikke. Her kan du imidlertid gjøre følgende:

Vi brøt ned brøken til summen av to brøker.

La oss regne:

Den gode nyheten er at når du kjenner formlene for å beregne antiderivater, er du allerede i stand til å beregne mer komplekse design. La oss imidlertid gå videre og utvide kunnskapen vår litt mer. Faktum er at mange konstruksjoner og uttrykk, som ved første øyekast ikke har noe med $((x)^(n))$ å gjøre, kan representeres som en potens med rasjonell indikator, nemlig:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Alle disse teknikkene kan og bør kombineres. Maktuttrykk Kan

• multiplisere (grader legge til);
• dividere (grader trekkes fra);
• multiplisere med en konstant;
• etc.

Løse kraftuttrykk med rasjonell eksponent

Eksempel #1

La oss beregne hver rot separat:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\til \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\til \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Totalt kan hele konstruksjonen vår skrives slik:

Eksempel nr. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\venstre(\sqrt(x) \høyre))^(-1))=((\venstre(((x)^(\frac( 1)(2))) \høyre))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Derfor får vi:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\til \frac(((x)^(-3+1)))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Totalt, ved å samle alt i ett uttrykk, kan vi skrive:

Eksempel nr. 3

Til å begynne med merker vi at vi allerede har beregnet $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\til \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

La oss skrive om:

Jeg håper jeg ikke vil overraske noen hvis jeg sier at det vi nettopp har studert er bare det meste enkle beregninger primitive, de mest elementære strukturene. La oss nå se litt mer komplekse eksempler, der du i tillegg til de tabellformede antiderivatene også må huske skolepensum, nemlig forkortede multiplikasjonsformler.

Løse mer komplekse eksempler

Oppgave nr. 1

La oss huske formelen for kvadratforskjellen:

\[((\venstre(a-b \høyre))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

La oss omskrive funksjonen vår:

Vi må nå finne prototypen til en slik funksjon:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\til \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\til \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

La oss sette alt sammen til et felles design:

Oppgave nr. 2

I dette tilfellet må vi utvide differansekuben. La oss huske:

\[((\venstre(a-b \høyre))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Med dette i betraktning kan vi skrive det slik:

La oss endre funksjonen vår litt:

Vi teller som alltid - for hvert semester separat:

\[((x)^(-3))\til \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\til \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\til \ln x\]

La oss skrive den resulterende konstruksjonen:

Oppgave nr. 3

Øverst har vi kvadratet av summen, la oss utvide det:

\[\frac(((\venstre(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\venstre(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\til \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

La oss skrive den endelige løsningen:

Nå oppmerksomhet! Veldig viktig ting, som den er koblet til brorparten feil og misforståelser. Faktum er at til nå, når vi teller antiderivater ved hjelp av derivater og bringer transformasjoner, har vi ikke tenkt på hva derivatet av en konstant er lik. Men den deriverte av en konstant er lik "null". Dette betyr at du kan skrive følgende alternativer:

1. $((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Dette er veldig viktig å forstå: hvis den deriverte av en funksjon alltid er den samme, så har den samme funksjonen et uendelig antall antideriverte. Vi kan ganske enkelt legge til alle konstante tall til våre antiderivater og få nye.

Det er ikke tilfeldig at det i forklaringen av problemene vi nettopp løste ble skrevet «Skriv ned generell form primitiver." De. Det er allerede på forhånd antatt at det ikke er en av dem, men en hel mengde. Men faktisk skiller de seg bare i konstanten $C$ på slutten. Derfor vil vi i våre oppgaver rette opp det vi ikke fullførte.

Nok en gang omskriver vi konstruksjonene våre:

I slike tilfeller bør du legge til at $C$ er en konstant - $C=const$.

I vår andre funksjon får vi følgende konstruksjon:

Og den siste:

Og nå fikk vi virkelig det som ble krevd av oss i den opprinnelige tilstanden til problemet.

Løse problemer med å finne antiderivater med et gitt poeng

Nå som vi vet om konstanter og særegenhetene ved å skrive antiderivater, er det ganske logisk det neste type problemer når det, fra settet av alle antiderivater, er nødvendig å finne én enkelt som vil passere gjennom gitt poeng. Hva er denne oppgaven?

Faktum er at alle antiderivater av en gitt funksjon skiller seg bare ved at de forskyves vertikalt med et visst tall. Og dette betyr at uansett hvilket punkt på koordinatplan vi tok det ikke, ett antiderivat vil definitivt passere, og dessuten bare ett.

Så oppgavene som vi nå skal løse er formulert følgende: det er ikke lett å finne et antiderivert ved å kjenne formelen til den opprinnelige funksjonen, men å velge nøyaktig en av dem som går gjennom et gitt punkt, hvis koordinater vil bli gitt i problemformuleringen.

Eksempel #1

Først, la oss bare telle hvert begrep:

\[((x)^(4))\til \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\til \frac(((x)^(4)))(4)\]

Nå erstatter vi disse uttrykkene i konstruksjonen vår:

Denne funksjonen må gå gjennom punktet $M\left(-1;4 \right)$. Hva betyr det at den går gjennom et punkt? Dette betyr at hvis vi i stedet for $x$ setter $-1$ overalt, og i stedet for $F\left(x \right)$ legger vi $-4$, så skal vi få den riktige numerisk likhet. La oss gjøre dette:

Vi ser at vi har en ligning for $C$, så la oss prøve å løse den:

La oss skrive ned selve løsningen vi lette etter:

Eksempel nr. 2

Først av alt er det nødvendig å avsløre kvadratet av forskjellen ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen:

\[((x)^(2))\til \frac(((x)^(3)))(3)\]

Den opprinnelige konstruksjonen vil bli skrevet som følger:

La oss nå finne $C$: erstatte koordinatene til punktet $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Vi uttrykker $C$:

Det gjenstår å vise det endelige uttrykket:

Løse trigonometriske problemer

Som siste akkord I tillegg til det vi nettopp har diskutert, foreslår jeg å vurdere to til komplekse oppgaver, som inneholder trigonometri. I dem, på samme måte, må du finne antiderivater for alle funksjoner, og velg deretter fra dette settet den eneste som går gjennom punktet $M$ på koordinatplanet.

Når jeg ser fremover, vil jeg merke meg at teknikken som vi nå skal bruke for å finne antiderivater av trigonometriske funksjoner, faktisk, er en universell teknikk for selvtesting.

Oppgave nr. 1

La oss huske følgende formel:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Basert på dette kan vi skrive:

La oss erstatte koordinatene til punktet $M$ i uttrykket vårt:

\[-1=\tekst(tg)\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(\tekst(4))+C\]

La oss omskrive uttrykket under hensyntagen til dette faktum:

Oppgave nr. 2

Dette blir litt vanskeligere. Nå skal du se hvorfor.

La oss huske denne formelen:

\[((\venstre(\tekst(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

For å bli kvitt "minus", må du gjøre følgende:

\[((\venstre(-\tekst(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Her er vårt design

La oss erstatte koordinatene til punktet $M$:

Totalt skriver vi ned den endelige konstruksjonen:

Det var alt jeg ville fortelle deg om i dag. Vi studerte selve begrepet antiderivater, hvordan man kan telle dem fra elementære funksjoner, samt hvordan finne et antiderivat som går gjennom et spesifikt punkt på koordinatplanet.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg i det minste litt til å forstå dette komplekst tema. I alle fall er det på antiderivater som ubestemt og ubestemte integraler, så det er helt nødvendig å telle dem. Det var alt for meg. Ser deg igjen!

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Innhold

Innholdselementer

Deriverte, tangent, antideriverte, grafer av funksjoner og deriverte.

Derivat La funksjonen \(f(x)\) være definert i et område av punktet \(x_0\).

Derivert av funksjonen \(f\) i punktet \(x_0\) kalt grense

\(f"(x_0)=\lim_(x\høyrepil x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

hvis denne grensen eksisterer.

Den deriverte av en funksjon i et punkt karakteriserer endringshastigheten til denne funksjonen ved et gitt punkt.

Derivattabell

Funksjon	Derivat
\(const\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Regler for differensiering\(f\) og \(g\) er funksjoner avhengig av variabelen \(x\); \(c\) er et tall.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\venstre(f\venstre(g(x)\høyre)\høyre)"=f"\venstre(g(x)\høyre)\cdot g"(x)\) - derivert av en kompleks funksjon

Geometrisk betydning av derivat Ligning av en linje- Ikke parallell akse\(Oy\) kan skrives som \(y=kx+b\). Koeffisienten \(k\) i denne ligningen kalles hellingen av en rett linje. Han lik tangent helningsvinkel denne rette linjen.

Rett vinkel- vinkelen mellom den positive retningen til \(Ox\)-aksen og denne rette linjen, målt i retningen til de positive vinklene (det vil si i retningen av den minste rotasjonen fra \(Ox\)-aksen til \ (Oy\) akse).

Den deriverte av funksjonen \(f(x)\) i punktet \(x_0\) er lik helningen til tangenten til grafen til funksjonen i dette punktet: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Hvis \(f"(x_0)=0\), så er tangenten til grafen til funksjonen \(f(x)\) i punktet \(x_0\) parallell med aksen \(Ox\).

Tangentligning

Likning av tangenten til grafen til funksjonen \(f(x)\) i punktet \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonicitet av funksjonen Hvis den deriverte av en funksjon er positiv på alle punkter i intervallet, øker funksjonen på dette intervallet.

Hvis den deriverte av en funksjon er negativ på alle punkter i intervallet, avtar funksjonen på dette intervallet.

Minimum, maksimum og bøyningspunkter positivt på negativ på dette tidspunktet er \(x_0\) maksimumspunktet for funksjonen \(f\).

Hvis funksjonen \(f\) er kontinuerlig i punktet \(x_0\), og verdien av den deriverte av denne funksjonen \(f"\) endres med negativ på positivt på dette tidspunktet er \(x_0\) minimumspunktet for funksjonen \(f\).

Punktene der den deriverte \(f"\) er lik null eller ikke eksisterer kalles kritiske punkter funksjoner \(f\).

Interne punkter i definisjonsdomenet til funksjonen \(f(x)\), der \(f"(x)=0\) kan være minimums-, maksimums- eller bøyningspunkter.

Fysisk betydning av derivatet Hvis et materialpunkt beveger seg rettlinjet og dets koordinater endres avhengig av tid i henhold til loven \(x=x(t)\), så er hastigheten til dette punktet lik den deriverte av koordinaten med hensyn til tid:

Akselerasjon materiell poeng lik den deriverte av hastigheten til dette punktet med hensyn til tid:

\(a(t)=v"(t).\)