Leksjon: hele ligningen og dens røtter. Hele ligningen og dens røtter

Leksjonsemne: "Hele ligningen og dens røtter."

Mål:

pedagogisk:

vurdere en måte å løse en hel ligning ved hjelp av faktorisering;

utvikle:

pedagogisk:

Klasse: 9

Lærebok: Algebra. 9. klasse: lærebok for utdanningsinstitusjoner/ [Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorov]; redigert av S.A. Telyakovsky.- 16. utg. – M.: Utdanning, 2010

Utstyr: datamaskin med projektor, presentasjon "Hele ligninger"

I løpet av timene:

Organisering av tid.

Se videoen "Alt er i dine hender."

Det er tider i livet når du gir opp og det virker som ingenting vil ordne seg. Husk så vismannens ord "Alt er i dine hender:" og la disse ordene være mottoet for leksjonen vår.

Muntlig arbeid.

2x + 6 =10, 14x = 7, x 2 – 16 = 0, x – 3 = 5 + 2x, x 2 = 0,

Budskap om leksjonens tema, mål.

I dag skal vi bli kjent med en ny type ligninger – dette er hele ligninger. La oss lære å løse dem.

La oss skrive ned nummeret i notatboken vår, Klasse arbeid og emnet for leksjonen: "Hele ligningen, dens røtter."

2.Oppdatere grunnleggende kunnskap.

Løs ligningen:

Svar: a)x = 0; b) x = 5/3; c) x = -,; d) x = 1/6; - 1/6; e) det er ingen røtter; e) x = 0; 5; - 5; g) 0; 1; -2; h) 0; 1; - 1; i) 0,2; - 0,2; j) -3; 3.

3. Dannelse av nye konsepter.

Samtale med studenter:

Hva er en ligning? (likestilling som inneholder et ukjent nummer)

Hvilke typer ligninger kjenner du til? (lineær, kvadratisk)

3.Hvor mange røtter kan den ha? lineær ligning?) (en, mange og ingen røtter)

4.Hvor mange røtter kan en andregradsligning ha?

Hva bestemmer antall røtter? (fra diskriminant)

I hvilket tilfelle har en andregradsligning 2 røtter (D0)?

I hvilket tilfelle har en andregradsligning 1 rot? (D=0)

I hvilket tilfelle har en andregradsligning ingen røtter? (D0)

Hele ligningen er en likning av venstre og høyre side, som er et helt uttrykk. (lese høyt).

Fra den betraktede lineære og andregradsligninger, ser vi at antallet røtter ikke er større enn graden.

Tror du det er mulig å bestemme antall røtter uten å løse en ligning? (mulige barns svar)

La oss bli kjent med regelen for å bestemme graden av en hel ligning?

Hvis en likning med én variabel skrives som P(x)=0, hvor P(x) er et polynom standard visning, så kalles graden av dette polynomet graden av ligningen. Graden av en vilkårlig heltallsligning er graden av en ekvivalent ligning av formen P(x) = 0, hvor P(x) er et polynom av standardform.

Ligningenn au grad har ikke mern røtter.

Hele ligningen kan løses på flere måter:

måter å løse hele ligninger på

faktorisering grafisk introduksjon ny

variabel

(Skriv diagrammet i en notatbok)

I dag skal vi se på en av dem: faktorisering ved å bruke følgende ligning som eksempel: x 3 – 8x 2 – x +8 = 0. (læreren forklarer på tavlen, elevene skriver ned løsningen til ligningen i en notatbok)

Hva heter metoden for faktorisering som kan brukes til venstre side Faktor likningene? (grupperingsmetode). La oss faktorisere venstre side av ligningen, og for å gjøre dette, grupper begrepene på venstre side av ligningen.

Når er produktet av faktorer lik null? (når minst en av multiplikatorene lik null). La oss likestille hver faktor i ligningen til null.

La oss løse de resulterende ligningene

Hvor mange røtter fikk vi? (skriv i notatbok)

x 2 (x – 8) – (x – 8) = 0

(x – 8) (x 2 – 1) = 0

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0

x 1 = 8, x 2 = 1, x 3 = - 1.

Svar: 8; 1; -1.

4. Dannelse av ferdigheter og evner. Praktisk del.

arbeid med lærebok nr. 265 (skriv i notatbok)

Hva er graden av ligningen og hvor mange røtter har hver ligning:

Svar: a) 5, b) 6, c) 5, d) 2, e) 1, f) 1

№ 266(a)(løsning ved styret med forklaring)

Løs ligningen:

5. Leksjonssammendrag:

Konsolidering teoretisk materiale:

Hvilken ligning med én variabel kalles et heltall? Gi et eksempel.

Hvordan finne graden av en hel ligning? Hvor mange røtter har en ligning med én variabel av første, andre, n-te grad?

6.Refleksjon

Evaluer arbeidet ditt. Rekk opp hånden hvem...

1) forsto emnet perfekt

2) forsto temaet godt

Jeg opplever fortsatt vanskeligheter

7.Hjemmelekser:

klausul 12 (s. 75-77 eksempel 1) nr. 267 (a, b).

"studentsjekkliste"

Elevsjekkliste

Stadier av arbeidet

Karakter

Total

Verbal telling

Løs ligningen

Løse kvadratiske ligninger

Løse kubikkligninger

Elevsjekkliste

Klasse______ Etternavn Fornavn ___________________

Stadier av arbeidet

Karakter

Total

Verbal telling

Løs ligningen

Hva er graden av kjente ligninger

Løse kvadratiske ligninger

Løse kubikkligninger

Elevsjekkliste

Klasse______ Etternavn Fornavn ___________________

Stadier av arbeidet

Karakter

Total

Verbal telling

Løs ligningen

Hva er graden av kjente ligninger

Løse kvadratiske ligninger

Løse kubikkligninger

Se dokumentinnholdet
"Gi ut"

1.Løs ligningene:

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 –5 = 0 h) x 4 – x 2 = 0
d) x 2 = 1/36 i) x 2 –0,01 = 0,03
e) x 2 = – 25 j) 19 – c 2 = 10

3. Løs ligningene:

x 2 -5x+6=0 y 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0

4. Løs ligningene:

I alternativ II alternativ III alternativ

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0 x 3 -12x 2 +36x=0

"test"

Hallo! Nå vil du bli tilbudt en matteprøve med 4 spørsmål. Klikk på knappene på skjermen under spørsmålene som etter din mening har riktig svar. Klikk på "neste"-knappen for å starte testingen. Lykke til!

1. Løs ligningen:

3x + 6 = 0

Riktig

Ingen svar

Røtter

Riktig

Ingen svar

Røtter

4. Løs ligningen: 0 x = - 4

Røtter

Mye av

røtter

Se presentasjonsinnhold
"1"

Løs ligningen:

MUNTLIG ARBEID

Mål:

pedagogisk:

generalisere og utdype informasjon om ligninger; introdusere begrepet en hel ligning og dens grad, dens røtter; vurdere en måte å løse en hel ligning ved hjelp av faktorisering.
generalisere og utdype informasjon om ligninger;
introdusere begrepet en hel ligning og dens grad, dens røtter;
vurdere en måte å løse en hel ligning ved hjelp av faktorisering.

utvikle:

utvikling av matematiske og generelle syn, logisk tenkning, evne til å analysere, trekke konklusjoner;
utvikling av matematiske og generelle syn, logisk tenkning, evne til å analysere, trekke konklusjoner;

pedagogisk:

dyrke uavhengighet, klarhet og nøyaktighet i handlinger.
dyrke uavhengighet, klarhet og nøyaktighet i handlinger.

Psykologisk holdning

Vi fortsetter å generalisere og utdype informasjon om ligninger;
bli kjent med konseptet med hele ligningen,

med begrepet ligningsgrad;

utvikle ferdigheter i å løse ligninger;
kontrollere nivået av materialassimilering;
I klassen kan vi gjøre feil, være i tvil og rådføre oss.
Hver elev setter sine egne instruksjoner.

Hvilke ligninger kalles heltall?
Hva er graden av en ligning?
Hvor mange røtter har den? ligning n-te grader?
Metoder for å løse likninger av første, andre og tredje grad.

Timeplan

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0 c) x 2 –5 = 0 t) x 4 –x 2 = 0 d) x 2 = 1/36 i) x 2 –0,01 = 0,03 e) x 2 = – 25 k) 19 – s 2 = 10

Løs ligningene:

For eksempel:

X²=x³-2(x-1)

Ligninger

Hvis en likning med én variabel

skrevet som

P(x) = 0, hvor P(x) er et polynom av standardform,

da kalles graden av dette polynomet

grad av denne ligningen

2x³+2x-1=0 (5. grad)

14x²-3=0 (4. grad)

For eksempel:

Hva er graden av bekjentskap ligninger for oss?

a) x 2 = 0 e) x 3 – 25x = 0
b) 3x – 5 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0
c) x 2 – 5 = 0 t) x 4 –x 2 = 0
d) x 2 = 1/36 i) x 2 – 0,01 = 0,03
e) x 2 = – 25 k) 19 – s 2 = 10

Løs ligningene:

2 ∙x + 5 =15
0∙x = 7

Hvor mange røtter kan en ligning av grad 1 ha?

Ikke mer enn én!

0, D=-12, D x 1 =2, x 2 =3 ingen røtter x=6. Hvor mange røtter kan en ligning av grad I (kvadratisk) ha? Ikke mer enn to!" width="640"

Løs ligningene:

x 2 -5x+6=0 år 2 -4y+7=0 x 2 -12x+36=0
D=1, D0, D=-12, D

x 1 =2, x 2 =3 ingen røtter x=6.

Hvor mange røtter kan en gradslikning ha? (torget) ?

Ikke mer enn to!

Løs ligningene:

I alternativ II alternativ III alternativ

x 3 -1=0 x 3 - 4x=0x 3 -12x 2 +36x=0

x 3 =1 x(x 2 - 4)=0 x(x 2 -12x+36)=0

x=1 x=0, x=2, x= -2 x=0, x=6

1 rot 3 røtter 2 røtter

Hvor mange røtter kan en ligning av grad I jeg ha?

Ikke mer enn tre!

Hvor mange røtter tror du ligningen kan ha?

IV, V, VI, VII, n th grader?

Ikke mer enn fire, fem, seks, syv røtter!

Ikke mer i det hele tatt n røtter!

ax²+bx+c=0

Kvadratisk ligning

ax + b = 0

Lineær ligning

Ingen røtter

En rot

La oss utvide venstre side av ligningen

med multiplikatorer:

x²(x-8)-(x-8)=0

Svar:=1, =-1.

Tredjegradsligning av formen: ax³+bx²+cx+d=0

Ved faktorisering

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38

La oss åpne parentesene og gi

lignende vilkår

16x²-24x-2x+3-16x²+8x-138=0

Svar: x=-2

Mottoet for leksjonen vår: "Jo mer jeg vet, jo mer kan jeg."
Som ikke merker noe
Han studerer ingenting.
Som ikke studerer noe
Han sutrer og kjeder seg alltid.
(poeten R. Seph).

Matematisk diktat

1.Sett inn de manglende
ord og angi treff
1.Hva heter det?
ligning?
1. Finn alt... eller
bevis at ... nei.
2.Hva heter det?
roten til ligningen?
2. ……, som inneholder
variabel.
3.Hva vil det si å bestemme
ligningen?
3. ……., hvori
ligningen er reversert
til riktig antall
likestilling.

Løs ligninger muntlig:

a) x² = 0
b) 3x – 6 = 0
c) x² – 9 = 0
d) x(x – 1)(x + 2) = 0
e) x² = – 25

Løs ligningen:

x⁴-6x²+5=0

Hele ligningen og dens røtter

Leksjonens mål:

oppsummere og utdype informasjon om
ligninger
introduksjon til begrepet helhet
ligningen
innføring i gradsbegrepet
ligninger
utvikling av løsningskompetanse
ligninger

Ligninger

x
5
2
x 1 x 1
3
x
2
x 5
x3 1 x 2 1
3x2
4
2
(x 3 1) x 2 x 3 2 (x 1)
x
2x 1
x 12
hel
ligninger
brøkdel
ligninger

Hele ligningen

En hel ligning med en
variabelen er ligningen
hvorav venstre og høyre del
hele uttrykk.

10. Ligningsgrad

Hvis en ligning med en
variabel skrives som P(x)=0,
hvor P(x) er standardpolynomet
form, deretter graden av dette polynomet
kalles graden av ligningen, dvs.
størst av grader
monomer.
Eksempler: x⁵-2x³+2x-1=05
grad
4
x⁴-14x²-3=0
grad

11. Hva er graden av ligningen?

5
a) 2x²-6x⁵+1=0
2
d) (x+8)(x-7)=0
6
b) x6-4x²-3=0
1 5
x 0
7
V)
5x(x²+4)=17
d)
x x
5
2 4
5
1
3
e) 5x-

12. La oss gjenta

lineær ligning
aх+b=0
aх2 + bx + c = 0
en haug med
røtter
ingen røtter
én rot
kvadratisk ligning
D=0
én rot
D>0
to røtter
D<0
ingen røtter

13. Førstegradsligning

14. Tredjegradsligning

Løs ligningen
x3 8x 2 x 8 0
Løsning: utvide venstre side
factoring-ligninger 2
x (x 8) (x 8) 0
(x 8)(x 2 1) 0
x 8 0
x2 1 0
x1 8, x2svar
1, x3 1

15. Løs ligningen:

(8x-1)(2x-3)-(4x-1)²=38
Løsning: La oss åpne parentesene og gi
lignende vilkår
16x²-24x-2x+3-16x²+8x-1-38=0
-18x-36=0
SJEKK DEG SELV!
x+2=0
x=-2
Svar: x=-2

16. La oss løse den biquadratiske ligningen:

X4 - 5 x² - 36 = 0
La oss gjøre en erstatning: x² = a, a≥ 0
a² - 5a -36 =0
D=169
a1= -4 (ikke egnet, fordi a≥0)
a2 = 9
X² = 9
x1 = 3 og x2 = -3
Svar: 3 og -3.

17. Løs ligningen:

x⁴-6x²+5=0
Svar: 1, -1, V5, - V5

18. Etabler korrespondansen: Ligningsmetode.

Eksempeltekst
Andre nivå
Tredje nivå
Fjerde nivå
Femte nivå

19. Test

1) Bestem graden av ligningen
(x 2 3) 5 x (x 1) 15
a) 2
b) 3
i 1
2) Hvilke tall er røtter
x(x 1)(x 2) 0?
ligninger
a) -1
b) 0
kl 2
3) Løs ligningen 9 x 3 27 x 2 0
a) 0;-3
b) -3;0;3
c) 0;3

20.

1)
Hva kalles ligningen
helhet og hvordan man skiller den fra
brøkdel?
2)
Hva er graden av en ligning?
3)
Hva er røttene til en ligning?
4)
5)
Hvor mange røtter kan den ha?
1. grads ligning?
Hvor mange røtter kan den ha?
2. grads ligning?

21. Lekser:

Tenk og svar på spørsmålet: «Hvor mye
røtter kan ha en hel ligning med
en variabel av 2., 3., 4., tredje grad?

Tenk på ligningen.
31x 3 – 10x = (x – 5) 2 + 6x 2
Både venstre og høyre side av ligningen er heltallsuttrykk.
Husk at slike ligninger kalles hele ligninger.
La oss gå tilbake til vår opprinnelige ligning og åpne parentesene ved å bruke den kvadratiske forskjellsformelen.
La oss flytte alle leddene i ligningen til venstre side og presentere lignende termer.
Uttrykkene "minus ti x" og "pluss ti x" opphever hverandre.
Etter å ha tatt med lignende termer, får vi en ligning, på venstre side av hvilken det er et polynom av standardformen (i generelle termer vil vi kalle det "Pe fra x"), og på høyre side er det null.
For å bestemme graden av en hel ligning, er det nødvendig å redusere den til formen pe fra x er lik null, det vil si til en ligning der venstre side inneholder et polynom av standardformen, og høyre side inneholder null.
Etter dette er det nødvendig å bestemme graden av polynomet pe fra x. Dette vil være graden av ligningen.
La oss se på et eksempel. La oss prøve å bestemme graden av denne ligningen.
La oss åpne parentesene ved å bruke formelen for kvadratet av summen.
Deretter flytter vi alle leddene i ligningen til venstre side og presenterer lignende ledd.
Så vi har fått en ligning, på venstre side av hvilken er et polynom av standardformen av andre grad, og på høyre side er null. Dette betyr at graden av denne ligningen er andre.
Graden av ligningen bestemmer hvor mange røtter den har.
Det kan bevises at en ligning av første grad har én rot, en ligning av andre grad har ikke mer enn to røtter, en ligning av tredje grad har ikke mer enn tre røtter, og så videre.
Graden av en likning forteller oss også hvordan likningen kan løses.
For eksempel reduserer vi en ligning av første grad til formen a x pluss være lik ce, der a ikke er lik null.
Vi reduserer ligningen av andre grad til en ekvivalent ligning, på venstre side av hvilken det er et kvadratisk trinomium, og på høyre side er det en null. En slik likning løses ved å bruke formelen for røttene til en kvadratisk likning eller Vietas teorem.
Det er ingen universell metode for å løse ligninger av høyere grader, men det er grunnleggende metoder som vi vil vurdere med eksempler.
La oss løse likningen av tredje potens x til tredje potens minus åtte x til andre potens minus x pluss åtte er lik null.
For å løse denne ligningen faktoriserer vi dens venstre side ved å bruke grupperingsmetoden og bruke formelen for forskjellen på kvadrater.
Deretter må du huske at produktet er lik null når en av faktorene er lik null. Basert på dette konkluderer vi med at enten x minus 8 er lik null, eller x minus 1 er lik null, eller x pluss en er lik null. Derfor vil røttene til ligningen være tallene minus én, én og åtte.
Noen ganger, for å løse ligninger med grader høyere enn to, er det praktisk å introdusere en ny variabel.
La oss se på et lignende eksempel.
Hvis vi åpner parentesene, flytter alle leddene i ligningen til venstre side, bringer lignende ledd og presenterer venstre side av ligningen i form av et polynom av en standardform, så vil ingen av metodene vi kjenner til hjelpe løse denne ligningen. I dette tilfellet er det verdt å være oppmerksom på at begge parentesene inneholder de samme uttrykkene.
Det er dette uttrykket vi vil betegne som den nye variabelen igrik.
Da vil ligningen vår reduseres til en ligning med variabelen ig...
Deretter åpner vi bare parentesene og flytter alle vilkårene i ligningen til venstre side.
La oss ta med lignende termer og få den kvadratiske ligningen som allerede er kjent for oss.
Det er ikke vanskelig å finne røttene til denne ligningen. Spill en er lik seks, spill to er lik minus seksten.
La oss nå gå tilbake til den opprinnelige ligningen ved å utføre omvendt substitusjon.
Til å begynne med tok vi uttrykket to x kvadrat minus x som spillet. Og siden vi har to verdier for variabelen y, får vi to ligninger. I hver ligning overfører vi alle ledd til venstre side og løser de resulterende to andregradsligningene. Røttene til den første ligningen er tallene minus ett komma fem og to, og den andre ligningen har ingen røtter, siden dens diskriminant er mindre enn null.
Så løsningen på denne fjerdegradsligningen er tallene minus ett punkt fem og to.
En spesiell plass i klassifiseringen av hele ligninger har en ligning av formen a x til fjerde potens pluss være x til andre potens pluss ce er lik null. Ligninger av denne typen kalles biquadratiske ligninger.
Slike ligninger kan løses ved å bruke en endring av variabel.
La oss se på et eksempel.
I denne ligningen, la oss betegne x kvadrat med igrik. Det er verdt å merke seg at iGrik-variabelen ikke kan ta negative verdier.
Vi får en andregradsligning hvis røtter er tallene en tjuefemtedel og en.
La oss gjøre omvendt erstatning.
Røttene til den første ligningen er en femtedel og minus en femtedel, og røttene til den andre er en og minus en.
Dermed har vi funnet de fire røttene til den opprinnelige biquadratiske ligningen.

La oss bli kjent med rasjonelle og fraksjonelle rasjonelle ligninger, gi deres definisjon, gi eksempler og også analysere de vanligste problemene.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rasjonell ligning: definisjon og eksempler

Bekjentskap med rasjonelle uttrykk begynner i 8. klasse på skolen. På denne tiden, i algebratimer, begynner elevene i økende grad å møte oppgaver med ligninger som inneholder rasjonelle uttrykk i notatene. La oss friske opp minnet om hva det er.

Definisjon 1

Rasjonell ligning er en ligning der begge sider inneholder rasjonelle uttrykk.

I ulike manualer kan du finne en annen formulering.

Definisjon 2

Rasjonell ligning- dette er en ligning, hvor venstre side inneholder et rasjonelt uttrykk, og høyre side inneholder null.

Definisjonene vi ga for rasjonelle ligninger er likeverdige, siden de snakker om det samme. Riktigheten av ordene våre bekreftes av det faktum at for alle rasjonelle uttrykk P Og Q ligninger P = Q Og P − Q = 0 vil være likeverdige uttrykk.

La oss nå se på eksemplene.

Eksempel 1

Rasjonelle ligninger:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rasjonelle ligninger, akkurat som ligninger av andre typer, kan inneholde et hvilket som helst antall variabler fra 1 til flere. Til å begynne med skal vi se på enkle eksempler der likningene vil inneholde kun én variabel. Og så vil vi gradvis begynne å komplisere oppgaven.

Rasjonelle ligninger er delt inn i to store grupper: heltall og brøk. La oss se hvilke ligninger som vil gjelde for hver av gruppene.

Definisjon 3

En rasjonell ligning vil være et heltall hvis venstre og høyre side inneholder hele rasjonelle uttrykk.

Definisjon 4

En rasjonell ligning vil være brøk hvis en eller begge delene inneholder en brøk.

Fraksjonelle rasjonelle ligninger inneholder nødvendigvis divisjon med en variabel eller variabelen er tilstede i nevneren. Det er ingen slik inndeling i skriving av hele ligninger.

Eksempel 2

3 x + 2 = 0 Og (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– hele rasjonelle ligninger. Her er begge sider av ligningen representert med heltallsuttrykk.

1 x - 1 = x 3 og x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 er rasjonelle brøklikninger.

Hele rasjonelle ligninger inkluderer lineære og kvadratiske ligninger.

Løse hele ligninger

Å løse slike ligninger kommer vanligvis ned til å konvertere dem til ekvivalente algebraiske ligninger. Dette kan oppnås ved å utføre ekvivalente transformasjoner av ligninger i samsvar med følgende algoritme:

først får vi null på høyre side av ligningen for å gjøre dette, må vi flytte uttrykket som er på høyre side av ligningen til venstre side og endre tegnet;
så transformerer vi uttrykket på venstre side av ligningen til et polynom av standardform.

Vi må få en algebraisk ligning. Denne ligningen vil være ekvivalent med den opprinnelige ligningen. Lette tilfeller lar oss redusere hele ligningen til en lineær eller kvadratisk for å løse problemet. Generelt løser vi en algebraisk gradslikning n.

Eksempel 3

Det er nødvendig å finne røttene til hele ligningen 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Løsning

La oss transformere det opprinnelige uttrykket for å få en ekvivalent algebraisk ligning. For å gjøre dette, vil vi overføre uttrykket på høyre side av ligningen til venstre side og erstatte tegnet med det motsatte. Som et resultat får vi: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

La oss nå transformere uttrykket som er på venstre side til et standard polynom og utføre de nødvendige handlingene med dette polynomet:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Vi klarte å redusere løsningen av den opprinnelige ligningen til løsningen av en kvadratisk ligning av formen x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminanten til denne ligningen er positiv: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Dette betyr at det vil være to reelle røtter. La oss finne dem ved å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 eller x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 eller x 2 = - 1

La oss sjekke riktigheten av røttene til ligningen som vi fant under løsningen. For dette erstatter vi tallene vi mottok i den opprinnelige ligningen: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Og 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2· (− 1) − 1) − 3. I det første tilfellet 63 = 63 , i den andre 0 = 0 . Røtter x=6 Og x = − 1 er faktisk røttene til ligningen gitt i eksempelbetingelsen.

Svar: 6 , − 1 .

La oss se på hva "grad av en hel ligning" betyr. Vi vil ofte møte dette begrepet i tilfeller der vi trenger å representere en hel ligning i algebraisk form. La oss definere konseptet.

Definisjon 5

Grad av hele ligningen er graden av en algebraisk ligning som tilsvarer den opprinnelige heltallsligningen.

Hvis du ser på ligningene fra eksemplet ovenfor, kan du fastslå: graden av hele denne ligningen er andre.

Hvis kurset vårt var begrenset til å løse likninger av andre grad, kunne diskusjonen om emnet ende der. Men det er ikke så enkelt. Å løse likninger av tredje grad er fulle av vanskeligheter. Og for ligninger over fjerde grad er det ingen generelle rotformler i det hele tatt. I denne forbindelse krever løsning av hele ligninger av tredje, fjerde og andre grader at vi bruker en rekke andre teknikker og metoder.

Den mest brukte tilnærmingen til å løse hele rasjonelle ligninger er basert på faktoriseringsmetoden. Algoritmen for handlinger i dette tilfellet er som følger:

vi flytter uttrykket fra høyre side til venstre slik at null forblir på høyre side av posten;
Vi representerer uttrykket på venstre side som et produkt av faktorer, og går så videre til et sett med flere enklere ligninger.

Eksempel 4

Finn løsningen til ligningen (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Løsning

Vi flytter uttrykket fra høyre side av posten til venstre med motsatt fortegn: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Å konvertere venstre side til et polynom av standardformen er upassende på grunn av det faktum at dette vil gi oss en algebraisk ligning av fjerde grad: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Den enkle konverteringen rettferdiggjør ikke alle vanskelighetene med å løse en slik ligning.

Det er mye lettere å gå den andre veien: la oss ta den felles faktoren ut av parentes x 2 − 10 x + 13 . Så vi kommer til en formlikning (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Nå erstatter vi den resulterende ligningen med et sett med to andregradsligninger x 2 − 10 x + 13 = 0 Og x 2 − 2 x − 1 = 0 og finne sine røtter gjennom diskriminanten: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Svar: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

På samme måte kan vi bruke metoden for å introdusere en ny variabel. Denne metoden lar oss gå til ekvivalente ligninger med grader lavere enn gradene i den opprinnelige heltallsligningen.

Eksempel 5

Har ligningen røtter? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Løsning

Hvis vi nå prøver å redusere en hel rasjonell likning til en algebraisk, vil vi få en likning på grad 4 som ikke har noen rasjonelle røtter. Derfor vil det være lettere for oss å gå den andre veien: introdusere en ny variabel y, som vil erstatte uttrykket i ligningen x 2 + 3 x.

Nå skal vi jobbe med hele ligningen (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). La oss flytte høyre side av ligningen til venstre med motsatt fortegn og utføre de nødvendige transformasjonene. Vi får: y 2 + 4 y + 3 = 0. La oss finne røttene til den kvadratiske ligningen: y = − 1 Og y = − 3.

La oss nå gjøre omvendt erstatning. Vi får to ligninger x 2 + 3 x = − 1 Og x 2 + 3 · x = − 3 . La oss omskrive dem som x 2 + 3 x + 1 = 0 og x 2 + 3 x + 3 = 0. Vi bruker formelen for røttene til en kvadratisk ligning for å finne røttene til den første ligningen fra de oppnådde: - 3 ± 5 2. Diskriminanten til den andre ligningen er negativ. Dette betyr at den andre ligningen ikke har noen reelle røtter.

Svar:- 3 ± 5 2

Hele ligninger av høye grader vises i problemer ganske ofte. Det er ingen grunn til å være redd for dem. Du må være klar til å bruke en ikke-standard metode for å løse dem, inkludert en rekke kunstige transformasjoner.

Løse rasjonelle brøklikninger

Vi vil begynne vår vurdering av dette underemnet med en algoritme for å løse brøkrasjonelle ligninger av formen p (x) q (x) = 0, hvor p(x) Og q(x)– hele rasjonelle uttrykk. Løsningen av andre brøkrasjonelle ligninger kan alltid reduseres til løsningen av ligninger av den angitte typen.

Den mest brukte metoden for å løse ligningene p (x) q (x) = 0 er basert på følgende utsagn: numerisk brøk u v, Hvor v- dette er et tall som er forskjellig fra null, lik null bare i de tilfellene når telleren til brøken er lik null. Etter logikken i utsagnet ovenfor, kan vi hevde at løsningen til ligningen p (x) q (x) = 0 kan reduseres til å oppfylle to betingelser: p(x)=0 Og q(x) ≠ 0. Dette er grunnlaget for å konstruere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger av formen p (x) q (x) = 0:

finn løsningen på hele den rasjonelle ligningen p(x)=0;
vi sjekker om betingelsen er oppfylt for røttene funnet under løsningen q(x) ≠ 0.

Hvis denne betingelsen er oppfylt, er roten funnet. Hvis ikke, er ikke roten en løsning på problemet.

Eksempel 6

La oss finne røttene til ligningen 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Løsning

Vi har å gjøre med en rasjonell brøkligning av formen p (x) q (x) = 0, hvor p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. La oss begynne å løse den lineære ligningen 3 x − 2 = 0. Roten til denne ligningen vil være x = 2 3.

La oss sjekke den funnet roten for å se om den tilfredsstiller betingelsen 5 x 2 − 2 ≠ 0. For å gjøre dette, sett inn en numerisk verdi i uttrykket. Vi får: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Vilkåret er oppfylt. Det betyr at x = 2 3 er roten til den opprinnelige ligningen.

Svar: 2 3 .

Det er et annet alternativ for å løse rasjonelle brøklikninger p (x) q (x) = 0. Husk at denne ligningen er ekvivalent med hele ligningen p(x)=0 på området av tillatte verdier for variabelen x i den opprinnelige ligningen. Dette lar oss bruke følgende algoritme for å løse ligningene p (x) q (x) = 0:

løse ligningen p(x)=0;
finn rekkevidden av tillatte verdier for variabelen x;
vi tar røttene som ligger i området av tillatte verdier til variabelen x som de ønskede røttene til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen.

Eksempel 7

Løs ligningen x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Løsning

Først, la oss løse den andregradsligningen x 2 − 2 x − 11 = 0. For å beregne røttene bruker vi røtterformelen for den partall andre koeffisienten. Vi får D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 og x = 1 ± 23.

Nå kan vi finne ODZ for variabel x for den opprinnelige ligningen. Dette er alle tallene som x 2 + 3 x ≠ 0. Det er det samme som x (x + 3) ≠ 0, hvor x ≠ 0, x ≠ − 3.

La oss nå sjekke om røttene x = 1 ± 2 3 oppnådd i det første trinnet av løsningen er innenfor rekkevidden av tillatte verdier for variabelen x. Vi ser dem komme inn. Dette betyr at den opprinnelige rasjonelle brøklikningen har to røtter x = 1 ± 2 3.

Svar: x = 1 ± 2 3

Den andre løsningsmetoden som er beskrevet er enklere enn den første i tilfeller der rekkevidden av tillatte verdier for variabelen x er lett å finne, og røttene til ligningen p(x)=0 irrasjonell. For eksempel 7 ± 4 · 26 9. Røttene kan være rasjonelle, men med en stor teller eller nevner. For eksempel, 127 1101 Og − 31 59 . Dette sparer tid på å kontrollere tilstanden q(x) ≠ 0: Det er mye lettere å ekskludere røtter som ikke er egnet i henhold til ODZ.

I tilfeller hvor røttene til ligningen p(x)=0 er heltall, er det mer hensiktsmessig å bruke den første av de beskrevne algoritmene for å løse likninger av formen p (x) q (x) = 0. Finn røttene til en hel ligning raskere p(x)=0, og sjekk deretter om betingelsen er oppfylt for dem q(x) ≠ 0, i stedet for å finne ODZ og deretter løse ligningen p(x)=0 på denne ODZ. Dette skyldes at det i slike tilfeller vanligvis er lettere å sjekke enn å finne DZ.

Eksempel 8

Finn røttene til ligningen (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Løsning

La oss starte med å se på hele ligningen (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 og finne røttene. For å gjøre dette bruker vi metoden for å løse ligninger gjennom faktorisering. Det viser seg at den opprinnelige ligningen tilsvarer et sett med fire ligninger 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, hvorav tre er lineære og en er kvadratisk. Finne røtter: fra den første ligningen x = 1 2, fra den andre – x=6, fra den tredje – x = 7 , x = − 2 , fra den fjerde – x = − 1.

La oss sjekke de oppnådde røttene. Det er vanskelig for oss å bestemme ODZ i dette tilfellet, siden vi for dette må løse en algebraisk ligning av femte grad. Det vil være lettere å kontrollere betingelsen som gjør at nevneren til brøken, som er på venstre side av ligningen, ikke skal gå til null.

La oss bytte ut røttene for variabelen x i uttrykket x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 og beregne verdien:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 322 + 1;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Verifikasjonen som er utført lar oss fastslå at røttene til den opprinnelige rasjonelle brøklikningen er 1 2, 6 og − 2 .

Svar: 1 2 , 6 , - 2

Eksempel 9

Finn røttene til den rasjonelle brøkligningen 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Løsning

La oss begynne å jobbe med ligningen (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. La oss finne røttene. Det er lettere for oss å forestille oss denne ligningen som et sett med kvadratiske og lineære ligninger 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Og x − 2 = 0.

Vi bruker formelen for røttene til en kvadratisk ligning for å finne røttene. Vi får fra den første ligningen to røtter x = 7 ± 69 10, og fra den andre x = 2.

Det vil være ganske vanskelig for oss å erstatte verdien av røttene i den opprinnelige ligningen for å kontrollere forholdene. Det vil være lettere å bestemme ODZ for variabelen x. I dette tilfellet er ODZ for variabelen x alle tall bortsett fra de der betingelsen er oppfylt x 2 + 5 x − 14 = 0. Vi får: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

La oss nå sjekke om røttene vi fant tilhører rekkevidden av tillatte verdier til variabelen x.

Røttene x = 7 ± 69 10 tilhører, derfor er de røttene til den opprinnelige ligningen, og x = 2- hører ikke hjemme, derfor er det en fremmed rot.

Svar: x = 7 ± 69 10.

La oss undersøke tilfellene separat når telleren til en rasjonell brøkligning på formen p (x) q (x) = 0 inneholder et tall. I slike tilfeller, hvis telleren inneholder et annet tall enn null, vil ligningen ikke ha noen røtter. Hvis dette tallet er lik null, vil roten av ligningen være et hvilket som helst tall fra ODZ.

Eksempel 10

Løs den rasjonelle brøklikningen - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Løsning

Denne ligningen vil ikke ha røtter, siden telleren til brøken på venstre side av ligningen inneholder et tall som ikke er null. Dette betyr at ved ingen verdi av x vil verdien av brøken gitt i problemstillingen være lik null.

Svar: ingen røtter.

Eksempel 11

Løs ligningen 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Løsning

Siden telleren til brøken inneholder null, vil løsningen til ligningen være en hvilken som helst verdi x fra ODZ til variabelen x.

La oss nå definere ODZ. Den vil inkludere alle verdiene av x som x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Løsninger på ligningen x 4 + 5 x 3 = 0 er 0 Og − 5 , siden denne ligningen er ekvivalent med ligningen x 3 (x + 5) = 0, og dette tilsvarer igjen kombinasjonen av to likninger x 3 = 0 og x + 5 = 0, hvor disse røttene er synlige. Vi kommer til den konklusjon at ønsket rekkevidde av akseptable verdier er hvilken som helst x unntatt x = 0 Og x = − 5.

Det viser seg at den rasjonelle brøkligningen 0 x 4 + 5 x 3 = 0 har et uendelig antall løsninger, som er alle andre tall enn null og - 5.

Svar: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

La oss nå snakke om rasjonelle brøklikninger av vilkårlig form og metoder for å løse dem. De kan skrives som r(x) = s(x), Hvor r(x) Og s(x)– rasjonelle uttrykk, og minst ett av dem er brøk. Å løse slike ligninger reduseres til å løse ligninger på formen p (x) q (x) = 0.

Vi vet allerede at vi kan få en ekvivalent ligning ved å overføre et uttrykk fra høyre side av ligningen til venstre med motsatt fortegn. Dette betyr at ligningen r(x) = s(x) er ekvivalent med ligningen r (x) − s (x) = 0. Vi har også allerede diskutert måter å konvertere et rasjonelt uttrykk til en rasjonell brøk. Takket være dette kan vi enkelt transformere ligningen r (x) − s (x) = 0 til en identisk rasjonell brøkdel av formen p (x) q (x) .

Så vi flytter fra den opprinnelige rasjonelle brøklikningen r(x) = s(x) til en likning på formen p (x) q (x) = 0, som vi allerede har lært å løse.

Det bør tas hensyn til at når man gjør overganger fra r (x) − s (x) = 0 til p(x)q(x) = 0 og deretter til p(x)=0 vi kan ikke ta hensyn til utvidelsen av rekkevidden av tillatte verdier for variabelen x.

Det er godt mulig at den opprinnelige ligningen r(x) = s(x) og ligning p(x)=0 som et resultat av transformasjonene vil de slutte å være likeverdige. Så løsningen på ligningen p(x)=0 kan gi oss røtter som vil være fremmede for r(x) = s(x). I denne forbindelse er det i hvert tilfelle nødvendig å utføre verifisering ved å bruke en av metodene beskrevet ovenfor.

For å gjøre det lettere for deg å studere emnet, har vi oppsummert all informasjonen i en algoritme for å løse en rasjonell brøkligning av formen r(x) = s(x):

vi overfører uttrykket fra høyre side med motsatt fortegn og får null til høyre;
transformere det opprinnelige uttrykket til en rasjonell brøk p (x) q (x) , sekvensielt utføre operasjoner med brøker og polynomer;
løse ligningen p(x)=0;
Vi identifiserer fremmede røtter ved å sjekke deres tilhørighet til ODZ eller ved substitusjon i den opprinnelige ligningen.

Visuelt vil handlingskjeden se slik ut:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminering EKSTERNE RØTTER

Eksempel 12

Løs den rasjonelle brøklikningen x x + 1 = 1 x + 1.

Løsning

La oss gå videre til ligningen x x + 1 - 1 x + 1 = 0. La oss transformere det rasjonelle brøkuttrykket på venstre side av ligningen til formen p (x) q (x) .

For å gjøre dette må vi redusere rasjonelle brøker til en fellesnevner og forenkle uttrykket:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

For å finne røttene til ligningen - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, må vi løse ligningen − 2 x − 1 = 0. Vi får én rot x = - 1 2.

Alt vi trenger å gjøre er å sjekke ved å bruke en av metodene. La oss se på dem begge.

La oss erstatte den resulterende verdien i den opprinnelige ligningen. Vi får - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Vi har kommet frem til riktig numerisk likhet − 1 = − 1 . Det betyr at x = − 1 2 er roten til den opprinnelige ligningen.

La oss nå sjekke gjennom ODZ. La oss bestemme rekkevidden av tillatte verdier for variabelen x. Dette vil være hele settet med tall, med unntak av − 1 og 0 (ved x = − 1 og x = 0, forsvinner nevnerne til brøkene). Roten vi fikk x = − 1 2 tilhører ODZ. Dette betyr at det er roten til den opprinnelige ligningen.

Svar: − 1 2 .

Eksempel 13

Finn røttene til ligningen x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Løsning

Vi har å gjøre med en rasjonell brøkligning. Derfor vil vi handle i henhold til algoritmen.

La oss flytte uttrykket fra høyre side til venstre med motsatt fortegn: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

La oss utføre de nødvendige transformasjonene: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Vi kommer til ligningen x = 0. Roten til denne ligningen er null.

La oss sjekke om denne roten er utenom den opprinnelige ligningen. La oss erstatte verdien i den opprinnelige ligningen: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Som du kan se, gir den resulterende ligningen ingen mening. Dette betyr at 0 er en fremmed rot, og den opprinnelige rasjonelle brøklikningen har ingen røtter.

Svar: ingen røtter.

Hvis vi ikke har inkludert andre ekvivalente transformasjoner i algoritmen, betyr ikke dette at de ikke kan brukes. Algoritmen er universell, men den er designet for å hjelpe, ikke begrense.

Eksempel 14

Løs ligningen 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Løsning

Den enkleste måten er å løse den gitte rasjonelle brøkligningen i henhold til algoritmen. Men det er en annen måte. La oss vurdere det.

Trekk fra 7 fra høyre og venstre side, vi får: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Av dette kan vi konkludere med at uttrykket i nevneren på venstre side må være lik den gjensidige av tallet på høyre side, det vil si 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Trekk fra 3 fra begge sider: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. I analogi, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, hvorfra 1 5 - x 2 = 1 3, og deretter 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

La oss foreta en sjekk for å finne ut om røttene som er funnet er røttene til den opprinnelige ligningen.

Svar: x = ± 2

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Skole: Filial av kommunal utdanningsinstitusjon Videregående skole med. Svyatoslavka i landsbyen. Vozdvizhenka

Fag: matematikk.

Læreplan – 5 timer per uke (hvorav 3 timer er algebra, 2 timer er geometri)

Emne: Hele ligningen og dens røtter. Løse hele ligninger.

Leksjonstype: forbedre ferdigheter og evner.

Leksjonens mål:

didaktisk : systematisering og generalisering, utvidelse og utdyping av studentenes kunnskap om å løse hele ligninger med én variabel over andre grad; forberede studentene til å bruke kunnskap i ikke-standardiserte situasjoner, for Unified State Exam.

utvikle seg : utvikling av studentens personlighet gjennom selvstendig kreativt arbeid, utvikling av studentinitiativ; gi et stabilt motivasjonsmiljø, interesse for emnet som studeres; utvikle evnen til å generalisere, riktig velge metoder for å løse en ligning;

pedagogisk: utvikle interesse for å studere matematikk, forberede studentene til å bruke kunnskap i ikke-standardiserte situasjoner; dyrke viljen og utholdenheten for å oppnå endelige resultater

Leksjonstrinn	Tid	Skjema	Læreraktiviteter	Studentaktiviteter	Merk
1.1.Org. Øyeblikk (*Innledende og motiverende del, for å forbedre elevenes aktiviteter)*		(vedlegg 1)	Definerer elevberedskap. Fokuserer elevenes oppmerksomhet. Siterer leksjonens motto og epigraf til leksjonen.	Lytt, svar på spørsmål, trekk konklusjoner,
1.2. Sjekker lekser Oppdatering av referansekunnskap		Muntlig undersøkelse (vedlegg 2-4)	Koordinerer studentaktiviteter	Gi definisjonen av en ligning, røttene til en ligning, konseptet med å løse en ligning De løser ligninger muntlig og isolerer hele ligninger fra dem.	dannelse av kognitiv kompetanse
1.3. Målsetting og motivasjon		Planlegger	Motiverer elevene Kommuniserer leksjonens mål	Gi navn og skriv ned emnet for leksjonen, sette sitt eget leksjonsmål.	dannelse av kommunikativ kompetanse
2.1 Systematisering av kunnskap. *Mål* : lære kort rasjonell skriving, øve på evnen til å trekke konklusjoner og generaliseringer		(Vedlegg 5)	Gir eksempler på hele ligninger av ulike typer.	De lytter, svarer på spørsmål, trekker konklusjoner og forklarer hvordan man løser hele ligninger. Sett sammen og skriv et støttesammendrag for leksjonen i en notatbok.	dannelse av kognitive, kommunikative og sosiale kompetanser
2.2. kroppsøvingsminutt		Kommenterer	Kommentarer til et sett med øyeøvelser	Elevene gjentar øvelsene.
2.3. Konsolidering. Løse hele ligninger Mål: lære å operere med kunnskap, utvikle fleksibilitet i bruk av kunnskap		Praktiske aktiviteter (Vedlegg 6)	Organiserer og kontrollerer studentaktiviteter. Angir ulike løsninger	De løser hele ligninger i notatbøkene sine, viser løsningen på tavlen og sjekker dem. Trekke konklusjoner	Konsolidering dannelse av informasjon og kognitiv kompetanser
3.1. Oppsummering av leksjonen		Speilbilde (vedlegg 7)	Motiverer elevene til å oppsummere leksjonen Gir karakterer.	Oppsummer materialet som er studert. De trekker en konklusjon. Skriv ned lekser. Evaluer arbeidet deres	Fullfør ligninger

(vedlegg 1)

1. Organisatorisk øyeblikk– mål og mål for timen er satt.

Folkens! Du vil ha en avsluttende sertifisering i matematikk i form av State Examination og Unified State Examination. For å bestå statseksamenen og Unified State-eksamenen, må du ikke bare kunne matematikk på et minimumsnivå, men også bruke kunnskapen din i ikke-standardiserte situasjoner. I deler B og C av Unified State Exam finnes ofte ligninger av høyere grader. Vår oppgave: systematisering og generalisering, utvidelse og fordypning av kunnskap om løsning av hele ligninger med én variabel over andre grad; forberedelse til å anvende kunnskap i ikke-standardiserte situasjoner, for statseksamen og Unified State eksamen.

Mottovår leksjon: "Jo mer jeg vet, jo mer kan jeg."

Epigaph:

Som ikke merker noe

Han studerer ingenting.

Som ikke studerer noe

Han sutrer og kjeder seg alltid.

(poeten R. Seph).

En ligning er det enkleste og vanligste matematiske problemet. Du har samlet litt erfaring med å løse ulike ligninger og vi må sette kunnskapen vår i orden og forstå teknikkene for å løse ikke-standardiserte ligninger.

U ligningene i seg selv er av interesse for studier. De tidligste manuskriptene indikerer at teknikker for å løse lineære ligninger var kjent i det gamle Babylon og det gamle Egypt. Kvadratiske ligninger kunne løses for rundt 2000 år siden f.Kr. e. babylonere.

Standard teknikker og metoder for å løse elementære algebraiske ligninger er en integrert del av å løse alle typer ligninger.

I de enkleste tilfellene er å løse en ligning med en ukjent delt inn i to trinn: transformere ligningen til en standard og løse standardligningen. Det er umulig å fullstendig algoritmisere prosessen med å løse ligninger, men det er nyttig å huske de vanligste teknikkene som er felles for alle typer ligninger. Mange ligninger ved bruk av ikke-standard teknikker løses mye kortere og enklere.

Vi vil rette oppmerksomheten mot dem.

(vedlegg 2)

Oppdatering av kunnskap.

Til lekser fikk du i oppgave å gjenta emnet ligninger og hvordan du løser dem.

Ø Hva heter ligningen? ( En ligning som inneholder en variabel kalles en ligning med én variabel)

Ø Hva er roten til en ligning?(Verdien av variabelen der ligningen blir til den riktige numeriske

likestilling.)

Ø Hva vil det si å løse en ligning?(Finn alle dens røtter eller bevis at det ikke er noen røtter.)

Jeg foreslår at du løser flere ligninger muntlig:

a) x2 = 0 e) x3 – 25x = 0

b) 3x – 6 = 0 g) x(x – 1)(x + 2) = 0

c) x2 – 9 = 0 h) x4 – x2 = 0

d) x2 = 1/36 i) x2 – 0,01 = 0,03

e) x2 = – 25 j) 19 – c2 = 10

Fortell meg, hva forener disse ligningene?(enkelt variabel, hele ligninger osv.)

Ø Hva kalles en hel ligning med én variabel? ( Ligninger der venstre og høyre side er heltall

uttrykkene

Ø Hva kalles graden av en hel ligning?(Graden av en ekvivalent ligning av formen P(x) = 0, Hvor P(x) – polynom

standard type)

Ø Hvor mange røtter kan en hel ligning ha med en variabel 2., 3., 4., P grad(ikke mer enn 2, 3, 4, P)

Kan jeg metoder for å løse hele ligninger?

Vet jeg hvordan jeg bruker disse metodene?

Vil jeg klare å løse ligninger på egenhånd?

Følte du deg komfortabel i timen?

6. På “3” - tabell nr. 1 + 1 ligning fra de resterende tabellene.

På "4" - tabell nr. 1 + 1 ligning fra to tabeller

På “5” - Tabell nr. 1 + 1 ligning fra hver gjenværende

tabeller

https://pandia.ru/text/80/110/images/image007_63.gif" width="594" height="375 src=">

Oppsummering:

Fylle ut egenvurderingstabellen

Karaktersetting

Hjemme: fullfør de gjenværende uløste ligningene fra alle tabellene.

Leksjon: hele ligningen og dens røtter. Hele ligningen og dens røtter

"studentsjekkliste"

Se dokumentinnholdet "Gi ut"

"test"

Se presentasjonsinnhold "1"

Matematisk diktat

Løs ligninger muntlig:

Løs ligningen:

Hele ligningen og dens røtter

Leksjonens mål:

Ligninger

Hele ligningen

10. Ligningsgrad

11. Hva er graden av ligningen?

12. La oss gjenta

13. Førstegradsligning

14. Tredjegradsligning

15. Løs ligningen:

16. La oss løse den biquadratiske ligningen:

17. Løs ligningen:

18. Etabler korrespondansen: Ligningsmetode.

19. Test

20.

21. Lekser:

Rasjonell ligning: definisjon og eksempler

Løse hele ligninger

Løse rasjonelle brøklikninger

Se dokumentinnholdet
"Gi ut"

Se presentasjonsinnhold
"1"