Generell ligning for en rett linje:
Spesielle tilfeller av den generelle ligningen av en rett linje:
og hvis C= 0, vil ligning (2) ha formen
Øks + Av = 0,
og den rette linjen definert av denne ligningen går gjennom origo, siden koordinatene til origo er x = 0, y= 0 tilfredsstiller denne ligningen.
b) Hvis i den generelle ligningen for den rette linjen (2) B= 0, så tar ligningen formen
Øks + MED= 0, eller .
Ligningen inneholder ingen variabel y, og den rette linjen definert av denne ligningen er parallell med aksen Oy.
c) Hvis i den generelle ligningen for den rette linjen (2) EN= 0, så vil denne ligningen ta formen
Av + MED= 0, eller ;
ligningen inneholder ingen variabel x, og den rette linjen den definerer er parallell med aksen Okse.
Det bør huskes: hvis en rett linje er parallell med en eller annen koordinatakse, så er det i ligningen ingen term som inneholder en koordinat med samme navn som denne aksen.
d) Når C= 0 og EN= 0 ligning (2) har formen Av= 0, eller y = 0.
Dette er ligningen for aksen Okse.
d) Når C= 0 og B= 0 ligning (2) vil bli skrevet i formen Øks= 0 eller x = 0.
Dette er ligningen for aksen Oy.
Den relative plasseringen av linjer på et plan. Vinkelen mellom rette linjer på et plan. Betingelse for parallelle linjer. Betingelse for perpendikularitet av linjer.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 Vektorene S 1 og S 2 kalles hjelpelinjer for sine linjer.
Vinkelen mellom rette linjer l 1 og l 2 bestemmes av vinkelen mellom retningsvektorene.
Teorem 1: cos for vinkelen mellom l 1 og l 2 = cos(l 1 ; l 2) =
Teorem 2: For at 2 linjer skal være like er det nødvendig og tilstrekkelig:
Teorem 3: For at 2 rette linjer skal være vinkelrette er det nødvendig og tilstrekkelig:
L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
Generell planligning og dens spesielle tilfeller. Ligning av et plan i segmenter.
Generell planligning:
Axe + By + Cz + D = 0
Spesielle tilfeller:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – planet går gjennom origo
2. С=0 Ax+By+D = 0 – plan || OZ
3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – plan || OY
4. A=0 By+Cz+D = 0 – plan || OKSE
5. A=0 og D=0 By+Cz = 0 – planet går gjennom OX
6. B=0 og D=0 Ax+Cz = 0 – planet går gjennom OY
7. C=0 og D=0 Ax+By = 0 – flyet går gjennom OZ
Den relative plasseringen av fly og rette linjer i rommet:
1. Vinkelen mellom rette linjer i rommet er vinkelen mellom retningsvektorene deres.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = = 
2. Vinkelen mellom planene bestemmes gjennom vinkelen mellom deres normalvektorer.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = = 
3. Cosinus til vinkelen mellom linjen og planet kan finnes gjennom sin av vinkelen mellom retningsvektoren til linjen og normalvektoren til planet.
4. 2 rette || i verdensrommet når deres || vektorguider
5. 2 fly || når || normale vektorer
6. Begrepene vinkelrett på linjer og plan introduseres på samme måte.
Spørsmål nr. 14
Ulike typer ligninger av en rett linje på et plan (ligning av en rett linje i segmenter, med en vinkelkoeffisient, etc.)
Ligning av en rett linje i segmenter:
La oss anta at i den generelle ligningen for den rette linjen:
1. C = 0 Ах + Ву = 0 – den rette linjen går gjennom origo.
2. a = 0 Vu + C = 0 y =
3. b = 0 Ax + C = 0 x =
4. b=C=0 Ax = 0 x = 0
5. a=C=0 Ву = 0 у = 0
Ligning av en rett linje med en helning:
Enhver rett linje som ikke er lik op-amp-aksen (B not = 0) kan skrives ned i neste linje. form:
k = tanα α – vinkel mellom rett linje og positivt rettet linje OX
b – skjæringspunktet for den rette linjen med aksen til op-ampen
Dokument:
Axe+By+C = 0
Wu= -Ah-S |:B
Ligning av en rett linje basert på to punkter:
Spørsmål nr. 16
Begrenset grense for en funksjon i et punkt og for x→∞
Sluttgrense ved x0:
Tallet A kalles grensen for funksjonen y = f(x) for x→x 0 hvis det for noen E > 0 eksisterer b > 0 slik at for x ≠x 0 tilfredsstiller ulikheten |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
Grensen er indikert med: = A
Sluttgrense ved punkt +∞:
Tallet A kalles grensen for funksjonen y = f(x) ved x → + ∞ , hvis det for noen E > 0 eksisterer C > 0 slik at for x > C er ulikheten |f(x) - A|< Е
Grensen er indikert med: = A
Sluttgrense ved punkt -∞:
Tallet A kalles grensen for funksjonen y = f(x) for x→-∞, hvis for noen E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt i en gitt retning. Ligning av en linje som går gjennom to gitte punkter. Vinkelen mellom to rette linjer. Betingelsen for parallellitet og perpendikularitet av to rette linjer. Bestemme skjæringspunktet mellom to linjer
1. Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt EN(x 1 , y 1) i en gitt retning, bestemt av helningen k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Denne ligningen definerer en blyant av linjer som går gjennom et punkt EN(x 1 , y 1), som kalles strålesenteret.
2. Ligning av en linje som går gjennom to punkter: EN(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2), skrevet slik:
Vinkelkoeffisienten til en rett linje som går gjennom to gitte punkter, bestemmes av formelen
3. Vinkel mellom rette linjer EN Og B er vinkelen som den første rette linjen må roteres med EN rundt skjæringspunktet for disse linjene mot klokken til det faller sammen med den andre linjen B. Hvis to rette linjer er gitt ved ligninger med en helning
y = k 1 x + B 1 ,
La linjen gå gjennom punktene M 1 (x 1; y 1) og M 2 (x 2; y 2). Ligningen til en rett linje som går gjennom punktet M 1 har formen y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Hvor k - fortsatt ukjent koeffisient.
Siden den rette linjen går gjennom punktet M 2 (x 2 y 2), må koordinatene til dette punktet tilfredsstille ligning (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Herfra finner vi Substituting the found value k
inn i ligning (10.6), får vi ligningen til en rett linje som går gjennom punktene M 1 og M 2: 
Det antas at i denne ligningen x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Hvis x 1 = x 2, så er den rette linjen som går gjennom punktene M 1 (x 1,y I) og M 2 (x 2,y 2) parallell med ordinataksen. Dens ligning er x = x 1 .
Hvis y 2 = y I, så kan linjens ligning skrives som y = y 1, den rette linjen M 1 M 2 er parallell med abscisseaksen.
Ligning av en linje i segmenter
La den rette linjen skjære Ox-aksen i punktet M 1 (a;0), og Oy-aksen i punktet M 2 (0;b). Ligningen vil ha formen: 
de. 
. Denne ligningen kalles ligning av en rett linje i segmenter, fordi tallene a og b indikerer hvilke segmenter linjen skjærer av på koordinataksene.
Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor
La oss finne ligningen til en rett linje som går gjennom et gitt punkt Mo (x O; y o) vinkelrett på en gitt vektor som ikke er null n = (A; B).
La oss ta et vilkårlig punkt M(x; y) på linjen og vurdere vektoren M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Siden vektorene n og M o M er vinkelrette, er deres skalarprodukt lik null: dvs.
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Ligning (10.8) kalles likning av en rett linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor .
Vektor n= (A; B), vinkelrett på linjen, kalles normal normal vektor for denne linjen .
Ligning (10.8) kan skrives om som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
hvor A og B er koordinatene til normalvektoren, C = -Ax o - Vu o er frileddet. Ligning (10,9) er den generelle ligningen til linjen(se fig. 2).
Fig.1 Fig.2
Kanoniske ligninger av linjen
,
Hvor 
- koordinater til punktet som linjen går gjennom, og 
- retningsvektor.
Andre ordens kurver Sirkel
En sirkel er settet av alle punkter i planet like langt fra et gitt punkt, som kalles sentrum.
Kanonisk ligning av en sirkel med radius
R sentrert på et punkt 
:
Spesielt hvis sentrum av innsatsen sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene, vil ligningen se slik ut: 
Ellipse
En ellipse er et sett med punkter på et plan, summen av avstandene fra hver til to gitte punkter
Og 
, som kalles foci, er en konstant størrelse 
, større enn avstanden mellom foci 
.
Den kanoniske ligningen til en ellipse hvis brennpunkter ligger på okseaksen, og opprinnelsen til koordinatene i midten mellom brennpunktene har formen 
G 
de en semi-hovedakse lengde; b – lengden på halv-molaksen (fig. 2).
Definisjon. Enhver rett linje på planet kan spesifiseres med en førsteordens ligning
Axe + Wu + C = 0,
Dessuten er konstantene A og B ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles generell ligning av en rett linje. Avhengig av verdiene til konstantene A, B og C, er følgende spesielle tilfeller mulig:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – den rette linjen går gjennom origo
A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - rett linje parallelt med okseaksen
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – rett linje parallelt med Oy-aksen
B = C = 0, A ≠0 – den rette linjen faller sammen med Oy-aksen
A = C = 0, B ≠0 – den rette linjen faller sammen med okseaksen
Ligningen til en rett linje kan presenteres i forskjellige former avhengig av gitte startbetingelser.
Ligning av en rett linje fra et punkt og normalvektor
Definisjon. I det kartesiske rektangulære koordinatsystemet er en vektor med komponenter (A, B) vinkelrett på den rette linjen gitt av ligningen Ax + By + C = 0.
Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktet A(1, 2) vinkelrett på (3, -1).
Løsning. Med A = 3 og B = -1, la oss komponere ligningen for den rette linjen: 3x – y + C = 0. For å finne koeffisienten C, erstatter vi koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket. 3 – 2 + C = 0, derfor C = -1 . Totalt: den nødvendige ligningen: 3x – y – 1 = 0.
Ligning av en linje som går gjennom to punkter
La to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) gis i rommet, så er ligningen til linjen som går gjennom disse punktene:
Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren være lik null På planet er ligningen til linjen skrevet ovenfor forenklet:
hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2.
Brøken = k kalles skråningen rett.
Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).
Løsning. Ved å bruke formelen skrevet ovenfor får vi:
Ligning av en rett linje fra et punkt og en helning
Hvis totalen Ax + Bu + C = 0, fører du til skjemaet:
og utpeke 
, så kalles den resulterende ligningen ligning av en rett linje med helningk.
Ligning av en rett linje fra et punkt og en retningsvektor
I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom en normalvektor, kan du angi definisjonen av en rett linje gjennom et punkt og retningsvektoren til den rette linjen.
Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1, α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen A α 1 + B α 2 = 0, kalles en retningsvektor for linjen
Axe + Wu + C = 0.
Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punktet A(1, 2).
Løsning. Vi vil se etter ligningen til ønsket linje i formen: Ax + By + C = 0. I henhold til definisjonen skal koeffisientene tilfredsstille betingelsene:
1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.
Da har ligningen for den rette linjen formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0. for x = 1, y = 2 får vi C/ A = -3, dvs. nødvendig ligning:
Ligning av en linje i segmenter
Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, ved å dele med –С: 
eller
Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten EN er koordinaten til skjæringspunktet for linjen med okseaksen, og b– koordinaten til skjæringspunktet mellom den rette linjen og Oy-aksen.
Eksempel. Den generelle ligningen til linjen x – y + 1 = 0 er gitt. Finn ligningen til denne linjen i segmenter.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normal ligning av en linje
Hvis begge sider av ligningen Ax + By + C = 0 multipliseres med tallet 
som kalles normaliserende faktor, så får vi
xcosφ + ysinφ - p = 0 -
normal ligning av en linje. Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Eksempel. Den generelle ligningen til linjen 12x – 5y – 65 = 0 Det er påkrevd å skrive ulike typer ligninger for denne linjen.
ligningen for denne linjen i segmenter: 
likning av denne linjen med helning: (del med 5)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer parallelle med aksene eller som går gjennom origo for koordinater.
Eksempel. Den rette linjen avskjærer like positive segmenter på koordinataksene. Skriv en ligning for en rett linje hvis arealet av trekanten dannet av disse segmentene er 8 cm 2.
Løsning. Ligningen for den rette linjen har formen: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Eksempel. Skriv en likning for en rett linje som går gjennom punkt A(-2, -3) og origo.
Løsning.
Ligningen for den rette linjen er: 
hvor xl = y1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.
Vinkel mellom rette linjer på et plan
Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som
.
To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/ k 2.
Teorem. Linjene Ax + Bу + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle når koeffisientene A 1 = λA, B 1 = λB er proporsjonale. Hvis også C 1 = λC, så faller linjene sammen. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.
Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt linje
Definisjon. En rett linje som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på den rette linjen y = kx + b er representert ved ligningen:
Avstand fra punkt til linje
Teorem. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er gitt, blir avstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 bestemt som
.
Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av perpendikulæren som faller fra punkt M til en gitt rett linje. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:
(1)
Koordinatene x 1 og y 1 kan bli funnet ved å løse ligningssystemet:
Den andre ligningen til systemet er ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett på en gitt linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,
så når vi løser, får vi:
Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:
Teoremet er bevist.
Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
Eksempel. Vis at linjene 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.
Løsning. Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, derfor er linjene vinkelrette.
Eksempel. Oppgitt er toppunktene til trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.
Løsning. Vi finner ligningen til siden AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Den nødvendige høydeligningen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Da er y = . Fordi høyden går gjennom punkt C, så tilfredsstiller koordinatene denne ligningen: 
fra hvor b = 17. Totalt:. 
Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.
Linjen som går gjennom punktet K(x 0 ; y 0) og parallelt med linjen y = kx + a er funnet av formelen:
y - y 0 = k(x - x 0) (1)
Hvor k er helningen til linjen.
Alternativ formel:
En linje som går gjennom punktet M 1 (x 1 ; y 1) og parallelt med linjen Ax+By+C=0 er representert ved ligningen
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)
Eksempel nr. 1. Skriv en likning for en rett linje som går gjennom punktet M 0 (-2,1) og samtidig:a) parallelt med den rette linjen 2x+3y -7 = 0;
b) vinkelrett på den rette linjen 2x+3y -7 = 0.
Løsning . La oss forestille oss likningen med helningen på formen y = kx + a. For å gjøre dette, flytt alle verdier unntatt y til høyre side: 3y = -2x + 7 . Del deretter høyre side med en faktor på 3. Vi får: y = -2/3x + 7/3
La oss finne ligningen NK som går gjennom punktet K(-2;1), parallelt med den rette linjen y = -2 / 3 x + 7 / 3
Ved å erstatte x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 får vi:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
eller
y = -2 / 3 x - 1 / 3 eller 3y + 2x +1 = 0
Eksempel nr. 2. Skriv likningen til en linje parallelt med linjen 2x + 5y = 0 og lag sammen med koordinataksene en trekant med arealet 5.
Løsning
. Siden linjene er parallelle, er ligningen til den ønskede linjen 2x + 5y + C = 0. Arealet av en rettvinklet trekant, der a og b er dens ben. La oss finne skjæringspunktene til den ønskede linjen med koordinataksene: 
;
.
Altså A(-C/2,0), B(0,-C/5). La oss erstatte det med formelen for areal: 
. Vi får to løsninger: 2x + 5y + 10 = 0 og 2x + 5y – 10 = 0.
Eksempel nr. 3. Skriv en ligning for en linje som går gjennom punktet (-2; 5) og parallelt med linjen 5x-7y-4=0.
Løsning. Denne rette linjen kan representeres av ligningen y = 5 / 7 x – 4 / 7 (her a = 5 / 7). Ligningen til ønsket linje er y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), dvs. 7(y-5)=5(x+2) eller 5x-7y+45=0 .
Eksempel nr. 4. Etter å ha løst eksempel 3 (A=5, B=-7) ved hjelp av formel (2), finner vi 5(x+2)-7(y-5)=0.
Eksempel nr. 5. Skriv en ligning for en linje som går gjennom punktet (-2;5) og parallelt med linjen 7x+10=0.
Løsning. Her er A=7, B=0. Formel (2) gir 7(x+2)=0, dvs. x+2=0. Formel (1) er ikke anvendelig, siden denne ligningen ikke kan løses med hensyn til y (denne rette linjen er parallell med ordinataksen).