Enkelt sagt, dette er grønnsaker kokt i vann etter en spesiell oppskrift. Jeg vil vurdere to innledende komponenter (grønnsakssalat og vann) og det ferdige resultatet - borscht. Geometrisk kan det betraktes som et rektangel, der den ene siden representerer salat og den andre siden representerer vann. Summen av disse to sidene vil indikere borsjtsj. Diagonalen og arealet til et slikt "borscht"-rektangel er rent matematiske konsepter og brukes aldri i borsjtsj-oppskrifter.
Hvordan blir salat og vann til borsjtsj fra et matematisk synspunkt? Hvordan kan summen av to linjestykker bli trigonometri? For å forstå dette trenger vi lineære vinkelfunksjoner.
Du finner ikke noe om lineære vinkelfunksjoner i lærebøker i matematikk. Men uten dem kan det ikke være noen matematikk. Matematikkens lover fungerer, i likhet med naturlovene, uavhengig av om vi vet om deres eksistens eller ikke.
Lineære vinkelfunksjoner er addisjonslover. Se hvordan algebra blir til geometri og geometri blir til trigonometri.
Er det mulig å klare seg uten lineære vinkelfunksjoner? Det er mulig, fordi matematikere fortsatt klarer seg uten dem. Trikset med matematikere er at de alltid bare forteller oss om de problemene de selv vet hvordan de skal løse, og aldri snakker om de problemene de ikke kan løse. Se. Hvis vi kjenner resultatet av addisjon og ett ledd, bruker vi subtraksjon for å finne det andre leddet. Alle. Vi kjenner ikke til andre problemer, og vi vet ikke hvordan vi skal løse dem. Hva skal vi gjøre hvis vi bare kjenner resultatet av addisjonen og ikke kjenner begge leddene? I dette tilfellet må resultatet av addisjonen dekomponeres i to ledd ved å bruke lineære vinkelfunksjoner. Deretter velger vi hva ett ledd kan være, og lineære vinkelfunksjoner viser hva det andre leddet skal være slik at resultatet av addisjonen blir akkurat det vi trenger. Det kan være et uendelig antall slike leddpar. I hverdagen klarer vi oss fint uten å dekomponere summen er nok for oss. Men i vitenskapelig forskning på naturlovene kan det være svært nyttig å dekomponere en sum i dens komponenter.
En annen addisjonslov som matematikere ikke liker å snakke om (et annet av triksene deres) krever at begrepene har samme måleenheter. For salat, vann og borsjtsj kan disse være vekt-, volum-, verdi- eller måleenheter.
Figuren viser to forskjellsnivåer for matematisk . Det første nivået er forskjellene i tallfeltet, som er angitt en, b, c. Dette er hva matematikere gjør. Det andre nivået er forskjellene i feltet for måleenheter, som er vist i firkantede parenteser og indikert med bokstaven U. Dette er hva fysikere gjør. Vi kan forstå det tredje nivået - forskjeller i området til gjenstandene som beskrives. Ulike objekter kan ha samme antall identiske måleenheter. Hvor viktig dette er, kan vi se i eksemplet med borschttrigonometri. Hvis vi legger til subscripts til samme enhetsbetegnelse for forskjellige objekter, kan vi si nøyaktig hvilken matematisk mengde som beskriver et bestemt objekt og hvordan det endrer seg over tid eller på grunn av våre handlinger. Brev W Jeg vil betegne vann med en bokstav S Jeg vil betegne salaten med en bokstav B- borsch. Slik vil lineære vinkelfunksjoner for borsjtsj se ut.
Hvis vi tar en del av vannet og en del av salaten, blir de sammen til en porsjon borsjtsj. Her foreslår jeg at du tar en liten pause fra borsjtsj og husker din fjerne barndom. Husker du hvordan vi ble lært opp til å sette kaniner og ender sammen? Det var nødvendig å finne hvor mange dyr det skulle være. Hva ble vi lært å gjøre da? Vi ble lært opp til å skille måleenheter fra tall og legge til tall. Ja, et hvilket som helst nummer kan legges til et hvilket som helst annet nummer. Dette er en direkte vei til autismen i moderne matematikk - vi gjør det på ubegripelig vis hva, uforståelig hvorfor, og veldig dårlig forstår hvordan dette forholder seg til virkeligheten, på grunn av de tre forskjellsnivåene opererer matematikere med bare ett. Det ville være mer riktig å lære hvordan man flytter fra en måleenhet til en annen.
Kaniner, ender og små dyr kan telles i stykker. En felles måleenhet for forskjellige objekter lar oss legge dem sammen. Dette er en barneversjon av problemet. La oss se på et lignende problem for voksne. Hva får du når du legger til kaniner og penger? Her kan vi tilby to løsninger.
Første alternativ. Vi bestemmer markedsverdien til kaninene og legger den til det tilgjengelige beløpet. Vi har mottatt den totale verdien av formuen vår i monetære termer.
Andre alternativ. Du kan legge til antall kaniner til antall sedler vi har. Vi vil motta mengden løsøre i stykker.
Som du kan se, lar den samme tilleggsloven deg få forskjellige resultater. Alt avhenger av nøyaktig hva vi ønsker å vite.
Men la oss komme tilbake til borsjten vår. Nå kan vi se hva som vil skje for forskjellige vinkelverdier av lineære vinkelfunksjoner.
Vinkelen er null. Vi har salat, men ikke vann. Vi kan ikke lage borsjtsj. Mengden borsjtsj er også null. Dette betyr ikke i det hele tatt at null borsjtsj er lik null vann. Det kan være null borsjtsj med null salat (rett vinkel).
For meg personlig er dette det viktigste matematiske beviset på at . Null endrer ikke tallet når det legges til. Dette skjer fordi addisjon i seg selv er umulig hvis det bare er ett ledd og det andre leddet mangler. Du kan føle om dette som du vil, men husk - alle matematiske operasjoner med null ble oppfunnet av matematikere selv, så kast bort logikken din og dumt pugge definisjonene oppfunnet av matematikere: "divisjon med null er umulig", "ethvert tall multiplisert med null er lik null", "utover punkteringspunktet null" og annet tull. Det er nok å huske en gang at null ikke er et tall, og du vil aldri igjen ha et spørsmål om null er et naturlig tall eller ikke, fordi et slikt spørsmål mister all mening: hvordan kan noe som ikke er et tall betraktes som et tall ? Det er som å spørre hvilken farge en usynlig farge skal klassifiseres som. Å legge til en null til et tall er det samme som å male med maling som ikke er der. Vi viftet med en tørr pensel og fortalte alle at «vi malte». Men jeg avviker litt.
Vinkelen er større enn null, men mindre enn førtifem grader. Vi har mye salat, men ikke nok vann. Som et resultat vil vi få tykk borsjtsj.
Vinkelen er førtifem grader. Vi har like mengder vann og salat. Dette er den perfekte borsjten (tilgi meg, kokker, det er bare matematikk).
Vinkelen er større enn førtifem grader, men mindre enn nitti grader. Vi har mye vann og lite salat. Du vil få flytende borsjtsj.
Rett vinkel. Vi har vann. Alt som gjenstår av salaten er minner, mens vi fortsetter å måle vinkelen fra linjen som en gang markerte salaten. Vi kan ikke lage borsjtsj. Mengden borsjtsj er null. I dette tilfellet, hold på og drikk vann mens du har det)))
Her. Noe sånt som dette. Jeg kan fortelle andre historier her som ville vært mer enn passende her.
To venner hadde sin andel i en felles virksomhet. Etter å ha drept en av dem, gikk alt til den andre.
Fremveksten av matematikk på planeten vår.
Alle disse historiene er fortalt på matematikkspråket ved å bruke lineære vinkelfunksjoner. En annen gang vil jeg vise deg den virkelige plassen til disse funksjonene i strukturen til matematikk. I mellomtiden, la oss gå tilbake til borschttrigonometri og vurdere anslag.
Lørdag 26. oktober 2019
Jeg så en interessant video om Grundy-serien En minus en pluss en minus en - Numberphile. Matematikere lyver. De foretok ikke en likestillingssjekk under begrunnelsen.
Dette gjenspeiler mine tanker om .
La oss se nærmere på tegnene på at matematikere bedrar oss. Helt i begynnelsen av argumentasjonen sier matematikere at summen av en sekvens avhenger av om den har et partall av elementer eller ikke. Dette er et objektivt ETABLERET FAKTUM. Hva skjer etterpå?
Deretter trekker matematikere sekvensen fra enhet. Hva fører dette til? Dette fører til en endring i antall elementer i sekvensen - et partall endres til et oddetall, et oddetall endres til et partall. Tross alt la vi til ett element lik ett i sekvensen. Til tross for all den ytre likheten, er ikke sekvensen før transformasjonen lik sekvensen etter transformasjonen. Selv om vi snakker om en uendelig sekvens, må vi huske at en uendelig sekvens med et oddetall elementer ikke er lik en uendelig sekvens med et partall av elementer.
Ved å sette et likhetstegn mellom to sekvenser med forskjellig antall elementer, hevder matematikere at summen av sekvensen IKKE AVHENGER av antall elementer i sekvensen, noe som motsier et OBJEKTIVT ETABLERT FAKTA. Ytterligere resonnement om summen av en uendelig sekvens er falsk, siden den er basert på en falsk likhet.
Hvis du ser at matematikere i løpet av bevis plasserer parenteser, omorganiserer elementer i et matematisk uttrykk, legger til eller fjerner noe, vær veldig forsiktig, mest sannsynlig prøver de å lure deg. Som kortmagikere bruker matematikere forskjellige uttrykksmanipulasjoner for å distrahere oppmerksomheten din for til slutt å gi deg et falskt resultat. Hvis du ikke kan gjenta et korttriks uten å vite hemmeligheten bak bedrag, så er alt mye enklere i matematikk: du mistenker ikke engang noe om bedrag, men å gjenta alle manipulasjonene med et matematisk uttrykk lar deg overbevise andre om riktigheten av resultatet oppnådd, akkurat som når -de overbeviste deg.
Spørsmål fra publikum: Er uendelig (som antall elementer i sekvensen S) partall eller oddetall? Hvordan kan du endre pariteten til noe som ikke har paritet?
Infinity er for matematikere, som Himmelriket er for prester - ingen har noen gang vært der, men alle vet nøyaktig hvordan alt fungerer der))) Jeg er enig, etter døden vil du være helt likegyldig om du levde et partall eller et oddetall dager, men... Hvis du bare legger til en dag i begynnelsen av livet ditt, vil vi få en helt annen person: etternavnet, fornavnet og patronymet hans er nøyaktig det samme, bare fødselsdatoen er helt annerledes - han var født en dag før deg.
La oss nå komme til poenget))) La oss si at en endelig sekvens som har paritet mister denne pariteten når den går til uendelig. Da må ethvert endelig segment av en uendelig sekvens miste paritet. Vi ser ikke dette. Det at vi ikke kan si sikkert om en uendelig sekvens har et partall eller et oddetall av elementer, betyr ikke at pariteten har forsvunnet. Paritet, hvis den eksisterer, kan ikke forsvinne sporløst inn i det uendelige, som i ermet til en skarphet. Det er en veldig god analogi for denne saken.
Har du noen gang spurt gjøken som sitter i klokken i hvilken retning klokken roterer? For henne roterer pilen i motsatt retning av det vi kaller "med klokken". Hvor paradoksalt det enn kan høres ut, avhenger rotasjonsretningen utelukkende på hvilken side vi observerer rotasjonen fra. Og så har vi ett hjul som roterer. Vi kan ikke si i hvilken retning rotasjonen skjer, siden vi kan observere den både fra den ene siden av rotasjonsplanet og fra den andre. Vi kan bare vitne om at det er rotasjon. Fullstendig analogi med pariteten til en uendelig sekvens S.
La oss nå legge til et andre roterende hjul, hvis rotasjonsplan er parallelt med rotasjonsplanet til det første roterende hjulet. Vi kan fortsatt ikke si sikkert i hvilken retning disse hjulene roterer, men vi kan absolutt si om begge hjulene roterer i samme retning eller i motsatt retning. Sammenligning av to uendelige sekvenser S Og 1-S, Jeg viste ved hjelp av matematikk at disse sekvensene har forskjellige pariteter og å sette et likhetstegn mellom dem er en feil. Personlig stoler jeg på matematikk, jeg stoler ikke på matematikere))) Forresten, for fullt ut å forstå geometrien til transformasjoner av uendelige sekvenser, er det nødvendig å introdusere konseptet "samtidighet". Dette må tegnes.
onsdag 7. august 2019
Avsluttende samtalen om, må vi vurdere et uendelig sett. Poenget er at begrepet "uendelighet" påvirker matematikere som en boa constrictor påvirker en kanin. Uendelighetens skjelvende redsel fratar matematikere sunn fornuft. Her er et eksempel:
Den opprinnelige kilden er lokalisert. Alfa står for reelt tall. Likhetstegnet i uttrykkene ovenfor indikerer at hvis du legger et tall eller uendelig til uendelig, vil ingenting endre seg, resultatet vil være den samme uendeligheten. Hvis vi tar det uendelige settet med naturlige tall som et eksempel, kan de vurderte eksemplene representeres i denne formen:
For å tydelig bevise at de hadde rett, kom matematikere opp med mange forskjellige metoder. Personlig ser jeg på alle disse metodene som sjamaner som danser med tamburiner. I hovedsak koker de alle ned til at enten er noen av rommene ubebodde og nye gjester flytter inn, eller at noen av de besøkende blir kastet ut i korridoren for å gi plass til gjester (veldig menneskelig). Jeg presenterte mitt syn på slike beslutninger i form av en fantasihistorie om blondinen. Hva er resonnementet mitt basert på? Å flytte et uendelig antall besøkende tar uendelig mye tid. Etter at vi har forlatt det første rommet for en gjest, vil en av de besøkende alltid gå langs korridoren fra rommet sitt til det neste inntil tidenes ende. Selvfølgelig kan tidsfaktoren ignoreres dumt, men dette vil være i kategorien "ingen lov er skrevet for idioter." Alt avhenger av hva vi gjør: justere virkeligheten til matematiske teorier eller omvendt.
Hva er et "endeløst hotell"? Et uendelig hotell er et hotell som alltid har et hvilket som helst antall tomme senger, uavhengig av hvor mange rom som er opptatt. Hvis alle rommene i den endeløse "besøks"-korridoren er opptatt, er det en annen endeløs korridor med "gjesterom". Det vil være uendelig mange slike korridorer. Dessuten har det "uendelige hotellet" et uendelig antall etasjer i et uendelig antall bygninger på et uendelig antall planeter i et uendelig antall universer skapt av et uendelig antall guder. Matematikere er ikke i stand til å ta avstand fra banale hverdagsproblemer: det er alltid bare én Gud-Allah-Buddha, det er bare ett hotell, det er bare én korridor. Så matematikere prøver å sjonglere med serienumrene til hotellrom, og overbevise oss om at det er mulig å «skubbe inn det umulige».
Jeg vil demonstrere logikken i resonnementet mitt for deg ved å bruke eksemplet med et uendelig sett med naturlige tall. Først må du svare på et veldig enkelt spørsmål: hvor mange sett med naturlige tall er det - ett eller mange? Det er ikke noe riktig svar på dette spørsmålet, siden vi fant opp tall selv ikke eksisterer i naturen. Ja, naturen er flink til å telle, men til dette bruker hun andre matematiske verktøy som ikke er kjent for oss. Jeg skal fortelle deg hva naturen tenker en annen gang. Siden vi fant opp tall, vil vi selv bestemme hvor mange sett med naturlige tall det er. La oss vurdere begge alternativene, som det sømmer seg for ekte forskere.
Alternativ én. "La oss gis" ett enkelt sett med naturlige tall, som ligger rolig på hylla. Vi tar dette settet fra hyllen. Det er det, det er ingen andre naturlige tall igjen på hyllen og ingen steder å ta dem. Vi kan ikke legge til en til dette settet, siden vi allerede har det. Hva om du virkelig vil? Ikke noe problem. Vi kan ta en fra settet vi allerede har tatt og returnere den til hyllen. Etter det kan vi ta en fra hyllen og legge den til det vi har igjen. Som et resultat vil vi igjen få et uendelig sett med naturlige tall. Du kan skrive ned alle manipulasjonene våre slik:
Jeg skrev ned handlingene i algebraisk notasjon og i settteorinotasjon, med en detaljert liste over elementene i settet. Subskriptet indikerer at vi har ett og eneste sett med naturlige tall. Det viser seg at settet med naturlige tall forblir uendret bare hvis ett trekkes fra det og den samme enheten legges til.
Alternativ to. Vi har mange forskjellige uendelige sett med naturlige tall på hyllen vår. Jeg understreker - ANNERLEDES, til tross for at de praktisk talt ikke kan skilles. La oss ta et av disse settene. Så tar vi ett fra et annet sett med naturlige tall og legger det til settet vi allerede har tatt. Vi kan til og med legge til to sett med naturlige tall. Dette er hva vi får:
Abonnementene "én" og "to" indikerer at disse elementene tilhørte forskjellige sett. Ja, hvis du legger til en til et uendelig sett, vil resultatet også være et uendelig sett, men det vil ikke være det samme som det opprinnelige settet. Hvis du legger til et nytt uendelig sett til ett uendelig sett, er resultatet et nytt uendelig sett som består av elementer fra de to første settene.
Settet med naturlige tall brukes til å telle på samme måte som en linjal brukes til å måle. Tenk deg nå at du har lagt til én centimeter til linjalen. Dette vil være en annen linje, ikke lik den opprinnelige.
Du kan godta eller ikke akseptere resonnementet mitt - det er din egen sak. Men hvis du noen gang støter på matematiske problemer, tenk på om du følger veien til falske resonnementer som er tråkket av generasjoner av matematikere. Tross alt danner det å studere matematikk, først av alt, en stabil stereotypi av tenkning i oss, og først da øker våre mentale evner (eller omvendt fratar oss fritenking).
pozg.ru
Søndag 4. august 2019
Jeg holdt på å fullføre et etterskrift til en artikkel om og så denne fantastiske teksten på Wikipedia:
Vi leser: "... det rike teoretiske grunnlaget for matematikken i Babylon hadde ikke en helhetlig karakter og ble redusert til et sett av forskjellige teknikker, blottet for et felles system og bevisgrunnlag."
Wow! Hvor smarte vi er og hvor godt vi kan se andres mangler. Er det vanskelig for oss å se moderne matematikk i samme sammenheng? Litt omskrivning av teksten ovenfor, fikk jeg personlig følgende:
Det rike teoretiske grunnlaget for moderne matematikk er ikke helhetlig i naturen og er redusert til et sett med forskjellige seksjoner, blottet for et felles system og bevisgrunnlag.
Jeg vil ikke gå langt for å bekrefte ordene mine - den har et språk og konvensjoner som er forskjellig fra språket og konvensjonene til mange andre grener av matematikken. De samme navnene i ulike grener av matematikken kan ha forskjellige betydninger. Jeg ønsker å vie en hel serie publikasjoner til de mest åpenbare feilene i moderne matematikk. Ser deg snart.
Lørdag 3. august 2019
Hvordan dele opp et sett i delsett? For å gjøre dette må du angi en ny måleenhet som er til stede i noen av elementene i det valgte settet. La oss se på et eksempel.
Måtte vi ha masse EN bestående av fire personer. Dette settet er dannet på grunnlag av "folk." La oss betegne elementene i dette settet med bokstaven EN, vil abonnementet med et nummer indikere serienummeret til hver person i dette settet. La oss introdusere en ny måleenhet "kjønn" og betegne den med bokstaven b. Siden seksuelle egenskaper er iboende i alle mennesker, multipliserer vi hvert element i settet EN basert på kjønn b. Legg merke til at vårt sett med "mennesker" nå har blitt et sett med "mennesker med kjønnskarakteristikker." Etter dette kan vi dele de seksuelle egenskapene inn i mannlige bm og kvinners bw seksuelle egenskaper. Nå kan vi bruke et matematisk filter: vi velger en av disse seksuelle egenskapene, uansett hvilken - mann eller kvinne. Hvis en person har det, multipliserer vi det med en, hvis det ikke er et slikt tegn, multipliserer vi det med null. Og så bruker vi vanlig skolematematikk. Se hva som skjedde.
Etter multiplikasjon, reduksjon og omorganisering endte vi opp med to delmengder: delmengden av menn Bm og en undergruppe av kvinner Bw. Matematikere resonnerer omtrent på samme måte når de anvender settteori i praksis. Men de forteller oss ikke detaljene, men gir oss det ferdige resultatet - "mange mennesker består av en undergruppe av menn og en undergruppe av kvinner." Naturligvis kan du ha et spørsmål: hvor riktig har matematikken blitt brukt i transformasjonene som er skissert ovenfor? Jeg tør å forsikre deg om at i hovedsak alt ble gjort riktig, det er nok å kjenne til det matematiske grunnlaget for aritmetikk, boolsk algebra og andre grener av matematikken. Hva det er? En annen gang skal jeg fortelle deg om dette.
Når det gjelder supersett, kan du kombinere to sett til ett supersett ved å velge måleenheten som finnes i elementene i disse to settene.
Som du kan se, gjør måleenheter og vanlig matematikk mengdlære til en relikvie fra fortiden. Et tegn på at alt ikke er bra med mengdlære er at matematikere har kommet opp med sitt eget språk og notasjon for mengdlære. Matematikere handlet som sjamaner en gang gjorde. Bare sjamaner vet hvordan de "riktig" skal bruke sin "kunnskap". De lærer oss denne "kunnskapen".
Avslutningsvis vil jeg vise deg hvordan matematikere manipulerer
La oss si at Akilles løper ti ganger raskere enn skilpadden og er tusen skritt bak den. I løpet av tiden det tar Akilles å løpe denne distansen, vil skilpadden krype hundre skritt i samme retning. Når Akilles løper hundre skritt, kryper skilpadden ytterligere ti skritt, og så videre. Prosessen vil fortsette i det uendelige, Akilles vil aldri ta igjen skilpadden.
Dette resonnementet ble et logisk sjokk for alle påfølgende generasjoner. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... De betraktet alle Zenons aporia på en eller annen måte. Sjokket var så sterkt at " ... diskusjonene fortsetter den dag i dag, det vitenskapelige samfunnet har ennå ikke vært i stand til å komme til en felles mening om essensen av paradokser ... matematisk analyse, settteori, nye fysiske og filosofiske tilnærminger var involvert i studiet av problemet; ; ingen av dem ble en allment akseptert løsning på problemet..."[Wikipedia, "Zenos Aporia". Alle forstår at de blir lurt, men ingen forstår hva bedraget består av.
Fra et matematisk synspunkt demonstrerte Zeno i sin aporia tydelig overgangen fra kvantitet til . Denne overgangen innebærer bruk i stedet for permanente. Så vidt jeg forstår, er det matematiske apparatet for bruk av variable måleenheter enten ikke utviklet ennå, eller det har ikke blitt brukt på Zenos aporia. Å bruke vår vanlige logikk fører oss inn i en felle. Vi, på grunn av treghet i tenkningen, bruker konstante tidsenheter på den gjensidige verdien. Fra et fysisk synspunkt ser dette ut som at tiden går ned til den stopper helt opp i det øyeblikket Akilles tar igjen skilpadden. Hvis tiden stopper, kan ikke Akilles lenger løpe unna skilpadden.
Hvis vi snur vår vanlige logikk, faller alt på plass. Akilles løper med konstant hastighet. Hvert påfølgende segment av banen hans er ti ganger kortere enn den forrige. Følgelig er tiden brukt på å overvinne den ti ganger mindre enn den forrige. Hvis vi bruker begrepet "uendelig" i denne situasjonen, vil det være riktig å si "Akilles vil ta igjen skilpadden uendelig raskt."
Hvordan unngå denne logiske fellen? Forbli i konstante tidsenheter og ikke bytt til gjensidige enheter. På Zenos språk ser det slik ut:
På den tiden det tar Akilles å løpe tusen skritt, vil skilpadden krype hundre skritt i samme retning. I løpet av neste tidsintervall lik det første, vil Akilles løpe ytterligere tusen skritt, og skilpadden vil krype hundre skritt. Nå er Akilles åtte hundre skritt foran skilpadden.
Denne tilnærmingen beskriver virkeligheten tilstrekkelig uten noen logiske paradokser. Men dette er ikke en fullstendig løsning på problemet. Einsteins uttalelse om uimotståelig lyshastighet er veldig lik Zenos aporia "Akilles og skilpadden". Vi må fortsatt studere, tenke nytt og løse dette problemet. Og løsningen må ikke søkes i uendelig store tall, men i måleenheter.
En annen interessant aporia av Zeno forteller om en flygende pil:
En flygende pil er ubevegelig, siden den i hvert øyeblikk er i ro, og siden den er i ro i hvert øyeblikk av tiden, er den alltid i ro.
I denne aporiaen overvinnes det logiske paradokset veldig enkelt - det er nok til å klargjøre at i hvert øyeblikk er en flygende pil i ro på forskjellige punkter i rommet, som faktisk er bevegelse. Et annet poeng må bemerkes her. Fra ett fotografi av en bil på veien er det umulig å fastslå verken bevegelsen eller avstanden til den. For å finne ut om en bil beveger seg, trenger du to bilder tatt fra samme punkt på forskjellige tidspunkter, men du kan ikke bestemme avstanden fra dem. For å bestemme avstanden til en bil, trenger du to bilder tatt fra forskjellige punkter i rommet på ett tidspunkt, men fra dem kan du ikke bestemme bevegelsen (selvfølgelig trenger du fortsatt ytterligere data for beregninger, trigonometri vil hjelpe deg ). Det jeg vil trekke spesielt frem er at to punkter i tid og to punkter i rom er forskjellige ting som ikke bør forveksles, fordi de gir ulike muligheter for forskning.
Jeg skal vise deg prosessen med et eksempel. Vi velger det "røde faste stoffet i en kvise" - dette er vår "helhet". Samtidig ser vi at disse tingene er med bue, og det er uten bue. Etter det velger vi en del av "helheten" og danner et sett "med en bue". Slik får sjamaner maten sin ved å knytte settteorien til virkeligheten.
La oss nå gjøre et lite triks. La oss ta "fast med en kvise med en bue" og kombinere disse "helhetene" i henhold til farge, og velge de røde elementene. Vi fikk mye "rødt". Nå er det siste spørsmålet: er de resulterende settene "med bue" og "røde" det samme settet eller to forskjellige sett? Bare sjamaner vet svaret. Mer presist, de selv vet ingenting, men som de sier, så blir det.
Dette enkle eksemplet viser at settteori er fullstendig ubrukelig når det kommer til virkeligheten. Hva er hemmeligheten? Vi dannet et sett med "rødt solid med en kvise og en sløyfe." Dannelsen fant sted i fire forskjellige måleenheter: farge (rød), styrke (fast), ruhet (kvisete), dekorasjon (med sløyfe). Bare et sett med måleenheter lar oss beskrive virkelige objekter tilstrekkelig på matematikkspråket. Slik ser det ut.
Bokstaven "a" med forskjellige indekser angir forskjellige måleenheter. Måleenhetene som "hele" skilles ut med på det foreløpige stadiet er markert i parentes. Måleenheten som settet dannes med er tatt ut av parentes. Den siste linjen viser det endelige resultatet - et element i settet. Som du kan se, hvis vi bruker måleenheter for å danne et sett, avhenger ikke resultatet av rekkefølgen av handlingene våre. Og dette er matematikk, og ikke sjamanenes dans med tamburiner. Sjamaner kan "intuitivt" komme til det samme resultatet, og hevder at det er "åpenbart", fordi måleenheter ikke er en del av deres "vitenskapelige" arsenal.
Ved å bruke måleenheter er det veldig enkelt å dele ett sett eller kombinere flere sett til ett supersett. La oss se nærmere på algebraen til denne prosessen.
Den trigonometriske sirkelen er et av de grunnleggende elementene i geometrien for å løse ligninger med sinus, cosinus, tangens og cotangens.
Hva er definisjonen av dette begrepet, hvordan bygge denne sirkelen, hvordan bestemme en fjerdedel i trigonometri, hvordan finne ut vinklene i en konstruert trigonometrisk sirkel - vi vil snakke om dette og mye mer videre.
Trigonometrisk sirkel
Den trigonometriske formen til en tallsirkel i matematikk er en sirkel som har en enkelt radius med et senter ved opprinnelsen til koordinatplanet. Som regel er det dannet av et rom med formler for sinus med cosinus, tangent og cotangens på et koordinatsystem.
Hensikten med en slik sfære med n-dimensjonalt rom er at takket være den kan trigonometriske funksjoner beskrives. Det ser enkelt ut: en sirkel, inne i hvilken det er et koordinatsystem og flere rettvinklede trekanter dannet fra denne sirkelen ved hjelp av trigonometriske funksjoner.
Hva er sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant
En rettvinklet trekant er en der en av vinklene er 90°. Den er dannet av bena og hypotenusen med alle betydningene av trigonometri. Bena er de to sidene av trekanten som er ved siden av 90°-vinkelen, og den tredje er hypotenusen, den er alltid lengre enn bena.
Sinus er forholdet mellom ett av bena og hypotenusen, cosinus er forholdet mellom det andre benet og det, og tangenten er forholdet mellom to ben. Forhold symboliserer splittelse. Tangent er også delingen av en spiss vinkel med sinus og cosinus. En cotangens er det motsatte forholdet til en tangent.
Formlene for de to siste forholdstallene er som følger: tg(a) = sin(a) / cos(a) og ctg(a) = cos(a) / sin(a).
Konstruere en enhetssirkel
Konstruksjonen av en enhetssirkel kommer ned til å tegne den med en enhetsradius i sentrum av koordinatsystemet. Deretter, for å konstruere, må du telle vinklene og bevege deg mot klokken, gå rundt hele sirkelen og sette ned koordinatlinjene som tilsvarer dem.
Konstruksjonen begynner etter å ha tegnet en sirkel og satt et punkt i sentrum ved å plassere OX-koordinatsystemet. Punkt O på toppen av koordinataksen er sinus, og X er cosinus. Følgelig er de abscissen og ordinaten. Deretter må du ta mål ∠. De utføres i grader og radianer.
Det er enkelt å oversette disse indikatorene - en hel sirkel er lik to pi-radianer. Vinkelen fra null mot klokken kommer med et +-tegn, og ∠ fra 0 med klokken kommer med et --tegn. Positive og negative verdier av sinus og cosinus gjentas hver omdreining av sirkelen.
Vinkler på en trigonometrisk sirkel
For å mestre teorien om den trigonometriske sirkelen, må du forstå hvordan ∠ telles på den og på hvilken måte de måles. De beregnes veldig enkelt.
Sirkelen deles av koordinatsystemet i fire deler. Hver del danner ∠ 90°. Halvparten av disse vinklene er 45 grader. Følgelig er to deler av en sirkel lik 180°, og tre deler er 360°. Hvordan bruke denne informasjonen?
Hvis det er nødvendig å løse problemet med å finne ∠, tyr de til teoremer om trekanter og de grunnleggende pytagoreiske lovene knyttet til dem.
Vinkler måles i radianer:
- fra 0 til 90° — vinkelverdier fra 0 til ¸/2;
- fra 90 til 180° — vinkelverdier fra µ/2 til µ;
- fra 180 til 270° - fra µ til 3*µ/2;
- siste kvartal fra 270 0 til 360 0 - verdier fra 3*µ/2 til 2*µ.
For å finne ut en spesifikk måling, konvertere radianer til grader eller omvendt, bør du ty til et jukseark.
Konvertering av vinkler fra grader til radianer
Vinkler kan måles i grader eller radianer. Det kreves å være klar over sammenhengen mellom begge betydningene. Dette forholdet uttrykkes i trigonometri ved hjelp av en spesiell formel. Ved å forstå forholdet kan du lære hvordan du raskt kan kontrollere vinkler og bevege deg fra grader til radianer tilbake.
For å finne ut nøyaktig hva en radian er lik, kan du bruke følgende formel:
1 rad. = 180 / ¸ = 180 / 3,1416 = 57,2956
Til syvende og sist er 1 radian lik 57°, og det er 0,0175 radianer i 1 grad:
1 grad = (∏ /180) rad. = 3,1416 / 180 rad. = 0,0175 rad.
Cosinus, sinus, tangens, cotangens på en trigonometrisk sirkel
Cosinus med sinus, tangent og cotangens på en trigonometrisk sirkel - funksjoner av alfavinkler fra 0 til 360 grader. Hver funksjon har en positiv eller negativ verdi avhengig av størrelsen på vinkelen. De symboliserer forholdet til rette trekanter dannet i en sirkel.
Tegnet til den trigonometriske funksjonen avhenger utelukkende av koordinatkvadranten der det numeriske argumentet er plassert. Forrige gang lærte vi å konvertere argumenter fra et radianmål til et gradmål (se leksjon " Radian og gradmål for en vinkel"), og deretter bestemme det samme koordinatkvartalet. La oss nå faktisk bestemme fortegnet for sinus, cosinus og tangens.
Sinusen til vinkelen α er ordinaten (y-koordinaten) til et punkt på en trigonometrisk sirkel som oppstår når radiusen roteres med vinkelen α.
Cosinus til vinkel α er abscissen (x-koordinat) til et punkt på en trigonometrisk sirkel, som oppstår når radiusen roteres med vinkelen α.
Tangensen til vinkelen α er forholdet mellom sinus og cosinus. Eller, som er det samme, forholdet mellom y-koordinaten og x-koordinaten.
Notasjon: sin α = y ; cos α = x; tg α = y : x .
Alle disse definisjonene er kjent for deg fra videregående algebra. Vi er imidlertid ikke interessert i selve definisjonene, men i konsekvensene som oppstår på den trigonometriske sirkelen. Ta en titt:
Blå farge indikerer den positive retningen til OY-aksen (ordinataksen), rød indikerer den positive retningen til OX-aksen (abscisseaksen). På denne "radaren" blir tegnene på trigonometriske funksjoner tydelige. Spesielt:
- sin α > 0 hvis vinkelen α ligger i I- eller II-koordinatkvadranten. Dette er fordi sinus per definisjon er en ordinat (y-koordinat). Og y-koordinaten vil være positiv nettopp i I- og II-koordinatkvartalene;
- cos α > 0, hvis vinkelen α ligger i 1. eller 4. koordinatkvadrant. For bare der vil x-koordinaten (aka abscissa) være større enn null;
- tan α > 0 hvis vinkelen α ligger i I- eller III-koordinatkvadranten. Dette følger av definisjonen: når alt kommer til alt, tan α = y : x, derfor er den positiv bare der tegnene til x og y faller sammen. Dette skjer i det første koordinatkvartalet (her x > 0, y > 0) og det tredje koordinatkvartalet (x< 0, y < 0).
For klarhet, la oss merke tegnene til hver trigonometrisk funksjon - sinus, cosinus og tangens - på separate "radarer". Vi får følgende bilde:
Vær oppmerksom på: i diskusjonene mine snakket jeg aldri om den fjerde trigonometriske funksjonen - cotangens. Faktum er at kotangenstegnene sammenfaller med tangenttegnene - det er ingen spesielle regler der.
Nå foreslår jeg å vurdere eksempler som ligner på problemer B11 fra prøven Unified State Exam i matematikk, som fant sted 27. september 2011. Tross alt er den beste måten å forstå teori på praksis. Det er tilrådelig å trene mye. Betingelsene for oppgavene ble selvsagt litt endret.
Oppgave. Bestem tegnene på trigonometriske funksjoner og uttrykk (verdiene til funksjonene i seg selv trenger ikke å beregnes):
- sin(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Handlingsplanen er denne: Først konverterer vi alle vinkler fra radianmål til grader (π → 180°), og så ser vi på hvilket koordinatkvartal det resulterende tallet ligger i. Når vi kjenner kvartalene, kan vi enkelt finne skiltene - i henhold til reglene som nettopp er beskrevet. Vi har:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Siden 135° ∈ er dette en vinkel fra II-koordinatkvadranten. Men sinusen i andre kvartal er positiv, så sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Fordi 210° ∈ , dette er vinkelen fra III-koordinatkvadranten, der alle cosinus er negative. Derfor cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Siden 300° ∈ er vi i IV-kvartalet, hvor tangenten tar negative verdier. Derfor brun (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. La oss ta for oss sinusen: fordi 135° ∈ , dette er det andre kvartalet der sinusene er positive, dvs. sin (3π/4) > 0. Nå jobber vi med cosinus: 150° ∈ - igjen andre kvartal, cosinusene der er negative. Derfor cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Vi ser på cosinus: 120° ∈ er II-koordinatkvartalet, så cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Igjen fikk vi et produkt der faktorene har forskjellige fortegn. Siden "minus ved pluss gir minus", har vi: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Vi jobber med sinus: siden 150° ∈ snakker vi om II-koordinatkvartalet, der sinusene er positive. Derfor er sin (5π/6) > 0. På samme måte er 315° ∈ IV-koordinatkvartalet, cosinusene der er positive. Derfor cos (7π/4) > 0. Vi har fått produktet av to positive tall - et slikt uttrykk er alltid positivt. Vi konkluderer: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Men vinkelen 135° ∈ er den andre fjerdedelen, dvs. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Siden "minus ved pluss gir et minustegn," har vi: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Vi ser på cotangens-argumentet: 240° ∈ er III-koordinatkvartalet, derfor ctg (4π/3) > 0. Tilsvarende har vi for tangenten: 30° ∈ er I-koordinatkvartalet, dvs. den enkleste vinkelen. Derfor tan (π/6) > 0. Igjen har vi to positive uttrykk - deres produkt vil også være positivt. Derfor barneseng (4π/3) tg (π/6) > 0.
Til slutt, la oss se på noen mer komplekse problemer. I tillegg til å finne ut tegnet til den trigonometriske funksjonen, må du gjøre litt matematikk her – akkurat slik det gjøres i virkelige oppgaver B11. I prinsippet er dette nesten reelle problemer som faktisk dukker opp i Unified State Examination i matematikk.
Oppgave. Finn sin α hvis sin 2 α = 0,64 og α ∈ [π/2; π].
Siden sin 2 α = 0,64, har vi: sin α = ±0,8. Det gjenstår bare å bestemme: pluss eller minus? Etter betingelse, vinkel α ∈ [π/2; π] er II-koordinatkvartalet, der alle sinus er positive. Derfor er sin α = 0,8 - usikkerheten med fortegn elimineres.
Oppgave. Finn cos α hvis cos 2 α = 0,04 og α ∈ [π; 3π/2].
Vi går frem på lignende måte, dvs. ta kvadratroten: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Etter betingelse, vinkel α ∈ [π; 3π/2], dvs. Vi snakker om tredje koordinatkvartal. Alle cosinus der er negative, så cos α = −0,2.
Oppgave. Finn sin α hvis sin 2 α = 0,25 og α ∈ .
Vi har: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Vi ser på vinkelen igjen: α ∈ er IV-koordinatkvartalet, der sinusen som kjent vil være negativ. Dermed konkluderer vi: sin α = −0,5.
Oppgave. Finn tan α hvis tan 2 α = 9 og α ∈ .
Alt er det samme, bare for tangenten. Trekk ut kvadratroten: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Men i henhold til betingelsen er vinkelen α ∈ I-koordinatkvartalet. Alle trigonometriske funksjoner, inkl. tangent, det er positive, så tan α = 3. Det er det!
Trigonometrisk sirkel. Enhetssirkel. Tallsirkel. Hva det er?
Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")
Svært ofte termer trigonometrisk sirkel, enhetssirkel, tallsirkel dårlig forstått av studentene. Og helt forgjeves. Disse konseptene er en kraftig og universell assistent på alle områder av trigonometri. Faktisk er dette et lovlig jukseark! Jeg tegnet en trigonometrisk sirkel og så umiddelbart svarene! Fristende? Så la oss lære, det ville være synd å ikke bruke noe slikt. Dessuten er det slett ikke vanskelig.
For å lykkes med den trigonometriske sirkelen, trenger du bare å vite tre ting.
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
Leksjonstype: systematisering av kunnskap og mellomkontroll.
Utstyr: trigonometrisk sirkel, tester, oppgavekort.
Leksjonens mål: systematisere det studerte teoretiske materialet i henhold til definisjonene av sinus, cosinus, tangens til en vinkel; sjekk graden av kunnskapsinnhenting om dette emnet og anvendelse i praksis.
Oppgaver:
- Generaliser og konsolider begrepene sinus, cosinus og tangens til en vinkel.
- Skaff deg en omfattende forståelse av trigonometriske funksjoner.
- For å fremme studentenes ønske og behov for å studere trigonometrisk materiale; dyrke en kommunikasjonskultur, evne til å jobbe i grupper og behov for egenutdanning.
"Den som gjør og tenker selv fra en ung alder,
Da blir den mer pålitelig, sterkere, smartere.
(V. Shukshin)
UNDER KLASSENE
I. Organisatorisk øyeblikk
Klassen er representert med tre grupper. Hver gruppe har en konsulent.
Læreren formidler tema, mål og mål for timen.
II. Oppdatere kunnskap (frontalarbeid med klassen)
1) Arbeid i grupper med oppgaver:
1. Formuler definisjonen av syndvinkel.
– Hvilke tegn har sin α i hver koordinatkvadrant?
– Ved hvilke verdier gir uttrykket sin α mening, og hvilke verdier kan det ta?
2. Den andre gruppen er de samme spørsmålene for cos α.
3. Den tredje gruppen forbereder svar på de samme spørsmålene tg α og ctg α.
På dette tidspunktet jobber tre elever selvstendig ved styret ved hjelp av kort (representanter for ulike grupper).
Kort nr. 1.
Praktisk jobb.
Bruk enhetssirkelen til å beregne verdiene av sin α, cos α og tan α for vinkler på 50, 210 og – 210.
Kort nr. 2.
Bestem fortegnet for uttrykket: tg 275; koster 370; synd 790; tg 4.1 og sin 2.
Kort nummer 3.
1) Regn ut:
2) Sammenlign: cos 60 og cos 2 30 – sin 2 30
2) Muntlig:
a) Det foreslås en rekke tall: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Blant dem er det overflødige. Hvilken egenskap ved sin α eller cos α kan disse tallene uttrykke (Kan sin α eller cos α ta disse verdiene).
b) Gir uttrykket mening: cos (–); synd 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). Hvorfor?
c) Er det en minimums- og maksimumsverdi av sin eller cos, tg, ctg.
d) Er det sant?
1) α = 1000 er vinkelen til andre kvartal;
2) α = – 330 er vinkelen til IV-kvartalet.
e) Tallene tilsvarer samme punkt på enhetssirkelen.
3) Arbeid i styret
nr. 567 (2; 4) – Finn verdien av uttrykket
nr. 583 (1-3) Bestem fortegnet på uttrykket
Hjemmelekser: tabell i notatbok. nr. 567(1, 3) nr. 578
III. Tilegne seg ytterligere kunnskap. Trigonometri i håndflaten
Lærer: Det viser seg at verdiene til sinus og cosinus av vinkler er "plassert" i håndflaten din. Strekk ut hånden (enhver hånd) og spre fingrene så langt fra hverandre som mulig (som på plakaten). En student er invitert. Vi måler vinklene mellom fingrene våre.
Ta en trekant der det er en vinkel på 30, 45 og 60 90 og bruk vinkelens toppunkt til månens bakke i håndflaten din. Månefjellet ligger i skjæringspunktet mellom forlengelsene av lillefingeren og tommelen. Vi kombinerer den ene siden med lillefingeren, og den andre siden med en av de andre fingrene.
Det viser seg at det er en vinkel på 90 mellom lillefingeren og tommelen, 30 mellom lillefingeren og ringfingeren, 45 mellom lille- og langfingeren og 60 mellom lillefingeren og pekefingeren. Og dette gjelder for alle mennesker uten unntak.
lillefinger nr. 0 – tilsvarer 0,
navnløs nr. 1 – tilsvarer 30,
snitt nr. 2 – tilsvarer 45,
indeksnummer 3 – tilsvarer 60,
stor nr. 4 – tilsvarer 90.
Dermed har vi 4 fingre på hånden og husker formelen:
Finger nr. |
Hjørne |
Betydning |
|
||
|
||
|
Dette er bare en mnemonisk regel. Generelt må verdien av sin α eller cos α være kjent utenat, men noen ganger vil denne regelen hjelpe i vanskelige tider.
Kom opp med en regel for cos (vinkler endres ikke, men telles fra tommelen). En fysisk pause knyttet til tegnene sin α eller cos α.
IV. Sjekke kunnskapen din om kunnskap og ferdigheter
Selvstendig arbeid med tilbakemelding
Hver elev får en prøve (4 alternativer) og svararket er likt for alle.
Test
valg 1
1) Ved hvilken rotasjonsvinkel vil radiusen ta samme posisjon som når man svinger gjennom en vinkel på 50?
2) Finn verdien av uttrykket: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Hvilket tall er mindre enn null: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.
Alternativ 2
1) Ved hvilken rotasjonsvinkel vil radiusen ta samme posisjon som når du svinger med en vinkel på 10.
2) Finn verdien av uttrykket: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Hvilket tall er større enn null: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).
Alternativ 3
1) Finn verdien av uttrykket: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Hvilket tall er mindre enn null: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Hvilken kvart vinkel er vinkel α, hvis sin α > 0, cos α< 0.
Alternativ 4
1) Finn verdien av uttrykket: tg 60 – 6ctg 90.
2) Hvilket tall er mindre enn null: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Hvilken kvart vinkel er vinkel α, hvis ctg α< 0, cos α> 0.
EN |
B |
I |
G |
D |
E |
OG |
Z |
OG |
L |
M |
|
N |
OM |
P |
R |
MED |
T |
U |
F |
X |
Sh |
YU |
Jeg |
(stikkordet er trigonometri)
V. Informasjon fra trigonometriens historie
Lærer: Trigonometri er en ganske viktig gren av matematikk for menneskeliv. Den moderne formen for trigonometri ble gitt av den største matematikeren på 1700-tallet, Leonhard Euler, en sveitser av fødsel som arbeidet i Russland i mange år og var medlem av St. Petersburgs vitenskapsakademi. Han introduserte kjente definisjoner av trigonometriske funksjoner, formulerte og beviste velkjente formler, vi vil lære dem senere. Eulers liv er veldig interessant, og jeg anbefaler deg å bli kjent med det gjennom Yakovlevs bok "Leonard Euler".
(Melding fra gutta om dette emnet)
VI. Oppsummering av leksjonen
Spillet "Tic Tac Toe"
De to mest aktive studentene deltar. De støttes av grupper. Løsningene på oppgavene skrives ned i en notatbok.
Oppgaver
1) Finn feilen
a) sin 225 = – 1,1 c) sin 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0
2) Uttrykk vinkelen i grader
3) Uttrykk vinkelen 300 i radianer
4) Hva er den største og minste verdien uttrykket kan ha: 1+ sin α;
5) Bestem tegnet på uttrykket: sin 260, cos 300.
6) I hvilken fjerdedel av tallsirkelen ligger punktet?
7) Bestem tegnene til uttrykket: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Regn ut:
9) Sammenlign: sin 2 og sin 350
VII. Leksjonsrefleksjon
Lærer: Hvor kan vi møte trigonometri?
I hvilke leksjoner i 9. klasse, og også nå, bruker du begrepene synd α, cos α; tg α; ctg α og til hvilket formål?