Geometri er ikke en enkel vitenskap. Det kan være nyttig både for skolens læreplan og i det virkelige liv. Kunnskap om mange formler og teoremer vil forenkle geometriske beregninger. En av de enkleste figurene i geometri er en trekant. En av variantene av trekanter, likesidet, har sine egne egenskaper.
Funksjoner av en likesidet trekant
Per definisjon er en trekant et polyeder som har tre vinkler og tre sider. Dette er en flat todimensjonal figur, dens egenskaper blir studert på videregående. Basert på typen vinkel er det spisse, stumpe og rette trekanter. En rettvinklet trekant er en geometrisk figur der en av vinklene er 90º. En slik trekant har to ben (de lager en rett vinkel) og en hypotenusa (den er motsatt av den rette vinkelen). Avhengig av hvilke mengder som er kjent, er det tre enkle måter å beregne hypotenusen til en rettvinklet trekant.
Den første måten er å finne hypotenusen til en rettvinklet trekant. Pythagoras teorem
Pythagoras teorem er den eldste måten å beregne noen av sidene i en rettvinklet trekant. Det høres slik ut: "I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på bena." For å beregne hypotenusen må man altså utlede kvadratroten av summen av to ben i annen. For klarhet er det gitt formler og et diagram.
Andre vei. Beregning av hypotenusen ved hjelp av 2 kjente størrelser: ben og tilstøtende vinkel
En av egenskapene til en rettvinklet trekant sier at forholdet mellom lengden på benet og lengden på hypotenusen er ekvivalent med cosinus til vinkelen mellom dette benet og hypotenusen. La oss kalle vinkelen kjent for oss α. Nå, takket være den velkjente definisjonen, kan du enkelt formulere en formel for å beregne hypotenusen: Hypotenus = leg/cos(α)
Tredje vei. Beregning av hypotenusen ved hjelp av 2 kjente størrelser: ben og motsatt vinkel
Hvis den motsatte vinkelen er kjent, er det mulig å igjen bruke egenskapene til en rettvinklet trekant. Forholdet mellom lengden på benet og hypotenusen tilsvarer sinusen til den motsatte vinkelen. La oss igjen kalle den kjente vinkelen α. Nå for beregningene vil vi bruke en litt annen formel:
Hypotenus = ben/synd (α)
Eksempler som hjelper deg å forstå formler
For en dypere forståelse av hver av formlene, bør du vurdere illustrerende eksempler. Så anta at du får en rettvinklet trekant, der det er følgende data:
- Ben – 8 cm.
- Den tilstøtende vinkelen cosα1 er 0,8.
- Den motsatte vinkelen sinα2 er 0,8.
I følge Pythagoras teorem: Hypotenus = kvadratroten av (36+64) = 10 cm.
I henhold til størrelsen på benet og tilstøtende vinkel: 8/0,8 = 10 cm.
I henhold til benets størrelse og motsatt vinkel: 8/0,8 = 10 cm.
Når du forstår formelen, kan du enkelt beregne hypotenusen med alle data.
Video: Pythagoras teorem
"Og de forteller oss at beinet er kortere enn hypotenusen..." Disse linjene fra den berømte sangen som ble hørt i spillefilmen "The Adventures of Electronics" er faktisk korrekte i Euclids geometri. Tross alt er ben to sider som danner en vinkel hvis gradmål er 90 grader. Og hypotenusen er den lengste "strakte" siden som forbinder to ben vinkelrett på hverandre, og ligger motsatt den rette vinkelen. Det er derfor det er mulig å finne hypotenusen etter ben bare i en rettvinklet trekant, og hvis benet var lengre enn hypotenusen, ville en slik trekant ikke eksistert.
Hvordan finne hypotenusen ved hjelp av Pythagoras teorem hvis begge sider er kjent
Teoremet sier at kvadratet på hypotenusen ikke er noe mer enn summen av kvadratene til bena: x^2+y^2=z^2, hvor:
- x – første etappe;
- y - andre ben;
- z – hypotenusen.
Men du trenger bare å finne hypotenusen, og ikke kvadratet. For å gjøre dette, trekk ut roten.
Algoritme for å finne hypotenusen ved å bruke to kjente ben:
- Angi selv hvor bena er og hvor hypotenusen er.
- Square den første etappen.
- Firkant det andre beinet.
- Legg sammen de resulterende verdiene.
- Trekk ut roten av tallet du fikk i trinn 4.
Hvordan finne hypotenusen gjennom sinusen hvis benet og den spisse vinkelen på motsatt side er kjent
Forholdet mellom et kjent ben og en spiss vinkel som ligger overfor det er lik verdien av hypotenusen: a/sin A = c. Dette er en konsekvens av definisjonen av sinus:
Forholdet mellom motsatt side og hypotenusen: sin A = a/c, hvor:
- a – første etappe;
- A – spiss vinkel motsatt av benet;
- c- hypotenuse.
Algoritme for å finne hypotenusen ved å bruke sinussetningen:
- Angi selv et kjent ben og vinkelen motsatt av det.
- Del benet i motsatt hjørne.
- Få hypotenusen.
Hvordan finne hypotenusen gjennom cosinus hvis benet og den spisse vinkelen ved siden av det er kjent
Forholdet mellom det kjente benet og den spisse tilstøtende vinkelen er lik verdien av hypotenusen a/cos B = c. Dette er en konsekvens av definisjonen av cosinus: forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen: cos B= a/c, hvor:
- a – andre ben;
- B - spiss vinkel ved siden av det andre benet;
- c- hypotenuse.
Algoritme for å finne hypotenusen ved hjelp av cosinus-teoremet:
- Angi selv et kjent ben og en tilstøtende vinkel.
- Del benet med den tilstøtende vinkelen.
- Få hypotenusen.
Hvordan finne hypotenusen ved hjelp av den egyptiske trekanten
Den "egyptiske trekanten" er en trio av tall, og vet hvilke du kan spare tid på å finne hypotenusen eller til og med et annet ukjent ben. Trekanten har dette navnet fordi noen tall i Egypt symboliserte gudene og var grunnlaget for konstruksjonen av pyramider og andre forskjellige strukturer.
- De tre første tallene: 3-4-5. Bena her er lik 3 og 4. Da vil hypotenusen definitivt være lik 5. Sjekk: (9+16=25).
- Andre trippel av tall: 5-12-13. Også her er bena lik 5 og 12. Derfor vil hypotenusen være lik 13. Sjekk: (25+144=169).
Slike tall hjelper selv når de er delt eller multiplisert med et hvilket som helst tall. Hvis bena er 3 og 4, vil hypotenusen være lik 5. Hvis du multipliserer disse tallene med 2, vil hypotenusen også multipliseres med 2. For eksempel vil trippelen av tallene 6-8-10 også passe Pythagoras teorem, og du trenger ikke å regne ut hypotenusen hvis du husker disse triplene av tall. 
Dermed er det 4 måter å finne hypotenusen ved å bruke de kjente bena. Det beste alternativet er Pythagoras teorem, men det ville heller ikke skade å huske trillingene av tall som utgjør den "egyptiske trekanten", fordi du kan spare mye tid hvis du kommer over slike verdier.
Blant de mange beregningene som er utført for å beregne forskjellige størrelser, er å finne hypotenusen til en trekant. Husk at en trekant er et polyeder som har tre vinkler. Nedenfor er flere måter å beregne hypotenusen til forskjellige trekanter.
La oss først se på hvordan du finner hypotenusen til en rettvinklet trekant. For de som har glemt, kalles en trekant med en vinkel på 90 grader en rettvinklet trekant. Siden av trekanten som ligger på motsatt side av den rette vinkelen kalles hypotenusen. I tillegg er det den lengste siden av trekanten. Avhengig av de kjente verdiene, beregnes lengden på hypotenusen som følger:
- Lengden på bena er kjent. Hypotenusen i dette tilfellet beregnes ved hjelp av Pythagoras teorem, som lyder som følger: kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena. Hvis vi tar for oss en rettvinklet trekant BKF, der BK og KF er ben, og FB er hypotenusen, så er FB2= BK2+ KF2. Fra det ovenstående følger det at når man beregner lengden på hypotenusen, må hver av verdiene til bena kvadreres etter tur. Legg så til de lærte tallene og trekk ut kvadratroten fra resultatet.
Tenk på et eksempel: Gitt en trekant med rett vinkel. Det ene benet er 3 cm, det andre er 4 cm. Finn hypotenusen. Løsningen ser slik ut.
FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Trekk ut og få FB=5cm.
- Benet (BK) og vinkelen ved siden av det, som dannes av hypotenusen og dette benet, er kjent. Hvordan finne hypotenusen til en trekant? La oss betegne den kjente vinkelen α. Ifølge egenskapen som sier at forholdet mellom lengden på benet og lengden på hypotenusen er lik cosinus til vinkelen mellom dette benet og hypotenusen. Med tanke på en trekant kan dette skrives slik: FB= BK*cos(α).
- Benet (KF) og samme vinkel α er kjent, bare nå vil det være motsatt. Hvordan finne hypotenusen i dette tilfellet? La oss gå til de samme egenskapene til en rettvinklet trekant og finne ut at forholdet mellom lengden på benet og lengden på hypotenusen er lik sinusen til vinkelen motsatt benet. Det vil si FB= KF * sin (α).
La oss se på et eksempel. Gitt den samme rettvinklet BKF med hypotenusen FB. La vinkelen F være lik 30 grader, den andre vinkelen B tilsvarer 60 grader. BK-benet er også kjent, hvis lengde tilsvarer 8 cm. Den nødvendige verdien kan beregnes som følger:
FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.
- Kjent (R), beskrevet rundt en trekant med rett vinkel. Hvordan finne hypotenusen når man vurderer et slikt problem? Fra egenskapen til en sirkel som er omskrevet rundt en trekant med rett vinkel, er det kjent at sentrum av en slik sirkel sammenfaller med hypotenusens punkt, og deler den i to. Med enkle ord tilsvarer radius halve hypotenusen. Derfor er hypotenusen lik to radier. FB=2*R. Hvis du får et lignende problem der ikke radius, men medianen er kjent, bør du være oppmerksom på egenskapen til en sirkel omskrevet rundt en trekant med rett vinkel, som sier at radiusen er lik medianen som er tegnet til hypotenusen. Ved å bruke alle disse egenskapene løses problemet på samme måte.
Hvis spørsmålet er hvordan du finner hypotenusen til en likebenet rettvinklet trekant, må du vende deg til den samme Pythagoras teorem. Men husk først og fremst at en likebenet trekant er en trekant som har to identiske sider. Ved en rettvinklet trekant er sidene like. Vi har FB2= BK2+ KF2, men siden BK= KF har vi følgende: FB2=2 BK2, FB= BK√2
Som du kan se, er det veldig enkelt å kjenne til Pythagoras teorem og egenskapene til en rettvinklet trekant, og løse problemer der det er nødvendig å beregne lengden på hypotenusen. Hvis det er vanskelig å huske alle egenskapene, lær ferdige formler, og erstatte kjente verdier som du kan beregne ønsket lengde på hypotenusen.
Bruksanvisning
Video om emnet
Merk
Når du beregner sidene til en rettvinklet trekant, kan kunnskap om dens egenskaper spille en rolle:
1) Hvis benet i en rett vinkel ligger motsatt en vinkel på 30 grader, er det lik halvparten av hypotenusen;
2) Hypotenusen er alltid lengre enn noen av bena;
3) Hvis en sirkel er omskrevet rundt en rettvinklet trekant, må senteret ligge i midten av hypotenusen.
Hypotenusen er siden i en rettvinklet trekant som er motsatt 90 graders vinkel. For å beregne lengden er det nok å vite lengden på et av bena og størrelsen på en av de spisse vinklene i trekanten.
Bruksanvisning
Gi oss beskjed om et av bena og vinkelen ved siden av det. For å være spesifikk, la disse være siden |AB| og vinkel α. Deretter kan vi bruke formelen for det trigonometriske cosinus - cosinus-forholdet til det tilstøtende benet til. De. i vår notasjon cos α = |AB| / |AC|. Fra dette får vi lengden på hypotenusen |AC| = |AB| / cos α.
Hvis vi kjenner siden |BC| og vinkel α, så vil vi bruke formelen til å beregne sinusen til vinkelen - sinusen til vinkelen er lik forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen: sin α = |BC| / |AC|. Vi finner at lengden på hypotenusen er |AC| = |BC| / cos α.
For klarhet, la oss se på et eksempel. La lengden på benet |AB| være gitt. = 15. Og vinkel α = 60°. Vi får |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
La oss se på hvordan du kan sjekke resultatet ditt ved å bruke Pythagoras teorem. For å gjøre dette må vi beregne lengden på den andre etappen |BC|. Ved å bruke formelen for tangenten til vinkelen tan α = |BC| / |AC|, får vi |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Deretter bruker vi Pythagoras teorem, vi får 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Kontroll fullført.
Nyttige råd
Etter å ha beregnet hypotenusen, sjekk om den resulterende verdien tilfredsstiller Pythagoras teorem.
Kilder:
- Tabell med primtall fra 1 til 10000
Ben er de to korte sidene av en rettvinklet trekant som utgjør toppunktet hvis størrelse er 90°. Den tredje siden i en slik trekant kalles hypotenusen. Alle disse sidene og vinklene til trekanten er forbundet med visse forhold som gjør det mulig å beregne lengden på benet hvis flere andre parametere er kjent.
Bruksanvisning
Bruk Pythagoras teorem for ben (A) hvis du vet lengden på de to andre sidene (B og C) i den rettvinklede trekanten. Denne teoremet sier at summen av de kvadrerte lengdene på bena er lik kvadratet på hypotenusen. Det følger av dette at lengden på hvert ben er lik kvadratroten av lengdene på hypotenusen og det andre beinet: A=√(C²-B²).
Bruk definisjonen av den direkte trigonometriske funksjonen "sinus" for en spiss vinkel hvis du vet størrelsen på vinkelen (α) som ligger motsatt benet som beregnes og lengden på hypotenusen (C). Dette sier at sinusen til dette kjente forholdet mellom lengden på ønsket ben og lengden på hypotenusen. Dette betyr at lengden på ønsket ben er lik produktet av lengden på hypotenusen og sinusen til den kjente vinkelen: A=C∗sin(α). For de samme kjente størrelsene kan du også bruke cosecanten og beregne nødvendig lengde ved å dele lengden på hypotenusen med cosecanten til den kjente vinkelen A=C/cosec(α).
Bruk definisjonen av den direkte trigonometriske cosinusfunksjonen hvis, i tillegg til lengden på hypotenusen (C), størrelsen på den spisse vinkelen (β) ved siden av den ønskede også er kjent. Cosinus til denne vinkelen er forholdet mellom lengdene til det ønskede benet og hypotenusen, og fra dette kan vi konkludere med at lengden på benet er lik produktet av lengden på hypotenusen og cosinus til den kjente vinkelen: A=C∗cos(β). Du kan bruke definisjonen av sekantfunksjonen og beregne ønsket verdi ved å dele lengden på hypotenusen med sekanten til den kjente vinkelen A=C/sek(β).
Utled den nødvendige formelen fra en lignende definisjon for den deriverte av den trigonometriske funksjonstangenten, hvis i tillegg til verdien av den spisse vinkelen (α) som ligger motsatt ønsket ben (A), er lengden på det andre benet (B) kjent . Tangensen til vinkelen motsatt av ønsket ben er forholdet mellom lengden på dette beinet og lengden på det andre beinet. Dette betyr at den ønskede verdien vil være lik produktet av lengden på det kjente benet og tangenten til den kjente vinkelen: A=B∗tg(α). Fra disse samme kjente størrelsene kan en annen formel utledes hvis vi bruker definisjonen av cotangensfunksjonen. I dette tilfellet, for å beregne lengden på benet, vil det være nødvendig å finne forholdet mellom lengden på det kjente benet og cotangensen til den kjente vinkelen: A=B/ctg(α).
Video om emnet
Ordet "kathet" kom på russisk fra gresk. I nøyaktig oversettelse betyr det en loddlinje, det vil si vinkelrett på jordoverflaten. I matematikk er ben sidene som danner en rett vinkel i en rettvinklet trekant. Siden motsatt denne vinkelen kalles hypotenusen. Begrepet "katet" brukes også i arkitektur og sveiseteknologi.
Sekanten til denne vinkelen oppnås ved å dele hypotenusen med det tilstøtende benet, det vil si secCAB = c/b. Resultatet er den resiproke av cosinus, det vil si at den kan uttrykkes ved hjelp av formelen secCAB=1/cosSAB.
Kosekanten er lik kvotienten til hypotenusen delt på motsatt side og er den resiproke av sinusen. Det kan beregnes ved hjelp av formelen cosecCAB=1/sinCAB
Begge bena er forbundet med hverandre og med en cotangens. I dette tilfellet vil tangenten være forholdet mellom side a og side b, det vil si den motsatte siden til den tilstøtende siden. Dette forholdet kan uttrykkes med formelen tgCAB=a/b. Følgelig vil det inverse forholdet være cotangensen: ctgCAB=b/a.
Forholdet mellom størrelsene på hypotenusen og begge bena ble bestemt av den gamle greske Pythagoras. Folk bruker fortsatt teoremet og navnet hans. Det står at kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena, det vil si c2 = a2 + b2. Følgelig vil hvert ben være lik kvadratroten av forskjellen mellom kvadratene på hypotenusen og det andre benet. Denne formelen kan skrives som b=√(c2-a2).
Lengden på beinet kan også uttrykkes gjennom relasjonene du kjenner til. I følge teoremene for sinus og cosinus er et ben lik produktet av hypotenusen og en av disse funksjonene. Det kan uttrykkes som og eller cotangens. Leg a kan for eksempel bli funnet ved å bruke formelen a = b*tan CAB. På nøyaktig samme måte, avhengig av gitt tangent eller , bestemmes den andre etappen.
Begrepet "katet" brukes også i arkitektur. Den påføres den joniske hovedstaden og lodd gjennom midten av ryggen. Det vil si at i dette tilfellet er dette leddet vinkelrett på en gitt linje.
Innen sveiseteknologi er det et "filetsveiseben". Som i andre tilfeller er dette den korteste avstanden. Her snakker vi om gapet mellom en av delene som sveises til kanten av sømmen som ligger på overflaten av den andre delen.
Video om emnet
Kilder:
- hva er ben og hypotenus i 2019
Oversatt fra gresk betyr hypotenuse "tett". For å forstå riktig, se for deg en buestreng som forbinder de to endene av en fleksibel pinne. På samme måte, i en rettvinklet trekant, er den lengste siden hypotenusen, som ligger motsatt den rette vinkelen. Den fungerer som en kobling til de to andre sidene, kalt ben. For å finne ut hvor lang denne "strengen" er, må du ha lengden på bena, eller størrelsen på to spisse vinkler. Ved å kombinere disse dataene kan du beregne ønsket verdi ved hjelp av formler.
Hvordan finne hypotenusen ved bena
Den enkleste måten å regne på er hvis du vet størrelsen på to ben (la oss betegne det ene som A, det andre som B). Pythagoras selv og hans verdensberømte teorem kommer til unnsetning. Hun forteller oss at hvis vi kvadrerer lengden på bena og legger sammen de beregnede verdiene, vil vi som et resultat kjenne den kvadrerte verdien av lengden på hypotenusen. Fra det ovenstående konkluderer vi: for å finne verdien av hypotenusen, er det nødvendig å trekke ut kvadratroten av den totale summen av kvadratene til bena C = √ (A² + B²). Eksempel: side A=10 cm, side B=20 cm Hypotenusen er lik 22,36 cm. Beregningen er som følger: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22.36.
Hvordan finne hypotenusen gjennom en vinkel
Det er litt vanskeligere å beregne lengden på hypotenusen gjennom en gitt vinkel. Hvis du vet størrelsen på ett av de to bena (angitt med A) og størrelsen på vinkelen (angitt med α) som ligger motsatt, så finner man størrelsen på hypotenusen ved hjelp av trigonometri, og spesifikt sinus. Alt du trenger å gjøre er å dele verdien av det kjente benet med sinusen til vinkelen. C=A/sin(α). Eksempel: lengden på ben A = 30 cm, vinkelen motsatt er 45°, hypotenusen vil være 42,25 cm. Regnestykket er som følger: 30/sin(45°) = 30/0,71 = 42,25.
En annen måte er å finne størrelsen på hypotenusen ved hjelp av cosinus. Den brukes hvis du kjenner størrelsen på benet (angitt med B) og den spisse vinkelen (angitt med α) som er ved siden av det. Alt du trenger å gjøre er å dele verdien av benet med sinusen til vinkelen. С=В/ cos(α). Eksempel: lengden på ben B = 30 cm, vinkelen motsatt er 45°, hypotenusen vil være 42,25 cm. Beregningen er som følger: 30/cos(45°) = 30/0,71 = 42,25.
Hvordan finne hypotenusen til en likebenet rettvinklet trekant
Ethvert skolebarn med respekt for seg selv vet at en trekant er likebenet, forutsatt at to av de tre sidene er like hverandre. Disse sidene kalles laterale, og den som blir igjen kalles basen. Hvis en av vinklene er 90°, så har du en likebenet rettvinklet trekant.
Å finne hypotenusen i en slik trekant er enkel, fordi den har flere egenskaper som vil hjelpe. Vinklene ved siden av basen er like i verdi, den totale summen av vinkelverdiene er 180°. Dette betyr at den rette vinkelen ligger motsatt av basen, som betyr at basen er hypotenusen, og sidene er bena.