Diskutert i detalj hovedegenskapen til en brøk, dens formulering er gitt, et bevis og et forklarende eksempel er gitt. Anvendelsen av den grunnleggende egenskapen til en brøk ved reduksjon av brøker og reduksjon av brøker til en ny nevner vurderes også.
Sidenavigering.
Hovedegenskapen til en brøk - formulering, bevis og forklarende eksempler
La oss se på et eksempel som illustrerer den grunnleggende egenskapen til en brøk. La oss si at vi har en firkant delt inn i 9 "store" ruter, og hver av disse "store" rutene er delt inn i 4 "små" ruter. Dermed kan vi også si at den opprinnelige ruten er delt inn i 4 9 = 36 "små" ruter. La oss male 5 "store" firkanter. I dette tilfellet vil 4·5=20 "små" firkanter være skyggelagt. Her er en tegning som tilsvarer vårt eksempel.
Den skraverte delen er 5/9 av det opprinnelige kvadratet, eller, som er det samme, 20/36 av det opprinnelige kvadratet, det vil si at brøkene 5/9 og 20/36 er like: eller. Fra disse likhetene, samt av likhetene 20=5·4, 36=9·4, 20:4=5 og 36:4=9, følger det at og .
For å konsolidere det demonterte materialet, vurder løsningen på eksemplet.
Eksempel.
Telleren og nevneren til en vanlig brøk ble multiplisert med 62, hvoretter telleren og nevneren til den resulterende brøken ble delt på 2. Er den resulterende brøken lik den opprinnelige?
Løsning.
Å multiplisere telleren og nevneren til en brøk med et hvilket som helst naturlig tall, spesielt med 62, gir en brøk som, på grunn av den grunnleggende egenskapen til en brøk, er lik den opprinnelige. Hovedegenskapen til en brøk lar oss si at etter å ha delt telleren og nevneren til den resulterende brøken med 2, vil den resulterende brøken være lik den opprinnelige brøken.
Svar:
Ja, den resulterende brøken er lik den opprinnelige.
Anvendelse av den grunnleggende egenskapen til en brøk
Den grunnleggende egenskapen til en brøk brukes hovedsakelig i to tilfeller: for det første når du reduserer brøker til en ny nevner, og for det andre når du reduserer brøker.
Å redusere en brøk til en ny nevner er å erstatte den opprinnelige brøken med en lik brøk, men med en større teller og nevner. For å bringe en brøk til en ny nevner, multipliseres både telleren og nevneren av brøken med et naturlig tall, og i henhold til den grunnleggende egenskapen til en brøk oppnås en brøk som er lik den opprinnelige, men med en annen teller og nevner. Det er umulig å gjøre uten å redusere brøker til en ny nevner når du utfører Vilenkin N.Ya. og andre Matematikk. 6. klasse: lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner.
Opphavsrett av smartstudenter
Alle rettigheter forbeholdt.
Beskyttet av lov om opphavsrett. Ingen del av www.nettstedet, inkludert internt materiale og utseende, kan reproduseres i noen form eller brukes uten skriftlig forhåndstillatelse fra opphavsrettsinnehaveren.
Brøker av en enhet og er representert som \frac(a)(b).
Teller for brøk (a)- tallet plassert over brøklinjen og viser antall aksjer som enheten ble delt inn i.
Brøknevner (b)- tallet plassert under brøklinjen og viser hvor mange deler enheten er delt inn i.
Gjem Vis
Hovedegenskapen til en brøk
Hvis ad=bc så to brøker \frac(a)(b) Og \frac(c)(d) anses likeverdige. For eksempel vil brøkene være like \frac35 Og \frac(9)(15), siden 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) Og \frac(24)(14), siden 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .
Fra definisjonen av brøklikhet følger det at brøkene vil være like \frac(a)(b) Og \frac(am)(bm), siden a(bm)=b(am) er et tydelig eksempel på bruken av de assosiative og kommutative egenskapene til å multiplisere naturlige tall i aksjon.
Midler \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)– slik ser det ut hovedegenskapen til en brøk.
Med andre ord får vi en brøk lik den gitte ved å multiplisere eller dividere telleren og nevneren til den opprinnelige brøken med det samme naturlige tallet.
Reduserer en brøkdel er prosessen med å erstatte en brøk der den nye brøken er lik den opprinnelige, men med en mindre teller og nevner.
Det er vanlig å redusere fraksjoner basert på den grunnleggende egenskapen til fraksjonen.
For eksempel, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(teller og nevner er delt på tallet 3); den resulterende fraksjonen kan igjen reduseres ved å dele på 5, det vil si \frac(15)(20)=\frac 34.
Irreduserbar fraksjon er en brøkdel av formen \frac 34, hvor telleren og nevneren er innbyrdes primtall. Hovedformålet med å redusere en brøk er å gjøre brøken irreduserbar.
Redusere brøker til en fellesnevner
La oss ta to brøker som eksempel: \frac(2)(3) Og \frac(5)(8) med forskjellige nevnere 3 og 8. For å bringe disse brøkene til en fellesnevner, multipliserer vi først telleren og nevneren til brøken \frac(2)(3) innen 8. Vi får følgende resultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Deretter multipliserer vi telleren og nevneren til brøken \frac(5)(8) innen 3. Som et resultat får vi: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Så de opprinnelige brøkene reduseres til en fellesnevner 24.
Aritmetiske operasjoner på vanlige brøker
Addisjon av vanlige brøker
a) Hvis nevnerne er like, legges telleren til den første brøken til telleren til den andre brøken, slik at nevneren er den samme. Som du kan se i eksempelet:
\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);
b) For ulike nevnere reduseres først brøker til en fellesnevner, og deretter legges tellerne til etter regel a):
\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).
Å trekke fra brøker
a) Hvis nevnerne er like, trekk telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og la nevneren være den samme:
\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);
b) Hvis nevnerne til brøkene er forskjellige, bringes først brøkene til en fellesnevner, og deretter gjentas handlingene som i punkt a).
Multiplisere vanlige brøker
Å multiplisere brøker følger følgende regel:
\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),
det vil si at de multipliserer tellerne og nevnerne hver for seg.
For eksempel:
\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).
Å dele brøker
Brøker deles på følgende måte:
\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),
altså en brøkdel \frac(a)(b) multiplisert med en brøk \frac(d)(c).
Eksempel: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).
Gjensidige tall
Hvis ab=1, så er tallet b gjensidig nummer for tallet a.
Eksempel: for tallet 9 er det gjensidige \frac(1)(9), fordi 9\cdot\frac(1)(9)=1, for tallet 5 - \frac(1)(5), fordi 5\cdot\frac(1)(5)=1.
Desimaler
Desimal kalt en egenbrøk hvis nevner er 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.
For eksempel: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.
Uregelmessige tall med en nevner på 10^n eller blandede tall skrives på samme måte.
For eksempel: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.
Enhver vanlig brøk med en nevner som er en divisor med en viss potens på 10, er representert som en desimalbrøk.
Eksempel: 5 er en divisor på 100, så det er en brøk \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.
Aritmetiske operasjoner på desimaler
Legge til desimaler
For å legge til to desimalbrøker, må du ordne dem slik at det er identiske sifre under hverandre og et komma under kommaet, og deretter legge til brøkene som vanlige tall.
Subtrahere desimaler
Det utføres på samme måte som addisjon.
Multiplisere desimaler
Når du multipliserer desimaltall, er det nok å multiplisere de gitte tallene, uten å ta hensyn til komma (som naturlige tall), og i det resulterende svaret skiller et komma til høyre like mange sifre som det er etter desimaltegnet i begge faktorer. totalt.
La oss multiplisere 2,7 med 1,3. Vi har 27 \cdot 13=351 . Vi skiller to sifre til høyre med komma (første og andre tall har ett siffer etter desimaltegnet; 1+1=2). Som et resultat får vi 2,7 \cdot 1,3=3,51.
Hvis det resulterende resultatet inneholder færre sifre enn det som må skilles med komma, skrives de manglende nullene foran, for eksempel:
For å multiplisere med 10, 100, 1000, må du flytte desimaltegnet 1, 2, 3 sifre til høyre (om nødvendig tildeles et visst antall nuller til høyre).
For eksempel: 1,47\cdot 10\,000 = 14,700.
Desimaldeling
Å dele en desimalbrøk på et naturlig tall gjøres på samme måte som å dele et naturlig tall på et naturlig tall. Kommaet i kvotienten settes etter at delingen av hele delen er fullført.
Hvis heltallsdelen av utbyttet er mindre enn divisoren, er svaret null heltall, for eksempel:
.png)
La oss se på å dele en desimal med en desimal. La oss si at vi må dele 2,576 med 1,12. Først av alt, la oss multiplisere utbyttet og divisor av brøken med 100, det vil si flytte desimaltegnet til høyre i utbyttet og divisor med like mange sifre som det er i divisoren etter desimaltegnet (i dette eksemplet, to). Deretter må du dele brøken 257,6 med det naturlige tallet 112, det vil si at problemet er redusert til tilfellet som allerede er vurdert:
.png)
Det hender at den endelige desimalbrøken ikke alltid oppnås når man deler ett tall med et annet. Resultatet er en uendelig desimalbrøk. I slike tilfeller går vi over til vanlige brøker.
2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).
Encyklopedisk YouTube
-
1 / 5
Vanlig(eller enkel) brøk - skrive et rasjonelt tall i skjemaet ± m n (\displaystyle \pm (\frac (m)(n))) eller ± m / n , (\displaystyle \pm m/n,) Hvor n ≠ 0. (\displaystyle n\neq 0.) En horisontal eller skråstrek indikerer et divisjonstegn, noe som resulterer i en kvotient. Utbyttet kalles teller brøker, og divisor er nevner.
Notasjon for vanlige brøker
Det finnes flere typer skriving av vanlige brøker i trykt form:
Riktige og uekte brøker
Riktig En brøk hvis teller er mindre enn nevneren kalles en brøk. En brøk som ikke er riktig kalles feil, og representerer et rasjonelt tall med en modul større enn eller lik én.
For eksempel brøker 3 5 (\displaystyle (\frac (3)(5))), 7 8 (\displaystyle (\frac (7)(8))) og er egenbrøker, mens 8 3 (\displaystyle (\frac (8)(3))), 9 5 (\displaystyle (\frac (9)(5))), 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))) Og 1 1 (\displaystyle (\frac (1)(1)))- uekte brøker. Ethvert heltall som ikke er null, kan representeres som en uekte brøk med nevneren 1.
Blandede fraksjoner
En brøk skrevet som et helt tall og en egenbrøk kalles blandet fraksjon og forstås som summen av dette tallet og en brøk. Ethvert rasjonelt tall kan skrives som en blandet brøk. I motsetning til en blandet brøk, kalles en brøk som inneholder bare en teller og en nevner enkel.
For eksempel, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 (\displaystyle 2(\frac (3)(7))=2+(\frac (3)(7))=(\frac (14) )(7))+(\frac (3)(7))=(\frac (17)(7))). I streng matematisk litteratur foretrekker de å ikke bruke en slik notasjon på grunn av likheten til notasjonen for en blandet brøk med notasjonen for produktet av et heltall med en brøk, samt på grunn av den mer tungvinte notasjonen og mindre praktiske beregningene .
Sammensatte fraksjoner
En brøk med flere etasjer, eller sammensatt, er et uttrykk som inneholder flere horisontale (eller, mindre vanlig, skrå) linjer:
1 2 / 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(2))/(\frac (1)(3))) eller 1/2 1/3 (\displaystyle (\frac (1/2)(1/3))) eller 12 3 4 26 (\displaystyle (\frac (12(\frac (3)(4)))(26)))Desimaler
En desimal er en posisjonsrepresentasjon av en brøk. Det ser slik ut:
± a 1 a 2 … a n , b 1 b 2 … (\displaystyle \pm a_(1)a_(2)\dots a_(n)(,)b_(1)b_(2)\dots )Eksempel: 3.141 5926 (\displaystyle 3(,)1415926).
Den delen av posten som kommer før det posisjonelle desimaltegnet er heltallsdelen av tallet (brøk), og delen som kommer etter desimaltegnet er brøkdelen. Enhver vanlig brøk kan konverteres til en desimal, som i dette tilfellet enten har et endelig antall desimaler eller er en periodisk brøk.
Generelt sett, for å skrive et tall posisjonelt, kan du bruke ikke bare desimaltallsystemet, men også andre (inkludert spesifikke, for eksempel Fibonacci).
Betydningen av en brøk og hovedegenskapen til en brøk
En brøk er bare en representasjon av et tall. Samme tall kan tilsvare ulike brøker, både ordinære og desimaler.
0 , 999... = 1 (\displaystyle 0,999...=1)- to forskjellige brøker tilsvarer samme tall.Operasjoner med brøker
Denne delen dekker operasjoner på vanlige brøker. For operasjoner med desimalbrøk, se Desimalbrøk.
Reduksjon til en fellesnevner
For å sammenligne, legge til og trekke fra brøker, må de konverteres ( bringe) til en form med samme nevner. La to brøker gis: a b (\displaystyle (\frac (a)(b))) Og c d (\displaystyle (\frac (c)(d))). Fremgangsmåte:
Etter dette faller nevnerne til begge brøkene sammen (lik M). I stedet for det minste felles multiplum kan vi i enkle tilfeller ta som M ethvert annet felles multiplum, for eksempel produktet av nevnere. For et eksempel, se sammenligningsdelen nedenfor.
Sammenligning
For å sammenligne to vanlige brøker, må du bringe dem til en fellesnevner og sammenligne tellerne til de resulterende brøkene. En brøkdel med en større teller vil være større.
Eksempel. La oss sammenligne 3 4 (\displaystyle (\frac (3)(4))) Og 4 5 (\displaystyle (\frac (4)(5))). LCM(4, 5) = 20. Vi reduserer brøkene til nevneren 20.
3 4 = 15 20; 4 5 = 16 20 (\displaystyle (\frac (3)(4))=(\frac (15)(20));\quad (\frac (4)(5))=(\frac (16)( 20)))Derfor, 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}
Addisjon og subtraksjon
For å legge til to vanlige brøker, må du redusere dem til en fellesnevner. Legg deretter til tellerne og la nevneren være uendret:
1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) + = + = 5 6 (\displaystyle (\frac (5)(6)))LCM for nevnerne (her 2 og 3) er lik 6. Vi gir brøken 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) til nevneren 6, for dette må telleren og nevneren multipliseres med 3.
1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) - = - 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4))) = 1 4 (\displaystyle (\frac (1)(4)))
Skjedde 3 6 (\displaystyle (\frac (3)(6))). Vi gir brøken 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))) til samme nevner, for dette må telleren og nevneren multipliseres med 2. Det viste seg 2 6 (\displaystyle (\frac (2)(6))).
For å få forskjellen mellom brøker, må de også bringes til en fellesnevner, og deretter trekke fra tellerne, slik at nevneren er uendret:LCM for nevnerne (her 2 og 4) er lik 4. Vi presenterer brøken 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))) til nevneren 4, for dette må du gange telleren og nevneren med 2. Vi får 2 4 (\displaystyle (\frac (2)(4))).
Multiplikasjon og divisjon
For å multiplisere to vanlige brøker, må du multiplisere deres tellere og nevnere:
a b ⋅ c d = a c b d . (\displaystyle (\frac (a)(b))\cdot (\frac (c)(d))=(\frac (ac)(bd)).)Spesielt for å multiplisere en brøk med et naturlig tall, må du multiplisere telleren med tallet, og la nevneren være den samme:
2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))\cdot 3=(\frac (6)(3))=2)Generelt kan det hende at telleren og nevneren for den resulterende brøken ikke er coprime, og brøken må kanskje reduseres, for eksempel:
5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 . (\displaystyle (\frac (5)(8))\cdot (\frac (2)(5))=(\frac (10)(40))=(\frac (1)(4)).)For å dele en vanlig brøk med en annen, må du multiplisere den første med den gjensidige av den andre:
a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , c ≠ 0. (\displaystyle (\frac (a)(b)):(\frac (c)(d))=(\frac (a)(b))\ cdot (\frac (d)(c))=(\frac (ad)(bc)),\quad c\neq 0.)For eksempel,
1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2. (\displaystyle (\frac (1)(2)):(\frac (1)(3))=(\frac (1)(2))\cdot (\frac (3)(1))=(\ frac (3)(2)).)Konverter mellom forskjellige opptaksformater
For å konvertere en brøk til en desimal, del telleren på nevneren. Resultatet kan ha et endelig antall desimaler, men det kan også ha et uendelig antall
I matematikk er en brøk et tall som består av en eller flere deler (brøker) av en enhet. I henhold til registreringsformen deles brøker inn i ordinær (eksempel \frac(5)(8)) og desimal (for eksempel 123,45).
Definisjon. Vanlig brøk (eller enkel brøk)
Vanlig (enkel) brøk kalles et tall på formen \pm\frac(m)(n) hvor m og n er naturlige tall. Tallet m kalles teller denne brøken, og tallet n er dens nevner.
En horisontal eller skråstrek indikerer et divisjonstegn, det vil si \frac(m)(n)=()^m/n=m:n
Vanlige brøker er delt inn i to typer: riktig og uekte.
Definisjon. Riktige og uekte brøker
Riktig En brøk hvis teller er mindre enn nevneren kalles en brøk. For eksempel, \frac(9)(11) , fordi 9
Feil En brøk kalles der modulen til telleren er større enn eller lik modulen til nevneren. En slik brøk er et rasjonelt tall med en modul større enn eller lik én. Et eksempel kan være brøkene \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)
Sammen med den uekte brøken er det en annen representasjon av tallet, som kalles en blandet brøk (blandet tall). Dette er ikke en vanlig brøkdel.
Definisjon. Blandet brøk (blandet antall)
Blandet fraksjon er en brøk skrevet som et helt tall og en egenbrøk og forstås som summen av dette tallet og brøken. For eksempel, 2\frac(5)(7)
(skrevet som et blandet tall) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (skrevet som en uekte brøk)
En brøk er bare en representasjon av et tall. Samme tall kan tilsvare ulike brøker, både ordinære og desimaler. La oss danne et tegn for likheten mellom to vanlige brøker.
Definisjon. Tegn på likhet av brøker
De to brøkene \frac(a)(b) og \frac(c)(d) er lik, hvis a\cdot d=b\cdot c . For eksempel, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) siden 2\cdot12=3\cdot8
Fra dette attributtet følger hovedegenskapen til en brøk.
Eiendom. Hovedegenskapen til en brøk
Hvis telleren og nevneren til en gitt brøk multipliseres eller divideres med samme tall, ikke lik null, får du en brøk lik den gitte.
\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0
Ved å bruke den grunnleggende egenskapen til en brøk kan du erstatte en gitt brøk med en annen brøk som er lik den gitte, men med en mindre teller og nevner. Denne erstatningen kalles brøkreduksjon. For eksempel, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (her ble telleren og nevneren delt først på 2, og deretter med 2 til). En brøk kan reduseres hvis og bare hvis dens teller og nevner ikke er innbyrdes primtall. Hvis telleren og nevneren til en gitt brøk er innbyrdes prime, kan ikke brøken reduseres, for eksempel er \frac(3)(4) en irreduserbar brøk.
Regler for positive brøker:
Fra to brøker med de samme nevnerne Brøken hvis teller er større, er større. For eksempel, \frac(3)(15)
Fra to brøker med de samme tellerne Jo større er brøken hvis nevner er mindre. For eksempel, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .
For å sammenligne to brøker med forskjellige tellere og nevnere, må du konvertere begge brøkene slik at nevnerne deres er like. Denne transformasjonen kalles å redusere brøker til en fellesnevner.
Dette emnet er ganske viktig; all videre matematikk og algebra er basert på de grunnleggende egenskapene til brøker. Egenskapene til fraksjoner som vurderes, til tross for deres betydning, er veldig enkle.
Å forstå grunnleggende egenskaper til fraksjoner La oss vurdere en sirkel.
På sirkelen kan du se at 4 deler eller er skyggelagt av de mulige åtte. La oss skrive den resulterende brøken \(\frac(4)(8)\)
På neste sirkel kan du se at en av de to mulige delene er skyggelagt. La oss skrive den resulterende brøken \(\frac(1)(2)\)
Hvis vi ser nøye etter, vil vi se at i det første tilfellet, at i det andre tilfellet har vi halve sirkelen skyggelagt, så de resulterende brøkene er lik \(\frac(4)(8) = \frac(1)( 2)\), det vil si at det er samme nummer.
Hvordan bevise dette matematisk? Det er veldig enkelt, husk multiplikasjonstabellen og skriv den første brøken inn i faktorer.
\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \farge(rød) (4))(2 \cdot \farge(rød) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \farge(rød) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \farge(rød)(1) = \frac(1)(2)\)
Hva har vi gjort? Vi faktoriserte telleren og nevneren \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), og delte deretter brøkene \(\frac(1) ) (2) \cdot \farge(rød) (\frac(4)(4))\). Fire delt på fire er 1, og én multiplisert med et hvilket som helst tall er selve tallet. Det vi gjorde i eksemplet ovenfor kalles reduserende fraksjoner.
La oss se på et annet eksempel og redusere brøken.
\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \farge(rød) (2))(5 \cdot \farge(rød) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \farge(rød) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \farge(rød)(1) = \frac(3)(5)\)
Vi faktoriserte igjen telleren og nevneren og reduserte de samme tallene til tellere og nevnere. Det vil si at to delt på to gir én, og én multiplisert med et hvilket som helst tall gir samme tall.
Hovedegenskapen til en brøk.
Dette innebærer hovedegenskapen til en brøk:
Hvis både telleren og nevneren til en brøk multipliseres med samme tall (unntatt null), vil ikke verdien av brøken endres.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)
Du kan også dele telleren og nevneren med samme tall samtidig.
La oss se på et eksempel:\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \farge(rød) (2))(8 \div \farge(rød) (2)) = \frac(3)(4)\)
Hvis både telleren og nevneren til en brøk er delt med samme tall (unntatt null), vil ikke verdien av brøken endres.
\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)
Brøker som har felles primfaktorer i både tellere og nevnere kalles reduserbare fraksjoner.
Eksempel på en reduserbar brøk: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)
Det er også irreduserbare fraksjoner.
Irreduserbar fraksjon er en brøk som ikke har felles primfaktorer i sine tellere og nevnere.
Eksempel på en ikke-reduserbar brøk: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)
Ethvert tall kan uttrykkes som en brøk fordi et hvilket som helst tall er delelig med én. For eksempel:
\(7 = \frac(7)(1)\)
Spørsmål til temaet:
Tror du en hvilken som helst brøkdel kan reduseres eller ikke?
Svar: nei, det er reduserbare brøker og irreduserbare brøker.Sjekk om likheten er sann: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Svar: skriv brøken \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\), ja rettferdig.Eksempel #1:
a) Finn en brøk med nevneren 15 lik brøken \(\frac(2)(3)\).
b) Finn en brøk med teller 8 som er lik brøken \(\frac(1)(5)\).Løsning:
a) Vi trenger tallet 15 i nevneren Nå har nevneren tallet 3. Hvilket tall skal vi gange tallet 3 med for å få 15? La oss huske multiplikasjonstabellen 3⋅5. Vi må bruke den grunnleggende egenskapen til brøker og multiplisere både telleren og nevneren til brøken \(\frac(2)(3)\) innen 5.\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)
b) Vi trenger at tallet 8 står i telleren. Nå er tallet 1 i telleren Hvilket tall skal vi gange tallet 1 med for å få 8? Selvfølgelig, 1⋅8. Vi må bruke den grunnleggende egenskapen til brøker og multiplisere både telleren og nevneren til brøken \(\frac(1)(5)\) innen 8. Vi får:
\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)
Eksempel #2:
Finn en irreduserbar brøk som er lik brøken: a) \(\frac(16)(36)\), b) \(\frac(10)(25)\).Løsning:
EN) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)b) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)
Eksempel #3:
Skriv tallet som en brøk: a) 13 b)123Løsning:
EN) \(13 = \frac(13) (1)\)b) \(123 = \frac(123) (1)\)