Et parallellepiped er et prisme hvis base er parallellogrammer. I dette tilfellet vil alle kanter være parallellogrammer.
Hvert parallellepiped kan betraktes som et prisme på tre forskjellige måter, siden hver to motsatte flater kan tas som baser (i fig. 5, flater ABCD og A"B"C"D", eller ABA"B" og CDC"D ", eller BCB "C" og ADA"D").
Den aktuelle kroppen har tolv kanter, fire like og parallelle med hverandre.
Teorem 3
. Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre på ett punkt, sammenfallende med midten av hver av dem.
Den parallellepipediserte ABCDA"B"C"D" (fig. 5) har fire diagonaler AC", BD", CA", DB". Vi må bevise at midtpunktene til alle to av dem, for eksempel AC og BD", er sammenfallende. Dette følger av at figuren ABC"D", som har like og parallelle sider AB og C"D", er et parallellogram.
Definisjon 7
. Et rett parallellepiped er et parallellepiped som også er et rett prisme, det vil si et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrett på basens plan.
Definisjon 8
. Et rektangulært parallellepiped er et rett parallellepiped hvis base er et rektangel. I dette tilfellet vil alle ansiktene være rektangler.
Et rektangulært parallellepiped er et rett prisme, uansett hvilken av flatene vi tar som base, siden hver av kantene er vinkelrett på kantene som kommer ut fra samme toppunkt, og vil derfor være vinkelrett på planene til flatene som er definert ved disse kantene. I kontrast kan et rett, men ikke rektangulært, parallellepiped betraktes som et rett prisme på bare én måte.
Definisjon 9
. Lengden på tre kanter av et rektangulært parallellepiped, hvorav ingen er parallelle med hverandre (for eksempel tre kanter som kommer ut fra samme toppunkt), kalles dens dimensjoner. To rektangulære parallellepipeder med tilsvarende like dimensjoner er åpenbart like med hverandre.
Definisjon 10
.En terning er et rektangulært parallellepiped, hvis alle tre dimensjoner er like hverandre, slik at alle flatene er firkanter. To terninger med like kanter er like. 
Definisjon 11
. Et skrånende parallellepiped der alle kanter er like hverandre og vinklene på alle flater er like eller komplementære kalles et romboeder.
Alle ansiktene til et romboeder er like romber. (Noen krystaller av stor betydning har en romboederform, for eksempel islandske spartkrystaller.) I et romboeder kan du finne et toppunkt (og til og med to motsatte hjørner) slik at alle vinklene ved siden av den er like med hverandre.
Teorem 4
. Diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like med hverandre. Kvadraten til diagonalen er lik summen av kvadratene til de tre dimensjonene.
I det rektangulære parallellepipedum ABCDA"B"C"D" (fig. 6) er diagonalene AC" og BD" like, siden firkanten ABC"D" er et rektangel (den rette linjen AB er vinkelrett på planet ECB" C", der BC ligger").
I tillegg er AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 basert på teoremet om kvadratet til hypotenusen. Men basert på samme teoremet AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; derav vi ha:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.
I denne leksjonen vil alle kunne studere emnet "Rektangulært parallellepiped". I begynnelsen av leksjonen vil vi gjenta hva vilkårlige og rette parallellepiped er, husk egenskapene til deres motsatte flater og diagonaler til parallellepipedet. Deretter skal vi se på hva en kuboid er og diskutere dens grunnleggende egenskaper.
Tema: Vinkelretthet av linjer og plan
Leksjon: Cuboid
En overflate sammensatt av to like parallellogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 og fire parallellogrammer ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 kalles parallellepipedum(Figur 1).
Ris. 1 parallellpiped
Det vil si: vi har to like parallellogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 (baser), de ligger i parallelle plan slik at sidekantene AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 er parallelle. Dermed kalles en overflate sammensatt av parallellogrammer parallellepipedum.
Dermed er overflaten til et parallellepiped summen av alle parallellogrammene som utgjør parallellepipedet.
1. De motsatte flatene til et parallellepiped er parallelle og like.
(formene er like, det vil si at de kan kombineres ved å overlappe)
For eksempel:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (like parallellogrammer per definisjon),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (siden AA 1 B 1 B og DD 1 C 1 C er motsatte sider av parallellepipedet),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (siden AA 1 D 1 D og BB 1 C 1 C er motsatte sider av parallellepipedet).
2. Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og er halvert av dette punktet.
Diagonalene til parallellepipedet AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B skjærer hverandre i ett punkt O, og hver diagonal er delt i to med dette punktet (fig. 2).
Ris. 2 Diagonalene til et parallellepipedum skjærer hverandre og er delt i to av skjæringspunktet.
3. Det er tre firedobler av like og parallelle kanter på et parallellepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Definisjon. Et parallellepiped kalles rett hvis sidekantene er vinkelrett på basene.
La sidekanten AA 1 være vinkelrett på basen (fig. 3). Dette betyr at rett linje AA 1 er vinkelrett på rette linjer AD og AB, som ligger i grunnplanet. Dette betyr at sideflatene inneholder rektangler. Og basene inneholder vilkårlige parallellogrammer. La oss betegne ∠DÅRLIG = φ, vinkelen φ kan være hvilken som helst.
Ris. 3 Høyre parallellepipedum
Så, et høyre parallellepiped er et parallellepiped der sidekantene er vinkelrett på bunnen av parallellepipedet.
Definisjon. Parallepipedet kalles rektangulært, hvis sidekantene er vinkelrette på basen. Basene er rektangler.
Den parallellepipediserte ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er rektangulær (fig. 4), hvis:
1. AA 1 ⊥ ABCD (sidekant vinkelrett på basens plan, det vil si en rett parallellepiped).
2. ∠DÅRLIG = 90°, dvs. basen er et rektangel.
Ris. 4 Rektangulært parallellepipedum
Et rektangulært parallellepiped har alle egenskapene til et vilkårlig parallellepiped. Men det er ytterligere egenskaper som er avledet fra definisjonen av en cuboid.
Så, kuboid er et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrett på basen. Basen til et rektangulært parallellepiped er et rektangel.
1. I et rektangulært parallellepiped er alle seks flatene rektangler.
ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er rektangler per definisjon.
2. Laterale ribber er vinkelrett på basen. Dette betyr at alle sideflatene til et rektangulært parallellepiped er rektangler.
3. Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er rett.
La oss for eksempel se på den dihedriske vinkelen til et rektangulært parallellepiped med kanten AB, dvs. den dihedrale vinkelen mellom planene ABC 1 og ABC.
AB er en kant, punkt A 1 ligger i ett plan - i planet ABB 1, og punkt D i det andre - i planet A 1 B 1 C 1 D 1. Da kan den dihedriske vinkelen som vurderes også betegnes som følger: ∠A 1 ABD.
La oss ta punkt A på kanten AB. AA 1 er vinkelrett på kanten AB i planet АВВ-1, AD er vinkelrett på kanten AB i planet ABC. Dette betyr at ∠A 1 AD er den lineære vinkelen til en gitt dihedral vinkel. ∠A 1 AD = 90°, som betyr at den dihedrale vinkelen ved kanten AB er 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
På samme måte er det bevist at alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er riktige.
Kvadraten til diagonalen til et rektangulært parallellepiped er lik summen av kvadratene av dets tre dimensjoner.
Merk. Lengdene til de tre kantene som kommer fra ett toppunkt av en kuboid er målene til cuboid. De kalles noen ganger lengde, bredde, høyde.
Gitt: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rektangulært parallellepipedum (fig. 5).
Bevis: .
Ris. 5 Rektangulær parallellepipedum
Bevis:
Rett linje CC 1 er vinkelrett på plan ABC, og derfor på rett linje AC. Dette betyr at trekanten CC 1 A er rettvinklet. I følge Pythagoras teorem:
Tenk på den rette trekanten ABC. I følge Pythagoras teorem:
Men BC og AD er motsatte sider av rektangelet. Så BC = AD. Deretter:
Fordi , A , Det. Siden CC 1 = AA 1, er dette det som måtte bevises.
Diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like.
La oss betegne dimensjonene til parallellepipedet ABC som a, b, c (se fig. 6), da AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Et parallellepiped er en geometrisk figur, der alle 6 flatene er parallellogrammer.
Avhengig av typen av disse parallellogrammene, skilles følgende typer parallellepiped ut:
- rett;
- tilbøyelig;
- rektangulær.
Et rett parallellepiped er et firkantet prisme hvis kanter danner en vinkel på 90° med bunnplanet.
Et rektangulært parallellepiped er et firkantet prisme, hvis overflater alle er rektangler. En kube er en type firkantet prisme der alle flater og kanter er like hverandre.
Egenskapene til en figur forhåndsbestemmer egenskapene. Disse inkluderer følgende 4 utsagn:
Det er enkelt å huske alle egenskapene ovenfor, de er enkle å forstå og er utledet logisk basert på typen og egenskapene til den geometriske kroppen. Imidlertid kan enkle utsagn være utrolig nyttige når du løser typiske BRUK-oppgaver og vil spare tiden som trengs for å bestå testen.
Parallelepiped formler
For å finne svar på problemet er det ikke nok å bare kjenne egenskapene til figuren. Du kan også trenge noen formler for å finne arealet og volumet til en geometrisk kropp.
Arealet til basene er funnet på samme måte som den tilsvarende indikatoren for et parallellogram eller rektangel. Du kan selv velge bunnen av parallellogrammet. Som regel, når du løser problemer, er det lettere å jobbe med et prisme, hvis base er et rektangel.
Formelen for å finne sideflaten til et parallellepiped kan også være nødvendig i testoppgaver.
Eksempler på å løse typiske Unified State Exam-oppgaver
Øvelse 1.
Gitt: et rektangulært parallellepiped med dimensjoner 3, 4 og 12 cm.
Nødvendig finn lengden på en av hoveddiagonalene i figuren.
Løsning: Enhver løsning på et geometrisk problem må begynne med konstruksjonen av en korrekt og tydelig tegning, hvor "gitt" og ønsket verdi vil bli indikert. Figuren nedenfor viser et eksempel på korrekt utførelse av oppgavebetingelser.
Etter å ha undersøkt tegningen som er laget og husket alle egenskapene til den geometriske kroppen, kommer vi til den eneste riktige løsningsmetoden. Ved å bruke den fjerde egenskapen til et parallellepiped får vi følgende uttrykk:
Etter enkle utregninger får vi uttrykket b2=169, derfor b=13. Svaret på oppgaven er funnet, du trenger ikke bruke mer enn 5 minutter på å søke etter det og tegne det.
Et parallellepiped er et firkantet prisme med parallellogrammer ved bunnen. Høyden til et parallellepiped er avstanden mellom planene til basene. På figuren er høyden vist med et segment 
. Det finnes to typer parallellepipeder: rette og skråstilte. Som regel gir en matteveileder først de passende definisjonene for et prisme og overfører dem deretter til et parallellepiped. Vi vil gjøre det samme.
La meg minne deg på at et prisme kalles rett hvis sidekantene er vinkelrette på basene, hvis det ikke er vinkelrett, kalles prismet skråstilt. Denne terminologien er også arvet av parallellepipedet. 
Et rett parallellepiped er ikke annet enn en type rett prisme, hvis sidekant faller sammen med høyden. Definisjoner av slike begreper som ansikt, kant og toppunkt, som er felles for hele familien av polyedere, er bevart. Konseptet med motsatte ansikter dukker opp. Et parallellepiped har 3 par motsatte flater, 8 hjørner og 12 kanter.
Diagonalen til et parallellepiped (diagonalen til et prisme) er et segment som forbinder to hjørner av et polyeder og ikke ligger på noen av overflatene.
Diagonal seksjon - en del av et parallellepiped som går gjennom diagonalen og diagonalen til basen.
Egenskaper til et skrånende parallellepiped:
1) Alle dens flater er parallellogrammer, og de motsatte flatene er like parallellogrammer.
2)
Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre på ett punkt og halverer på dette punktet.
3)
Hvert parallellepiped består av seks trekantede pyramider med likt volum. For å vise dem til eleven, må matteveilederen kutte av halvparten av parallellepeden med dens diagonale snitt og dele den separat i 3 pyramider. Basene deres må ligge på forskjellige flater av det originale parallellepipedet. En matteveileder vil finne anvendelse av denne egenskapen i analytisk geometri. Det brukes til å utlede volumet av en pyramide gjennom et blandet produkt av vektorer.
Formler for volumet til et parallellepiped:
1) , hvor er arealet av basen, h er høyden.
2) Volumet av et parallellepiped er lik produktet av tverrsnittsarealet og sidekanten.
Mattelærer: Som du vet er formelen felles for alle prismer og hvis veilederen allerede har bevist det, er det ingen vits i å gjenta det samme for et parallellepiped. Men når du arbeider med en elev på gjennomsnittlig nivå (formelen er ikke nyttig for en svak elev), er det tilrådelig for læreren å handle nøyaktig det motsatte. La prismet være i fred og utfør en nøye prøvetrykk for parallellepipedet.
3) , hvor er volumet til en av de seks trekantede pyramidene som utgjør parallellepipedet.
4) Hvis , da
Arealet av sideoverflaten til et parallellepiped er summen av arealene til alle dens flater:
Den totale overflaten til et parallellepiped er summen av arealene til alle flatene, det vil si arealet + to områder av basen: .
Om arbeidet til en veileder med et skrånende parallellepiped:
Matematikklærere jobber ikke ofte med problemer som involverer skrånende parallellepipeder. Sannsynligheten for at de dukker opp på Unified State Exam er ganske lav, og didaktikken er uanstendig dårlig. Et mer eller mindre anstendig problem med volumet til et skrånende parallellepiped reiser alvorlige problemer forbundet med å bestemme plasseringen av punktet H - bunnen av høyden. I dette tilfellet kan mattelæreren rådes til å kutte parallellepipedet til en av de seks pyramidene (som er omtalt i egenskap nr. 3), prøve å finne volumet og gange det med 6.
Hvis sidekanten til et parallellepiped har like vinkler med sidene av basen, så ligger H på halveringslinjen til vinkel A til basen ABCD. Og hvis for eksempel ABCD er en rombe, da
Matteveilederoppgaver:
1) Overflatene til et parallellepiped er like med hverandre med en side på 2 cm og en spiss vinkel. Finn volumet til parallellepipedet.
2) I et skrånende parallellepipedum er sidekanten 5 cm. Seksjonen vinkelrett på den er en firkant med gjensidig vinkelrette diagonaler med lengder på 6 cm og 8 cm. Beregn volumet av parallellepipedet.
3) I et skrånende parallellepiped vet man at , og i ABCD er basen en rombe med en side på 2 cm og en vinkel . Bestem volumet til parallellepipedet.
Matematikklærer, Alexander Kolpakov