Den grafiske metoden består i å konstruere et sett med tillatte løsninger til PLP, og i dette settet finne punktet som tilsvarer maks/min objektivfunksjonen.

På grunn av de begrensede mulighetene for visuell grafisk representasjon, brukes denne metoden kun for systemer med lineære ulikheter med to ukjente og systemer som kan reduseres til denne formen.

For å tydelig demonstrere den grafiske metoden, la oss løse følgende problem:

1. I den første fasen er det nødvendig å konstruere en region med gjennomførbare løsninger. For dette eksemplet er det mest praktisk å velge X2 som abscisse, og X1 som ordinat, og skrive ulikhetene i følgende form:

Siden både grafene og området for gjennomførbare løsninger er i første kvartal. For å finne grensepunktene løser vi likningene (1)=(2), (1)=(3) og (2)=(3).

Som det fremgår av illustrasjonen, danner polyeder ABCDE en region med gjennomførbare løsninger.

Hvis området med gjennomførbare løsninger ikke er lukket, vil enten max(f)=+ ?, eller min(f)= -?.

2. Nå kan vi gå videre til direkte å finne maksimum av funksjonen f.

Ved å vekselvis erstatte koordinatene til toppunktene til polyederet i funksjonen f og sammenligne verdiene, finner vi at f(C)=f (4; 1)=19 er maksimum av funksjonen.

Denne tilnærmingen er ganske gunstig med et lite antall hjørner. Men denne prosedyren kan ta lang tid hvis det er ganske mange hjørner.

I dette tilfellet er det mer praktisk å vurdere en nivålinje på formen f=a. Med en monoton økning i tallet a fra -? til +? rette linjer f=a forskyves langs normalvektoren. Hvis det, med en slik bevegelse av nivålinjen, er et visst punkt X - det første fellespunktet i regionen med mulige løsninger (polyhedron ABCDE) og nivålinjen, så er f(X) minimum av f på settet ABCDE. Hvis X er det siste skjæringspunktet mellom nivålinjen og ABCDE-settet, så er f(X) maksimum på settet med mulige løsninger. Hvis for en>-? den rette linjen f=a skjærer settet med mulige løsninger, så min(f)= -?. Hvis dette skjer for a>+?, så max(f)=+?.

En av de mest praktiske metodene for å løse kvadratiske ulikheter er den grafiske metoden. I denne artikkelen skal vi se på hvordan kvadratiske ulikheter løses grafisk. Først, la oss diskutere hva essensen av denne metoden er. Deretter vil vi presentere algoritmen og vurdere eksempler på å løse kvadratiske ulikheter grafisk.

Sidenavigering.

Essensen av den grafiske metoden

I det hele tatt grafisk metode for å løse ulikheter med én variabel brukes ikke bare til å løse kvadratiske ulikheter, men også andre typer ulikheter. Essensen av den grafiske metoden for å løse ulikheter neste: vurdere funksjonene y=f(x) og y=g(x), som tilsvarer venstre og høyre side av ulikheten, bygg grafene deres i ett rektangulært koordinatsystem og finn ut med hvilke intervaller grafen til en av de er lavere eller høyere enn den andre. De intervallene hvor

• grafen til funksjonen f over grafen til funksjonen g er løsninger på ulikheten f(x)>g(x) ;
• grafen til funksjonen f ikke lavere enn grafen til funksjonen g er løsninger på ulikheten f(x)≥g(x) ;
• grafen til f under grafen til g er løsninger på ulikheten f(x)
• grafen til en funksjon f ikke høyere enn grafen til en funksjon g er løsninger på ulikheten f(x)≤g(x) .

Vi vil også si at abscissen til skjæringspunktene til grafene til funksjonene f og g er løsninger på ligningen f(x)=g(x) .

La oss overføre disse resultatene til vårt tilfelle - for å løse den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Vi introduserer to funksjoner: den første y=a x 2 +b x+c (med f(x)=a x 2 +b x+c) som tilsvarer venstre side av den kvadratiske ulikheten, den andre y=0 (med g ( x)=0 ) tilsvarer høyre side av ulikheten. Rute kvadratisk funksjon f er en parabel og grafen konstant funksjon g – rett linje som faller sammen med abscisseaksen Ox.

Deretter, i henhold til den grafiske metoden for å løse ulikheter, er det nødvendig å analysere med hvilke intervaller grafen til en funksjon er plassert over eller under en annen, noe som vil tillate oss å skrive ned den ønskede løsningen på den kvadratiske ulikheten. I vårt tilfelle må vi analysere posisjonen til parablen i forhold til okseaksen.

Avhengig av verdiene til koeffisientene a, b og c, er følgende seks alternativer mulige (for våre behov er en skjematisk representasjon tilstrekkelig, og vi trenger ikke å skildre Oy-aksen, siden dens posisjon ikke påvirker løsninger på ulikheten):

På denne tegningen ser vi en parabel, hvis grener er rettet oppover, og som skjærer okseaksen i to punkter, hvis abscisse er x 1 og x 2. Denne tegningen tilsvarer alternativet når koeffisienten a er positiv (den er ansvarlig for den oppadgående retningen til parabelgrenene), og når verdien er positiv diskriminant av et kvadratisk trinomial a x 2 +b x+c (i dette tilfellet har trinomialet to røtter, som vi betegnet som x 1 og x 2, og vi antok at x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

For klarhetens skyld, la oss skildre delene av parabelen som ligger over x-aksen i rødt, og i blått - de som ligger under x-aksen.


La oss nå finne ut hvilke intervaller som tilsvarer disse delene. Følgende tegning vil hjelpe deg med å identifisere dem (i fremtiden vil vi gjøre lignende valg i form av rektangler mentalt):


Så på abscisseaksen ble to intervaller (−∞, x 1) og (x 2 , +∞) uthevet i rødt, på dem er parablen over okseaksen, de utgjør en løsning på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x +c>0 , og intervallet (x 1 , x 2) er uthevet i blått, det er en parabel under Ox-aksen, den representerer løsningen på ulikheten a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Og nå kort: for a>0 og D=b 2 −4 a c>0 (eller D"=D/4>0 for en jevn koeffisient b)

• løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c>0 er (−∞, x 1)∪(x 2, +∞) eller i en annen notasjon x x 2;
• løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c≥0 er (−∞, x 1 ]∪ eller i en annen notasjon x 1 ≤x≤x 2,

hvor x 1 og x 2 er røttene til kvadrattrinomet a x 2 +b x+c, og x 1


Her ser vi en parabel, hvis grener er rettet oppover, og som berører abscisseaksen, det vil si at den har ett felles punkt med seg, vi betegner abscissen til dette punktet som x 0. Det presenterte tilfellet tilsvarer a>0 (grenene er rettet oppover) og D=0 (kvadrattrinomialet har én rot x 0). For eksempel kan du ta den kvadratiske funksjonen y=x 2 −4·x+4, her a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 og x 0 =2.

Tegningen viser tydelig at parablen er plassert over Ox-aksen overalt bortsett fra kontaktpunktet, det vil si på intervallene (−∞, x 0), (x 0, ∞). For klarhets skyld, la oss fremheve områder i tegningen analogt med forrige avsnitt.


Vi trekker konklusjoner: for a>0 og D=0

• løsningen på den kvadratiske ulikheten a·x 2 +b·x+c>0 er (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) eller i en annen notasjon x≠x 0;
• løsningen på den kvadratiske ulikheten a·x 2 +b·x+c≥0 er (−∞, +∞) eller i en annen notasjon x∈R ;
• kvadratisk ulikhet a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c≤0 har en unik løsning x=x 0 (den er gitt av tangenspunktet),

hvor x 0 er roten til kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c.


I dette tilfellet er grenene til parabelen rettet oppover, og den har ikke fellespunkter med abscisseaksen. Her har vi betingelsene a>0 (grener er rettet oppover) og D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0, D=02 −4·2·1=−8<0 .

Det er klart at parablen er plassert over okseaksen i hele dens lengde (det er ingen intervaller der den er under okseaksen, det er ikke noe tangenspunkt).


For a>0 og D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 og a x 2 +b x+c≥0 er mengden av alle reelle tall, og ulikhetene a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Og det gjenstår tre alternativer for plasseringen av parabelen med grener rettet nedover, ikke oppover, i forhold til okseaksen. I prinsippet trenger de ikke vurderes, siden multiplisering av begge sider av ulikheten med −1 lar oss gå til en ekvivalent ulikhet med en positiv koeffisient for x 2. Men det skader fortsatt ikke å få en idé om disse sakene. Begrunnelsen her er lik, så vi vil bare skrive ned hovedresultatene.

Løsningsalgoritme

Resultatet av alle tidligere beregninger er algoritme for å løse kvadratiske ulikheter grafisk:

Det lages en skjematisk tegning på koordinatplanet, som viser Ox-aksen (det er ikke nødvendig å avbilde Oy-aksen) og en skisse av en parabel tilsvarende den kvadratiske funksjonen y=a·x 2 +b·x+c. For å tegne en skisse av en parabel, er det nok å avklare to punkter:

• For det første, ved verdien av koeffisienten a bestemmes det hvor dens grener er rettet (for a>0 - oppover, for en<0 – вниз).
• Og for det andre, ved verdien av diskriminanten til kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c bestemmes det om parablen skjærer abscisseaksen i to punkter (for D>0), berører den i ett punkt (for D=0) , eller har ingen felles punkter med okseaksen (ved D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Når tegningen er klar, bruk den i det andre trinnet i algoritmen

  • ved løsning av den kvadratiske ulikheten a·x 2 +b·x+c>0, bestemmes intervallene hvor parabelen er plassert over abscissen;
  • ved løsning av ulikheten a·x 2 +b·x+c≥0, bestemmes intervallene som parablen befinner seg over abscisseaksen med, og abscissen til skjæringspunktene (eller abscissen til tangentpunktet) legges til dem;
  • ved løsning av ulikheten a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • til slutt, når man løser en kvadratisk ulikhet av formen a·x 2 +b·x+c≤0, finner man intervaller der parabelen er under okseaksen og abscissen til skjæringspunktene (eller abscissen til tangentpunktet ) legges til dem;

  de utgjør den ønskede løsningen på den kvadratiske ulikheten, og hvis det ikke er slike intervaller og ingen tangenspunkter, så har den opprinnelige kvadratiske ulikheten ingen løsninger.

Alt som gjenstår er å løse noen få kvadratiske ulikheter ved å bruke denne algoritmen.

Eksempler med løsninger

Eksempel.

Løs ulikheten .

Løsning.

Vi må løse en kvadratisk ulikhet, la oss bruke algoritmen fra forrige avsnitt. I det første trinnet må vi skissere grafen til den kvadratiske funksjonen . Koeffisienten til x 2 er lik 2, den er positiv, derfor er grenene til parablen rettet oppover. La oss også finne ut om parablen har felles punkter med x-aksen for å gjøre dette, vi vil beregne diskriminanten til kvadrattrinomialet . Vi har . Diskriminanten viste seg å være større enn null, derfor har trinomialet to reelle røtter: Og , det vil si x 1 =−3 og x 2 =1/3.

Fra dette er det tydelig at parabelen skjærer okseaksen i to punkter med abscisse −3 og 1/3. Vi vil fremstille disse punktene på tegningen som vanlige punkter, siden vi løser en ikke-streng ulikhet. Basert på de avklarte dataene får vi følgende tegning (den passer til den første malen fra første avsnitt av artikkelen):

La oss gå videre til det andre trinnet i algoritmen. Siden vi løser en ikke-streng kvadratisk ulikhet med tegnet ≤, må vi bestemme intervallene som parablen er plassert under abscissen og legge til abscissen til skjæringspunktene.

Fra tegningen er det tydelig at parablen er under x-aksen på intervallet (−3, 1/3) og til den legger vi abscissen til skjæringspunktene, det vil si tallene −3 og 1/3. Som et resultat kommer vi til det numeriske intervallet [−3, 1/3] . Dette er løsningen vi ser etter. Det kan skrives som en dobbel ulikhet −3≤x≤1/3.

Svar:

[−3, 1/3] eller −3≤x≤1/3 .

Eksempel.

Finn løsningen på den kvadratiske ulikheten −x 2 +16 x−63<0 .

Løsning.

Som vanlig starter vi med en tegning. Den numeriske koeffisienten for kvadratet til variabelen er negativ, −1, derfor er grenene til parablen rettet nedover. La oss beregne diskriminanten, eller enda bedre, dens fjerde del: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Verdien er positiv, la oss beregne røttene til kvadrattrinomialet: Og x 1 = 7 og x 2 = 9. Så parablen skjærer okseaksen i to punkter med abscisse 7 og 9 (den opprinnelige ulikheten er streng, så vi vil skildre disse punktene med et tomt senter nå kan vi lage en skjematisk tegning).

Siden vi løser en streng kvadratisk ulikhet med et tegn<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Tegningen viser at løsningene til den opprinnelige kvadratiske ulikheten er to intervaller (−∞, 7), (9, +∞) .

Svar:

(−∞, 7)∪(9, +∞) eller i en annen notasjon x<7 , x>9 .

Når du løser kvadratiske ulikheter, når diskriminanten til et kvadratisk trinomium på venstre side er null, må du være forsiktig med å inkludere eller ekskludere abscissen til tangentpunktet fra svaret. Dette avhenger av tegnet på ulikheten: hvis ulikheten er streng, så er det ikke en løsning på ulikheten, men hvis den ikke er streng, så er den det.

Eksempel.

Har den kvadratiske ulikheten 10 x 2 −14 x+4,9≤0 minst én løsning?

Løsning.

La oss plotte funksjonen y=10 x 2 −14 x+4,9. Dens grener er rettet oppover, siden koeffisienten til x 2 er positiv, og den berører abscisseaksen i punktet med abscissen 0,7, siden D"=(−7) 2 −10 4,9=0, hvorav eller 0,7 i formen av en desimalbrøk Skjematisk ser det slik ut:

Siden vi løser en kvadratisk ulikhet med ≤-tegnet, vil løsningen være intervallene som parablen er under okseaksen, samt abscissen til tangentpunktet. Fra tegningen er det klart at det ikke er et eneste gap der parabelen vil være under Ox-aksen, så løsningen vil bare være abscissen til tangentpunktet, det vil si 0,7.

Svar:

denne ulikheten har en unik løsning 0,7.

Eksempel.

Løs den kvadratiske ulikheten –x 2 +8 x−16<0 .

Løsning.

Vi følger algoritmen for å løse kvadratiske ulikheter og starter med å konstruere en graf. Forgreningene til parablen er rettet nedover, siden koeffisienten til x 2 er negativ, −1. La oss finne diskriminanten til kvadrattrinomialet –x 2 +8 x−16, vi har D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 og deretter x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Så, parabelen berører okseaksen ved abscissepunktet 4. La oss lage tegningen:

Vi ser på tegnet på den opprinnelige ulikheten, det er der<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

I vårt tilfelle er dette åpne stråler (−∞, 4), (4, +∞) . Separat bemerker vi at 4 - abscissen til kontaktpunktet - ikke er en løsning, siden parabelen ved kontaktpunktet ikke er lavere enn okseaksen.

Svar:

(−∞, 4)∪(4, +∞) eller i en annen notasjon x≠4 .

Vær spesielt oppmerksom på tilfeller der diskriminanten til kvadrattrinomialet på venstre side av kvadratulikheten er mindre enn null. Det er ingen grunn til å forhaste seg her og si at ulikheten ikke har noen løsninger (vi er vant til å lage en slik konklusjon for andregradsligninger med negativ diskriminant). Poenget er at den kvadratiske ulikheten for D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Eksempel.

Finn løsningen på den kvadratiske ulikheten 3 x 2 +1>0.

Løsning.

Som vanlig starter vi med en tegning. Koeffisienten a er 3, den er positiv, derfor er grenene til parablen rettet oppover. Vi beregner diskriminanten: D=0 2 −4·3·1=−12 . Siden diskriminanten er negativ, har parablen ingen fellespunkter med okseaksen. Informasjonen som er oppnådd er tilstrekkelig for en skjematisk graf:

Vi løser en streng kvadratisk ulikhet med et >-tegn. Dens løsning vil være alle intervaller der parabelen er over okseaksen. I vårt tilfelle er parablen over x-aksen langs hele lengden, så den ønskede løsningen vil være settet av alle reelle tall.

Ox , og du må også legge til abscissen til skjæringspunktene eller abscissen til tangens til dem. Men fra tegningen er det tydelig at det ikke er slike intervaller (siden parablen er overalt under abscisseaksen), akkurat som det ikke er noen skjæringspunkter, akkurat som det ikke er noen tangenspunkter. Derfor har den opprinnelige kvadratiske ulikheten ingen løsninger.

Svar:

ingen løsninger eller i en annen oppføring ∅.

Bibliografi.

• Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2009. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Algebra. 9. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. 11. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner (profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Den grafiske metoden er en av hovedmetodene for å løse kvadratiske ulikheter. I artikkelen vil vi presentere en algoritme for bruk av den grafiske metoden, og deretter vurdere spesielle tilfeller ved hjelp av eksempler.

Essensen av den grafiske metoden

Metoden er anvendelig for å løse eventuelle ulikheter, ikke bare kvadratiske. Dens essens er dette: høyre og venstre side av ulikheten betraktes som to separate funksjoner y = f (x) og y = g (x), grafene deres er plottet i et rektangulært koordinatsystem og se på hvilken av grafene som er plassert over den andre, og på hvilke intervaller. Intervallene er beregnet som følger:

Definisjon 1

• løsninger på ulikheten f (x) > g (x) er intervaller der grafen til funksjonen f er høyere enn grafen til funksjonen g;
• løsninger på ulikheten f (x) ≥ g (x) er intervaller der grafen til funksjonen f ikke er lavere enn grafen til funksjonen g;
• løsninger på ulikheten f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• løsninger på ulikheten f (x) ≤ g (x) er intervaller der grafen til funksjonen f ikke er høyere enn grafen til funksjonen g;
• Abscissen til skjæringspunktene til grafene til funksjonene f og g er løsninger på ligningen f (x) = g (x).

La oss se på algoritmen ovenfor ved å bruke et eksempel. For å gjøre dette, ta den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) og utlede to funksjoner fra den. Venstre side av ulikheten vil tilsvare y = a · x 2 + b · x + c (i dette tilfellet f (x) = a · x 2 + b · x + c), og høyre side y = 0 ( i dette tilfellet g (x) = 0).

Grafen til den første funksjonen er en parabel, den andre er en rett linje, som sammenfaller med x-aksen O x. La oss analysere posisjonen til parablen i forhold til O x-aksen. For å gjøre dette, la oss lage en skjematisk tegning.

Parabolens grener er rettet oppover. Den skjærer O x-aksen i punkter x 1 Og x 2. Koeffisient a i dette tilfellet er positivt, siden det er den som er ansvarlig for retningen til grenene til parabelen. Diskriminanten er positiv, noe som indikerer at kvadrattrinomialet har to røtter a x 2 + b x + c. Vi betegner røttene til trinomialet som x 1 Og x 2, og det ble akseptert x 1< x 2 , siden et punkt med abscisse er avbildet på O x-aksen x 1 til venstre for abscissepunktet x 2.

Delene av parabelen som ligger over O x-aksen vil være merket med rødt, under - i blått. Dette vil tillate oss å gjøre tegningen mer visuell.

La oss velge mellomrommene som tilsvarer disse delene og markere dem i bildet med felt av en bestemt farge.

Vi markerte med rødt intervallene (− ∞, x 1) og (x 2, + ∞), på dem er parablen over O x-aksen. De er a · x 2 + b · x + c > 0. Vi markerte med blått intervallet (x 1 , x 2), som er løsningen på ulikheten a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

La oss lage en kort oppsummering av løsningen. For a > 0 og D = b 2 − 4 a c > 0 (eller D " = D 4 > 0 for en jevn koeffisient b) får vi:

• løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c > 0 er (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) eller i en annen notasjon x< x 1 , x >x 2;
• løsningen på den kvadratiske ulikheten a · x 2 + b · x + c ≥ 0 er (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) eller i en annen form x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• løse den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c ≤ 0 er [ x 1 , x 2 ] eller i en annen notasjon x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

hvor x 1 og x 2 er røttene til kvadrattrinomet a · x 2 + b · x + c, og x 1< x 2 .

I denne figuren berører parablen O x-aksen bare ved ett punkt, som er betegnet som x 0 a > 0. D=0, derfor har kvadratisk trinomium én rot x 0.

Parablen er plassert over O x-aksen helt, med unntak av tangenspunktet til koordinataksen. La oss fargelegge intervallene (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

La oss skrive ned resultatene. På a > 0 Og D=0:

• løse den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c > 0 er (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) eller i en annen notasjon x ≠ x 0;
• løse den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c ≥ 0 er (− ∞ , + ∞) eller i en annen notasjon x ∈ R;
• kvadratisk ulikhet a x 2 + b x + c< 0 har ingen løsninger (det er ingen intervaller hvor parablen er plassert under aksen O x);
• kvadratisk ulikhet a x 2 + b x + c ≤ 0 har en unik løsning x = x 0(det er gitt av kontaktpunktet),

Hvor x 0- roten av kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c.

La oss vurdere det tredje tilfellet, når grenene til parabelen er rettet oppover og ikke berører aksen O x. Parabolens grener er rettet oppover, noe som betyr at a > 0. Det kvadratiske trinomium har ingen reelle røtter pga D< 0 .

Det er ingen intervaller på grafen hvor parabelen vil være under x-aksen. Dette vil vi ta hensyn til når vi velger farge til tegningen vår.

Det viser seg at når a > 0 Og D< 0 løse kvadratiske ulikheter a x 2 + b x + c > 0 Og a x 2 + b x + c ≥ 0 er settet av alle reelle tall, og ulikhetene a x 2 + b x + c< 0 Og a x 2 + b x + c ≤ 0 har ingen løsninger.

Vi har tre alternativer igjen å vurdere når grenene til parablen er rettet nedover. Det er ikke nødvendig å dvele ved disse tre alternativene i detalj, siden når vi multipliserer begge sider av ulikheten med − 1, får vi en ekvivalent ulikhet med en positiv koeffisient for x 2.

Betraktningen av forrige del av artikkelen forberedte oss på oppfatningen av en algoritme for å løse ulikheter ved hjelp av en grafisk metode. For å utføre beregninger må vi bruke en tegning hver gang, som viser koordinatlinjen O x og en parabel som tilsvarer den kvadratiske funksjonen y = a x 2 + b x + c. I de fleste tilfeller vil vi ikke avbilde O y-aksen, siden den ikke er nødvendig for beregninger og bare vil overbelaste tegningen.

For å konstruere en parabel må vi vite to ting:

Definisjon 2

• retningen til grenene, som bestemmes av verdien av koeffisienten a;
• tilstedeværelsen av skjæringspunkter mellom parabelen og abscisseaksen, som bestemmes av verdien av diskriminanten til kvadratisk trinomial a · x 2 + b · x + c .

Vi vil betegne skjæringspunktene og tangens på vanlig måte når vi løser ikke-strenge ulikheter og tomme når vi løser strenge.

Ved å ha en ferdig tegning kan du gå videre til neste trinn i løsningen. Det innebærer å bestemme intervallene som parabelen er plassert over eller under O x-aksen. Intervallene og skjæringspunktene er løsningen på den kvadratiske ulikheten. Hvis det ikke er noen skjæringspunkter eller tangens og det ikke er noen intervaller, anses det at ulikheten spesifisert i betingelsene for problemet ikke har noen løsninger.

La oss nå løse flere kvadratiske ulikheter ved å bruke algoritmen ovenfor.

Eksempel 1

Det er nødvendig å løse ulikheten 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 grafisk.

Løsning

La oss tegne en graf av den kvadratiske funksjonen y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Koeffisient kl x 2 positiv fordi den er lik 2 . Dette betyr at grenene til parablen vil bli rettet oppover.

La oss beregne diskriminanten til det kvadratiske trinomiet 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 for å finne ut om parablen har fellespunkter med abscisseaksen. Vi får:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Som vi ser, er D større enn null, derfor har vi to skjæringspunkter: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 og x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, det vil si, x 1 = − 3 Og x 2 = 1 3.

Vi løser en ikke-streng ulikhet, derfor setter vi vanlige punkter på grafen. La oss tegne en parabel. Som du ser har tegningen samme utseende som i den første malen vi vurderte.

Vår ulikhet har tegnet ≤. Derfor må vi markere intervallene på grafen der parabelen er plassert under O x-aksen og legge til skjæringspunkter til dem.

Intervallet vi trenger er 3, 1 3. Vi legger til skjæringspunkter og får et numerisk segment − 3, 1 3. Dette er løsningen på problemet vårt. Svaret kan skrives som en dobbel ulikhet: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Svar:− 3 , 1 3 eller − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Eksempel 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafisk metode.

Løsning

Kvadraten til variabelen har en negativ numerisk koeffisient, så grenene til parablen vil bli rettet nedover. La oss beregne den fjerde delen av diskriminanten D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Dette resultatet forteller oss at det vil være to skjæringspunkter.

La oss beregne røttene til det kvadratiske trinomiet: x 1 = - 8 + 1 - 1 og x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 og x 2 = 9.

Det viser seg at parabelen skjærer x-aksen i punktene 7 Og 9 . La oss merke disse punktene på grafen som tomme, siden vi jobber med streng ulikhet. Etter dette tegner du en parabel som skjærer O x-aksen på de merkede punktene.

Vi vil være interessert i intervallene som parabelen er plassert under O x-aksen. La oss markere disse intervallene med blått.

Vi får svaret: løsningen på ulikheten er intervallene (− ∞, 7), (9, + ∞) .

Svar:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) eller i en annen notasjon x< 7 , x > 9 .

I tilfeller der diskriminanten til et kvadratisk trinomium er null, er det nødvendig å nøye vurdere om man skal inkludere abscissen til tangentpunktene i svaret. For å ta den riktige avgjørelsen er det nødvendig å ta hensyn til ulikhetstegnet. I strenge ulikheter er ikke tangenspunktet til x-aksen en løsning på ulikheten, men i ikke-strenge er det det.

Eksempel 3

Løs kvadratisk ulikhet 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 grafisk metode.

Løsning

Grenene til parabelen vil i dette tilfellet være rettet oppover. Den vil berøre O x-aksen ved punkt 0, 7, siden

La oss plotte funksjonen y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Dens grener er rettet oppover, siden koeffisienten kl x 2 positiv, og den berører x-aksen ved x-aksepunktet 0 , 7 , fordi D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, hvor x 0 = 7 10 eller 0 , 7 .

La oss sette et poeng og tegne en parabel.

Vi løser en ikke-streng ulikhet med et fortegn ≤. Derfor. Vi vil være interessert i intervallene parabelen er plassert under x-aksen og tangenspunktet. Det er ingen intervaller i figuren som vil tilfredsstille våre betingelser. Det er bare et kontaktpunkt 0, 7. Dette er løsningen vi ser etter.

Svar: Ulikheten har bare én løsning 0, 7.

Eksempel 4

Løs kvadratisk ulikhet – x 2 + 8 x – 16< 0 .

Løsning

Parabolens grener er rettet nedover. Diskriminanten er null. Krysspunkt x 0 = 4.

Vi markerer tangenspunktet på x-aksen og tegner en parabel.

Vi har å gjøre med alvorlig ulikhet. Følgelig er vi interessert i intervallene parablen befinner seg under O x-aksen. La oss merke dem med blått.

Punktet med abscisse 4 er ingen løsning, siden parabelen ved den ikke er plassert under O x-aksen. Følgelig får vi to intervaller (− ∞ , 4), (4 , + ∞) .

Svar: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) eller i en annen notasjon x ≠ 4 .

Ikke alltid, hvis diskriminantverdien er negativ, vil ulikheten ikke ha noen løsninger. Det er tilfeller der løsningen er settet av alle reelle tall.

Eksempel 5

Løs den kvadratiske ulikheten 3 x 2 + 1 > 0 grafisk.

Løsning

Koeffisient a er positiv. Diskriminanten er negativ. Parabolens grener vil bli rettet oppover. Det er ingen skjæringspunkter for parabelen med O x-aksen. La oss se på tegningen.

Vi jobber med streng ulikhet, som har et >-tegn. Det betyr at vi er interessert i intervallene parablen befinner seg over x-aksen. Dette er akkurat tilfelle når svaret er settet av alle reelle tall.

Svar:(− ∞, + ∞) eller så x ∈ R.

Eksempel 6

Det er nødvendig å finne en løsning på ulikheten − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafisk.

Løsning

Parabolens grener er rettet nedover. Diskriminanten er negativ, derfor er det ingen fellespunkter mellom parabelen og x-aksen. La oss se på tegningen.

Vi jobber med en ikke-streng ulikhet med tegnet ≥, derfor er intervallene som parablen befinner seg over x-aksen av interesse for oss. Etter grafen å dømme er det ingen slike hull. Dette betyr at ulikheten gitt i problemforholdene ikke har noen løsninger.

Svar: Ingen løsninger.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Første nivå

Løse ligninger, ulikheter, systemer ved hjelp av funksjonsgrafer. Visuell guide (2019)

Mange oppgaver som vi er vant til å regne ut rent algebraisk kan løses mye enklere og raskere ved hjelp av funksjonsgrafer vil hjelpe oss med dette. Du sier "hvordan?" tegne noe, og hva skal jeg tegne? Tro meg, noen ganger er det mer praktisk og enklere. Skal vi sette i gang? La oss starte med ligningene!

Grafisk løsning av ligninger

Grafisk løsning av lineære ligninger

Som du allerede vet, er grafen til en lineær ligning en rett linje, derav navnet på denne typen. Lineære ligninger er ganske enkle å løse algebraisk - vi overfører alle ukjente til den ene siden av ligningen, alt vi vet til den andre, og vips! Vi fant roten. Nå skal jeg vise deg hvordan du gjør det grafisk.

Så du har ligningen:

Hvordan løse det?
valg 1, og den vanligste er å flytte de ukjente til den ene siden og de kjente til den andre, får vi:

La oss nå bygge. Hva fikk du?

Hva tror du er roten til ligningen vår? Det stemmer, koordinaten til skjæringspunktet til grafene er:

Vårt svar er

Det er hele visdommen med den grafiske løsningen. Som du enkelt kan sjekke, er roten til ligningen vår et tall!

Som jeg sa ovenfor, er dette det vanligste alternativet, nær en algebraisk løsning, men du kan løse det på en annen måte. For å vurdere en alternativ løsning, la oss gå tilbake til ligningen vår:

Denne gangen skal vi ikke flytte noe fra side til side, men konstruere grafene direkte, siden de nå eksisterer:

Bygget? La oss se!

Hva er løsningen denne gangen? Det er riktig. Det samme - koordinaten til skjæringspunktet til grafene:

Og igjen er svaret vårt.

Som du kan se, med lineære ligninger er alt ekstremt enkelt. Det er på tide å se på noe mer komplekst... For eksempel, grafisk løsning av andregradsligninger.

Grafisk løsning av andregradsligninger

Så la oss nå begynne å løse den andregradsligningen. La oss si at du må finne røttene til denne ligningen:

Selvfølgelig kan du nå begynne å telle gjennom diskriminanten, eller i henhold til Vietas teorem, men mange mennesker, ute av nerver, gjør feil når de multipliserer eller kvadrerer, spesielt hvis eksemplet er med store tall, og som du vet, vant du 't har en kalkulator til eksamen... La oss derfor prøve å slappe av litt og tegne mens vi løser denne ligningen.

Løsninger på denne ligningen kan finnes grafisk på forskjellige måter. La oss se på de forskjellige alternativene, og du kan velge hvilken du liker best.

Metode 1. Direkte

Vi bygger ganske enkelt en parabel ved å bruke denne ligningen:

For å gjøre dette raskt, vil jeg gi deg et lite hint: Det er praktisk å starte konstruksjonen ved å bestemme toppunktet til parablen. Følgende formler vil hjelpe med å bestemme koordinatene til toppunktet til en parabel:

Du vil si "Stopp! Formelen for er veldig lik formelen for å finne diskriminanten," ja, det er den, og dette er en stor ulempe ved "direkte" å konstruere en parabel for å finne dens røtter. La oss imidlertid telle til slutten, og så skal jeg vise deg hvordan du gjør det mye (mye!) enklere!

Har du telt? Hvilke koordinater fikk du for toppunktet til parablen? La oss finne ut av det sammen:

Nøyaktig samme svar? Bra gjort! Og nå kjenner vi allerede koordinatene til toppunktet, men for å konstruere en parabel trenger vi flere... punkter. Hvor mange minimumspoeng tror du vi trenger? Ikke sant, .

Du vet at en parabel er symmetrisk om toppunktet, for eksempel:

Følgelig trenger vi ytterligere to punkter på venstre eller høyre gren av parabelen, og i fremtiden vil vi symmetrisk reflektere disse punktene på motsatt side:

La oss gå tilbake til parabelen vår. For vårt tilfelle, punktum. Vi trenger to poeng til, så vi kan ta positive, eller kan vi ta negative? Hvilke punkter passer best for deg? Det er mer praktisk for meg å jobbe med positive, så jeg regner med og.

Nå har vi tre punkter, vi kan enkelt konstruere parabelen vår ved å reflektere de to siste punktene i forhold til toppunktet:

Hva tror du er løsningen på ligningen? Det er riktig, punkter som, det vil si, og. Fordi.

Og hvis vi sier det, betyr det at det også må være likt, eller.

Bare? Vi er ferdige med å løse ligningen med deg på en kompleks grafisk måte, ellers kommer det flere!

Selvfølgelig kan du sjekke svaret vårt algebraisk - du kan beregne røttene ved å bruke Vietas teorem eller Diskriminant. Hva fikk du? Det samme? Her ser du! La oss nå se på en veldig enkel grafisk løsning, jeg er sikker på at du virkelig vil like den!

Metode 2. Delt inn i flere funksjoner

La oss ta vår samme ligning: , men vi vil skrive den litt annerledes, nemlig:

Kan vi skrive det slik? Det kan vi, siden transformasjonen er ekvivalent. La oss se videre.

La oss konstruere to funksjoner hver for seg:

1. - Grafen er en enkel parabel, som du enkelt kan konstruere selv uten å definere toppunktet ved å bruke formler og tegne en tabell for å bestemme andre punkter.
2. - Grafen er en rett linje, som du like gjerne kan konstruere ved å estimere verdiene i hodet ditt uten engang å ty til en kalkulator.

Bygget? La oss sammenligne med det jeg fikk:

Hva tror du er røttene til ligningen i dette tilfellet? Ikke sant! Koordinatene oppnådd ved skjæringspunktet mellom to grafer, og det vil si:

Følgelig er løsningen på denne ligningen:

Hva sier du? Enig, denne løsningsmetoden er mye enklere enn den forrige og enda enklere enn å lete etter røtter gjennom en diskriminant! I så fall, prøv å løse følgende ligning ved å bruke denne metoden:

Hva fikk du? La oss sammenligne grafene våre:

Grafene viser at svarene er:

Klarte du deg? Bra gjort! La oss nå se på likningene litt mer kompliserte, nemlig å løse blandede likninger, det vil si likninger som inneholder funksjoner av forskjellige typer.

Grafisk løsning av blandede ligninger

La oss nå prøve å løse følgende:

Selvfølgelig kan du bringe alt til en fellesnevner, finne røttene til den resulterende ligningen, uten å glemme å ta hensyn til ODZ, men igjen, vi vil prøve å løse det grafisk, som vi gjorde i alle tidligere tilfeller.

La oss denne gangen bygge følgende 2 grafer:

1. - grafen er en hyperbel
2. - Grafen er en rett linje, som du enkelt kan konstruere ved å estimere verdiene i hodet uten engang å ty til en kalkulator.

skjønte det? Begynn å bygge nå.

Her er hva jeg fikk:

Når du ser på dette bildet, fortell meg hva som er røttene til ligningen vår?

Det stemmer, og. Her er bekreftelsen:

Prøv å koble røttene våre inn i ligningen. Skjedd?

Det er riktig! Enig, å løse slike ligninger grafisk er en fornøyelse!

Prøv å løse ligningen grafisk selv:

Jeg skal gi deg et hint: flytt en del av ligningen til høyre side slik at de enkleste funksjonene å konstruere er på begge sider. Fikk du hintet? Gjør noe!

La oss nå se hva du har:

Henholdsvis:

1. - kubikk parabel.
2. - vanlig rett linje.

Vel, la oss bygge:

Som du skrev ned for lenge siden, er roten til denne ligningen - .

Etter å ha jobbet gjennom et så stort antall eksempler, er jeg sikker på at du innså hvor enkelt og raskt det er å løse ligninger grafisk. Det er på tide å finne ut hvordan man løser systemer på denne måten.

Grafisk løsning av systemer

Grafisk løsning av systemer er i hovedsak ikke forskjellig fra grafisk løsning av ligninger. Vi skal også bygge to grafer, og skjæringspunktene deres vil være røttene til dette systemet. Én graf er én ligning, den andre grafen er en annen ligning. Alt er ekstremt enkelt!

La oss starte med det enkleste - å løse systemer av lineære ligninger.

Løse systemer av lineære ligninger

La oss si at vi har følgende system:

Først, la oss transformere det slik at det til venstre er alt som er forbundet med, og til høyre - alt som er forbundet med. Med andre ord, la oss skrive disse ligningene som en funksjon i vår vanlige form:

Nå bygger vi bare to rette linjer. Hva er løsningen i vårt tilfelle? Ikke sant! Poenget med deres skjæringspunkt! Og her må du være veldig, veldig forsiktig! Tenk på det, hvorfor? La meg gi deg et hint: vi har å gjøre med et system: i systemet er det både, og... Har du hintet?

Det er riktig! Når vi skal løse et system må vi se på begge koordinatene, og ikke bare som når vi løser likninger! Et annet viktig poeng er å skrive dem ned riktig og ikke blande sammen hvor vi har meningen og hvor meningen er! Har du skrevet det ned? La oss nå sammenligne alt i rekkefølge:

Og svarene: og. Gjør en sjekk - bytt inn røttene som ble funnet i systemet og kontroller om vi løste det riktig grafisk?

Løse systemer av ikke-lineære ligninger

Hva om vi i stedet for én rett linje har en andregradsligning? Det er greit! Du bygger bare en parabel i stedet for en rett linje! Tror ikke? Prøv å løse følgende system:

Hva er vårt neste steg? Det stemmer, skriv det ned slik at det er praktisk for oss å lage grafer:

Og nå er det et spørsmål om små ting - bygg det raskt og her er løsningen din! Vi bygger:

Ble grafene like? Merk nå løsningene til systemet i figuren og skriv riktig ned de identifiserte svarene!

Jeg har gjort alt? Sammenlign med notatene mine:

Er alt rett? Bra gjort! Du klarer allerede denne typen oppgaver som nøtter! I så fall, la oss gi deg et mer komplisert system:

Hva gjør vi? Ikke sant! Vi skriver systemet slik at det er praktisk å bygge:

Jeg skal gi deg et lite hint, siden systemet ser veldig komplisert ut! Når du bygger grafer, bygg dem "mer", og viktigst av alt, ikke bli overrasket over antall skjæringspunkter.

Så la oss gå! Utåndet? Begynn å bygge nå!

Så hvordan? Vakker? Hvor mange skjæringspunkter fikk du? Jeg har tre! La oss sammenligne grafene våre:

Også? Skriv nå nøye ned alle løsningene til systemet vårt:

Se nå på systemet igjen:

Kan du forestille deg at du løste dette på bare 15 minutter? Enig, matematikk er fortsatt enkelt, spesielt når du ser på et uttrykk er du ikke redd for å gjøre feil, men bare ta det og løs det! Du er en stor gutt!

Grafisk løsning av ulikheter

Grafisk løsning av lineære ulikheter

Etter det siste eksemplet kan du gjøre hva som helst! Nå pust ut - sammenlignet med de forrige avsnittene, vil denne være veldig, veldig enkel!

Vi starter som vanlig med en grafisk løsning på en lineær ulikhet. For eksempel denne:

Først, la oss utføre de enkleste transformasjonene - åpne parentesene til perfekte firkanter og presentere lignende termer:

Ulikheten er ikke streng, derfor er den ikke inkludert i intervallet, og løsningen vil være alle punkter som er til høyre, siden mer, mer, og så videre:

Svar:

Det er alt! Enkelt? La oss løse en enkel ulikhet med to variabler:

La oss tegne en funksjon i koordinatsystemet.

Fikk du en slik timeplan? La oss nå se nøye på hvilken ulikhet vi har der? Mindre? Dette betyr at vi maler over alt som er til venstre for vår rette linje. Hva om det var flere? Det stemmer, da ville vi malt over alt som er til høyre for den rette linjen vår. Det er enkelt.

Alle løsninger på denne ulikheten er farget i oransje. Det er det, ulikheten med to variabler er løst. Dette betyr at koordinatene til ethvert punkt fra det skraverte området er løsningene.

Grafisk løsning av kvadratiske ulikheter

Nå skal vi forstå hvordan vi grafisk løser kvadratiske ulikheter.

Men før vi går i gang, la oss gå gjennom noe materiale angående den kvadratiske funksjonen.

Hva er diskriminanten ansvarlig for? Det er riktig, for posisjonen til grafen i forhold til aksen (hvis du ikke husker dette, så les definitivt teorien om kvadratiske funksjoner).

Uansett, her er en liten påminnelse til deg:

Nå som vi har frisket opp alt materialet i minnet, la oss komme i gang – løse ulikheten grafisk.

Jeg vil fortelle deg med en gang at det er to alternativer for å løse det.

valg 1

Vi skriver parabelen vår som en funksjon:

Ved å bruke formlene bestemmer vi koordinatene til toppunktet til parablen (nøyaktig det samme som når vi løser kvadratiske ligninger):

Har du telt? Hva fikk du?

La oss nå ta to forskjellige poeng og regne ut for dem:

La oss begynne å bygge en gren av parabelen:

Vi reflekterer poengene våre symmetrisk til en annen gren av parablen:

La oss nå gå tilbake til vår ulikhet.

Vi trenger at den er mindre enn null, henholdsvis:

Siden i vår ulikhet tegnet er strengt tatt mindre enn, ekskluderer vi sluttpunktene - "punktere ut".

Svar:

Lang vei, ikke sant? Nå vil jeg vise deg en enklere versjon av den grafiske løsningen ved å bruke eksemplet med samme ulikhet:

Alternativ 2

Vi går tilbake til ulikheten vår og markerer intervallene vi trenger:

Enig, det er mye raskere.

La oss nå skrive ned svaret:

La oss vurdere en annen løsning som forenkler den algebraiske delen, men det viktigste er ikke å bli forvirret.

Multipliser venstre og høyre side med:

Prøv å løse følgende kvadratiske ulikhet selv på den måten du vil: .

Klarte du deg?

Se hvordan grafen min ble:

Svar: .

Grafisk løsning av blandede ulikheter

La oss nå gå videre til mer komplekse ulikheter!

Hvordan liker du dette:

Det er skummelt, er det ikke? Ærlig talt, jeg har ingen anelse om hvordan jeg skal løse dette algebraisk... Men det er ikke nødvendig. Grafisk er det ikke noe komplisert med dette! Øynene er redde, men hendene gjør det!

Det første vi starter med er å konstruere to grafer:

Jeg vil ikke skrive ut en tabell for hver enkelt - jeg er sikker på at du kan gjøre det perfekt på egen hånd (wow, det er så mange eksempler å løse!).

Har du malt den? Bygg nå to grafer.

La oss sammenligne tegningene våre?

Er det det samme med deg? Flott! La oss nå ordne skjæringspunktene og bruke farger for å bestemme hvilken graf vi skal ha større i teorien, altså. Se hva som skjedde til slutt:

La oss nå bare se på hvor den valgte grafen vår er høyere enn grafen? Ta gjerne en blyant og mal over dette området! Hun vil være løsningen på vår komplekse ulikhet!

Ved hvilke intervaller langs aksen er vi plassert høyere enn? Ikke sant, . Dette er svaret!

Vel, nå kan du håndtere enhver ligning, hvilket som helst system, og enda mer enhver ulikhet!

KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Algoritme for å løse ligninger ved hjelp av funksjonsgrafer:

1. La oss uttrykke det gjennom
2. La oss definere funksjonstypen
3. La oss bygge grafer av de resulterende funksjonene
4. La oss finne skjæringspunktene til grafene
5. La oss skrive svaret riktig (ta hensyn til ODZ- og ulikhetstegnene)
6. La oss sjekke svaret (bytter røttene inn i ligningen eller systemet)

For mer informasjon om å konstruere funksjonsgrafer, se emnet "".

La f(x,y) Og g(x, y)- to uttrykk med variabler X Og på og omfang X. Deretter ulikheter i formen f(x, y) > g(x, y) eller f(x, y) < g(x, y) kalt ulikhet med to variabler .

Betydningen av variabler x, y fra mange X, hvor ulikheten blir til en sann numerisk ulikhet, kalles det beslutning og er utpekt (x, y). Løs ulikhet – dette betyr å finne mange slike par.

Hvis hvert par tall (x, y) fra settet med løsninger til ulikheten, match punktet M(x, y), får vi settet med punkter på planet spesifisert av denne ulikheten. Han blir kalt graf over denne ulikheten . Grafen for en ulikhet er vanligvis et område på et plan.

Å skildre settet med løsninger på ulikheten f(x, y) > g(x, y), fortsett som følger. Bytt først ut ulikhetstegnet med et likhetstegn og finn en linje som har ligningen f(x,y) = g(x,y). Denne linjen deler flyet i flere deler. Etter dette er det nok å ta ett poeng i hver del og sjekke om ulikheten er tilfredsstilt på dette punktet f(x, y) > g(x, y). Hvis det utføres på dette punktet, vil det bli utført i hele delen der dette punktet ligger. Ved å kombinere slike deler får vi mange løsninger.

Oppgave. y > x.

Løsning. Først erstatter vi ulikhetstegnet med et likhetstegn og konstruerer en linje i et rektangulært koordinatsystem som har ligningen y = x.

Denne linjen deler flyet i to deler. Etter dette, ta ett poeng i hver del og sjekk om ulikheten er tilfredsstilt på dette punktet y > x.

Oppgave. Løs grafisk ulikheten
X 2 + på 2 £25.

Ris. 18.

Løsning. Bytt først ut ulikhetstegnet med et likhetstegn og tegn en linje X 2 + på 2 = 25. Dette er en sirkel med et senter i origo og en radius på 5. Den resulterende sirkelen deler planet i to deler. Sjekke tilfredsstillelsen av ulikheten X 2 + på 2 £ 25 i hver del, finner vi at grafen er et sett med punkter på en sirkel og deler av et plan inne i sirkelen.

La to ulikheter gis f 1(x, y) > g 1(x, y) Og f 2(x, y) > g 2(x, y).

Systemer av sett av ulikheter med to variabler

System av ulikheter er deg selv sammen med disse ulikhetene. Systemløsning er enhver mening (x, y), som gjør hver av ulikhetene til en sann numerisk ulikhet. Mange løsninger systemer ulikheter er skjæringspunktet mellom sett med løsninger på ulikheter som danner et gitt system.

Sett med ulikheter er deg selv disjunksjon av disse ulikheter Ved helhetens løsning er enhver mening (x, y), som konverterer minst én av settet med ulikheter til en sann numerisk ulikhet. Mange løsninger helhet er en forening av sett med løsninger på ulikheter som danner et sett.

Oppgave. Løs ulikhetssystemet grafisk

Løsning. y = x Og X 2 + på 2 = 25. Vi løser hver ulikhet i systemet.

Grafen til systemet vil være settet med punkter på planet som er skjæringspunktet (dobbelt skravering) av settene med løsninger til den første og andre ulikheten.

Oppgave. Løs grafisk et sett med ulikheter

Løsning. Først erstatter vi ulikhetstegnet med et likhetstegn og tegner linjer i ett koordinatsystem y = x+ 4 og X 2 + på 2 = 16. Løs hver ulikhet i befolkningen. Grafen til befolkningen vil være et sett med punkter på planet, som er foreningen av settene med løsninger på den første og andre ulikheten.

Øvelser for selvstendig arbeid

1. Løs ulikhetene grafisk: a) på> 2x; b) på< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Løs grafisk ulikhetssystemer:

a) b)