For å forstå dette emnet, la oss vurdere en funksjon avbildet på en graf // La oss vise hvordan en graf av en funksjon lar deg bestemme dens egenskaper.
La oss se på egenskapene til en funksjon ved å bruke et eksempel
Definisjonsdomenet til funksjonen er span [ 3,5; 5,5].
Funksjonens verdiområde er span [ 1; 3].
1. Ved x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, er verdien av funksjonen null.
Argumentverdien der funksjonsverdien er null kalles funksjon null.
//de. for denne funksjonen er tallene -3;-1;1,5; 4,5 er null.
2. Med intervaller [ 4,5; 3) og (1; 1.5) og (4.5; 5.5] grafen til funksjonen f er plassert over abscisseaksen, og i intervallene (-3; -1) og (1.5; 4.5) under aksen abscisse, denne forklares som følger: på intervallene [ 4.5; 3) og (1; 1.5) og (4.5; 5.5] tar funksjonen positive verdier, og på intervallene (-3; -1) og ( 1.5; 4.5) negative.
Hvert av de indikerte intervallene (der funksjonen tar verdier av samme fortegn) kalles intervallet med konstant fortegn for funksjonen f.//dvs. for eksempel, hvis vi tar intervallet (0; 3), så er det ikke et intervall med konstant fortegn for denne funksjonen.
I matematikk, når du søker etter intervaller med konstant fortegn for en funksjon, er det vanlig å angi intervaller med maksimal lengde. //De. intervallet (2; 3) er intervall for tegnkonstans funksjon f, men svaret skal inkludere intervallet [ 4.5; 3) som inneholder intervallet (2; 3).
3. Hvis du beveger deg langs x-aksen fra 4,5 til 2, vil du legge merke til at funksjonsgrafen går ned, det vil si at funksjonsverdiene synker. //I matematikk er det vanlig å si at på intervallet [ 4.5; 2] reduseres funksjonen.
Når x øker fra 2 til 0, går grafen til funksjonen opp, dvs. funksjonsverdiene øker. //I matematikk er det vanlig å si at på intervallet [ 2; 0] funksjonen øker.
En funksjon f kalles hvis for to av to verdier av argumentet x1 og x2 fra dette intervallet slik at x2 > x1, ulikheten f (x2) > f (x1) gjelder. // eller funksjonen kalles øker over et visst intervall, hvis for noen verdier av argumentet fra dette intervallet, tilsvarer en større verdi av argumentet en større verdi av funksjonen.//dvs. jo flere x, jo mer y.
Funksjonen f kalles avtar over et visst intervall, hvis for noen av to verdier av argumentet x1 og x2 fra dette intervallet slik at x2 > x1, ulikheten f(x2) avtar på et eller annet intervall, hvis for noen verdier av argumentet fra dette intervallet den største verdien av argumentet tilsvarer den minste verdien av funksjonen. //de. jo mer x, jo mindre y.
Hvis en funksjon øker over hele definisjonsdomenet, kalles den økende.
Hvis en funksjon avtar over hele definisjonsdomenet, kalles den minkende.
Eksempel 1. graf over henholdsvis økende og minkende funksjoner.
Eksempel 2.
Definer fenomenet. Er den lineære funksjonen f(x) = 3x + 5 økende eller avtagende?
Bevis. La oss bruke definisjonene. La x1 og x2 være vilkårlige verdier av argumentet, og x1< x2., например х1=1, х2=7
Avsnittet inneholder referansemateriale om de viktigste elementære funksjonene og deres egenskaper. En klassifisering av elementære funksjoner er gitt. Nedenfor er lenker til underavsnitt som diskuterer egenskapene til spesifikke funksjoner - grafer, formler, deriverte, antiderivater (integraler), serieutvidelser, uttrykk gjennom komplekse variabler.
Referansesider for grunnleggende funksjoner
Klassifisering av elementære funksjoner
Algebraisk funksjon er en funksjon som tilfredsstiller ligningen:
,
hvor er et polynom i den avhengige variabelen y og den uavhengige variabelen x. Det kan skrives som:
,
hvor er polynomer.
Algebraiske funksjoner er delt inn i polynomer (hele rasjonelle funksjoner), rasjonelle funksjoner og irrasjonelle funksjoner.
Hele rasjonelle funksjonen, som også kalles polynom eller polynom, er hentet fra variabelen x og et endelig antall tall ved å bruke de aritmetiske operasjonene addisjon (subtraksjon) og multiplikasjon. Etter å ha åpnet parentesene, reduseres polynomet til kanonisk form:
.
Brøkdel rasjonell funksjon, eller rett og slett rasjonell funksjon, er hentet fra variabelen x og et endelig antall tall ved å bruke de aritmetiske operasjonene addisjon (subtraksjon), multiplikasjon og divisjon. Den rasjonelle funksjonen kan reduseres til formen
,
hvor og er polynomer.
Irrasjonell funksjon er en algebraisk funksjon som ikke er rasjonell. Som regel forstås en irrasjonell funksjon som røtter og deres sammensetninger med rasjonelle funksjoner. En rot av grad n er definert som løsningen til ligningen
.
Den er utpekt som følger:
.
Transcendentale funksjoner kalles ikke-algebraiske funksjoner. Disse er eksponentielle, trigonometriske, hyperbolske og deres inverse funksjoner.
Oversikt over grunnleggende elementære funksjoner
Alle elementære funksjoner kan representeres som et endelig antall addisjons-, subtraksjons-, multiplikasjons- og divisjonsoperasjoner utført på et uttrykk av formen:
z t.
Inverse funksjoner kan også uttrykkes i form av logaritmer. De grunnleggende elementære funksjonene er listet opp nedenfor.
Strøm funksjon:
y(x) = xp,
hvor p er eksponenten. Det avhenger av grunnlaget for graden x.
Det omvendte av kraftfunksjonen er også kraftfunksjonen:
.
For en heltalls ikke-negativ verdi av eksponenten p, er det et polynom. For en heltallsverdi p - en rasjonell funksjon. Med en rasjonell mening - en irrasjonell funksjon.
Transcendentale funksjoner
Eksponentiell funksjon:
y(x) = a x ,
hvor a er basis for graden. Det avhenger av eksponenten x.
Den inverse funksjonen er logaritmen for å basere a:
x = logg et y.
Eksponent, e til x potens:
y(x) = e x ,
Dette er en eksponentiell funksjon hvis deriverte er lik selve funksjonen:
.
Grunnlaget for eksponenten er tallet e:
≈ 2,718281828459045...
.
Invers funksjon - naturlig logaritme - logaritme til base e:
x = ln y ≡ log e y.
Trigonometriske funksjoner:
Sinus: ;
Cosinus: ;
Tangent: ;
Kotangens: ;
Her er i den imaginære enheten, i 2 = -1.
Inverse trigonometriske funksjoner:
Arcsinus: x = arcsin y,
;
Arc cosinus: x = arccos y,
;
Arktangens: x = arctan y,
;
Buetangens: x = arcctg y,
.
Grenser og kontinuitet
Settene
Under mange forstås som en samling av homogene objekter. Objekter som danner et sett kalles elementer eller prikker av denne mengden. Sett er merket med store bokstaver og elementene deres med små bokstaver. Hvis en er en del av settet EN, så brukes oppføringen enÎ EN. Hvis b er ikke en del av settet EN, så er det skrevet slik: b Ï EN. Et sett som ikke inneholder et enkelt element kalles et tomt sett og betegnes som følger: Ø.
Hvis settet B består av en del av elementene i settet EN eller sammenfaller med det, så settet B kalt delmengde setter og angir BÌ EN.
De to settene kalles lik, hvis de består av de samme elementene.
assosiasjon to sett EN Og B kalt et sett C, bestående av alle elementer som tilhører minst ett av settene: C=ENÈ B.
Ved å krysse to sett EN Og B kalt et sett C, som består av alle elementene som tilhører hvert av disse settene: C=ENÇ B.
Ved forskjell settene EN Og B kalt et sett E EN, som ikke tilhører settet B: .
Supplement settene ENÌ B kalt et sett C, som består av alle elementene i settet B, ikke tilhøre EN.
Mengder hvis elementer er reelle tall kalles numerisk:
Hvori NÌ ZÌ QÌ R, JegÌ R Og R=JegÈ Q.
En haug med X, hvis elementer tilfredsstiller ulikheten kalles segmentet(segment) og er betegnet [ en; b]; ulikhet en<x<b – intervall og er betegnet med (); ulikheter og - halve intervaller og er betegnet med hhv. Du må også ofte forholde deg til uendelige intervaller og halvintervaller: , , , og . Det er praktisk å ringe dem alle med mellomrom .
Intervall, dvs. sett med punkter som tilfredsstiller ulikheten (hvor ), kalles punktets -nabolag en.
Funksjonsbegrepet. Grunnleggende egenskaper til en funksjon
Hvis hvert element x settene X et enkelt element er matchet y settene Y, så sier de det på settet X gitt funksjon y=f(x). Hvori x kalt uavhengig variabel eller argument, A y – avhengig variabel eller funksjon, A f betegner korrespondanseloven. En haug med X kalt definisjonsdomene funksjoner og et sett Y – rekke verdier funksjoner.
Det er flere måter å spesifisere funksjoner på.
1) Analytisk metode - funksjonen er gitt av en formel av skjemaet y=f(x).
2) Tabellmetode - funksjonen er spesifisert av en tabell som inneholder argumentverdiene og de tilsvarende funksjonsverdiene y=f(x).
3) Grafisk metode - skildrer en graf av en funksjon, dvs. sett med punkter ( x; y) koordinatplan, hvis abscisse representerer verdiene til argumentet, og ordinatene representerer de tilsvarende verdiene til funksjonen y=f(x).
4) Verbal metode - en funksjon er beskrevet av regelen for dens sammensetning. For eksempel tar Dirichlet-funksjonen verdien 1 if x er et rasjonelt tall og 0 hvis x– irrasjonelt tall.
Følgende hovedegenskaper til funksjoner skilles ut.
1 Partall og oddetall Funksjon y=f(x) er kalt til og med, hvis for noen verdier x fra sitt definisjonsdomene er oppfylt f(–x)=f(x), Og merkelig, Hvis f(–x)=–f(x). Hvis ingen av de oppførte likestillingene er oppfylt, da y=f(x) er kalt generell funksjon. Grafen til en jevn funksjon er symmetrisk om aksen Oy, og grafen til oddetallsfunksjonen er symmetrisk om opprinnelsen.
2 Monotoni Funksjon y=f(x) er kalt økende (minkende) på intervallet X, hvis en større argumentverdi fra dette intervallet tilsvarer en større (mindre) funksjonsverdi. La x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 . Da øker funksjonen på intervallet X, Hvis f(x 2)>f(x 1), og reduserer if f(x 2)<f(x 1).
Sammen med økende og minkende funksjoner vurderes ikke-minkende og ikke-økende funksjoner. Funksjonen kalles ikke synkende (ikke økende), hvis kl x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 ulikhet holder f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).
Økende og minkende funksjoner, samt ikke-økende og ikke-minkende funksjoner kalles monotone.
3 Begrenset Funksjon y=f(x) kalles avgrenset på intervallet X, hvis det er et slikt positivt tall M>0, hva | f(x)|≤M for alle xÎ X. Ellers sies funksjonen å være ubegrenset X.
4 Frekvens Funksjon y=f(x) kalles periodisk med punktum T≠0, hvis for noen x fra funksjonens domene f(x+T)=f(x). I det følgende mener vi med periode den minste positive perioden til en funksjon.
Funksjonen kalles eksplisitt, hvis det er gitt av en formel av skjemaet y=f(x). Hvis funksjonen er gitt av ligningen F(x, y)=0, ikke tillatt i forhold til den avhengige variabelen y, da heter det implisitt.
La y=f(x) er en funksjon av den uavhengige variabelen definert på settet X med rekkevidde Y. La oss matche hver enkelt yÎ Y enkelt betydning xÎ X, ved hvilken f(x)=y.Deretter den resulterende funksjonen x=φ (y), definert på settet Y med rekkevidde X, kalt omvendt og er utpekt y=f –1 (x). Grafene for gjensidig inverse funksjoner er symmetriske med hensyn til halveringslinjen til det første og tredje koordinatkvartalet.
La funksjonen y=f(u) er en funksjon av en variabel u, definert på settet U med rekkevidde Y, og variabelen u i sin tur er en funksjon u=φ (x), definert på settet X med rekkevidde U. Deretter gitt på settet X funksjon y=f(φ (x)) er kalt kompleks funksjon(sammensetning av funksjoner, superposisjon av funksjoner, funksjon av en funksjon).
Elementære funksjoner
De viktigste elementære funksjonene inkluderer:
- strømfunksjon y=x n; y=x–n Og y=x 1/ n;
- eksponentiell funksjon y=en x;
- logaritmisk funksjon y=logg en x;
- trigonometriske funksjoner y= synd x, y=cos x, y=tg x Og y=ctg x;
- inverse trigonometriske funksjoner y= arcsin x, y=arccos x, y=arctg x Og y=arcctg x.
Fra de grunnleggende elementære funksjonene kan nye funksjoner oppnås ved bruk av algebraiske operasjoner og superposisjon av funksjoner.
Funksjoner konstruert fra grunnleggende elementære funksjoner ved bruk av et endelig antall algebraiske operasjoner og et begrenset antall superposisjonsoperasjoner kalles elementært.
Algebraisk er en funksjon der et begrenset antall algebraiske operasjoner utføres på argumentet. Algebraiske funksjoner inkluderer:
· en hel rasjonell funksjon (polynom eller polynom)
· brøk-rasjonell funksjon (forholdet mellom to polynomer)
· irrasjonell funksjon (hvis operasjonene på argumentet inkluderer å trekke ut roten).
Enhver ikke-algebraisk funksjon kalles transcendental. Transcendentale funksjoner inkluderer eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske og inverse trigonometriske funksjoner.
Russisk gymsal
ABSTRAKT
Fullført
elev av klasse 10 "F" Burmistrov Sergey
Veileder
matematikklærer
Yulina O.A.
Nizhny Novgorod
Funksjon og dens egenskaper
Funksjon- variabel avhengighet på fra variabel x , hvis hver verdi X samsvarer med en enkelt verdi på .
Variabel x- uavhengig variabel eller argument.
Variabel y- avhengig variabel
Funksjonsverdi- betydning på, tilsvarende den angitte verdien X .
Omfanget av funksjonen er alle verdiene som den uavhengige variabelen tar.
Funksjonsområde (sett med verdier) - alle verdiene som funksjonen godtar.
Funksjonen er jevn- hvis for noen X f(x)=f(-x)
Funksjonen er rar- hvis for noen X fra definisjonsdomenet til funksjonen likheten f(-x)=-f(x)
Økende funksjon- hvis for noen x 1 Og x 2, slik at x 1
<
x 2, ulikheten holder f(
x 1
)
Reduserende funksjon- hvis for noen x 1 Og x 2, slik at x 1 < x 2, ulikheten holder f( x 1 )>f( x 2 )
Metoder for å spesifisere en funksjon
¨ For å definere en funksjon, må du spesifisere en måte som, for hver argumentverdi, den tilsvarende funksjonsverdien kan bli funnet. Den vanligste måten å spesifisere en funksjon på er å bruke en formel på =f(x), Hvor f(x)- uttrykk med en variabel X. I dette tilfellet sier de at funksjonen er gitt av en formel eller at funksjonen er gitt analytisk.
¨ I praksis brukes det ofte tabell måte å spesifisere en funksjon. Med denne metoden blir det gitt en tabell som indikerer funksjonsverdiene for argumentverdiene som er tilgjengelige i tabellen. Eksempler på tabellfunksjoner er en tabell med kvadrater og en tabell med kuber.
Typer funksjoner og deres egenskaper
1) Konstant funksjon- funksjon gitt av formel y= b , Hvor b- et eller annet nummer. Grafen til konstantfunksjonen y=b er en rett linje parallelt med abscisseaksen og går gjennom punktet (0;b) på ordinataksen
2) Direkte proporsjonalitet - funksjon gitt av formel y= kx , hvor k¹0. Antall k kalt proporsjonalitetsfaktor .
Funksjonsegenskaper y=kx :
1. Domenet til en funksjon er mengden av alle reelle tall
2. y=kx- merkelig funksjon
3. Når k>0 øker funksjonen, og når k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Lineær funksjon- funksjon, som er gitt av formelen y=kx+b, Hvor k Og b - reelle tall. Hvis spesielt k=0, da får vi en konstant funksjon y=b; Hvis b=0, da får vi direkte proporsjonalitet y=kx .
Funksjonsegenskaper y=kx+b :
1. Domene - settet av alle reelle tall
2. Funksjon y=kx+b generell form, dvs. verken partall eller rart.
3. Når k>0 øker funksjonen, og når k<0 убывает на всей числовой прямой
Grafen til funksjonen er rett .
4)Omvendt proporsjonalitet- funksjon gitt av formel y=k /X, hvor k¹0 Tall k kalt koeffisient for invers proporsjonalitet.
Funksjonsegenskaper y=k / x:
1. Domene - settet av alle reelle tall unntatt null
2. y=k / x - merkelig funksjon
3. Hvis k>0, reduseres funksjonen på intervallet (0;+¥) og på intervallet (-¥;0). Hvis k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Grafen til funksjonen er hyperbel .
5)Funksjon y=x2
Funksjonsegenskaper y=x2:
2. y=x2 - jevn funksjon
3. På intervallet reduseres funksjonen
Grafen til funksjonen er parabel .
6)Funksjon y=x 3
Funksjonsegenskaper y=x 3:
1. Definisjonsdomene - hele tallinjen
2. y=x 3 - merkelig funksjon
3. Funksjonen øker langs hele tallinjen
Grafen til funksjonen er kubikk parabel
7)Power funksjon med naturlig eksponent - funksjon gitt av formel y=xn, Hvor n- naturlig tall. Når n=1 får vi funksjonen y=x, blir dens egenskaper diskutert i avsnitt 2. For n=2;3 får vi funksjonene y=x 2 ; y=x 3. Egenskapene deres er omtalt ovenfor.
La n være et vilkårlig partall større enn to: 4,6,8... I dette tilfellet er funksjonen y=xn har samme egenskaper som funksjonen y=x 2. Grafen til funksjonen ligner en parabel y=x 2, bare grenene til grafen for |x|>1 stiger brattere jo større n, og for |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
La n være et vilkårlig oddetall større enn tre: 5,7,9... I dette tilfellet er funksjonen y=xn har samme egenskaper som funksjonen y=x 3 . Grafen til funksjonen ligner en kubisk parabel.
8)Potensfunksjon med negativ heltallseksponent - funksjon gitt av formel y=x -n , Hvor n- naturlig tall. For n=1 får vi y=1/x egenskapene til denne funksjonen er diskutert i avsnitt 4.
La n være et oddetall større enn én: 3,5,7... I dette tilfellet er funksjonen y=x -n har stort sett de samme egenskapene som funksjonen y=1/x.
La n være et partall, for eksempel n=2.
Funksjonsegenskaper y=x -2 :
1. Funksjonen er definert for alle x¹0
2. y=x -2 - jevn funksjon
3. Funksjonen reduseres med (0;+¥) og økes med (-¥;0).
Alle funksjoner med enda n større enn to har de samme egenskapene.
9)Funksjon y= Ö X
Funksjonsegenskaper y= Ö X :
1. Definisjonsdomene - stråle)