Den laveste fellesnevneren brukes for å forenkle denne ligningen. Denne metoden brukes når du ikke kan skrive gitt ligning med en rasjonelt uttrykk på hver side av ligningen (og bruk multiplikasjonsmetoden på kryss og tvers). Denne metoden brukes når du får en rasjonell ligning med 3 eller flere brøker (ved to brøker er det bedre å bruke multiplikasjon på kryss og tvers).
Finn den laveste fellesnevneren av brøkene (eller minst felles multiplum). NOZ er minste antall, som er jevnt delelig med hver nevner.
- Noen ganger er OD et åpenbart tall. For eksempel, hvis gitt ligningen: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, er det åpenbart at det minste felles multiplum av tallene 3, 2 og 6 er 6.
- Hvis NCD ikke er åpenbar, skriv ned multiplene av den største nevneren og finn blant dem en som vil være et multiplum av de andre nevnerne. Ofte kan NOD bli funnet ved å multiplisere to nevnere. For eksempel, hvis ligningen er gitt x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, så er NOS = 8*9 = 72.
- Dersom en eller flere nevnere inneholder en variabel, blir prosessen noe mer komplisert (men ikke umulig). I dette tilfellet er NOC et uttrykk (som inneholder en variabel) som er delt på hver nevner. For eksempel, i ligningen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), fordi dette uttrykket er delt på hver nevner: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Multipliser både telleren og nevneren for hver brøk med et tall som er lik resultatet av å dele NOC med den tilsvarende nevneren for hver brøk. Siden du multipliserer både telleren og nevneren med samme tall, multipliserer du faktisk brøken med 1 (for eksempel 2/2 = 1 eller 3/3 = 1).
- Så i vårt eksempel, multipliser x/3 med 2/2 for å få 2x/6, og 1/2 multipliser med 3/3 for å få 3/6 (brøken 3x +1/6 trenger ikke å multipliseres fordi den nevneren er 6).
- Fortsett på samme måte når variabelen er i nevneren. I vårt andre eksempel, NOZ = 3x(x-1), så multipliser 5/(x-1) med (3x)/(3x) for å få 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x multiplisert med 3(x-1)/3(x-1) og du får 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) multiplisert med (x-1)/(x-1) og du får 2(x-1)/3x(x-1).
Finn x. Nå som du har redusert brøkene til en fellesnevner, kan du kvitte deg med nevneren. For å gjøre dette, multipliser hver side av ligningen med fellesnevneren. Løs deretter den resulterende ligningen, det vil si finn "x". For å gjøre dette, isoler variabelen på den ene siden av ligningen.
- I vårt eksempel: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Du kan legge til 2 brøker med samme nevner, så skriv ligningen slik: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multipliser begge sider av ligningen med 6 og bli kvitt nevnerne: 2x+3 = 3x +1. Løs og få x = 2.
- I vårt andre eksempel (med en variabel i nevneren) ser ligningen slik ut (etter reduksjon til en fellesnevner): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Ved å multiplisere begge sider av ligningen med N3, blir du kvitt nevneren og får: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), eller 15x = 3x - 3 + 2x -2, eller 15x = x - 5 Løs og få: x = -5/14.
Bruksanvisning
Det kanskje mest åpenbare poenget her er selvfølgelig. Numeriske brøker ikke utgjør noen fare (brøklikninger, hvor alle nevnere inneholder kun tall, vil generelt være lineære), men hvis det er en variabel i nevneren, så må dette tas i betraktning og skrives ned. For det første er det at x, som snur nevneren til 0, ikke kan være det, og generelt er det nødvendig å oppgi separat at x ikke kan være lik dette tallet. Selv om du lykkes det når du erstatter i telleren, konvergerer alt perfekt og tilfredsstiller betingelsene. For det andre kan vi ikke multiplisere hver side av ligningen med . lik null.
Etter dette reduseres en slik ligning til å overføre alle dens vilkår til venstre side slik at den høyre forblir 0.
Det er nødvendig å bringe alle ledd til en fellesnevner, multiplisere, der det er nødvendig, tellerne med de manglende uttrykkene.
Deretter løser vi den vanlige ligningen skrevet i telleren. Vi tåler det felles faktorer utover parentes, bruk forkortet multiplikasjon, ta med lignende, beregn røtter kvadratisk ligning gjennom en diskriminant osv.
Resultatet skal være en faktorisering i form av et produkt av parenteser (x-(i-te rot)). Dette kan også inkludere polynomer som ikke har røtter, for eksempel kvadratisk trinomium med en diskriminant mindre enn null (hvis, selvfølgelig, bare problemet ekte røtter, som oftest skjer).
Det er viktig å faktorisere nevneren og finne parentesene som allerede finnes i telleren. Hvis nevneren inneholder uttrykk som (x-(tall)), er det bedre å ikke multiplisere parentesene i den direkte når du reduserer til en fellesnevner, men å la dem være et produkt av de originale enkle uttrykkene.
Identiske parenteser i teller og nevner kan forkortes ved først å skrive ned, som nevnt ovenfor, betingelsene på x.
Svaret er skrevet i krøllede parenteser, som et sett med x-verdier, eller ganske enkelt som en oppregning: x1=..., x2=..., etc.
Kilder:
- Brøk rasjonelle ligninger
Noe du ikke kan klare deg uten i fysikk, matematikk, kjemi. Minst. La oss lære det grunnleggende for å løse dem.
Bruksanvisning
Den mest generelle og enkle klassifiseringen kan deles inn etter antall variabler de inneholder og gradene som disse variablene står i.
Løs ligningen med alle røttene eller bevis at det ikke finnes noen.
Enhver ligning har ikke mer enn P-røtter, der P er maksimum av en gitt ligning.
Men noen av disse røttene kan falle sammen. Så, for eksempel, likningen x^2+2*x+1=0, hvor ^ er ikonet for eksponentiering, brettes inn i kvadratet av uttrykket (x+1), det vil si til produktet av to identiske parentes, som hver gir x=- 1 som en løsning.
Hvis det bare er én ukjent i en ligning, betyr dette at du eksplisitt vil kunne finne røttene (reelle eller komplekse).
For dette vil du mest sannsynlig trenge, ulike transformasjoner: forkortet multiplikasjon, beregning av diskriminanten og røttene til en kvadratisk ligning, overføring av ledd fra en del til en annen, reduksjon til en fellesnevner, multiplikasjon av begge deler av ligningen med samme uttrykk, med en kvadrat, etc.
Transformasjoner som ikke påvirker røttene til ligningen er identiske. De brukes til å forenkle prosessen med å løse en ligning.
Du kan også bruke i stedet for den tradisjonelle analytiske grafisk metode og skriv denne ligningen i skjemaet, og utfør deretter studien.
Hvis det er mer enn én ukjent i en ligning, vil du bare kunne uttrykke en av dem i form av den andre, og dermed vise et sett med løsninger. Dette er for eksempel likninger med parametere der det er en ukjent x og en parameter a. Bestemme seg for parametrisk ligning- betyr for alle a å uttrykke x gjennom a, det vil si å vurdere alle mulige tilfeller.
Hvis ligningen inneholder deriverte eller differensialer av ukjente (se bilde), gratulerer, dette differensial ligning, og her kan du ikke klare deg uten høyere matematikk).
Kilder:
For å løse problemet med i fraksjoner, må du lære å håndtere dem aritmetiske operasjoner. De kan være desimaler, men brukes oftest naturlige fraksjoner med en teller og en nevner. Først etter dette kan vi gå videre til løsninger matematiske problemer Med brøkverdier.
Du vil trenge
- - kalkulator;
- - kunnskap om egenskapene til fraksjoner;
- - evne til å utføre operasjoner med brøker.
Bruksanvisning
En brøk er en notasjon for å dele ett tall med et annet. Ofte kan dette ikke gjøres helt, og det er grunnen til at denne handlingen ikke er fullført. Tallet som er delbart (det vises over eller foran brøktegnet) kalles telleren, og det andre tallet (under eller etter brøktegnet) kalles nevneren. Hvis telleren er større enn nevneren, kalles brøken en uekte brøk, og en hel del kan skilles fra den. Hvis telleren mindre enn nevneren, da kalles en slik brøk egentlig, og dens hele delen er lik 0.
Oppgaver er delt inn i flere typer. Bestem hvem av dem oppgaven tilhører. Det enkleste alternativet– finne brøkdelen av et tall, uttrykt som en brøkdel. For å løse dette problemet, multipliser bare dette tallet med en brøk. Det ble for eksempel levert 8 tonn poteter. Den første uken ble 3/4 av totalen solgt. Hvor mange poteter er det igjen? For å løse dette problemet, multipliser tallet 8 med 3/4. Det viser seg 8∙3/4=6 t.
Hvis du trenger å finne et tall etter dets del, multipliser kjent del tall til en brøk, den gjensidige av den som viser hva andelen av en gitt del er i tallet. For eksempel utgjør 8 av dem 1/3 av det totale antallet elever. Hvor mange i? Siden 8 personer er en del som representerer 1/3 av totalen, så finn gjensidig brøk, som er lik 3/1 eller bare 3. Så for å få antall elever i klassen 8∙3=24 elever.
Når du trenger å finne hvilken del av et tall ett tall er fra et annet, deler du tallet som representerer delen med det som er hele. For eksempel, hvis avstanden er 300 km, og bilen har kjørt 200 km, hvilken del av den totale avstanden vil dette være? Del en del av stien 200 med full vei 300, etter å ha redusert brøken vil du få resultatet. 200/300=2/3.
For å finne en ukjent brøkdel av et tall når det er en kjent, ta hele tallet som en konvensjonell enhet og trekk fra den kjente brøken. For eksempel, hvis 4/7 av timen allerede har gått, er det fortsatt tid igjen? Ta hele leksjonen som en enhet og trekk 4/7 fra den. Få 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
Løse ligninger med brøker La oss se på eksempler. Eksemplene er enkle og illustrerende. Med deres hjelp er du mest på en tydelig måte du kan lære.
For eksempel må du løse den enkle likningen x/b + c = d.
En ligning av denne typen kalles lineær, fordi Nevneren inneholder kun tall.
Løsningen utføres ved å multiplisere begge sider av likningen med b, så tar likningen formen x = b*(d – c), dvs. nevneren til brøken på venstre side kansellerer.
For eksempel hvordan løse brøkligning:
x/5+4=9
Vi multipliserer begge sider med 5. Vi får:
x+20=45
x=45-20=25
Et annet eksempel når det ukjente er i nevneren:
Ligninger av denne typen kalles brøk-rasjonelle eller ganske enkelt brøkdeler.
Vi ville løst en brøklikning ved å kvitte oss med brøker, hvoretter denne likningen som oftest blir til en lineær eller andregradsligning, som løses på vanlig måte. Du trenger bare å vurdere følgende punkter:
- verdien av en variabel som snur nevneren til 0 kan ikke være en rot;
- Du kan ikke dividere eller multiplisere en ligning med uttrykket =0.
Det er her områdebegrepet kommer inn i bildet. akseptable verdier(ODZ) er slike verdier av røttene til ligningen der ligningen gir mening.
Når du løser ligningen, er det derfor nødvendig å finne røttene, og deretter sjekke dem for samsvar med ODZ. De røttene som ikke samsvarer med vår ODZ er ekskludert fra svaret.
For eksempel må du løse en brøkligning:
Basert på regelen ovenfor kan ikke x være = 0, dvs. ODZ inn i dette tilfellet: x – enhver annen verdi enn null.
Vi kvitter oss med nevneren ved å multiplisere alle ledd i ligningen med x
Og vi løser den vanlige ligningen
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Svar: x = 1/3
La oss løse en mer komplisert ligning:
ODZ er også tilstede her: x -2.
Når vi løser denne ligningen, vil vi ikke flytte alt til en side og bringe brøkene til en fellesnevner. Vi vil umiddelbart multiplisere begge sider av ligningen med et uttrykk som vil oppheve alle nevnerne på en gang.
For å redusere nevnerne må du multiplisere venstre side med x+2, og høyre side med 2. Dette betyr at begge sider av ligningen må multipliseres med 2(x+2):
Akkurat dette vanlig multiplikasjon brøker, som vi allerede har diskutert ovenfor
La oss skrive den samme ligningen, men litt annerledes
Venstre side reduseres med (x+2), og høyre med 2. Etter reduksjonen får vi den vanlige lineære ligningen:
x = 4 – 2 = 2, som tilsvarer vår ODZ
Svar: x = 2.
Løse ligninger med brøker ikke så vanskelig som det kan virke. I denne artikkelen har vi vist dette med eksempler. Hvis du har problemer med hvordan løse likninger med brøker, så avslutt abonnementet i kommentarfeltet.
Handlinger med brøker. I denne artikkelen vil vi se på eksempler, alt i detalj med forklaringer. Vi vil vurdere vanlige brøker. Vi skal se på desimaler senere. Jeg anbefaler å se hele greia og studere den sekvensielt.
1. Sum av brøker, differanse av brøker.
Regel: når du legger til brøker med like nevnere, som et resultat får vi en brøk - hvis nevner forblir den samme, og telleren vil være lik summen tellere av brøker.
Regel: ved beregning av forskjellen på brøker med samme nevnere vi får en brøk - nevneren forblir den samme, og telleren til den andre trekkes fra telleren til den første brøken.
Formell notasjon for summen og forskjellen av brøker med like nevnere:
Eksempler (1):
Det er klart at når vanlige brøker er gitt, så er alt enkelt, men hva om de er blandet? Ikke noe komplisert...
valg 1– du kan konvertere dem til vanlige og deretter beregne dem.
Alternativ 2– du kan "arbeide" separat med heltalls- og brøkdelene.
Eksempler (2):
Mer:
Og hvis gitt forskjellen på to blandede fraksjoner og telleren til den første brøken vil være mindre enn telleren til den andre? Du kan også handle på to måter.
Eksempler (3):
*Omregnet til vanlige brøker, regnet ut differansen, omregnet resultatet uekte brøk i blandet.
*Vi delte det opp i heltalls- og brøkdeler, fikk en treer, presenterte så 3 som summen av 2 og 1, med en representert som 11/11, fant deretter forskjellen mellom 11/11 og 7/11 og beregnet resultatet . Meningen med transformasjonene ovenfor er å ta (velge) en enhet og presentere den i form av en brøk med den nevneren vi trenger, så kan vi trekke en annen fra denne brøken.
Et annet eksempel:
Konklusjon: det er en universell tilnærming - for å beregne summen (forskjellen) av blandede brøker med like nevnere, kan de alltid konverteres til upassende, og deretter utføre nødvendig handling. Etter dette, hvis resultatet er en uekte brøk, konverterer vi den til en blandet brøk.
Ovenfor så vi på eksempler med brøker som har like nevnere. Hva om nevnerne er forskjellige? I dette tilfellet reduseres brøkene til samme nevner og den angitte handlingen utføres. For å endre (transformere) en brøk, brukes den grunnleggende egenskapen til brøken.
La oss se på enkle eksempler:
I disse eksemplene ser vi umiddelbart hvordan en av brøkene kan transformeres for å få like nevnere.
Hvis vi utpeker måter å redusere brøker til samme nevner på, vil vi kalle denne METODE EN.
Det vil si at umiddelbart når du "evaluerer" en brøkdel, må du finne ut om denne tilnærmingen vil fungere - vi sjekker om den større nevneren er delelig med den mindre. Og hvis den er delelig, utfører vi en transformasjon - vi multipliserer telleren og nevneren slik at nevnerne til begge brøkene blir like.
Se nå på disse eksemplene:
Denne tilnærmingen gjelder ikke for dem. Det er også måter å redusere brøker til en fellesnevner; la oss vurdere dem.
Metode TO.
Vi multipliserer telleren og nevneren til den første brøken med nevneren til den andre, og telleren og nevneren til den andre brøken med nevneren til den første:
*Faktisk reduserer vi brøker for å dannes når nevnerne blir like. Deretter bruker vi regelen for å legge til brøker med like nevnere.
Eksempel:
*Denne metoden kan kalles universell, og den fungerer alltid. Den eneste ulempen er at du etter beregningene kan ende opp med en brøkdel som må reduseres ytterligere.
La oss se på et eksempel:
Det kan sees at telleren og nevneren er delelig med 5:
Metode TREDJE.
Du må finne det minste felles multiplum (LCM) av nevnerne. Dette vil være fellesnevneren. Hva slags nummer er dette? Dette er det minste naturlig tall, som er delelig med hvert av tallene.
Se, her er to tall: 3 og 4, det er mange tall som er delbare med dem - disse er 12, 24, 36, ... Det minste av dem er 12. Eller 6 og 15, de er delbare med 30, 60, 90 .... Den minste er 30. Spørsmålet er - hvordan bestemme dette minste felles multiplum?
Det er en klar algoritme, men ofte kan dette gjøres umiddelbart uten beregninger. For eksempel, i henhold til eksemplene ovenfor (3 og 4, 6 og 15) er ingen algoritme nødvendig, vi tok store tall (4 og 15), doblet dem og så at de er delbare med det andre tallet, men tallpar kan være andre, for eksempel 51 og 119.
Algoritme. For å bestemme minste felles multiplum av flere tall, må du:
- dekomponere hvert tall til ENKLE faktorer
- skriv ned nedbrytningen av den STØRRE av dem
- multipliser det med MANGLER faktorene til andre tall
La oss se på eksempler:
50 og 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
i nedbrytning mer en femmer mangler
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 og 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
i utvidelsen av et større nummer to og tre mangler
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Minste felles multiplum av to primtall lik deres produkt
Spørsmål! Hvorfor er det nyttig å finne det minste felles multiplumet, siden du kan bruke den andre metoden og ganske enkelt redusere den resulterende brøken? Ja, det er mulig, men det er ikke alltid praktisk. Se på nevneren for tallene 48 og 72 hvis du bare multipliserer dem 48∙72 = 3456. Du er enig i at det er mer behagelig å jobbe med mindre tall.
La oss se på eksempler:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
utvidelsen av et større antall mangler en trippel
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
La oss nå bruke den første metoden:
*Se på forskjellen i beregningene, i det første tilfellet er det et minimum av dem, men i det andre må du jobbe separat på et stykke papir, og til og med brøkdelen du mottok må reduseres. Å finne LOC forenkler arbeidet betydelig.
Flere eksempler:
*I det andre eksemplet er det klart at det minste tallet som er delelig med 40 og 60 er 120.
RESULTAT! GENERELL DATAALGORITME!
— vi reduserer brøker til vanlige hvis det er en heltallsdel.
- vi bringer brøker til en fellesnevner (først ser vi på om en nevner er delelig med en annen; hvis den er delelig, multipliserer vi telleren og nevneren til denne andre brøken; hvis den ikke er delelig, handler vi ved å bruke de andre metodene angitt ovenfor).
- Etter å ha mottatt brøker med like nevnere, utfører vi operasjoner (addisjon, subtraksjon).
– om nødvendig reduserer vi resultatet.
- om nødvendig, velg hele delen.
2. Produkt av fraksjoner.
Regelen er enkel. Når du multipliserer brøker, multipliseres deres tellere og nevnere:
Eksempler:
Brøkkalkulator designet for raskt å beregne operasjoner med brøker, vil det hjelpe deg enkelt å legge til, multiplisere, dele eller subtrahere brøker.
Moderne skolebarn begynner å studere brøker allerede i 5. klasse, og øvelser med dem blir mer kompliserte for hvert år. Matematiske termer og mengder som vi lærer på skolen kan sjelden være nyttige for oss i voksenlivet. Imidlertid finnes brøker, i motsetning til logaritmer og potenser, ganske ofte i hverdagen (måling av avstander, veiing av varer osv.). Vår kalkulator er designet for raske operasjoner med brøker.
La oss først definere hva brøker er og hva de er. Brøker er forholdet mellom ett tall og et annet, det er et tall som består av et heltall av brøker av en enhet.
Typer brøker:
- Vanlig
- Desimal
- Blandet
Eksempel vanlige brøker:
Den øverste verdien er telleren, den nederste er nevneren. Bindestreken viser oss at det øverste tallet er delelig med det nederste tallet. I stedet for dette skriveformatet, når bindestreken er vannrett, kan du skrive annerledes. Du kan sette en skrå linje, for eksempel:
1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1
Desimaler er den mest populære typen brøker. De består av en heltallsdel og en brøkdel, atskilt med et komma.
Eksempel på desimalbrøker:
0,2 eller 6,71 eller 0,125
Består av et helt tall og en brøkdel. For å finne ut verdien av denne brøken, må du legge til hele tallet og brøken.
Eksempel på blandede fraksjoner:
Brøkkalkulatoren på nettsiden vår kan raskt utføre alle oppgaver på nettet. matematiske operasjoner med brøker:
- Addisjon
- Subtraksjon
- Multiplikasjon
- Inndeling
For å utføre beregningen må du skrive inn tall i feltene og velge en handling. For brøker må du fylle ut teller og nevner, det kan hende at hele tallet ikke skrives (hvis brøken er vanlig). Ikke glem å klikke på "lik"-knappen.
Det er praktisk at kalkulatoren umiddelbart gir prosessen for å løse et eksempel med brøker, og ikke bare et ferdig svar. Det er takket være den distribuerte løsningen du kan bruke dette materialet når man bestemmer seg skoleoppgaver og for bedre utvikling dekket materiale.
Du må utføre eksempelberegningen:
Etter å ha lagt inn indikatorene i skjemafeltene, får vi:
For å lage din egen beregning, skriv inn dataene i skjemaet.
Brøkkalkulator
Skriv inn to brøker:| + - * : | |||||||
Relaterte seksjoner.