I dette emnet vil vi snakke i detalj om egenskapene til det ubestemte integralet og om å finne selve integralene ved å bruke de nevnte egenskapene. Vi skal også jobbe med tabellen over ubestemte integraler. Materialet som presenteres her er en fortsettelse av emnet "Ubestemt integral. Begynnelse". For å være ærlig inneholder testpapirer sjelden integraler som kan tas ved bruk av typiske tabeller og/eller enkle egenskaper. Disse egenskapene kan sammenlignes med alfabetet, kunnskap og forståelse som er nødvendig for å forstå mekanismen for å løse integraler i andre emner. Ofte kalles integrasjon ved bruk av tabeller over integraler og egenskaper til det ubestemte integralet direkte integrasjon.
Hva jeg kommer til: funksjonene endres, men formelen for å finne den deriverte forblir uendret, i motsetning til integralet, som vi allerede måtte liste opp to metoder for.
La oss gå videre. For å finne den deriverte $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ alle samme gjelder den samme formelen $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, der du må erstatte $u=x^(-\frac(1)(2)) $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ Men for å finne integralen $\int x^(-\frac(1)(. 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ vil kreve bruk av en ny metode - Chebyshev-substitusjoner.
Og til slutt: for å finne den deriverte av funksjonen $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$, formelen $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ er igjen aktuelt, hvor vi i stedet for $u$ og $v$ erstatter henholdsvis $\sin x$ og $\frac(1)(x)$, men $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ er mer presist uttrykt gjennom et begrenset antall elementære funksjoner.
La oss oppsummere: der en formel var nødvendig for å finne den deriverte, var det nødvendig med fire for integralet (og dette er ikke grensen), og i det siste tilfellet nektet integralet å bli funnet i det hele tatt. Funksjonen ble endret – en ny integrasjonsmetode var nødvendig. Det er her vi har flersides tabeller i oppslagsverk. Mangelen på en generell metode (egnet for å løse "manuelt") fører til en overflod av private metoder som bare kan brukes for å integrere sin egen, ekstremt begrensede klasse av funksjoner (i ytterligere emner vil vi behandle disse metodene i detalj). Selv om jeg ikke kan la være å merke tilstedeværelsen av Risch-algoritmen (jeg anbefaler deg å lese beskrivelsen på Wikipedia), er den bare egnet for programbehandling av ubestemte integraler.
Spørsmål #3
Men hvis det er så mange av disse egenskapene, hvordan kan jeg lære å ta integraler? Det var lettere med derivater!
For en person er det bare én måte så langt: å løse så mange eksempler som mulig ved hjelp av ulike integreringsmetoder, slik at når en ny ubestemt integral dukker opp, kan du velge en løsningsmetode for det basert på din erfaring. Jeg forstår at svaret ikke er særlig betryggende, men det er ingen annen måte.
Egenskaper til det ubestemte integralet
Eiendom nr. 1
Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden, dvs. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.
Denne egenskapen er ganske naturlig, siden integralet og derivatet er gjensidig inverse operasjoner. For eksempel, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ og så videre.
Eiendom nr. 2
Det ubestemte integralet av differensialen til en eller annen funksjon er lik denne funksjonen, dvs. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.
Vanligvis oppleves denne egenskapen som noe vanskelig, siden det ser ut til at det ikke er "ingenting" under integralet. For å unngå dette kan du skrive den angitte egenskapen som følger: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Et eksempel på bruk av denne egenskapen: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ eller, hvis du vil, i denne formen: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.
Eiendom nr. 3
Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet, dvs. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (vi antar at $a\neq 0$).
Eiendommen er ganske enkel og krever kanskje ikke kommentarer. Eksempler: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).
Eiendom nr. 4
Integralet av summen (forskjellen) av to funksjoner er lik summen (forskjellen) av integralene til disse funksjonene:
$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$
Eksempler: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.
I standardtester brukes vanligvis egenskap nr. 3 og nr. 4, så vi vil dvele mer ved dem.
Eksempel nr. 3
Finn $\int 3 e^x dx$.
La oss bruke egenskap nr. 3 og ta ut konstanten, dvs. nummer $3$, for integrertegnet: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. La oss nå åpne tabellen med integraler og erstatte $u=x$ i formel nr. 4, får vi: $\int e^x dx=e^x+C$. Det følger at $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Jeg antar at leseren umiddelbart vil ha et spørsmål, så jeg vil formulere dette spørsmålet separat:
Spørsmål #4
Hvis $\int e^x dx=e^x+C$, så $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! Hvorfor skrev de bare $3e^x+C$ i stedet for $3e^x+3C$?
Spørsmålet er helt rimelig. Poenget er at integralkonstanten (dvs. det samme tallet $C$) kan representeres i form av et hvilket som helst uttrykk: hovedsaken er at dette uttrykket "løper gjennom" hele settet med reelle tall, dvs. varierte fra $-\infty$ til $+\infty$. For eksempel, hvis $-\infty≤ C ≤ +\infty$, så $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, så konstanten $C$ kan representeres i formen $\ frac(C)( 3)$. Vi kan skrive at $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ og deretter $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\venstre (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$. Som du kan se, er det ingen motsetning her, men du må være forsiktig når du endrer formen til integralkonstanten. For eksempel vil det å representere konstanten $C$ som $C^2$ være en feil. Poenget er at $C^2 ≥ 0$, dvs. $C^2$ endres ikke fra $-\infty$ til $+\infty$ og "løper ikke gjennom" alle reelle tall. Likeledes vil det være en feil å representere en konstant som $\sin C$, fordi $-1≤ \sin C ≤ 1$, dvs. $\sin C$ "løper" ikke gjennom alle verdiene til den virkelige aksen. I det følgende vil vi ikke diskutere dette problemet i detalj, men vil ganske enkelt skrive konstanten $C$ for hver ubestemt integral.
Eksempel nr. 4
Finn $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$.
La oss bruke eiendom nr. 4:
$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$
La oss nå ta konstantene (tall) utenfor integrertegnet:
$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$
Deretter vil vi jobbe med hver oppnådd integral separat. Det første integralet, dvs. $\int \sin x dx$, kan enkelt finnes i tabellen over integraler under nr. 5. Ved å erstatte $u=x$ i formel nr. 5 får vi: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.
For å finne den andre integralen $\int\frac(dx)(x^2+9)$ må du bruke formel nr. 11 fra tabellen over integraler. Ved å erstatte $u=x$ og $a=3$ i den får vi: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.
Og til slutt, for å finne $\int x^3dx$ bruker vi formel nr. 1 fra tabellen, og erstatter $u=x$ og $\alpha=3$ i den: $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.
Alle integraler inkludert i uttrykket $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ er funnet. Alt som gjenstår er å erstatte dem:
$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3) )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$
Problemet er løst, svaret er: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Jeg vil legge til en liten merknad til dette problemet:
Bare en liten merknad
Kanskje ingen vil trenge dette innlegget, men jeg vil likevel nevne at $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. De. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2) +9)$.
La oss se på et eksempel der vi bruker formel nr. 1 fra tabellen over integraler for å sette inn irrasjonaliteter (røtter, med andre ord).
Eksempel nr. 5
Finn $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.
Til å begynne med vil vi gjøre de samme handlingene som i eksempel nr. 3, nemlig: vi vil dekomponere integralet i to og flytte konstantene utover fortegnene til integralene:
$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^ 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$
Siden $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, deretter $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7) )dx$. For å finne denne integralen bruker vi formel nr. 1, og erstatter $u=x$ og $\alpha=\frac(4)(7)$ i den: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Hvis du ønsker det, kan du representere $\sqrt(x^(11))$ som $x\cdot\sqrt(x^(4))$, men dette er ikke nødvendig.
La oss nå gå til det andre integralet, dvs. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Siden $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11)) $, så kan integralet som vurderes representeres i følgende form: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . For å finne det resulterende integralet bruker vi formel nr. 1 fra tabellen over integraler, og erstatter $u=x$ og $\alpha=-\frac(6)(11)$ i den: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.
Ved å erstatte de oppnådde resultatene får vi svaret:
$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$
Svar: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.
Og til slutt, la oss ta integralet som faller inn under formel nr. 9 i tabellen over integraler. Eksempel nr. 6, som vi nå skal gå videre til, kunne løses på en annen måte, men dette vil bli diskutert i etterfølgende emner. Foreløpig vil vi holde oss innenfor rammen av å bruke tabellen.
Eksempel nr. 6
Finn $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.
Først, la oss gjøre samme operasjon som før: flytte konstanten (tallet $12$) utenfor integrertegnet:
$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$
Den resulterende integralen $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ er allerede nær den tabellformede $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) )$ (formel nr. 9 tabell over integraler). Forskjellen i integralet vårt er at før $x^2$ under roten er det en koeffisient $7$, som tabellintegralet ikke tillater. Derfor må vi bli kvitt disse syv ved å flytte den utover rottegnet:
$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)( ) 7)-x^2\høyre)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$
Hvis vi sammenligner tabellintegralen $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ og $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ blir det klart at de har samme struktur. Bare i integralet $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ i stedet for $u$ er det $x$, og i stedet for $a^2$ det er $\frac (15)(7)$. Vel, hvis $a^2=\frac(15)(7)$, så $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. Bytte inn $u=x$ og $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ i formelen $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin \ frac(u)(a)+C$, får vi følgende resultat:
$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$
Hvis vi tar i betraktning at $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, så kan resultatet skrives om uten "tre-etasjes " brøker:
$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$
Problemet er løst, svaret er mottatt.
Svar: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.
Eksempel nr. 7
Finn $\int\tg^2xdx$.
Det finnes metoder for å integrere trigonometriske funksjoner. Men i dette tilfellet kan du klare deg med kunnskap om enkle trigonometriske formler. Siden $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, deretter $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ høyre)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. Med tanke på $\sin^2x=1-\cos^2x$ får vi:
$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$
Dermed $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Ved å utvide det resulterende integralet til summen av integraler og bruke tabellformler, vil vi ha:
$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$
Svar: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.
Leksjonsutstyr: forelesningsnotater.
Evalueringskriterier
Arbeidsordre
Øvelse 1.
Les forelesning nr. 9
Oppgave 2.
Forelesning 9.
ubestemt integral fra denne funksjonen:
10 .
( dx)" = d ( dx) =f(x) dx
20. Det ubestemte integralet til differensialen til en funksjon er lik denne funksjonen pluss en vilkårlig konstant:
30. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til det ubestemte integralet.
40. Det ubestemte integralet av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av ubestemte integraler av funksjonenes vilkår:
50. Hvis a er en konstant, er formelen gyldig
Se dokumentinnholdet
"Integrasjonsteknikk Direkte integrasjon"
Praktisk jobb№ 7
Tema: Integreringsteknikk. Direkte integrasjon
Mål:
studere formler og regler for beregning av ubestemt integral
lære å løse eksempler ved hjelp av direkte integrasjon
Leksjonsutstyr: forelesningsnotater.
Evalueringskriterier
Karakteren «5» gis for riktig gjennomføring av alle arbeidsoppgaver
Karakteren "4" gis for å fullføre oppgave 1 og riktig løse eventuelle ti eksempler fra oppgave 2.
Karakteren "3" gis for å fullføre oppgave 1 og riktig løse eventuelle syv eksempler fra oppgave 2.
Arbeidsordre
Øvelse 1.
Les forelesning nr. 9
Bruk forelesningene, svar på spørsmålene og skriv ned svarene i notatboken din:
1. Hvilke egenskaper ved det ubestemte integralet kjenner du til?
2. Skriv inn i de grunnleggende integrasjonsformlene
3. Hvilke tilfeller er mulig med direkte integrasjon?
Oppgave 2.
Løs eksempler for uavhengig løsning
Forelesning 9.
Emne: «Ubestemt integral. Direkte integrasjon"
En funksjon F(x) kalles en antiderivert av en funksjon f(x) hvis F "(x) = f(x).
Enhver kontinuerlig funksjon f(x) har et uendelig antall antiderivater, som skiller seg fra hverandre med et konstant ledd.
Det generelle uttrykket F(x) +C for settet av alle antiderivater for funksjonen f(x) kalles ubestemt integral fra denne funksjonen:
dx = F(x) +С, hvis d(F(x) +С) = dx
Grunnleggende egenskaper til det ubestemte integralet
1 0 .Den deriverte av det ubestemte integralet er lik integranden og dens differensial er lik integranden:
( dx)" = d ( dx) =f(x) dx
2 0 . Det ubestemte integralet til differensialen til en funksjon er lik denne funksjonen pluss en vilkårlig konstant:
3 0 . Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til det ubestemte integralet.
4 0 .Det ubestemte integralet av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av ubestemte integraler av funksjonenes termer:
+dx
5 0 . Hvis a er en konstant, er formelen gyldig
Grunnleggende integrasjonsformler (tabellintegraler)
4. 
5. 
7. 
9. = - ctgx + C
12. = arcsin + C
Når du bruker formlene (3), (10). (11) Absoluttverditegnet skrives kun i tilfeller hvor uttrykket under logaritmetegnet kan ha negativ verdi.
Hver av formlene er enkle å sjekke. Som et resultat av å differensiere høyresiden, oppnås en integrand.
Direkte integrasjon.
Direkte integrasjon er basert på direkte bruk av tabellen over integraler. Følgende tilfeller kan oppstå her:
1) dette integralet kan finnes direkte fra den tilsvarende tabellintegralen;
2) dette integralet, etter bruk av egenskapene 3 0 og 4 0, reduseres til en eller flere tabellintegraler;
3) dette integralet, etter elementære identitetstransformasjoner over integranden og anvendelsen av egenskapene 3 0 og 4 0, reduseres til en eller flere tabellintegraler.
Eksempler.
Basert på egenskap 3 0 tas konstantfaktoren 5 ut av integrertegnet og ved hjelp av formel 1 får vi
Løsning. Ved å bruke egenskap 3 0 og formel 2 får vi
6 
Løsning. Ved å bruke egenskapene 3 0 og 4 0 og formlene 1 og 2 har vi
X + 3) = 4 
+ 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C
Integrasjonskonstanten C er lik den algebraiske summen av tre integrasjonskonstanter, siden hvert integral har sin egen vilkårlige konstant (C 1 – C 2 + C 3 = C)
Løsning. Kvadring og integrering av hvert semester har vi
Ved å bruke den trigonometriske formelen 1 + barneseng 2 x =
= = - ctgx – x + C
Løsning. Hvis vi trekker fra og legger til tallet 9 til telleren til integranden, får vi
= = + = - =
X + 9 + C = - x +
Eksempler på selvløsning
Vurder integralene ved å bruke direkte integrasjon:
Overvåke elevenes kunnskap:
sjekke praktisk arbeid;
Krav for å gjennomføre praktisk arbeid:
Oppgaven skal gjennomføres i en notatbok for praktisk arbeid
Send inn arbeid etter timen
Siden vi nå bare vil snakke om det ubestemte integralet, vil vi for korthets skyld utelate begrepet "ubestemt".
For å lære å beregne integraler (eller, som de sier, integrere funksjoner), må du først lære tabellen over integraler:
Tabell 1. Tabell over integraler
|
2.
2a. 2b. 2c. 3.
3a. 4.
5.
5a) 6a. 7.
7a. |
8.
9.
10.
10a. 11.
11a. 12.
13.
13a. |
(
),u>0.
(α=0);
(a=1);
(α= 
).
I tillegg trenger du evnen til å beregne den deriverte av en gitt funksjon, noe som betyr at du må huske reglene for differensiering og tabellen med deriverte av grunnleggende elementære funksjoner:
Tabell 2. Tabell over derivater og differensieringsregler:
 6.a .
|
(synd Og) = cos Og Og (cos u) = – synd Og Og |
|
Vi trenger også evnen til å finne differensialen til en funksjon. Husk at differensialen til funksjonen 
finne etter formel 
, dvs. differensialen til en funksjon er lik produktet av den deriverte av denne funksjonen og differensialen til argumentet. Det er nyttig å huske på følgende kjente relasjoner:
Tabell 3. Differensialtabell
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
|
10.
11.
12.
14.
15.
16.
17.
|
(b=
Konst)
(
)
(b=
Konst)
Dessuten kan disse formlene brukes enten ved å lese dem fra venstre til høyre eller fra høyre til venstre.
La oss vurdere sekvensielt de tre hovedmetodene for å beregne integralet. Den første av dem heter ved direkte integreringsmetode. Den er basert på bruken av egenskapene til det ubestemte integralet og inkluderer to hovedteknikker: utvidelse av et integral til en algebraisk sum enklere og abonnere på differensialtegnet, og disse teknikkene kan brukes både uavhengig og i kombinasjon.
EN) La oss vurdere algebraisk sumutvidelse– denne teknikken innebærer bruk av identiske transformasjoner av integranden og linearitetsegenskapene til det ubestemte integralet: 
Og.
Eksempel 1. Finn integralene:
EN)
;
b)
;
V)
G)
d) 
.
Løsning.
EN)La oss transformere integranden ved å dele telleren med nevneren begrep for begrep:
Maktens egenskap brukes her: 
.
b) Først transformerer vi telleren til brøken, deretter deler vi tellerleddet på ledd med nevneren:
Egenskapen til grader brukes også her: 
.
Eiendommen som brukes her er: 
,
.
.
Formlene 2 og 5 i tabell 1 brukes her.
Eksempel 2. Finn integralene:
EN)
;
b)
;
V)
G)
d) 
.
Løsning.
EN)La oss transformere integranden ved å bruke den trigonometriske identiteten:
.
Her bruker vi igjen term-for-term-deling av telleren med nevneren og formlene 8 og 9 i tabell 1.
b) Vi transformerer på samme måte ved å bruke identiteten 
:
.
c) Del først tellerleddet på ledd med nevneren og ta konstantene ut av integrertegnet, bruk deretter den trigonometriske identiteten 
:
d) Bruk formelen for å redusere graden:
,
e) Ved å bruke trigonometriske identiteter transformerer vi:
B) La oss vurdere integreringsteknikken, som kalles p ved å plassere den under differensialtegnet. Denne teknikken er basert på invariansegenskapen til det ubestemte integralet:
Hvis 
, deretter for enhver differensierbar funksjon Og=Og(X) inntreffer: 
.
Denne egenskapen lar oss utvide tabellen med enkle integraler betydelig, siden formlene i tabell 1 på grunn av denne egenskapen er gyldige ikke bare for den uavhengige variabelen Og, men også i tilfelle når Og– en differensierbar funksjon av en annen variabel.
For eksempel, 
, men også 
, Og 
, Og 
.
Eller 
Og 
, Og 
.
Essensen av metoden er å isolere differensialen til en viss funksjon i en gitt integrand slik at denne isolerte differensialen, sammen med resten av uttrykket, danner en tabellformel for denne funksjonen. Om nødvendig kan konstanter legges til under en slik konvertering. For eksempel:
(i det siste eksemplet skrevet ln(3 + x 2) i stedet for ln|3 + x 2 | , siden uttrykket er 3 + x 2 er alltid positivt).
Eksempel 3.
Finn integralene:
EN)
;
b)
; V)
;
G)
; d)
; e)
;
og)
; h)
.
Løsning.
EN).
Formlene 2a, 5a og 7a i tabell 1 brukes her, hvorav de to siste oppnås nøyaktig ved å subsumere differensialtegnet:
Integrer visningsfunksjoner 
forekommer svært ofte innenfor rammen av å beregne integraler av mer komplekse funksjoner. For ikke å gjenta trinnene beskrevet ovenfor hver gang, anbefaler vi at du husker de tilsvarende formlene gitt i Tabell 1.
.
Formel 3 i tabell 1 brukes her.
c) På samme måte, med tanke på at , transformerer vi:
.
Formel 2c i Tabell 1 brukes her.
G)
.
d) ;
e)
.
og) ;
h)
.
Eksempel 4. Finn integralene:
EN)
b)
V) 
.
Løsning.
a) Transform:
Formel 3 i tabell 1 brukes også her.
b) Vi bruker formelen for å redusere graden 
:
Formlene 2a og 7a i tabell 1 brukes her.
Her, sammen med formlene 2 og 8 i tabell 1, brukes også formlene i tabell 3: 
,
.
Eksempel 5. Finn integralene:
EN) 
;
b) 
V) 
; G) 
.
Løsning.
en jobb 
kan suppleres (se formlene 4 og 5 i tabell 3) til funksjonens differensial 
, Hvor EN Og b– eventuelle konstanter, 
. Faktisk hvorfra 
.
Da har vi:
.
b) Ved å bruke formel 6 i tabell 3 har vi 
, og 
, som betyr tilstedeværelsen i integranten til produktet 
betyr et hint: under differensialtegnet må du skrive inn uttrykket 
. Derfor får vi
c) Samme som i punkt b), produktet 
kan utvides til differensialfunksjoner 
. Da får vi:
.
d) Først bruker vi linearitetsegenskapene til integralet:
Eksempel 6. Finn integralene:
EN)
;
b)
;
V)
; G)
.
Løsning.
EN)Vurderer
(formel 9 i tabell 3), transformerer vi:
b) Ved å bruke formel 12 i tabell 3 får vi
c) Tar vi hensyn til formel 11 i tabell 3, transformerer vi
d) Ved å bruke formel 16 i tabell 3 får vi:
.
Eksempel 7. Finn integralene:
EN)
;
b)
;
V)
;
G)
.
Løsning.
EN)Alle integraler presentert i dette eksemplet har et fellestrekk: Integranden inneholder et kvadratisk trinomium. Derfor vil metoden for å beregne disse integralene være basert på den samme transformasjonen - isolering av hele kvadratet i dette kvadratiske trinomialet.
.
b)
.
V)
G)
Metoden for å erstatte et differensialtegn er en muntlig implementering av en mer generell metode for å beregne et integral, kalt substitusjonsmetoden eller endring av variabel. Faktisk, hver gang vi valgte en passende formel i tabell 1 for den som ble oppnådd som et resultat av å subsumere funksjonsdifferensialtegnet, byttet vi mentalt ut bokstaven Og funksjon introdusert under differensialtegnet. Derfor, hvis integrasjon ved å subsumere differensialtegnet ikke fungerer veldig bra, kan du endre variabelen direkte. Mer informasjon om dette i neste avsnitt.
Den direkte integrasjonsmetoden er basert på å transformere integrand-funksjonen, bruke egenskapene til det ubestemte integralet og redusere integrand-uttrykket til tabellform.
For eksempel:
Undersøkelse
Undersøkelse
2. Substitusjonsmetode (variabel erstatning)
Denne metoden er basert på å introdusere en ny variabel. La oss gjøre en erstatning i integralen:
;
Derfor får vi:
For eksempel:
1)
Undersøkelse:
2)
Undersøkelse(basert på eiendom nr. 2 av ubestemt integral):
Integrert stykke for stykke
La u Og v - differensierbare funksjoner. La oss avsløre forskjellen mellom produktet av disse funksjonene:
,
hvor 
La oss integrere det resulterende uttrykket:
For eksempel:
Undersøkelse(basert på eiendom nr. 1 av ubestemt integral):
2)
La oss bestemme 
Undersøkelse(basert på eiendom nr. 1 av ubestemt integral):
PRAKTISK DEL
Problemer å løse hjemme
Finn integralet:
EN) 
; e) 
;
V) 
; h) 
G) 
; Og) 
d) ; Til) 
A) ; e) 
;
V); h) 
;
d) ; Til) 
.
A) ; V); d)
b) ; G); e)
Problemer som skal løses under praktiske timer:
I. Direkte integreringsmetode
EN) 
; og) ;
b) 
; h) ;
V) 
; Og)
G) 
; Til)
e) 
; m) 
II. Substitusjonsmetode (variabel erstatning)
G); Til) 
;
d) 
; l);
III. Metode for integrering etter deler
TEMA nr. 4
DEFINITIV INTEGRAL
I matematiske beregninger er det ofte nødvendig å finne økningen til en antiderivertfunksjon når argumentet endres innenfor angitte grenser. Dette problemet må løses når man beregner arealene og volumene til forskjellige figurer, når man bestemmer gjennomsnittsverdien av en funksjon, når man beregner arbeidet til en variabel kraft. Disse problemene kan løses ved å beregne de tilsvarende bestemte integralene.
Hensikten med leksjonen:
1. Lær å beregne et bestemt integral ved å bruke Newton-Leibniz-formelen.
2. Kunne anvende begrepet en bestemt integral for å løse anvendte problemer.
TEORETISK DEL
KONSEPTET ET BESTEMT INTEGRAL OG DETS GEOMETRISKE BETYDNING
Vurder problemet med å finne området til en krumlinjet trapes.
La noen funksjon bli gitt y=f(x), grafen som er vist i figuren.
Figur 1. Geometrisk betydning av et bestemt integral.
På aksen 0x velg poeng “en" Og "V" og gjenopprett perpendikulære fra dem til de krysser kurven. En figur avgrenset av en kurve, perpendikulære og en akse 0x kalt en buet trapes. La oss dele intervallet inn i en rekke små segmenter. La oss velge et vilkårlig segment. La oss bygge en buet trapes som tilsvarer dette segmentet til et rektangel. Arealet til et slikt rektangel bestemmes som:
Da vil arealet av alle fullførte rektangler i intervallet være lik:
;
Hvis hvert av segmentene er små nok og har en tendens til null, vil det totale arealet av rektanglene ha en tendens til området til den buede trapesen:
;
Så problemet med å beregne arealet til en krumlinjet trapes kommer ned til å bestemme grensen for summen.
Integralsummen er summen av produktene av økningen av argumentet og verdien av funksjonen f(x) , tatt på et tidspunkt i intervallet innenfor grensene som argumentet endres. Matematisk fører problemet med å finne grensen for integralsummen hvis økningen av den uavhengige variabelen har en tendens til null til begrepet et bestemt integral.
Funksjon f(x ) i et eller annet intervall fra x=a før x=b integrerbar hvis det er et tall som integralsummen tenderer til Dх®0 . I dette tilfellet nummeret J kalt bestemt integral funksjoner f(x) i intervallet:
;
Hvor ] a, c[ – område for integrering,
EN-nedre grense for integrering,
V– øvre grense for integrering.
Fra et geometris synspunkt er et bestemt integral arealet til en figur begrenset av grafen til en funksjon i et visst intervall] a, c [ og x-aksen.