Formler for egenskapene til en aritmetisk rot og deres navn. Røtters egenskaper: formuleringer, bevis, eksempler

Leksjon og presentasjon om emnet:
"Kvadratrotens egenskaper. Formler. Eksempler på løsninger, problemer med svar"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 8. klasse
Interaktiv lærebok "Geometri på 10 minutter" for 8. klasse
Utdanningskompleks "1C: Skole. Geometri, klasse 8"

Egenskaper til kvadratrot

Vi fortsetter å studere kvadratrøtter. I dag skal vi se på de grunnleggende egenskapene til røttene. Alle de grunnleggende egenskapene er intuitive og konsistente med alle operasjonene vi har gjort før.

Egenskap 1. Kvadratroten av produktet av to ikke-negative tall er lik produktet av kvadratrøttene til disse tallene: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Det er vanlig å bevise alle egenskaper, la oss gjøre det.
La $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Da må vi bevise at $x=y*z$.
La oss kvadrere hvert uttrykk.
Hvis $\sqrt(a*b)=x$, så $a*b=x^2$.
Hvis $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, og deretter kvadrerer begge uttrykkene, får vi: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, det vil si $x^2=(y*z)^2$. Hvis kvadratene til to ikke-negative tall er like, så er tallene i seg selv like, som er det som måtte bevises.

Fra egenskapen vår følger det at for eksempel $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Merknad 1. Egenskapen gjelder også for tilfellet når det er mer enn to ikke-negative faktorer under roten.
Eiendom 2. Hvis $a≥0$ og $b>0$, gjelder følgende likhet: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Det vil si at roten til kvotienten er lik kvotienten til røttene.
Bevis.
La oss bruke tabellen og kort bevise vår eiendom.

Eksempler på bruk av egenskapene til kvadratrøtter

Eksempel 1.
Beregn: $\sqrt(81*25*121)$.

Løsning.
Selvfølgelig kan vi ta en kalkulator, multiplisere alle tallene under roten og utføre kvadratrotoperasjonen. Og hvis du ikke har en kalkulator for hånden, hva bør du gjøre da?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495.
Svar: 495.

Eksempel 2. Regn ut: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Løsning.
La oss representere det radikale tallet som en uekte brøk: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
La oss bruke egenskap 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= $3,4.
Svar: 3.4.

Eksempel 3.
Beregn: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Løsning.
Vi kan vurdere uttrykket vårt direkte, men det kan nesten alltid forenkles. La oss prøve å gjøre dette.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Så $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Svar: 32.

Gutter, vær oppmerksom på at det ikke er noen formler for operasjonene for addisjon og subtraksjon av radikale uttrykk, og uttrykkene som presenteres nedenfor er ikke korrekte.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Eksempel 4.
Beregn: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Løsning.
Egenskapene presentert ovenfor fungerer både fra venstre til høyre og i omvendt rekkefølge, det vil si:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Ved å bruke dette, la oss løse vårt eksempel.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Svar: a) 16; b) 2.

Eiendom 3. Hvis $а≥0$ og n er et naturlig tall, gjelder likheten: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

For eksempel. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ og så videre.

Eksempel 5.
Beregn: $\sqrt(129600)$.

Løsning.
Antallet som presenteres for oss er ganske stort, la oss dele det ned i hovedfaktorer.
Vi mottok: $129600=5^2*2^6*3^4$ eller $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=$360.
Svar: 360.

Problemer å løse selvstendig

1. Beregn: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Beregn: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Beregn: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Beregn:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Egenskaper til kvadratrøtter

Så langt har vi utført fem aritmetiske operasjoner på tall: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og eksponentiering, og i beregningene ble ulike egenskaper ved disse operasjonene aktivt brukt, for eksempel a + b = b + a, an-bn = (ab)n, etc.

Dette kapittelet introduserer en ny operasjon - å ta kvadratroten av et ikke-negativt tall. For å bruke den på en vellykket måte, må du bli kjent med egenskapene til denne operasjonen, noe vi vil gjøre i denne delen.

Bevis. La oss introdusere følgende notasjon: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Equality" width="120" height="25 id=">!}.

Det er akkurat slik vi skal formulere neste teorem.

(En kort formulering som er mer praktisk å bruke i praksis: roten av en brøk er lik brøkdelen av røttene, eller roten av kvotienten er lik kvotienten av røttene.)

Denne gangen vil vi bare gi et kort sammendrag av beviset, og du prøver å komme med passende kommentarer som ligner på de som utgjorde essensen av beviset til setning 1.

Merknad 3. Selvfølgelig kan dette eksemplet løses annerledes, spesielt hvis du har en mikrokalkulator for hånden: multipliser tallene 36, 64, 9, og ta kvadratroten av det resulterende produktet. Du vil imidlertid være enig i at løsningen foreslått ovenfor ser mer kulturell ut.

Merknad 4. I den første metoden utførte vi beregninger "head-on". Den andre måten er mer elegant:
vi søkte formel a2 - b2 = (a - b) (a + b) og brukte egenskapen til kvadratrøtter.

Merknad 5. Noen "hot heads" tilbyr noen ganger denne "løsningen" til eksempel 3:

Dette er selvfølgelig ikke sant: du skjønner - resultatet er ikke det samme som i eksempel 3. Faktum er at det ikke er noen eiendom https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Task" width="148" height="26 id=">!} Det er kun egenskaper knyttet til multiplikasjon og divisjon av kvadratrøtter. Vær forsiktig og forsiktig, ikke ta ønsketenkning.

For å avslutte denne delen, la oss merke oss en ganske enkel og samtidig viktig egenskap:
hvis a > 0 og n - naturlig tall, Det

Konvertering av uttrykk som inneholder en kvadratrotoperasjon

Til nå har vi kun utført transformasjoner rasjonelle uttrykk, bruker for dette operasjonsreglene på polynomer og algebraiske brøker, forkortede multiplikasjonsformler osv. I dette kapittelet introduserte vi en ny operasjon - operasjonen med å trekke ut kvadratroten; det har vi slått fast

hvor, husk, a, b er ikke-negative tall.

Bruker disse formler, kan du utføre ulike transformasjoner på uttrykk som inneholder en kvadratrotoperasjon. La oss se på flere eksempler, og i alle eksemplene vil vi anta at variablene kun tar ikke-negative verdier.

Eksempel 3. Skriv inn multiplikatoren under kvadratrottegnet:

Eksempel 6. Forenkle uttrykket Løsning. La oss utføre sekvensielle transformasjoner:

Rotformler. Egenskaper til kvadratrøtter.

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

I forrige leksjon fant vi ut hva en kvadratrot er. Det er på tide å finne ut hvilke som finnes formler for røtter hva er egenskaper til røttene, og hva kan gjøres med alt dette.

Formler for røtter, egenskaper til røtter og regler for arbeid med røtter- Dette er i hovedsak det samme. Det er overraskende få formler for kvadratrøtter. Noe som absolutt gjør meg glad! Eller rettere sagt, du kan skrive mange forskjellige formler, men for praktisk og selvsikkert arbeid med røtter er bare tre nok. Alt annet kommer fra disse tre. Selv om mange mennesker blir forvirret i de tre rotformlene, ja...

La oss starte med den enkleste. Her er hun:

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Fakta 1.
$\bullet$ La oss ta et ikke-negativt tall $a$ (det vil si $a\geqslant 0$ ). Deretter (aritmetikk) kvadratrot fra tallet $a$ kalles et slikt ikke-negativt tall $b$ , når vi kvadreres får vi tallet $a$ : \[\sqrt a=b\quad \text(samme som )\quad a=b^2\] Av definisjonen følger det at $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Disse restriksjonene er en viktig betingelse for at en kvadratrot eksisterer og bør huskes!
Husk at et hvilket som helst tall når det er kvadratisk gir et ikke-negativt resultat. Det vil si $100^2=10000\geqslant 0$ og $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ Hva er $\sqrt(25)$ lik? Vi vet at $5^2=25$ og $(-5)^2=25$ . Siden vi per definisjon må finne et ikke-negativt tall, er $-5$ ikke egnet, derfor $\sqrt(25)=5$ (siden $25=5^2$ ).
Å finne verdien av $\sqrt a$ kalles å ta kvadratroten av tallet $a$ , og tallet $a$ kalles det radikale uttrykket.
$\bullet$ Basert på definisjonen, uttrykk $\sqrt(-25)$, $\sqrt(-4)$, etc. gir ikke mening.

Fakta 2.
For raske beregninger vil det være nyttig å lære tabellen med kvadrater av naturlige tall fra $1$ til $20$ : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Hvilke operasjoner kan du gjøre med kvadratrøtter?
$\kule$ Summen eller differansen av kvadratrøtter ER IKKE LIK med kvadratroten av summen eller differansen, det vil si \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Så hvis du trenger å beregne for eksempel $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , må du først finne verdiene til $\sqrt(25)$ og $\ sqrt(49)\ ) og brett dem deretter. Derfor, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Hvis verdiene\(\sqrt a$ eller $\sqrt b$ ikke kan bli funnet når du legger til $\sqrt a+\sqrt b$, blir ikke et slikt uttrykk transformert videre og forblir som det er. For eksempel, i summen $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ kan vi finne $\sqrt(49)$ er $7$ , men $\sqrt 2$ kan ikke transformeres i uansett, det er derfor $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Dette uttrykket kan dessverre ikke forenkles ytterligere$\bullet$ Produktet/kvotienten av kvadratrøtter er lik kvadratroten av produktet/kvotienten, dvs. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (forutsatt at begge sider av likestillingene gir mening)
Eksempel: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ Ved å bruke disse egenskapene er det praktisk å finne kvadratrøtter av store tall ved å faktorisere dem.
La oss se på et eksempel. La oss finne $\sqrt(44100)$ . Siden $44100:100=441$ , deretter $44100=100\cdot 441$ . I henhold til kriteriet for delbarhet er tallet $441$ delelig med $9$ (siden summen av sifrene er 9 og er delelig med 9), derfor $441:9=49$, det vil si $441=9\ cdot 49$ .
Dermed fikk vi: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] La oss se på et annet eksempel: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ La oss vise hvordan du legger inn tall under kvadratrottegnet ved å bruke eksempelet på uttrykket $5\sqrt2$ (kort notasjon for uttrykket $5\cdot \sqrt2$). Siden $5=\sqrt(25)$ , da \ Merk også at f.eks.
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Hvorfor det? La oss forklare ved hjelp av eksempel 1). Som du allerede forstår, kan vi ikke på en eller annen måte transformere tallet $\sqrt2$. La oss forestille oss at $\sqrt2$ er et tall $a$ . Følgelig er uttrykket $\sqrt2+3\sqrt2$ ikke mer enn $a+3a$ (ett tall $a$ pluss tre til av de samme tallene $a$). Og vi vet at dette er lik fire slike tall $a$ , det vil si $4\sqrt2$ .

Fakta 4.
$\bullet$ De sier ofte "du kan ikke trekke ut roten" når du ikke kan bli kvitt tegnet $\sqrt () \ $ til roten (radikal) når du finner verdien av et tall . For eksempel kan du ta roten av tallet $16$ fordi $16=4^2$ , derfor $\sqrt(16)=4$ . Men det er umulig å trekke ut roten av tallet $3$, det vil si å finne $\sqrt3$, fordi det ikke er noe tall som kvadrat vil gi $3$ .
Slike tall (eller uttrykk med slike tall) er irrasjonelle. For eksempel tall $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$ og så videre. er irrasjonelle.
Også irrasjonelle er tallene $\pi$ (tallet "pi", omtrent lik $3.14$), $e$ (dette tallet kalles Euler-tallet, det er omtrent lik $2.7) $) etc.
$\bullet$ Vær oppmerksom på at et hvilket som helst tall vil være enten rasjonelt eller irrasjonelt. Og sammen danner alle rasjonelle og alle irrasjonelle tall et sett kalt et sett med reelle tall. Dette settet er merket med bokstaven $\mathbb(R)$ .
Dette betyr at alle tallene vi kjenner i dag kalles reelle tall.

Fakta 5.
$\bullet$ Modulen til et reelt tall $a$ er et ikke-negativt tall $|a|$ lik avstanden fra punktet $a$ til $0$ på ekte linje. For eksempel er $|3|$ og $|-3|$ lik 3, siden avstandene fra punktene $3$ og $-3$ til $0$ er samme og lik $3 $ .
$\bullet$ Hvis $a$ er et ikke-negativt tall, så $|a|=a$ .
Eksempel: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Hvis $a$ er et negativt tall, så $|a|=-a$ .
Eksempel: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
De sier at for negative tall "spiser" modulen minus, mens positive tall, så vel som tallet $0$, forblir uendret av modulen.
MEN Denne regelen gjelder kun for tall. Hvis det under modultegnet ditt er en ukjent $x$ (eller en annen ukjent), for eksempel $|x|$ , som vi ikke vet om den er positiv, null eller negativ, så bli kvitt av modulen kan vi ikke. I dette tilfellet forblir dette uttrykket det samme: $|x|$ . $\bullet$ Følgende formler holder: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \tekst(levert ) a\geqslant 0\] Svært ofte gjøres følgende feil: de sier at $\sqrt(a^2)$ og $(\sqrt a)^2$ er ett og det samme. Dette er bare sant hvis $a$ er et positivt tall eller null. Men hvis $a$ er et negativt tall, så er dette usant. Det er nok å vurdere dette eksemplet. La oss ta i stedet for $a$ tallet $-1$ . Så $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , men uttrykket $(\sqrt (-1))^2$ eksisterer ikke i det hele tatt (tross alt, det er umulig å bruke rottegnet sette negative tall!).
Derfor gjør vi oppmerksom på at $\sqrt(a^2)$ ikke er lik $(\sqrt a)^2$ ! Eksempel: 1) $\sqrt(\venstre(-\sqrt2\høyre)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, fordi $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ Siden $\sqrt(a^2)=|a|$ , deretter \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (uttrykket $2n$ angir et partall)
Det vil si at når man tar roten til et tall som til en viss grad er, halveres denne graden.
Eksempel:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (merk at hvis modulen ikke leveres, viser det seg at roten av tallet er lik $-25\ ) ; men vi husker at dette per definisjon av en rot ikke kan skje: når vi trekker ut en rot, bør vi alltid få et positivt tall eller null)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (siden ethvert tall i partall er ikke-negativt)

Fakta 6.
Hvordan sammenligne to kvadratrøtter?
$\bullet$ For kvadratrøtter er det sant: hvis $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aEksempel:
1) sammenlign \(\sqrt(50)$ og $6\sqrt2$ . Først, la oss forvandle det andre uttrykket til $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Dermed, siden $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Mellom hvilke heltall er $\sqrt(50)$ plassert?
Siden $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ , og $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) La oss sammenligne $\sqrt 2-1$ og $0,5$ . La oss anta at $\sqrt2-1>0.5$ : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((legg til en på begge sider))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat på begge sider))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(justert)\] Vi ser at vi har fått en feil ulikhet. Derfor var antakelsen vår feil og $\sqrt 2-1<0,5$ .
Merk at det å legge til et visst tall på begge sider av ulikheten ikke påvirker fortegnet. Å multiplisere/dele begge sider av en ulikhet med et positivt tall påvirker heller ikke fortegnet, men å multiplisere/dele med et negativt tall reverserer tegnet på ulikheten!
Du kan kvadre begge sider av en ligning/ulikhet BARE HVIS begge sider er ikke-negative. For eksempel, i ulikheten fra forrige eksempel kan du kvadrat begge sider, i ulikheten $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Det bør huskes \[\begin(justert) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\]Å vite den omtrentlige betydningen av disse tallene vil hjelpe deg når du sammenligner tall! $\bullet$ For å trekke ut roten (hvis den kan trekkes ut) fra et stort tall som ikke er i rutetabellen, må du først bestemme mellom hvilke "hundrevis" den er plassert, deretter - mellom hvilke " tiere", og bestem deretter det siste sifferet i dette tallet. La oss vise hvordan dette fungerer med et eksempel.
La oss ta $\sqrt(28224)$ . Vi vet at $100^2=10\,000$, $200^2=40\,000$, etc. Merk at $28224$ er mellom $10\,000$ og $40\,000$ . Derfor er $\sqrt(28224)$ mellom $100$ og $200$ .
La oss nå bestemme mellom hvilke "tiere" tallet vårt er plassert (det vil for eksempel være mellom $120$ og $130$). Også fra rutetabellen vet vi at $11^2=121$ , $12^2=144$ osv., deretter $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 \ ). Så vi ser at \(28224$ er mellom $160^2$ og $170^2$ . Derfor er tallet $\sqrt(28224)$ mellom $160$ og $170$ .
La oss prøve å bestemme det siste sifferet. La oss huske hvilke ensifrede tall, når de kvadreres, gir $4$ på slutten? Disse er $2^2$ og $8^2$ . Derfor vil $\sqrt(28224)$ ende på enten 2 eller 8. La oss sjekke dette. La oss finne $162^2$ og $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Derfor $\sqrt(28224)=168$ . Voila!

For å løse Unified State-eksamen i matematikk tilstrekkelig, må du først studere teoretisk materiale, som introduserer deg til en rekke teoremer, formler, algoritmer, etc. Ved første øyekast kan det virke som om dette er ganske enkelt. Men å finne en kilde der teorien for Unified State Exam i matematikk presenteres på en enkel og forståelig måte for elever med et hvilket som helst treningsnivå, er faktisk en ganske vanskelig oppgave. Skolebøker kan ikke alltid holdes for hånden. Og å finne grunnleggende formler for Unified State Exam i matematikk kan være vanskelig selv på Internett.

Hvorfor er det så viktig å studere teori i matematikk, ikke bare for de som tar Unified State Exam?

Fordi det utvider horisonten din. Å studere teoretisk stoff i matematikk er nyttig for alle som ønsker å få svar på en lang rekke spørsmål knyttet til kunnskap om verden rundt seg. Alt i naturen er ordnet og har en klar logikk. Det er nettopp dette som gjenspeiles i vitenskapen, der det er mulig å forstå verden.
Fordi det utvikler intelligens. Ved å studere referansemateriale for Unified State Exam i matematikk, i tillegg til å løse ulike problemer, lærer en person å tenke og resonnere logisk, å formulere tanker kompetent og tydelig. Han utvikler evnen til å analysere, generalisere og trekke konklusjoner.

Vi inviterer deg til personlig å vurdere alle fordelene ved vår tilnærming til systematisering og presentasjon av pedagogisk materiale.