Lærerens åpningskommentarer:
Litt historisk bakgrunn: Mange forskere har vært interessert i å kutte problemer siden antikken. Løsninger på mange enkle skjæreproblemer ble funnet av de gamle grekerne og kineserne, men den første systematiske avhandlingen om dette emnet ble skrevet av Abul-Vef. Geometre begynte seriøst å løse problemer med å kutte figurer i det minste antall deler og deretter konstruere en annen figur på begynnelsen av 1900-tallet. En av grunnleggerne av denne seksjonen var den berømte puslespillgrunnleggeren Henry E. Dudeney.
I dag er puslespillelskere opptatt av å løse skjæreproblemer fordi det ikke finnes noen universell metode for å løse slike problemer, og alle som påtar seg å løse dem kan fullt ut demonstrere sin oppfinnsomhet, intuisjon og evne til kreativ tenkning. (I løpet av timen vil vi kun angi ett av de mulige eksemplene på skjæring. Det kan antas at elevene kan ende opp med en annen riktig kombinasjon - det er ingen grunn til å være redd for dette).
Denne leksjonen er ment å gjennomføres i form av en praktisk leksjon. Del sirkeldeltakerne inn i grupper på 2-3 personer. Gi hver gruppe figurer utarbeidet på forhånd av læreren. Elevene har en linjal (med inndelinger), en blyant og saks. Det er tillatt å gjøre bare rette kutt ved hjelp av saks. Etter å ha kuttet en figur i biter, må du lage en annen figur fra de samme delene.
Kutteoppgaver:
1). Prøv å kutte figuren vist i figuren i 3 like formede deler:
Hint: De små formene ligner mye på bokstaven T.
2). Skjær nå denne figuren i 4 likeformede deler:
Hint: Det er lett å gjette at små figurer vil bestå av 3 celler, men det er ikke mange figurer med tre celler. Det er bare to typer: hjørne og rektangel.
3). Del figuren i to like deler, og bruk de resulterende delene til å lage et sjakkbrett.
Hint: Foreslå å starte oppgaven fra den andre delen, som om du får et sjakkbrett. Husk hvilken form et sjakkbrett har (firkant). Tell tilgjengelig antall celler i lengde og bredde. (Husk at det skal være 8 celler).
4). Prøv å skjære osten i åtte like store biter med tre bevegelser av kniven.
Tips: prøv å kutte osten på langs.
Oppgaver for selvstendig løsning:
1). Klipp ut en firkant av papir og gjør følgende:
· kutt i 4 stykker som kan brukes til å lage to like mindre firkanter.
· skjær i fem deler - fire likebenede trekanter og en firkant - og brett dem slik at du får tre firkanter.
For oppmerksomheten til matematikkveiledere og lærere fra ulike valgfag og klubber tilbys et utvalg underholdende og pedagogiske geometriske skjæreoppgaver. Målet med en veileder som bruker slike problemer i timene sine, er ikke bare å interessere studenten i interessante og effektive kombinasjoner av celler og figurer, men også å utvikle sansen for linjer, vinkler og former. Oppgavesettet er hovedsakelig rettet mot barn i klasse 4-6, selv om det er mulig å bruke det selv med elever på videregående skole. Øvelsene krever at elevene har høy og stabil oppmerksomhetskonsentrasjon og er perfekt for å utvikle og trene visuell hukommelse. Anbefales for matematikkveiledere som forbereder elevene til opptaksprøver til matematikkskoler og klasser som stiller spesielle krav til barnets nivå av selvstendig tenkning og kreative evner. Oppgavenivået tilsvarer nivået på inngangsolympiadene til Lyceum "andre skole" (andre matematisk skole), det lille fakultetet for mekanikk og matematikk ved Moskva statsuniversitet, Kurchatov-skolen, etc.
Matteveileder merknad:
I noen løsninger på problemer, som du kan se ved å klikke på den tilsvarende pekeren, er bare ett av de mulige eksemplene på kutting angitt. Jeg innrømmer fullt ut at du kan ende opp med en annen riktig kombinasjon - du trenger ikke være redd for det. Sjekk din lilles løsning nøye og om den tilfredsstiller betingelsene, ta gjerne på deg neste oppgave.
1) Prøv å kutte figuren vist i figuren i 3 likeformede deler:
: Små former ligner veldig på bokstaven T
2) Kutt nå denne figuren i 4 likeformede deler:
Tips til mattelærer: Det er lett å gjette at små figurer vil bestå av 3 celler, men det er ikke mange figurer med tre celler. Det er bare to typer av dem: et hjørne og et 1×3 rektangel.
3) Skjær denne figuren i 5 likeformede stykker:
Finn antall celler som utgjør hver slik figur. Disse figurene ser ut som bokstaven G.
4) Nå må du kutte en figur på ti celler i 4 ulik rektangel (eller kvadrat) til hverandre.
Instruksjoner for matteveileder: Velg et rektangel, og prøv å passe tre til i de gjenværende cellene. Hvis det ikke fungerer, bytt det første rektangelet og prøv igjen.
5) Oppgaven blir mer komplisert: du må kutte figuren i 4 forskjellig i form figurer (ikke nødvendigvis rektangler).
Tips til mattelærer: først tegne separat alle typer figurer med forskjellige former (det vil være mer enn fire av dem) og gjenta metoden for å telle opp alternativer som i forrige oppgave.
:
6) Klipp denne figuren til 5 figurer fra fire celler med forskjellig form slik at det kun er malt én grønn celle i hver av dem.
Tips til mattelærer: Prøv å begynne å kutte fra den øverste kanten av denne figuren, og du vil umiddelbart forstå hvordan du skal fortsette.
:
7) Basert på forrige oppgave. Finn ut hvor mange figurer av forskjellige former det er, bestående av nøyaktig fire celler? Figurene kan vris og snus, men du kan ikke løfte bordet (fra overflaten) som det ligger på. Det vil si at de to gitte figurene ikke vil bli betraktet som like, siden de ikke kan oppnås fra hverandre ved rotasjon.
Tips til mattelærer: Studer løsningen på forrige oppgave og prøv å se for deg de forskjellige posisjonene til disse figurene når du snur. Det er ikke vanskelig å gjette at svaret på problemet vårt vil være tallet 5 eller mer. (Faktisk enda mer enn seks). Det er 7 typer figurer beskrevet.
8) Skjær en firkant med 16 celler i 4 likeformede stykker slik at hver av de fire stykkene inneholder nøyaktig én grønn celle.
Tips til mattelærer: Utseendet til de små figurene er ikke en firkant eller et rektangel, eller til og med et hjørne av fire celler. Så hvilke former bør du prøve å kutte i?
9) Klipp den avbildede figuren i to deler slik at de resulterende delene kan brettes til en firkant.
Matteveileder hint: Det er 16 celler totalt, noe som betyr at firkanten vil være 4x4 i størrelse. Og på en eller annen måte må du fylle vinduet i midten. Hvordan gjøre det? Kan det være et slags skifte? Siden lengden på rektangelet er lik et oddetall celler, bør kuttingen ikke gjøres med et vertikalt kutt, men langs en brutt linje. Slik at den øvre delen er kuttet av på den ene siden av midtcellen, og den nedre delen på den andre.
10) Skjær et 4x9 rektangel i to deler slik at de kan brettes til en firkant.
Tips til mattelærer: Det er totalt 36 celler i rektangelet. Derfor vil torget være 6x6 i størrelse. Siden langsiden består av ni celler, må tre av dem kuttes av. Hvordan vil dette kuttet gå videre?
11) Krysset av fem celler vist i figuren må kuttes (du kan kutte selve cellene) i biter som en firkant kan brettes fra.
Tips til mattelærer: Det er klart at uansett hvordan vi skjærer langs linjene til cellene, vil vi ikke få en firkant, siden det bare er 5 celler. Dette er den eneste oppgaven som er tillatt å kutte ikke av celler. Imidlertid vil det fortsatt være greit å la dem være en guide. for eksempel er det verdt å merke seg at vi på en eller annen måte må fjerne fordypningene vi har - nemlig i de indre hjørnene av korset vårt. Hvordan gjøre dette? For eksempel å kutte av noen utstikkende trekanter fra de ytre hjørnene av korset...
Oppgave 1: Et rektangel, hvis sider er uttrykt som heltall, kan kuttes til figurer av formen (siden av cellen i figuren er lik en). Bevis at den kan kuttes i 1 × 5 rektangler.
(D.~Karpov)
Løsning: Arealet til dette rektangelet er delt jevnt med arealet til den angitte figuren, det vil si med 5. Arealet til et rektangel er lik produktet av lengdene på sidene. Siden lengdene på sidene er heltall og 5 er et primtall, må lengden på en av sidene være delelig med 5. La oss dele denne siden og den motsatte siden i segmenter med lengde 5, og de to andre sidene i segmenter med lengde 1, hvoretter vi forbinder de tilsvarende punktene på motsatte sider med rette linjer. Oppgave 2: Løs ligningssystemet i reelle tall(A.~Khrabrov)
Løsning: Svar: systemet har en unik løsning: a = b = c = d = 0. Legger vi de to likningene til systemet, får vi likningen 8a² + 9b² + 7c² + 4d² = 16ab + 8cd Fra ulikhetene 2ab ≤ a² + b² og 2cd ≤ c² + d² følger det at høyre side av denne ligningen ikke er større enn venstre, og likhet kan bare oppnås hvis b = 0, c = 0, a = b og c = d. Dette betyr at den eneste mulige løsningen på dette systemet er a = b = c = d = 0.Det andre alternativet løses på lignende måte.
Oppgave 3: I romben ABCD er punktene E og F tatt på henholdsvis sidene AB og BC, slik at CF/BF = BE/AE = 1994. Det viste seg at DE = DF. Finn vinkelen EDF.
Fra betingelsene for problemet (i begge versjoner) følger det at BE = CF. La oss plotte på siden AB et segment AK lik BE. Trekanter ADK og CDF er like i begge sider og vinkel (AD = CD, AK = CF, ∠ DAK = ∠ DCF). Dette betyr at DK = DF = DE, det vil si at trekanten DKE er likebenet. Spesielt er vinklene DKE og DEK ved bunnen like. Derfor er trekanter ADK og BDE like (på to sider og vinkel: AK = BE, DK = DE, ∠ DKA = ∠ DEB). Derfor AD = BD, det vil si at trekant ABD er likesidet. Derfor er ∠DÅRLIG = 60, ∠ABC = 120.
(A.~Khrabrov)
Løsning: La lag A slå lag B i en kamp med disse reglene (kanskje sikre en tidlig seier). Dette betyr at for ethvert tenkelig utfall av de gjenværende (uutsatte) straffene, vil Lag A sin poengsum være høyere enn Lag B sin La oss forestille oss at lagene fortsatte å ta straffer etter kampens slutt og tok alle gjenværende straffer, uten at Lag A scoret noen. flere mål, og lag B bommet aldri igjen. I dette tilfellet vil det totale antallet mål scoret av A fortsatt være større enn de som ble scoret av B (dette er hva ordene "tidlig seier" betyr). Hvor mye mer kan det være? Bare med 1 eller 2. Faktisk, hvis forskjellen hadde vært mer enn to, ville seieren til lag A blitt uunngåelig enda tidligere, før det siste paret med straffer.Videre bemerker vi at under fortsettelsen av kampen vi vurderer, traff nøyaktig halvparten av alle skuddene målet. Av alle 129 skuddpar var det altså nøyaktig halvparten som traff målet, det vil si nøyaktig 129. Disse 129 målene er delt mellom A og B slik at A har 1 eller 2 til. Dette bestemmer klart antall mål scoret av lag A - 65.
Oppgave 5: Løs ligningen i naturlige tall:(D.~Karpov)
Løsning: Denne ligningen har en unik løsning: x = 2, y = 1, z = 2 (i begge versjoner). At det er en løsning følger av den generelle identiteten a² + (2a + 1) = (a + 1)²\, brukt i den første versjonen til a = 105, og i den andre til a = 201.Det er ingen andre løsninger, siden hvis z > 2, så er høyre side av ligningen delelig med 8, men den venstre ikke, siden 105 x bare kan gi resten 1 når deles på 8, og 211 y - bare restene 1 og 3. Det gjenstår å merke seg at for z = 1 er det heller ingen løsninger, og for z = 2 er verdiene y = 1 og x = 2 unikt bestemt.