23. Begrepet differensialfunksjon. Egenskaper. Påføring av differensial i ca.y beregninger.
Konseptet med differensialfunksjon
La funksjonen y=ƒ(x) ha en derivert som ikke er null i punktet x.
Så, i henhold til teoremet om sammenhengen mellom en funksjon, dens grense og en infinitesimal funksjon, kan vi skrive у/х=ƒ"(x)+α, der α→0 ved ∆х→0, eller ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.
Dermed er inkrementet til funksjonen ∆у summen av to ledd ƒ"(x) ∆x og a ∆x, som er uendelig for ∆x→0. I dette tilfellet er det første leddet uendelig liten funksjon av samme rekkefølge som ∆х, siden 
og det andre leddet er en uendelig funksjon av mer høy orden, enn ∆х:
Derfor kalles det første leddet ƒ"(x) ∆x hoveddelen av økningen funksjoner ∆у.
Funksjonsdifferensial y=ƒ(x) i punktet x kalles hoveddelen av inkrementet, lik produktet av den deriverte av funksjonen og inkrementet til argumentet, og er betegnet dу (eller dƒ(x)):
dy=ƒ"(x) ∆х. (1)
Dу differensial kalles også første ordens differensial. La oss finne differensialen til den uavhengige variabelen x, dvs. differensialen til funksjonen y=x.
Siden y"=x"=1, i henhold til formel (1), har vi dy=dx=∆x, dvs. differensialen til den uavhengige variabelen lik økning denne variabelen: dх=∆х.
Derfor kan formel (1) skrives som følger:
dy=ƒ"(х)dх, (2)
med andre ord, differensialen til en funksjon er lik produktet av den deriverte av denne funksjonen og differensialen til den uavhengige variabelen.
Fra formel (2) følger likheten dy/dx=ƒ"(x). Nå notasjonen
den deriverte dy/dx kan betraktes som forholdet mellom differensialene dy og dx.
Differensialhar følgende hovedegenskaper.
1. d(Med)=0.
2. d(u+w-v)= du+dw-dv.
3. d(uv)=du·v+u·dv.
d(Medu)=Medd(u).
4. 
.
5. y= f(z), , ,
Formen til differensialen er invariant (uforanderlig): den er alltid lik produktet avledet av en funksjon ved differensialen til argumentet, uavhengig av om argumentet er enkelt eller komplekst.
Bruke differensial til omtrentlige beregninger
Som allerede kjent kan inkrementet ∆у til funksjonen у=ƒ(x) i punkt x representeres som ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, hvor α→0 ved ∆х→0, eller ∆у= dy+α ∆х Hvis vi forkaster den uendelige α ∆х av høyere orden enn ∆х, får vi en omtrentlig likhet.
∆y≈dy, (3)
Dessuten er denne likheten mer nøyaktig, jo mindre ∆х.
Denne likheten lar oss omtrent beregne økningen til enhver differensierbar funksjon med stor nøyaktighet.
Differensialet er vanligvis mye enklere å finne enn inkrementet til en funksjon, så formel (3) er mye brukt i databehandling.
24. Antiderivative funksjon og ubestemtintegral.
KONSEPTET OM EN PRIMITIV FUNKSJON OG ET SKADELIG INTEGRAL
Funksjon F (X) er kalt antiderivative funksjon for denne funksjonen f (X) (eller kort sagt, antiderivat denne funksjonen f (X)) på et gitt intervall, hvis på dette intervallet . Eksempel. Funksjonen er en antiderivert av funksjonen på hele tallaksen, siden for evt X. Legg merke til at, sammen med en funksjon, er en antiderivativ for en hvilken som helst funksjon av formen , hvor MED- vilkårlig konstant antall(dette følger av at den deriverte av en konstant er null). Denne egenskapen gjelder også i det generelle tilfellet.
Teorem 1. Hvis og er to antiderivater for funksjonen f
(X) i et visst intervall, så er forskjellen mellom dem i dette intervallet lik et konstant tall. Fra denne teoremet følger det at hvis noe antiderivat er kjent F (X) av denne funksjonen f
(X), deretter hele settet med antiderivater for f
(X) er oppbrukt av funksjoner F (X)
+ MED. Uttrykk F (X)
+ MED, Hvor F (X)
- antiderivat av funksjon f
(X) Og MED- en vilkårlig konstant, kalt ubestemt integral
fra funksjon f
(X) og er merket med symbolet, og f
(X) er kalt integrand funksjon
;
- integrand
,
X - integrasjonsvariabel
;
∫
-
tegn på det ubestemte integralet
. Altså per definisjon 
Hvis . Spørsmålet oppstår: for alle
funksjoner f
(X) finnes det et antiderivat, og derfor en ubestemt integral? Teorem 2. Hvis funksjonen f
(X) kontinuerlige
på [ en ; b], deretter på dette segmentet for funksjonen f
(X) det er et antiderivat
. Nedenfor vil vi snakke om antiderivater bare for kontinuerlige funksjoner. Derfor eksisterer integralene vi tar for oss senere i denne delen.
25. Egenskaper til ubestemtOgintegrert. Integrals fra grunnleggende elementære funksjoner.
Egenskaper til det ubestemte integralet
I formlene nedenfor f Og g- variable funksjoner x, F- antiderivat av funksjon f, a, k, C- konstante verdier.
Integraler av elementære funksjoner
Liste over integraler fra rasjonelle funksjoner
(antideriverten av null er en konstant; innenfor alle integrasjonsgrenser er integralet av null lik null)
Liste over integraler av logaritmiske funksjoner
Liste over integraler av eksponentielle funksjoner
Liste over integraler fra irrasjonelle funksjoner
("lang logaritme")
liste over integraler av trigonometriske funksjoner , liste over integraler av inverse trigonometriske funksjoner
26. Substitusjonsmetodes variabel, metode for integrering av deler i det ubestemte integral.
Variabel erstatningsmetode (substitusjonsmetode)
Metoden for integrasjon ved substitusjon innebærer å introdusere en ny integrasjonsvariabel (det vil si substitusjon). I dette tilfellet reduseres det gitte integralet til et nytt integral, som er tabellformet eller reduserbart til det. Vanlige metoder det er ikke noe utvalg av erstatninger. Evnen til riktig å bestemme substitusjon oppnås gjennom praksis.
Konseptet med differensial
La funksjonen y = f(x) er differensierbar for en eller annen verdi av variabelen x. Derfor, på punktet x det er en endelig avledet
Deretter, per definisjon av grensen for en funksjon, forskjellen
er en uendelig verdi ved . Ved å uttrykke økningen av funksjonen fra likhet (1), får vi
(2)
(verdien er ikke avhengig av , dvs. forblir konstant på ).
Hvis , så på høyre side av likhet (2) er det første leddet lineært med hensyn til . Derfor, når
den er uendelig i samme størrelsesorden som . Det andre leddet er et infinitesimal av en høyere størrelsesorden enn det første, siden forholdet deres har en tendens til null som
Derfor sier de at det første leddet i formel (2) er den viktigste, relativt lineære delen av inkrementet til funksjonen; jo mindre , jo større andel av økningen denne delen utgjør. Derfor, for små verdier (og for ) kan inkrementet til funksjonen omtrent erstattes av hoveddel, dvs.
Dette hoveddeløkningen til en funksjon kalles differensialen til den gitte funksjonen i punktet x og betegne
Derfor,
(5)
Så differensialen til funksjonen y = f(x) er lik produktet av dens deriverte og økningen av den uavhengige variabelen.
Kommentar. Det må huskes at hvis x– original argumentverdi,
Den inkrementerte verdien, deretter den deriverte i differensialuttrykket tas inn Utgangspunktet x; i formel (5) er dette tydelig fra posten, i formel (4) er det ikke det.
Differensialet til en funksjon kan skrives i en annen form:
Geometrisk betydning differensial. Funksjonsdifferensial y = f(x) er lik økningen av ordinaten til tangenten trukket til grafen til denne funksjonen ved punktet ( x; y), når den endres x etter beløpet.
Differensielle egenskaper. Invarians av differensiell form
I dette og de neste avsnittene vil vi vurdere hver av funksjonene som differensierbare for alle betraktede verdier av argumentene.
Differensialen har egenskaper som ligner på derivatet:
(Med - konstant) (8)
(9)
(10)
(12)
Formler (8) – (12) fås fra de tilsvarende formlene for den deriverte ved å multiplisere begge sider av hver likhet med .
Vurder differensialen kompleks funksjon. La være en kompleks funksjon:
Differensial
denne funksjonen, ved å bruke formelen for den deriverte av en kompleks funksjon, kan skrives i formen
Men det er en differensialfunksjon, altså
(13)
Her skrives differensialen i samme form som i formel (7), selv om argumentet ikke er en uavhengig variabel, men en funksjon. Derfor er det å uttrykke differensialen til en funksjon som produktet av den deriverte av denne funksjonen og differensialen til argumentet gyldig uavhengig av om argumentet er en uavhengig variabel eller en funksjon av en annen variabel. Denne egenskapen kalles invarians(invarians) av differensialformen.
Vi understreker at i formel (13) ikke kan erstattes av , siden
for alle funksjoner unntatt lineær.
Eksempel 2. Skriv differensialen til funksjonen
på to måter, og uttrykker det: gjennom differensialen til den mellomliggende variabelen og gjennom differensialen til variabelen x. Kontroller samsvaret mellom de resulterende uttrykkene.
Løsning. La oss sette
og differensialen vil bli skrevet i skjemaet
Erstatter i denne likheten
Vi får
Anvendelse av differensial i omtrentlige beregninger
Den omtrentlige likestillingen fastsatt i første ledd
lar deg bruke en differensial for omtrentlige beregninger av funksjonsverdier.
La oss skrive ned den omtrentlige likheten mer detaljert. Fordi
Eksempel 3. Bruk begrepet differensial, beregn omtrent ln 1.01.
Løsning. Tallet ln 1.01 er en av verdiene til funksjonen y= logg x. Formel (15) tommer i dette tilfellet vil ta formen
Derfor,
som er en veldig god tilnærming: tabellverdi ln 1,01 = 0,0100.
Eksempel 4. Bruk begrepet differensial, beregn ca
Løsning. Antall
er en av funksjonsverdiene
Siden den deriverte av denne funksjonen
da vil formel (15) ta formen
vi får
(tabellverdi
).
Ved å bruke den omtrentlige verdien av et tall, må du kunne bedømme graden av nøyaktigheten. For dette formålet er det absolutt og relativ feil.
Den absolutte feilen til det omtrentlige tallet er absolutt verdi forskjellen mellom det nøyaktige tallet og dets omtrentlige verdi:
Den relative feilen til et omtrentlig tall er forholdet mellom den absolutte feilen til dette tallet og den absolutte verdien av det tilsvarende nøyaktige tallet:
Multiplisere med 4/3, finner vi
Tar tabellverdien til roten
for det nøyaktige tallet estimerer vi ved å bruke formlene (16) og (17) de absolutte og relative feilene til den omtrentlige verdien:
I analogi med lineariseringen av en funksjon av en variabel, når man omtrent beregner verdiene til en funksjon av flere variabler som er differensierbar på et bestemt punkt, kan man erstatte inkrementet med en differensial. Dermed kan du finne den omtrentlige verdien av en funksjon av flere (for eksempel to) variabler ved å bruke formelen:
Eksempel.
Beregn omtrentlig verdi.
Vurder funksjonen 
og velg x 0 = 1, y 0 = 2. Deretter Δ x = 1,02 – 1 = 0,02; Δ y = 1,97 – 2 = -0,03. Vi finner 
,
Derfor, gitt det f ( 1, 2) = 3, vi får:
Differensiering av komplekse funksjoner.
La funksjonen argumentere z = f (x, y) er i sin tur funksjoner av variabler u Og v: x = x (u, v), y = y (u, v). Deretter funksjonen f det er også en funksjon fra u Og v. La oss finne ut hvordan du finner dens partielle derivater med hensyn til argumentene u Og v, uten å gjøre en direkte erstatning
z = f (x(u, v), y(u, v)). I dette tilfellet vil vi anta at alle funksjonene som vurderes har partielle deriverte med hensyn til alle deres argumenter.
La oss sette argumentet uøke Δu, uten å endre argumentasjonen v. Deretter
Hvis du setter økningen kun til argumentet v, vi får: . (2.8)
La oss dele begge sider av likhet (2.7) med Δ u, og likheter (2.8) – på Δ v og flytte til grensen, henholdsvis ved Δ u→ 0 og Δ v→ 0. La oss ta hensyn til det på grunn av kontinuiteten til funksjoner X Og på. Derfor,
La oss vurdere noen spesielle tilfeller.
La x = x(t), y = y(t). Deretter funksjonen f(x,y) er faktisk en funksjon av én variabel t, og det er mulig å bruke formler (2.9) og erstatte de partielle derivatene i dem X Og på Av u Og v til vanlige derivater mht t(selvfølgelig forutsatt at funksjonene er differensierbare x(t) Og y(t)), få et uttrykk for:
(2.10)
La oss nå anta at som t fungerer som en variabel X, det er X Og på knyttet til relasjonen y = y(x). I dette tilfellet, som i forrige tilfelle, funksjonen f er en funksjon av én variabel X. Ved å bruke formel (2.10) med t = x og tar vi i betraktning det, får vi det
. (2.11)
La oss ta hensyn til det faktum at denne formelen inneholder to derivater av funksjonen f ved argument X: til venstre er den såkalte totalt derivat, i motsetning til den private til høyre.
Eksempler.
1. La z = xy, Hvor x = u² + v, y = uv². La oss finne og. For å gjøre dette, beregner vi først de partielle deriverte av tre spesifiserte funksjoner for hvert av argumentene:
Så fra formel (2.9) får vi: 
(I sluttresultatet erstatter vi uttrykk for X Og på som funksjoner u Og v).
2. Finn den totale deriverte av funksjonen z = synd ( x+y²), hvor y= cos x.
Invarians av formen til differensialen.
Ved å bruke formlene (2.5) og (2.9) uttrykker vi full differensial funksjoner z = f (x, y), Hvor x = x(u,v), y = y(u,v), gjennom differensialer av variabler u Og v:
(2.12)
Derfor er differensialformen bevart for argumenter u Og v samme som for funksjonene til disse argumentene X Og på, det vil si invariant(uforanderlig).
Implisitte funksjoner, betingelser for deres eksistens. Differensiering av implisitte funksjoner. Partielle derivater og differensialer av høyere orden, deres egenskaper.
Definisjon 3.1. Funksjon på fra X, definert av ligningen
F(x,y)= 0 , (3.1)
kalt implisitt funksjon.
Selvfølgelig er det ikke hver ligning på formen (3.1) som bestemmer på som en unik (og dessuten kontinuerlig) funksjon av X. For eksempel ellipselikningen
settene på som en to-verdi funksjon av X: 
Til
Forutsetninger for eksistensen av en unik og kontinuerlig implisitt funksjon bestemmes av følgende teorem:
Teorem 3.1(ingen bevis). La være:
1) funksjon F(x,y) definert og kontinuerlig i et visst rektangel sentrert ved punktet ( x 0, y 0);
2) F (x 0 , y 0) = 0 ;
3) ved konstant xF(x,y) monotont øker (eller avtar) med økende på.
a) i et eller annet område av punktet ( x 0, y 0) ligning (3.1) definerer på som en enkeltverdi funksjon av X: y = f(x);
flaggermus x = x 0 denne funksjonen tar verdien y 0 : f (x 0) = y 0;
c) funksjon f(x) kontinuerlige.
La oss finne, hvis de spesifiserte betingelsene er oppfylt, den deriverte av funksjonen y = f(x) Av X.
Teorem 3.2. La funksjonen på fra X er gitt implisitt av ligning (3.1), hvor funksjonen F(x,y) tilfredsstiller betingelsene i teorem 3.1. La i tillegg 
- kontinuerlige funksjoner i et eller annet område D, som inneholder et punkt (x,y), hvis koordinater tilfredsstiller ligning (3.1), og på dette punktet . Deretter funksjonen på fra X har et derivat
I analogi med lineariseringen av en funksjon av en variabel, når man omtrent beregner verdiene til en funksjon av flere variabler som er differensierbar på et bestemt punkt, kan man erstatte inkrementet med en differensial. Dermed kan du finne den omtrentlige verdien av en funksjon av flere (for eksempel to) variabler ved å bruke formelen:
Eksempel.
Beregn omtrentlig verdi 
.
Vurder funksjonen 
og velg X 0
=
1, på 0
=
2. Deretter Δ x = 1,02 – 1 = 0,02; Δ y = 1,97 – 2 = -0,03. Vi finner 
,
Derfor, gitt det f
( 1, 2) = 3, vi får:
Differensiering av komplekse funksjoner.
La funksjonen argumentere z = f (x, y) u Og v: x = x (u, v), y = y (u, v). Deretter funksjonen f det er også en funksjon fra u Og v. La oss finne ut hvordan du finner dens partielle derivater med hensyn til argumentene u Og v, uten å gjøre en direkte erstatning
z = f (x(u, v), y(u, v)). I dette tilfellet vil vi anta at alle funksjonene som vurderes har partielle deriverte med hensyn til alle deres argumenter.
La oss sette argumentet uøke Δ u, uten å endre argumentasjonen v. Deretter
Hvis du setter inkrementet kun til argumentet v, vi får: .
(2.8) u La oss dele begge sider av likhet (2.7) med Δ v, og likheter (2.8) – på Δ u→ og flytte til grensen, henholdsvis ved Δ v→ 0 og Δ X Og på. Derfor,
La oss vurdere noen spesielle tilfeller.
La
x
=
x(t),
y
=
y(t).
Deretter funksjonen f
(x,
y)
er faktisk en funksjon av én variabel t, og det er mulig å bruke formler (2.9) og erstatte partielle derivater i dem X Og på Av u
Og v til vanlige derivater mht t(selvfølgelig forutsatt at funksjonene er differensierbare x(t)
Og
y(t)
), få uttrykket for 
:
(2.10)
La oss nå anta at som t fungerer som en variabel X, det er X Og på knyttet til relasjonen y = y (x). I dette tilfellet, som i forrige tilfelle, funksjonen f er en funksjon av én variabel X. Ved å bruke formel (2.10) med t
=
x
og gitt det 
, det skjønner vi
.
(2.11)
La oss ta hensyn til det faktum at denne formelen inneholder to derivater av funksjonen f ved argument X: til venstre er den såkalte totalt derivat, i motsetning til den private til høyre.
Eksempler.
Så fra formel (2.9) får vi: 
(I sluttresultatet erstatter vi uttrykk med X Og på som funksjoner u Og v).
La oss finne den fullstendige deriverte av funksjonen z = synd( x + y²), hvor y = cos x.
Invarians av formen til differensialen.
Ved å bruke formlene (2.5) og (2.9) uttrykker vi den totale differensialen til funksjonen z = f (x, y) , Hvor x = x(u, v), y = y(u, v), gjennom differensialer av variabler u Og v:
(2.12)
Derfor er differensialformen bevart for argumenter u Og v samme som for funksjonene til disse argumentene X Og på, det vil si invariant(uforanderlig).
Implisitte funksjoner, betingelser for deres eksistens. Differensiering av implisitte funksjoner. Partielle derivater og differensialer av høyere orden, deres egenskaper.
Definisjon 3.1. Funksjon på fra X, definert av ligningen
F(x,y)= 0 , (3.1)
kalt implisitt funksjon.
Selvfølgelig er det ikke hver ligning på formen (3.1) som bestemmer på som en unik (og dessuten kontinuerlig) funksjon av X. For eksempel ellipsens ligning
settene på som en to-verdi funksjon av X:
Til 
Betingelsene for eksistensen av en unik og kontinuerlig implisitt funksjon bestemmes av følgende teorem:
Teorem 3.1 (ingen bevis). La være:
a) i et eller annet nabolag av punktet ( X 0 , y 0 ) ligning (3.1) definerer på som en enkeltverdi funksjon av X: y = f(x) ;
flaggermus x = x 0 denne funksjonen tar verdien på 0 : f (x 0 ) = y 0 ;
c) funksjon f (x) kontinuerlige.
La oss finne, hvis de spesifiserte betingelsene er oppfylt, den deriverte av funksjonen y = f (x) Av X.
Teorem 3.2.
La funksjonen på fra X er gitt implisitt av ligning (3.1), hvor funksjonen F
(x,
y)
tilfredsstiller betingelsene i teorem 3.1. La i tillegg 
- kontinuerlige funksjoner på enkelte områder D som inneholder et punkt (x,y), hvis koordinater tilfredsstiller ligning (3.1), og på dette punktet 
. Deretter funksjonen på fra X har et derivat
(3.2)
Eksempel. Vi finner 
, Hvis 
. Vi finner 
,
.
Så fra formel (3.2) får vi: 
.
Derivater og differensialer av høyere orden.
Partielle deriverte funksjoner z = f (x, y) er i sin tur funksjoner av variabler X Og på. Derfor kan man finne deres partielle derivater med hensyn til disse variablene. La oss utpeke dem slik:
Dermed oppnås fire partielle derivater av 2. orden. Hver av dem kan differensieres igjen i henhold til X og av på og få åtte partielle deriverte av 3. orden osv. La oss definere derivater av høyere ordener som følger:
Definisjon 3.2.Delvis avledetn -te orden en funksjon av flere variabler kalles den første deriverte av den deriverte ( n– 1) orden.
Partielle derivater har viktig eiendom: resultatet av differensiering avhenger ikke av rekkefølgen av differensiering (f.eks. 
). La oss bevise denne uttalelsen.
Teorem 3.3.
Hvis funksjonen z
=
f
(x,
y)
og dets partielle derivater 
definert og kontinuerlig på et punkt M(x,y) og i noe av dens nærhet, så på dette tidspunktet
(3.3)
Konsekvens. Denne egenskapen gjelder for deriverte av hvilken som helst rekkefølge og for funksjoner av et hvilket som helst antall variabler.