Jeg vil ikke prøve å overbevise deg om ikke å skrive jukseark. Skrive! Inkludert jukseark om trigonometri. Senere planlegger jeg å forklare hvorfor jukseark er nødvendig og hvorfor jukseark er nyttige. Og her er informasjon om hvordan du ikke skal lære, men å huske noen trigonometriske formler. Så - trigonometri uten jukseark Vi bruker assosiasjoner for memorering.
1. Addisjonsformler:
Cosinus "kommer alltid i par": cosinus-cosinus, sinus-sinus.
Og en ting til: kosinus er "utilstrekkelig". "Alt er ikke riktig" for dem, så de endrer tegnene: "-" til "+", og omvendt.
Bihuler - "blanding": sinus-cosinus, cosinus-sinus.
2. Sum- og differanseformler:
kosinus "kommer alltid i par". Ved å legge til to cosinus - "koloboks", får vi et par cosinus - "koloboks". Og ved å trekke fra, vil vi definitivt ikke få noen koloboks. Vi får et par sines. Også med minus foran.
Bihuler - "blanding" :
3. Formler for å konvertere et produkt til en sum og differanse.
Når får vi et cosinuspar? Når vi legger til kosinus. Derfor
Når får vi et par sinus? Når du trekker fra cosinus. Herfra:
"Mixing" oppnås både når du adderer og subtraherer sinus. Hva er morsommere: legge til eller trekke fra? Det stemmer, fold. Og for formelen tar de tillegg:
I den første og tredje formelen står summen i parentes. Omorganisering av vilkårene endrer ikke summen. Rekkefølgen er bare viktig for den andre formelen. Men for å ikke bli forvirret, for å lette å huske, tar vi forskjellen i alle tre formlene i de første parentesene
og for det andre - beløpet
Jukseark i lommen gir deg trygghet: hvis du glemmer formelen, kan du kopiere den. Og de gir deg selvtillit: Hvis du ikke klarer å bruke juksearket, kan du enkelt huske formlene.
Vi fortsetter vår samtale om de mest brukte formlene i trigonometri. De viktigste av dem er addisjonsformler.
Definisjon 1
Addisjonsformler lar deg uttrykke funksjoner av differansen eller summen av to vinkler ved hjelp av trigonometriske funksjoner disse vinklene.
Til å begynne med vil vi gi full liste tilleggsformler, så vil vi bevise dem og analysere flere illustrerende eksempler.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Grunnleggende addisjonsformler i trigonometri
Det er åtte grunnleggende formler: sinus til summen og sinus til differansen av to vinkler, cosinus til summen og differansen, tangenter og kotangenser til henholdsvis summen og differansen. Nedenfor er deres standardformuleringer og beregninger.
1. Sinusen til summen av to vinkler kan fås på følgende måte:
Vi beregner produktet av sinusen til den første vinkelen og cosinus til den andre;
Multipliser cosinus til den første vinkelen med sinusen til den første;
Legg sammen de resulterende verdiene.
Den grafiske skrivingen av formelen ser slik ut: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Differansens sinus beregnes på nesten samme måte, bare de resulterende produktene trenger ikke legges til, men trekkes fra hverandre. Dermed beregner vi produktene til sinusen til den første vinkelen med cosinus til den andre og cosinus til den første vinkelen med sinus til den andre og finner forskjellen deres. Formelen er skrevet slik: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Cosinus av summen. For det finner vi produktene av cosinus til den første vinkelen med cosinus til den andre og sinus til den første vinkelen med sinus til den andre, og finner forskjellen deres: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Cosinus av forskjellen: beregn produktene av sinus og cosinus av disse vinklene, som før, og legg dem til. Formel: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Tangent av summen. Denne formelen er uttrykt som en brøk, hvis teller er summen av tangentene til de nødvendige vinklene, og nevneren er en enhet som produktet av tangentene til de ønskede vinklene trekkes fra. Alt er tydelig fra den grafiske notasjonen: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Tangent av forskjellen. Vi beregner verdiene av forskjellen og produktet av tangentene til disse vinklene og fortsetter med dem på lignende måte. I nevneren legger vi til én, og ikke omvendt: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Kotangens av beløpet. For å beregne ved hjelp av denne formelen trenger vi produktet og summen av cotangensene til disse vinklene, som vi går frem på følgende måte: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Cotangens av forskjellen . Formelen er lik den forrige, men telleren og nevneren er minus, ikke pluss c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Du har sikkert lagt merke til at disse formlene er like i par. Ved å bruke tegnene ± (pluss-minus) og ∓ (minus-pluss), kan vi gruppere dem for enkel opptak:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Følgelig har vi en registreringsformel for summen og forskjellen av hver verdi, bare i ett tilfelle tar vi hensyn til det øvre tegnet, i det andre - til det nedre.
Definisjon 2
Vi kan ta hvilke som helst vinkler α og β, og addisjonsformlene for cosinus og sinus vil fungere for dem. Hvis vi korrekt kan bestemme verdiene til tangentene og cotangensene til disse vinklene, vil addisjonsformlene for tangent og cotangens også være gyldige for dem.
Som de fleste begreper i algebra, kan addisjonsformler bevises. Den første formelen vi skal bevise er forskjellen cosinus-formelen. Resten av bevisene kan da lett utledes fra det.
La oss avklare de grunnleggende konseptene. Vi trenger enhetssirkel. Det vil ordne seg hvis vi tar et bestemt punkt A og roterer vinklene α og β rundt sentrum (punkt O). Da vil vinkelen mellom vektorene O A 1 → og OA → 2 være lik (α - β) + 2 π · z eller 2 π - (α - β) + 2 π · z (z er et hvilket som helst heltall). De resulterende vektorene danner en vinkel som er lik α - β eller 2 π - (α - β), eller den kan avvike fra disse verdiene med et heltall fulle revolusjoner. Ta en titt på bildet:
Vi brukte reduksjonsformlene og fikk følgende resultater:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Resultat: cosinus til vinkelen mellom vektorene OA 1 → og OA 2 → er lik cosinus til vinkelen α - β, derfor cos (O A 1 → OA 2 →) = cos (α - β).
La oss huske definisjonene av sinus og cosinus: sinus er en funksjon av vinkel, lik forholdet benet til den motsatte vinkelen til hypotenusen, cosinus er sinus til den komplementære vinkelen. Derfor poengene A 1 Og A 2 har koordinater (cos α, sin α) og (cos β, sin β).
Vi får følgende:
OA 1 → = (cos α, sin α) og OA 2 → = (cos β, sin β)
Hvis det ikke er klart, se på koordinatene til punktene som ligger i begynnelsen og slutten av vektorene.
Lengdene på vektorene er lik 1, fordi Vi har en enhetssirkel.
La oss se på det nå skalært produkt vektorer OA 1 → og OA 2 → . I koordinater ser det slik ut:
(O A 1 → , OA 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Fra dette kan vi utlede likheten:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Dermed er forskjellen cosinus formel bevist.
Nå skal vi bevise følgende formel– cosinus av summen. Dette er lettere fordi vi kan bruke de tidligere beregningene. La oss ta representasjonen α + β = α - (- β) . Vi har:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Dette er beviset på kosinussumformelen. Den siste linjen bruker egenskapen sinus og cosinus motsatte hjørner.
Formelen for sinus til en sum kan utledes fra formelen for cosinus til en forskjell. La oss ta reduksjonsformelen for dette:
type synd(α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Så
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Og her er beviset på forskjellens sinusformel:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Legg merke til bruken av sinus- og cosinusegenskapene til motsatte vinkler i den siste beregningen.
Deretter trenger vi bevis på addisjonsformlene for tangent og cotangens. La oss huske de grunnleggende definisjonene (tangens er forholdet mellom sinus og cosinus, og cotangens er omvendt) og ta formlene som allerede er utledet på forhånd. Vi klarte det:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Vi gjorde det kompleks brøkdel. Deretter må vi dele telleren og nevneren med cos α · cos β, gitt at cos α ≠ 0 og cos β ≠ 0, får vi:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Nå reduserer vi brøkene og får formelen følgende type: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Vi fikk t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Dette er beviset på tangentaddisjonsformelen.
Den neste formelen som vi skal bevise er tangenten til differanseformelen. Alt er tydelig vist i beregningene:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Formler for cotangens er bevist på lignende måte:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Lengre:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g