Definisjon. Punktstedet er en figur som består av alle punkter på planet som har en bestemt egenskap.

Teorem. Lokuset for punkter like langt fra to gitte punkter er den vinkelrette halveringslinjen til segmentet som forbinder disse punktene, det vil si en rett linje vinkelrett på dette segmentet og som går gjennom midtpunktet.

Bevis.

La punkt C være like langt fra A og B. La oss markere punkt M – midtpunktet til segment AB. Trekanter ACM og BCM er like på tre sider. Vinkler AMC og BMC er like og summerer opp til en rett vinkel. Så de er begge lik 90°.
Vi har bevist at alle punkter like langt fra to gitte punkter ligger på den vinkelrette halveringslinjen.

2) La punktet C ligge på halveringslinjen vinkelrett på AB. Trekanter AMC og BMC er lik to sider, som betyr AC=BC.
Vi har bevist at alle punktene i den vinkelrette halveringslinjen til et segment er like langt fra endene.

Dermed faller lokuset til punkter like langt fra to gitte punkter og den vinkelrette halveringslinjen til segmentet som forbinder disse punktene.

Teoremet er bevist.

A (0; 0), B (a; 0), C (x; y). AC=CB.

2) Sirkel (definisjon). Formel for å beregne arealet av en sirkel (uten utgang). Avledning av formelen for arealet av en sirkulær sektor.

Definisjon. En sirkel er et sett med punkter på et plan plassert i en avstand på ikke mer enn en gitt fra et gitt punkt.

BILLETT 8

1) Trekant (definisjon). Teorem om summen av vinkler i en trekant, Eulers rette linje (uten bevis).

Definisjon. En trekant er en figur som består av 3 punkter som ikke ligger på samme linje, og 3 segmenter som forbinder dem i par.

Teorem. Summen av vinklene til en trekant er 180°.

Bevis.

La oss tegne en rett linje a gjennom toppunktet B, parallelt med siden AC.
ligger som kors.
. Deretter .

Teoremet er bevist.

Teorem. Omkretsen av en trekant, dens ortosenter, tyngdepunktet og sentrum av sirkelen med ni punkter ligger på én rett linje, kalt Eulers rette linje.

Avstander mellom to punkter gjennom koordinatene til disse punktene (vurder alle tilfeller).

La oss utføre a og b, .

Fordi høyre trekant,

BILLETT 9

Tegn på likhet av rette trekanter

Siden i en rettvinklet trekant er vinkelen mellom to ben rett, og alle to rette vinkler er like, så følger det fra det første tegnet på trekanters likhet:

1) På to ben (fra det første tegnet)

2) Langs benet og spiss vinkel (fra det andre første tegnet)

(siden den tilstøtende vinkelen er tydelig bestemt av den motsatte vinkelen)

3) Ved hypotenusa og spiss vinkel

Bevis.

I slike trekanter er de to andre spisse vinklene også like, derfor er trekantene like i henhold til det andre tegnet på likhet av trekanter, dvs. langs siden (hypotenusen) og to tilstøtende

hjørnene hennes.

Teoremet er bevist.

4) Ved hypotenuse og ben

Bevis.

Tenk på trekantene ABC og A 1 B 1 C 1, hvis vinkler C og C 1 er rette vinkler, AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1.

Siden ∠C=∠C 1, så kan trekant ABC legges over trekant A 1 B 1 C 1 slik at toppunktet C er på linje med toppunktet C 1, og sidene CA og CB er overlagret på strålene C 1 A 1 og C 1 B 1 . Siden CB=C 1 B 1, vil toppunktet B justeres med toppunktet B 1.
Men da vil også hjørnene A og A 1 falle sammen.

Faktisk, hvis vi antar at punkt A faller sammen med et annet punkt A 2 på strålen C 1 A 1, får vi en likebenet trekant A 1 B 1 A 2, der vinklene ved grunnflaten A 1 A 2 ikke er like (∠A 2 - spiss, en ∠A 1 stump som tilstøtende en spiss vinkel B 1 A 1 C 1). Men dette er umulig, så toppunktene A og A 1 vil falle sammen.

Følgelig er trekantene ABC og A l B l C l fullstendig kompatible, det vil si at de er like.

Teoremet er bevist.

Sirkel

Definisjon. En sirkel er stedet for punkter like langt fra en gitt.

Siden lengden på hele sirkelen er 2πR, er lengden av en bue på 1° lik 2πR/360° = πR/180°.
Derfor er lengden l uttrykt med formelen:

BILLETT 10

1) Tegn på et parallellogram:

1. Hvis to sider av en firkant er like og parallelle, så er denne firkanten et parallellogram.

Problemer med 2. ordens linjer.
Hvordan finne stedet for poeng?

Denne workshopen er en logisk fortsettelse av forelesningen om andre ordens linjer og dets populære representanter - ellipse, hyperbel og parabel. I dag vil vi konsolidere materialet dekket med en rekke oppgaver, og i tillegg vil vi supplere den teoretiske kunnskapen med kunnskap som jeg bevisst gjemte i de første leksjonene, for ikke å overbelaste "dummiene" med ny informasjon. For å være ærlig, hater jeg å prøve ut de første avsnittene i artiklene mine (spesielt når en klar leksjonsplan er klar), så la oss helle kaffe i kopper, sitte i en sirkel og gå videre til å diskutere spørsmålene om fordelene.

Følgende oppgaver oppstår oftest i selvstendig og testarbeid:

– Finn stedet for poeng(eller skriv en ligning for et sett med punkter), som hver tilfredsstiller visse analytiske betingelser. Selvfølgelig er denne formuleringen generell og det er ikke et faktum at resultatet nødvendigvis må være en linje, og nødvendigvis av andre orden. Men i sammenheng med emnet som vurderes, gir disse magiske ordene nesten alltid liv til ligningen ellipse, sirkel, hyperboler eller parabler.

Svar: den nødvendige linjen er en sirkel med et senter ved radiuspunktet. Kanonisk ligning: (eller avhengig av reduksjonsmetoden).

Et lignende eksempel for en uavhengig løsning:

Oppgave 2

Skriv en likning for et sett med punkter, for hver av dem summen av kvadrerte avstander fra punktene er lik 20. Bestem linjetypen, lag en tegning og bring likningen til kanonisk form. Angi koordinatene til brennpunktene, skriv ned ligningen til asymptotene, hvis noen. Beregn eksentrisiteten til kurven.

Kort design og tegning på slutten av timen.

La oss systematisere prosedyren for å løse dette problemet:

På første trinn det er nødvendig å vurdere et punkt med ukjente koordinater som tilhører ønsket sett med punkter, og forstå problemforholdene. Som regel snakker den om avstandene fra punktet "em" til andre punkter og/eller andre linjer, samt forholdet mellom disse lengdene.

På det andre trinnet du bør finne lengdene på de nødvendige segmentene og, i samsvar med den analytiske tilstanden til problemet, lage en ligning.

På det tredje trinnet Vi forenkler den resulterende ligningen. Først bringer vi den til sin generelle form, og deretter til en form som er nær den kanoniske. I noen problemer oppnås umiddelbart en kanonisk ligning.

På det fjerde trinnet- tegning.

På den femte– reduksjon til kanonisk form.

På den sjette– foci, asymptoter, eksentrisitet. La meg minne deg på at det er mye mer praktisk å finne dem fra den kanoniske posten.

I praksis er det oftest færre oppgaver, så i noen tilfeller er det ikke nødvendig å redusere ligningen til kanonisk form, og i den mest kompakte versjonen kreves det ingen tegning - du trenger bare å forenkle ligningen og navngi linjen. Jeg "laster" spesifikt betingelsene for problemene slik at prøveløsningene passer "for alle anledninger." Men vi vil ikke desto mindre bli for opprørte, og vi vil varme opp med et par nye cocktailer:

Oppgave 3

Skriv en likning for et sett med punkter, for hver av dem er kvadratet på avstanden til punktet 16 større enn kvadratet på avstanden til ordinataksen.

Løsning: La punktet tilhøre ønsket sett. Deretter:

Merk : strengt tatt, i samsvar med formuleringen av tilstanden, må vi vurdere (samme lengde), men i dette og andre problemer vil vi neglisjere denne logiske unøyaktigheten.

Hva er avstanden fra et punkt til ordinataksen? Du kan bruke standardformelen for avstanden fra et punkt til en linje, men bruker du fantasien litt kan du lett forstå at avstanden fra ethvert punkt til aksen er modul dens "X"-koordinater:

Etter tilstand 16 til, og derfor er følgende likhet gyldig:

(eller )

Dermed:

Skru ut mutrene:

"X-kvadrat" er redusert, og likningen må åpenbart bringes så nær den kanoniske formen som mulig:

– parabel med toppunkt ved punkt, fokal parameter.

Svar: det nødvendige settet med punkter er en parabel

Ved behov i tillegg bringe linjeligningen til kanonisk form, så i dette eksemplet gjøres dette ganske enkelt:

1) La oss bringe ligningen til parabelen til kanonisk form ved å parallellisere dens overføring av sentrum til opprinnelsen til koordinatene:

2) La oss gå videre til et nytt rektangulært koordinatsystem med senter i punktet , da vil ligningen til parablen ha formen: .

Jeg vil ikke gi en tegning, fordi parabel Vi har allerede snudd det slik vi ønsket.

Oppgave 4

Skriv en likning for et sett med punkter, for hver av dem er avstanden til punktet lik avstanden til abscissen. Utfør tegningen. Få likningen til kanonisk form.

I prøveløsningen er siste punkt implementert på begge måter.

Problemer med sirkler (spesielt ofte) og parabler finnes også i skolens læreplan. Vel, 18+-festen vår blir varmere - ta av deg gensere og jakker:

Oppgave 5

Finn lokusligningen for punkter, for hver av disse er forholdet mellom avstanden til punktet og avstanden til linjen konstant og lik . Lag en tegning. Bring likningen av linjen til kanonisk form, finn foci, eksentrisitet, asymptoter og dirrixes (hvis de finnes).

Løsning: la punktet tilhøre ønsket sett med punkter. Problemet snakker om avstand:
,

Som et resultat:
– ellipse sentrert ved origo, halvakser .

Vær oppmerksom på at denne formuleringen tydelig definerer en ellipse og å legge til noe er unødvendig.

La oss på tegningen skildre den funnet ellipsen, et punkt og en rett linje :


Geometrisk verifisering her er vanskelig, men på den annen side er det ikke overnaturlig. La oss ta et punkt av ellipsen, den enkleste måten er å vurdere .
For henne: .
Etter betingelse må forholdet være lik .
Vi sjekker:
, som var det som måtte sjekkes.

I praksis kan du velge et hvilket som helst punkt på ellipsen, måle avstandene med en linjal, dele ved å bruke en kalkulator og forsikre deg om at resultatet blir omtrent .

I denne oppgaven ble linjens ligning tegnet umiddelbart i kanonisk form, noe som gjør løsningen enklere. Det gjenstår å håndtere fokus, eksentrisitet, asymptoter og rektorer.

Det er åpenbart at ellipsen ikke har noen asymptoter.

La oss regne og skrive ellipse foci:

.

Det første fokuset falt sammen med poenget.

La oss finne eksentrisiteten: . Ved en annen merkelig tilfeldighet viste eksentrisiteten seg å være lik forholdet .

...men er dette en tilfeldighet?

Rektor, som du husker fra materialene om parabel, - Dette rett. Og direkte med en hær av ivrige fans. Nå studerte jeg statistikken til Yandex-spørsmål - i løpet av en måned lette rundt 1000 mennesker etter porno med rektor og rundt 600 geometrielskere uttrykte et ønske om å knulle henne (ingenting =) Vel, slemme mennesker, vær sjalu på ellipsen to rektorer!

En kanonisk plassert ellipse har to retningslinjer, som er gitt av ligningene , hvor "epsilon" er eksentrisiteten til denne ellipsen.

For helten vår:

Det stemmer, den første regissøren falt fullstendig sammen med den direkte "de". Dessuten sier problemformuleringen faktisk følgende teorem om analytisk geometri:

Ellipse holdning


Det er, for noen av et punkt på en ellipse, er forholdet mellom dets avstand fra fokus og avstand fra det til nærmeste retningslinje nøyaktig lik eksentrisiteten: .

Med det andre fokuset og den andre retningen er historien lik, uansett hvilket punkt av ellipsen vi tar, vil følgende forhold være sant:

Svar: det nødvendige lokuset av punkter er en ellipse med foci og eksentrisitet. Direktelikninger: .

Et lignende eksempel for en DIY-løsning:

Oppgave 6

Finn lokusligningen for punkter, for hver av disse er forholdet mellom avstanden til punktet og avstanden til linjen konstant og lik . Fullfør tegningen. Bring likningen av linjen til kanonisk form, finn foci, eksentrisitet, asymptoter og dirrixes, hvis de eksisterer.

I prøveløsningen er avslutningen implementert på begge måter velg den versjonen som er mer passende i ditt høyere matematikkkurs.

Festen vår er i full gang, og det er så mange interessante ting som skjer rundt oss at det noen ganger er flaut å snakke om det =) La oss fortsette å rocke!

Oppgave 7

Lag en likning av en linje, for hver av dem er forskjellen i avstander til punkter og modul lik 8. Få likningen til kanonisk form og lag en tegning. Finn asymptoter, foci, eksentrisiteter og dirrixes, hvis de finnes.

Løsning: la punktet tilhøre ønsket linje. Deretter:

Etter tilstand:

Forresten, minner det deg om noe? Oppmerksomme lesere har allerede bestemt streken ;-)

Røtter? Modul? Skyt deg selv! Tull!

Først må du kvitte deg med radikaler. Siden det er en dårlig idé å kvadrere med en gang (eksperimentører kan prøve), la oss spre røttene i ringens hjørner:

Vel, nå er det en helt annen sak:

Det har vært suksesser, men én rot gjenstår. La oss la vår skadevare være i fred og forenkle venstre side av ligningen så mye som mulig:

Vi firer begge deler igjen, legg merke til hvordan represalien mot modulen fullføres samtidig og helt rolig:

La oss kaste alt til høyre og "utvide" ligningen:

Mottatt 2. ordens linjeligning i generell form. Vi velger hele kvadratet for variabelen "y" for å gjøre dette, tar vi "minus ni" ut av parentesen:

Tenk nøye gjennom handlingen som utføres - et vanlig triks.

Vi samler kvadratet av differansen og legger til konstantene:

Så mye for deg. Såpeoperaen skulle etter alt å dømme ha avsluttet overdrivelse, men vi har et "ekstra" minus. La oss sjekke og åpne parentesene (noe som er tilrådelig å gjøre i alle fall)... nei, alt er riktig - vi får den opprinnelige generelle ligningen.

La oss endre tegnene til begge deler:

Allerede nærmere sannheten, men "minus" viste seg å være "malplassert." I kapittelet på rotasjon og parallell translasjon av en hyperbel Jeg sa at dette er et tegn på en rotasjon av denne kurven med 90 grader i forhold til dens kanoniske posisjon.

Men la oss avslutte ligningen først. Del begge sider med 144:

Og den siste finjusteringen:

- her er den, den etterlengtede hyperbelen som tilfredsstiller betingelsene for problemet ... som faktisk er definisjonen på en hyperbel =)

Kreves av tilstand først bringe ligningen til kanonisk form, og først da fullfør tegningen. For ikke å overskride kokepunktet for grå substans, vil vi bruke et forenklet opplegg. Saken er imidlertid fortsatt ikke den enkleste. Symmetrisenteret til avdelingen vår er ved punktet, og i tillegg roteres det 90 grader rundt dette punktet

I det første trinnet utfører vi en parallell oversettelse av hyperbelen SO - slik at senteret er ved opprinnelsen til koordinatene. Resultatet blir ligningen:.

Den andre handlingen er å rotere hyperbelen rundt origo med 90 grader, mens bytt ut verdiene til halvaksene og overfør "minus" til "y" -variabelen:

I prinsippet er operasjonene kommutative, d.v.s. først var det mulig å rotere rundt punktet , og deretter flytte midten til origo.

For ikke å glemme asymptoter , la oss lage tegningen:


Nok en gang: hvordan den opprinnelige hyperbelen er plassert ? Den oppnås ved å rotere den kanoniske hyperbelen 90 grader rundt origo og deretter flytte den langs aksen 5 enheter oppover med symmetrisenteret til punktet.

Men det er mye mer praktisk å jobbe med den gitte ligningen. La oss finne triksene:

Når det gjelder transformasjonene som er oppført ovenfor, "flytter" de bare til punktene betingelsene for problemet.

La oss beregne eksentrisiteten:

En hyperbel, akkurat som en ellipse, to rektorer. I det kanoniske tilfellet er de plassert mellom grenene til hyperbelen og er gitt av de samme ligningene , hvor "epsilon" er eksentrisiteten til denne hyperbelen.

I dette eksemplet:

Dessuten gjelder absolutt det samme teoremet for en hyperbel:

Hyperbel– er settet av alle punkter i planet slik at holdning avstanden til hvert punkt fra fokuset til avstanden fra det til den tilsvarende (nærmeste) retningslinjen er lik eksentrisiteten:


Det er, for noen punktet til en hyperbel, forholdet mellom avstanden fra fokus og avstanden fra den til nærmeste retningslinje er lik eksentrisiteten: .

For par og noen poeng av en hyperbel (for variasjonens skyld valgte jeg et demonstrasjonspunkt for den fjerne grenen) forholdet er det samme:

Forresten, parabler med sitt eneste fokus og eneste retningslinje, per definisjon, er disse lengdene knyttet til "en til en", derfor er eksentrisiteten til enhver parabel lik én.

Svar: den ønskede linjen er en hyperbel med symmetrisenteret i et punkt og rotert 90 grader i forhold til sin kanoniske posisjon. Kanonisk form av ligningen: , fokuserer: , eksentrisitet: , asymptoter: , rektorer: .

Jeg ønsket virkelig å forenkle eksemplet, men det var hentet fra et spesifikt verk, så jeg måtte gå gjennom alle finesser og teknikker med sta kjedsomhet. Jeg skal skjenke alle et glass melk fordi de er skadelige og gi dem en oppgave de skal løse på egenhånd:

Oppgave 8

Finn lokusligningen for punkter, for hver av disse er forholdet mellom avstanden til punktet og avstanden til linjen konstant og lik . Lag en nøyaktig tegning.

Tenk på hvilket poeng dette er og hvilken linje tilstanden hvisker om ;-)

Vi finner heroisk ut løsningen og tegningen, hvoretter vi, med en ren sjel og et lett hjerte, sovner på sammenleggbare senger nær monitorene for å våkne til neste leksjon med friske hoder og rosenrøde ansikter.

God natt!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: La punktet tilhøre det nødvendige settet med punkter. Deretter:


Etter tilstand:

Eller:

La oss forenkle ligningen:

La oss velge komplette firkanter:

– sirkel med sentrum ved radiuspunktet
La oss lage tegningen:

La oss bringe ligningen til kanonisk form.
1) Metode én . La oss utføre en parallell oversettelse av sirkelen ved sentrum til opprinnelsen til koordinatene: .
2) Metode to . Ved å bruke parallell oversettelse flytter vi fra originalen til et nytt rektangulært koordinatsystem med origo i punktet . Dermed vil ligningen til en sirkel skrives i kanonisk form: .
Svar : ligningen for det nødvendige settet med punkter spesifiserer en sirkel med et senter i et radiuspunkt. Kanonisk form av ligningen: (eller avhengig av metoden). Brennpunktene til sirkelen faller sammen og er plassert i sentrum. En sirkel har ingen asymptoter. Eksentrisiteten til enhver sirkel er null.

Lysbildetekster:

Leksjonsemne:
"Geometrisk lokus av poeng." 9. klasse lærer Gordeeva N.M.
Fortell meg og jeg vil glemme, Vis meg og jeg vil huske, Involver meg og jeg vil forstå. (gammel kinesisk visdom)
Hensikten med leksjonen:
systematisere og utdype kunnskap om temaet «Koordinatmetode».
"En stor vitenskapelig oppdagelse gir en løsning på et stort problem, men i løsningen av ethvert problem er det et korn av oppdagelse." (Dyorgier Poyat)
Oppgave:
finne stedet for punkter som har en bestemt egenskap (gjør et funn).
Definisjon:
Punktstedet er en figur som består av alle punkter på planet som har en bestemt egenskap.
Geometrisk lokus av punkter,
like langt fra et gitt punkt, er det
sirkel.
Geometrisk lokus av punkter,
like langt fra endene av et gitt segment, er det
vinkelrett halveringslinje på dette segmentet.
Geometrisk lokus av punkter,
like langt fra sidene av en gitt vinkel, er det
halveringslinje for denne vinkelen.
Geometrisk lokus av punkter,
like langt fra to parallelle linjer, det er
en linje parallelt med dem, som går gjennom midten av deres felles perpendikulær (sentrene til sirklene som tangerer disse linjene ligger på den).
Geometrisk lokus av punkter,
som er toppunktene til rette trekanter med en gitt hypotenusa, det er
en sirkel bygget på hypotenusen som en diameter (unntatt endene av hypotenusen).
Geometrisk lokus av punkter,
forholdet mellom avstandene som til to gitte punkter er en konstant verdi, er
sirkel
(som kalles sirkelen til Apollonius).
Øvelse 1
I figuren AD=DB=2 cm Hva er det geometriske stedet for punkter som tilhører en gitt linje som er fjernet fra punkt D i en avstand: a) lik 2 cm. b) mer enn 2 cm; c) ikke mer enn 2 cm.
en
b
EN
D
B
Løsning:

EN
D
B
en
b
EN
D
B
en
b
EN
D
B
en
b
Oppgave 2
Bruk den samme figuren til å bestemme hva som er det geometriske stedet for punkter på planet som er fjernt fra punkt D i en avstand lik 2 cm; b) mer enn 2 cm; c) ikke mer enn 2 cm.
EN
D
B
en
b
Løsning:
a) Avstanden fra D er 2 cm:
EN
D
B
en
b
Løsning:
b) Avstand fra D mer enn 2 cm:
EN
D
B
en
b
Løsning:
c) Avstand fra D ikke mer enn 2 cm:
EN
D
B
en
b
Oppgave 3
Bruk koordinatmetoden og finn et tallpar som tilfredsstiller betingelsen
Oppgave 4
Bruk koordinatmetoden og bevis at ligningssystemet har en unik løsning:
Oppgave 5
Bestem GMT-ene som tilfredsstiller ligningen: a)
Oppgave 5
Bestem GMT-ene som tilfredsstiller ligningen: b)
Oppgave 5
Bestem GMT-ene som tilfredsstiller ligningen: c)
Oppgave 5
Bestem GMT-ene som tilfredsstiller ligningen: d)
Oppgave 5
Bestem GMT-ene som tilfredsstiller ligningen: e)
Parabel som et punktsted.
En parabel er stedet for punkter like langt fra et gitt punkt og fra en gitt rett linje.
Konstruksjon av en parabel.
Hvordan plante et blomsterbed?
Geometrisk lokus av punkter,
summen av avstandene fra hvilke to gitte punkter F1, F2 er en konstant verdi; større enn F1F2.
GMT byggeplan.
Fest endene av tråden ved hjelp av knappene til punktene F1 og F2. Bruk en blyant og strekk tråden slik at spissen berører papiret. Vi vil flytte blyanten langs papiret slik at tråden forblir stram. Tegn en linje med en blyant.
Bygging av GMT
Hva vil skje med ellipsen hvis fokusene: a) nærmer seg hverandre; b) gå bort fra hverandre.
Finn stedet for punkter der summen av avstandene til to gitte punkter F1 og F2: a) er mindre enn en gitt verdi 2a; b) mer enn en gitt verdi 2a.
HMT-ligning
Bestem GMT-ene som tilfredsstiller ligningen:
HMT-ligning
, Deretter
- ellipseligning
Svar: F1, F2
Kjeglesnitt
Kjeglesnitt
Apollonius av Perga (II-III århundrer f.Kr.) - gammel gresk matematiker. Det viktigste arbeidet er "Conic Sections"
Kjeglesnitt
De ble studert av gamle greske geometre. Teorien om kjeglesnitt var en av toppene i gammel geometri. Ligningene til disse linjene ble utledet mye senere, da koordinatmetoden begynte å bli brukt.
Andre ordens kurver
y
0
x
Koordinatmetoden, kombinert med algebra, utgjør en gren av geometrien kalt analytisk geometri.
Ellipse eksentrisitet
karakteriserer graden av forlengelsen.
Til og med Johannes Kepler (1571 - 1630), en tysk astronom, oppdaget at planetene i solsystemet beveger seg rundt solen ikke i sirkler, som tidligere antatt, men i ellipser, og solen er lokalisert ved en av brennpunktene til disse ellipsene .
Baner til himmellegemer
VenusNeptuneEarthPlutoHalleys komet
0,0068 0,0086 0,0167 0,253 0,967
Vi løste et problem om et sett med punkter, og denne GMT er relatert til universet (og dette var bare et problem!).
Hjemmelekser
Lag en ligning for punktet til punktene, produktet av avstandene fra hvilke til to gitte punkter F1(-c; 0), F2(c; 0) er en konstant verdi a2. Dette punktstedet kalles Cassini-ovalen.
Hjemmelekser
Lag en ligning for punktets lokus, produktet av avstandene fra hvilke til to gitte punkter F1(-a; 0), F2(a; 0) er en konstant verdi a2. Et slikt punktsted kalles et lemniscat (se figur). (Finn først ligningen til lemniscaten direkte, og betrakt den deretter som en spesiell type Cassini-oval).
Oppsummering av leksjonen

Det geometriske stedet for punkter (heretter kalt GMT) er en figur av et plan som består av punkter som har en bestemt egenskap, og inneholder ikke et enkelt punkt som ikke har denne egenskapen.

Vi vil kun vurdere de HMT-ene som kan konstrueres ved hjelp av et kompass og linjal.

La oss vurdere HMT-er på et fly, som har de enkleste og mest uttrykte egenskapene:

1) GMT-er plassert i en gitt avstand r fra et gitt punkt O er en sirkel med et senter i punktet O med radius r.

2) GMT like langt fra to gitte punkter A og B er en rett linje vinkelrett på segmentet AB og som går gjennom midten.

3) GMT like langt fra to gitte kryssende linjer, er det et par loddrette linjer som går gjennom skjæringspunktet og deler vinklene mellom de gitte linjene i to.

4) GMT-er plassert i samme avstand h fra en rett linje er to rette linjer parallelle med denne rette linjen og plassert på motsatte sider av den i en gitt avstand h.

5) Det geometriske stedet for sentrene til sirkler som tangerer en gitt linje m i et gitt punkt M på den er vinkelrett på AB i punktet M (unntatt punktet M).

6) Det geometriske stedet for sentrene til sirkelen som tangerer en gitt sirkel i et gitt punkt M på den, er en rett linje som går gjennom punktet M og sentrum av den gitte sirkelen (unntatt punktene M og O).

7) GMT, hvor et gitt segment er synlig i en gitt vinkel, utgjør to sirkelbuer beskrevet på et gitt segment og inneholder en gitt vinkel.

8) GMT, avstandene som til to gitte punkter A og B er i forholdet m: n, er en sirkel (kalt Apollonius-sirkelen).

9) Det geometriske stedet for midtpunktene til akkorder tegnet fra ett punkt i en sirkel er en sirkel konstruert på et segment som forbinder et gitt punkt med sentrum av en gitt sirkel, som på en diameter.

10) Den geometriske plasseringen av toppunktene til trekanter som er like store som den gitte og har en felles base er to rette linjer, parallelle med grunnflaten og som går gjennom toppunktet til den gitte trekanten og symmetriske til den i forhold til den rette linjen som inneholder basen.

La oss gi eksempler på å finne GMT.

EKSEMPEL 2.Finn GMT-ene som er midtpunktene til akkordene,trukket fra ett punkt i en gitt sirkel(GMT nr. 9).

Løsning . La en sirkel med sentrum O gis og punktet A velges på denne sirkelen som akkorder trekkes fra. La oss vise at ønsket GMT er en sirkel konstruert på AO som en diameter (bortsett fra punkt A) (fig. 3).

La AB være en akkord og M dens midtpunkt. La oss koble M og O. Deretter MO ^ AB (radiusen som deler akkorden i to er vinkelrett på denne akkorden). Men da RAMO = 90 0. Dette betyr at M tilhører en sirkel med diameter AO (GMT nr. 7). Fordi denne sirkelen går gjennom punktet O, så tilhører O vår GMT.

Omvendt, la M tilhøre vår GMT. Deretter, ved å trekke akkorden AB gjennom M og koble M og O, får vi at RAMO = 90 0, dvs. MO ^ AB, og derfor er M midten av akkorden AB. Hvis M faller sammen med O, så er O midten av AC.

Ofte lar koordinatmetoden en finne GMT.

EKSEMPEL 3.Finn GMT-ene, hvorav avstanden til to gitte punkter A og B er i det gitte forholdet m: n (m ≠ n).

Løsning . La oss velge et rektangulært koordinatsystem slik at punktene A og B ligger på Ox-aksen symmetrisk i forhold til origo, og Oy-aksen går gjennom den midtre AB (fig. 4). La AB = 2a. Da har punkt A koordinatene A (a, 0), punkt B har koordinatene B (-a, 0). La C tilhøre vår HMT, koordinater C(x, y) og CB/CA = m/n. Men Midler

(*)

La oss forvandle likestillingen vår. Vi har

Leksjonens mål:

• Pedagogisk: vise en ny metode for å løse problemer ved å konstruere en geometrisk plassering av punkter; Lær å bruke det til å løse problemer.
• Utviklingsmessig: utvikling av visuell og figurativ tenkning; kognitiv interesse.
• Pedagogisk: utvikle evnen til å planlegge arbeid, se etter rasjonelle måter å utføre det på, evnen til å forsvare ens mening med fornuft, og kritisk vurdere resultatet.

Leksjonens mål:

• Studerer nytt materiale.
• Test elevenes problemløsningsevner.

Timeplan:

1. Definisjoner.
2. Eksempel 1.
3. Eksempel 2.
4. Eksempel 3.
5. Teoretisk del.
6. Generelle begreper.

Introduksjon.

Den gamle egyptiske og babylonske kulturen innen matematikk ble videreført av grekerne. De lærte ikke bare all erfaringen med geometrien deres, men gikk også mye lenger. Forskere fra antikkens Hellas var i stand til å systematisere den akkumulerte geometriske kunnskapen og dermed legge grunnlaget for geometri som en deduktiv vitenskap.

Greske kjøpmenn ble kjent med østlig matematikk mens de etablerte handelsruter. Men folket i øst engasjerte seg nesten ikke i teori, og grekerne oppdaget dette raskt. De stilte spørsmål: hvorfor i en likebenet trekant er to vinkler ved bunnen like; Hvorfor er arealet av en trekant lik halvparten av arealet til et rektangel med samme base og høyde?

Dessverre er det ingen overlevende primærkilder som beskriver den tidlige utviklingsperioden for gresk matematikk. Bare takket være de restaurerte tekstene fra det fjerde århundre f.Kr. og verkene til arabiske lærde, som var rike på oversettelser av verkene til forfatterne av antikkens Hellas, har vi utgaver av Euclid, Archimedes, Apollonius og andre store mennesker. Men i disse verkene er en fullt utviklet matematisk vitenskap allerede presentert.

Matematikken i antikkens Hellas gikk gjennom en lang og kompleks utviklingsvei, fra det 6. århundre f.Kr. og til det 6. århundre. Vitenskapshistorikere skiller tre perioder av utviklingen i samsvar med kunnskapens natur:

1. Akkumulering av individuelle matematiske fakta og problemer (6 - 5B.B. f.Kr.).
2. Systematisering av ervervet kunnskap (4. - 3. århundre f.Kr.).
3. Perioden for beregningsmatematikk (3. århundre f.Kr. - 6. århundre).

Geometrisk lokus av punkter (GLP).

Definisjoner.

Geometrisk sted- et begrep som brukes i den gamle litteraturen om geometri og fortsatt brukes i pedagogisk litteratur for å bety sett med punkter som tilfredsstiller en betingelse, som regel, av geometrisk karakter. For eksempel: lokuset til punkter like langt fra to gitte punkter A og B er den vinkelrette halveringslinjen til segmentet AB. Noen ganger snakker de om den geometriske plasseringen av rette linjer og andre figurer.

Navnet er assosiert med ideen om en linje som et "sted" hvor punkter er plassert.

I geometri, banen til et punkt som beveger seg i samsvar med en gitt formel eller betingelse. For eksempel er en sirkel stedet for et punkt som beveger seg på et plan slik at avstanden fra dets plassering til sentrum forblir uendret.

Geometrisk lokus av punkter (GMT) er et sett med punkter som inkluderer alle punkter som tilfredsstiller en bestemt betingelse, og bare dem.

Geometrisk lokus av punkter (GMT)- en talefigur i matematikk, brukt til å definere en geometrisk figur som et sett med punkter som har en viss egenskap.

Eksempler.

• Den vinkelrette halveringslinjen til et segment er stedet for punkter like langt fra endene av segmentet.
• En sirkel er stedet for punkter like langt fra et gitt punkt, kalt sentrum av sirkelen.
• En parabel er stedet for punkter som er like langt fra et punkt (kalt fokus) og en linje (kalt retningslinje).

Eksempel 1.

Den perpendikulære medianen til ethvert segment er stedet for punkter (dvs. settet av alle punkter) like langt fra endene av dette segmentet. La PO være vinkelrett på AB og AO = OB:

Deretter er avstandene fra ethvert punkt P som ligger på medianen vinkelrett PO til endene A og B av segmentet AB de samme og lik d.

Dermed har hvert punkt i den perpendikulære medianen til et segment følgende egenskap: det er like langt fra endene av segmentet.

Eksempel 2.

Halveringslinjen til en vinkel er stedet for punkter like langt fra sidene.

Eksempel 3.

En sirkel er stedet for punkter (dvs. settet av alle punkter) like langt fra sentrum (figuren viser ett av disse punktene - A).

Akkord, som går gjennom sentrum av sirkelen (for eksempel BC, Fig. 1) kalles en diameter og er betegnet d eller D. Diameter er den største korden lik to radier (d = 2 r).

Tangent. Anta at sekanten PQ (fig. 2) går gjennom punktene K og M i sirkelen. La oss også anta at punktet M beveger seg langs en sirkel og nærmer seg punktet K. Da vil sekanten PQ endre sin posisjon og rotere rundt punktet K. Når punktet M nærmer seg punktet K, vil sekanten PQ tendere til en viss begrensningsposisjon AB. Linje AB kalles tangent til sirkelen i punktet K. Punkt K kalles tangenspunktet. Tangenten og sirkelen har bare ett felles punkt - kontaktpunktet.

Egenskaper til en tangent.

1. Tangensen til sirkelen er vinkelrett på radiusen trukket til kontaktpunktet (AB er vinkelrett på OK, fig. 2).
2. Fra et punkt utenfor sirkelen kan to tangenter trekkes til samme sirkel; deres segmenter er lik AB=AC (fig. 3).

Segmentet– dette er den delen av sirkelen som er avgrenset av buen ACB og den tilsvarende korden AB (fig. 4). Lengden på den vinkelrette CD trukket fra midten av akkorden AB til skjæringspunktet med buen ACB kalles høyden på segmentet.

Vinkler i en sirkel.

Den sentrale vinkelen er vinkelen som dannes av to radier (∠AOB, fig. 5). En innskrevet vinkel er en vinkel dannet av to akkorder AB og AC trukket fra deres felles punkt (∠BAC, fig. 4). En omskrevet vinkel er en vinkel som dannes av to tangenter AB og AC trukket fra ett felles punkt (∠BAC, fig. 3).

Forholdet mellom elementene i en sirkel.

Innskrevet vinkel(∠ABC, Fig.7) er lik halvparten av midtvinkelen basert på den samme buen AmC (∠AOC, Fig.7). Derfor er alle innskrevne vinkler (fig. 7) basert på samme bue (AmC, fig. 7) like. Og siden midtvinkelen inneholder samme antall grader som dens bue (AmC, fig. 7), så måles enhver innskrevet vinkel med halve buen den hviler på (i vårt tilfelle AmC).

Alle innskrevne vinkler basert på en halvsirkel (∠APB, ∠AQB, ..., Fig. 8) er rette vinkler.

Hjørne(∠AOD, Fig.9), dannet av to akkorder (AB og CD), måles ved halvsummen av buer innelukket mellom sidene: (And + CmB) / 2.

Vinkelen (∠AOD, fig. 10) dannet av to sekanter (AO og OD) måles ved halvforskjellen til buene innelukket mellom sidene: (And – BmC) / 2.

Vinkelen (∠DCB, Fig. 11) som dannes av tangenten og korden (AB og CD) måles med halve buen inne i den: CmD / 2.

Vinkelen (∠BOC, fig. 12) dannet av tangenten og sekanten (CO og BO) måles ved halv-forskjellen til buene mellom sidene: (BmC – CnD) / 2.

Den omskrevne vinkelen (∠AOC, Fig. 12), dannet av to tangenter (CO og AO), måles ved halve forskjellen av buer mellom sidene: (ABC – CDA) / 2.

Produktene av segmenter av akkorder (AB og CD, Fig. 13 eller Fig. 14), som de er delt inn i av skjæringspunktet, er lik: AO · BO = CO · DO.

Kvadraten til tangenten er lik produktet av sekanten og dens ytre del (fig. 12): OA 2 = OB · OD. Denne egenskapen kan betraktes som et spesialtilfelle av fig. 14.

Akkord(AB , Fig. 15) , vinkelrett på diameteren( CD) , O i halvparten: AO = OB.

Ris. 15

Interessant fakta:

Gratulerer med Pi-ferie.

I vitenskapelige termer er tallet "Pi" forholdet mellom omkretsen av en sirkel og diameteren. Det virker som en enkel ting, men det har bekymret sinnene til matematikere siden antikken. Og det fortsetter å bekymre seg. I en slik grad at forskere - for rundt 20 år siden - ble enige om å feire høytiden på denne datoen. Og de oppfordret hele det progressive miljøet til å bli med på feiringen. Hun blir med: hun spiser runde Pi-rogger, du tisser, alltid Pi-vo, og lager Pi-lyder når de møtes.

Fans vil konkurrere om å huske tegnene til Pi. Og de vil prøve å overgå rekorden til den 24 år gamle kinesiske studenten Liu Chao, som navnga 68 890 tegn fra minnet uten feil. Det tok ham 24 timer og 4 minutter.

Feiringens avgang er planlagt til 14. mars – en dato som i amerikansk skrift ser ut som 3.14 – altså de tre første sifrene i Pi.
Ifølge legenden visste de babylonske prestene om tallet "Pi". Brukt i byggingen av Babelstårnet. Men de klarte ikke å beregne verdien nøyaktig og klarte derfor ikke å fullføre prosjektet. Symbolet for tallet "Pi" ble først brukt i hans skrifter i 1706 av matematikeren William Jones. Men det slo virkelig rot etter 1737 takket være innsatsen til den svenske matematikeren Leonhard Euler.

Den amerikanske fysikeren Larry Shaw kom opp med ideen om å feire høytiden.
Det er ikke noe eksakt svar på spørsmålet om hvor mange desimaler det er i tallet "Pi". Mest sannsynlig er det et uendelig antall av dem. Og hovedtrekket er at sekvensen av disse tegnene ikke gjentas. I dag er det 12.411 billioner kjente. 500 milliarder undersøkt. Og ingen repetisjoner ble funnet.

I følge noen fremtredende fysikere og matematikere, for eksempel David Bailey, Peter Borewin, Simon Plouffe, vil ingen noen gang finne dem – repetisjoner. Skriv i det minste hele universet med tegn. Ja, i hvert fall hvor mange universer... Og forskere ser noe skjult mystikk i dette. Det antas at tallet "Pi" koder for endeløst urkaos, som senere ble harmoni. Eller mystisk informasjon.

Spørsmål:

1. Formulere definisjonen av sirkel og sirkel?
2. Hvilke nye konsepter ble du kjent med?
3. Hva kalles stedet for punkt?
4. Hva er forskjellen mellom diameter og radius?
5. Hvordan finne radiusen til sirkelen omkranset av en trekant?

Liste over kilder som er brukt:

1. Leksjon om emnet "Visuell geometri"
2. Savin A.P. Metode for geometriske steder /Valgfag i matematikk: Lærebok for 7.-9. trinn på ungdomsskolen. Comp. I.L. Nikolskaya. – M.: Opplysning, s. 74.
3. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Geometri: Lærebok for klassetrinn 7-9 ved allmennutdanningsinstitusjoner. – M.: Mnemosyne, 2005, s. 84.
4. Sharygin I.F. Geometri. 7.-9. klasse: Lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner. – M.: Bustard, s. 76.
5. Mazur K. I. "Løse de viktigste konkurranseproblemene i matematikk i samlingen redigert av M. I. Skanavi"

Jobbet med leksjonen:

Samylina M.V.

Poturnak S.A.

Vladimir LAGOVSKY

Du kan stille et spørsmål om moderne utdanning, uttrykke en idé eller løse et presserende problem på Pedagogisk forum, hvor et pedagogisk råd av frisk tanke og handling møtes internasjonalt. Etter å ha skapt blogg, Du vil ikke bare forbedre din status som kompetent lærer, men også gi et betydelig bidrag til utviklingen av fremtidens skole. Gilde av pedagogiske ledereåpner dører for topprangerte spesialister og inviterer dem til å samarbeide for å skape de beste skolene i verden.