På 7. trinns matematikkkurs møter vi for første gang ligninger med to variabler, men de studeres bare i sammenheng med ligningssystemer med to ukjente. Det er grunnen til at en hel rekke problemer der visse forhold introduseres på koeffisientene til ligningen som begrenser dem faller ut av syne. I tillegg ignoreres metoder for å løse problemer som "Løs en ligning i naturlige eller heltall", selv om problemer av denne typen finnes oftere og oftere i Unified State Examination-materiellet og i opptaksprøver.
Hvilken ligning vil bli kalt en ligning med to variabler?
Så, for eksempel, ligningene 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, eller xy = 12 er ligninger i to variabler.
Tenk på ligningen 2x – y = 1. Den blir sann når x = 2 og y = 3, så dette paret med variabelverdier er en løsning på den aktuelle ligningen.
Dermed er løsningen på enhver ligning med to variabler et sett med ordnede par (x; y), verdier av variablene som gjør denne ligningen til en sann numerisk likhet.
En ligning med to ukjente kan:
EN) har én løsning. For eksempel har ligningen x 2 + 5y 2 = 0 en unik løsning (0; 0);
b) har flere løsninger. For eksempel har (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 løsninger: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) har ingen løsninger. For eksempel har likningen x 2 + y 2 + 1 = 0 ingen løsninger;
G) har uendelig mange løsninger. For eksempel, x + y = 3. Løsningene til denne ligningen vil være tall hvis sum er lik 3. Settet med løsninger til denne ligningen kan skrives på formen (k; 3 – k), der k er en hvilken som helst reell Antall.
Hovedmetodene for å løse likninger med to variabler er metoder basert på faktorisering av uttrykk, isolering av et komplett kvadrat, bruk av egenskapene til en kvadratisk ligning, begrensede uttrykk og estimeringsmetoder. Ligningen blir vanligvis transformert til en form som et system for å finne de ukjente kan hentes fra.
Faktorisering
Eksempel 1.
Løs ligningen: xy – 2 = 2x – y.
Løsning.
Vi grupperer begrepene for faktoriseringsformål:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Fra hver parentes tar vi ut en felles faktor:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Vi har:
y = 2, x – et hvilket som helst reelt tall eller x = -1, y – et hvilket som helst reelt tall.
Dermed, svaret er alle parene av formen (x; 2), x € R og (-1; y), y € R.
Likhet mellom ikke-negative tall og null
Eksempel 2.
Løs ligningen: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Løsning.
Gruppering:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nå kan hver brakett brettes ved å bruke kvadratisk forskjellsformel.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Summen av to ikke-negative uttrykk er null bare hvis 3x – 2 = 0 og 2y – 3 = 0.
Dette betyr x = 2/3 og y = 3/2.
Svar: (2/3; 3/2).
Estimeringsmetode
Eksempel 3.
Løs ligningen: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Løsning.
I hver parentes velger vi en komplett firkant:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. La oss anslå 
betydningen av uttrykkene i parentes.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 og (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, så er venstre side av ligningen alltid minst 2. Likhet er mulig hvis:
(x + 1) 2 + 1 = 1 og (y – 2) 2 + 2 = 2, som betyr x = -1, y = 2.
Svar: (-1; 2).
La oss bli kjent med en annen metode for å løse likninger med to variabler av andre grad. Denne metoden består i å behandle ligningen som kvadrat med hensyn til en variabel.
Eksempel 4.
Løs ligningen: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Løsning.
La oss løse ligningen som en andregradsligning for x. La oss finne diskriminanten:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ligningen vil bare ha en løsning når D = 0, det vil si hvis y = 4. Vi erstatter verdien av y i den opprinnelige ligningen og finner at x = 3.
Svar: (3; 4).
Ofte i ligninger med to ukjente indikerer de restriksjoner på variabler.
Eksempel 5.
Løs ligningen i hele tall: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Løsning.
La oss omskrive likningen på formen x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Høyresiden av den resulterende likningen ved delt på 5 gir en rest av 2. Derfor er ikke x 2 delelig med 5. Men kvadratet av en tall som ikke er delelig med 5 gir en rest av 1 eller 4. Dermed er likhet umulig og det finnes ingen løsninger.
Svar: ingen røtter.
Eksempel 6.
Løs ligningen: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Løsning.
La oss fremheve de komplette rutene i hver parentes:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Venstre side av ligningen er alltid større enn eller lik 3. Likhet er mulig forutsatt |x| – 2 = 0 og y + 3 = 0. Dermed er x = ± 2, y = -3.
Svar: (2; -3) og (-2; -3).
Eksempel 7.
For hvert par negative heltall (x;y) som tilfredsstiller ligningen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, beregn summen (x + y). Vennligst oppgi det minste beløpet i svaret ditt.
Løsning.
La oss velge komplette firkanter:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Siden x og y er heltall, er kvadratene deres også heltall. Vi får summen av kvadratene av to heltall lik 37 hvis vi legger til 1 + 36. Derfor:
(x – y) 2 = 36 og (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 og (y + 2) 2 = 36.
Ved å løse disse systemene og ta i betraktning at x og y er negative, finner vi løsninger: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Svar: -17.
Fortvil ikke hvis du har problemer med å løse likninger med to ukjente. Med litt øvelse kan du håndtere enhver ligning.
Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser ligninger i to variabler?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!
nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.
Emne:Lineær funksjon
Lekse:Lineær ligning i to variabler og dens graf
Vi ble kjent med begrepene en koordinatakse og et koordinatplan. Vi vet at hvert punkt på planet unikt definerer et tallpar (x; y), der det første tallet er abscissen til punktet, og det andre er ordinaten.
Vi vil svært ofte møte en lineær ligning i to variabler, hvis løsning er et tallpar som kan representeres på koordinatplanet.
Formens ligning:
Der a, b, c er tall, og 
Det kalles en lineær ligning med to variabler x og y. Løsningen på en slik likning vil være et hvilket som helst slikt tallpar x og y, og erstatte det i likningen vi får den korrekte numeriske likheten.
Et par tall vil bli avbildet på koordinatplanet som et punkt.
For slike ligninger vil vi se mange løsninger, det vil si mange tallpar, og alle de tilsvarende punktene vil ligge på samme rette linje.
La oss se på et eksempel:
For å finne løsninger på denne ligningen må du velge de tilsvarende tallparene x og y:
La , så blir den opprinnelige ligningen til en ligning med en ukjent:
,
Det vil si det første tallparet som er en løsning på en gitt ligning (0; 3). Vi fikk punkt A(0; 3)
La . Vi får den opprinnelige ligningen med én variabel: 
, herfra fikk vi punkt B(3; 0)
La oss sette tallparene i tabellen:
La oss plotte punkter på grafen og tegne en rett linje: 
Merk at ethvert punkt på en gitt linje vil være en løsning på den gitte ligningen. La oss sjekke - ta et punkt med en koordinat og bruk grafen til å finne den andre koordinaten. Det er åpenbart at på dette tidspunktet. La oss erstatte dette tallparet i ligningen. Vi får 0=0 - en korrekt numerisk likhet, som betyr at et punkt som ligger på en linje er en løsning.
Foreløpig kan vi ikke bevise at noe punkt som ligger på den konstruerte linjen er en løsning på ligningen, så vi aksepterer dette som sant og vil bevise det senere.
Eksempel 2 - tegn grafen for ligningen:
La oss lage en tabell vi trenger bare to punkter for å konstruere en rett linje, men vi tar en tredje for kontroll:
I den første kolonnen tok vi en praktisk en, vi finner den fra:
, ,
I den andre kolonnen tok vi en praktisk en, la oss finne x:
, , ,
La oss sjekke og finne:
, ,
La oss lage en graf:
La oss multiplisere den gitte ligningen med to:
Fra en slik transformasjon vil ikke settet med løsninger endres, og grafen vil forbli den samme.
Konklusjon: vi lærte å løse likninger med to variabler og bygge deres grafer, vi lærte at grafen til en slik likning er en rett linje og at ethvert punkt på denne linjen er en løsning på likningen
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra 7. 6. utgave. M.: Opplysning. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. og andre Algebra 7.M.: Opplysning. 2006
2. Portal for familievisning ().
Oppgave 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr. 960, Art. 210;
Oppgave 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr. 961, art. 210;
Oppgave 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr. 962, art. 210;
§ 1 Valg av ligningsrøtter i reelle situasjoner
La oss vurdere denne virkelige situasjonen:
Mesteren og lærlingen laget sammen 400 spesialtilpassede deler. Dessuten jobbet mesteren i 3 dager, og studenten i 2 dager. Hvor mange deler laget hver person?
La oss lage en algebraisk modell av denne situasjonen. La mesteren produsere deler på 1 dag. Og studenten er på detaljene. Deretter skal mesteren lage 3 deler på 3 dager, og studenten skal lage 2 deler på 2 dager. Sammen skal de produsere 3 + 2 deler. Siden det i henhold til betingelsen ble produsert totalt 400 deler, får vi ligningen:
Den resulterende ligningen kalles en lineær ligning i to variabler. Her må vi finne et tallpar x og y som ligningen vil ha form av en sann numerisk likhet. Legg merke til at hvis x = 90, y = 65, får vi likheten:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Siden den korrekte numeriske likheten er oppnådd, vil tallparet 90 og 65 være en løsning på denne ligningen. Men løsningen som ble funnet er ikke den eneste. Hvis x = 96 og y = 56, får vi likheten:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Dette er også en ekte numerisk likhet, som betyr at paret med tall 96 og 56 også er en løsning på denne ligningen. Men et tallpar x = 73 og y = 23 vil ikke være en løsning på denne ligningen. Faktisk vil 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 gi oss den ukorrekte numeriske likheten 265 = 400. Det bør bemerkes at hvis vi vurderer ligningen i forhold til denne virkelige situasjonen, så vil det være tallpar som er en løsning på denne ligningen, vil ikke være en løsning på problemet. For eksempel et par tall:
x = 200 og y = -100
er en løsning på ligningen, men eleven kan ikke lage -100 deler, og derfor kan ikke et slikt tallpar være svaret på oppgavens spørsmål. I hver spesifikke reelle situasjon er det derfor nødvendig å ta en rimelig tilnærming til å velge røttene til ligningen.
La oss oppsummere de første resultatene:
En ligning av formen ax + by + c = 0, hvor a, b, c er alle tall, kalles en lineær ligning med to variabler.
Løsningen til en lineær ligning i to variabler er et tallpar som tilsvarer x og y, for hvilke ligningen blir til en sann numerisk likhet.
§ 2 Graf over en lineær ligning
Selve registreringen av paret (x;y) får oss til å tenke på muligheten for å fremstille det som et punkt med koordinatene xy y på et plan. Dette betyr at vi kan få en geometrisk modell av en spesifikk situasjon. Tenk for eksempel på ligningen:
2x + y - 4 = 0
La oss velge flere tallpar som skal være løsninger på denne ligningen og konstruere punkter med de funnet koordinatene. La disse være punkter:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
Merk at alle punktene ligger på samme linje. Denne linjen kalles grafen til en lineær ligning i to variabler. Det er en grafisk (eller geometrisk) modell av en gitt ligning.
Hvis et tallpar (x;y) er en løsning på ligningen
ax + vy + c = 0, da hører punktet M(x;y) til grafen til ligningen. Vi kan si omvendt: hvis punktet M(x;y) tilhører grafen til ligningen ax + y + c = 0, så er tallparet (x;y) en løsning på denne ligningen.
Fra geometrikurset vet vi:
For å konstruere en rett linje trenger du 2 punkter, så for å plotte en graf av en lineær ligning med to variabler, er det nok å bare vite 2 par løsninger. Men å gjette røttene er ikke alltid en praktisk eller rasjonell prosedyre. Du kan handle i henhold til en annen regel. Siden abscissen til et punkt (variabel x) er en uavhengig variabel, kan du gi den en hvilken som helst passende verdi. Ved å erstatte dette tallet i ligningen finner vi verdien av variabelen y.
La for eksempel ligningen gis:
La x = 0, så får vi 0 - y + 1 = 0 eller y = 1. Dette betyr at hvis x = 0, så er y = 1. Et tallpar (0;1) er løsningen på denne ligningen. La oss sette en annen verdi for variabelen x: x = 2. Da får vi 2 - y + 1 = 0 eller y = 3. Tallparet (2;3) er også en løsning på denne ligningen. Ved å bruke de to punktene som er funnet, er det allerede mulig å konstruere en graf av ligningen x - y + 1 = 0.
Du kan gjøre dette: først tilordne en bestemt verdi til variabelen y, og først deretter beregne verdien av x.
§ 3 Ligningssystem
Finn to naturlige tall hvis sum er 11 og differansen er 1.
For å løse dette problemet lager vi først en matematisk modell (nemlig en algebraisk). La det første tallet være x og det andre tallet y. Da er summen av tallene x + y = 11 og differansen av tallene x - y = 1. Siden begge ligningene omhandler de samme tallene, må disse betingelsene oppfylles samtidig. Vanligvis i slike tilfeller brukes en spesiell post. Ligningene er skrevet under hverandre og kombinert med en krøllete klammeparentes.
En slik post kalles et ligningssystem.
La oss nå konstruere sett med løsninger til hver ligning, dvs. grafer for hver av ligningene. La oss ta den første ligningen:
Hvis x = 4, er y = 7. Hvis x = 9, er y = 2.
La oss tegne en rett linje gjennom punktene (4;7) og (9;2).
La oss ta den andre ligningen x - y = 1. Hvis x = 5, så er y = 4. Hvis x = 7, så er y = 6. Vi trekker også en rett linje gjennom punktene (5;4) og (7;6 ). Vi fikk en geometrisk modell av problemet. Tallparet vi er interessert i (x;y) må være en løsning på begge ligningene. I figuren ser vi et enkelt punkt som ligger på begge linjene, dette er skjæringspunktet for linjene.
Koordinatene er (6;5). Derfor vil løsningen på problemet være: det første nødvendige tallet er 6, det andre er 5.
Liste over brukt litteratur:
- Mordkovich A.G., Algebra 7. klasse i 2 deler, Del 1, Lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner / A.G. Mordkovich. – 10. utgave, revidert – Moskva, “Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G., Algebra 7. klasse i 2 deler, Del 2, Oppgavebok for utdanningsinstitusjoner / [A.G. Mordkovich og andre]; redigert av A.G. Mordkovich - 10. utgave, revidert - Moskva, "Mnemosyne", 2007
- HENNE. Tulchinskaya, Algebra 7. klasse. Blitz-undersøkelse: en manual for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner, 4. utgave, revidert og utvidet, Moskva, Mnemosyne, 2008
- Alexandrova L.A., Algebra 7. klasse. Tematiske prøveoppgaver i ny form for studenter ved allmennutdanningsinstitusjoner, redigert av A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011
- Alexandrova L.A. Algebra 7. klasse. Uavhengige verk for studenter ved allmennutdanningsinstitusjoner, redigert av A.G. Mordkovich - 6. utgave, stereotypisk, Moskva, "Mnemosyne", 2010
En lineær ligning i to variabler er enhver ligning som har følgende form: a*x + b*y =с. Her er x og y to variabler, a,b,c er noen tall.
Nedenfor er noen få eksempler på lineære ligninger.
1. 10*x + 25*y = 150;
I likhet med ligninger med én ukjent, har også en lineær ligning med to variabler (ukjente) en løsning. For eksempel blir den lineære ligningen x-y=5, med x=8 og y=3, til riktig identitet 8-3=5. I dette tilfellet sies tallparet x=8 og y=3 å være en løsning på den lineære ligningen x-y=5. Du kan også si at et tallpar x=8 og y=3 tilfredsstiller den lineære ligningen x-y=5.
Løse en lineær ligning
Løsningen til den lineære likningen a*x + b*y = c er altså et hvilket som helst tallpar (x,y) som tilfredsstiller denne likningen, det vil si gjør likningen med variablene x og y til en korrekt numerisk likhet. Legg merke til hvordan tallparet x og y er skrevet her. Denne oppføringen er kortere og mer praktisk. Du trenger bare å huske at det første stedet i en slik post er verdien av variabelen x, og den andre er verdien til variabelen y.
Vær oppmerksom på at tallene x=11 og y=8, x=205 og y=200 x= 4,5 og y= -0,5 også tilfredsstiller den lineære ligningen x-y=5, og er derfor løsninger på denne lineære ligningen.
Løse en lineær ligning med to ukjente er ikke den eneste. Hver lineær ligning i to ukjente har uendelig mange forskjellige løsninger. Det vil si, det er det uendelig mange forskjellige to tall x og y som konverterer en lineær ligning til en sann identitet.
Hvis flere ligninger med to variabler har identiske løsninger, kalles slike ligninger ekvivalente ligninger. Det skal bemerkes at hvis ligninger med to ukjente ikke har løsninger, så anses de også som likeverdige.
Grunnleggende egenskaper til lineære ligninger med to ukjente
1. Alle leddene i ligningen kan overføres fra en del til en annen, men det er nødvendig å endre fortegn til det motsatte. Den resulterende ligningen vil være ekvivalent med den opprinnelige.
2. Begge sider av ligningen kan deles med et hvilket som helst tall som ikke er null. Som et resultat får vi en ligning tilsvarende den opprinnelige.
På 7. trinns matematikkkurs møter vi for første gang ligninger med to variabler, men de studeres bare i sammenheng med ligningssystemer med to ukjente. Det er grunnen til at en hel rekke problemer der visse forhold introduseres på koeffisientene til ligningen som begrenser dem faller ut av syne. I tillegg ignoreres metoder for å løse problemer som "Løs en ligning i naturlige eller heltall", selv om problemer av denne typen finnes oftere og oftere i Unified State Examination-materiellet og i opptaksprøver.
Hvilken ligning vil bli kalt en ligning med to variabler?
Så, for eksempel, ligningene 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, eller xy = 12 er ligninger i to variabler.
Tenk på ligningen 2x – y = 1. Den blir sann når x = 2 og y = 3, så dette paret med variabelverdier er en løsning på den aktuelle ligningen.
Dermed er løsningen på enhver ligning med to variabler et sett med ordnede par (x; y), verdier av variablene som gjør denne ligningen til en sann numerisk likhet.
En ligning med to ukjente kan:
EN) har én løsning. For eksempel har ligningen x 2 + 5y 2 = 0 en unik løsning (0; 0);
b) har flere løsninger. For eksempel har (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 løsninger: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) har ingen løsninger. For eksempel har likningen x 2 + y 2 + 1 = 0 ingen løsninger;
G) har uendelig mange løsninger. For eksempel, x + y = 3. Løsningene til denne ligningen vil være tall hvis sum er lik 3. Settet med løsninger til denne ligningen kan skrives på formen (k; 3 – k), der k er en hvilken som helst reell Antall.
Hovedmetodene for å løse likninger med to variabler er metoder basert på faktorisering av uttrykk, isolering av et komplett kvadrat, bruk av egenskapene til en kvadratisk ligning, begrensede uttrykk og estimeringsmetoder. Ligningen blir vanligvis transformert til en form som et system for å finne de ukjente kan hentes fra.
Faktorisering
Eksempel 1.
Løs ligningen: xy – 2 = 2x – y.
Løsning.
Vi grupperer begrepene for faktoriseringsformål:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Fra hver parentes tar vi ut en felles faktor:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Vi har:
y = 2, x – et hvilket som helst reelt tall eller x = -1, y – et hvilket som helst reelt tall.
Dermed, svaret er alle parene av formen (x; 2), x € R og (-1; y), y € R.
Likhet mellom ikke-negative tall og null
Eksempel 2.
Løs ligningen: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Løsning.
Gruppering:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Nå kan hver brakett brettes ved å bruke kvadratisk forskjellsformel.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Summen av to ikke-negative uttrykk er null bare hvis 3x – 2 = 0 og 2y – 3 = 0.
Dette betyr x = 2/3 og y = 3/2.
Svar: (2/3; 3/2).
Estimeringsmetode
Eksempel 3.
Løs ligningen: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Løsning.
I hver parentes velger vi en komplett firkant:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. La oss anslå betydningen av uttrykkene i parentes.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 og (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, så er venstre side av ligningen alltid minst 2. Likhet er mulig hvis:
(x + 1) 2 + 1 = 1 og (y – 2) 2 + 2 = 2, som betyr x = -1, y = 2.
Svar: (-1; 2).
La oss bli kjent med en annen metode for å løse likninger med to variabler av andre grad. Denne metoden består i å behandle ligningen som kvadrat med hensyn til en variabel.
Eksempel 4.
Løs ligningen: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Løsning.
La oss løse ligningen som en andregradsligning for x. La oss finne diskriminanten:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ligningen vil bare ha en løsning når D = 0, det vil si hvis y = 4. Vi erstatter verdien av y i den opprinnelige ligningen og finner at x = 3.
Svar: (3; 4).
Ofte i ligninger med to ukjente indikerer de restriksjoner på variabler.
Eksempel 5.
Løs ligningen i hele tall: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Løsning.
La oss omskrive likningen på formen x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Høyresiden av den resulterende likningen ved delt på 5 gir en rest av 2. Derfor er ikke x 2 delelig med 5. Men kvadratet av en tall som ikke er delelig med 5 gir en rest av 1 eller 4. Dermed er likhet umulig og det finnes ingen løsninger.
Svar: ingen røtter.
Eksempel 6.
Løs ligningen: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Løsning.
La oss fremheve de komplette rutene i hver parentes:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Venstre side av ligningen er alltid større enn eller lik 3. Likhet er mulig forutsatt |x| – 2 = 0 og y + 3 = 0. Dermed er x = ± 2, y = -3.
Svar: (2; -3) og (-2; -3).
Eksempel 7.
For hvert par negative heltall (x;y) som tilfredsstiller ligningen
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, beregn summen (x + y). Vennligst oppgi det minste beløpet i svaret ditt.
Løsning.
La oss velge komplette firkanter:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Siden x og y er heltall, er kvadratene deres også heltall. Vi får summen av kvadratene av to heltall lik 37 hvis vi legger til 1 + 36. Derfor:
(x – y) 2 = 36 og (y + 2) 2 = 1
(x – y) 2 = 1 og (y + 2) 2 = 36.
Ved å løse disse systemene og ta i betraktning at x og y er negative, finner vi løsninger: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Svar: -17.
Fortvil ikke hvis du har problemer med å løse likninger med to ukjente. Med litt øvelse kan du håndtere enhver ligning.
Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser ligninger i to variabler?
For å få hjelp fra en veileder -.
Den første leksjonen er gratis!
blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.