Det er 7 grader. Argument og mening

Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Først av alt, la meg minne deg på en enkel, men veldig nyttig konklusjon fra leksjonen "Hva er sinus og cosinus" Hva er tangent og cotangens?

Dette er utgangen:

Sinus, cosinus, tangent og cotangens er tett forbundet med vinklene. Vi vet en ting, noe som betyr at vi vet en annen.

Med andre ord har hver vinkel sin egen konstante sinus og cosinus. Og nesten alle har sin egen tangent og cotangens. Hvorfor nesten? Mer om dette nedenfor.

Denne kunnskapen hjelper mye i studiene dine! Det er mange oppgaver hvor du må flytte fra sinus til vinkler og omvendt. For dette er det sinustabell. Tilsvarende, for oppgaver med cosinus - kosinusbord. Og, som du kanskje har gjettet, det er det tangenttabell Og tabell over kotangenter.)

Tabeller er forskjellige. Lange, der du kan se hva for eksempel sin37°6' er lik. Vi åpner Bradis-tabellene, ser etter en vinkel på trettisju grader seks minutter og ser verdien på 0,6032. Det er klart at det absolutt ikke er nødvendig å huske dette tallet (og tusenvis av andre tabellverdier).

I vår tid er det faktisk ikke nødvendig med lange tabeller med cosinus, sinus, tangenter, cotangenter. En god kalkulator erstatter dem fullstendig. Men det skader ikke å vite om eksistensen av slike tabeller. For generell lærdom.)

Og hvorfor da denne leksjonen?! - du spør.

Men hvorfor. Blant det uendelige antallet vinkler som finnes spesiell, som du bør vite om Alle. All skolegeometri og trigonometri er bygget på disse vinklene. Dette er en slags "multiplikasjonstabell" av trigonometri. Hvis du ikke vet hva sin50° er lik, for eksempel, vil ingen dømme deg.) Men hvis du ikke vet hva sin30° er lik, vær forberedt på å få en velfortjent to...

Slik spesiell Vinklene er også ganske gode. Skolebøker tilbyr vanligvis vennligst memorering sinustabell og cosinustabell for sytten vinkler. Og selvfølgelig, tangenttabell og cotangenstabell for de samme sytten vinklene... Dvs. Det foreslås å huske 68 verdier. Som forresten er veldig like hverandre, gjentar seg nå og da og skifter fortegn. For en person uten perfekt visuelt minne, er dette litt av en oppgave...)

Vi tar en annen vei. La oss erstatte utenat utenat med logikk og oppfinnsomhet. Da må vi huske 3 (tre!) verdier for sinustabellen og cosinustabellen. Og 3 (tre!) verdier for tabellen over tangenter og tabellen over kotangenter. Det er alt. Seks verdier er lettere å huske enn 68, ser det ut for meg...)

Vi vil hente alle andre nødvendige verdier fra disse seks ved å bruke et kraftig juridisk jukseark - trigonometrisk sirkel. Hvis du ikke har studert dette emnet, følg lenken, ikke vær lat. Denne sirkelen er ikke bare nødvendig for denne leksjonen. Han er uerstattelig for all trigonometri på en gang. Å ikke bruke et slikt verktøy er rett og slett synd! Vil du ikke? Det er din sak. Husk sinustabell. Tabell over kosinus. Tabell over tangenter. Tabell over cotangenser. Alle 68 verdier for en rekke vinkler.)

Så la oss begynne. Først, la oss dele alle disse spesielle vinklene i tre grupper.

Første gruppe vinkler.

La oss vurdere den første gruppen sytten vinkler spesiell. Dette er 5 vinkler: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Slik ser tabellen over sinus, cosinus, tangenter og cotangenter ut for disse vinklene:

Vinkel x (i grader)	0	90	180	270	360
Vinkel x (i radianer)	0
synd x	0	1	0	-1	0
fordi x	1	0	-1	0	1
tg x	0	substantiv	0	substantiv	0
ctg x	substantiv	0	substantiv	0	substantiv

De som vil huske, husk. Men jeg vil si med en gang at alle disse enerne og nullene blir veldig forvirret i hodet. Mye sterkere enn du ønsker.) Derfor slår vi på logikk og den trigonometriske sirkelen.

Vi tegner en sirkel og markerer de samme vinklene på den: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Jeg merket disse hjørnene med røde prikker:

Det er umiddelbart tydelig hva som er spesielt med disse vinklene. Ja! Dette er vinklene som faller nøyaktig på koordinataksen! Det er faktisk derfor folk blir forvirret... Men vi vil ikke bli forvirret. La oss finne ut hvordan du finner trigonometriske funksjoner til disse vinklene uten mye memorering.

Vinkelposisjonen er forresten 0 grader helt sammenfallende med en 360 graders vinkelposisjon. Dette betyr at sinus, cosinus og tangens til disse vinklene er nøyaktig de samme. Jeg markerte en 360 graders vinkel for å fullføre sirkelen.

Anta, i det vanskelige stressende miljøet under Unified State Examination, tvilte du på en eller annen måte... Hva er sinusen til 0 grader lik? Det virker som null... Hva om det er en?! Mekanisk memorering er noe slikt. Under tøffe forhold begynner tvilen å gnage...)

Rolig, bare rolig!) Jeg vil fortelle deg en praktisk teknikk som vil gi deg et 100% riktig svar og fullstendig fjerne all tvil.

Som et eksempel, la oss finne ut hvordan du klart og pålitelig bestemmer, for eksempel, sinusen til 0 grader. Og samtidig cosinus 0. Det er i disse verdiene, merkelig nok, at folk ofte blir forvirret.

For å gjøre dette, tegn på en sirkel vilkårlig hjørne X. I første kvartal var det nær 0 grader. La oss markere sinus og cosinus til denne vinkelen på aksene X, alt er bra. Som dette:

Og nå - oppmerksomhet! La oss redusere vinkelen X, bring den bevegelige siden nærmere aksen ÅH. Hold markøren over bildet (eller trykk på bildet på nettbrettet) og du vil se alt.

La oss nå slå på elementær logikk! La oss se og tenke: Hvordan oppfører sinx seg når vinkelen x minker? Når vinkelen nærmer seg null? Det krymper! Og cosx øker! Det gjenstår å finne ut hva som vil skje med sinusen når vinkelen kollapser helt? Når legger den bevegelige siden av vinkelen (punkt A) seg på OX-aksen og vinkelen blir lik null? Åpenbart vil sinusen til vinkelen gå til null. Og cosinus vil øke til... til... Hva er lengden på den bevegelige siden av vinkelen (radiusen til den trigonometriske sirkelen)? En!

Her er svaret. Sinusen til 0 grader er lik 0. Cosinusen til 0 grader er lik 1. Absolutt jernbelagt og uten tvil!) Rett og slett fordi ellers det kan ikke være.

På nøyaktig samme måte kan du for eksempel finne ut (eller tydeliggjøre) sinusen til 270 grader. Eller cosinus 180. Tegn en sirkel, vilkårlig en vinkel i et kvarter ved siden av koordinataksen som er av interesse for oss, beveg siden av vinkelen mentalt og grip hva sinus og cosinus vil bli når siden av vinkelen faller på aksen. Det er alt.

Som du kan se, er det ikke nødvendig å huske noe for denne gruppen av vinkler. Ikke nødvendig her sinustabell... Ja og kosinusbord- også.) Forresten, etter flere bruk av den trigonometriske sirkelen, vil alle disse verdiene bli husket av seg selv. Og hvis de glemmer det, tegnet jeg en sirkel på 5 sekunder og tydeliggjorde den. Mye enklere enn å ringe en venn fra toalettet og risikere sertifikatet ditt, ikke sant?)

Når det gjelder tangent og cotangens, er alt det samme. Vi tegner en tangent (cotangens) linje på sirkelen - og alt er umiddelbart synlig. Hvor de er lik null, og hvor de ikke eksisterer. Hva, du vet ikke om tangent- og cotangenslinjer? Dette er trist, men kan fikses.) Vi besøkte seksjon 555 Tangent og cotangens på den trigonometriske sirkelen - og det er ingen problemer!

Hvis du har funnet ut hvordan du tydelig kan definere sinus, cosinus, tangens og cotangens for disse fem vinklene, gratulerer! Bare i tilfelle informerer jeg deg om at du nå kan definere funksjoner eventuelle vinkler som faller på aksene. Og dette er 450°, og 540°, og 1800°, og et uendelig antall andre...) Jeg telte (riktig!) vinkelen på sirkelen - og det er ingen problemer med funksjonene.

Men det er nettopp med måling av vinkler at problemer og feil oppstår... Hvordan unngå dem står skrevet i leksjonen: Hvordan tegne (telle) enhver vinkel på en trigonometrisk sirkel i grader. Elementært, men veldig nyttig i kampen mot feil.)

Her er en leksjon: Hvordan tegne (måle) en hvilken som helst vinkel på en trigonometrisk sirkel i radianer - det blir kjøligere. Når det gjelder muligheter. La oss si, bestemme hvilken av de fire halvaksene vinkelen faller på

du kan gjøre det på et par sekunder. Jeg tuller ikke! Bare om et par sekunder. Vel, selvfølgelig, ikke bare 345 pi...) Og 121, og 16, og -1345. Enhver heltallskoeffisient er egnet for et øyeblikkelig svar.

Og hvis hjørnet

Bare tenk! Det riktige svaret oppnås på 10 sekunder for enhver brøkverdi av radianer med to i nevneren.

Det er faktisk dette som er bra med den trigonometriske sirkelen. Fordi evnen til å jobbe med noen hjørner den utvides automatisk til uendelig sett hjørner

Så vi har sortert ut fem hjørner av sytten.

Andre gruppe vinkler.

Den neste gruppen av vinkler er vinklene 30°, 45° og 60°. Hvorfor akkurat disse, og ikke for eksempel 20, 50 og 80? Ja, på en eller annen måte ble det slik... Historisk sett.) Videre skal det ses hvorfor disse vinklene er gode.

Tabellen over sinus cosinus tangenser cotangenter for disse vinklene ser slik ut:

Vinkel x (i grader)	0	30	45	60	90
Vinkel x (i radianer)	0
synd x	0				1
fordi x	1				0
tg x	0		1		substantiv
ctg x	substantiv		1		0

Jeg forlot verdiene for 0° og 90° fra forrige tabell for å fullføre bildet.) Slik at du kan se at disse vinklene ligger i første kvartal og øker. Fra 0 til 90. Dette vil være nyttig for oss senere.

Tabellverdiene for vinkler på 30°, 45° og 60° må huskes. Husk det hvis du vil. Men også her er det en mulighet til å gjøre livet ditt enklere.) Vær oppmerksom på sinustabellverdier disse vinklene. Og sammenligne med cosinustabellverdier...

Ja! De samme! Bare ordnet i omvendt rekkefølge. Vinkler øker (0, 30, 45, 60, 90) - og sinusverdier øke fra 0 til 1. Du kan sjekke med en kalkulator. Og cosinusverdiene er er avtagende fra 1 til null. Dessuten verdiene seg selv samme. For vinkler på 20, 50, 80 ville ikke dette fungere...

Dette er en nyttig konklusjon. Nok å lære tre verdier for vinkler på 30, 45, 60 grader. Og husk at for sinusen øker de, og for cosinus reduseres de. Mot sinusen.) De møtes halvveis (45°), det vil si at sinusen på 45 grader er lik cosinus på 45 grader. Og så divergerer de igjen... Tre betydninger kan læres, ikke sant?

Med tangenter - cotangenter er bildet nøyaktig det samme. En til en. Bare betydningene er forskjellige. Disse verdiene (tre til!) må også læres.

Vel, nesten all memoreringen er over. Du har (forhåpentligvis) forstått hvordan du bestemmer verdiene for de fem vinklene som faller på aksen og lærte verdiene for vinklene på 30, 45, 60 grader. Totalt 8.

Det gjenstår å håndtere den siste gruppen på 9 hjørner.

Dette er vinklene:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. For disse vinklene må du kjenne sinustabellen, cosinustabellen osv.

Mareritt, ikke sant?)

Og hvis du legger til vinkler her, for eksempel: 405°, 600° eller 3000° og mange, mange like vakre?)

Eller vinkler i radianer? For eksempel om vinkler:

og mange andre du bør vite Alle.

Det morsomste er å vite dette Alle - umulig i prinsippet. Hvis du bruker mekanisk minne.

Og det er veldig enkelt, faktisk elementært - hvis du bruker en trigonometrisk sirkel. Når du først har fått taket på å jobbe med den trigonometriske sirkelen, kan alle de fryktede vinklene i grader enkelt og elegant reduseres til de gode, gammeldagse:

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Eksempler:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument og mening

Cosinus av en spiss vinkel

Cosinus av en spiss vinkel kan bestemmes ved hjelp av en rettvinklet trekant - det er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Eksempel :

1) La en vinkel gis og vi må bestemme cosinus til denne vinkelen.

2) La oss fullføre en rettvinklet trekant på denne vinkelen.

3) Etter å ha målt de nødvendige sidene, kan vi beregne cosinus.

Cosinus til en spiss vinkel er større enn \(0\) og mindre enn \(1\)

Hvis, når du løser et problem, cosinus til en spiss vinkel viser seg å være større enn 1 eller negativ, så er det en feil et sted i løsningen.

Cosinus av et tall

Tallsirkelen lar deg bestemme cosinus til et hvilket som helst tall, men vanligvis finner du cosinus til tall på en eller annen måte relatert til: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

For eksempel, for tallet \(\frac(π)(6)\) - vil cosinus være lik \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Og for tallet \(-\)\(\frac(3π)(4)\) vil det være lik \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (omtrent \ (-0 ,71\)).

For cosinus for andre tall som ofte oppstår i praksis, se.

Cosinusverdien ligger alltid i området fra \(-1\) til \(1\). I dette tilfellet kan cosinus beregnes for absolutt alle vinkler og tall.

Cosinus av enhver vinkel

Takket være tallsirkelen kan du bestemme cosinus til ikke bare en spiss vinkel, men også en stump, negativ og enda større enn \(360°\) (full omdreining). Hvordan du gjør dette er lettere å se én gang enn å høre \(100\) ganger, så se på bildet.

Nå en forklaring: anta at vi må bestemme cosinus til vinkelen KOA med gradmål i \(150°\). Kombinerer poenget OM med midten av sirkelen og siden OK– med \(x\)-aksen. Etter dette, sett til side \(150°\) mot klokken. Deretter ordinaten til punktet EN vil vise oss cosinus til denne vinkelen.

Hvis vi er interessert i en vinkel med et gradmål, for eksempel i \(-60°\) (vinkel KOV), gjør vi det samme, men vi setter \(60°\) med klokken.

Og til slutt er vinkelen større enn \(360°\) (vinkel CBS) - alt ligner på den dumme, bare etter å ha gått en hel sving med klokken, går vi til den andre sirkelen og "får mangelen på grader". Nærmere bestemt, i vårt tilfelle er vinkelen \(405°\) plottet som \(360° + 45°\).

Det er lett å gjette at for å plotte en vinkel, for eksempel i \(960°\), må du gjøre to svinger (\(360°+360°+240°\)), og for en vinkel i \(2640 °\) - hele syv.

Det er verdt å huske at:

Cosinus til en rett vinkel er null. Cosinus til en stump vinkel er negativ.

Cosinus-tegn etter kvartaler

Ved å bruke cosinusaksen (det vil si abscisseaksen, uthevet i rødt i figuren), er det enkelt å bestemme tegnene til cosinusene langs den numeriske (trigonometriske) sirkelen:

Der verdiene på aksen er fra \(0\) til \(1\), vil cosinus ha et plusstegn (I og IV kvartaler - grønt område),
- der verdiene på aksen er fra \(0\) til \(-1\), vil cosinus ha et minustegn (II og III kvartaler - lilla område).

Eksempel. Bestem tegnet til \(\cos 1\).
Løsning: La oss finne \(1\) på den trigonometriske sirkelen. Vi vil ta utgangspunkt i det faktum at \(π=3.14\). Dette betyr at man er omtrent tre ganger nærmere null («startpunktet»).

Hvis du tegner en vinkelrett på cosinus-aksen, blir det tydelig at \(\cos⁡1\) er positivt.
Svar: Plus.

Forhold til andre trigonometriske funksjoner:

- samme vinkel (eller tall): den grunnleggende trigonometriske identiteten \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- samme vinkel (eller tall): med formelen \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- og sinus til samme vinkel (eller tall): formelen \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
For andre mest brukte formler, se.

Funksjon \(y=\cos(x)\)

Hvis vi plotter vinklene i radianer langs \(x\)-aksen, og cosinusverdiene som tilsvarer disse vinklene langs \(y\)-aksen, får vi følgende graf:

Denne grafen kalles og har følgende egenskaper:

Definisjonsdomenet er en hvilken som helst verdi av x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- verdiområde – fra \(-1\) til \(1\) inklusive: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- jevn: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodisk med punktum \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- skjæringspunkter med koordinatakser:
abscisse-akse: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), hvor \(n ϵ Z\)
Y-akse: \((0;1)\)
- intervaller for tegnkonstans:
funksjonen er positiv på intervallene: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), hvor \(n ϵ Z\)
funksjonen er negativ på intervallene: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), hvor \(n ϵ Z\)
- intervaller for økning og reduksjon:
funksjonen øker med intervallene: \((π+2πn;2π+2πn)\), hvor \(n ϵ Z\)
funksjonen avtar på intervallene: \((2πn;π+2πn)\), hvor \(n ϵ Z\)
- maksimum og minimum for funksjonen:
funksjonen har en maksimal verdi \(y=1\) i punktene \(x=2πn\), hvor \(n ϵ Z\)
funksjonen har en minimumsverdi \(y=-1\) i punktene \(x=π+2πn\), hvor \(n ϵ Z\).