1. Gitt toppunktene til en trekant ABC.EN(–9; –2), I(3; 7), MED(1; –7).
1) sidelengde AB;
2) sidelikninger AB Og AC og deres vinkelkoeffisienter;
3) vinkel EN i radianer;
4) høydeligning MEDD og dens lengde;
5) ligningen av en sirkel som høyden MEDD det er en diameter;
6) et system av lineære ulikheter som definerer en trekant ABC.
Løsning. La oss lage en tegning.
1. La oss finne lengden på siden AB. Avstanden mellom to punkter bestemmes av formelen
2. La oss finne ligningene til sideneAB OgAC og deres vinkelkoeffisienter.
La oss skrive ned ligningen til en rett linje som går gjennom to punkter.
Dette er den generelle ligningen til en linje. La oss løse det med hensyn til y, får vi
, helningen til den rette linjen er lik 
Tilsvarende for side AC har vi.
helningen til den rette linjen er lik 
3. Vi finnerhjørneEN
i radianer.
Dette er vinkelen mellom to vektorer 
Og 
. La oss skrive ned koordinatene til vektorene. Cosinus til vinkelen mellom vektorene er lik
4. Vi finnerhøydeligningMED
D
og dens lengde.
, derfor er deres vinkelkoeffisienter relatert av relasjonen 
.
La oss skrive høydeligningen gjennom vinkelkoeffisienten
Punktum 
tilhører linjen CD, derfor tilfredsstiller dens koordinater ligningen til linjen, derfor har vi 
Endelig 
eller
Vi beregner lengden på høyden som avstanden fra punkt C til rett linje AB
5. La oss finne ligningen til en sirkel, for hvilken høydeMED D det er en diameter.
Vi finner koordinatene til punktet D som skjæringspunktet mellom to rette linjer AB og CD, hvis likninger er kjent.
La oss finne koordinatene til punktet O - sentrum av sirkelen. Dette er midten av CD-delen.
Sirkelens radius er 
La oss skrive ned ligningen til en sirkel.
6) La oss definere en trekantABC system av lineære ulikheter.
La oss finne ligningen til linjen CB.
Systemet med lineære ulikheter vil se slik ut.
2. Løs dette ligningssystemet ved å bruke Cramers formler. Sjekk den resulterende løsningen.
Løsning. La oss beregne determinanten for dette systemet:
.
La oss finne determinantene 
og løse systemet:
Undersøkelse:
Svar:
3. Skriv ligningssystemet på matriseform og løs det vha
invers matrise. Sjekk den resulterende løsningen
Løsning.
La oss finne determinanten til matrise A
matrisen er ikke-entall og har en invers. La oss finne alle de algebraiske komplementene og lage en unionsmatrise. 
Den inverse matrisen har formen: 
La oss gjøre multiplikasjonen 
og finn vektoren for løsninger.
Undersøkelse
. 
Svar: 
Løsning.
N = (2, 1). Tegn en nivålinje vinkelrett på normalvektoren og flytt den i retning av normalen,
Objektivfunksjonen når sitt minimum i punkt A, og sitt maksimum i punkt B. Vi finner koordinatene til disse punktene ved i fellesskap å løse likningene til linjene i skjæringspunktet de befinner seg i.
5. Et reiseselskap krever ikke mer EN tre tonns busser og ikke mer V
fem tonns busser. Salgsprisen på busser av det første merket er 20 000 USD, av det andre merket
40 000 USD Et reiseselskap kan ikke bevilge mer enn Med c.u.
Hvor mange busser av hvert merke bør kjøpes separat slik at deres totalt
(total) lastekapasitet var maksimal. Løs problemet grafisk.
EN= 20 V= 18 Med= 1000000
Løsning.
La oss lage en matematisk modell av problemet .
La oss betegne med 
- antall busser av hver tonnasje som skal kjøpes. Hensikten med anskaffelser er å ha maksimal bæreevne på innkjøpte maskiner, beskrevet av målfunksjonen
Begrensningene for oppgaven bestemmes av antall kjøpte busser og kostnadene deres.
La oss løse problemet grafisk. . Vi konstruerer området med gjennomførbare løsninger på problemet og normalen til nivålinjene N = (3, 5). Tegn en nivålinje vinkelrett på normalvektoren og flytt den i retning av normalen.
Målfunksjonen når sitt maksimum på punktet 
, får målfunksjonen verdien .
Løsning. 1. Definisjonsdomenet til funksjonen er hele den numeriske aksen.
2, Funksjonen er verken partall eller oddetall.
3. Når x=0, y=20
4. Vi undersøker funksjonen for monotonisitet og ekstrema.
La oss finne nullene til den deriverte
Stasjonære punkter i en funksjon.
La oss plotte stasjonære punkter på okseaksen og sjekke tegnene til den deriverte på hver del av aksen.
– maksimalt punkt 
; 
-minimumspunkt 
5. Vi undersøker grafen til funksjonen for konveksitet og konkavitet. La oss ta den andre deriverte
Bøyepunktet til en funksjonsgraf.
På 
- funksjonen er konveks; på 
- funksjonen er konkav.
Grafen til funksjonen ser slik ut
6. Finn den største og minste verdien av funksjonen på intervallet [-1; 4]
La oss beregne verdien av funksjonen i enden av segmentet 
På minimumspunktet tar funksjonen på seg verdiene, derfor den minste verdien på segmentet [-1; 4] funksjonen tar ved minimumspunktet, og maksimumet ved venstre grense av intervallet.
7. Finn ubestemte integraler og sjekk integrasjonsresultater
differensiering.
Løsning.
Undersøkelse.
Her er produktet av cosinus erstattet med en sum, i henhold til trigonometriske formler.
1. Ligning av sidene AB og BC og deres vinkelkoeffisienter.
Oppgaven gir koordinatene til punktene som disse linjene går gjennom, så vi vil bruke ligningen til en linje som går gjennom to gitte punkter $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ erstatte og få ligningene
likning av linje AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ helningen til den rette linjen AB er lik \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
ligningen for linje BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ helningen til linje BC er lik \ (k_( BC) = -7\)
2. Vinkel B i radianer med en nøyaktighet på to sifre
Vinkel B er vinkelen mellom linjene AB og BC, som beregnes med formelen $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$erstatter verdiene til vinkelkoeffisientene av disse linjene og få $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \ca. 0,79$$
3. Lengde på side AB
Lengden på siden AB beregnes som avstanden mellom punktene og er lik \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Ligning av CD-høyde og dens lengde.
Vi vil finne høydeligningen ved å bruke formelen til en rett linje som går gjennom et gitt punkt C(4;13) i en gitt retning - vinkelrett på den rette linjen AB ved å bruke formelen \(y-y_0=k(x-x_0) \). La oss finne vinkelkoeffisienten til høyden \(k_(CD)\) ved å bruke egenskapen til perpendikulære linjer \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) vi får $$k_(CD)= -\frac(1) )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Vi setter inn en rett linje i ligningen, vi får $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Vi vil se etter lengden på høyden som avstand fra punkt C(4;13) til rett linje AB ved å bruke formelen $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ i telleren er ligningen av den rette linjen AB, la oss redusere den til denne formen \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\), erstatte den resulterende ligningen og koordinatene til punktet inn i formelen $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$
5. Ligning av medianen AE og koordinatene til punktet K, skjæringspunktet mellom denne medianen og høyden CD.
Vi vil se etter ligningen til medianen som ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter A(-6;8) og E, hvor punktet E er midtpunktet mellom punktene B og C og dets koordinater er funnet i henhold til formel \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) erstatte koordinatene til punktene \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), så vil ligningen for medianen AE være følgende $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$La oss finne koordinatene til skjæringspunktet til høydene og medianen, dvs. la oss finne deres felles poeng For å gjøre dette, lager vi systemligningen $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \. frac(4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$ $$\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $ $$$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Koordinater til skjæringspunktet \(K(-\frac(1)(2); 7)\)
6. Ligning av en linje som går gjennom punktet K parallelt med siden AB.
Hvis den rette linjen er parallell, er deres vinkelkoeffisienter like, dvs. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), koordinatene til punktet \(K(-\frac(1)(2);7)\) er også kjente , dvs. . for å finne ligningen til en rett linje, bruker vi formelen for ligningen til en rett linje som går gjennom et gitt punkt i en gitt retning \(y - y_0=k(x-x_0)\), erstatter dataene og får $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $
8. Koordinater til punkt M som er symmetrisk til punkt A i forhold til rett linje CD.
Punkt M ligger på linje AB, fordi CD er høyden til denne siden. La oss finne skjæringspunktet mellom CD og AB for å gjøre dette, løse likningssystemet $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -; \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $$$$\begin(cases )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Koordinater til punkt D(-2;5). I henhold til betingelsen AD=DK, er denne avstanden mellom punktene funnet av den pytagoreiske formelen \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), hvor AD og DK er hypotenuser med like rette trekanter, og \(Δx =x_2-x_1\) og \(Δy=y_2-y_1\) er bena til disse trekantene, dvs. la oss finne bena og finne koordinatene til punktet M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), og \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), deretter koordinatene av punktet M vil være lik \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), og \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), vi fant at koordinatene til punktet \( M(2;2)\)
Et eksempel på å løse noen oppgaver fra standardarbeidet "Analytisk geometri på et plan"
Toppene er gitt, 
,
trekant ABC. Finne:
Ligninger av alle sider av en trekant;
System av lineære ulikheter som definerer en trekant ABC;
Ligninger av høyde, median og halveringslinje for en trekant trukket fra toppunktet EN;
Skjæringspunktet for trekantens høyder;
Skjæringspunktet for trekantens medianer;
Lengde på høyden senket til siden AB;
Hjørne EN;
Lag en tegning.
La toppunktene i trekanten ha koordinater: EN (1; 4), I (5; 3), MED(3; 6). La oss tegne en tegning med en gang:
1. For å skrive ned likningene til alle sidene i en trekant, bruker vi likningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter med koordinater ( x 0 , y 0 ) Og ( x 1 , y 1 ):
=
Dermed erstatter du i stedet for ( x 0 , y 0 ) punktkoordinater EN, og i stedet for ( x 1 , y 1 ) punktkoordinater I, får vi ligningen til linjen AB:
Den resulterende ligningen vil være ligningen til den rette linjen AB, skrevet i generell form. På samme måte finner vi ligningen til den rette linjen AC:
Og også ligningen for den rette linjen Sol:
2. Merk at settet med punkter i trekanten ABC representerer skjæringspunktet mellom tre halvplan, og hvert halvplan kan defineres ved hjelp av en lineær ulikhet. Hvis vi tar ligningen til hver side ∆ ABC, For eksempel AB, så ulikhetene
Og 
definere punkter som ligger på motsatte sider av en linje AB. Vi må velge halvplanet der punktet C ligger. La oss erstatte dets koordinater med begge ulikhetene:
Den andre ulikheten vil være korrekt, noe som betyr at de nødvendige poengene bestemmes av ulikheten
.
Vi gjør det samme med den rette linjen BC, dens ligning 
. Vi bruker punkt A (1, 1) som et testpunkt:
Dette betyr at den nødvendige ulikheten har formen:
.
Hvis vi sjekker rett linje AC (testpunkt B), får vi:
Dette betyr at den nødvendige ulikheten vil ha formen
Vi får til slutt et system av ulikheter:
Tegnene "≤", "≥" betyr at punkter som ligger på sidene av trekanten også er inkludert i settet med punkter som utgjør trekanten ABC.
3. a) For å finne ligningen for høyden falt fra toppunktet EN til siden Sol, vurdere ligningen av siden Sol:
. Vektor med koordinater 
vinkelrett på siden Sol og derfor parallelt med høyden. La oss skrive ned ligningen til en rett linje som går gjennom et punkt EN parallelt med vektoren 
:
Dette er ligningen for høyden utelatt fra t. EN til siden Sol.
b) Finn koordinatene til midten av siden Sol i henhold til formlene: 
Her 
- dette er koordinatene til t. I, A 
– koordinater t. MED. La oss erstatte og få:
Den rette linjen som går gjennom dette punktet og punktet EN er den nødvendige medianen:
c) Vi skal se etter ligningen til halveringslinjen basert på det faktum at i en likebenet trekant er høyden, medianen og halveringslinjen som går ned fra ett toppunkt til trekantens basis like. La oss finne to vektorer 
Og 
og deres lengder:
Deretter vektoren 
har samme retning som vektoren 
, og dens lengde 
På samme måte enhetsvektoren 
sammenfaller i retning med vektoren 
Vektor sum
det er en vektor som sammenfaller i retning med halveringslinjen til vinkelen EN. Dermed kan ligningen til den ønskede halveringslinjen skrives som:
4) Vi har allerede konstruert ligningen for en av høydene. La oss konstruere en ligning for en annen høyde, for eksempel fra toppunktet I. Side AC gitt av ligningen 
Så vektoren 
vinkelrett AC, og dermed parallelt med ønsket høyde. Deretter ligningen til linjen som går gjennom toppunktet I i vektorens retning 
(dvs. vinkelrett AC), har formen:
Det er kjent at høydene til en trekant krysser hverandre på ett punkt. Spesielt er dette punktet skjæringspunktet mellom de funnet høydene, dvs. løse likningssystemet:
- koordinater for dette punktet.
5. Midt AB har koordinater 
. La oss skrive ligningen til medianen til siden AB. Denne linjen går gjennom punkter med koordinater (3, 2) og (3, 6), som betyr at ligningen har formen:
Merk at en null i nevneren til en brøk i ligningen til en linje betyr at denne linjen går parallelt med ordinataksen.
For å finne skjæringspunktet til medianene er det nok å løse ligningssystemet:
Skjæringspunktet for medianene til en trekant har koordinater 
.
6. Lengde på høyde senket til siden AB, lik avstanden fra punktet MED til en rett linje AB med ligning 
og finnes av formelen:
7. Cosinus av vinkel EN kan finnes ved å bruke formelen for cosinus til vinkelen mellom vektorer 
Og 
, som er lik forholdet mellom skalarproduktet til disse vektorene og produktet av deres lengder:
.