VITENSKAPS- OG UTDANNINGSMINISTERIET I REPUBLIKKEN BASHKORTO STAN

SAOU SPO Bashkir College of Architecture and Civil Engineering

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

matematikklærer ved Bashkirsky

Høgskolen for arkitektur og sivilingeniør

UFA

2014

Introduksjon ____________________________________________________3

Kapittel JEG. Teoretiske aspekter ved bruk av metoden for usikre koeffisienter________________________________________________________4

Kapittel II. Søker etter løsninger på problemer med polynomer ved hjelp av metoden for ubestemte koeffisienter__________________________________7

2.1. Faktorisering av et polynom_______________ 7

2.2. Problemer med parametere_________________________________ 10

2.3. Løse ligninger_____________________________________________________14

2.4. Funksjonelle ligninger______________________________19

Konklusjon_________________________________________________23

Liste over brukt litteratur__________________________________________24

applikasjon ________________________________________________25

Introduksjon.

Dette arbeidet er viet til de teoretiske og praktiske aspektene ved å introdusere metoden for ubestemte koeffisienter i skolematematikkkurset. Relevansen av dette emnet bestemmes av følgende omstendigheter.

Ingen vil hevde at matematikk som vitenskap ikke står på ett sted, det er i stadig utvikling, nye oppgaver med økt kompleksitet dukker opp, som ofte forårsaker visse vanskeligheter, siden disse oppgavene vanligvis er forbundet med forskning. De siste årene har slike problemer blitt foreslått ved skole-, distrikts- og republikanske matematiske olympiader, og de er også tilgjengelige i Unified State Exam-versjonene. Derfor var det nødvendig med en spesiell metode som ville gjøre at i det minste noen av dem kunne løses raskest, effektivt og rimeligst. Dette arbeidet presenterer tydelig innholdet i metoden med ubestemte koeffisienter, som er mye brukt i en lang rekke områder av matematikk, alt fra spørsmål inkludert i det generelle utdanningskurset til dets mest avanserte deler. Spesielt er anvendelser av metoden for ubestemte koeffisienter for å løse problemer med parametere, rasjonelle brøk- og funksjonelle ligninger spesielt interessante og effektive; de kan lett interessere alle som er interessert i matematikk. Hovedformålet med det foreslåtte arbeidet og utvalget av problemer er å gi gode muligheter til å finpusse og utvikle evnen til å finne korte og ikke-standardiserte løsninger.

Dette arbeidet består av to kapitler. Den første diskuterer de teoretiske aspektene ved bruk

metode for usikre koeffisienter, og for det andre praktiske og metodiske aspekter ved slik bruk.

Vedlegget til arbeidet gir vilkår for konkrete oppgaver for selvstendig løsning.

Kapittel Jeg . Teoretiske aspekter ved bruk metode for usikre koeffisienter

"Mennesket ... ble født til å være en mester,

hersker, naturens konge, men visdom,

som han skal herske med, er ikke gitt ham

fra fødselen: det tilegnes ved læring"

N.I.Lobachevsky

Det er forskjellige måter og metoder for å løse problemer, men en av de mest praktiske, mest effektive, originale, elegante og samtidig veldig enkle og forståelige for alle er metoden med ubestemte koeffisienter. Metoden med ubestemte koeffisienter er en metode som brukes i matematikk for å finne koeffisientene til uttrykk hvis form er kjent på forhånd.

Før vi vurderer bruken av metoden med ubestemte koeffisienter for å løse ulike typer problemer, presenterer vi en rekke teoretisk informasjon.

La dem bli gitt

EN n (x) = en 0 x n + en 1 x n-1 + en 2 x n-2 + ··· + en n-1 x + en n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

polynomer relative X med noen odds.

Teorem. To polynomer avhengig av en og det samme argumentet er identisk like hvis og bare hvisn = m og deres tilsvarende koeffisienter er likeen 0 = b 0 , en 1 = b 1 , en 2 = b 2 ,··· , en n -1 = b m -1 , en n = b m Og T. d.

Det er klart at like polynomer tar for alle verdier X samme verdier. Omvendt, hvis verdiene til to polynomer er like for alle verdier X, deretter polynomene er like, det vil si koeffisientene deres i samme graderX matche opp.

Derfor er ideen om å bruke metoden med ubestemte koeffisienter for å løse problemer som følger.

La oss vite at som et resultat av noen transformasjoner oppnås et uttrykk av en bestemt type og bare koeffisientene i dette uttrykket er ukjente. Deretter blir disse koeffisientene utpekt med bokstaver og betraktet som ukjente. Et ligningssystem blir deretter konstruert for å bestemme disse ukjente.

For eksempel, når det gjelder polynomer, lages disse ligningene fra betingelsen om at koeffisientene er like for de samme potensene X for to like polynomer.

Vi vil demonstrere det som ble sagt ovenfor ved å bruke følgende spesifikke eksempler, og la oss starte med det enkleste.

Så, for eksempel, basert på teoretiske betraktninger, brøken

kan representeres som en sum

, Hvor en , b Og c - koeffisienter som skal bestemmes. For å finne dem, sidestiller vi det andre uttrykket med det første:

=

og frigjøre oss fra nevneren og samle vilkår med de samme kreftene på venstresiden X, vi får:

(en + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Siden den siste likheten må være sann for alle verdier X, så koeffisientene ved samme potenserX høyre og venstre skal være det samme. Dermed oppnås tre ligninger for å bestemme de tre ukjente koeffisientene:

a+b+c = 2

b - c = - 5

EN= 1, hvorfra en = 1 , b = - 2 , c = 3

Derfor,

=
,

gyldigheten av denne likheten er lett å verifisere direkte.

Anta at du også må representere en brøk

som en + b
+ c
+ d
, Hvor en , b , c Og d- ukjente rasjonelle koeffisienter. Vi sidestiller det andre uttrykket med det første:

en + b
+ c
+ d
=
eller, Ved å frigjøre oss fra nevneren, fjerne, der det er mulig, rasjonelle faktorer fra røttenes tegn og bringe lignende termer på venstre side, får vi:

(en- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Men slik likhet er bare mulig i tilfellet når de rasjonelle vilkårene til begge deler og koeffisientene til de samme radikalene er like. Dermed oppnås fire likninger for å finne de ukjente koeffisientene en , b , c Og d :

en- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, hvorfra en = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , altså
= -
+
.

Kapittel II. Søker etter løsninger på problemer med polynomer metode for ubestemte koeffisienter.

«Ingenting bidrar til å mestre et fag bedre enn

måten å handle med ham i forskjellige situasjoner"

Akademiker B.V. Gnedenko

2. 1. Faktorisering av et polynom.

Metoder for faktorisering av polynomer:

1) å plassere fellesfaktoren utenfor parentes 2) grupperingsmetode; 3) anvendelse av grunnleggende multiplikasjonsformler; 4) introduksjon av hjelpeledd 5) foreløpig transformasjon av et gitt polynom ved bruk av visse formler; 6) utvidelse ved å finne røttene til et gitt polynom; 7) metode for å legge inn parameteren; 8) metode for ubestemte koeffisienter.

Oppgave 1. Faktor polynomet inn i reelle faktorer X 4 + X 2 + 1 .

Løsning. Det er ingen røtter blant divisorene til frileddet til dette polynomet. Vi kan ikke finne røttene til polynomet på andre elementære måter. Derfor er det ikke mulig å utføre den nødvendige ekspansjonen ved først å finne røttene til dette polynomet. Det gjenstår å se etter en løsning på problemet enten ved å introdusere hjelpetermer eller ved metoden med ubestemte koeffisienter. Det er åpenbart det X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

De resulterende kvadratiske trinomialene har ingen røtter og er derfor uoppløselige til reelle lineære faktorer.

Den beskrevne metoden er teknisk enkel, men vanskelig på grunn av sin kunstighet. Det er faktisk veldig vanskelig å komme opp med de nødvendige hjelpevilkårene. Bare en gjetning hjalp oss med å finne denne nedbrytningen. Men

Det er mer pålitelige måter å løse slike problemer på.

Man kan gå frem slik: anta at det gitte polynomet brytes ned til produktet

(X 2 + EN X + b )(X 2 + c X + d )

to kvadratiske trinomialer med heltallskoeffisienter.

Dermed vil vi ha det

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + EN X + b )(X 2 + c X + d )

Det gjenstår å bestemme koeffisienteneen , b , c Og d .

Multipliserer polynomene på høyre side av den siste likheten, får vi:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + EN c + d ) X 2 + (annonse + f.Kr ) x + bd .

Men siden vi trenger høyre side av denne likheten for å bli til det samme polynomet som er på venstre side, vil vi kreve at følgende betingelser er oppfylt:

a + c = 0

b + EN c + d = 1

annonse + f.Kr = 0

bd = 1 .

Resultatet er et system med fire ligninger med fire ukjenteen , b , c Og d . Det er lett å finne koeffisientene fra dette systemeten = 1 , b = 1 , c = -1 Og d = 1.

Nå er problemet helt løst. Vi fikk:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Oppgave 2. Faktor polynomet inn i reelle faktorer X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Løsning. La oss representere dette polynomet i formen

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + EN )(X 2 + bx + c) , Hvor en , b Og Med - koeffisienter ennå ikke fastsatt. Siden to polynomer er identisk like hvis og bare hvis koeffisientene til de samme potenseneX er like, og tilsvarer koeffisientene henholdsvis forX 2 , X og frie termer, får vi et system med tre ligninger med tre ukjente:

a+b= - 6

ab+c = 14

ac = - 15 .

Løsningen til dette systemet vil bli betydelig forenklet hvis vi tar i betraktning at tallet 3 (divisor av det frie leddet) er roten til denne ligningen, og derfor,en = - 3 ,

b = - 3 Og Med = 5 .

Deretter X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Den anvendte metoden med ubestemte koeffisienter, sammenlignet med metoden ovenfor for å introdusere hjelpetermer, inneholder ikke noe kunstig, men den krever anvendelse av mange teoretiske prinsipper og er ledsaget av ganske store beregninger. For polynomer av høyere grad fører denne metoden med ubestemte koeffisienter til tungvinte ligningssystemer.

2.2.Oppgaver og med parametere.

De siste årene har versjoner av Unified State Exam tilbudt oppgaver med parametere. Løsningen deres forårsaker ofte visse vanskeligheter. Når du løser problemer med parametere, sammen med andre metoder, kan du ganske effektivt bruke metoden med ubestemte koeffisienter. Det er denne metoden som lar deg i stor grad forenkle løsningen deres og raskt få svar.

Oppgave 3. Bestem hvilke verdier av parameteren EN ligning 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + EN – 3 = 0 har nøyaktig to røtter.

Løsning. 1 vei. Bruker derivater.

La oss representere denne ligningen i form av to funksjoner

2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – EN .

f (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X– 3 og φ( X ) = – EN .

La oss utforske funksjonenf (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 ved hjelp av den deriverte og konstruer skjematisk dens graf (fig. 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Funksjonen er verken partall eller oddetall.

3. La oss finne de kritiske punktene til funksjonen, dens intervaller for økning og reduksjon, ekstrema. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , derfor vil vi finne alle kritiske punkter ved funksjonen ved å løse ligningen f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 ved teoremet invers til Vietas teorem.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ maks - min +

2 3 x

f / (x) > 0 for alle X< – 2 og X > 3 og funksjonen er kontinuerlig på punkterx =– 2 og X = 3, derfor øker den for hvert av intervallene (- ; -2] og [3; ).

f / (x ) < 0 på - 2 < X< 3, derfor avtar den med intervallet [- 2; 3 ].

X = - 2. maksimum poeng, fordi på dette tidspunktet endres tegnet til den deriverte fra"+" til "-".

f (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 minimumspunkt, siden fortegnet til den deriverte endres på dette tidspunktet"-" til "+".

f (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

Graf for funksjonen φ(X ) = – EN er en rett linje parallelt med x-aksen og som går gjennom punktet med koordinater (0; – EN ). Grafene har to felles punkter ved –EN= 41, dvs. a =– 41 og – EN= – 84, dvs. EN = 84 .

på

41φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

Metode 2. Metode for ubestemte koeffisienter.

Siden, i henhold til betingelsene for problemet, må denne ligningen bare ha to røtter, er likheten åpenbar:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + EN – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + EN – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 f.Kr ) x + b 2 c ,

Sett nå likhetstegn mellom koeffisientene ved de samme grader X, får vi et ligningssystem

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = en – 3 .

Fra de to første likningene i systemet finner vib 2 + b – 6 = 0, hvorfra b 1 = - 3 eller b 2 = 2 . Tilsvarende verdierMed 1 og Med 2 lett å finne fra den første ligningen i systemet:Med 1 = 9 eller Med 2 = - 11 . Til slutt kan den ønskede verdien av parameteren bestemmes fra den siste ligningen til systemet:

EN = b 2 c + 3 , en 1 = - 41 eller en 2 = 84.

Svar: denne ligningen har nøyaktig to forskjellige

rot kl EN= - 41 og EN= 84 .

Oppgave 4. Finn den største verdien av parameterenEN , som ligningen forX 3 + 5 X 2 + Åh + b = 0

med heltallskoeffisienter har tre forskjellige røtter, hvorav en er lik – 2.

Løsning. 1 vei. Erstatter X= - 2 til venstre side av ligningen får vi

8 + 20 – 2 EN + b= 0, som betyr b = 2 en – 12 .

Siden tallet - 2 er en rot, kan vi ta ut fellesfaktoren X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Åh + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Åh + (2 en – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Åh + (2 en – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (en – 6)(x +2) - 2(en – 6)+ (2 en – 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (en – 6) ) .

Etter betingelse er det ytterligere to røtter til ligningen. Dette betyr at diskriminanten til den andre faktoren er positiv.

D =3 2 - 4 (en – 6) = 33 – 4 en > 0, altså EN < 8,25 .

Det ser ut til at svaret ville være a = 8 . Men når vi erstatter tallet 8 i den opprinnelige ligningen får vi:

X 3 + 5 X 2 + Åh + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

det vil si at ligningen bare har to forskjellige røtter. Men når a = 7 produserer faktisk tre forskjellige røtter.

Metode 2. Metode for ubestemte koeffisienter.

Hvis ligningen X 3 + 5 X 2 + Åh + b = 0 har en rot X = - 2, så kan du alltid hente tallenec Og d slik at foran alleX likhet var sant

X 3 + 5 X 2 + Åh + b = (X + 2)(X 2 + Med x + d ).

For å finne tallc Og d La oss åpne parentesene på høyre side, legge til lignende termer og få

X 3 + 5 X 2 + Åh + b = X 3 + (2 + Med ) X 2 +(2 s + d ) X + 2 d

Sette likhetstegn mellom koeffisientene ved de tilsvarende potensene X vi har et system

2 + Med = 5

2 Med + d = en

2 d = b , hvor c = 3 .

Derfor, X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 eller

d < 2.25, altså d (- ; 2 ].

Problemforholdene tilfredsstilles av verdien d = 1 . Den endelige ønskede verdien for parameterenEN = 7.

SVAR: når a = 7 har denne ligningen tre forskjellige røtter.

2.3. Løse ligninger.

"Husk at ved å løse små problemer du

forberede deg til å takle store og vanskelige

nye oppgaver."

Akademiker S.L. Sobolev

Når du løser noen ligninger, kan og bør du vise oppfinnsomhet og vidd, og bruke spesielle teknikker. Beherskelse av en rekke transformasjonsteknikker og evnen til å gjennomføre logiske resonnementer er av stor betydning i matematikk. Et av disse triksene er å legge til og trekke fra et velvalgt uttrykk eller tall. Selve det uttalte faktum er selvfølgelig godt kjent for alle - hovedvanskeligheten er å se i en spesifikk konfigurasjon de transformasjonene av ligninger som det er praktisk og hensiktsmessig å bruke det på.

Ved å bruke en enkel algebraisk ligning vil vi illustrere en ikke-standard teknikk for å løse ligninger.

Oppgave 5. Løs ligningen

=
.

Løsning. La oss multiplisere begge sider av denne ligningen med 5 og omskrive den som følger

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 eller
= 0

La oss løse de resulterende ligningene ved å bruke metoden med ubestemte koeffisienter

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + EN c + d ) X 2 + (annonse + f.Kr ) x+ + bd

Sette likhetstegn mellom koeffisientene ved X 3 , X 2 , X og gratis vilkår, vi får systemet

a + c = -1

b + EN c + d = 0

annonse + f.Kr = -7

bd = -3, hvorfra vi finner:EN = -2 ; b = - 1 ;

Med = 1 ; d = 3 .

Så X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 eller X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
ingen røtter.

Tilsvarende har vi

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

hvor X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Svar: X 1,2 =

Oppgave 6. Løs ligningen

= 10.

Løsning. For å løse denne ligningen må du velge tallEN Og b slik at tellerne til begge brøkene er like. Derfor har vi systemet:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Så oppgaven er å finne talleneEN Og b , som likestilling gjelder

(et + 6) X 2 + ah – 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Nå, ifølge teoremet om likheten til polynomer, er det nødvendig at høyre side av denne likheten blir til det samme polynomet som er på venstre side.

Relasjonene må med andre ord tilfredsstilles

et + 6 = 1

EN = 5 + 2 b

– 5 = b , hvorfra vi finner verdieneEN = - 5 ;

b = - 5 .

På disse verdieneEN Og b likestilling EN + b = - 10 er også rettferdig.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 eller X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Svar: X 1,2 =
, X 3,4 =

Oppgave 7. Løs ligningen

= 4

Løsning. Denne ligningen er mer kompleks enn de forrige, og derfor vil vi gruppere den på denne måten: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Fra betingelsen om likhet av to polynomer

Åh 2 + (et + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

vi oppnår og løser et likningssystem for ukjente koeffisienterEN Og b :

EN = 1

et + 6 = b + 11

12 = – 3 b , hvor a = 1 , b = - 4 .

Polynomer - 3 – 6X + cx 2 + 8 cx Og X 2 + 21 + 12 d – dx er like med hverandre bare når

Med = 1

8 Med - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Med = 1 , d = - 2 .

Med verdiera = 1 , b = - 4 , Med = 1 , d = - 2

likestilling
= - 4 er riktig.

Som et resultat tar denne ligningen følgende form:

= 0 eller
= 0 eller
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Fra de vurderte eksemplene er det klart hvordan den dyktige bruken av metoden med ubestemte koeffisienter,

bidrar til å forenkle løsningen av en ganske kompleks, uvanlig ligning.

2.4. Funksjonelle ligninger.

"Det høyeste formålet med matematikk... er

er å finne den skjulte rekkefølgen i

kaos som omgir oss"

N. Viner

Funksjonelle ligninger er en veldig generell klasse av ligninger der den ukjente funksjonen er en bestemt funksjon. En funksjonell ligning i ordets snever betydning forstås som ligninger der de ønskede funksjonene er relatert til kjente funksjoner til en eller flere variabler ved å bruke operasjonen til å danne en kompleks funksjon. En funksjonell ligning kan også betraktes som et uttrykk for en egenskap som karakteriserer en bestemt klasse funksjoner

[for eksempel funksjonell ligning f ( x ) = f (- x ) karakteriserer klassen av like funksjoner, den funksjonelle ligningenf (x + 1) = f (x ) – klasse av funksjoner som har periode 1, etc.].

En av de enkleste funksjonelle ligningene er ligningenf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Kontinuerlige løsninger av denne funksjonelle ligningen har formen

f (x ) = Cx . I klassen diskontinuerlige funksjoner har imidlertid denne funksjonelle ligningen andre løsninger. Assosiert med den betraktede funksjonelle ligningen er

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

kontinuerlige løsninger, som henholdsvis har formen

e cx , MEDlnx , x α (x > 0).

Dermed kan disse funksjonelle ligningene brukes til å definere eksponentielle, logaritmiske og potensfunksjoner.

De mest brukte ligningene er de i komplekse funksjoner der de nødvendige funksjonene er eksterne funksjoner. Teoretiske og praktiske anvendelser

Det var nettopp disse ligningene som fikk fremragende matematikere til å studere dem.

For eksempel, på Justering

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

N.I.Lobachevskybrukes når jeg skal bestemme parallellitetsvinkelen i min geometri.

De siste årene har problemer knyttet til løsning av funksjonelle ligninger ganske ofte tilbudt ved matematiske olympiader. Løsningen deres krever ikke kunnskap utover rammen av matematikkpensum i ungdomsskolen. Men å løse funksjonelle ligninger forårsaker ofte visse vanskeligheter.

En av måtene å finne løsninger på funksjonelle ligninger på er metoden med ubestemte koeffisienter. Den kan brukes når den generelle formen til den ønskede funksjonen kan bestemmes av utseendet til ligningen. Dette gjelder først og fremst de tilfellene der løsninger på ligninger bør søkes blant heltalls- eller brøkrasjonelle funksjoner.

La oss skissere essensen av denne teknikken ved å løse følgende problemer.

Oppgave 8. Funksjonf (x ) er definert for alle reelle x og tilfredsstiller for alleX R betingelse

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Finnef (x ).

Løsning. Siden på venstre side av denne ligningen over den uavhengige variabelen x og verdiene til funksjonenf Bare lineære operasjoner utføres, og høyre side av ligningen er en kvadratisk funksjon, da er det naturlig å anta at den ønskede funksjonen også er kvadratisk:

f (X) = øks 2 + bx + c , Hvoren, b, c – koeffisienter som skal bestemmes, det vil si usikre koeffisienter.

Ved å erstatte funksjonen i ligningen, kommer vi til identiteten:

3(øks 2 + bx+ c) – 2(en(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

øks 2 + (5 b + 4 en) x + (c – 2 en – 2 b) = x 2 .

To polynomer vil være identisk like hvis de er like

koeffisienter for de samme potensene til variabelen:

en = 1

5b + 4en = 0

c– 2 en – 2 b = 0.

Fra dette systemet finner vi koeffisientene

en = 1 , b = - , c = , Ogsåtilfredsstillerlikestilling

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 på settet av alle reelle tall. Samtidig er det sliktx 0 Oppgave 9. Funksjony =f(x) for alle x er definert, kontinuerlig og tilfredsstiller betingelsenf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Finn to slike funksjoner.

Løsning. To handlinger utføres på ønsket funksjon - operasjonen med å komponere en kompleks funksjon og

subtraksjon. Med tanke på at høyre side av ligningen er en lineær funksjon, er det naturlig å anta at ønsket funksjon også er lineær:f(x) = ah +b , HvorEN Ogb – usikre koeffisienter. Bytter denne funksjonen inn if (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , som er løsninger på funksjonsligningenf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Konklusjon.

Avslutningsvis bør det bemerkes at dette arbeidet helt sikkert vil bidra til videre studier av en original og effektiv metode for å løse en rekke matematiske problemer, som er problemer med økt vanskelighetsgrad og krever dyp kunnskap om skolens matematikkkurs og en høy logisk kultur Alle som selvstendig ønsker å utdype sine kunnskaper om matematikk vil også finne Dette arbeidet inneholder materiale for refleksjon og interessante oppgaver, hvis løsning vil gi nytte og tilfredshet.

Arbeidet, innenfor rammen av eksisterende skoleplan og i en form som er tilgjengelig for effektiv persepsjon, angir metoden for ubestemte koeffisienter, som bidrar til å utdype skolekurset i matematikk.

Selvfølgelig kan ikke alle mulighetene til metoden for ubestemte koeffisienter demonstreres i ett verk. Faktisk krever metoden fortsatt videre studier og forskning.

Liste over brukt litteratur.

Glazer G.I..History of mathematics in school.-M.: Education, 1983.

Gomonov S.A. Funksjonelle ligninger i et skolematematikkkurs // Matematikk på skolen. – 2000. –№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. En manual om matematikk - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Algebraiske ligninger av vilkårlige grader - M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M.. Elementær introduksjon til funksjonelle ligninger. - St. Petersburg. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Forklarende ordbok for matematiske termer.-M.: Education, 1971

Modenov V.P.. En håndbok om matematikk. Del 1.-M.: Moscow State University, 1977.

Modenov V.P.. Problemer med parametere - M.: Eksamen, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. Algebra og analyse av elementære funksjoner - M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Du kan løse det lettere // Matematikk på skolen. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Utvid polynom 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 for multiplikatorer med heltallskoeffisienter.

5. Til hvilken verdi EN X 3 + 6X 2 + Åh+ 12 pr X+ 4 ?

6. Ved hvilken verdi av parameterenEN ligningenX 3 +5 X 2 + + Åh + b = 0 med heltallskoeffisienter har to forskjellige røtter, hvorav den ene er 1 ?

7. Blant røttene til polynomet X 4 + X 3 – 18X 2 + Åh + b med heltallskoeffisienter er det tre like heltall. Finn verdien b .

8. Finn den største heltallsverdien til parameteren EN, der ligningen X 3 – 8X 2 + ah +b = 0 med heltallskoeffisienter har tre forskjellige røtter, hvorav en er lik 2.

9. På hvilke verdier EN Og b deling utføres uten rest X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Åh + b på X 2 – 3X + 2 ?

10. Faktorpolynomer:

EN)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 d)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Løs ligningene:

EN)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Finne f (X) .

13. Funksjon på= f (X) foran alle X definert, kontinuerlig og tilfredsstiller betingelsen f ( f (X)) = f (X) + X. Finn to slike funksjoner.

Denne tjenesten er designet for å dekomponere fraksjoner av skjemaet:

For summen av enkle brøker. Denne tjenesten vil være nyttig for å løse integraler. se eksempel.

Bruksanvisning. Skriv inn telleren og nevneren for brøken. Klikk på Løs-knappen.

Når du designer som en variabel, bruk x t z u p λ

Merk: For eksempel skrives x 2 som x^2, (x-2) 3 skrives som (x-2)^3. Mellom faktorene setter vi et multiplikasjonstegn (*).

Regler for å legge inn en funksjon

Dette feltet er ment for å legge inn telleren til uttrykket
Den generelle variabelen x må først tas ut av parentes. For eksempel, x 3 + x = x(x 2 + 1) eller x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

Regler for å legge inn en funksjon

Dette feltet er ment for å legge inn nevneren til uttrykket For eksempel skrives x 2 som x^2, (x-2) 3 skrives som (x-2)^3. Mellom faktorene setter vi et multiplikasjonstegn (*).
Den generelle variabelen x må først tas ut av parentes. For eksempel, x 3 + x = x(x 2 + 1) eller x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

Algoritme for metoden for usikre koeffisienter

1. Faktorerer nevneren.
2. Dekomponering av en brøk som en sum av enkle brøker med ubestemte koeffisienter.
3. Gruppering av telleren med samme potenser av x.
4. Få et system med lineære algebraiske ligninger med ubestemte koeffisienter som ukjente.
5. Løsning av SLAE: Cramer-metoden, Gauss-metoden, invers matrisemetode eller metode for å eliminere ukjente.

Eksempel. Vi bruker metoden for dekomponering til de enkleste. La oss bryte ned funksjonen i de enkleste termene:


La oss likestille tellerne og ta hensyn til at koeffisientene ved samme potenser X, må stå til venstre og høyre samsvare
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
Når vi løser det, finner vi:
A = 1/16; B = - 1/9; C = - 5/12; D = 7/144;

Integrasjon av en brøk-rasjonell funksjon.
Usikker koeffisientmetode

Vi jobber videre med å integrere brøker. Vi har allerede sett på integraler av noen typer brøker i leksjonen, og denne leksjonen kan på en måte betraktes som en fortsettelse. For å lykkes med å forstå materialet, kreves grunnleggende integreringsferdigheter, så hvis du nettopp har begynt å studere integraler, det vil si at du er nybegynner, må du begynne med artikkelen Ubestemt integral. Eksempler på løsninger .

Merkelig nok, nå vil vi ikke være så mye engasjert i å finne integraler, men... i å løse systemer med lineære ligninger. I denne forbindelse snarest Jeg anbefaler å delta på leksjonen Du må nemlig være godt kjent med substitusjonsmetoder («skolen»-metoden og metoden for term-for-term addisjon (subtraksjon) av systemligninger.

Hva er en rasjonell brøkfunksjon? Med enkle ord er en brøk-rasjonell funksjon en brøk hvis teller og nevner inneholder polynomer eller produkter av polynomer. Dessuten er fraksjonene mer sofistikerte enn de som er omtalt i artikkelen Integrering av noen brøker .

Integrering av en riktig brøk-rasjonell funksjon

Umiddelbart et eksempel og en typisk algoritme for å løse integralet til en brøk-rasjonell funksjon.

Eksempel 1

Trinn 1. Det første vi ALLTID gjør når vi løser et integral av en rasjonell brøkfunksjon er å avklare følgende spørsmål: er brøken riktig? Dette trinnet utføres verbalt, og nå vil jeg forklare hvordan:

Først ser vi på telleren og finner ut senior grad polynom:

Den ledende potensen til telleren er to.

Nå ser vi på nevneren og finner ut senior grad nevner. Den åpenbare måten er å åpne parentesene og ta med lignende termer, men du kan gjøre det enklere, i Hver finne høyeste grad i parentes

og multipliser mentalt: - dermed er den høyeste graden av nevneren lik tre. Det er helt åpenbart at hvis vi faktisk åpner parentesene, får vi ikke en grad større enn tre.

Konklusjon: Stor grad av teller STRENGT er mindre enn den høyeste potensen av nevneren, som betyr at brøken er riktig.

Hvis telleren i dette eksemplet inneholdt polynomet 3, 4, 5 osv. grader, så ville brøkdelen vært feil.

Nå vil vi bare vurdere de riktige rasjonelle brøkfunksjonene. Tilfellet når graden av telleren er større enn eller lik graden av nevneren vil bli diskutert på slutten av leksjonen.

Steg 2. La oss faktorisere nevneren. La oss se på nevneren vår:

Generelt sett er dette allerede et produkt av faktorer, men likevel spør vi oss selv: er det mulig å utvide noe annet? Gjenstanden for tortur vil utvilsomt være det kvadratiske trinomialet. Løse den andregradsligningen:

Diskriminanten er større enn null, noe som betyr at trinomialet virkelig kan faktoriseres:

Generell regel: ALT i nevneren KAN faktoriseres – faktoriseres

La oss begynne å formulere en løsning:

Trinn 3. Ved å bruke metoden med ubestemte koeffisienter utvider vi integranden til en sum av enkle (elementære) brøker. Nå blir det klarere.

La oss se på integrand-funksjonen vår:

Og du vet, på en eller annen måte dukker det opp en intuitiv tanke om at det ville være fint å gjøre vår store brøkdel om til flere små. For eksempel slik:

Spørsmålet oppstår, er det i det hele tatt mulig å gjøre dette? La oss puste lettet ut, sier den tilsvarende teoremet for matematisk analyse – DET ER MULIG. En slik dekomponering eksisterer og er unik.

Det er bare en hake, oddsen er Ha det Vi vet ikke, derav navnet - metoden for ubestemte koeffisienter.

Som du gjettet, er påfølgende kroppsbevegelser sånn, ikke kakel! vil være rettet mot å bare ANERKENNE dem - for å finne ut hva de er likeverdige med.

Vær forsiktig, jeg vil forklare i detalj bare én gang!

Så la oss begynne å danse fra:

På venstre side reduserer vi uttrykket til en fellesnevner:

Nå kan vi trygt kvitte oss med nevnerne (siden de er like):

På venstre side åpner vi parentesene, men berør ikke de ukjente koeffisientene foreløpig:

Samtidig gjentar vi skoleregelen om å multiplisere polynomer. Da jeg var lærer, lærte jeg å uttale denne regelen med rett ansikt: For å formere seg polynom på polynom du må multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i det andre polynomet.

Fra synspunktet til en klar forklaring er det bedre å sette koeffisientene i parentes (selv om jeg personlig aldri gjør dette for å spare tid):

Vi lager et system med lineære ligninger.
Først ser vi etter seniorgrader:

Og vi skriver de tilsvarende koeffisientene inn i den første ligningen av systemet:

Husk følgende punkt godt. Hva ville skje hvis det ikke var noen s på høyre side i det hele tatt? La oss si, ville det bare vise seg uten noen firkant? I dette tilfellet, i systemets ligning, ville det være nødvendig å sette en null til høyre: . Hvorfor null? Men fordi på høyre side kan du alltid tilordne denne samme firkanten med null: Hvis det på høyre side ikke er noen variabler og/eller et fritt ledd, så setter vi nuller på høyre side av de tilsvarende likningene i systemet.

Vi skriver de tilsvarende koeffisientene inn i den andre ligningen til systemet:

Og til slutt, mineralvann, velger vi gratis medlemmer.

Eh...jeg tullet på en måte. Spøk til side - matematikk er en seriøs vitenskap. I vår instituttgruppe var det ingen som lo da førsteamanuensisen sa at hun ville spre medlemmene rundt nummer linje og vil velge de største. La oss bli seriøse. Selv om... den som lever for å se slutten av denne leksjonen vil fortsatt smile stille.

Systemet er klart:

Vi løser systemet:

(1) Fra den første likningen uttrykker og erstatter vi den med 2. og 3. likning i systemet. Faktisk var det mulig å uttrykke (eller en annen bokstav) fra en annen likning, men i dette tilfellet er det fordelaktig å uttrykke det fra 1. ligning, siden det den minste oddsen.

(2) Vi presenterer lignende termer i 2. og 3. ligning.

(3) Vi legger til 2. og 3. ligning termin for ledd, og oppnår likheten , hvorfra det følger at

(4) Vi bytter inn i den andre (eller tredje) ligningen, hvorfra vi finner det

(5) Erstatt og inn i den første ligningen, oppnå .

Hvis du har noen problemer med metodene for å løse systemet, øv på dem i klassen. Hvordan løse et system med lineære ligninger?

Etter å ha løst systemet, er det alltid nyttig å sjekke - erstatte de funnet verdiene hver systemets ligning, som et resultat bør alt "konvergere".

Nesten der. Koeffisientene ble funnet, og:

Den ferdige jobben skal se omtrent slik ut:

Som du kan se, var hovedvanskeligheten med oppgaven å komponere (riktig!) og løse (riktig!) et system med lineære ligninger. Og i sluttfasen er ikke alt så vanskelig: vi bruker linearitetsegenskapene til det ubestemte integralet og integrerer. Vær oppmerksom på at under hver av de tre integralene har vi en "gratis" kompleks funksjon. Jeg snakket om funksjonene ved dens integrasjon i leksjonen Variabel endringsmetode i ubestemt integral .

Sjekk: Differensiere svaret:

Den opprinnelige integrandfunksjonen er oppnådd, noe som betyr at integralet er funnet riktig.
Under verifikasjonen måtte vi redusere uttrykket til en fellesnevner, og dette er ikke tilfeldig. Metoden med ubestemte koeffisienter og å redusere et uttrykk til en fellesnevner er gjensidig inverse handlinger.

Eksempel 2

Finn det ubestemte integralet.

La oss gå tilbake til brøken fra det første eksemplet: . Det er lett å legge merke til at i nevneren er alle faktorene ULIKE. Spørsmålet oppstår, hva du skal gjøre hvis for eksempel følgende brøk er gitt: ? Her har vi grader i nevneren, eller, matematisk, multipler. I tillegg er det et kvadratisk trinomium som ikke kan faktoriseres (det er lett å verifisere at diskriminanten til ligningen er negativ, så trinomialet kan ikke faktoriseres). Hva å gjøre? Utvidelsen til en sum av elementære brøker vil se omtrent slik ut med ukjente koeffisienter på toppen eller noe annet?

Eksempel 3

Introduser en funksjon

Trinn 1. Sjekker om vi har en skikkelig brøkdel
Hovedteller: 2
Høyeste grad av nevner: 8
, som betyr at brøken er riktig.

Steg 2. Er det mulig å faktorisere noe i nevneren? Åpenbart ikke, alt er allerede lagt ut. Det kvadratiske trinomialet kan ikke utvides til et produkt av grunnene nevnt ovenfor. Hette. Mindre arbeid.

Trinn 3. La oss forestille oss en brøk-rasjonell funksjon som en sum av elementære brøker.
I dette tilfellet har utvidelsen følgende form:

La oss se på nevneren vår:
Når du dekomponerer en brøk-rasjonell funksjon til en sum av elementære brøker, kan tre grunnleggende punkter skilles:

1) Hvis nevneren inneholder en "ensom" faktor til første potens (i vårt tilfelle), så setter vi en ubestemt koeffisient øverst (i vårt tilfelle). Eksemplene nr. 1, 2 besto kun av slike «ensomme» faktorer.

2) Hvis nevneren har flere multiplikator, så må du dekomponere den slik:
- det vil si, gå sekvensielt gjennom alle gradene av "X" fra første til n'te grad. I vårt eksempel er det to flere faktorer: og , ta en ny titt på utvidelsen jeg ga og sørg for at de utvides nøyaktig i henhold til denne regelen.

3) Hvis nevneren inneholder et uoppløselig polynom av andre grad (i vårt tilfelle), må du skrive en lineær funksjon med ubestemte koeffisienter når du dekomponerer i telleren (i vårt tilfelle med ubestemte koeffisienter og ).

Faktisk er det en annen fjerde sak, men jeg vil tie om det, siden det i praksis er ekstremt sjeldent.

Eksempel 4

Introduser en funksjon som en sum av elementære brøker med ukjente koeffisienter.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.
Følg algoritmen strengt!

Hvis du forstår prinsippene som du trenger for å utvide en brøk-rasjonell funksjon til en sum, kan du tygge gjennom nesten hvilken som helst integral av typen som vurderes.

Eksempel 5

Finn det ubestemte integralet.

Trinn 1. Brøken er åpenbart riktig:

Steg 2. Er det mulig å faktorisere noe i nevneren? Kan. Her er summen av kuber . Faktor nevneren ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen

Trinn 3. Ved å bruke metoden med ubestemte koeffisienter utvider vi integranden til en sum av elementære brøker:

Vær oppmerksom på at polynomet ikke kan faktoriseres (sjekk at diskriminanten er negativ), så øverst setter vi en lineær funksjon med ukjente koeffisienter, og ikke bare én bokstav.

Vi bringer brøken til en fellesnevner:

La oss komponere og løse systemet:

(1) Vi uttrykker fra den første ligningen og erstatter den med den andre ligningen i systemet (dette er den mest rasjonelle måten).

(2) Vi presenterer lignende termer i den andre ligningen.

(3) Vi legger til andre og tredje likning av systemet ledd for ledd.

Alle videre beregninger er i prinsippet muntlige, siden systemet er enkelt.

(1) Vi skriver ned summen av brøker i samsvar med de funnet koeffisientene.

(2) Vi bruker linearitetsegenskapene til det ubestemte integralet. Hva skjedde i den andre integralen? Du kan gjøre deg kjent med denne metoden i siste avsnitt av leksjonen. Integrering av noen brøker .

(3) Igjen bruker vi egenskapene til linearitet. I den tredje integralen begynner vi å isolere hele kvadratet (nest siste avsnitt i leksjonen Integrering av noen brøker ).

(4) Vi tar det andre integralet, i det tredje velger vi hele kvadratet.

(5) Ta den tredje integralen. Klar.